NCERT Solutions Class 12 Physics Chapter 13 Nuclei (नाभिक) Exercise Questions in Hindi

Question 13.1:
(a) लीथियम के दो स्थायी समस्थानिकों \( { }_{3}^{6}\text{Li} \) एवं \( { }_{3}^{7}\text{Li} \) की बहुलता का प्रतिशत क्रमशः 7.5 एवं 92.5 है। इन समस्थानिकों के द्रव्यमान क्रमशः \( 6.01512\text{ u} \) एवं \( 7.01600\text{ u} \) हैं। लीथियम का परमाणु द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
(b) बोरॉन के दो स्थायी, समस्थानिक \( { }_{5}^{10}\text{B} \) एवं \( { }_{5}^{11}\text{B} \) हैं। उनके द्रव्यमान क्रमशः \( 10.01294\text{ u} \) एवं \( 11.00931\text{ u} \) एवं बोरॉन का परमाणु भार \( 10.811\text{ u} \) है। \( { }_{5}^{10}\text{B} \) एवं \( { }_{5}^{11}\text{B} \) की बहुलता ज्ञात कीजिए।

Answer:

(a) \( { }_{3}^{6}\text{Li} \) समस्थानिक का द्रव्यमान \( m_1 = 6.01512\text{ u} \)
\( { }_{3}^{7}\text{Li} \) समस्थानिक का द्रव्यमान \( m_2 = 7.01600\text{ u} \)
\( { }_{3}^{6}\text{Li} \) की बहुलता का प्रतिशत \( \eta_1 = 7.5\% \)
\( { }_{3}^{7}\text{Li} \) की बहुलता का प्रतिशत \( \eta_2 = 92.5\% \)
लीथियम परमाणु का परमाणु द्रव्यमान निम्न-अनुसार है:
\( m = \frac{m_1\eta_1 + m_2\eta_2}{\eta_1 + \eta_2} \)
\( m = \frac{6.01512 \times 7.5 + 7.01600 \times 92.5}{7.5 + 92.5} = 6.940934\text{ u} \)
(b) \( { }_{5}^{10}\text{B} \) बोरॉन समस्थानिक का द्रव्यमान \( m_1 = 10.01294\text{ u} \)
\( { }_{5}^{11}\text{B} \) बोरॉन समस्थानिक का द्रव्यमान \( m_2 = 11.00931\text{ u} \)
माना \( { }_{5}^{10}\text{B} \) की बहुलता का प्रतिशत \( \eta_1 = x\% \)
इस प्रकार, \( { }_{5}^{11}\text{B} \) की बहुलता का प्रतिशत \( \eta_2 = (100 - x)\% \)
बोरॉन का परमाणु द्रव्यमान \( = 10.811\text{ u} \)
बोरॉन परमाणु का परमाणु द्रव्यमान निम्नानुसार है:
\( m = \frac{m_1\eta_1 + m_2\eta_2}{\eta_1 + \eta_2} \)
\( 10.811 = \frac{10.01294\times x + 11.00931\times(100-x)}{x + (100 - x)} \)
\( \Rightarrow 1081.1 = 10.01294x + 1100.931 + 1100.931x \)
\( \Rightarrow x = \frac{19.821}{0.99637} = 19.89\% \)
इस प्रकार, \( 100 - x = 100\% - 19.89\% = 80.11\% \)
इसलिए, \( { }_{5}^{10}\text{B} \) का बहुलता प्रतिशत \( 19.89\% \) और \( { }_{5}^{11}\text{B} \) का बहुलता प्रतिशत \( 80.11\% \) है।

मुख्य बिंदु:

• परमाणु द्रव्यमान निकालने के लिए विभिन्न समस्थानिकों के द्रव्यमान को उनकी प्रतिशत बहुलता से गुणा करके योग करते हैं।
• समस्थानिकों की कुल प्रतिशतता हमेशा 100 होती है।
• इस प्रकार के प्रश्नों में दशमलव के स्थानों का विशेष ध्यान रखना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• प्रतिशत मान को सीधे दशमलव में न बदलना।
• कुल योग (प्रतिशत का) 100 के स्थान पर 1 मान लेना।
• गणना करते समय दशमलव की गलती करना।

Exam Tips:

a) सूत्र स्पष्ट रूप से लिखें और मानों को सही जगह प्रतिस्थापित करें।
b) अंतिम उत्तर में मात्रक 'u' लिखना न भूलें।
c) प्रतिशत गणना में कम से कम दो दशमलव स्थानों तक मान निकालें।

Question 13.2: निर्यॉन के तीन स्थायी समस्थानिकों की बहुलता क्रमशः \( 90.51\% \), \( 0.27\% \) एवं \( 9.22\% \) हैं। इन समस्थानिकों के परमाणु द्रव्यमान क्रमशः \( 19.99\text{ u} \), \( 20.99\text{ u} \) एवं \( 21.99\text{ u} \) हैं। निर्यॉन का औसत परमाणु द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

Answer:

\( { }_{10}^{20}\text{Ne} \) का परमाणु द्रव्यमान, \( m_1 = 19.99\text{ u} \)
\( { }_{10}^{20}\text{Ne} \) का बहुलता प्रतिशत, \( \eta_1 = 90.51\% \)
\( { }_{10}^{21}\text{Ne} \) का परमाणु द्रव्यमान, \( m_2 = 20.99\text{ u} \)
\( { }_{10}^{21}\text{Ne} \) का बहुलता प्रतिशत, \( \eta_2 = 0.27\% \)
\( { }_{10}^{22}\text{Ne} \) का परमाणु द्रव्यमान, \( m_3 = 21.99\text{ u} \)
\( { }_{10}^{22}\text{Ne} \) का बहुलता प्रतिशत, \( \eta_3 = 9.22\% \)
नियॉन का औसत परमाणु द्रव्यमान:
\( m = \frac{m_1\eta_1 + m_2\eta_2 + m_3\eta_3}{\eta_1 + \eta_2 + \eta_3} \)
\( m = \frac{19.99 \times 90.51 + 20.99 \times 0.27 + 21.99 \times 9.22}{90.51 + 0.27 + 9.22} = 20.1771\text{ u} \)

मुख्य बिंदु:

• तीन या अधिक समस्थानिकों के लिए औसत द्रव्यमान का विस्तारक सूत्र उपयोग होता है।
• सभी बहुलता प्रतिशत का योग 100% होना चाहिए।
• प्रत्येक समस्थानिक के द्रव्यमान को उसके संगत प्रतिशत से गुणा किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• हर में 100 के स्थान पर कुछ और लिख देना।
• मानों को आपस में गलत मिला देना।
• गुणा या जोड़ में साधारण कैलकुलेशन की त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) सभी मानों को सारणीबद्ध तरीके से लिखकर हल करें।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं ताकि परीक्षक को समझने में आसानी हो।
c) उत्तर को मानक दशमलव स्थानों तक ही सीमित रखें।

Question 13.3: नाइट्रोजन नाभिक (\( { }_{7}^{14}\text{N} \)) की बन्धन-ऊर्जा \( \text{MeV} \) में ज्ञात कीजिए। \( m_{\text{N}} = 14.00307\text{ u} \)

Answer:

\( { }_{7}^{14}\text{N} \) नाइट्रोजन का परमाणु द्रव्यमान, \( m = 14.00307\text{ u} \)
एक \( { }_{7}^{14}\text{N} \) नाइट्रोजन नाभिक में \( 7 \) प्रोटॉन और \( 7 \) न्यूट्रॉन होते हैं।
इसलिए, इस नाभिक का द्रव्यमान दोष: \( \Delta m = 7m_{\text{H}} + 7m_{\text{n}} - m \)
जहाँ, प्रोटॉन का द्रव्यमान, \( m_{\text{H}} = 1.007825\text{ u} \)
न्यूट्रॉन का द्रव्यमान, \( m_{\text{n}} = 1.008665\text{ u} \)
\( \Delta m = 7 \times 1.007825 + 7 \times 1.008665 - 14.00307 \)
\( = 7.054775 + 7.06055 - 14.00307 = 0.11236\text{ u} \)
किन्तु \( 1\text{ u} = 931.5\text{ MeV/c}^2 \)
\( \Delta m = 0.11236 \times 931.5\text{ MeV/c}^2 \)
इसलिए, नाभिक की बन्धन ऊर्जा निम्नानुसार दी गई है:
\( E_{\text{b}} = \Delta mc^2 \), जहाँ \( c = \) प्रकाश की गति
\( \therefore E_{\text{b}} = 0.11236 \times 931.5\left(\frac{\text{MeV}}{c^2}\right)c^2 = 104.6634\text{ MeV} \)
इसलिए, एक नाइट्रोजन नाभिक की बन्धन ऊर्जा \( 104.6634\text{ MeV} \) है।

मुख्य बिंदु:

• द्रव्यमान दोष न्यूक्लियनों के कुल द्रव्यमान और नाभिक के वास्तविक द्रव्यमान का अंतर होता है।
• \( 1\text{ u} \) ऊर्जा तुल्यांक \( 931.5\text{ MeV} \) होता है।
• नाइट्रोजन नाभिक में प्रोटॉन व न्यूट्रॉन की संख्या 7-7 होती है।

आम गलतियाँ:

• परमाणु द्रव्यमान में से इलेक्ट्रॉनों के द्रव्यमान को नजरअंदाज करना (जब सीधे प्रोटॉन और न्यूट्रॉन दिए हों)।
• \( 931.5 \) के स्थान पर गलत मान रखना।
• गुणा करते समय मात्रक भूल जाना।

Exam Tips:

a) \( \Delta m \) निकालते समय सभी मानों को ब्रैकेट में सही से हल करें।
b) बन्धन ऊर्जा का सूत्र \( E_{\text{b}} = \Delta m \times 931.5\text{ MeV} \) प्रत्यक्ष रूप से प्रयोग करें।
c) अंतिम परिणाम को \( \text{MeV} \) मात्रक के साथ लिखें।

Question 13.4: निम्नलिखित आँकड़ों के आधार पर \( { }_{26}^{56}\text{Fe} \) एवं \( { }_{83}^{209}\text{Bi} \) नाभिकों की बन्धन-ऊर्जा \( \text{MeV} \) में ज्ञात कीजिए।
\( m({ }_{26}^{56}\text{Fe}) = 55.934939\text{ u} \), \( m({ }_{83}^{209}\text{Bi}) = 208.980388\text{ u} \)

Answer:

\( { }_{26}^{56}\text{Fe} \) का परमाणु द्रव्यमान, \( m_1 = 55.934939\text{ u} \)
\( { }_{26}^{56}\text{Fe} \) नाभिक में \( 26 \) प्रोटॉन और \( (56 - 26) = 30 \) न्यूट्रॉन होते हैं।
इसलिए, नाभिक का द्रव्यमान दोष, \( \Delta m = 26 \times m_{\text{H}} + 30 \times m_{\text{n}} - m_1 \)
जहाँ, प्रोटॉन का द्रव्यमान, \( m_{\text{H}} = 1.007825\text{ u} \)
न्यूट्रॉन का द्रव्यमान, \( m_{\text{n}} = 1.008665\text{ u} \)
\( \Delta m = 26 \times 1.007825 + 30 \times 1.008665 - 55.934939 \)
\( = 26.20345 + 30.25995 - 55.934939 = 0.528461\text{ u} \)
किन्तु, \( 1\text{ u} = 931.5\text{ MeV/c}^2 \)
\( \Delta m = 0.528461 \times 931.5\text{ MeV/c}^2 \)
इस नाभिक की बन्धन ऊर्जा निम्नानुसार है:
\( E_{\text{b}1} = \Delta mc^2 \), जहाँ \( c = \) प्रकाश की गति
\( \therefore E_{\text{b}1} = 0.528461 \times 931.5\left(\frac{\text{MeV}}{c^2}\right)c^2 = 492.26\text{ MeV} \)
प्रति नाभिक में औसत बन्धन ऊर्जा \( = \frac{492.26}{56} = 8.79\text{ MeV} \)
\( { }_{83}^{209}\text{Bi} \) का परमाणु द्रव्यमान, \( m_2 = 208.980388\text{ u} \)
\( { }_{83}^{209}\text{Bi} \) नाभिक में \( 83 \) प्रोटॉन और \( (209 - 83) = 126 \) न्यूट्रॉन होते हैं।
इसलिए, इस नाभिक का द्रव्यमान दोष इस प्रकार है:
\( \Delta m' = 83 \times m_{\text{H}} + 126 \times m_{\text{n}} - m_2 \)
जहाँ, प्रोटॉन का द्रव्यमान, \( m_{\text{H}} = 1.007825\text{ u} \)
न्यूट्रॉन का द्रव्यमान, \( m_{\text{n}} = 1.008665\text{ u} \)
\( \Delta m' = 83 \times 1.007825 + 126 \times 1.008665 - 208.980388 \)
\( = 83.649475 + 127.091790 - 208.980388 = 1.760877\text{ u} \)
किन्तु, \( 1\text{ u} = 931.5\text{ MeV/c}^2 \)
\( \Delta m' = 1.760877 \times 931.5\text{ MeV/c}^2 \)
इसलिए, इस नाभिक की बन्धन ऊर्जा निम्नानुसार दी गई है:
\( E_{\text{b}2} = \Delta m' c^2 = 1.760877 \times 931.5\left(\frac{\text{MeV}}{c^2}\right)c^2 = 1640.26\text{ MeV} \)
अतः, प्रति नाभिक में औसत बन्धन ऊर्जा \( = \frac{1640.26}{209} = 7.848\text{ MeV} \)

मुख्य बिंदु:

• लोहे (\( \text{Fe} \)) और बिस्मथ (\( \text{Bi} \)) दोनों के लिए अलग-अलग द्रव्यमान दोष और बन्धन ऊर्जा निकाली जाती है।
• प्रति न्यूक्लियन औसत बन्धन ऊर्जा निकालने के लिए कुल बन्धन ऊर्जा को द्रव्यमान संख्या (A) से भाग देते हैं।
• \( \text{Fe} \) का स्थायित्व \( \text{Bi} \) की तुलना में अधिक होता है क्योंकि इसकी प्रति न्यूक्लियन बन्धन ऊर्जा अधिक होती है।

आम गलतियाँ:

• प्रोटॉन और न्यूट्रॉन की संख्या निकालने में घटाव की गलती करना।
• औसत बन्धन ऊर्जा निकालते समय कुल द्रव्यमान से भाग देना (जबकि द्रव्यमान संख्या से भाग देना होता है)।
• गुणनफल में दशमलव की स्थिति गलत लगाना।

Exam Tips:

a) दोनों भागों को अलग-अलग शीर्षक या स्पष्ट चरणों में हल करें।
b) प्रत्येक चरण में यूनिट (\( \text{u} \) या \( \text{MeV} \)) अवश्य लिखें।
c) गणना को दो बार जांच लें ताकि सिली मिस्टेक न हो।

Question 13.5: एक दिए गए सिक्के का द्रव्यमान \( 3.0\text{ g} \) है। उस ऊर्जा की गणना कीजिए जो इस सिक्के के सभी न्यूट्रॉनों एवं प्रोटॉनों को एक-दूसरे से अलग करने के लिए आवश्यक हो। सरलता के लिए मान लीजिए कि सिक्का पूर्णतः \( { }_{29}^{63}\text{Cu} \) परमाणु का बना है (\( { }_{29}^{63}\text{Cu} \) का द्रव्यमान \( = 62.92960\text{ u} \))।

Answer:

तांबे के सिक्के का द्रव्यमान, \( m' = 3\text{ g} \)
\( { }_{29}^{63}\text{Cu} \) परमाणु का परमाणु द्रव्यमान, \( m = 62.92960\text{ u} \)
सिक्के में \( { }_{29}^{63}\text{Cu} \) परमाणुओं की कुल संख्या, \( N = \frac{N_{\text{A}} \times m'}{\text{परमाणु द्रव्यमान}} \)
जहाँ, \( N_{\text{A}} = \text{अवॉगाद्रो की संख्या} = 6.023 \times 10^{23}\text{ अणु/g} \) एवं द्रव्यमान संख्या \( = 63\text{ g} \)
\( N = \frac{6.023 \times 10^{23} \times 3}{63} = 2.868 \times 10^{22}\text{ परमाणु} \)
\( { }_{29}^{63}\text{Cu} \) नाभिक में \( 29 \) प्रोटॉन और \( (63 - 29) = 34 \) न्यूट्रॉन होते हैं।
\( \therefore \) इस नाभिक का द्रव्यमान दोष, \( \Delta m' = 29 \times m_{\text{H}} + 34 \times m_{\text{n}} - m \)
जहाँ, प्रोटॉन का द्रव्यमान, \( m_{\text{H}} = 1.007825\text{ u} \)
न्यूट्रॉन का द्रव्यमान, \( m_{\text{n}} = 1.008665\text{ u} \)
\( \Delta m' = 29 \times 1.007825 + 34 \times 1.008665 - 62.9296 \)
\( = 29.227225 + 34.29461 - 62.9296 = 0.592235\text{ u} \)
सिक्के में मौजूद सभी परमाणुओ का द्रव्यमान दोष,
\( \Delta m = 0.592235 \times 2.868 \times 10^{22} = 1.69766958 \times 10^{22}\text{ u} \)
किन्तु, \( 1\text{ u} = 931.5\text{ MeV/c}^2 \)
\( \therefore \Delta m = 1.69766958 \times 10^{22} \times 931.5\text{ MeV/c}^2 \)
इसलिए, सिक्के के नाभिक की बन्धन ऊर्जा निम्नानुसार दी गई है:
\( E_{\text{b}} = \Delta mc^2 = 1.69766958 \times 10^{22} \times 931.5\left(\frac{\text{MeV}}{c^2}\right)c^2 = 1.581 \times 10^{25}\text{ MeV} \)
लेकिन, \( 1\text{ MeV} = 1.6 \times 10^{-13}\text{ J} \)
\( E_{\text{b}} = 1.581 \times 10^{25} \times 1.6 \times 10^{-13} = 2.5296 \times 10^{12}\text{ J} \)
अतः, दिए गए सिक्के से सभी न्यूट्रॉन और प्रोटॉन को अलग करने के लिए इस ऊर्जा की आवश्यकता होती है।

मुख्य बिंदु:

• पहले सिक्के में उपस्थित कुल परमाणुओं की संख्या मॉल संकल्पना से निकाली जाती है।
• एक नाभिक के द्रव्यमान दोष को कुल परमाणुओं की संख्या से गुणा करके कुल द्रव्यमान दोष निकाला जाता है।
• अंत में ऊर्जा को मेगा इलेक्ट्रॉन वोल्ट (\( \text{MeV} \)) से जूल (\( \text{J} \)) में बदला जाता है।

आम गलतियाँ:

• अवॉगाद्रो संख्या या मोलर द्रव्यमान का गलत मान उपयोग करना।
• \( \text{MeV} \) को \( \text{J} \) में बदलते समय घात (exponent) की गलती करना।
• नाभिकीय द्रव्यमान दोष निकालते समय इलेक्ट्रॉनों के द्रव्यमान को छोड़ना या जोड़ना भूल जाना।

Exam Tips:

a) गणना बहुत लंबी है, अतः प्रत्येक चरण को साफ-सुथरा लिखें।
b) वैज्ञानिक संकेतन (scientific notation) का सावधानीपूर्वक प्रयोग करें।
c) अंत में मात्रक जूल (\( \text{J} \)) लिखना अनिवार्य है।

Question 13.6: निम्नलिखित के लिए नाभिकीय समीकरण लिखिए:
(i) \( { }_{88}^{226}\text{Ra} \) का \( \alpha \)-क्षय
(ii) \( { }_{94}^{242}\text{Pu} \) का \( \alpha \)-क्षय
(iii) \( { }_{15}^{32}\text{P} \) का \( \beta^- \)-क्षय
(iv) \( { }_{83}^{210}\text{Bi} \) का \( \beta^- \)-क्षय
(v) \( { }_{6}^{12}\text{C} \) का \( \beta^+ \)-क्षय
(vi) \( { }_{43}^{97}\text{Tc} \) का \( \beta^+ \)-क्षय
(vii) \( { }_{54}^{120}\text{Xe} \) का इलेक्ट्रॉन परिग्रहण

Answer:

A एक हीलियम का एक नाभिक \( { }_{2}^{4}\text{He} \) है और \( \beta \) एक इलेक्ट्रॉन है (\( \beta^- \) के लिए \( \text{e}^- \) तथा \( \beta^+ \) के लिए \( \text{e}^+ \))। प्रत्येक \( \alpha \)-क्षय में, 2 प्रोटॉन और 4 न्यूट्रॉन का नुकसान होता है। हर \( \beta^- \) क्षय में, 1 प्रोटॉन का नुकसान होता है और एक न्यूट्रिनो नाभिक से उत्सर्जित होता है। प्रत्येक \( \beta^+ \) क्षय में, 1 प्रोटॉन का लाभ होता है और एक एंटीन्यूट्रिनो न्यूक्लियस से उत्सर्जित होता है। दिए गए मामलों के लिए, विभिन्न परमाणु प्रतिक्रियाओं को लिखा जा सकता है:
(i) \( { }_{88}^{226}\text{Ra} \rightarrow { }_{86}^{222}\text{Rn} + { }_{2}^{4}\text{He} \)
(ii) \( { }_{94}^{242}\text{Pu} \rightarrow { }_{92}^{238}\text{U} + { }_{2}^{4}\text{He} \)
(iii) \( { }_{15}^{32}\text{P} \rightarrow { }_{16}^{32}\text{S} + \text{e}^- + \overline{\nu} \)
(iv) \( { }_{83}^{210}\text{Bi} \rightarrow { }_{84}^{210}\text{Po} + \text{e}^- + \overline{\nu} \)
(v) \( { }_{6}^{12}\text{C} \rightarrow { }_{5}^{12}\text{B} + \text{e}^+ + \nu \)
(vi) \( { }_{43}^{97}\text{Tc} \rightarrow { }_{42}^{97}\text{Mo} + \text{e}^+ + \nu \)
(vii) \( { }_{54}^{120}\text{Xe} + \text{e}^- \rightarrow { }_{53}^{120}\text{I} + \nu \)

मुख्य बिंदु:

• \( \alpha \)-क्षय में परमाणु क्रमांक में 2 की तथा द्रव्यमान संख्या में 4 की कमी होती है।
• \( \beta^- \) क्षय में परमाणु क्रमांक 1 से बढ़ता है तथा प्रतिन्यूट्रिनो (\( \overline{\nu} \)) निकलता है।
• \( \beta^+ \) क्षय या इलेक्ट्रॉन परिग्रहण में परमाणु क्रमांक 1 से घटता है तथा न्यूट्रिनो (\( \nu \)) निकलता है।

आम गलतियाँ:

• समीकरण के दोनों ओर द्रव्यमान संख्या और परमाणु क्रमांक का संतुलन न रखना।
• प्रतिन्यूट्रिनो और न्यूट्रिनो को आपस में बदल देना।
• इलेक्ट्रॉन परिग्रहण में तीर के बाईं ओर इलेक्ट्रॉन जोड़ना भूल जाना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक समीकरण लिखने के बाद परमाणु क्रमांक और द्रव्यमान संख्या का योग दोनों पक्षों में जांच लें।
b) उप-भागों (i) से (vii) को स्पष्ट रूप से अलग-अलग पंक्ति में लिखें।
c) क्षय के प्रकार के अनुसार सही कणों (\( \text{He}, \text{e}^-, \text{e}^+, \nu, \overline{\nu} \)) का चयन करें।

Question 13.7: एक रेडियोएक्टिव समस्थानिक की अर्द्धआयु T वर्ष है। कितने समय के बाद इसकी ऐक्टिवता, प्रारम्भिक ऐक्टिवता की (a) \( 3.125\% \), तथा (b) \( 1\% \) रह जाएगी।

Answer:

रेडियोधर्मी समस्थानिक का अर्द्धआयु \( = T \) वर्ष है और रेडियोधर्मी समस्थानिक की मूल मात्रा \( = N_0 \)
(a) क्षय के बाद, रेडियोधर्मी आइसोटोप की मात्रा \( = N \)
यह प्रश्न में दिया गया है कि क्षय के बाद का \( N_0 \) केवल \( 3.125\% \) ही रहता है। इसलिए, हम लिख सकते हैं:
\( \frac{N}{N_0} = 3.125\% = \frac{3.125}{100} = \frac{1}{32} \) किन्तु \( \frac{N}{N_0} = e^{-\lambda t} \)
जहाँ, \( \lambda = \) क्षय स्थिरांक, \( t = \) समय
\( \Rightarrow -\lambda t = \ln \left(\frac{1}{32}\right) = -\ln 32 \Rightarrow -\lambda t = 0-3.4657 \Rightarrow t = \frac{3.4657}{\lambda} \)
इसलिए, \( \lambda = \frac{0.693}{T} \Rightarrow t = \frac{3.4657}{\frac{0.693}{T}} = 5T \) वर्ष
इसलिए, समस्थानिक को अपने मूल मूल्य के \( 3.125\% \) तक कम करने में लगभग \( 5T \) साल लगेंगे।
(b) क्षय के बाद, रेडियोधर्मी समस्थानिक की मात्रा \( = N \)
यह दिया गया है कि क्षय के बाद \( N_0 \) का केवल \( 1\% \) रहता है। इसलिए, \( \frac{N}{N_0} = 1\% = \frac{1}{100} \)
किन्तु, \( \frac{N}{N_0} = e^{-\lambda t} \)
\( \therefore e^{-\lambda t} = \frac{1}{100} \Rightarrow -\lambda t = \ln 1 - \ln 100 \Rightarrow -\lambda t = -4.6052 \Rightarrow t = \frac{4.6052}{\lambda} \)
इसलिए, \( \lambda = \frac{0.693}{T} \Rightarrow t = \frac{4.6052}{\frac{0.693}{T}} = 6.645T \) वर्ष
इसलिए, समस्थानिक को अपने मूल मूल्य का \( 1\% \) कम करने में लगभग \( 6.645\text{ T} \) साल लगेंगे।

मुख्य बिंदु:

• रेडियोएक्टिव क्षय नियम \( N = N_0 e^{-\lambda t} \) का उपयोग किया जाता है।
• \( \lambda \) और अर्द्धआयु \( T \) में संबंध \( \lambda = \frac{0.693}{T} \) होता है।
• प्रतिशत मान को भिन्न में बदलकर प्राकृतिक लघुगणक (\( \ln \)) का प्रयोग करते हैं।

आम गलतियाँ:

• लॉगरिथम लेते समय ऋण चिन्ह (-) की उपेक्षा करना।
• \( 3.125\% \) को \( \frac{1}{32} \) के रूप में न पहचान पाना।
• सूत्र में \( t \) और \( T \) के बीच का संबंध उल्टा रख देना।

Exam Tips:

a) दोनों भागों (a) और (b) को अलग-अलग हल करें।
b) लॉगरिथम के मानों को सही से प्रतिस्थापित करें।
c) उत्तर को 'T' के पदों में ही व्यक्त करें।

Question 13.8: जीवित कार्बनयुक्त द्रव्य की सामान्य ऐक्टिवता, प्रति ग्राम कार्बन के लिए 15 क्षय प्रति मिनट है। यह ऐक्टिवता, स्थायी समस्थानिक \( {}^{14}\text{C} \) के साथ-साथ अल्प मात्रा में विद्यमान रेडियोऐक्टिव \( {}^{12}\text{C} \) के कारण होती है। जीव की मृत्यु होने पर वायुमण्डल के साथ इसकी अन्योन्य क्रिया (जो उपर्युक्त संतुलित ऐक्टिवता को बनाए रखती है) समाप्त हो जाती है तथा इसकी ऐक्टिवता कम होनी शुरू हो जाती है। \( {}^{14}\text{C} \) की ज्ञात अर्द्धआयु (5730 वर्ष) और नमूने की मापी गई ऐक्टिवता के आधार पर इसकी सक्रिय आयु की गणना की जा सकती है। यहाँ पुरातत्व विज्ञान में प्रयुक्त होने वाली \( {}^{14}\text{C} \) काल निर्धारण (dating) पद्धति का सिद्धान्त है। यह मानकर कि मोहनजोदड़ो से प्राप्त किसी नमूने की ऐक्टिवता 9 क्षय प्रति मिनट प्रति ग्राम कार्बन है। सिन्धु घाटी सभ्यता की सक्रिय आयु का आकलन कीजिए।

Answer:

जीवित कार्बन युक्त पदार्थ की क्षय दर, \( R = 15 \) क्षय/मिनट
मानाएक सामान्य कार्बन युक्त पदार्थ में मौजूद रेडियोधर्मी परमाणुकों की संख्या \( N \) है।
\( {}^{14}\text{C} \) अर्द्धआयु, \( T_{1/2} = 5730 \) वर्ष
मोहनजोदड़ो से प्राप्त नमूने की क्षय दर: \( R' = 9 \) क्षय/मिनट
माना कि मोहनजोदड़ो काल के नमूने में मौजूद रेडियोधर्मी परमाणुओं की संख्या \( N' \) थी।
इसलिए, हम क्षय स्थिरांक, \( \lambda \) और समय को संबंधित करते हैं:
\( \Rightarrow \frac{N}{N'} = \frac{R}{R'} \Rightarrow e^{-\lambda t} = \frac{R}{R'} \Rightarrow e^{-\lambda t} = \frac{9}{15} \Rightarrow -\lambda t = \log_e \frac{3}{5} = -0.5108 \Rightarrow t = \frac{0.5108}{\lambda} \)
किन्तु, \( \lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{5730} \Rightarrow t = \frac{0.5108}{\frac{0.693}{5730}} = 4223.5 \) साल
इसलिए, सिंधु-घाटी सभ्यता की अनुमानित आयु \( 4223.5 \) वर्ष है।

मुख्य बिंदु:

• क्षय दर (\( R \)) परमाणुओं की संख्या (\( N \)) के समानुपाती होती है, अतः \( \frac{N}{N'} = \frac{R}{R'} \) होता है।
• कार्बन डेटिंग पुरातात्विक नमूनों की आयु ज्ञात करने की एक मानक विधि है।
• \( \lambda \) का मान अर्द्धआयु की सहायता से निकाला जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( R \) और \( R' \) के मानों को उल्टा रख देना।
• प्राकृतिक लघुगणक (\( \ln \) या \( \log_e \)) को सामान्य \( \log_{10} \) में बदलते समय आधार परिवर्तन भूल जाना।
• इकाई (वर्ष और मिनट) में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) रेडियोएक्टिव क्षय समीकरण को सीधे क्षय दरों के पदों में प्रयोग करें।
b) लॉगरिथम की गणना सावधानीपूर्वक करें।
c) अंत में आयु को वर्षों में स्पष्ट लिखें।

Question 13.9: \( 8.0\text{ mCi} \) सक्रियता का रेडियोऐक्टिव स्रोत प्राप्त करने के लिए \( { }_{27}^{60}\text{Co} \) की कितनी मात्रा की आवश्यकता होगी? \( { }_{27}^{60}\text{Co} \) की अर्द्धआयु 5.3 वर्ष है।

Answer:

रेडियोधर्मी स्रोत की सक्रियता: \( -\frac{dN}{dt} = 8.0\text{ mCi} = 8 \times 10^{-3} \times 3.7 \times 10^{10} = 29.6 \times 10^7 \) क्षय/से०
जहाँ, \( N = \) आवश्यक परमाणुओं की संख्या
\( { }_{27}^{60}\text{Co} \) की अर्द्धआयु, \( T_{1/2} = 5.3 \) वर्ष \( = 5.3 \times 365 \times 24 \times 60 \times 60 = 1.67 \times 10^8\text{ s} \)
क्षय स्थिरांक \( \lambda \) के लिए, हमारे पास क्षय की दर इस प्रकार है: \( -\frac{dN}{dt} = \lambda N \)
जहाँ, \( \lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{1.67 \times 10^8}\text{ s}^{-1} \)
\( \therefore N = \frac{1}{\lambda} \frac{dN}{dt} = \frac{29.6 \times 10^7}{\frac{0.693}{1.67 \times 10^8}} = 7.133 \times 10^{16} \text{ परमाणु} \)
\( { }_{27}^{60}\text{Co} \) के लिए, परमाणुओं का द्रव्यमान \( = 60\text{ g}, 6.023 \times 10^{23} \) (अवॉगाद्रो की संख्या)
\( \therefore 7.133 \times 10^{16} \) परमाणुओं का द्रव्यमान \( = \frac{60 \times 7.133 \times 10^{16}}{6.023 \times 10^{23}} = 7.106 \times 10^{-6}\text{ g} \)
इसलिए, उद्देश्य के लिए आवश्यक \( { }_{27}^{60}\text{Co} \) की मात्रा \( 7.106 \times 10^{-6}\text{ g} \) है।

मुख्य बिंदु:

• सक्रियता \( R = \lambda N \) का सूत्र प्रयोग किया जाता है।
• \( 1\text{ mCi} = 3.7 \times 10^7\text{ disintegrations/second} \) होता है।
• अर्द्धआयु को सेकण्ड में बदलना आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• \( \text{mCi} \) (मिलिक्यूरी) को क्यूरी या बेस यूनिट में बदलते समय घात की गलती करना।
• वर्ष को सेकण्ड में बदलते समय दिनों या घंटों की संख्या छोड़ देना।
• द्रव्यमान निकालते समय अवॉगाद्रो संख्या से भाग देना भूल जाना।

Exam Tips:

a) सक्रियता को हमेशा एसआई मात्रक (क्षय/सेकण्ड) में बदलें।
b) समय को सेकण्ड में बदलने के चरण अलग से दिखाएं।
c) द्रव्यमान का मात्रक ग्राम (\( \text{g} \)) में स्पष्ट लिखें।

Question 13.10: \( { }_{38}^{90}\text{Sr} \) की अर्द्धआयु 28 वर्ष है। इस समस्थानिक के \( 15\text{ mg} \) की विघटन दर क्या है?

Answer:

\( { }_{38}^{90}\text{Sr} \) की अर्द्धआयु \( t_{1/2} = 28 \) वर्ष \( = 28 \times 365 \times 24 \times 60 \times 60 = 8.83 \times 10^8\text{ s} \)
समस्थानिक का द्रव्यमान, \( m = 15\text{ mg} \)
\( 90\text{ g} \) में \( { }_{38}^{90}\text{Sr} \) परमाणुओ की संख्या \( 6.023 \times 10^{23} \) (अवॉगाद्रो संख्या) है।
इसलिए, \( 15\text{ mg} \) में \( { }_{38}^{90}\text{Sr} \) परमाणुओ की संख्या \( = \frac{6.023 \times 10^{23} \times 15 \times 10^{-3}}{90} = 1.0038 \times 10^{20} \)
विघटन की दर, \( -\frac{dN}{dt} = \lambda N \)
जहाँ, \( \lambda = \text{क्षय स्थिरांक} = \frac{0.693}{8.83 \times 10^8}\text{ s}^{-1} \)
इसलिए, \( -\frac{dN}{dt} = \frac{0.693 \times 1.0038 \times 10^{20}}{8.83 \times 10^8} = 7.878 \times 10^{10} \text{ परमाणु/से०} \)
इसलिए, दिए गए समस्थानिक के \( 15\text{ mg} \) की विघटन दर \( 7.878 \times 10^{10} \text{ परमाणु/से०} \) है।

मुख्य बिंदु:

• विघटन दर का अर्थ सक्रियता (\( R = \lambda N \)) ज्ञात करना है।
• मिलीग्राम (\( \text{mg} \)) को ग्राम में बदलने के लिए \( 10^{-3} \) से गुणा करते हैं।
• समय को वर्षों से सेकण्ड में बदलना अनिवार्य है।

आम गलतियाँ:

• मिलीग्राम को ग्राम में न बदलना।
• \( \lambda \) निकालते समय अर्द्धआयु को वर्ष में ही छोड़ देना।
• गणना में घातों का सही संयोजन न करना।

Exam Tips:

a) प्रश्न में दिए गए द्रव्यमान की इकाई पर विशेष ध्यान दें।
b) सूत्र स्पष्ट रूप से लिखकर मान रखें।
c) विघटन दर का मात्रक 'परमाणु/सेकण्ड' या 'बेकुरल' लिखें।

Question 13.11: स्वर्ण के समस्थानिक \( { }_{79}^{197}\text{Au} \) एवं रजत के समस्थानिक \( { }_{47}^{107}\text{Ag} \) की नाभिकीय त्रिज्या के अनुपात का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

स्वर्ण के समस्थानिक \( { }_{79}^{197}\text{Au} \) की नाभिकीय त्रिज्या \( = R_{\text{Au}} \)
चांदी के समस्थानिक \( { }_{47}^{107}\text{Ag} \) की नाभिकीय त्रिज्या \( = R_{\text{Ag}} \)
स्वर्ण की द्रव्यमान संख्या, \( A_{\text{Au}} = 197 \)
चांदी की द्रव्यमान संख्या, \( A_{\text{Ag}} = 107 \)
दो नाभिकों की त्रिज्या का अनुपात उनके द्रव्यमान संख्याओं से निम्न प्रकार से संबंधित है:
\( \frac{R_{\text{Au}}}{R_{\text{Ag}}} = \left(\frac{R_0 A_{\text{Au}}^{1/3}}{R_0 A_{\text{Ag}}^{1/3}}\right) = \left(\frac{197}{107}\right)^{1/3} = 1.2256 \)
इसलिए, सोने और चांदी के समस्थानिक के परमाणु त्रिज्याओं का अनुपात लगभग \( 1.23 \) है।

मुख्य बिंदु:

• नाभिकीय त्रिज्या का सूत्र \( R = R_0 A^{1/3} \) होता है, जहाँ \( R_0 \) नियतांक है।
• त्रिज्या का अनुपात निकालने पर \( R_0 \) आपस में कट जाता है।
• यह अनुपात केवल द्रव्यमान संख्याओं के घनमूल (\( 1/3 \) घात) पर निर्भर करता है।

आम गलतियाँ:

• द्रव्यमान संख्या के स्थान पर परमाणु क्रमांक (\( Z \)) का उपयोग करना।
• घनमूल (\( 1/3 \) घात) निकालने में भूल करना।
• अनुपात को उल्टा लिख देना।

Exam Tips:

a) त्रिज्या का सूत्र पहले लिखकर दिखाएं कि \( R_0 \) कैसे कट जाता है।
b) लघुगणक या कैलकुलेटर की सहायता से घनमूल सही निकालें।
c) अनुपात मात्रकहीन होता है, अतः इसके साथ कोई इकाई न लिखें।

Question 13.12: (a) \( { }_{88}^{226}\text{Ra} \), (b) \( { }_{86}^{222}\text{Rn} \) नाभिकों के \( \alpha \)-क्षय में उत्सर्जित \( \alpha \)-कणों का \( Q \)-मान एवं गतिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए।
दिया है: \( m({ }_{88}^{226}\text{Ra}) = 226.02540\text{ u} \), \( m({ }_{86}^{222}\text{Rn}) = 222.01750\text{ u} \)
\( m({ }_{84}^{216}\text{Po}) = 216.00189\text{ u} \), \( m({ }_{2}^{4}\text{He}) = 4.002603\text{ u} \)

Answer:

(a) \( { }_{88}^{226}\text{Ra} \) का अल्फा कण क्षय एक हीलियम नाभिक का उत्सर्जन करता है। परिणामस्वरूप, इसकी द्रव्यमान संख्या घटकर \( (226 - 4)222 \) हो जाती है और इसकी परमाणु संख्या घटकर \( (88 - 2)86 \) हो जाती है। इसे निम्नलिखित परमाणु प्रतिक्रिया में दिखाया गया है:
\( { }_{88}^{226}\text{Ra} \rightarrow { }_{86}^{222}\text{Rn} + { }_{2}^{4}\text{He} \)
उत्सर्जित \( \alpha \)-कण का \( Q \)-मान \( = (\text{प्रारंभिक द्रव्यमान का योग} - \text{अंतिम द्रव्यमान का योग})c^2 \)
जहाँ, \( c = \) प्रकाश की गति
यह दिया गया है कि:
\( m({ }_{88}^{226}\text{Ra}) = 226.02540\text{ u} \)
\( m({ }_{86}^{222}\text{Rn}) = 222.01750\text{ u} \)
\( m({ }_{2}^{4}\text{He}) = 4.002603\text{ u} \)
\( Q-\text{मान} = [226.02540 - (222.01750 + 4.002603)]\text{ u} \)
\( c^2 = 0.005297\text{ u } c^2 \)
किन्तु, \( 1\text{ u} = 931.5\text{ MeV/c}^2 \)
\( \therefore Q = 0.005297 \times 931.5 \approx 4.94\text{ MeV} \)
\( \alpha \)-कण की गतिज ऊर्जा \( = \frac{\text{क्षय के बाद द्रव्यमान संख्या}}{\text{क्षय से पहले द्रव्यमान संख्या}} \times Q = \frac{222}{226} \times 4.94 = 4.85\text{ MeV} \)
(b) \( { }_{86}^{222}\text{Rn} \) का अल्फा कण क्षय:
\( { }_{86}^{222}\text{Rn} \rightarrow { }_{84}^{216}\text{Po} + { }_{2}^{4}\text{He} \)
यह दिया गया है कि: \( { }_{86}^{222}\text{Rn} \) का द्रव्यमान \( = 220.01137\text{ u} \) और \( { }_{84}^{216}\text{Po} \) का द्रव्यमान \( = 216.00189\text{ u} \)
\( \therefore Q-\text{मान} = [220.01137 - (216.00189 + 4.002603)] \times 931.5 \approx 6.41\text{ MeV} \)
\( \alpha \)-कण की गतिज ऊर्जा \( = \left(\frac{220 - 4}{220}\right) \times 6.41 = 6.29\text{ MeV} \)

मुख्य बिंदु:

• \( Q \)-मान प्रतिक्रिया में मुक्त होने वाली कुल ऊर्जा को दर्शाता है।
• गतिज ऊर्जा और \( Q \)-मान में थोड़ा अंतर होता है क्योंकि पुत्री नाभिक को भी कुछ प्रतिक्षेप ऊर्जा (recoil energy) मिलती है।
• द्रव्यमान क्षति को \( 931.5\text{ MeV} \) से गुणा करके \( Q \) मान निकाला जाता है।

आम गलतियाँ:

• उत्पादों के द्रव्यमान को जोड़ते समय गलती करना।
• गतिज ऊर्जा निकालते समय द्रव्यमान संख्याओं के अनुपात का सही उपयोग न करना।
• \( Q \)-मान को ही सीधे अल्फा कण की गति मान लेना।

Exam Tips:

a) दोनों भागों (a) और (b) के लिए समीकरण लिखकर शुरुआत करें।
b) द्रव्यमान अंतर को स्पष्ट रूप से कोष्ठक में हल करें।
c) गतिज ऊर्जा के लिए द्रव्यमान संख्या का अनुपात वाला सूत्र अवश्य प्रयोग करें।

Question 13.13: रेडियोन्यूक्लाइड \( { }_{6}^{11}\text{C} \) का क्षय निम्नलिखित समीकरण के अनुसार होता है,
\( { }_{6}^{11}\text{C} \rightarrow { }_{5}^{11}\text{B} + \text{e}^+ + \nu \); \( T_{1/2} = 20.3 \) मिनट
उत्सर्जित पॉजिट्रॉन की अधिकतम ऊर्जा \( 0.960\text{ MeV} \) है। द्रव्यमानों के निम्नलिखित मान दिए गए हैं:
\( m({ }_{6}^{11}\text{C}) = 11.011434\text{ u} \) तथा \( m({ }_{5}^{11}\text{B}) = 11.009305\text{ u} \)

Answer:

दिए गए मान हैं: \( m({ }_{6}^{11}\text{C}) = 11.011434\text{ u} \) और \( m({ }_{5}^{11}\text{B}) = 11.009305\text{ u} \)
दी गई परमाणु अभिक्रिया है: \( { }_{6}^{11}\text{C} \rightarrow { }_{5}^{11}\text{B} + \text{e}^+ + \nu \)
\( { }_{6}^{11}\text{C} \) नाभिक की अर्द्धआयु, \( T_{1/2} = 20.3 \) मिनट
उत्सर्जित पॉजिट्रॉन के पास अधिकतम ऊर्जा \( = 0.960\text{ MeV} \)
\( { }_{6}^{11}\text{C} \) के परमाणु द्रव्यमान के \( Q \)-मान में परिवर्तन(\( \Delta Q \))
\( \Delta Q = [m'({ }_{6}^{11}\text{C}) - \{m'({ }_{5}^{11}\text{B}) + m_e\}]c^2 \)
जहाँ, \( m_e = \) एक इलेक्ट्रॉन या पॉजिट्रॉन का द्रव्यमान \( = 0.000548\text{ u} \)
\( c = \) प्रकाश की गति और \( m' = \) प्रतिक्रियाशील परमाणु द्रव्यमान
अगर नाभिकीय द्रव्यमान के बजाय परमाणु द्रव्यमान का उपयोग किया जाता है, तो हमें \( { }_{6}^{11}\text{C} \) के मामले में \( 6 m_e \) जोड़ना पड़ेगा और \( { }_{5}^{11}\text{B} \) के मामले में \( 5 m_e \) जोड़ना होगा。
इसलिए, समीकरण (1) लिख सकते हैं: \( \Delta Q = [m({ }_{6}^{11}\text{C}) - m({ }_{5}^{11}\text{B}) - 2m_e]c^2 \)
यहाँ, \( m({ }_{6}^{11}\text{C}) \) और \( m({ }_{5}^{11}\text{B}) \) परमाणु द्रव्यमान हैं。
\( \therefore \Delta Q = [11.011434 - 11.009305 - 2 \times 0.000548]c^2 = (0.001033\text{ u}) c^2 \)
किन्तु, \( 1\text{ u} = 931.5\text{ MeV/c}^2 \)
\( \therefore \Delta Q = 0.001033 \times 931.5 \approx 0.962\text{ MeV} \)
अतः, \( Q \) का मान उत्सर्जित पॉजिट्रॉन की अधिकतम ऊर्जा के लगभग बराबर है।

मुख्य बिंदु:

• परमाणु द्रव्यमान दिए होने पर इलेक्ट्रॉनों के द्रव्यमान (\( m_e \) या \( 2m_e \)) का समायोजन करना पड़ता है।
• \( \beta^+ \) क्षय में कुल दो इलेक्ट्रॉनों के द्रव्यमान का अंतर आता है।
• \( Q \)-मान लगभग पॉजिट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर होता है।

आम गलतियाँ:

• परमाणु द्रव्यमान और नाभिकीय द्रव्यमान के अंतर को नजरअंदाज करना।
• \( 2m_e \) के स्थान पर केवल \( m_e \) घटाना।
• ऊर्जा रूपांतरण में \( 931.5 \) का सही उपयोग न करना।

Exam Tips:

a) परमाणु द्रव्यमान से नाभिकीय द्रव्यमान में बदलने का नियम स्पष्ट लिखें।
b) \( \Delta Q \) की गणना चरणबद्ध तरीके से दिखाएं।
c) अंत में तुलना करके बताएं कि परिणाम सैद्धांतिक रूप से मेल खाता है।

Question 13.14: \( { }_{10}^{23}\text{Ne} \) का नाभिक, \( \beta^- \)-उत्सर्जन के साथ क्षयित होता है। इस \( \beta \)-क्षय के लिए समीकरण लिखिए और उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए।
\( m({ }_{10}^{23}\text{Ne}) = 22.994466\text{ u} \); \( m({ }_{11}^{23}\text{Na}) = 22.989770\text{ u} \)

Answer:

\( \beta^- \)-उत्सर्जन में, प्रोटॉन की संख्या 1 बढ़ जाती है, और एक इलेक्ट्रॉन और एक एंटीन्यूट्रिनो मूल नाभिक से उत्सर्जित होते हैं। \( { }_{10}^{23}\text{Ne} \) का \( \beta^- \) नाभिक का उत्सर्जन:
\( { }_{10}^{23}\text{Ne} \rightarrow { }_{11}^{23}\text{Na} + \text{e}^- + \overline{\nu} + Q \)
यह दिया गया है कि: \( m({ }_{10}^{23}\text{Ne}) \) का परमाणु द्रव्यमान \( = 22.994466\text{ u} \)
\( m({ }_{11}^{23}\text{Na}) \) का परमाणु द्रव्यमान \( = 22.989770\text{ u} \)
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान, \( m_e = 0.000548\text{ u} \)
दिए गए प्रतिक्रिया का \( Q \)-मान इस प्रकार है: \( Q = [m({ }_{10}^{23}\text{Ne}) - \{m({ }_{11}^{23}\text{Na}) + m_e\}] c^2 \)
\( { }_{10}^{23}\text{Ne} \) में 10 इलेक्ट्रॉन और \( { }_{11}^{23}\text{Na} \) में 11 इलेक्ट्रॉन होते हैं। इसलिए, \( Q \)-मान समीकरण में इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान रद्द कर दिया जाता है।
इस प्रकार, \( Q = [22.994466 - 22.989770]c^2 = (0.004696\text{ u}) c^2 \)
किन्तु, \( 1\text{ u} = 931.5\text{ MeV/c}^2 \)
\( \therefore \Delta Q = 0.004696 \times 931.5 = 4.374\text{ MeV} \)
\( \text{e}^- \) और \( \overline{\nu} \) की तुलना में संतति नाभिक बहुत भारी है। इसलिए, यह नगण्य ऊर्जा वहन करती है। एंटीन्यूट्रिनो की गतिज ऊर्जा लगभग शून्य है। इसलिए, उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा लगभग \( Q \)-मूल्य के बराबर अर्थात, \( 4.374\text{ MeV} \) है।

मुख्य बिंदु:

• \( \beta^- \) क्षय में परमाणु क्रमांक 1 से बढ़ता है (\( \text{Ne} \) से \( \text{Na} \))।
• इस क्षय में इलेक्ट्रॉनों की संख्या दोनों पक्षों में समान होने के कारण \( m_e \) का प्रभाव रद्द हो जाता है।
• अधिकतम गतिज ऊर्जा लगभग कुल \( Q \)-मान के बराबर होती है।

आम गलतियाँ:

• \( \beta^- \) और \( \beta^+ \) क्षय में अंतर न समझना और गलत द्रव्यमान संबंध लगाना।
• \( Q \)-मान निकालते समय घटाव में गलती करना।
• अंतिम उत्तर में मात्रक न लिखना।

Exam Tips:

a) अभिक्रिया समीकरण लिखकर शुरुआत करें।
b) स्पष्ट करें कि \( \beta^- \) क्षय में इलेक्ट्रॉनों के द्रव्यमान कैसे निरस्त होते हैं।
c) अधिकतम गतिज ऊर्जा को स्पष्ट रूप से \( \text{MeV} \) में दर्शाएं।

Question 13.15: किसी नाभिकीय अभिक्रिया \( A + b \rightarrow C + d \) का \( Q \)-मान निम्नलिखित समीकरण द्वारा परिभाषित होता है:
\( Q = [m_a + m_b - m_c - m_d]c^2 \)
जहाँ दिए गए द्रव्यमान, नाभिकीय विराम द्रव्यमान (rest mass) हैं। दिए गए आँकड़ों के आधार पर बताइए कि निम्नलिखित अभिक्रियाएँ ऊष्माक्षेपी हैं या ऊष्माशोषी।
(i) \( { }_{1}^{2}\text{H} + { }_{1}^{3}\text{H} \rightarrow { }_{2}^{4}\text{He} + { }_{0}^{1}\text{n} \)
(ii) \( { }_{6}^{12}\text{C} + { }_{6}^{12}\text{C} \rightarrow { }_{10}^{20}\text{Ne} + { }_{2}^{4}\text{He} \)
दिए गए परमाणु द्रव्यमान इस प्रकार हैं:
\( m({ }_{1}^{2}\text{H}) = 2.014102\text{ u} \)
\( m({ }_{1}^{3}\text{H}) = 3.016049\text{ u} \)
\( m({ }_{6}^{12}\text{C}) = 12.000000\text{ u} \)
\( m({ }_{10}^{20}\text{Ne}) = 19.992439\text{ u} \)
\( m({ }_{2}^{4}\text{He}) = 4.002603\text{ u} \)
\( m({ }_{0}^{1}\text{n}) = 1.008665\text{ u} \)

Answer:

(i) दी गई परमाणु प्रतिक्रिया है:
यह दिया गया है कि: \( { }_{1}^{2}\text{H} + { }_{1}^{3}\text{H} \rightarrow { }_{2}^{4}\text{He} + { }_{0}^{1}\text{n} \)
\( m({ }_{1}^{2}\text{H}) \) कापरमाणुद्रव्यमान \( = 1.007825\text{ u} \) (प्रोटॉन का द्रव्यमान)
\( m({ }_{1}^{3}\text{H}) \) कापरमाणुद्रव्यमान \( = 3.016049\text{ u} \)
\( m({ }_{1}^{2}\text{H}) \) कापरमाणुद्रव्यमान \( = 2.014102\text{ u} \)
प्रश्न के अनुसार, प्रतिक्रिया का \( Q \)-मान इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( \Rightarrow Q = [m({ }_{1}^{2}\text{H}) + m({ }_{1}^{3}\text{H}) - 2m({ }_{1}^{2}\text{H})]c^2 = [1.007825 + 3.016049 - 2 \times 2.014102]c^2 \)
\( \Rightarrow Q = (-0.00433\text{ c}^2)\text{ u} \)
किन्तु \( 1\text{ u} = 931.5\text{ MeV/c}^2 \)
\( \therefore Q = 0.00433 \times 931.5 = -4.0334\text{ MeV} \)
प्रतिक्रिया का ऋणात्मक \( Q \)-मूल्य दर्शाता है कि प्रतिक्रिया ऊष्माशोषी है।
(ii) दी गई परमाणु प्रतिक्रिया है: \( { }_{6}^{12}\text{C} + { }_{6}^{12}\text{C} \rightarrow { }_{10}^{20}\text{Ne} + { }_{2}^{4}\text{He} \)
दिया है कि:
\( m({ }_{6}^{12}\text{C}) \) का द्रव्यमान \( = 12.0\text{ u} \)
\( m({ }_{10}^{20}\text{Ne}) \) का द्रव्यमान \( = 19.992439\text{ u} \)
\( m({ }_{2}^{4}\text{He}) \) का द्रव्यमान \( = 4.002603\text{ u} \)
इस प्रतिक्रिया का \( Q \)-मान निम्नानुसार दिया गया है:
\( \Rightarrow Q = [2m({ }_{6}^{12}\text{C}) - m({ }_{10}^{20}\text{Ne}) - m({ }_{2}^{4}\text{He})]c^2 = [2 \times 12.0 - 19.992439 - 4.002603]c^2 \)
\( \Rightarrow Q = (0.004958c^2)\text{ u} = 0.004958 \times 931.5 = 4.618377\text{ MeV} \)
प्रतिक्रिया का धनात्मक \( Q \)-मान दर्शाता है कि प्रतिक्रिया ऊष्माक्षेपी है।

मुख्य बिंदु:

• यदि \( Q \)-मान धनात्मक (\( + \)) हो, तो अभिक्रिया ऊष्माक्षेपी (exothermic) होती है।
• यदि \( Q \)-मान ऋणात्मक (\( - \)) हो, तो अभिक्रिया ऊष्माशोषी (endothermic) होती है।
• अभिकारक द्रव्यमानों के योग में से उत्पाद द्रव्यमानों के योग को घटाया जाता है।

आम गलतियाँ:

• उत्पादों और अभिकारकों के द्रव्यमानों का क्रम उलट देना।
• \( Q \) के धनात्मक या ऋणात्मक चिह्न से ऊष्माक्षेपी/ऊष्माशोषी का निर्णय गलत लिखना।
• दशमलव और गुणा की गणना में चूक करना।

Exam Tips:

a) दोनों उप-भागों में द्रव्यमान अंतर को स्पष्ट कोष्ठk में दिखाएं।
b) अंत में 'ऊष्माक्षेपी' या 'ऊष्माशोषी' शब्द स्पष्ट रूप से लिखें।
c) \( Q \) मान का मात्रक \( \text{MeV} \) अवश्य लिखें।

Question 13.16: माना कि हम \( { }_{26}^{56}\text{Fe} \) नाभिक के दो समान अवयवों \( { }_{13}^{28}\text{Al} \) में विखण्डन पर विचार करें। क्या ऊर्जा की दृष्टि से यह विखण्डन सम्भव है? इस प्रक्रम का \( Q \)-मान ज्ञात करके अपना तर्क प्रस्तुत करें。
दिया है: \( m({ }_{26}^{56}\text{Fe}) = 55.93494\text{ u} \) एवं \( m({ }_{13}^{28}\text{Al}) = 27.98191\text{ u} \)

Answer:

\( { }_{26}^{56}\text{Fe} \) के विखंडन को निरूपण में दिया जा सकता है: \( { }_{26}^{56}\text{Fe} \rightarrow 2{ }_{13}^{28}\text{Al} \)
यह दिया गया है कि: \( m({ }_{26}^{56}\text{Fe}) \) का परमाणु द्रव्यमान \( = 55.93494\text{ u} \)
\( m({ }_{13}^{28}\text{Al}) \) का परमाणु द्रव्यमान \( = 27.98191\text{ u} \)
इस परमाणु अभिक्रिया का \( Q \)-मान इस प्रकार है:
\( Q = [m({ }_{26}^{56}\text{Fe}) - 2m({ }_{13}^{28}\text{Al})]c^2 = [55.93494 - 2 \times 27.98191]c^2 = (0.02888c^2)\text{ u} \)
किन्तु, \( 1\text{ u} = 931.5\text{ MeV/c}^2 \)
\( \therefore Q = -0.02888 \times 931.5 = -26.902\text{ MeV} \)
विखंडन का \( Q \)-मान ऋणात्मक होता है। इसलिए, ऊर्जा की दृष्टि से विखंडन संभव नहीं है। ऊर्जा की दृष्टि से संभव विखंडन प्रक्रिया के लिए, \( Q \)-मान सकारात्मक होना चाहिए।

मुख्य बिंदु:

• नाभिकीय विखंडन तभी स्वतः संभव होता है जब \( Q \)-मान धनात्मक हो (यानी ऊर्जा मुक्त हो)।
• यदि \( Q \)-मान ऋणात्मक आता है, तो प्रक्रिया के लिए बाहर से ऊर्जा देनी पड़ेगी।
• लोहे (\( \text{Fe} \)) का नाभिक बहुत स्थायी होता है, इसलिए यह आसानी से विखंडित नहीं होता।

आम गलतियाँ:

• \( 2m({ }_{13}^{28}\text{Al}) \) करते समय 2 से गुणा करना भूल जाना।
• ऋणात्मक \( Q \)-मान आने पर भी विखंडन को संभव बता देना।
• मात्रक \( \text{MeV} \) न लिखना।

Exam Tips:

a) अभिक्रिया समीकरण लिखकर प्रारंभ करें।
b) \( Q \) मान के ऋणात्मक आने के कारण को निष्कर्ष में जरूर लिखें।
c) तर्क स्पष्ट दें कि ऋणात्मक \( Q \) का अर्थ है कि ऊर्जा की आवश्यकता है।

Question 13.17: \( { }_{94}^{239}\text{Pu} \) के विखण्डन गुण बहुत कुछ \( { }_{92}^{235}\text{U} \) से मिलते-जुलते हैं। प्रति विखंडन विमुक्त औसत ऊर्जा \( 180\text{ MeV} \) है। यदि \( 1\text{kg} \) शुद्ध \( { }_{94}^{239}\text{Pu} \) के सभी परमाणु विखण्डित हों तो कितनी \( \text{MeV} \) ऊर्जा विमुक्त होगी?

Answer:

\( { }_{94}^{239}\text{Pu} \) के प्रति विखंडन से मुक्त होने वाली औसत ऊर्जा, \( E_{\text{av}} = 180\text{ MeV} \)
शुद्ध \( { }_{94}^{239}\text{Pu} \) की मात्रा, \( m = 1\text{ kg} = 1000\text{ g} \)
\( N_{\text{A}} = \text{अवॉगाद्रो संख्या} = 6.023 \times 10^{23} \)
\( { }_{94}^{239}\text{Pu} \) की द्रव्यमान संख्या \( = 239\text{ g} \)
\( { }_{94}^{239}\text{Pu} \) के एक मोल में परमाणुओं की संख्या \( N_{\text{A}} \) है।
\( \Rightarrow { }_{94}^{239}\text{Pu} \) के \( m \) ग्राम में परमाणुओ की संख्या \( = \left(\frac{N_{\text{A}}}{\text{द्रव्यमान संख्या}} \times m\right) \)
\( \Rightarrow { }_{94}^{239}\text{Pu} \) के \( 1000\text{ gram \) में परमाणुओ की संख्या \( = \left(\frac{N_{\text{A}}}{\text{द्रव्यमान संख्या}} \times 1000\right) = 2.52 \times 10^{24} \text{ परमाणु} \)
\( \Rightarrow 1 \) किलो \( { }_{94}^{239}\text{Pu} \) के विखंडन के दौरान निकलने वाली कुल ऊर्जा की गणना निम्नानुसार की जाती है:
\( \Rightarrow E = E_{\text{av}} \times 2.52 \times 10^{24} = 180 \times 2.52 \times 10^{24} = 4.536 \times 10^{26}\text{ MeV} \)
इसलिए, अगर सभी परमाणु 1 किलो शुद्ध \( { }_{94}^{239}\text{Pu} \) विखंडन से गुजरते है तो \( 4.536 \times 10^{26}\text{ MeV} \) ऊर्जा निकलती है।

मुख्य बिंदु:

• कुल ऊर्जा निकालने के लिए कुल परमाणुओं की संख्या को प्रति विखंडन ऊर्जा से गुणा किया जाता है।
• मोल संकल्पना का उपयोग करके 1 किलोग्राम में उपस्थित कुल नाभिकों की संख्या निकाली जाती है।
• \( { }_{94}^{239}\text{Pu} \) का मोलर द्रव्यमान लगभग \( 239\text{ g/mol} \) होता है।

आम गलतियाँ:

• किलोग्राम को ग्राम में न बदलना (1 kg = 1000 g)।
• अवॉगाद्रो संख्या का गलत मान रखना।
• गुणा करते समय घातों (powers of 10) में गलती करना।

Exam Tips:

a) परमाणुओं की कुल संख्या निकालने के चरण स्पष्ट दिखाएं।
b) अंतिम उत्तर में मात्रक \( \text{MeV} \) या \( \text{J} \text{ (यदि पूछा जाए)} \) अवश्य लिखें।
c) गणना को संक्षिप्त और सटीक रखें।

Question 13.18: किसी \( 1000\text{ MW} \) विखण्डन रिएक्टर के आधे ईंधन का \( 5.00 \) वर्ष में व्यय हो जाता है। प्रारम्भ में इसमें कितना \( { }_{92}^{235}\text{U} \) था? मान लीजिए कि रिएक्टर \( 80\% \) समय कार्यरत रहता है, इसकी सम्पूर्ण ऊर्जा \( { }_{92}^{235}\text{U} \) के विखण्डन से ही उत्सन्न हुई है; तथा \( { }_{92}^{235}\text{U} \) न्यूक्लाइड केवल विखण्डन प्रक्रिया में ही व्यय होता है।

Answer:

विखंडन रिएक्टर के ईंधन का अर्द्धजीवन, \( t_{1/2} = 5 \) वर्ष \( = 5 \times 365 \times 24 \times 60 \times 60\text{ s} \)
हम जानते हैं कि \( { }_{92}^{235}\text{U} \) न्यूक्लियस के 1 ग्राम के विखंडन में, उत्पन्न होने वाली ऊर्जा \( 200\text{ MeV} \) के बराबर होती है।
1 मोल, अर्थात्, \( 235\text{ gram} \) \( { }_{92}^{235}\text{U} \) में \( 6.023 \times 10^{23} \) परमाणु होते हैं।
\( 1\text{ g } { }_{92}^{235}\text{U} \) में \( \frac{6.023 \times 10^{23}}{235} \) परमाणु होते हैं।
\( { }_{92}^{235}\text{U} \) प्रति ग्राम कीकूल ऊर्जा गणना की जाती है:
\( \Rightarrow E = \frac{6.023 \times 10^{23}}{235\text{ g}} \times 200 \frac{\text{MeV}}{\text{atom}} \)
\( \Rightarrow \frac{200 \times 6.023 \times 10^{23} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^6}{235} = 8.20 \times 10^{10}\text{ J/g} \)
रिएक्टर केवल \( 80\% \) समय के लिए संचालित होता है।
इसलिए, 1000 मेगावाट विखंडन रिएक्टर द्वारा 5 वर्षों में \( { }_{92}^{235}\text{U} \) की मात्रा की गणना इस प्रकार की जाती है:
\( \frac{5 \times 80 \times 60 \times 60 \times 365 \times 24 \times 1000 \times 10^6}{100 \times 8.20 \times 10^{10}}\text{ g} \approx 1538\text{ kg} \)
\( \therefore { }_{92}^{235}\text{U} \) की प्रारम्भिक मात्रा \( = 2 \times 1538 = 3076\text{ kg} \)

मुख्य बिंदु:

• रिएक्टर की शक्ति (\( P = \frac{E}{t} \)) से कुल आवश्यक ऊर्जा निकाली जाती है।
• \( 80\% \) समयानुसार वास्तविक कार्य समय निकाला जाता है।
• आधे ईंधन के व्यय होने का अर्थ है कि कुल प्रारंभिक मात्रा का आधा भाग 5 वर्ष में समाप्त हुआ है, अतः कुल मात्रा निकालने के लिए 2 से गुणा करते हैं।

आम गलतियाँ:

• \( 80\% \) समय के कारक को भूल जाना।
• कुल ईंधन निकालने के बाद उसे 2 से गुणा न करना (चूंकि 5 वर्ष में 'आधा' ईंधन खर्च होता है)।
• ऊर्जा इकाई रूपांतरण में गलती करना।

Exam Tips:

a) शक्ति, समय और कुल ऊर्जा का संबंध स्पष्ट लिखें।
b) प्रति ग्राम ऊर्जा निकालकर कुल द्रव्यमान की गणना करें।
c) अंतिम उत्तर किलोग्राम या टन में स्पष्ट रूप से दें।

Question 13.19: \( 2.0\text{ kg} \) ड्यूटीरियम के संलयन से एक \( 100\text{ wat} \) का विद्युत् लैम्प कितनी देर प्रकाशित रखा जा सकता है? संलयन अभिक्रिया निम्नवत् ली जा सकती है:
\( { }_{1}^{2}\text{H} + { }_{1}^{2}\text{H} \rightarrow { }_{2}^{3}\text{He} + \text{n} + 3.27\text{ MeV} \)

Answer:

दी गई संलयन प्रतिक्रिया है: \( { }_{1}^{2}\text{H} + { }_{1}^{2}\text{H} \rightarrow { }_{2}^{3}\text{He} + \text{n} + 3.27\text{ MeV} \)
ड्यूटेरियम की मात्रा, \( m = 2\text{ kg} \)
1 मोल, अर्थात्, \( 2\text{ g} \) ड्यूटेरियम में परमाणुओं की संख्या \( = 6.023 \times 10^{23} \)
\( \therefore 2.0\text{ kg} \) ड्यूटेरियम में परमाणुओं की संख्या \( = \frac{6.023 \times 10^{23}}{2} \times 2000 = 6.023 \times 10^{26} \)
यह दी गई अभिक्रिया से अनुमान लगाया जा सकता है कि जब ड्यूटेरियम के दो परमाणु संलयित होते हैं, तो \( 3.27\text{ MeV} \) ऊर्जा निकलती है।
संलयन अभिक्रिया में प्रतिनाभिक उत्पन्न कुल ऊर्जा \( E = \frac{3.27}{2} \times 6.023 \times 10^{26}\text{ MeV} \)
\( \Rightarrow \frac{3.27}{2} \times 6.023 \times 10^{26} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^6 = 1.576 \times 10^{14}\text{ J} \)
विद्युत बल्ब की क्षमता, \( P = 100\text{ W} = 100\text{ J/s} \)
इसलिए, बल्ब द्वारा प्रति सेकण्ड खपत ऊर्जा \( = 100\text{ J} \)
कुल समय जिसके लिए बिजली का बल्ब चमकेगा, उसकी गणना की जाती है:
\( t = \frac{1.576 \times 10^{14}}{100}\text{ s} = \frac{1.576 \times 10^{14}}{100 \times 60 \times 60 \times 24 \times 365} \approx 4.9 \times 10^4 \) साल

मुख्य बिंदु:

• संलयन अभिक्रिया में दो ड्यूटेरियम नाभिक मिलकर ऊर्जा उत्पन्न करते हैं, अतः प्रति नाभिक ऊर्जा निकालते समय 2 से भाग देते हैं।
• शक्ति \( P = \frac{E}{t} \) से समय \( t = \frac{E}{P} \) निकाला जाता है।
• सेकण्ड को वर्षों में बदलने के लिए \( 365 \times 24 \times 3600 \) से भाग देते हैं।

आम गलतियाँ:

• दो ड्यूटेरियम नाभिकों के संलयन में ऊर्जा को सीधे एक नाभिक के हिसाब से जोड़ देना।
• किलोग्राम को ग्राम में बदलते समय घात की भूल करना।
• सेकण्ड को वर्ष में बदलते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) संलयन समीकरण से प्रति युग्म ऊर्जा को स्पष्ट समझें।
b) ऊर्जा को जूल (\( \text{J} \)) में बदलना न भूलें।
c) समय का उत्तर वर्षों या सेकण्ड्स में उचित मात्रक के साथ दें।

Question 13.20: दो ड्यूट्रॉन के आमने-सामने की टक्कर के लिए कूलॉम अवरोध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (संकेत-कूलॉम अवरोध की ऊँचाई का मान इन ड्यूट्रॉन के बीच लगने वाले उस कूलॉम प्रतिकर्षन बल के बराबर होता है जो एक-दूसरे को संपर्क में रखे जाने पर उनके बीच आरोपित होता है। यह मान सकते हैं कि ड्यूट्रॉन \( 2.0\text{ fm} \) प्रभावी त्रिज्या वाले दृढ़ गोले हैं।)

Answer:

जब दो ड्यूट्रॉन आपस में टकराते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी, \( d \) के रूप में दी जाती है:
\( 1\text{st} \) ड्यूट्रॉन की त्रिज्या \( + 2^{\text{nd}} \) ड्यूट्रॉन की त्रिज्या
ड्यूट्रॉन नाभिक की त्रिज्या \( = 2\text{ fm}; 2m = 2 \times 10^{-15}\text{ m} \)
\( \therefore d = 2 \times 10^{-15} + 2 \times 10^{-15} = 4 \times 10^{-15}\text{ m} \)
ड्यूट्रॉन नाभिक पर आवेश \( = \) एक इलेक्ट्रॉन पर आवेश \( = e = 1.6 \times 10^{-19}\text{ C} \)
दो-ड्यूट्रॉन प्रणाली की स्थैतिक ऊर्जा: \( V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{d} \)
जहाँ, \( \varepsilon_0 = \) मुक्त आकाश की परवैद्युतांक तथा \( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9\text{ N m}^2\text{C}^{-2} \)
\( \therefore V = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{4 \times 10^{-15}} = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{4 \times 10^{-15} \times (1.6 \times 10^{-19})}\text{ Ev} = 360\text{ keV} \)
\( \Rightarrow V = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{4 \times 10} \) [सरलीकरण के बाद]
इसलिए, दो-ड्यूट्रॉन निकाय के कूलॉम अवरोध की ऊँचाई \( 360\text{ keV} \) है।

मुख्य बिंदु:

• दो आवेशित कणों के बीच कूलॉम स्थितेज ऊर्जा का सूत्र \( V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d} \) होता है।
• निकटतम पहुँच की दूरी \( d \) दोनों नाभिकों की त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है।
• ऊर्जा को जूल से इलेक्ट्रॉन वोल्ट (\( \text{eV} \) या \( \text{keV} \)) में बदला जाता है।

आम गलतियाँ:

• दोनों ड्यूट्रॉन की त्रिज्याओं को जोड़ने के बजाय केवल एक की त्रिज्या को \( d \) मान लेना।
• आवेश \( e \) का मान गलत रखना।
• जूल को इलेक्ट्रॉन वोल्ट में बदलते समय \( 1.6 \times 10^{-19} \) से भाग देना भूल जाना।

Exam Tips:

a) दूरी \( d = R_1 + R_2 \) के सिद्धांत को स्पष्ट रूप से समझाएं।
b) कूलाम नियम का सूत्र लिखकर मानों को प्रतिस्थापित करें।
c) अंतिम उत्तर \( \text{keV} \) में दें।

Question 13.21: समीकरण \( R = R_0 A^{1/3} \) के आधार पर, दर्शाइए कि नाभिकीय द्रव्य का घनत्व लगभग अचर है (अर्थात् \( A \) पर निर्भर नहीं करता है)। यहाँ \( R_0 \) एक नियतांक है एवं \( A \) नाभिक की द्रव्यमान संख्या है।

Answer:

नाभिकीय त्रिज्या के लिए अभिव्यक्ति है: \( R = R_0 A^{1/3} \)
जहाँ, \( R_0 = \) स्थिरांक तथा \( A = \) नाभिक की द्रव्यमान संख्या
नाभिकीय द्रव्य घनत्व, \( \rho = \frac{\text{नाभिक का द्रव्यमान}}{\text{नाभिक का आयतन}} \)
माना नाभिक का औसत द्रव्यमान \( m \) है; इसलिए, नाभिक का द्रव्यमान \( = mA \)
\( \therefore \rho = \frac{mA}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3mA}{4\pi (R_0 A^{1/3})^3} = \frac{3mA}{4\pi R_0^3 A} = \frac{3m}{4\pi R_0^3} \)
इसलिए, परमाणु पदार्थ का घनत्व \( A \) से स्वतंत्र है। यह लगभग स्थिर है।

मुख्य बिंदु:

• नाभिक का आयतन गोले के आयतन \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \) के रूप में माना जाता है।
• कुल द्रव्यमान \( mA \) होता है, जहाँ \( m \) एक न्यूक्लियन का औसत द्रव्यमान है।
• व्यंजक में द्रव्यमान संख्या \( A \) अंश और हर दोनों से कट जाती है, जिससे सिद्ध होता है कि घनत्व \( A \) पर निर्भर नहीं करता।

आम गलतियाँ:

• आयतन के सूत्र में \( \frac{4}{3} \) लिखना भूल जाना।
• \( R^3 \) करते समय \( A^{1/3} \) की घात को गलत सरल करना (\( (A^{1/3})^3 = A \) होता है)।
• अंतिम व्यंजक में \( A \) को बनाए रखना।

Exam Tips:

a) घनत्व की परिभाषा से शुरुआत करें।
b) त्रिज्या का मान रखकर \( A \) को काटने के चरणों को स्पष्ट दिखाएं।
c) अंत में निष्कर्ष लिखें कि घनत्व द्रव्यमान संख्या पर निर्भर नहीं करता है।

Question 13.21: किसी नाभिक से \( \beta^+ \) (पॉजिट्रॉन) उत्सर्जन की एक अन्य प्रतियोगी प्रक्रिया है जिसे इलेक्ट्रॉन परिग्रहण (Capture) कहते हैं (इसमें परमाणु की आंतरिक कक्षा, जैसे कि \( K \)-कक्षा, से नाभिक एक इलेक्ट्रॉन परिगृह्रत कर लेता है और एक न्यूट्रॉन, \( \nu \) उत्सर्जित करता है)।
\( \text{e}^+ + { }_{Z}^{A}\text{X} \rightarrow { }_{Z-1}^{A}\text{Y} + \nu \)
दर्शाइए कि यदि \( \beta^+ \) उत्सर्जन ऊर्जा विचार से अनुमत है तो इलेक्ट्रॉन परिग्रहण भी आवश्यक रूप से अनुमत है, परन्तु इसका विलोम अनुमत नहीं है।

Answer:

इलेक्ट्रॉन की परिग्रहण प्रक्रिया के दौरान उत्पन्न ऊर्जा \( Q_1 \) है। परमाणु अभिक्रिया को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:
\( \text{e}^+ + { }_{Z}^{A}\text{X} \rightarrow { }_{Z-1}^{A}\text{Y} + Q_1 \) ... (1)
माना कि पॉजिट्रॉन परिग्रहण प्रक्रिया के दौरान उत्पन्न ऊर्जा की मात्रा \( Q_2 \) है। परमाणु अभिक्रिया को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:
\( { }_{Z}^{A}\text{X} \rightarrow { }_{Z-1}^{A}\text{Y} + \text{e}^+ + \nu + Q_2 \) ... (2)
जहाँ, \( m_{\text{N}}({ }_{Z}^{A}\text{X}) = { }_{Z}^{A}\text{X} \) का नाभिकीय द्रव्यमान और \( m({ }_{Z}^{A}\text{X}) = { }_{Z}^{A}\text{X} \) का परमाणु द्रव्यमान
\( m_{\text{N}}({ }_{Z-1}^{A}\text{Y}) = { }_{Z-1}^{A}\text{Y} \) का नाभिकीय द्रव्यमान और \( m({ }_{Z-1}^{A}\text{Y}) = { }_{Z-1}^{A}\text{Y} \) का परमाणु द्रव्यमान
\( m_e = \) इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान तथा \( c = \) प्रकाश की गति
इलेक्ट्रॉन परिग्रहण अभिक्रिया का \( Q \)-मान इस प्रकार है: \( Q_1 = [m_{\text{N}}({ }_{Z}^{A}\text{X}) + m_e - m_{\text{N}}({ }_{Z-1}^{A}\text{Y})]c^2 \)
\( = [m({ }_{Z}^{A}\text{X}) - Zm_e + m_e - m({ }_{Z-1}^{A}\text{Y}) + (Z - 1)m_e]c^2 = [m({ }_{Z}^{A}\text{X}) - m({ }_{Z-1}^{A}\text{Y})]c^2 \) ... (3)
पॉजिट्रॉन परिग्रहण अभिक्रिया का \( Q \)-मान इस प्रकार है: \( Q_2 = [m_{\text{N}}({ }_{Z}^{A}\text{X}) - m_{\text{N}}({ }_{Z-1}^{A}\text{Y}) - m_e]c^2 \)
\( = [m({ }_{Z}^{A}\text{X}) - Zm_e - m({ }_{Z-1}^{A}\text{Y}) + (Z - 1)m_e - m_e]c^2 = [m({ }_{Z}^{A}\text{X}) - m({ }_{Z-1}^{A}\text{Y}) - 2m_e]c^2 \) ... (4)
यह अनुमान लगाया जा सकता है कि यदि \( Q_2 > 0 \), तो \( Q_1 > 0 \) होगा; इसके अलावा, अगर \( Q_1 > 0 \), यह जरूरी नहीं है कि \( Q_2 > 0 \) है।
दूसरे शब्दों में, इसका मतलब है कि यदि \( \beta^+ \) उत्सर्जन संभव है, तो इलेक्ट्रॉन परिग्रहण प्रक्रिया आवश्यक रूप से संभव है, लेकिन इसके विपरीत नहीं। ऐसा इसलिए है क्योंकि \( Q \)-मान ऊर्जा की दृष्टि से अनुमत परमाणु प्रतिक्रिया के लिए धनात्मक होना चाहिए।

मुख्य बिंदु:

• इलेक्ट्रॉन परिग्रहण और \( \beta^+ \) क्षय दोनों प्रक्रियाओं के लिए \( Q \)-मान अलग-अलग समीकरणों से दिए जाते हैं।
• परमाणु द्रव्यमान और नाभिकीय द्रव्यमान के बीच के संबंध में इलेक्ट्रॉनों की संख्या का ध्यान रखा जाता है।
• समीकरणों से स्पष्ट होता है कि यदि \( Q_2 \) धनात्मक है, तो \( Q_1 \) हमेशा धनात्मक होगा, परंतु इसका विलोम सत्य नहीं है।

आम गलतियाँ:

• नाभिकीय द्रव्यमान को परमाणु द्रव्यमान मानते समय इलेक्ट्रॉनों के द्रव्यमान को छोड़ देना।
• \( Q_1 \) और \( Q_2 \) के सूत्रों में \( 2m_e \) का अंतर ठीक से न समझना।
• तार्किक निष्कर्ष को स्पष्ट रूप से शब्दों में न लिख पाना।

Exam Tips:

a) दोनों प्रक्रियाओं के लिए समीकरण (1) और (2) स्पष्ट रूप से लिखें।
b) नाभिकीय द्रव्यमान को परमाणु द्रव्यमान में बदलने के चरण दर्शाइए।
c) अंत में तार्किक निष्कर्ष दें कि एक प्रक्रिया के होने से दूसरी अनिवार्य रूप से संभव हो जाती है परन्तु दूसरी से पहली नहीं।