NCERT Solutions Class 12 Physics Chapter 13 Nuclei (नाभिक) Additional Questions in Hindi

Question 13.23: आवर्ति सारणी में मैग्नीशियम का औसत परमाणु द्रव्यमान 24.312 u दिया गया है। यह औसत मान, पृथ्वी पर इसके समस्थानिकों की सापेक्ष बहुलता के आधार पर दिया गया है। मैग्नीशियम के तीनों समस्थानिक तथा उनके द्रव्यमान इस प्रकार हैं- \( _{12}^{24}\text{Mg} (23.98504\text{ u}) \), \( _{12}^{25}\text{Mg} (24.98584\text{ u}) \) एवं \( _{12}^{26}\text{Mg} (25.98259\text{ u}) \) प्रकृति में प्राप्त मैग्नीशियम में \( _{12}^{24}\text{Mg} \) की (द्रव्यमान के अनुसार) बहुलता 78.99% है। अन्य दोनों समस्थानिकों की बहुलता का परिकलन कीजिए।

Answer:

दिया गया है:
मैग्नीशियम का औसत परमाणु द्रव्यमान, \( m = 24.312\text{ u} \)
\( _{12}^{24}\text{Mg} \) समस्थानिक का द्रव्यमान, \( m_1 = 23.98504\text{ u} \)
\( _{12}^{25}\text{Mg} \) समस्थानिक का द्रव्यमान, \( m_2 = 24.98584\text{ u} \)
\( _{12}^{26}\text{Mg} \) समस्थानिक का द्रव्यमान, \( m_3 = 25.98259\text{ u} \)
\( _{12}^{24}\text{Mg} \) की बहुलता, \( \eta_1 = 78.99\% \)
माना \( _{12}^{25}\text{Mg} \) की बहुलता \( \eta_2 = x\% \) है,
इसलिए, \( _{12}^{26}\text{Mg} \) की बहुलता, \( \eta_3 = 100 - x - 78.99\% = (21.01 - x)\% \)
औसत परमाणु द्रव्यमान के सूत्र से:
\( m = \frac{\eta_1 m_1 + \eta_2 m_2 + \eta_3 m_3}{\eta_1 + \eta_2 + \eta_3} \)
\( 24.312 = \frac{23.98504 \times 78.99 + 24.98584 \times x + 25.98259 \times (21.01 - x)}{100} \)
\( \Rightarrow 2431.2 = 1894.5783096 + 24.98544x + 545.8942159 - 25.98259x \)
\( \Rightarrow 0.99675x = 9.275255 \)
\( \Rightarrow x \approx 9.3\% \)
और \( 21.01 - x = 11.71\% \)
अतः \( _{12}^{25}\text{Mg} \) की बहुलता 9.3% और \( _{12}^{26}\text{Mg} \) की बहुलता 11.71% है।

मुख्य बिंदु:

• समस्थानिकों की कुल प्रतिशत बहुलता हमेशा 100% होती है।
• औसत परमाणु द्रव्यमान विभिन्न समस्थानिकों के द्रव्यमान और उनकी सापेक्ष बहुलता का भारित औसत होता है।
• इस विधि का उपयोग करके अज्ञात समस्थानिकों की बहुलता आसानी से निकाली जा सकती है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिशत को दशमलव में बदलते समय या समीकरण हल करते समय गणना की गलती करना।
• कुल बहुलता 100% न मानकर समीकरण बनाना।
• द्रव्यमान मानों को गलत समस्थानिक के साथ जोड़ देना।

Exam Tips:

a) गणना करते समय दशमलव के कम से कम 4 अंकों तक मान रखें ताकि उत्तर सटीक आए।
b) समीकरण बनाते समय यूनिट्स (u) और प्रतिशत का ध्यान रखें।
c) अंतिम उत्तर में दोनों समस्थानिकों की बहुलता को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 13.24: न्यूट्रॉन पृथक्करण ऊर्जा (Separation energy) परिभाषा के अनुसार वह ऊर्जा है, जो किसी नाभिक से एक न्यूट्रॉन को निकालने के लिए आवश्यक होती है। नीचे दिए गए आँकड़ों का इस्तेमाल करके \( _{20}^{41}\text{Ca} \) एवं \( _{13}^{27}\text{Al} \) नाभिकों की न्यूट्रॉन पृथक्करण ऊर्जा ज्ञात कीजिए।
\( m(_{20}^{40}\text{Ca}) = 39.962591\text{ u} \)
\( m(_{20}^{41}\text{Ca}) = 40.962278\text{ u} \)
\( m(_{13}^{26}\text{Al}) = 25.986895\text{ u} \)
\( m(_{13}^{27}\text{Al}) = 26.981541\text{ u} \)
\( 1\text{u} = 931.5\text{ MeV/c}^2 \)

Answer:

\( _{20}^{41}\text{Ca} \) के लिए न्यूट्रॉन पृथक्करण ऊर्जा = \( 8.363007\text{ MeV} \) और \( _{13}^{27}\text{Al} \) के लिए पृथक्करण ऊर्जा = \( 13.059\text{ MeV} \)
यदि न्यूट्रॉन \( _0^1\text{n} \) को \( _{20}^{41}\text{Ca} \) से हटाया जाता है, तो संबंधित परमाणु अभिक्रिया इस प्रकार होगी:
\( _{20}^{41}\text{Ca} \rightarrow _{20}^{40}\text{Ca} + _0^1\text{n} \)
इस अभिक्रिया का द्रव्यमान दोष इस प्रकार है:
\( \Delta m = m(_{20}^{40}\text{Ca}) + m(_0^1\text{n}) - m(_{20}^{41}\text{Ca}) \)
\( \Delta m = 39.962591 + 1.008665 - 40.962278 = 0.008978\text{ u} \)
चूँकि \( 1\text{u} = 931.5\text{ MeV/c}^2 \), इसलिए:
\( E = \Delta m \times c^2 = 0.008978 \times 931.5 = 8.3633007\text{ MeV} \)
इसी प्रकार, \( _{13}^{27}\text{Al} \) के लिए न्यूट्रॉन पृथक्करण की प्रक्रिया निम्नलिखित लिखी जा सकती है:
\( _{13}^{27}\text{Al} \rightarrow _{13}^{26}\text{Al} + _0^1\text{n} \)
यहाँ दिया गया है:
\( m(_{13}^{26}\text{Al}) = 25.986895\text{ u} \)
\( m(_{13}^{27}\text{Al}) = 26.981541\text{ u} \)
इस प्रक्रिया का द्रव्यमान दोष: \( \Delta m = m(_{13}^{26}\text{Al}) + m(_0^1\text{n}) - m(_{13}^{27}\text{Al}) \)
\( = 25.986895 + 1.008665 - 26.981541 \)
\( = 0.014019\text{ u} \)
\( = 0.014019 \times 931.5\text{ MeV/c}^2 \)
इसलिए, न्यूट्रॉन को पृथक् करने के लिए आवश्यक ऊर्जा: \( E = \Delta mc^2 = 0.014019 \times 931.5 = 13.059\text{ MeV} \)

मुख्य बिंदु:

• न्यूट्रॉन पृथक्करण ऊर्जा वह ऊर्जा है जो नाभिक से एक न्यूट्रॉन को बाहर निकालने के लिए दी जानी चाहिए।
• द्रव्यमान दोष निकालने के लिए उत्पादों के द्रव्यमान के योग में से अभिकारक का द्रव्यमान घटाया जाता है (यहाँ पृथक्करण में उल्टा होता है)।
• \( 1\text{u} \) समतुल्य ऊर्जा लगभग \( 931.5\text{ MeV} \) होती है।

आम गलतियाँ:

• द्रव्यमान दोष के सूत्र में अभिकारकों और उत्पादों के द्रव्यमान को आपस में उलटा लिख देना।
• न्यूट्रॉन के द्रव्यमान \( 1.008665\text{ u} \) को भूल जाना।
• MeV में बदलते समय गुणा करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) परमाणु अभिक्रिया को लिखकर शुरुआत करें ताकि द्रव्यमान दोष स्पष्ट हो सके।
b) प्रत्येक चरण में यूनिट्स (u और MeV) अवश्य लिखें।
c) गणना को दो दशमलव स्थानों तक सही से जांच लें।

Question 13.25: किसी स्रोत में फॉस्फोरस के दो रेडियो न्यूक्लाइड निहित हैं \( _{15}^{32}\text{P} (T_{1/2} = 14.3\text{ d}) \) एवं \( _{15}^{33}\text{P} (T_{1/2} = 25.3\text{ d}) \) प्रारम्भ में \( _{15}^{32}\text{P} \) से 10% क्षय प्राप्त होता है। इससे 90% क्षय प्राप्त करने के लिए कितने समय प्रतीक्षा करनी होगी?

Answer:

\( _{15}^{32}\text{P} \) की अर्द्ध आयु, \( T_{1/2} = 14.3\text{ दिन} \)
\( _{15}^{33}\text{P} \) की अर्द्ध आयु, \( T_{1/2} = 25.3\text{ दिन} \)
\( _{15}^{32}\text{P} \) नाभिक क्षय की कुल मात्रा का 10% क्षय है।
स्रोत में शुरू में 10% \( _{15}^{32}\text{P} \) न्यूक्लियस और 90% \( _{15}^{33}\text{P} \) न्यूक्लियस है।
मान लीजिए \( t \) दिनों के बाद, स्रोत में 10% \( _{15}^{32}\text{P} \) न्यूक्लियस और 90% \( _{15}^{33}\text{P} \) न्यूक्लियस हैं।
प्रारंभ में:
\( _{15}^{33}\text{P} \) नाभिकों की संख्या = \( N \)
\( _{15}^{32}\text{P} \) नाभिकों की संख्या = \( 9N \)
अंत में:
\( _{15}^{33}\text{P} \) नाभिकों की संख्या = \( N' \)
\( _{15}^{32}\text{P} \) नाभिकों की संख्या = \( N' \)
\( _{15}^{32}\text{P} \) नाभिक के लिए, संख्या अनुपात को लिख सकते हैं:
\( \frac{N'}{9N} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{14.3}} \Rightarrow N' = 9N(2)^{-\frac{t}{14.3}} \dots (1) \)
\( _{15}^{33}\text{P} \) नाभिक के लिए, संख्या अनुपात को लिख सकते हैं:
\( \frac{N'}{N} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{25.3}} \Rightarrow N' = N(2)^{-\frac{t}{25.3}} \dots (2) \)
समीकरण (2) द्वारा समीकरण (1) को विभाजित करने पर, हमें यह मिलता है:
\( \frac{1}{9} = 9 \times 2^{\left(\frac{t}{25.3} - \frac{t}{14.3}\right)} \)
\( \frac{1}{81} = 2^{\left(\frac{-11t}{25.3 \times 14.3}\right)} \)
\( \Rightarrow \log 1 - \log 81 = \frac{-11t}{25.3 \times 14.3} \log 2 \)
\( \Rightarrow \frac{-11t}{25.3 \times 14.3} = \frac{0 - 1.908}{0.301} \)
\( \Rightarrow t = \frac{25.3 \times 14.3 \times 1.908}{11 \times 0.301} \approx 208.5\text{ days} \)
इसलिए, \( _{15}^{32}\text{P} \) के 90% क्षय के लिए लगभग 208.5 दिन लगेंगे।

मुख्य बिंदु:

• रेडियोएक्टिव क्षय नियम \( N = N_0 e^{-\lambda t} \) या अर्द्ध-आयु संबंध का उपयोग किया जाता है।
• दो अलग-अलग रेडियोसक्रिय नाभिकों के अनुपात को समय के साथ तुलना करने के लिए समीकरणों का भाग दिया जाता है।
• लॉगरिथम (log) का उपयोग करके समय \( t \) का मान ज्ञात किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• अर्द्ध आयु और क्षय नियतांक में संबंध रखते समय मान उल्टे रख देना।
• लॉगरिथम की गणना में ऋणात्मक चिह्नों की अनदेखी करना।
• प्रारंभिक अनुपातों (10% और 90%) को गलत मान लेना।

Exam Tips:

a) दोनों नाभिकों के लिए समीकरण अलग-अलग लिखकर उनका अनुपात निकालें।
b) लॉगरिथम मानों को सावधानीपूर्वक हल करें।
c) अंत में परिणाम को निकटतम मान में लिखें और मात्रک (दिन) अवश्य लिखें।

Question 13.26: कुछ विशिष्ट परिस्थितियों में एक नाभिक, \( \alpha \) कण से अधिक द्रव्यमान वाला एक कण उत्सर्जित करके क्षयित होता है। निम्नलिखित क्षय-प्रक्रियाओं पर विचार कीजिए
\( _{88}^{223}\text{Ra} \rightarrow _{82}^{209}\text{Pb} + _{6}^{14}\text{C} \)
\( _{88}^{223}\text{Ra} \rightarrow _{86}^{219}\text{Rn} + _2^4\text{He} \)
इन दोनों क्षय प्रक्रियाओं के लिए \( Q \)-मान की गणना कीजिए और दर्शाइए कि दोनों प्रक्रियाएँ ऊर्जा की दृष्टि से सम्भव हैं।

Answer:

\( _{6}^{14}\text{C} \) के उत्सर्जन के लिए, परमाणु अभिक्रिया: \( _{88}^{223}\text{Ra} \rightarrow _{82}^{209}\text{Pb} + _{6}^{14}\text{C} \)
दिया है कि: \( _{88}^{223}\text{Ra} \) का द्रव्यमान, \( m_1 = 223.01850\text{ u} \)
\( _{82}^{209}\text{Pb} \) का द्रव्यमान, \( m_2 = 208.98107\text{ u} \)
\( _{6}^{14}\text{C} \) का द्रव्यमान, \( m_3 = 14.00324\text{ u} \)
इसलिए, प्रक्रिया का \( Q \)-मान निम्नानुसार दिया गया है:
\( Q = (m_1 - m_2 - m_3)c^2 = (223.01850 - 208.98107 - 14.00324)c^2 = (0.03419\text{ c}^2)\text{ u} \)
किन्तु, \( 1\text{u} = 931.5\text{ MeV/c}^2 \)
\( \therefore Q = 0.03419 \times 931.5 = 31.848\text{ MeV} \)
इसलिए, परमाणु अभिक्रिया का \( Q \)-मान \( 31.848\text{ MeV} \) है। चूँकि मान धनात्मक है, प्रक्रिया ऊर्जा की दृष्टि से संभव है।
\( _2^4\text{He} \) के उत्सर्जन के लिए, परमाणु अभिक्रिया: \( _{88}^{223}\text{Ra} \rightarrow _{86}^{219}\text{Rn} + _2^4\text{He} \)
दिया है कि: \( _{88}^{223}\text{Ra} \) का द्रव्यमान, \( m_1 = 223.01850\text{ u} \)
\( _{86}^{219}\text{Rn} \) का द्रव्यमान, \( m_2 = 219.00948\text{ u} \)
\( _2^4\text{He} \) का द्रव्यमान, \( m_3 = 4.00260\text{ u} \)
इस परमाणु प्रतिक्रिया का \( Q \)-मान इस प्रकार है:
\( Q = (m_1 - m_2 - m_3)c^2 = (223.01850 - 219.00948 - 4.00260)c^2 \)
\( = (0.00642\text{ c}^2)\text{ u} = 0.00642 \times 931.5 = 5.98\text{ MeV} \)
इसलिए, दूसरी परमाणु अभिक्रिया का \( Q \)-मान \( 5.98\text{ MeV} \) है। चूँकि मान धनात्मक है, अभिक्रिया ऊर्जा की दृष्टि से संभव है।

मुख्य बिंदु:

• किसी नाभिकीय अभिक्रिया के संभव होने के लिए \( Q \)-मान धनात्मक होना आवश्यक है।
• \( Q \)-मान अभिकारकों और उत्पादों के द्रव्यमान अंतर को ऊर्जा में बदलकर निकाला जाता है।
• \( 1\text{u} \) द्रव्यमान क्षति लगभग \( 931.5\text{ MeV} \) ऊर्जा उत्पन्न करती है।

आम गलतियाँ:

• द्रव्यमान घटाते समय उत्पादों और अभिकारकों का क्रम गलत लिखना।
• \( c^2 \) और \( 931.5 \) के गुणा में त्रुटि करना।
• धनात्मक और ऋणात्मक \( Q \)-मान का सही निष्कर्ष न निकालना।

Exam Tips:

a) दोनों अभिक्रियाओं के लिए \( Q \)-मान का सूत्र स्पष्ट रूप से लिखें।
b) गणना के प्रत्येक चरण को अलग लाइन में दिखाएं।
c) अंत में यह जरूर बताएं कि \( Q \) धनात्मक होने के कारण अभिक्रिया संभव है।

Question 13.27: तीव्र न्यूट्रॉनों द्वारा \( _{92}^{238}\text{U} \) के विखंडन पर विचार कीजिए। किसी विखंडन प्रक्रिया में प्राथमिक अंशों (Primary fragments) के बीटा-क्षय के पश्चात कोई न्यूट्रॉन उत्सर्जित नहीं होता तथा \( _{58}^{140}\text{Ce} \) तथा \( _{44}^{99}\text{Ru} \) अन्तिम उत्पाद प्राप्त होते हैं। विखंडन प्रक्रिया के लिए \( Q \) के मान का परिकलन कीजिए। आवश्यक आँकड़े इस प्रकार हैं:
\( m(_{92}^{238}\text{U}) = 238.05079\text{ u} \)
\( m(_{58}^{140}\text{Ce}) = 139.90543\text{ u} \)
\( m(_{44}^{99}\text{Ru}) = 98.90594\text{ u} \)
\( m(_0^1\text{n}) = 1.008665\text{ u} \)

Answer:

\( _{92}^{238}\text{U} \) के विखंडन में, 10 \( \beta \)-कण मूल नाभिक से निकलते हैं। परमाणु अभिक्रिया को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:
\( _{92}^{238}\text{U} + _0^1\text{n} \rightarrow _{58}^{140}\text{Ce} + _{44}^{99}\text{Ru} + 10_{-1}^0\text{e} \)
यहाँ दिया गया है कि:
\( _{92}^{238}\text{U} \) नाभिक का द्रव्यमान, \( m_1 = 238.05079\text{ u} \)
\( _{58}^{140}\text{Ce} \) नाभिक का द्रव्यमान, \( m_2 = 139.90543\text{ u} \)
\( _{44}^{99}\text{Ru} \) नाभिक का द्रव्यमान, \( m_3 = 98.90594\text{ u} \)
\( _0^1\text{n} \) न्यूट्रॉन का द्रव्यमान, \( m_4 = 1.008665\text{ u} \)
उपरोक्त समीकरण का \( Q \)-मान,
\( Q = [m'-(_{92}^{238}\text{U}) + m(_0^1\text{n}) - m'(_{58}^{140}\text{Ce}) - m'(_{44}^{99}\text{Ru})]c^2 \)
जहाँ, \( m' \) नाभिक के संबंधित परमाणु द्रव्यमान को दर्शाता है।
\( m'(_{92}^{238}\text{U}) = m_1 - 92m_e \)
\( m'(_{58}^{140}\text{Ce}) = m_2 - 58m_e \)
\( m'(_{44}^{99}\text{Ru}) = m_3 - 44m_e \) और \( m'(_0^1\text{n}) = m_4 \)
\( Q = [m_1 - 92m_e + m_4 - m_2 + 58m_e - m_3 + 44m_e - 10m_e]c^2 \)
\( = [m_1 + m_4 - m_2 - m_3]c^2 \)
\( = [238.0507 + 1.008665 - 139.90543 - 98.90594]c^2 \)
\( = [0.247995\text{ c}^2]\text{u} \)
किन्तु \( 1\text{u} = 931.5\text{ MeV/c}^2 \) तथा \( Q = 0.247995 \times 931.5 = 231.007\text{ MeV} \)
इसलिए, विखंडन प्रक्रिया का \( Q \)-मान \( 231.007\text{ MeV} \) है।

मुख्य बिंदु:

• परमाणु द्रव्यमान और नाभिकीय द्रव्यमान में अंतर इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान के कारण होता है, जो यहाँ संतुलित हो जाता है।
• विखंडन अभिक्रिया में \( Q \)-मान अभिकारकों और उत्पादों के द्रव्यमान का अंतर होता है।
• यह प्रचुर मात्रा में ऊर्जा प्रदान करने वाली नाभिकीय विखंडन प्रक्रिया है।

आम गलतियाँ:

• इलेक्ट्रॉनों के द्रव्यमान को सही से संतुलित न करना।
• न्यूट्रॉन के द्रव्यमान को समीकरण में शामिल करना भूल जाना।
• दशमलव की गणना में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) परमाणु द्रव्यमान से नाभिकीय द्रव्यमान में रूपांतरण को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
b) अभिक्रिया संतुलन का ध्यान रखें।
c) \( Q \)-मान की इकाई MeV में ही लिखें।

Question 13.28: D-T अभिक्रिया (ड्यूटीरियम-ट्राइटियम संलयन), \( _1^2\text{H} + _1^3\text{H} \rightarrow _2^4\text{He} + \text{n} \) पर विचार कीजिए।
(a) नीचे दिए गए आँकड़ों के आधार पर अभिक्रिया में विमुक्त ऊर्जा का मान MeV में ज्ञात कीजिए।
\( m(_1^2\text{H}) = 2.014102\text{ u} \)
\( m(_1^3\text{H}) = 3.016049\text{ u} \)
(b) ड्यूटीरियम एवं ट्राइटियम दोनों की त्रिज्या लगभग \( 1.5\text{ fm} \) मान लीजिए। इस अभिक्रिया में, दोनों नाभिकों के मध्य कूलॉम प्रतिकर्षषण से पार पाने के लिए किती ऊर्जा की आवश्यकता है? अभिक्रिया प्रारम्भ करने के लिए गैसों (D तथा T गैसें) को किस ताप तक ऊष्मित किया जाना चाहिए?
(संकेत: किसी संलयन क्रिया के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा = संलयन क्रिया में संलग्न कणों की औसत तापीय गतिज ऊर्जा = \( 2(3kT/2); k \): बोल्ट्जमैन स्थिरांक तथा \( T \): परम ताप)

Answer:

(a) D-T परमाणु अभिक्रिया में: \( _1^2\text{H} + _1^3\text{H} \rightarrow _2^4\text{He} + \text{n} \)
यहाँ दिया गया है कि:
\( _1^2\text{H} \) का द्रव्यमान, \( m_1 = 2.014102\text{ u} \)
\( _1^3\text{H} \) का द्रव्यमान, \( m_2 = 3.016049\text{ u} \)
\( _2^4\text{He} \) का द्रव्यमान, \( m_3 = 4.002603\text{ u} \)
\( _0^1\text{n} \) का द्रव्यमान, \( m_4 = 1.008665\text{ u} \)
D-T परमाणु अभिक्रिया में \( Q \)-मान:
\( Q = [m_1 + m_2 - m_3 - m_4]c^2 \)
\( = [2.014102 + 3.016049 - 4.002603 - 1.008665]c^2 \)
\( = [0.018883\text{ c}^2]\text{u} \)
किन्तु \( 1\text{u} = 931.5\text{ MeV/c}^2 \)
\( \therefore Q = 0.018883 \times 931.5 = 17.59\text{ MeV} \)
(b) ड्यूटीरियम और ट्राइटियम का त्रिज्या, \( r \approx 2.0\text{ fm} = 2 \times 10^{-15}\text{ m} \)
दो नाभिकों के बीच की दूरी जब वे एक दूसरे को स्पर्श करते हैं,
\( d = r + r = 4 \times 10^{-15}\text{ m} \)
ड्यूटीरियम नाभिक पर आवेश = \( e \)
ट्राइटियम नाभिक पर आवेश = \( e \)
इसलिए, दो नाभिकों के बीच प्रतिकर्षण स्थैतिक ऊर्जा \( V = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 (d)} \)
जहाँ, \( \varepsilon_0 \) = मुक्त आकाश का परावैद्युतांक के लिए दो नाभिकों के बीच कूलंब के प्रतिकर्षण को दूर करने के लिए गतिज ऊर्जा (KE) की आवश्यकता होती है।
जैसेकि, दिया गया है कि: \( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9\text{ N m}^2\text{C}^{-2} \)
\( \Rightarrow V = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{4 \times 10^{-15}} = 5.76 \times 10^{-14}\text{ J} \)
\( \Rightarrow \frac{5.76 \times 10^{-14}}{1.6 \times 10^{-19}} = 3.6 \times 10^5\text{ eV} = 360\text{ keV} \)
इसलिए, \( 5.76 \times 10^{-14}\text{ J} \) या \( 360\text{ keV} \) की गतिज ऊर्जा (KE) को दो नाभिकों के बीच कूलम्ब के प्रतिकर्षण को दूर करने के लिए आवश्यक है। यह दिया गया है कि:
\( \text{KE} = 2 \times \frac{3}{2} kT \)
जहाँ, \( k \) = बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक = \( 1.38 \times 10^{-23}\text{ m}^2\text{ kg s}^{-2}\text{ K}^{-1} \)
\( T \) = अभिक्रिया को आरम्भ करने के लिए आवश्यक तापमान
\( \therefore T = \frac{\text{KE}}{3k} \Rightarrow \frac{5.76 \times 10^{-14}}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}} = 1.39 \times 10^9\text{ K} \)
इसलिए, प्रक्रिया शुरू करने के लिए गैस को \( 1.39 \times 10^9\text{ K} \) के तापमान तक गर्म किया जाना चाहिए।

मुख्य बिंदु:

• संलयन अभिक्रियाओं में बहुत अधिक तापमान और ऊर्जा की आवश्यकता होती है ताकि कूलॉम प्रतिकर्षण को पार किया जा सके।
• \( Q \)-मान अभिकारकों और उत्पादों के द्रव्यमान अंतर से निकाला जाता है।
• तापीय ऊर्जा \( \frac{3}{2}kT \) का उपयोग करके परम ताप निकाला जाता है।

आम गलतियाँ:

• दोनों नाभिकों की त्रिज्या को जोड़कर बीच की दूरी \( d \) निकालते समय गलती करना।
• जूल से इलेक्ट्रॉन वोल्ट (eV) में बदलते समय आवेश के मान से भाग देना भूल जाना।
• तापमान के सूत्र में कणों की संख्या (2) को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) दोनों भागों (a और b) को अलग-अलग और स्पष्ट रूप से हल करें।
b) कूलॉमी प्रतिकर्षण ऊर्जा के सूत्र में सभी स्थिरांकों के सही मान रखें।
c) तापमान का मात्रक केल्विन (K) स्पष्ट लिखें।

Question 13.29: नीचे दी गई क्षय-योजना में, \( \gamma \)-क्षयों की विकिरण आवृत्तियों एवं \( \beta \)-कणों की अधिकतम गतिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए। दिया है: \( m(^{198}\text{Au}) = 197.968233\text{ u} \) तथा \( m(^{198}\text{Hg}) = 197.966760\text{ u} \)

Answer:

यहाँ दिए गए \( \gamma \)-आरेख से देखा जा सकता है कि \( \gamma_1 \) क्षय से \( 1.088\text{ MeV} \) ऊर्जा स्तर से \( 0\text{ MeV} \) ऊर्जा स्तर तक रहता है।
इसलिए, \( \gamma_1 \)-क्षय के लिए ऊर्जा इस प्रकार दी गई है:
\( E_1 = 1.088 - 0 = 1.088\text{ MeV} \) hv₁
\( \Rightarrow 1.088 \times 10 \times 10^{-19} \times 10^6 / \dots \)
\( \nu_1 = \frac{E_1}{h} = \frac{1.088 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^6}{6.6 \times 10^{-34}\text{ Js}} \)
\( \nu_1 = \gamma_1 \)-क्षय विकिरण की आवृत्ति को लिख सकते हैं:
\( \nu_1 = \frac{E_1}{h} = \frac{1.088 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^6}{6.6 \times 10^{-34}} = 2.637 \times 10^{20}\text{ Hz} \)
यह दिए गए \( \gamma \)-क्षय आरेख से देखा जा सकता है कि \( \gamma_2 \)-क्षय का अंतर \( 0.412\text{ MeV} \) ऊर्जा स्तर से \( 0\text{ MeV} \) ऊर्जा स्तर तक है। इसलिए, \( \gamma_2 \)-क्षय के लिए ऊर्जा इस प्रकार दी गई है:
\( E_2 = 0.412 - 0 = 0.412\text{ MeV} \), \( h\nu_2 = 0.412 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^6 / \)
जहाँ, \( \nu_2 = \gamma_2 \)-क्षय विकिरण की आवृत्ति को लिख सकते हैं,
\( \nu_2 = \frac{E_2}{h} = \frac{0.412 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^6}{6.6 \times 10^{-34}} = 9.988 \times 10^{19}\text{ Hz} \)
यह दिए गए \( \gamma \)-क्षय आरेख से देखा जा सकता है कि \( \gamma_3 \), \( 1.088\text{ MeV} \) ऊर्जा स्तर से \( 0.412\text{ MeV} \) ऊर्जा स्तर तक रहता है। इसलिए, \( \gamma_3 \)-क्षय के लिए ऊर्जा इस प्रकार दी गई है:
\( E_3 = 1.088 - 0.412 = 0.676\text{ MeV} \)
\( h\nu_3 = 0.676 \times 10^{-19} \times 10^6 / \)
जहाँ, \( \nu_3 = \gamma_3 \)-क्षय विकिरण की आवृत्ति को लिख सकते हैं,
\( \nu_3 = \frac{E_3}{h} = \frac{0.676 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^6}{6.6 \times 10^{-34}} = 1.639 \times 10^{20}\text{ Hz} \)
(\( ^{198}\text{Au} \)) का द्रव्यमान = \( 197.968233\text{ u} \)
(\( _{80}^{198}\text{Hg} \)) का द्रव्यमान = \( 197.966760\text{ u} \)
\( 1\text{u} = 931.5\text{ MeV/c}^2 \)
उच्चतम स्तर की ऊर्जा निम्नानुसार दी गई है:
\( E = [m(^{198}\text{Au}) - m(^{198}\text{Hg})] \)
\( = 197.968233 - 197.966760 = 0.001473\text{ u} \)
\( = 0.001473 \times 931.5 = 1.3720995\text{ MeV} \)
\( \beta_1 \) क्षय 1.3720995 MeV स्तर से \( 1.088\text{ MeV} \) स्तर तक तय करता है।
\( \therefore \beta_1 \) कण की अधिकतम गतिज ऊर्जा = \( 1.3720995 - 1.088 = 0.2840995\text{ MeV} \)
\( \beta_2 \) क्षय 1.3720995 MeV स्तर से \( 0.412\text{ MeV} \) स्तर तक तय करता है।
\( \therefore \beta_2 \) कण की अधिकतम गतिज ऊर्जा = \( 1.3720995 - 0.412 = 0.9600995\text{ MeV} \)

मुख्य बिंदु:

• गामा ( \( \gamma \) ) क्षय ऊर्जा स्तरों के अंतर से संबंधित होता है और \( E = h\nu \) का उपयोग किया जाता है।
• बीटा ( \( \beta \) ) कणों की अधिकतम गतिज ऊर्जा कुल उपलब्ध ऊर्जा और विशिष्ट ऊर्जा स्तर के अंतर से निकाली जाती है।
• प्लांक नियतांक \( h \approx 6.6 \times 10^{-34}\text{ Js} \) का प्रयोग होता है।

आम गलतियाँ:

• ऊर्जा स्तरों के अंतर को गलत घटाना।
• MeV को जूल में बदलते समय घातों (powers of 10) की गलती करना।
• आवृत्ति की इकाई Hz लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) आरेख को ध्यान से देखकर प्रत्येक \( \gamma \)-संक्रमण के लिए ऊर्जा स्तर पहचानें।
b) प्रत्येक चरण में यूनिट्स का विशेष ध्यान रखें।
c) गणना को दो या तीन दशमलव स्थानों तक सटीक निकालें।

Question 13.30: सूर्य के अभ्यंतर में (a) \( 1\text{kg} \) हाइड्रोजन के संलयन के समय विमुक्त ऊर्जा का परिकलन कीजिए। (b) विखंडन रिएक्टर में \( 1.0\text{ kg} \) \( _{92}^{235}\text{U} \) के विखंडन से विमुक्त ऊर्जा का परिकलन कीजिए। (c) प्रश्न के खण्ड (a) तथा (b) में विमुक्त ऊर्जाओं की तुलना कीजिए।

Answer:

(a) हाइड्रोजन की मात्रा, \( m = 1\text{ kg} = 1000\text{ g} \)
1 मोल, अर्थात्, (\( _1^1\text{H} \)) हाइड्रोजन के \( 1\text{ g} \) में परमाणुสูों की संख्या = \( 6.023 \times 10^{23} \)
\( \therefore 1000\text{ g} \) \( _1^1\text{H} \) में परमाणुओं की संख्या = \( 6.023 \times 10^{23} \times 1000 \)
सूर्य के भीतर, चार \( _1^1\text{H} \) नाभिक गठबंधन करते हैं और एक \( _2^4\text{He} \) बनाते हैं। इस प्रक्रिया में \( 26\text{MeV} \) ऊर्जा निकलती है।
इसलिए, \( 1\text{ kg} \) \( _1^1\text{H} \) के संलयन से निकलने वाली ऊर्जा है:
\( E_1 = \frac{6.023 \times 10^{23} \times 26 \times 10^3}{4} = 39.1495 \times 10^{26}\text{ MeV} \)
(b) \( _{92}^{235}\text{U} \) की मात्रा = \( 1\text{ kg} = 1000\text{ g} \)
1 मोल, यानी 1 ग्राम हाइड्रोजन में \( 6.023 \times 10^{23} \) होता है
\( 1000\text{ g} \) \( _{92}^{235}\text{U} \) में परमाणुओं की संख्या = \( \frac{6.023 \times 10^{23} \times 1000}{235} \)
यह ज्ञात है कि \( _{92}^{235}\text{U} \) के एक परमाणु के विखंडन में ऊर्जा की मात्रा \( 200\text{MeV} \) है।
इसलिए, \( 1\text{ kg} \) \( _{92}^{235}\text{U} \) के विखंडन से जारी ऊर्जा है:
\( E_2 = \frac{6 \times 10^{23} \times 1000 \times 200}{235} = 5.106 \times 10^{26}\text{ MeV} \)
(c) \( \frac{E_1}{E_2} = \frac{39.1495 \times 10^{26}}{5.106 \times 10^{26}} = 7.67 \approx 8 \)
इसलिए, \( 1\text{ kg} \) हाइड्रोजन के संलयन में जारी ऊर्जा \( 1\text{ kg} \) यूरिनियम के विखंडन में जारी ऊर्जा का लगभग 8 गुना है।

मुख्य बिंदु:

• संलयन में प्रति परमाणुज ऊर्जा विखंडन की तुलना में कम होती है, लेकिन प्रति इकाई द्रव्यमान संलयन ऊर्जा अधिक हो सकती है।
• अवोगाद्रो संख्या का उपयोग करके कुल परमाणुओं की संख्या निकाली जाती है।
• दोनों प्रक्रियाओं की तुलना अनुपात निकालकर की जाती है।

आम गलतियाँ:

• हाइड्रोजन के संलयन में चार प्रोटॉनों के संयोजन (प्रति 4 प्रोटॉन 26 MeV) को भाग देना भूल जाना।
• यूरेनियम के मोलर द्रव्यमान (235 g) से भाग देना भूल जाना।
• तुलना करते समय भाग देने में गलती करना।

Exam Tips:

a) खण्ड (a), (b) और (c) को स्पष्ट रूप से अलग-अलग हल करें।
b) संलयन और विखंडन दोनों की ऊर्जा प्रति परमाणु याद रखें।
c) अंत में अनुपात निकालकर निष्कर्ष स्पष्ट लिखें।

Question 13.31: मान लीजिए कि भारत का लक्ष्य 2020 तक \( 200,000\text{ MW} \) विद्युत शक्ति जनन का है। इसका 10% नाभिकीय शक्ति संयंत्रों से प्राप्त होना है। माना कि रिएक्टर की औसत उपयोग दक्षता (ऊष्मा को विद्युत में परिवर्तित करने की क्षमता) 25% है। 2028 के अन्त तक हमारे देश को प्रति वर्ष कितने विखंडनीय यूरेनियम की आवश्यकता होगी? \( _{92}^{235}\text{U} \) प्रति विखण्डन उत्सर्जित ऊर्जा \( 200\text{MeV} \) है।

Answer:

उत्पादित होने वाली विद्युत शक्ति की मात्रा, \( P = 2 \times 10^5\text{ MW} \)
इस राशि का 10% परमाणु ऊर्जा संयंत्रों से प्राप्त किया जाना है।
\( \therefore \) परमाणु शक्ति की मात्रा,
\( P_1 = \frac{10}{100} \times 2 \times 10^5 = 2 \times 10^4\text{ MW} \)
\( = 2 \times 10^4 \times 10^6\text{ W} \)
\( = 2 \times 10^{10} \times 60 \times 60 \times 24 \times 365\text{ J/y} \)
एक \( _{92}^{235}\text{U} \) नाभिक के विखंडन सेउत्पन्न ऊष्मा ऊर्जा, \( E = 200\text{ MeV} \)
एक रिएक्टर की क्षमता = 25%
इसलिए, प्रति विखंडन में विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित ऊर्जा की मात्रा:
\( = \frac{25}{100} \times 200 = 50\text{ MeV} = 50 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^6 = 8 \times 10^{-12}\text{ J} \)
प्रति वर्ष विखंडन के लिए आवश्यक परमाणुओं की संख्या:
\( = \frac{2 \times 10^{10} \times 60 \times 60 \times 24 \times 365}{8 \times 10^{-12}} = 78840 \times 10^{24} \)
1 मोल, अर्थात्, \( 235\text{ g} \) \( _{92}^{235}\text{U} \) परमाणुओं की संख्या = \( 6.023 \times 10^{23} \)
\( \therefore _{92}^{235}\text{U} \) के \( 6.023 \times 10^{23} \) परमाणुओं का द्रव्यमान = \( 235\text{ g} = 235 \times 10^{-3}\text{ kg} \)
\( \therefore _{92}^{235}\text{U} \) के \( 78840 \times 10^{24} \) परमाणुओं का द्रव्यमान:
\( = \frac{235 \times 10^{-3}}{6.023 \times 10^{23}} \times 78840 \times 10^{24} = 3.076 \times 10^4\text{ kg} \)
इसलिए, प्रति वर्ष \( 3.076 \times 10^4\text{ kg} \) यूरेनियम की मात्रा की आवश्यकता है।

मुख्य बिंदु:

• कुल उत्पादित शक्ति का केवल एक निश्चित प्रतिशत (यहाँ 10%) नाभिकीय ऊर्जा से लिया जाना है।
• दक्षता (efficiency) का उपयोग करके यह निकाला जाता है कि कुल विखंडन ऊर्जा का कितना भाग विद्युत ऊर्जा में बदलता है।
• प्रति वर्ष कुल आवश्यक ऊर्जा को एक विखंडन से मिलने वाली उपयोगी ऊर्जा से भाग देकर कुल परमाणुओं की संख्या निकाली जाती है।

आम गलतियाँ:

• दक्षता (25%) को ऊर्जा गणना में शामिल करना भूल जाना।
• मेगावाट (MW) को वाट में और वर्ष को सेकंड में बदलते समय इकाई रूपांतरण में गलती करना।
• परमाणुओं की संख्या से द्रव्यमान निकालते समय मोलर द्रव्यमान का गलत उपयोग करना।

Exam Tips:

a) चरण-दर-चरण गणना करें: पहले कुल आवश्यक विद्युत ऊर्जा निकालें, फिर विखंडन ऊर्जा और अंत में द्रव्यमान।
b) सभी पावर और यूनिट्स (MW, J, kg) को स्पष्ट रूप से लिखें।
c) अंतिम उत्तर किलोग्राम या टन में सही रूप से प्रस्तुत करें।