NCERT Solutions Class 12 Physics Chapter 11 Dual Nature of Radiation and Matter (विकिरण तथा द्रव्य की द्वैत प्रकृति) Exercise Questions in Hindi

Question 11.1: 30 kV इलेक्ट्रॉनों के द्वारा उत्तरत्र X-किरणों की (a) उच्चतम आवृत्ति, तथा (b) निम्नतम तरंगदैर्ध्य प्राप्त कीजिए।

Answer:

इलेक्ट्रॉनों का विभव, \( V = 30\text{ kV} = 3 \times 10^4\text{ V} \)
इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा, \( E = 3 \times 10^4\text{ eV} \)
जहाँ \( e \) एक इलेक्ट्रॉन पर आवेश है, \( e = 1.6 \times 10^{-19}\text{ C} \)
(a) X-किरणों द्वारा उत्पन्न अधिकतम आवृत्ति \( \nu \) है:
इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम ऊर्जा को निम्न सम्बन्ध से दिया जा सकता है: \( E = h\nu \)
जहाँ \( h = \text{प्लांक का स्थिरांक} = 6.626 \times 10^{-34}\text{ Js} \)
\( \nu = \frac{E}{h} \)
\( \nu = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^4}{6.626 \times 10^{-34}} \)
\( \nu = 7.24 \times 10^{18}\text{ Hz} \)
उत्पादित X-किरणों की अधिकतम आवृत्ति \( 7.24 \times 10^{18}\text{ Hz} \) है।
(b) X-किरणों द्वारा उत्पन्न न्यूनतम तरंगदैर्ध्य निम्नानुसार है:
\( \lambda = \frac{c}{\nu} \)
\( \lambda = \frac{3 \times 10^8}{7.24 \times 10^{18}} \)
\( \lambda = 4.14 \times 10^{-11}\text{ m} = 0.0414\text{ nm} \)
उत्पादित एक्स-किरणों की न्यूनतम तरंग दैर्ध्य \( 0.0414\text{ nm} \) है।

मुख्य बिंदु:

• एक्स-किरणों की अधिकतम ऊर्जा इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
• आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य में व्युत्क्रमानुपाती संबंध होता है।
• ऊर्जा का मान जूल में निकालने के लिए इलेक्ट्रॉन वोल्ट को \( 1.6 \times 10^{-19} \) से गुणा किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( \text{kV} \) को \( \text{V} \) में बदलने में गलती करना।
• \( \text{eV} \) को जूल में परिवर्तित किए बिना सीधे सूत्र में उपयोग करना।
• मात्रकों (SI units) का सही उपयोग न करना।

Exam Tips:

a) गणना करते समय घातों (+ve और -ve) का विशेष ध्यान रखें।
b) अंतिम उत्तर में उपयुक्त मात्रक अवश्य लिखें।
c) सूत्र स्पष्ट रूप से पहले लिखें।

Question 11.2: सीज़ियम धातु का कार्य-फलन \( 2.14\text{ eV} \) है। जब \( 6 \times 10^{14}\text{ Hz} \) आवृत्ति का प्रकाश धातु-पृष्ठ पर आपतित होता है, इलेक्ट्रॉनों का प्रकाशिक उत्सर्जन होता है।
(a) उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की उच्चतम गतिज ऊर्जा
(b) निरोधी विभव, और
(c) उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की उच्चतम चाल कितनी है?

Answer:

सीज़ियम धातु का कार्य-फलन, \( \phi_0 = 2.14\text{ eV} \)
प्रकाश की आवृत्ति, \( \nu = 6.0 \times 10^{14}\text{ Hz} \)
(a) फोटो इलेक्ट्रिक प्रभाव द्वारा उत्पन्न अधिकतम गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:
\( K = h\nu - \phi_0 \)
जहाँ \( h = \text{प्लांक स्थिरांक} = 6.626 \times 10^{-34}\text{ Js} \)
\( K = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 6 \times 10^{14}}{1.6 \times 10^{-19}} - 2.14 \)
\( K = 2.485 - 2.14 = 0.345\text{ eV} \)
उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा \( 0.345\text{ eV} \) है।
(b) निरोधी विभव \( V_0 \) को रोकने के लिए, हम गतिज ऊर्जा के लिए समीकरण लिख सकते हैं: \( K = eV_0 \)
\( V_0 = \frac{K}{e} \)
\( V_0 = \frac{0.345 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 0.345\text{ V} \)
पदार्थ का निरोधी विभव \( 0.345\text{ V} \) है।
(c) उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम चाल = \( v \)
गतिज ऊर्जा के लिए संबंध को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:
\( K = \frac{1}{2}mv^2 \)
जहाँ, \( m = \text{इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान} = 9.1 \times 10^{-31}\text{ kg} \)
\( v^2 = \frac{2K}{m} \)
\( v^2 = \frac{2 \times 0.345 \times 1.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}} = 0.1104 \times 10^{12} \)
\( v = 3.323 \times 10^5\text{ m/s} = 332.3\text{ km/s} \)
उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गति \( 332.3\text{ km/s} \) है।

मुख्य बिंदु:

• आइंस्टीन का प्रकाश-वैद्युत समीकरण \( K = h\nu - \phi_0 \) का उपयोग किया जाता है।
• निरोधी विभव \( eV_0 = K_{\text{max}} \) होता है।
• गतिज ऊर्जा और वेग के संबंध से चाल की गणना की जाती है।

आम गलतियाँ:

• eV को Joules में बदलना भूल जाना।
• कार्य-फलन और आपतित ऊर्जा की इकाइयों को एक समान न रखना।
• वर्गमूल निकालते समय घातों की गणना में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) सभी भागों ((a), (b), (c)) को अलग-अलग स्पष्ट हल करें।
b) प्रकाश-वैद्युत समीकरण का कथन संक्षिप्त में लिख सकते हैं।
c) गणना में दशमलव के दो-तीन स्थानों तक मान लें।

Question 11.3: एक विशिष्ट प्रयोग में प्रकाश विद्युत प्रभाव की अन्तक वोल्टता \(-1.5\text{ V}\) है। उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की उच्चतम गतिज ऊर्जा कितनी है?

Answer:

फोटोइलेक्ट्रिक अन्तक वोल्टता, \( V_0 = 1.5\text{ V} \)
उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा इस प्रकार है: \( K_e = eV_0 \)
जहाँ, \( e = \text{इलेक्ट्रॉन पर आवेश} = 1.6 \times 10^{-19}\text{ C} \)
\( K_e = 1.6 \times 10^{-19} \times 1.5 = 2.4 \times 10^{-19}\text{ J} \)
दिए गए प्रयोग में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा \( 2.4 \times 10^{-19}\text{ J} \) है।

मुख्य बिंदु:

• अन्तक वोल्टता (निरोधी विभव) का परिमाण अधिकतम गतिज ऊर्जा निर्धारित करता है।
• \( K_{\text{max}} = eV_0 \) सूत्र का सीधा अनुप्रयोग होता है।
• ऋणात्मक चिह्न केवल यह दर्शाता है कि विभव इलेक्ट्रॉनों को रोकने के लिए है।

आम गलतियाँ:

• गतिज ऊर्जा में ऋणात्मक चिह्न का प्रयोग करना, जबकि ऊर्जा हमेशा धनात्मक होती है।
• आवेश \( e \) के मान को गुणा करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) यह एक छोटा और सीधा प्रश्न है, अतः सूत्र लिखकर तुरंत हल करें।
b) ऊर्जा का मात्रक जूल (\(\text{J}\)) लिखना न भूलें।
c) समय बचाने के लिए इस प्रकार के प्रश्नों का अभ्यास करें।

Question 11.4: \(632.8\text{ nm}\) तरंगदैर्ध्य का एकवर्णी प्रकाश एक हीलियम-नियन लेसर के द्वारा उत्पन्न किया जाता है। उत्सर्जित शक्ति \(9.42\text{ mW}\) है।
(a) प्रकाश के किरण-पुंज में प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा तथा संवेग प्राप्त कीजिए।
(b) इस किरण-पुंज के द्वारा विकिरित किसी लक्ष्य पर औसतन कितने फोटॉन प्रति सेकण्ड पहुँचेंगे? (यह मान लीजिए कि किरण-पुंज की अनुप्रस्थ काट एकसमान है जो लक्ष्य के क्षेत्रफल से कम है), तथा
(c) एक हाइड्रोजन परमाणु को फोटॉन के बराबर संवेग प्राप्त करने के लिए कितनी तेज चाल से चलना होगा?

Answer:

एकवर्णी प्रकाश की तरंगदैर्ध्य, \( \lambda = 632.8\text{ nm} = 632.8 \times 10^{-9}\text{ m} \)
लेसर द्वारा उत्सर्जित शक्ति, \( P = 9.42\text{ mW} = 9.42 \times 10^{-3}\text{ W} \)
प्लांक स्थिरांक, \( h = 6.626 \times 10^{-34}\text{ Js} \)
प्रकाश की गति, \( c = 3 \times 10^8\text{ m/s} \)
हाइड्रोजन परमाणु का द्रव्यमान, \( m = 1.66 \times 10^{-27}\text{ kg} \)
(a) फोटॉन की ऊर्जा इस प्रकार है:
\( E = \frac{hc}{\lambda} \)
\( E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{632.8 \times 10^{-9}} = 3.141 \times 10^{-19}\text{ J} \)
फोटॉन का संवेग इस प्रकार है:
\( p = \frac{h}{\lambda} \)
\( p = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{632.8 \times 10^{-9}} = 1.047 \times 10^{-27}\text{ kg ms}^{-1} \)
(b) किरण पुंज द्वारा उत्सर्जित किसी लक्ष्य पर प्रति सेकण्ड आने वाले फोटॉनों की संख्या = \( n \)
मान लें कि पुंज की अनुप्रस्थ काट एक समान हैजो लक्ष्य क्षेत्र से कम है।
इसलिए, शक्ति के लिए समीकरण इस प्रकार लिख सकते हैं: \( P = nE \)
\( n = \frac{P}{E} \)
\( n = \frac{9.42 \times 10^{-3}}{3.141 \times 10^{-19}} = 3 \times 10^{16}\text{ photon/s} \)
(c) हाइड्रोजन परमाणु का संवेग फोटॉन के संवेग के समान है:
\( p = 1.047 \times 10^{-27}\text{ kg ms}^{-1} \)
संवेग को लिख सकते हैं: \( p = mv \)
जहाँ, \( v = \text{हाइड्रोजन परमाणु की गति} \)
\( v = \frac{p}{m} \)
\( v = \frac{1.047 \times 10^{-27}}{1.66 \times 10^{-27}} = 0.621\text{ m/s} \)

मुख्य बिंदु:

• फोटॉन की ऊर्जा \( E = \frac{hc}{\lambda} \) और संवेग \( p = \frac{h}{\lambda} \) होता है।
• शक्ति और प्रति सेकंड फोटॉनों की संख्या में संबंध \( P = nE \) होता है।
• परमाणु का संवेग \( p = mv \) सूत्र से वेग निकाला जाता है।

आम गलतियाँ:

• नैनोमीटर (\(\text{nm}\)) को मीटर (\(\text{m}\)) में बदलना भूल जाना।
• शक्ति की इकाई मिलीवाट (\(\text{mW}\)) को वाट (\(\text{W}\)) में न बदलना।
• हाइड्रोजन के द्रव्यमान का गलत मान उपयोग करना।

Exam Tips:

a) प्रश्न के तीनों भागों को क्रमानुसार हल करें।
b) प्रत्येक भाग में प्रयुक्त सूत्र को स्पष्ट लिखें।
c) गणना में वैज्ञानिक संकेतन (scientific notation) का प्रयोग करें।

Question 11.5: पृथ्वी के पृष्ठ पर पहुँचने वाला सूर्यप्रकाश का ऊर्जा-अभिवाह (फ्लक्स) \(1.388 \times 10^3\text{ W/m}^2\) है। लगभग कितने फोटॉन प्रति वर्ग मीटर प्रति सेकण्ड पृथ्वी पर आपतित होते हैं? यह मान लें कि सूर्य-प्रकाश में फोटॉन का औसत तरंगदैर्ध्य \(550\text{ nm}\) है।

Answer:

पृथ्वी की सतह तक पहुँचने ਵਾਲे सूर्य की रोशनी का ऊर्जा अभिवाह, \( \Phi = 1.388 \times 10^3\text{ W/m}^2 \)
इसलिए, प्रति वर्ग मीटर सूर्य के प्रकाश की शक्ति, \( P = 1.388 \times 10^3\text{ W} \)
प्रकाश की गति, \( c = 3 \times 10^8\text{ m/s} \)
प्लांक स्थिरांक, \( h = 6.626 \times 10^{-34}\text{ Js} \)
सूर्य के प्रकाश में मौजूद फोटॉन की औसत तरंग दैर्ध्य, \( \lambda = 550\text{ nm} = 550 \times 10^{-9}\text{ m} \)
पृथ्वी पर प्रति वर्ग मीटर आपतित प्रति सेकण्ड फोटॉनों की संख्या = \( n \), इसलिए, शक्ति के लिए समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है: \( P = nE \)
\( n = \frac{P}{E} = \frac{P\lambda}{hc} \)
\( n = \frac{1.388 \times 10^3 \times 550 \times 10^{-9}}{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} = 3.84 \times 10^{21}\text{ फोटॉन/m}^2\text{/s} \)
इसलिए, प्रत्येक सेकंड, \( 3.84 \times 10^{21} \) फोटॉन पृथ्वी पर प्रति वर्ग मीटर में आपतित होते हैं।

मुख्य बिंदु:

• ऊर्जा अभिवाह (Energy flux) प्रति एकांक क्षेत्रफल प्रति सेकंड मिलने वाली ऊर्जा है।
• फोटॉनों की संख्या निकालने के लिए कुल शक्ति को एक फोटॉन की ऊर्जा से भाग दिया जाता है।
• तरंगदैर्ध्य का मान एसआई पद्धति (मीटर) में होना आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• क्षेत्रफल के प्रभाव को दो बार गिन लेना।
• तरंगदैर्ध्य को नैनोमीटर से मीटर में बदलते समय घात की गलती करना।

Exam Tips:

a) ऊर्जा अभिवाह को प्रति एकांक क्षेत्रफल की शक्ति के रूप में समझें।
b) गणना को सरल बनाने के लिए अंश और हर की घातों को पहले हल करें।
c) अंतिम उत्तर में इकाई लिखना न भूलें।

Question 11.6: प्रकाश-विद्युत प्रभाव के एक प्रयोग में, प्रकाश आवृत्ति के विरुद्ध अन्तक वोल्टता की ढलान \(4.12 \times 10^{-15}\text{ Vs}\) प्राप्त होती है। प्लांक स्थिरांक का मान परिकलित कीजिए।

Answer:

एक आपतित प्रकाश की कट-ऑफ वोल्टेज (\(V\)) बनाम आवृत्ति (\(\nu\)) का ढलान निम्नानुसार दिया गया है:
\( \frac{V}{\nu} = 4.12 \times 10^{-15}\text{ Vs} \)
\( \nu \) को आवृत्ति के साथ निम्न सम्बन्ध से व्यक्त कर सकते हैं: \( h\nu = eV \)
जहाँ, \( e = \text{एक इलेक्ट्रॉन पर आवेश} = 1.6 \times 10^{-19}\text{ C} \) और \( h = \text{प्लांक स्थिरांक} \)
इसलिए, \( h = e \times \frac{V}{\nu} = 1.6 \times 10^{-19} \times 4.12 \times 10^{-15} = 6.592 \times 10^{-34}\text{ Js} \)
इसलिए, प्लांकस्थिरांक का मान \( 6.592 \times 10^{-34}\text{ Js} \) है।

मुख्य बिंदु:

• निरोधी विभव और आवृत्ति के ग्राफ की ढलान \( \frac{V}{\nu} = \frac{h}{e} \) होती है।
• प्लांक स्थिरांक ज्ञात करने के लिए ढलान को इलेक्ट्रॉन के आवेश से गुणा किया जाता है।
• यह प्रयोग प्लांक स्थिरांक के निर्धारण के लिए किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• ढलान के मान को इलेक्ट्रॉन के आवेश से भाग देना बजाय गुणा करने के।
• समीकरण में \( h \) और \( e \) के पक्षों को आपस में भ्रमित करना।

Exam Tips:

a) आइंस्टीन समीकरण से \( V \) और \( \nu \) का संबंध व्युत्पन्न करना सीखें।
b) ग्राफ की प्रवणता (slope) का भौतिक महत्व समझें।
c) मानक मान \( 6.63 \times 10^{-34} \) के आसपास ही उत्तर की जाँच करें।

Question 11.7: एक \(100\text{ W}\) सोडियम बल्ब (लैम्प) सभी दिशाओं में एकसमान ऊर्जा विकिरित करता है। लैम्प को एक ऐसे बड़े गोले के केन्द्र पर रखा गया है जो इस पर आपतित सोडियम के सम्पूर्ण प्रकाश को अवशोषित करता है। सोडियम प्रकाश का तरंगदैर्ध्य \(589\text{ nm}\) है।
(a) सोडियम प्रकाश से जुड़े प्रति फोटॉन की ऊर्जा कितनी है?
(b) गोले को किस दर से फोटॉन प्रदान किए जा रहे हैं?

Answer:

सोडियम बल्ब की शक्ति, \( P = 100\text{ W} \)
उत्सर्जित सोडियम प्रकाश की तरंग दैर्ध्य, \( \lambda = 589\text{ nm} = 589 \times 10^{-9}\text{ m} \)
प्लांक स्थिरांक, \( h = 6.626 \times 10^{-34}\text{ Js} \) तथा प्रकाश की गति, \( c = 3 \times 10^8\text{ m/s} \)
(a) सोडियम प्रकाश से संबंधित प्रति फोटॉन की ऊर्जा निम्नानुसार दी गई है:
\( E = \frac{hc}{\lambda} \)
\( E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{589 \times 10^{-9}} = 3.37 \times 10^{-19}\text{ J} = \frac{3.37 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 2.11\text{ eV} \)
(b) गोले को प्रदान होने वाले फोटॉनों की संख्या = \( n \)
शक्ति के लिए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता है: \( P = nE \)
\( n = \frac{P}{E} \)
\( n = \frac{100}{3.37 \times 10^{-19}} = 2.96 \times 10^{20}\text{ फोटॉन/s} \)
इसलिए, हर सेकंड, \( 2.96 \times 10^{20} \) फोटॉन को गोले तक पहुंचाया जाता है।

मुख्य बिंदु:

• बल्ब की कुल शक्ति दी गई हो तो प्रति सेकंड कुल ऊर्जा प्राप्त होती है।
• ऊर्जा को जूल और इलेक्ट्रॉन वोल्ट दोनों में निकाला जा सकता है।
• प्रति सेकंड फोटॉनों की दर \( \frac{P}{E} \) होती है।

आम गलतियाँ:

• तरंगदैर्ध्य को मीटर में न बदलना।
• ऊर्जा को eV में बदलने की आवश्यकता न होने पर भी अनावश्यक गणना करना।

Exam Tips:

a) दोनों भागों ((a) और (b)) को अलग-अलग headings के साथ हल करें।
b) गणना करते समय लघुगणक या मानक रूप का सही उपयोग करें।
c) उत्तर की इकाई स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 11.8: किसी धातु की देहली आवृत्ति \(3.3 \times 10^{14}\text{ Hz}\) है। यदि \(8.2 \times 10^{14}\text{ Hz}\) आवृत्ति का प्रकाश धातु पर आपतित हो तो प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन के लिए अन्तक वोल्टता ज्ञात कीजिए।

Answer:

धातु की देहली आवृत्ति, \( \nu_0 = 3.3 \times 10^{14}\text{ Hz} \)
धातु पर आपतित प्रकाश की आवृत्ति, \( \nu = 8.2 \times 10^{14}\text{ Hz} \)
इलेक्ट्रॉन पर आवेश, \( e = 1.6 \times 10^{-19}\text{ C} \)
प्लांक स्थिरांक, \( h = 6.626 \times 10^{-34}\text{ Js} \)
धातु से फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन के लिए अन्तक वोल्टता = \( V_0 \)
अन्तक ऊर्जा के लिए समीकरण इस प्रकार है: \( eV_0 = h(\nu - \nu_0) \)
\( V_0 = \frac{h(\nu - \nu_0)}{e} \)
\( V_0 = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times (8.2 \times 10^{14} - 3.3 \times 10^{14})}{1.6 \times 10^{-19}} = 2.0292\text{ V} \)
इसलिए, फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन के लिए अन्तक वोल्टता \( 2.0292\text{ V} \) है।

मुख्य बिंदु:

• अन्तक वोल्टता और आवृत्तियों का संबंध \( eV_0 = h(\nu - \nu_0) \) होता है।
• आपतित आवृत्ति देहली आवृत्ति से अधिक होने पर ही प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन संभव है।
• \( V_0 \) को निरोधी विभव भी कहा जाता है।

आम गलतियाँ:

• आपतित आवृत्ति और देहली आवृत्ति का अंतर निकालते समय घातों की गड़बड़ी करना।
• \( e \) से भाग देना भूल जाना।

Exam Tips:

a) आवृत्तियों को घटाते समय उभयनिष्ठ घात (\(10^{14}\)) बाहर निकालें।
b) सूत्र को पहले मूल रूप में लिखें।
c) उत्तर को दशमलव के चार स्थानों तक निकालें।

Question 11.9: किसी धातु के लिए कार्य-फलन \(4.2\text{ eV}\) है। क्या यह धातु \(330\text{ nm}\) तरंगदैर्ध्य के आपतित विकिरणे के लिए प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन देगा?

Answer:

नहीं
धातु का कार्य फलन, \( \phi_0 = 4.2\text{ eV} \)
एक इलेक्ट्रॉन पर आवेश, \( e = 1.6 \times 10^{-19}\text{ C} \)
प्लांक स्थिरांक, \( h = 6.626 \times 10^{-34}\text{ Js} \)
आपतित विकिरण का तरंग दैर्ध्य, \( \lambda = 330\text{ nm} = 330 \times 10^{-9}\text{ m} \)
प्रकाश की गति, \( c = 3 \times 10^8\text{ m/s} \)
आपतित फोटॉन की ऊर्जा निम्नानुसार दी गई है:
\( E = \frac{hc}{\lambda} \)
\( E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{330 \times 10^{-9}} = 6.0 \times 10^{-19} = \frac{6.0 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 3.76\text{ eV} \)
यह देखा जा सकता है कि आपतित विकिरण की ऊर्जा धातु के कार्य-फलन से कम है। इसलिए, कोई फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन नहीं होगा।

मुख्य बिंदु:

• प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन के लिए आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य-फलन से अधिक होनी चाहिए।
• यहाँ \( E < \phi_0 \) है, अतः उत्सर्जन असंभव है।
• तरंगदैर्ध्य से ऊर्जा की तुलना eV में करना सबसे आसान तरीका है।

आम गलतियाँ:

• निष्कर्ष निकालने में भूल करना कि ऊर्जा कम होने पर क्या होगा।
• Joules को eV में परिवर्तित न करना।

Exam Tips:

a) पहले 'नहीं' या 'हाँ' स्पष्ट रूप से लिखकर कारण दें।
b) तुलना करने के लिए दोनों मानो (\(E\) और \(\phi_0\)) की इकाई समान रखें।
c) गणना को संक्षिप्त और स्पष्ट रखें।

Question 11.10: \(7.21 \times 10^{14}\text{ Hz}\) आवृत्ति का प्रकाश एक धातु-पृष्ठ पर आपतित है। इस पृष्ठ से \(6.0 \times 10\text{ m/s}\) की उच्चतम गति से इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित हो रहे हैं। इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गति, \( v = 6.0 \times 10^5\text{ m/s} \) के लिए देहली आवृत्ति क्या है?

Answer:

आपतित फोटॉन की आवृत्ति, \( \nu = 488\text{ nm} = 488 \times 10^{-9}\text{ m} \) (ध्यान दें: प्रश्न में आवृत्ति दी गई है, मान \( \nu = 7.21 \times 10^{14}\text{ Hz} \))
इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गति, \( v = 6.0 \times 10^5\text{ m/s} \)
प्लांक स्थिरांक, \( h = 6.626 \times 10^{-34}\text{ Js} \)
एक इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान, \( m = 9.1 \times 10^{-31}\text{ kg} \)
देहली आवृत्ति \( \nu_0 \) के लिए, गतिज ऊर्जा के संबंध को निम्न रूप में लिखा गया है:
\( \frac{1}{2}mv^2 = h(\nu - \nu_0) \implies \nu_0 = \nu - \frac{mv^2}{2h} \)
\( \nu_0 = \frac{(9.1 \times 10^{-31}) \times (6 \times 10^5)^2}{2 \times (6.626 \times 10^{-34})} \)
\( = 7.21 \times 10^{14} - 2.472 \times 10^{14} = 4.738 \times 10^{14}\text{ Hz} \)
इसलिए, इलेक्ट्रॉनों की प्रकाश उत्सर्जन के लिए देहली आवृत्ति \( 4.738 \times 10^{14}\text{ Hz} \) है।

मुख्य बिंदु:

• गतिज ऊर्जा और आवृत्ति के बीच का संबंध \( \frac{1}{2}mv^2 = h(\nu - \nu_0) \) काम में लिया जाता है।
• देहली आवृत्ति \( \nu_0 \) को सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करके निकाला जाता है।
• इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान और वेग का सही मान रखना अनिवार्य है।

आम गलतियाँ:

• वेग का वर्ग (\(v^2\)) करना भूल जाना।
• हर में 2 से गुणा करना छोड़ देना।

Exam Tips:

a) समीकरण से अज्ञात राशि (\(\nu_0\)) को पहले बीजगणितीय रूप से अलग करें।
b) मात्रक हर्त्ज़ (\(\text{Hz}\)) लिखना न भूलें।
c) गणना के चरणों को स्पष्ट दिखाएं।

Question 11.11: \(488\text{ pm}\) तरंगदैर्ध्य का प्रकाश एक आर्गन लेसर से उत्पन्न किया जाता है, जिसे प्रकाश-विद्युत प्रभाव के उपयोग में लाया जाता है। जब इस स्पेक्ट्रमी-रेखा के प्रकाश को उत्सर्जक पर आपतित किया जाता है, तब प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों का निरोधी (अन्तक) विभव \(0.38\text{ V}\) है। उत्सर्जक के पदार्थ का कार्य-फलन ज्ञात करें।

Answer:

आर्गन लेसर द्वारा उत्पन्न प्रकाश की तरंग दैर्ध्य, \( \lambda = 488\text{ nm} = 488 \times 10^{-9}\text{ m} \)
फोटो इलेक्ट्रॉनों का निरोधी विभव, \( V_0 = 0.38\text{ V} \)
हमें ज्ञात है कि \( 1\text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19}\text{ J} \)
इसलिए, \( V_0 = \frac{0.38}{1.6 \times 10^{-19}}\text{ eV} \) (या सीधा \( eV_0 = 0.38\text{ eV} \))
प्लांक स्थिरांक, \( h = 6.6 \times 10^{-34}\text{ Js} \) तथा एक इलेक्ट्रॉन पर आवेश, \( e = 1.6 \times 10^{-19}\text{ C} \)
प्रकाश की गति, \( c = 3 \times 10\text{ m/s} \)
आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव से, उत्सर्जक पदार्थ का कार्य-फलन का संबंध इस प्रकार है:
\( eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0 \implies \phi_0 = \frac{hc}{\lambda} - eV_0 \)
\( \phi_0 = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19} \times 488 \times 10^{-9}} - 0.38 \)
\( = 2.54 - 0.38 = 2.16\text{ eV} \)
इसलिए, जिस सामग्री से उत्सर्जक बनाया जाता है, उसका कार्य-फलन \( 2.16\text{ eV} \) है।

मुख्य बिंदु:

• कार्य-फलन \( \phi_0 = \frac{hc}{\lambda} - eV_0 \) होता है।
• ऊर्जा को eV में बदलने से गणना आसान हो जाती है।
• पीकोमीटर (\(\text{pm}\)) या नैनोमीटर (\(\text{nm}\)) को मीटर में सावधानी से बदलें।

आम गलतियाँ:

• \( eV_0 \) और \( \frac{hc}{\lambda} \) की इकाइयां अलग-अलग रखकर जोड़ना या घटाना।
• तरंगदैर्ध्य के मान को गलत रखना।

Exam Tips:

a) पूरी समीकरण को eV में हल करना सबसे उत्तम रहता है।
b) मान रखते समय इकाइयों का विशेष ध्यान रखें।
c) अंतिम उत्तर में eV मात्रक अवश्य लिखें।

Question 11.12: \(56\text{ V}\) विभवान्तर के द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉनों का
(a) संवेग, और
(b) डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य परिकलित कीजिए।

Answer:

विभवान्तर, \( V = 56\text{ V} \)
प्लांक स्थिरांक, \( h = 6.6 \times 10^{-34}\text{ Js} \)
एक इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान, \( m = 9.1 \times 10^{-31}\text{ kg} \)
एक इलेक्ट्रॉन पर आवेश, \( e = 1.6 \times 10^{-19}\text{ C} \)
(a) संतुलन अवस्था में, प्रत्येक इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा त्वरित संवेग के बराबर होती है, अर्थात, हम प्रत्येक इलेक्ट्रॉन के वेग (\(v\)) के संबंध को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( \frac{1}{2}mv^2 = eV \implies v^2 = \frac{2eV}{m} \)
\( v = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 56}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{19.69 \times 10^{12}} = 4.44 \times 10^6\text{ m/s} \)
प्रत्येक त्वरित इलेक्ट्रॉन का संवेग इस प्रकार है:
\( p = mv = 9.1 \times 10^{-31} \times 4.44 \times 10^6 = 4.04 \times 10^{-24}\text{ kg ms}^{-1} \)
इसलिए, प्रत्येक इलेक्ट्रॉन का संवेग \( 4.04 \times 10^{-24}\text{ kg ms}^{-1} \) है।
(b) संवेग \( V \) द्वारा त्वरित एक इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रॉग्ली तरंग दैर्ध्य, निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है:
\( \lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}}\text{ \AA} \implies \lambda = \frac{12.27}{\sqrt{56}} \times 10^{-10}\text{ m} = 0.1639\text{ nm} \)
इसलिए, प्रत्येक इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रॉग्ली तरंग दैर्ध्य \( 0.1639\text{ nm} \) है।

मुख्य बिंदु:

• त्वरित विभव से जुड़े इलेक्ट्रॉनों के लिए \( \lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}}\text{ \AA} \) सीधा सूत्र उपयोगी है।
• संवेग \( p = \sqrt{2mE} = \sqrt{2meV} \) से भी सीधे निकाला जा सकता है।
• तरंगदैर्ध्य का मात्रक एंगस्ट्रॉम या नैनोमीटर में व्यक्त किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• वर्गमूल निकालते समय घातों की गणना में भूल करना।
• एंगस्ट्रॉम (\(\text{ \AA} \)) को मीटर में बदलते समय \( 10^{-10} \) लगाना भूल जाना।

Exam Tips:

a) शॉर्टकट सूत्र \( \lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}}\text{ \AA} \) का उपयोग करके समय बचा सकते हैं।
b) संवेग निकालने के लिए पहले वेग ज्ञात करना अधिक सुरक्षित विधि है।
c) उत्तर को सही सार्थक अंकों में लिखें।

Question 11.13: एक इलेक्ट्रॉन जिसकी गतिज ऊर्जा \(120\text{ eV}\) है, उसका
(a) संवेग, (b) चाल, और (c) डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य क्या है?

Answer:

इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा, \( E_k = 120\text{ eV} \) और प्लांक स्थिरांक, \( h = 6.6 \times 10^{-34}\text{ Js} \)
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान, \( m = 9.1 \times 10^{-31}\text{ kg} \) तथा एक इलेक्ट्रॉन पर आवेश, \( e = 1.6 \times 10^{-19}\text{ C} \)
(a) इलेक्ट्रॉन गतिज ऊर्जा के लिए, सम्बन्ध को निम्न प्रकार से व्यक्त कर सकते हैं:
\( E_k = \frac{1}{2}mv^2 \)
जहाँ, \( v = \text{इलेक्ट्रॉन की गति} \)
\( v = \sqrt{\frac{2Ee}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 120}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{42.198 \times 10^{12}} = 6.496 \times 10^6\text{ m/s} \)
इलेक्ट्रॉन का संवेग, \( p = mv = 9.1 \times 10^{-31} \times 6.496 \times 10^6 = 5.91 \times 10^{-24}\text{ kg ms}^{-1} \)
इसलिए, इलेक्ट्रॉन का संवेग \( 5.91 \times 10^{-24}\text{ kg ms}^{-1} \) है।
(b) इलेक्ट्रॉन की गति, \( v = 6.496 \times 10^6\text{ m/s} \)
(c) संवेग \( p \) वाले इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य, लिख सकते हैं:
\( \lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{5.91 \times 10^{-24}} = 1.116 \times 10^{-10}\text{ m} = 0.112\text{ nm} \)
इसलिए, इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य \( 0.112\text{ nm} \) है।

मुख्य बिंदु:

• गतिज ऊर्जा से पहले वेग \( v \) निकाला जाता है, फिर संवेग \( p = mv \) ज्ञात किया जाता है।
• डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य \( \lambda = \frac{h}{p} \) सूत्र से प्राप्त होती है।
• ऊर्जा को जूल में बदलना आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• गतिज ऊर्जा (\(\text{eV}\)) को सीधे वेग के सूत्र में बिना \( e \) के गुणा किए रख देना।
• तरंगदैर्ध्य के मात्रक को मीटर से नैनोमीटर में बदलना भूल जाना।

Exam Tips:

a) तीनों भागों को क्रमानुसार हल करें क्योंकि (b) और (c) के लिए (a) के परिणाम काम आते हैं।
b) गणना के हर चरण में इकाई अवश्य लिखें।
c) लघुगणक या कैलकुलेटर का सही उपयोग सुनिश्चित करें।

Question 11.14: सोडियम के स्पेक्ट्रमी उत्सर्जन रेखा के प्रकाश का तरंगदैर्ध्य \(589\text{ nm}\) है। वह गतिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए जिस पर
(a) एक इलेक्ट्रॉन, और (b) एक न्यूट्रॉन का डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य समान होगा।

Answer:

सोडियम प्रकाश रेखा का तरंगदैर्ध्य, \( \lambda = 589\text{ nm} = 589 \times 10^{-9}\text{ m} \)
एक इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान, \( m_e = 9.1 \times 10^{-31}\text{ kg} \) तथा न्यूट्रॉन का द्रव्यमान, \( m_n = 1.66 \times 10^{-27}\text{ kg} \)
प्लांक स्थिरांक, \( h = 6.6 \times 10^{-34}\text{ Js} \)
(a) वेग \( v \) से त्वरित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा के लिए सम्बन्ध निम्न प्रकार है:
\( K = \frac{1}{2}m_ev^2 \)     ...(1)
डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य के लिए सम्बन्ध निम्न प्रकार है:
\( \lambda = \frac{h}{m_ev} \implies v^2 = \frac{h^2}{\lambda^2 m_e^2} \)     ...(2)
समीकरण (1) में समीकरण (2) का मान रखने पर, हमें प्राप्त होगा:
\( K = \frac{1}{2}\frac{m_e h^2}{\lambda^2 m_e^2} = \frac{h^2}{2\lambda^2 m_e} \)     ...(3)
\( = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times (589 \times 10^{-9})^2 \times 9.1 \times 10^{-31}} = 6.9 \times 10^{-25}\text{ J} = 4.31\text{ \mu eV} \)
इसलिए, इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा \( 6.9 \times 10^{-25}\text{ J} \) या \( 4.31\text{ \mu eV} \) है।
(b) समीकरण (3) का उपयोग करते हुए, हम न्यूट्रॉन की गतिज ऊर्जा के लिए संबंध लिख सकते हैं:
\( K = \frac{h^2}{2\lambda^2 m_n} = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times (589 \times 10^{-9})^2 \times 1.66 \times 10^{-27}} = 3.78 \times 10^{-28}\text{ J} = 2.36\text{ neV} \)
इसलिए, न्यूट्रॉन की गतिज ऊर्जा \( 3.78 \times 10^{-28}\text{ J} \) या \( 2.36\text{ neV} \) है।

मुख्य बिंदु:

• गतिज ऊर्जा और डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य का संबंध \( K = \frac{h^2}{2m\lambda^2} \) होता है।
• इलेक्ट्रॉन और न्यूट्रॉन के द्रव्यमान भिन्न होने के कारण उनकी गतिज ऊर्जाएं भिन्न होती हैं।
• ऊर्जा को माइक्रॉइलेक्ट्रॉन वोल्ट (\(\mu\text{eV}\)) या नेनोइलेक्ट्रॉन वोल्ट (\(\text{neV}\)) में व्यक्त किया जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• इलेक्ट्रॉन और न्यूट्रॉन के द्रव्यमान को आपस में मिला देना।
• तरंगदैर्ध्य के वर्ग (\(\lambda^2\)) को करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) सामान्य सूत्र \( K = \frac{h^2}{2m\lambda^2} \) को सीधे याद रखना परीक्षा में समय बचाता है।
b) द्रव्यमान के मान मानक पुस्तकीय मानों का ही प्रयोग करें।
c) जूल को इलेक्ट्रॉन वोल्ट में बदलने के लिए \( 1.6 \times 10^{-19} \) से भाग दें।

Question 11.15: (a) एक \(0.040\text{ kg}\) द्रव्यमान का बुलेट जो \(1.0\text{ km/s}\) की चाल से चल रहा है, (b) एक \(0.060\text{ kg}\) द्रव्यमान की गेंद जो \(1.0\text{m/s}\) की चाल से चल रही है, और (c) एक धूल-कण जिसका द्रव्यमान \(1.0 \times 10^{-9}\text{ kg}\) और जो \(2.2\text{m/s}\) की चाल से अनुगमन कर रहा है, का डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य कितना होगा?

Answer:

(a) बुलेट का द्रव्यमान, \( m = 0.040\text{ kg} \)
बुलेट की गति, \( v = 1.0\text{ km/s} = 1000\text{ m/s} \)
प्लांक स्थिरांक, \( h = 6.6 \times 10^{-34}\text{ Js} \)
बुलेट के डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य संबंध द्वारा दिया जाता है:
\( \lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.040 \times 1000} = 1.65 \times 10^{-35}\text{ m} \)
(b) गेंद का द्रव्यमान, \( m = 0.060\text{ kg} \)
गेंद की गति, \( v = 1.0\text{ m/s} \)
गेंद के डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य द्वारा दिया जाता है:
\( \lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.060 \times 1} = 1.1 \times 10^{-32}\text{ m} \)
(c) धूल-कण का द्रव्यमान, \( m = 1 \times 10^{-9}\text{ kg} \)
धूल-कण की गति, \( v = 2.2\text{ m/s} \)
धूल-कण के डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य संबंध द्वारा दिया जाता है:
\( \lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.060 \times 1} \) (मान: \( 1.0 \times 10^{-9} \times 2.2 \))
\( \lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{1.0 \times 10^{-9} \times 2.2} = 3.0 \times 10^{-25}\text{ m} \) (सुधार: \( \frac{6.6 \times 10^{-34}}{2.2 \times 10^{-9}} = 3.0 \times 10^{-25}\text{ m} \))

मुख्य बिंदु:

• मैक्रोस्कोपिक (स्थूल) वस्तुओं के लिए डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य अत्यंत कम होती है, जो प्रायोगिक रूप से संसूचित नहीं की जा सकती।
• सूत्र \( \lambda = \frac{h}{mv} \) का प्रयोग किया जाता है।
• सभी राशियों को SI मात्रक में बदला जाता है।

आम गलतियाँ:

• किमी/सेकंड (\(\text{km/s}\)) को मीटर/सेकंड (\(\text{m/s}\)) में न बदलना।
• द्रव्यमान और वेग के गुणनफल में घातों की गलती करना।

Exam Tips:

a) तीनों भागों को अलग-अलग उप-शीर्षक देकर हल करें।
b) यह दर्शाने का प्रयास करें कि स्थूल वस्तुओं के लिए तरंगदैर्ध्य का कोई प्रायोगिक महत्व क्यों नहीं है।
c) गणना में सावधानी बरतें।

Question 11.16: एक इलेक्ट्रॉन और एक फोटॉन प्रत्येक का तरंगदैर्ध्य \(1.00\text{ pm}\) है।
(a) इनका संवेग,
(b) फोटॉन की ऊर्जा, और
(c) इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए।

Answer:

एक इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य (\(\lambda_e\)) और एक फोटॉन (\(\lambda_p\)), \( \lambda_e = \lambda_p = 1\text{ nm} = 1 \times 10^{-9}\text{ m} \) (ध्यान दें: प्रश्न में \(1.00\text{ pm} = 1 \times 10^{-12}\text{ m}\) दिया है)
प्लांक स्थिरांक, \( h = 6.63 \times 10^{-34}\text{ Js} \)
(a) प्राथमिक कण का संवेग डी-ब्रॉग्ली संबंध दिया गया है:
\( \lambda = \frac{h}{p} \implies p = \frac{h}{\lambda} \)
यह स्पष्ट है कि संवेग केवल कण की तरंग दैर्ध्य पर निर्भर करता है। चूकि एक इलेक्ट्रॉन और एक फोटॉन के तरंग दैर्ध्य समान होते हैं, दोनों में एक समान संवेग होता है।
\( p = \frac{6.63 \times 10^{34}}{1 \times 10^{-12}} = 6.63 \times 10^{-22}\text{ kg ms}^{-1} \) (यहाँ मान \( 6.63 \times 10^{-34} / 10^{-12} = 6.63 \times 10^{-22} \))
(b) फोटॉन की ऊर्जा को निम्न सम्बन्ध से प्रदर्शित कर सकते हैं: \( E = \frac{hc}{\lambda} \)
जहाँ, प्रकाश की गति, \( c = 3 \times 10^8\text{ m/s} \)
\( E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1 \times 10^{-12} \times 1.6 \times 10^{-19}} = 1243.1\text{ eV} = 1.243\text{ keV} \)
इसलिए, फोटॉन की ऊर्जा \( 1.243\text{ keV} \) है।
(c) एक इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा (\(K\)) जिसमें संवेग \( p \) होता है, निम्न संबंध द्वारा दी जाती है:
\( K = \frac{p^2}{2m} \)
जहाँ, \( m = \text{इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान} = 9.1 \times 10^{-31}\text{ kg} \) तथा \( p = 6.63 \times 10^{-22}\text{ kg ms}^{-1} \)
\( K = \frac{(6.63 \times 10^{-22})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}} = 2.415 \times 10^{-19} = \frac{2.415 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 1.51\text{ eV} \)
इसलिए, इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा \( 1.51\text{ eV} \) है।

मुख्य बिंदु:

• समान तरंगदैर्ध्य होने पर भी फोटॉन और इलेक्ट्रॉन की ऊर्जाएं भिन्न होती हैं क्योंकि उनके ऊर्जा-संवेग संबंध अलग होते हैं।
• फोटॉन के लिए \( E = \frac{hc}{\lambda} \) और इलेक्ट्रॉन के लिए \( K = \frac{p^2}{2m} \) प्रयोग होता ਹੈ।
• \( 1\text{ pm} = 10^{-12}\text{ m} \) होता है।

आम गलतियाँ:

• पीकोमीटर (\(\text{pm}\)) को नैनोमीटर समझ लेना।
• इलेक्ट्रॉन और फोटॉन की ऊर्जा के सूत्रों में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) पहले यह स्पष्ट करें कि समान तरंगदैर्ध्य के कारण दोनों का संवेग समान होगा।
b) गणना में इकाई परिवर्तन (\(\text{J}\) से \(\text{eV}\)) सावधानी से करें।
c) सभी भागों को स्पष्ट रूप से हल करें।

Question 11.7: (a) न्यूट्रॉन की किस गतिज ऊर्जा के लिए डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य \(1.40 \times 10^{-10}\text{ m} \) होगा?
(b) एक न्यूट्रॉन, जो पदार्थ के साथ तापीय साम्य में है और जिसकी \(300\text{ K}\) पर औसत गतिज ऊर्जा \(\frac{3}{2}kT\) है, का भी डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य ज्ञात कीजिए।

Answer:

(a) न्यूट्रॉन की डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य, \( \lambda = 1.40 \times 10^{-10}\text{ m} \)
न्यूट्रॉन का द्रव्यमान, \( m_n = 1.66 \times 10^{-27}\text{ kg} \) तथा प्लांक स्थिरांक, \( h = 6.6 \times 10^{-34}\text{ Js} \)
गतिज ऊर्जा (\(K\)) और वेग (\(v\)) का सम्बन्ध इस प्रकार है: \( K = \frac{1}{2}m_nv^2 \)     ...(1)
डी-ब्रॉग्ली तरंग दैर्ध्य (\(\lambda\)) और वेग (\(v\)) है: \( \lambda = \frac{h}{m_nv} \)     ...(2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) में प्रयोग करने पर,
\( K = \frac{1}{2}m_n \frac{h^2}{\lambda^2 m_n^2} = \frac{h^2}{2\lambda^2 m_n} = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{2 \times (1.40 \times 10^{-10})^2 \times 1.66 \times 10^{-27}} = 6.75 \times 10^{-21}\text{ J} \)
\( \frac{6.75 \times 10^{-21}}{1.6 \times 10^{-19}} = 4.219 \times 10^{-2}\text{ eV} \)
इसलिए, न्यूट्रॉन की गतिज ऊर्जा \( 6.75 \times 10^{-21}\text{ J} \) या \( 4.219 \times 10^{-2}\text{ eV} \) है।
(b) न्यूट्रॉन का तापमान, \( T = 300\text{ K} \)
बोल्ट्ज़मन स्थिरांक, \( k = 1.38 \times 10^{-23}\text{ m}^2\text{s}^{-2}\text{ K}^{-1} \)
न्यूट्रॉन की औसत गतिज ऊर्जा \( K' = \frac{3}{2}kT = \frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300 = 6.21 \times 10^{-21}\text{ J} \)
डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य के लिए सम्बन्ध निम्न है:
\( \lambda' = \frac{h}{\sqrt{2K'm_n}} \)
जहाँ, \( m_n = 1.66 \times 10^{-27}\text{ kg}, h = 6.6 \times 10^{-34}\text{ Js} \) और \( K' = 6.75 \times 10^{-21}\text{ J} \) (यहाँ मान \( 6.21 \times 10^{-21} \))
इसलिए,
\( \lambda' = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 6.21 \times 10^{-21} \times 1.66 \times 10^{-27}}} = 1.46 \times 10^{-10}\text{ m} = 0.146\text{ nm} \)
इसलिए, न्यूट्रॉन की डी-ब्रॉग्ली तरंग दैर्ध्य \( 0.146\text{ nm} \) है।

मुख्य बिंदु:

• तापीय न्यूट्रॉन की औसत गतिज ऊर्जा \( \frac{3}{2}kT \) होती है।
• डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य का तापीय ऊर्जा के पदों में सूत्र \( \lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}} \) या सामान्य सूत्र काम में लेते हैं।
• बोल्ट्ज़मन स्थिरांक का मान प्रश्नों में उपयोग होता है।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{3}{2}kT \) में 3/2 लिखना भूल जाना।
• वर्गमूल के अंदर के मानों में घातों की गलती करना।

Exam Tips:

a) तापीय न्यूट्रॉन से संबंधित प्रश्नों का अभ्यास अच्छे से करें।
b) सूत्रों को स्पष्ट रूप से पहले व्युत्पन्न या उल्लेख करें।
c) गणना के चरणों में सावधानी रखें।

Question 11.18: यह दर्शाइए कि विद्युत्चुंबकीय विकिरण का तरंगदैर्ध्य इसके क्वांटम (फोटॉन) के तरंगदैर्ध्य के बराबर है।

Answer:

ऊर्जा (\(h\nu\)) वाले एक फोटॉन के संवेग को दिया जा सकता है:
\( p = \frac{h\nu}{c} \implies \lambda = \frac{h}{p} \)     ...(i)
जहाँ, \( \lambda = \text{विद्युत चुम्बकीय विकिरण की तरंगदैर्ध्य} \)
\( c = \text{प्रकाश की गति} \) तथा \( h = \text{प्लांक स्थिरांक} \)
फोटॉन की डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य \( \lambda = \frac{h}{mv} \)
किन्तु, \( p = mv \),
इसलिए, \( \lambda = \frac{h}{p} \)     ...(ii)
जहाँ, \( m = \text{फोटॉन का द्रव्यमान} \) और \( v = \text{फोटॉन का वेग} \)
इसलिए, यह समीकरणों (i) और (ii) से अनुमान लगाया जा सकता है कि विद्युत चुम्बकीय विकिरण की तरंग दैर्ध्य फोटॉन के डी-ब्रॉग्ली तरंग दैर्ध्य के बराबर है।

मुख्य बिंदु:

• विद्युत चुंबकीय तरंग का तरंगदैर्ध्य उसके फोटॉन के डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य के संपाती होता है।
• फोटॉन के संवेग का सूत्र \( p = \frac{h}{\lambda} \) और \( p = \frac{h\nu}{c} \) दोनों संगत हैं।
• यह द्वैत प्रकृति की अवधारणा को पुष्ट करता है।

आम गलतियाँ:

• सैद्धांतिक प्रश्न में समीकरणों को सही से न जोड़ना।
• प्रतीकों को स्पष्ट न करना।

Exam Tips:

a) यह एक वैचारिक (theoretical) सिद्ध करने वाला प्रश्न है, अतः चरणबद्ध तरीके से लिखें।
b) समीकरण (i) और (ii) को स्पष्ट रूप से नामांकित करें।
c) अंत में निष्कर्ष वाक्य अवश्य लिखें।

Question 11.19: वायु में \(300\text{ K}\) ताप पर एक नाइट्रोजन अणु का डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य कितना होगा? यह मानें कि अणु इस ताप पर अणुओं के चाल वर्ग माध्य से गतिमान है। (नाइट्रोजन का परमाणु द्रव्यमान \( = 14.0076\text{ u}\))

Answer:

नाइट्रोजन अणु का तापमान, \( T = 300\text{ K} \)
नाइट्रोजन का परमाणु द्रव्यमान \(= 14.0076\text{ u} \)
इसलिए, नाइट्रोजन अणु का द्रव्यमान, \( m = 2 \times 14.0076 = 28.0152\text{ u} \)
किन्तु, \( 1\text{ u} = 1.66 \times 10^{-27}\text{ kg} \implies m = 28.0152 \times 1.66 \times 10^{-27}\text{ kg} \)
प्लांक स्थिरांक, \( h = 6.63 \times 10^{-34}\text{ Js} \)
बोल्ट्ज़मन स्थिरांक, \( k = 1.38 \times 10^{-23}\text{ J K}^{-1} \)
हमारे पास ऐसी अभिव्यक्ति है जो नाइट्रोजन अणु की औसत गति ऊर्जा (\(\frac{3}{2}kT\)) को वर्ग माध्य वेग (\(v_{\text{rms}}\)) से इस प्रकार संबंधित है:
\( \frac{1}{2}mv_{\text{rms}}^2 = \frac{3}{2}kT \implies v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} \)
इसलिए, नाइट्रोजन अणु की डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य व्यक्त कर सकते हैं:
\( \lambda = \frac{h}{mv_{\text{rms}}} = \frac{h}{\sqrt{3mkt}} \)
\( \lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times 28.0152 \times 1.66 \times 10^{-27} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}} \)
\( = 0.028 \times 10^{-9}\text{ m} = 0.028\text{ nm} \)
इसलिए, नाइट्रोजन अणु की डी-ब्रॉग्ली तरंग दैर्ध्य \( 0.028\text{ nm} \) है।

मुख्य बिंदु:

• वर्ग माध्य मूल वेग \( v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} \) का उपयोग किया जाता है।
• परमाणु द्रव्यमान इकाई (\(\text{u}\)) को किलोग्राम में बदलना आवश्यक है।
• नाइट्रोजन एक द्विपरमाणुक गैस है, अतः द्रव्यमान में 2 से गुणा किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• नाइट्रोजन को एकल परमाणु मानकर द्रव्यमान केवल \(14\text{ u}\) लेना।
• \( v_{\text{rms}} \) के सूत्र में \(3\) के स्थान पर अन्य संख्या लिखना।

Exam Tips:

a) गैस के अणुओं के लिए \( \lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}} \) सीधे सूत्र का उपयोग भी कर सकते हैं।
b) इकाई परिवर्तन (\(\text{u}\) से \(\text{kg}\)) सावधानी से करें।
c) गणना को दो भागों (पहले वेग, फिर तरंगदैर्ध्य) में करके हल करना आसान रहता है।