NCERT Solutions Class 12 Physics Chapter 06 Electromagnetic Induction (वैद्युतचुंबकीय प्रेरण) Additional Questions in Hindi

Question 6.11: मान लीजिए कि अभ्यास 6.4 में उल्लिखित लूप स्थिर है किन्तु चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करने वाले विधुत चुंबक में धारा का मान कम किया जाता है जिससे चुंबकीय क्षेत्र का मान अपने प्रारंभिक मान \( 0.37 \text{ T} \) से \( 0.02 \text{ s}^{-1} \) की दर से घटता है। अब यदि लूप का कटा भाग जोड़ दें जिससे प्राप्त बंद लूप का प्रतिरोध \( 1.6 \text{ } \Omega \) हो तो इस लूप में ऊष्मन के रूप में शक्ति हास क्या है? इस शक्ति का स्रोत क्या है?

Answer:

आयताकार पाश की भुजाएँ \( 8 \text{ cm} \) और \( 2 \text{ cm} \) हैं।
इसलिए, आयताकार पाश का क्षेत्रफल, \( A = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \)
\( = 8 \times 2 = 16 \text{ cm}^2 = 16 \times 10^{-4} \text{ m}^2 \)
चुंबकीय क्षेत्र की प्रारंभिक मान, \( B = 0.3 \text{ T} \)
चुंबकीय क्षेत्र में कमी की दर, \( \frac{dB}{dt} = 0.02 \text{ T/s} \)
पाश में पैदा होने वाला विधुत वाहक बल, \( e = \frac{d\Phi}{dt} \)
जहाँ, \( d\Phi = \text{पाश क्षेत्रफल से गुजरने वाले फ्लक्स में बदलाव} \)
\( e = \frac{d(AB)}{dt} = A \frac{dB}{dt} = 16 \times 10^{-4} \times 0.02 = 0.32 \times 10^{-4} \text{ V} \)
पाश का प्रतिरोध, \( R = 1.6 \text{ } \Omega \)
पाश में प्रेरित धारा, \( i = \frac{e}{R} = \frac{0.32 \times 10^{-4}}{1.6} = 2 \times 10^{-5} \text{ A} \)
पाश में अपव्यय होने वाली ऊर्जा ताप के रूप में होती है। इसलिए, \( P = i^2R \)
\( = (2 \times 10^{-5})^2 \times 1.6 = 6.4 \times 10^{-10} \text{ W} \)
इस ताप अपव्यय का स्रोत एक बाहरी एजेंट है, जो समय के साथ चुंबकीय क्षेत्र में बदलाव के लिए जिम्मेदार है।

मुख्य बिंदु:

• पाश का क्षेत्रफल \( 16 \times 10^{-4} \text{ m}^2 \) है।
• प्रेरित विधुत वाहक बल \( 0.32 \times 10^{-4} \text{ V} \) है।
• ऊर्जा का अपव्यय जूल तापन के कारण होता है।

आम गलतियाँ:

• क्षेत्रफल को वर्ग मीटर में बदलते समय घात की गलती करना।
• प्रेरित धारा के सूत्र में प्रतिरोध से भाग न देना।
• शक्ति के सही सूत्र \( P = i^2R \) का उपयोग न करना।

Exam Tips:

a) इकाइयों को हमेशा मानक (SI) प्रणाली में बदलें।
b) गणना करते समय घातों का विशेष ध्यान रखें।
c) ऊर्जा स्रोत का वैचारिक स्पष्टीकरण संक्षिप्त रूप में दें।

Question 6.12: \( 12 \text{ cm} \) भुजा वाला वर्गाकार लूप जिसकी भुजाएँ \( x \) एवं \( y \) अक्षों के समांतर हैं, \( x \text{-दिशा} \) में \( 8 \text{ cm s}^{-1} \) की गति से चलाया जा रहा है। लूप तथा उसकी गति का परिवेश धनात्मक \( x \text{-दिशा} \) के चुंबकीय क्षेत्र का है। चुंबकीय क्षेत्र न तो एकसमान है और न ही समय के साथ नियत है। इस क्षेत्र की ऋणात्मक दिशा में प्रवणता \( 10^{-3} \text{ T/cm} \) है (अर्थात ऋणात्मक \( x \text{-अक्ष} \) की दिशा में इकाई सेंटीमीटर दूरी पर क्षेत्र के मान में \( 10^{-3} \text{ Tcm}^{-1} \) की वृद्धि होती है), तथा क्षेत्र के मान में \( 10^{-3} \text{ T s}^{-1} \) की दर से कमी भी हो रही है। यदि कुंडली का प्रतिरोध \( 4.50 \text{ m}\Omega \) हो तो प्रेरित धारा का परिमाण एवं दिशा ज्ञात कीजिए।

Answer:

वर्गाकार लूप की भुजा, \( s = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m} \)
वर्गाकार लूप का क्षेत्रफल, \( A = 0.12 \times 0.12 = 0.0144 \text{ m}^2 \)
लूप का वेग, \( v = 8 \text{ cm/s} = 0.08 \text{ m/s} \)
नकारात्मक एक्स-दिशा के साथ चुंबकीय क्षेत्र का झुकाव, \( \frac{dB}{dx} = -10^{-3} \text{ Tcm}^{-1} = 10^{-1} \text{ T m}^{-1} \)
और, चुंबकीय क्षेत्र के घटने की दर, \( \frac{dB}{dt} = 10^{-3} \text{ T s}^{-1} \)
लूप का प्रतिरोध, \( R = 4.5 \text{ m}\Omega = 4.5 \times 10^{-3} \text{ } \Omega \)
गैर-समान चुंबकीय क्षेत्र में लूप की गति के कारण चुंबकीय प्रवाह के परिवर्तन की दर इस प्रकार है:
\( \frac{d\Phi}{dt} = A v \frac{dB}{dx} = 144 \times 10^{-4} \times 10^{-1} \times 0.08 = 11.52 \times 10^{-5} \text{ T m}^2 \text{ s}^{-1} \)
क्षेत्र \( B \) में स्पष्ट समय भिन्नता के कारण फ्लक्स के परिवर्तन की दर इस प्रकार है:
\( \frac{d\Phi}{dt} = A \frac{dB}{dx} = 144 \times 10^{-4} \times 10^{-3} = 11.44 \times 10^{-5} \text{ T m}^2 \text{ s}^{-1} \)
चूंकि फ्लक्स के परिवर्तन की दर प्रेरित emf है, इसलिए लूप में कुल प्रेरित emf की गणना की जा सकती है:
\( e = 144 \times 10^{-5} + 11.52 \times 10^{-5} = 12.96 \times 10^{-5} \text{ V} \)
प्रेरित धारा, \( i = \frac{e}{R} = \frac{12.96 \times 10^{-5}}{4.5 \times 10^{-3}} = 2.88 \times 10^{-2} \text{ A} \)
इसलिए, प्रेरित धारा की दिशा ऐसी है कि धनात्मक \( z \text{-दिशा} \) के साथ लूप के माध्यम से प्रवाह में वृद्धि हुई है।

मुख्य बिंदु:

• लूप का क्षेत्रफल \( 0.0144 \text{ m}^2 \) है।
• कुल प्रेरित वि.वा.ब. दोनों प्रभावों (स्थान और समय) का योग है।
• प्रेरित धारा का मान \( 2.88 \times 10^{-2} \text{ A} \) प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• समय और स्थान आधारित प्रवणता दोनों को न जोड़ना।
• सेंटीमीटर को मीटर में बदलते समय गलती करना।
• प्रतिरोध के मिली-ओम (\( \text{m}\Omega \)) को ओम में बदलना भूल जाना।

Exam Tips:

a) प्रश्न में दी गई प्रवणता के चिन्ह का ध्यानपूर्वक उपयोग करें।
b) सभी भौतिक राशियों को SI पद्धति में पहले ही परिवर्तित कर लें।
c) अंतिम उत्तर में धारा की दिशा का उल्लेख अवश्य करें।

Question 6.13: एक शक्तिशाली लाउडस्पीकर के चुंबक के ध्रुवों के बीच चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता के परिमाण का मापन किया जाना है। इस हेतु एक छोटी चपटी \( 2 \text{ cm}^2 \) क्षेत्रफल की अन्वेषी कुंडली (Search coil) का प्रयोग किया गया है। इस कुंडली में पास-पास लिपटे \( 25 \) फेरे हैं तथा इसे चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत व्यवस्थित किया गया है और तब इसे द्रुत गति से क्षेत्र के बाहर निकाला जाता है। तुल्यतः एक अन्य विधि में अन्वेषी कुंडली को \( 90^\circ \) से तेजी से घुमा देते हैं जिससे कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के समांतर हो जाए। इन दोनों घटनाओं में कुल \( 7.5 \text{ mC \) आवेश का प्रवाह होता है (जिसे परिपथ में प्रक्षेप धारामापी लगाकर ज्ञात किया गया है)। कुंडली तथा धारामापी का संयुक्त प्रतिरोध \( 0.502 \text{ } \Omega \) है। चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता का आकलन कीजिए।

Answer:

छोटी चपटी अन्वेषी कुंडली का क्षेत्रफल, \( A = 2 \text{ cm}^2 = 2 \times 10^{-4} \text{ m}^2 \)
कुंडली पर फेरों की संख्या, \( N = 25 \)
कुंडली में बहने वाला कुल आवेश, \( Q = 7.5 \text{ mC} = 7.5 \times 10^{-3} \text{ C} \)
कुंडली और गैल्वेनोमीटर का कुल प्रतिरोध, \( R = 0.50 \text{ } \Omega \)
कुंडली में प्रेरित धारा, \( I = \frac{\text{प्रेरित } emf (e)}{R} \) ... (1)
प्रेरित, \( emf: e = -N \frac{d\Phi}{dt} \) ... (2)
जहाँ, \( d\Phi = \) फ्लक्स में बदलाव है, समीकरण (1) और (2) से
\( I = -\frac{N}{R} \frac{d\Phi}{dt} \implies Idt = -\frac{N}{R} d\Phi \) ... (3)
कुंडली में प्रारंभिक फ्लक्स, \( \Phi_1 = BA \)
जहाँ, \( B = \) चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता तथा कुंडली में अंतिम फ्लक्स, \( \Phi_f = 0 \)
समीकरण (3) का दोनों तरफ समाकलन करने पर, \( \int I dt = \int -\frac{N}{R} d\Phi \implies \frac{-N}{R} (\Phi_f - \Phi_1) \)
कुल आवेश, \( Q = \int I dt \)
\( \therefore Q = \frac{-N}{R} (\Phi_f - \Phi_1) = \frac{-N}{R} (0 - \Phi_1) \implies Q = \frac{NBA}{R} \)
\( \therefore B = \frac{QR}{NA} = \frac{7.5 \times 10^{-3} \times 0.5}{25 \times 2 \times 10^{-4}} = 0.75 \text{ T} \)
इसलिए, चुंबक की क्षेत्र तीव्रता \( 0.75 \text{ T} \) है।

मुख्य बिंदु:

• आवेश का मान धारा के समाकलन से निकाला जाता है (\( Q = \int Idt \))।
• कुल फ्लक्स परिवर्तन \( N \times B \times A \) होता है।
• चुंबकीय क्षेत्र का मान \( 0.75 \text{ T} \) प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• फेरों की संख्या \( N \) को सूत्र में शामिल करना भूल जाना।
• आवेश की यूनिट \( \text{mC} \) को कूलॉम में न बदलना।
• समाकलन के चरण को ठीक से न समझना।

Exam Tips:

a) आवेश और फ्लक्स परिवर्तन के संबंध वाले व्युत्पन्न को याद रखें।
b) क्षेत्र से बाहर निकालने पर अंतिम फ्लक्स शून्य होता है, इसका ध्यान रखें।
c) सभी मानों को मानक इकाइयों में लिखकर ही गणना करें।

Question 6.14: चित्र में एक धातु की छड़ PQ दर्शाया गया है जो पटरियों AB पर रखी है तथा एक स्थायी चुंबक के ध्रुवों के मध्य स्थित है। पटरियाँ, छड़ एवं चुंबकीय क्षेत्र परस्पर अभिलंबवत दिशाओं में हैं। एक गैल्वेनोमीटर (धारामापी) G को पटरियों से एक स्विच K की सहायता से संयोजित किया गया है। छड़ की लंबाई \( = 15 \text{ cm}, B = 0.50 \text{ T} \) तथा पटरियों, छड़ तथा धारामापी से बने बंद लूप का प्रतिरोध \( = 9.0 \text{ m}\Omega = 9.0 \times 10^{-3} \text{ } \Omega \) है। क्षेत्र को एकसमान मान लें।
(a) माना कुंजी K खुली है तथा छड़ \( 12 \text{ cm s}^{-1} \) की चाल से दर्शायी गई दिशा में गतिमान है। प्रेरित विधुत वाहक बल का मान एवं ध्रुवता बताइए!
(b) क्या कुंजी K खुली होने पर छड़ के सिरों पर आवेश का अधिक्य हो जाएगा? क्या होगा यदि कुंजी K बंद कर दी जाए?
(c) जब कुंजी K खुली हो तथा छड़ एकसमान वेग से गति में हो तब भी इलेक्ट्रॉनों पर कोई परिणामी बल कार्य नहीं करता यद्यपि उन पर छड़ की गति के कारण चुंबकीय बल कार्य करता है। कारण स्पष्ट कीजिए।
(d) कुंजी बंद होने की स्थिति में छड़ पर लगने वाले अमनंदन बल का मान क्या होगा?
(e) कुंजी बंद होने की स्थिति में छड़ को उसी चाल (\( = 12 \text{ cm s}^{-1} \)) से चलाने हेतु कितनी शक्ति (बाह्य कारक के लिए) की आवश्यकता होगी?
(f) बंद परिपथ में कितनी शक्ति का ऊष्मा के रूप में क्षय होगा? इस शक्ति का स्रोत क्या है?
(g) गतिमान छड़ में उत्पन्न वाहक बल का मान क्या होगा यदि चुंबकीय क्षेत्र की दिशा पटरियों के लंबवत होने की बजाय उनके समांतर हो?

Answer:

छड़ की लंबाई, \( l = 15 \text{ cm} = 0.15 \text{ m} \) तथा चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता, \( B = 0.50 \text{ T} \)
बंद लूप का प्रतिरोध, \( R = 9 \text{ m}\Omega = 9 \times 10^{-3} \text{ } \Omega \)
(a) प्रेरित \( emf = 9 \text{ mV} \); प्रेरित emf की ध्रुवीयता ऐसी है कि अंत P धनात्मक दिखाता है जबकि अंत Q ऋणात्मक छोर दिखाता है। छड़ की गति, \( v = 12 \text{ cm/s} = 0.12 \text{ m/s} \text{ प्रेरित } emf \) इस प्रकार दिया गया है: \( e = Bvl = 0.5 \times 0.12 \times 0.15 = 9 \times 10^{-3} \text{ V} = 9 \text{ mV} \)
प्रेरित emf की ध्रुवता ऐसी है कि सिरा P धनात्मक दिखाता है जबकि सिरा Q ऋणात्मक दिखाता है।
(b) हाँ, जब कुंजी K बंद हो जाता है, तो वर्तमान अतिरिक्त आवेश को निरंतर प्रवाह द्वारा बनाए रखा जाता है। जब कुंजी K खुला होता है, तो छड़ के दोनों सिरों पर अतिरिक्त आवेश निर्मित होता है। जब कुंजी K बंद हो जाता है, तो वर्तमान अतिरिक्त आवेशको निरंतर प्रवाह द्वारा बनाए रखा जाता है।
(c) छड़ के दोनों सिरों पर विपरीत प्रकृति के अतिरिक्त आवेश के कारण विधुत बल द्वारा चुंबकीय बल को रद्द कर दिया जाता है। छड़ KQ में इलेक्ट्रॉनों पर कोई शुद्ध बल नहीं है जब कुंजी K खुला होता है और छड़ समान रूप से घूमता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि छड़ के दोनों छोर पर विपरीत प्रकृति के चार्ज के कारण विधुत बल द्वारा चुंबकीय बल को रद्द कर दिया जाता है।
(d) छड़ पर लगाने वाला मंदन बल, \( F = IBl \)
जहाँ, \( I = \) छड़ में प्रवाहित धारा \( = \frac{e}{R} = \frac{9 \times 10^{-3}}{9 \times 10^{-3}} = 1 \text{ A} \)
\( \therefore F = 1 \times 0.5 \times 0.15 = 75 \times 10^{-3} \text{ N} \)
(e) \( 9 \text{ mW} \); कुंजी K के खुले होने पर कोई शक्ति व्यय नहीं होती है।
छड़ की गति, \( v = 12 \text{ cm/s} = 0.12 \text{ m/s} \)
इसलिए, शक्ति \( P = Fv = 75 \times 10^{-3} \times 0.12 = 9 \times 10^{-3} \text{ W} = 9 \text{ mW} \)
इस शक्ति का स्रोत बाह्य कारक है।
(f) शून्य
(g) इस मामले में, कुंडली में कोई emf प्रेरित नहीं होता क्योंकि छड़ की गति क्षेत्र की रेखाओं के पार नहीं होती है।

मुख्य बिंदु:

• प्रेरित वि.वा.ब. का मान \( e = Bvl \) होता है।
• कुंजी खुली होने पर आवेश एकत्र होता है, बंद होने पर धारा बहती है।
• चुंबकीय बल और विद्युत बल एक-दूसरे को संतुलित करते हैं।

आम गलतियाँ:

• सिरों की ध्रुवता (पॉजिटिव/नेगेटिव) पहचानने में भूल करना।
• शक्ति और बल के सूत्रों में मान रखते समय मात्रक न बदलना।
• क्षेत्र समांतर होने पर प्रेरित वि.वा.ब. को शून्य न समझना।

Exam Tips:

• ऐसे बहु-भागीय प्रश्नों को एक-एक उप-भाग करके हल करें।
• फ्लेमिंग के नियम या लॉरेंज बल की अवधारणा का स्पष्ट उल्लेख करें।
• मात्रकों की एकरूपता का विशेष ध्यान रखें।

Question 6.15: वायु के क्रोड वाली एक परिनालिका में, जिसकी लंबाई \( 30 \text{ cm} \) तथा अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल \( 25 \text{ cm}^2 \) तथा कुल फेरे \( 500 \) हैं, \( 2.5 \text{ A} \) धारा प्रवाहित हो रही है। धारा को \( 10^{-3} \text{ s} \) के अंतराल में अचानक बंद कर दिया जाता है। परिपथ में स्विच के खुले सिरों के बीच उच्चत औसत विधुत वाहक बल का मान क्या होगा? परिनालिका के सिरों पर चुंबकीय क्षेत्र के परिवर्तन की उपेक्षा कर सकते हैं।

Answer:

परिनालिका की लंबाई, \( l = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m} \)
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल, \( A = 25 \text{ cm}^2 = 25 \text{ 10}^{-4} \text{ m}^2 \)
परिनालिका पर फेरों की संख्या, \( N = 500 \) तथा परिनालिका में धारा, \( I = 2.5 \text{ A} \)
समय के लिए वर्तमान धारा, \( t = 10^{-3} \text{ s} \)
औसत विपरीत \( emf, e = \frac{d\Phi}{dt} \) ... (1)
जहाँ, \( d\Phi = \) फ्लक्स में बदलाव \( = NAB \) ... (2)
\( B = \) चुंबकीय की तीव्रता \( = \mu_0 \frac{NI}{l} \) ... (3)
जहाँ, \( \mu_0 = \) मुक्त आकाश की पारगम्यता \( = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m A}^{-1} \)
समीकरण (1) में समीकरण (2) और (3) का मान रखने पर,
\( e = \frac{\mu_0 N^2 I A}{lt} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times (500)^2 \times 2.5 \times 25 \times 10^{-4}}{0.3 \times 10^{-3}} = 6.5 \text{ V} \)
इसलिए, परिनालिका में औसत प्रेरित \( emf \) \( 6.5 \text{ V} \) है।

मुख्य बिंदु:

• परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र \( B = \mu_0 \frac{NI}{l} \) होता है।
• प्रेरित वि.वा.ब. का सूत्र \( e = \frac{d(N\Phi)}{dt} \) है।
• औसत प्रेरित वि.वा.ब. \( 6.5 \text{ V} \) प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• परिनालिका के लिए \( B \) के सूत्र में फेरों की संख्या \( N \) भूल जाना।
• क्षेत्रफल और लंबाई को SI मात्रक में न बदलना।
• \( \mu_0 \) का मान गलत रखना।

Exam Tips:

a) परिनालिका से संबंधित सभी मानक सूत्रों को याद रखें।
b) समय परिवर्तन \( dt \) से भाग देना न भूलें।
c) गणना के अंत में सही मात्रक (\( \text{V} \)) लिखें।

Question 6.16: (a) चित्र में दर्शाइए अनुसार एक लंबे, सीधे, तार तथा एक वर्गाकार लूप जिसकी एक भुजा की लंबाई \( a \) है, के लिए अन्योन्य प्रेरकत्व का व्यंजक प्राप्त कीजिए।
(b) अब मान लीजिए कि सीधे तार में \( 50 \text{ A} \) की धारा प्रवाहित हो रही है तथा लूप एक स्थिर वेग \( = 10 \text{ m/s} \) से दाईं ओर को गति कर रहा है। लूप में प्रेरित विधुत वाहक बल का परिकलन उस क्षण पर कीजिए जब \( x = 0.2 \text{ m} \) हो। लूप के लिए \( a = 0.1 \text{ m} \) लीजिए तथा यह मान लीजिए कि उसका प्रतिरोध बहुत अधिक है।

Answer:

(a) लम्बे सीधे तार से \( y \) दूरी पर लूप में एक छोटा कण \( dy \) लें (जैसा कि दिए चित्र में दिखाया गया है)।
कण \( dy \) के साथ चुंबकीय प्रवाह, \( d\Phi = BdA \), जहाँ, \( dA = \) कण \( dy \) का क्षेत्रफल
दूरी \( y \) पर चुंबकीय क्षेत्र \( B = \frac{\mu_0 I}{2\pi y} \)
जहाँ, \( I = \) तार में धारा तथा \( \mu_0 = \) मुक्त आकाश की पारगम्यता \( = 4\pi \times 10^{-7} \)
\( \therefore d\Phi = \frac{\mu_0 I dy}{2\pi y} \implies d\Phi = \frac{\mu_0 I}{2\pi} \int \frac{dy}{y} \)
\( y \) का मान \( x \) से \( a + x \) बदलता है, इसलिए
\( \Phi = \int_{x}^{a+x} \frac{\mu_0 I dy}{2\pi y} = \frac{\mu_0 I}{2\pi} [\log_e y]_{x}^{a+x} = \frac{\mu_0 I}{2\pi} \log_e \left(\frac{a+x}{x}\right) \)
अन्योन्य प्रेरण \( M \) के लिए, फ्लक्स निम्नानुसार दिया गया है: \( \Phi = MI \)
\( \therefore MI = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \log_e \left(\frac{a}{x} + 1\right) \implies M = \frac{\mu_0 a}{2\pi} \log_e \left(\frac{a}{x} + 1\right) \)
(b) लूप में प्रेरित \( emf, e = B'av = \left(\frac{\mu_0 I}{2\pi y}\right) av \)
प्रश्नुसार, \( I = 50 \text{ A}, x = 0.2 \text{ m}, a = 0.1 \text{ m} \) तथा \( v = 10 \text{ m/s}, \) इसलिए
\( e = \frac{4 \times 10^{-7} \times 50 \times 0.1 \times 10}{2\pi \times 0.2} = 5 \times 10^{-5} \text{ V} \)

मुख्य बिंदु:

• सीधे तार के पास चुंबकीय क्षेत्र \( B = \frac{\mu_0 I}{2\pi y} \) होता है।
• समाकलन का प्रयोग करके कुल फ्लक्स ज्ञात किया जाता है।
• अन्योन्य प्रेरकत्व \( M \) का व्यंजक दूरी \( x \) पर निर्भर करता है।

आम गलतियाँ:

• समाकलन की सीमाएँ (\( x \) से \( a+x \)) गलत लेना।
• लघुगणक (\( \log_e \)) के गुणों का सही उपयोग न करना।
• प्रेरित वि.वा.ब. के सूत्र में सही दूरी \( y \) का मान न रखना।

Exam Tips:

a) व्युत्पत्ति करते समय छोटे अवयव \( dy \) का चयन सावधानी से करें।
b) समाकलन के चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।
c) न्यूमेरिकल मान रखते समय दी गई दूरियों का योग सही करें।

Question 6.17: किसी \( M \) द्रव्यमान तथा \( R \) त्रिज्या वाले एक पहिए के किनारे (rim) पर एक रैखिक आवेश स्थापित किया गया है जिसकी प्रति इकाई लंबाई पर आवेश का मान \( \lambda \) है। पहिए के स्पोक हल्के एवं कुचालक हैं तथा वह अपने अक्ष के परितः घर्षण रहित घूर्णन हेतु स्वतंत्र है जैसा कि चित्र 6.22 में दर्शाया गया है। पहिए के वृत्तीय भाग पर, रिम के अंदर एकसमान चुंबकीय क्षेत्र विस्तृत है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है, जहाँ,
\( B = -B_0\hat{k} \quad (r \le a; a < R) \)
\(= 0 \quad (\text{अन्यथा}) \)
चुंबकीय क्षेत्र को अचानक 'ऑफ' (Switched off) करने के पश्चात, पहिए का कोणीय वेग ज्ञात कीजिए।

Answer:

जहाँ, \( r = \) पहिया के भीतर बिंदु की दूरी तथा पहिए का द्रव्यमान \(= M\)
पहिए की त्रिज्या \(= R \) और चुंबकीय क्षेत्र, \( b = B_0\hat{k} \)
दूरी \( r \) पर, चुंबकीय बल केंद्राभिसारी बल द्वारा संतुलित किया जाता है, अर्थात, \( BQv = \frac{Mv^2}{r} \)
जहाँ, \( v = \) पहिए का रेखीय वेग
\( \implies B_0 \pi r^2 \lambda \frac{v}{r} = \frac{Mv^2}{r} \implies v = \frac{B_0 \pi r^2 \lambda r}{M} \)
कोणीय वेग \( \omega = \frac{v}{R} = \frac{B_0 \pi r^2 \lambda r}{MR} \)
दिया है: \( r \le a \le R \), इसलिए, कोणीय वेग \( \omega = -\frac{2\pi B_0 a^2}{MR}\lambda \)

मुख्य बिंदु:

• चुंबकीय बल और अभिकेंद्र बल का संतुलन उपयोग होता है।
• आवेशित रि, कुल आवेश \( Q = \lambda \times 2\pi r \) से संबंधित है।
• कोणीय वेग \( \omega \) चुंबकीय क्षेत्र हटाने के पश्चात उत्पन्न होता है।

आम गलतियाँ:

• रैखिक आवेश घनत्व \( \lambda \) से कुल आवेश निकालते समय परिधि \( 2\pi r \) भूल जाना।
• रेखीय वेग और कोणीय वेग के संबंध में भ्रमित होना।
• त्रिज्या \( r \) और \( R \) में अंतर स्पष्ट न करना।

Exam Tips:

a) घूर्णन गति और चुंबकीय बल के संयोजन वाले प्रश्नों का अभ्यास करें।
b) व्यंजक निकालते समय संकेतों का विशेष ध्यान रखें।
c) अंतिम परिणाम को मानक पदों में व्यक्त करें।