NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 13 Probability (प्रायिकता) Exercise 13.3 in Hindi

Question 1: एक कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं। यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है, इसका रंग नोट करने के बाद पुनः कलश में रख दी जाती है। पुनः निकले गए रंग की 2 अतिरिक्त गेंदें कलश में रख दी जाती है तथा कलश में से एक गेंद निकाली जाती है। दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता क्या है?

Answer:

कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं। माना पहली बार में लाल गेंद निकलती है:
\( P(\text{पहली बार में लाल गेंद निकलना}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
यदि अब कलश में दो लाल गेंद और डाल दी जाएँ तो कलश में कुल 7 लाल और 5 काली गेंदें होंगी। इसलिए, अब:
\( P(\text{लाल गेंद निकलना}) = \frac{7}{12} \)
माना पहली बार में काली गेंद निकलती है:
\( P(\text{पहली बार में काली गेंद निकलना}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
यदि दो काली गेंदें कलश में और रख दी जाएँ तो कलश में कुल 5 लाल और 7 काली गेंदें हो जाएँगी।
\( P(\text{लाल गेंद निकलना}) = \frac{5}{12} \)
दूसरी गेंद लाल होने की प्रायिकता = \( \frac{1}{2} \times \frac{7}{12} + \frac{1}{2} \times \frac{5}{12} = \frac{7}{24} + \frac{5}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \)

मुख्य बिंदु:

• प्रायिकता के योग नियम और गुणन नियम का प्रयोग।
• प्रत्येक चरण में कलश में गेंदों की कुल संख्या का ध्यान रखना।
• स्वतंत्र और असह घटना की संकल्पना।

आम गलतियाँ:

• दूसरी बार गेंद निकालते समय कुल गेंदों की संख्या में परिवर्तन न करना।
• अतिरिक्त गेंदें जोड़ने के बाद लाल और काली गेंदों की सही संख्या न जोड़ना।
• कुल प्रायिकता निकालते समय दोनों केसों को न जोड़ना।

Exam Tips:

a) वृक्ष आरेख (Tree Diagram) बनाकर प्रश्नों को हल करना आसान होता है।
b) सभी भिन्नों को अंत में सरलतम रूप में लिखें।
c) प्रत्येक संभावना के लिए अलग से प्रायिकता लिखकर अंत में कुल योग निकालें।

Question 2: एक थैле में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं और एक अन्य थैле में 2 लाल और 6 काली गेंदें हैं। दोनों थैलों में से एक को यादृच्छया चुना जाता है और उसमें से एक गेंद निकाली जाती है जो कि लाल है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि गेंद पहले थैले से निकाली गई है?

Answer:

माना \( E_1 \) और \( E_2 \) घटनाएँ क्रमशः पहले और दूसरे थैले को चुनना हैं।
\( P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2} \)
माना A घटना एक लाल गेंद निकालने को निरूपित करता है:
\( P(A|E_1) = P(\text{पहले थैले में से लाल गेंद निकलना}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
\( P(A|E_2) = P(\text{दूसरे थैले में से लाल गेंद निकलना}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)
इसलिए, गेंद पहले थैले से निकलने की प्रायिकता, जबकि पहली निकली गई गेंद लाल है, निम्नलिखित है:
\( P(E_1|A) = \frac{P(E_1) \cdot P(A|E_1)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2)} \)
\( P(E_1|A) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{8}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{8}} = \frac{2}{3} \)

मुख्य बिंदु:

• यह बेयस प्रमेय (Bayes' Theorem) का एक मानक प्रश्न है।
• थैले चुनने की प्रायिकता समान (\( \frac{1}{2} \)) है।
• प्रत्येक थैले से लाल गेंद निकलने की सशर्त प्रायिकता ज्ञात करना।

आम गलतियाँ:

• बेयस प्रमेय के सूत्र में मान रखते समय हर (Denominator) में कुल प्रायिकता का योग न करना।
• भिन्नों के जोड़ और भाग में गणना संबंधी त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) बेयस प्रमेय का सूत्र स्पष्ट रूप से लिखें।
b) सभी मानों को अलग-अलग लिखकर फिर सूत्र में प्रतिस्थापित करें।
c) गणना को दो-तीन चरणों में हल करें ताकि गलती न हो।

Question 3: यह ज्ञात है कि एक महाविद्यालय के छात्रों में से 60% छात्रावास में रहते हैं और 40% छात्रावास में नहीं रहते हैं। पूर्ववर्ती वर्ष के परिणाम सूचित करते हैं कि छात्रावास में रहने वाले छात्रों में से 30% और छात्रावास में न रहने वाले 20% छात्रों में से छात्रों ने A-ग्रेड लिया है। वर्ष के अंत में महाविद्यालय के एक छात्र को यादृच्छया चुना गया और यह पाया गया कि उसे A-ग्रेड मिला है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि वह छात्र छात्रावास में रहने वाला है?

Answer:

माना घटनाएँ \( E_1 \) और \( E_2 \) क्रमशः 'छात्रावास में रहते हैं' और 'छात्रावास में नहीं रहते हैं' को प्रदर्शित करते हैं। A घटना 'छात्र ने A ग्रेड लिया है' को प्रदर्शित करता है:
\( P(E_1) = 60\% = \frac{60}{100} = 0.6 \) और \( P(E_2) = 40\% = \frac{40}{100} = 0.4 \)
\( P(A|E_1) = P(\text{छात्रावास में रहने वाले छात्र ने A ग्रेड लिया है}) = 30\% = 0.3 \)
\( P(A|E_2) = P(\text{छात्रावास में नहीं रहने वाले छात्र ने A ग्रेड लिया है}) = 20\% = 0.2 \)
छात्रावास में रहने वाले विद्यार्थी द्वारा A ग्रेड लेने की प्रायिकता निम्नलिखित है:
\( P(E_1|A) = \frac{P(E_1) \cdot P(A|E_1)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2)} \)
\( P(E_1|A) = \frac{0.6 \times 0.3}{0.6 \times 0.3 + 0.4 \times 0.2} = \frac{0.18}{0.18 + 0.08} = \frac{0.18}{0.26} = \frac{9}{13} \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिशत को दशमलव या भिन्न में बदलना।
• बेयस प्रमेय का उपयोग करके सशर्त प्रायिकता ज्ञात करना।
• दी गई शर्तों को घटनाओं के रूप में परिभाषित करना।

आम गलतियाँ:

• 60% और 40% को गलत तरीके से प्रतिस्थापित करना।
• दशमलव संख्याओं के गुणन और जोड़ में गलती करना।

Exam Tips:

a) प्रतिशत मानों को दशमलव रूप में बदलना गणना को आसान बनाता है।
b) सूत्र लिखकर ही मानों को रखें।
c) अंतिम उत्तर को भिन्न के सरलतम रूप में छोड़ें।

Question 4: एक बहुविकल्पीय प्रश्न का उत्तर देने में एक विद्यार्थी या तो प्रश्न का उत्तर जानता है या वह अनुमान लगाता है। मान लें कि उसके उत्तर जानने की प्रायिकता \( \frac{3}{4} \) है और अनुमान लगाने की प्रायिकता \( \frac{1}{4} \) है। मान ले कि छात्र के प्रश्न के उत्तर का अनुमान लगाने पर सही उत्तर देने की प्रायिकता \( \frac{1}{4} \) है तो इस बात की प्रायिकता है कि कोई छात्र प्रश्न का उत्तर जानता है यदि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है?

Answer:

माना, \( E_1 \) और \( E_2 \) घटनाएँ क्रमशः 'विद्यार्थी प्रश्न का उत्तर जानता है' और 'विद्यार्थी उत्तर का अनुमान लगाता है' को प्रदर्शित करती हैं। इसलिए:
\( P(E_1) = \frac{3}{4} \) और \( P(E_2) = \frac{1}{4} \)
माना A घटना 'उत्तर सही है' को प्रदर्शित करता है।
यदि विद्यार्थी को उत्तर पता है तो सही उत्तर देने की प्रायिकता 1 होगी अर्थात \( P(A|E_1) = 1 \)
यदि विद्यार्थी अनुमान लगाता है तो सही उत्तर देने की प्रायिकता \( \frac{1}{4} \) होगी अर्थात \( P(A|E_2) = \frac{1}{4} \)
यदि छात्र ने उत्तर सही दिया है तो इस बात की प्रायिकता की वह उत्तर जानता है, निम्नलिखित प्रकार से है:
\( P(E_1|A) = \frac{P(E_1) \cdot P(A|E_1)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2)} \)
\( P(E_1|A) = \frac{\frac{3}{4} \times 1}{\frac{3}{4} \times 1 + \frac{1}{4} \times \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4} + \frac{1}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{12 + 1}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{13}{16}} = \frac{3}{4} \times \frac{16}{13} = \frac{12}{13} \)

मुख्य बिंदु:

• यदि उत्तर ज्ञात है, तो सही होने की प्रायिकता निश्चित (1) होती है।
• बेयस प्रमेय का अनुप्रयोग।
• भिन्नों के भाग और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) की समझ।

आम गलतियाँ:

• \( P(A|E_1) \) का मान 1 के स्थान पर अन्य संख्या ले लेना।
• हर में भिन्नों को जोड़ते समय लघुत्तम सही न लेना।

Exam Tips:

a भाषा आधारित प्रायिकता प्रश्नों में घटनाओं \( E_1, E_2 \) और A को बहुत स्पष्ट रूप से परिभाषित करें।
b) हर के भिन्नों को हल करते समय LCM विधि का प्रयोग करें।
c) गणना की प्रत्येक पंक्ति को अलग लिखें।

Question 5: किसी विशेष रोग के सही निदान के लिए रक्त की जाँच 99% असरदार है, तब वास्तव में रोगी उस रोग से ग्रस्त होता है। किन्तु 0.5% बार किसी स्वस्थ व्यक्ति की रक्त जाँच करने पर निदान गलत रिपोर्ट देता है यानी व्यक्ति को रोग से ग्रस्त बतलाता है। यदि किसी जनसमुदाय में 0.1 लोग उस रोग से ग्रस्त हैं तो क्या प्रायिकता है कि कोई यादृच्छया चुना गया व्यक्ति उस रोग से ग्रस्त होगा या नहीं होगा? यदि उसके रक्त की जाँच में यह बताया जाता है कि उसे यह रोग है?

Answer:

माना, \( E_1 \) और \( E_2 \) घटनाएँ क्रमशः 'व्यक्ति रोग से ग्रस्त है' और 'व्यक्ति रोग से ग्रस्त नहीं है' को प्रदर्शित करती हैं।
व्यक्ति या तो रोग से ग्रस्त होगा या नहीं होगा। इसलिए:
\( P(E_1) + P(E_2) = 1 \Rightarrow P(E_2) = 1 - P(E_1) = 1 - 0.001 = 0.999 \)
\( P(E_1) = 0.1\% = \frac{0.1}{100} = 0.001 \)
माना, A घटना 'जाँच में व्यक्ति को रोग है' को दर्शाता है। इसलिए:
\( P(A|E_1) = P(\text{जाँच में रोग को दर्शाना जबकि व्यक्ति को रोग है}) = 99\% = 0.99 \)
\( P(A|E_2) = P(\text{जाँच में रोग को दर्शाना जबकि व्यक्ति को रोग नहीं है}) = 0.5\% = 0.005 \)
यादृच्छया चुना गया व्यक्ति रोगग्रस्त होने की प्रायिकता (दिया है कि जाँच में उसे रोग है) निम्नलिखित है:
\( P(E_1|A) = \frac{P(E_1) \cdot P(A|E_1)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2)} \)
\( P(E_1|A) = \frac{0.001 \times 0.99}{0.001 \times 0.99 + 0.999 \times 0.005} \)
\( = \frac{0.00099}{0.00099 + 0.004995} = \frac{0.00099}{0.05985} = \frac{990}{5985} = \frac{110}{665} = \frac{22}{133} \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिशत और दशमलव का परस्पर रूपांतरण।
• पूरक घटना की प्रायिकता (\( 1 - P \) निकालना)।
• चिकित्सा निदान से संबंधित बेयस प्रमेय के प्रश्न।

आम गलतियाँ:

• 0.1% को 0.1 लिखना बजाय 0.001 के।
• दशमलव स्थानों की गणना में भूल करना।

Exam Tips:

a) सभी प्रतिशत मानों को दशमलव में बदलकर गणना करें।
b) हर और अंश के दशमलव हटाने के लिए उचित घात से गुणा करें।
c) अंत में अंश और हर को उभयनिष्ठ गुणनखंड से काट कर सरल करें।

Question 6: तीन सिक्के दिए गए हैं। एक सिक्के के दोनों ओर चित ही है। दूसरा सिक्का अभिनत है जिसमें चित 75% बार प्रकट होता है और तीसरा अनभिनत सिक्का है। तीनों में से एक सिक्के को यादृच्छया चुना गया और उसे उछाला गया। यदि सिक्के पर चित प्रकट हो, तो क्या प्रायिकता है कि वह दोनों चित वाला सिक्का है?

Answer:

माना, \( E_1, E_2 \) और \( E_3 \) घटनाएँ क्रमशः 'दोनों ओर चित वाला सिक्का', 'अभिनत सिक्का' और 'अनभिनत सिक्का' चुनने को प्रदर्शित करती हैं।
\( P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3} \)
माना, A घटना सिक्के पर चित प्रकट को को प्रदर्शित करता है। दोनों ओर चित वाला सिक्का सदैव चित ही दिखाएगा। इसलिए:
\( P(A|E_1) = P(\text{सिक्के पर चित आया है यदि दोनों ओर चित वाला सिक्का उछाला गया है}) = 1 \)
अभिनत सिक्के में चित आने की संभावना = 75%
\( P(A|E_2) = P(\text{सिक्के पर चित आया है यदि अभिनत सिक्का उछाला गया है}) = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} \)
क्योंकि सिक्का अनभिनत है, इसलिए चित आने की प्रायिकता = \( \frac{1}{2} \)
\( P(A|E_3) = P(\text{सिक्के पर चित आया है यदि अनभिनत सिक्का उछाला गया है}) = \frac{1}{2} \)
दोनों चित वाले सिक्के की प्रायिकता, यदि सिक्के पर चित प्रकट हो, निम्नलिखित है:
\( P(E_1|A) = \frac{P(E_1) \cdot P(A|E_1)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2) + P(E_3) \cdot P(A|E_3)} \)
\( P(E_1|A) = \frac{\frac{1}{3} \times 1}{\frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}} \)
\( = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} \left(1 + \frac{3}{4} + \frac{1}{2}\right)} = \frac{1}{1 + \frac{3}{4} + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{4 + 3 + 2}{4}} = \frac{1}{\frac{9}{4}} = \frac{4}{9} \)

मुख्य बिंदु:

• तीनों सिक्कों के चयन की समान प्रायिकता (\( \frac{1}{3} \))।
• दोनों तरफ चित वाले सिक्के की स्थिति में चित आने की प्रायिकता 1 होती है।
• अभिनत सिक्के के प्रतिशत को भिन्न में बदलना।

आम गलतियाँ:

• अनभिनत सिक्के की प्रायिकता को 1 मान लेना बजाय \( \frac{1}{2} \) के।
• तीन घटनाओं वाले बेयस प्रमेय में मानों को गलत क्रम में रखना।

Exam Tips:

a) तीनों सिक्कों के गुणों को अलग-अलग लिखकर उनकी सशर्त प्रायिकता निकालें।
b) हर में उभयनिष्ठ पद \( \frac{1}{3} \) को बाहर लेकर सरलीकरण आसान करें।
c) अंतिम उत्तर की जाँच अवश्य करें।

Question 7: एक बीमा कंपनी 2000 स्कूटर चालकों, 4000 कार चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है। दुर्घटनाओं की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.01, 0.03 और 0.15 है। बीमाकृत व्यक्तियों (चालकों) में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है। उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता क्या है?

Answer:

माना, \( E_1, E_2 \) और \( E_3 \) घटनाएँ क्रमशः 'स्कooter चालकों का बीमा', 'कार चालकों का बीमा' और 'ट्रक चालकों का बीमा' को प्रदर्शित करती हैं।
माना, A घटना 'व्यक्ति का दुर्घटनाग्रस्त होना' प्रदर्शित करती है।
कुल चालकों की संख्या = \( 2000 + 4000 + 6000 = 12000 \)
\( P(E_1) = P(\text{स्कूटर चालक}) = \frac{2000}{12000} = \frac{1}{6} \)
\( P(E_2) = P(\text{कार चालक}) = \frac{4000}{12000} = \frac{1}{3} \)
\( P(E_3) = P(\text{ट्रक चालक}) = \frac{6000}{12000} = \frac{1}{2} \)
\( P(A|E_1) = P(\text{स्कूटर चालक का दुर्घटनाग्रस्त होना}) = 0.01 = \frac{1}{100} \)
\( P(A|E_2) = P(\text{कार चालक का दुर्घटनाग्रस्त होना}) = 0.03 = \frac{3}{100} \)
\( P(A|E_3) = P(\text{ट्रक चालक का दुर्घटनाग्रस्त होना}) = 0.15 = \frac{15}{100} \)
दुर्घटनाग्रस्त व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता है:
\( P(E_1|A) = \frac{P(E_1) \cdot P(A|E_1)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2) + P(E_3) \cdot P(A|E_3)} \)
\( P(E_1|A) = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{1}{100}}{\frac{1}{6} \times \frac{1}{100} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{100} + \frac{1}{2} \times \frac{15}{100}} \)
\( = \frac{\frac{1}{600}}{\frac{1}{600} + \frac{3}{300} + \frac{15}{200}} = \frac{\frac{1}{600}}{\frac{1 + 6 + 45}{600}} = \frac{1}{1 + 6 + 45} = \frac{1}{52} \)

मुख्य बिंदु:

• कुल चालकों की संख्या से भाग देकर विभिन्न चालकों के चयन की प्रायिकता निकालना।
• दशमलव प्रायिकताओं को भिन्नों में बदलकर गणना को सरल करना।
• तीन घटनाओं के साथ बेयस प्रमेय का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• कुल चालकों की संख्या गलत जोड़ना।
• \( P(E_1), P(E_2), P(E_3) \) निकालते समय कुल संख्या 12000 के स्थान पर अन्य संख्या लिखना।

Exam Tips:

a) हर में \( 100 \times 6 \) या \( 600 \) को समान बनाए रखने से जोड़ना आसान हो जाता है।
b) सभी मानों को ध्यान से सूत्र में रखें।
c) परिणाम को भिन्न के रूप में ही छोड़ें जब तक दशमलव न पूछा जाए।

Question 8: एक कारखाने में A और B दो मशीनें लगी हैं। पूर्व विवरण से पता चलता है कि कुल उत्पादन का 60% मशीन A और 40% मशीन B द्वारा किया जाता है। इसके अतिरिक्त मशीन A का 2% और मशीन B का 1% उत्पादन खराब है। यदि कुल उत्पादन का एक ढेर बना लिया जाता है और उस ढेर से यादृच्छया निकली गई वस्तु खराब हो, तो इस वस्तु के मशीन B द्वारा बने होने की प्रायिकता क्या होगी?

Answer:

माना, \( E_1 \) और \( E_2 \) घटनाएँ क्रमशः 'वस्तु मशीन A द्वारा बनी है' और 'वस्तु मशीन B द्वारा बनी है' को प्रदर्शित करती हैं।
माना, A घटना 'वस्तु खराब है' को प्रदर्शित करता है।
मशीन A द्वारा वस्तु के उत्पादन होने की प्रायिकता, \( P(E_1) = 60\% = \frac{60}{100} = \frac{3}{5} \)
मशीन B द्वारा वस्तु के उत्पादन होने की प्रायिकता, \( P(E_2) = 40\% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5} \)
मशीन A द्वारा खराब वस्तु के उत्पादन की प्रायिकता, \( P(A|E_1) = 2\% = \frac{2}{100} \)
मशीन B द्वारा खराब वस्तु के उत्पादन की प्रायिकता, \( P(A|E_2) = 1\% = \frac{1}{100} \)
कुल उत्पादन में से यादृच्छया निकली एक वस्तु खराब हो, तो इस वस्तु के मशीन B द्वारा बने होने की प्रायिकता निम्नलिखित है:
\( P(E_2|A) = \frac{P(E_2) \cdot P(A|E_2)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2)} \)
\( P(E_2|A) = \frac{\frac{2}{5} \times \frac{1}{100}}{\frac{3}{5} \times \frac{2}{100} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{100}} \)
\( = \frac{\frac{2}{500}}{\frac{6}{500} + \frac{2}{500}} = \frac{\frac{2}{500}}{\frac{8}{500}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)

मुख्य बिंदु:

• मशीन A और B के उत्पादन प्रतिशत को भिन्न में बदलना।
• खराब वस्तुओं की सशर्त प्रायिकता निर्धारित करना।
• प्रश्न में मशीन B द्वारा बनने की प्रायिकता पूछी गई है, इसलिए अंश में \( E_2 \) का पद आएगा।

आम गलतियाँ:

• मशीन A की प्रायिकता को अंश में रख देना जबकि पूछा मशीन B के लिए गया है।
• प्रतिशत को भिन्न में बदलते समय 100 से भाग देना भूल जाना।

Exam Tips:

a) ध्यान से पढ़ें कि किस मशीन के लिए प्रायिकता पूछी गई है (\( E_1 \) या \( E_2 \))।
b) हर में \( 500 \) का पद समान रहने से लघुत्तम लेने की आवश्यकता नहीं होती।
c) अंतिम भिन्न को सरलतम रूप में बदलें।

Question 9: दो दल एक निगम के निदेशक मंडल में स्थान पाने की प्रतिस्पर्धा में हैं। पहले तथा दूसरे दल के जीतने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.6 और 0.4 हैं। इसके अतिरिक्त यदि पहला दल जीतता है तो एक नए उत्पाद के प्रारम्भ होने की प्रायिकता 0.7 है और यदि दूसरा दल जीतता है तो इस बात की संगत प्रायिकता 0.3 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि नया उत्पादन दूसरे दल द्वारा प्रारम्भ किया गया था।

Answer:

माना, \( E_1 \) और \( E_2 \) घटनाएँ क्रमशः 'पहले दल का जीतना' और 'दूसरे दल का जीतना' को प्रदर्शित करती हैं।
माना, A घटना 'नए उत्पाद का प्रारम्भ होना' प्रदर्शित करती है। इसलिए:
\( P(E_1) = \text{पहले दल के जीतने की प्रायिकता} = 0.6 \) तथा \( P(E_2) = \text{दूसरे दल के जीतने की प्रायिकता} = 0.4 \)
\( P(A|E_1) = \text{नए उत्पादन का पहले दल द्वारा प्रारम्भ} = 0.7 \)
\( P(A|E_2) = \text{नए उत्पादन का दूसरे दल द्वारा प्रारम्भ} = 0.3 \)
इस बात की प्रायिकता कि नया उत्पादन दूसरे दल द्वारा प्रारम्भ किया गया था, निम्नलिखित है:
\( P(E_2|A) = \frac{P(E_2) \cdot P(A|E_2)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2)} \)
\( P(E_2|A) = \frac{0.4 \times 0.3}{0.6 \times 0.7 + 0.4 \times 0.3} \)
\( = \frac{0.12}{0.42 + 0.12} = \frac{0.12}{0.54} = \frac{12}{54} = \frac{2}{9} \)

मुख्य बिंदु:

• दलों के जीतने की दी गई प्रायिकताओं का उपयोग।
• नए उत्पाद के प्रारम्भ होने की सशर्त प्रायिकता।
• बेयस प्रमेय का सीधे दशमलव संख्याओं के साथ प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• अंश में \( E_1 \) का मान रख देना जबकि प्रश्न में दूसरे दल (\( E_2 \)) के लिए पूछा गया है।
• दशमलव के गुणन में अंक भूल जाना।

Exam Tips:

a) दशमलव संख्याओं को गुणा करते समय दो स्थानों पर दशमलव लगाएँ।
b) अंश और हर दोनों से दशमलव हटाने के लिए 100 से गुणा कर सकते हैं।
c) उत्तर को संक्षिप्त भिन्न में बदलें।

Question 10: मान लीजिए कि कोई लड़की एक पासा उछालती है। यदि उसे 5 या 6 की संख्या प्राप्त होती है तो वह एक सिक्के को तीन बार उछालती है और 'चितों' की संख्या नोट करती है। यदि उसे 1, 2, 3 या 4 प्राप्त होता है तो वह एक सिक्के को एक बार उछालती है और यह नोट करती है कि उस पर 'चित' या 'पट' प्राप्त हुआ। यदि उसे ठीक एक चित प्राप्त होता है, तो उसके द्वारा उछाले गए पासे पर 1, 2, 3 या 4 प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?

Answer:

माना, \( E_1 \) घटना 'पासे पर 5 या 6 प्राप्त होना' और \( E_2 \) घटना 'पासे पर 1, 2, 3 या 4 प्राप्त करना' प्रदर्शित करती है। इसलिए:
\( P(E_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) और \( P(E_2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
माना, A घटना 'ठीक एक चित प्राप्त होना' प्रदर्शित करती है। इसलिए:
\( P(A|E_1) = \text{ठीक एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता (यदि पाসে पर 5 या 6 प्राप्त होता है)} = \frac{3}{8} \)
[क्योंकि सिक्के को 3 बार उछालने पर कुल परिणाम \( 2^3 = 8 \) हैं और ठीक एक चित (HTT, THT, TTH) अर्थात् 3 बार आ सकता है]
\( P(A|E_2) = \text{ठीक एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता (यदि पासे पर 1, 2, 3 या 4 प्राप्त होता है)} = \frac{1}{2} \)
इसलिए, यदि उसे ठीक एक चित प्राप्त होता है, तो उसके द्वारा उछाले गए पासे पर 1, 2, 3 या 4 प्राप्त होने की प्रायिकता निम्नलिखित है:
\( P(E_2|A) = \frac{P(E_2) \cdot P(A|E_2)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2)} \)
\( P(E_2|A) = \frac{\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{3} \times \frac{3}{8} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}} \)
\( = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{8} + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 + 8}{24}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{11}{24}} = \frac{1}{3} \times \frac{24}{11} = \frac{8}{11} \)

मुख्य बिंदु:

• पासे पर संख्या आने की प्रायिकता (5 या 6 के लिए \( \frac{2}{6} \), 1 से 4 के लिए \( \frac{4}{6} \))।
• सिक्के को तीन बार उछालने पर द्विपद वितरण या कुल परिणामों (8) का प्रयोग।
• बेयस प्रमेय का बहु-चरणीय अनुप्रयोग।

आम गलतियाँ:

• सिक्के को तीन बार उछालने पर ठीक एक चित आने की प्रायिकता 3/8 के स्थान पर गलत लिखना।
• प्रश्न में \( E_2 \) के लिए पूछा गया है, अतः अंश में \( E_2 \) का पद ही रखना।

Exam Tips:

a) सिक्के के उछाल से संबंधित प्रायिकता को पहले अलग से निकाल कर रख लें।
b) हर के भिन्नों को जोड़ते समय LCM का सही प्रयोग करें।
c) चरणों को स्पष्ट रूप से लिखें ताकि गलती न हो।

Question 11: एक व्यावसायिक निर्माता के पास A, B तथा C मशीन ऑपरेटर हैं। प्रथम ऑपरेटर A 1% खराब सामग्री उत्पादित करता है तथा ऑपरेटर B और C क्रमशः 5% और 7% खराब सामग्री उत्पादित करते हैं। कार्य पर A कुल समय का 50% लगाता है, B कुल समय का 30% लगाता है तथा C कुल समय का 20% लगाता है। यदि एक खराब सामग्री उत्पादित है तो इसे A द्वारा उत्पादित किए जाने की प्रायिकता क्या है?

Answer:

माना, \( E_1, E_2 \) और \( E_3 \) घटनाएँ क्रमशः 'मशीन A का समय', 'मशीन B का समय' और 'मशीन C का समय' को प्रदर्शित करती हैं।
\( P(E_1) = 50\% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2} \), \( P(E_2) = 30\% = \frac{30}{100} = \frac{3}{10} \) और \( P(E_3) = 20\% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5} \)
माना, X घटना 'खराब सामग्री उत्पादित करता है' को प्रदर्शित करता है:
\( P(X|E_1) = 1\% = \frac{1}{100} \), \( P(X|E_2) = 5\% = \frac{5}{100} \) और \( P(X|E_3) = 7\% = \frac{7}{100} \)
इसप्रकार, एक खराब सामग्री उत्पादित है तो इसे A द्वारा उत्पादित किए जाने की प्रायिकता निम्नलिखित है:
\( P(E_1|X) = \frac{P(E_1) \cdot P(X|E_1)}{P(E_1) \cdot P(X|E_1) + P(E_2) \cdot P(X|E_2) + P(E_3) \cdot P(X|E_3)} \)
\( P(E_1|X) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{100}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{100} + \frac{3}{10} \times \frac{5}{100} + \frac{1}{5} \times \frac{7}{100}} \)
\( = \frac{\frac{1}{200}}{\frac{1}{200} + \frac{15}{1000} + \frac{7}{500}} = \frac{\frac{1}{200}}{\frac{1}{200} + \frac{3}{200} + \frac{7}{500}} \dots \text{(हर को समान करने पर)} \)
सरल करने पर: \( \frac{\frac{1}{200}}{\frac{5 + 30 + 14}{1000}} = \frac{\frac{1}{200}}{\frac{54}{1000}} = \frac{1}{200} \times \frac{1000}{54} = \frac{5}{54} \)

मुख्य बिंदु:

• ऑपरेटरों द्वारा लगाए गए समय को उनकी प्रायिकता मानना (\( P(E_1), P(E_2), P(E_3) \))।
• प्रत्येक ऑपरेटर द्वारा खराब सामग्री उत्पादित करने की सशर्त प्रायिकता।
• तीन घटनाओं के लिए बेयस प्रमेय का उपयोग।

आम गलतियाँ:

• प्रतिशत को भिन्न में बदलते समय हर में 100 लिखना भूल जाना।
• हर के भिन्नों को जोड़ते समय ल.स.प. (LCM) गलत लेना।

Exam Tips:

a सभी प्रतिशत मानों को पहले सरल भिन्न में बदल लें।
b) हर में 1000 का उभयनिष्ठ गुणनखंड रखकर जोड़ना आसान होता है।
c) अंत में अंश और हर को काटकर सरलतम रूप प्राप्त करें।

Question 12: 52 ताशों की गड्डी से एक पत्ता खो जाता है। शेष पत्तों से दो पत्ते निकाले जाते हैं जो ईंट के पत्ते हैं। खो गए पत्ते की ईंट होने की प्रायिकता क्या है?

Answer:

माना, \( E_1 \) और \( E_2 \) घटनाएँ क्रमशः 'ईंट का पत्ता खोना है' और 'ईंट का पत्ता नहीं खोना है' को प्रदर्शित करती हैं।
ताश के 52 पत्तों में 13 ईंट के पत्ते होते हैं और शेष 39 पत्ते ईंट के नहीं होते हैं।
\( P(E_1) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \) और \( P(E_2) = \frac{39}{52} = \frac{3}{4} \)
माना, A घटना 'दो ईंट के पत्ते निकालना' को दर्शाता है।
यदि ईंट का पत्ता खो जाने के बाद केवल 12 ईंट के पत्तों के साथ गड्डी में कुल 51 पत्ते ही बचेंगे। इन 12 ईंट के पत्तों से दो पत्ते \( ^{12}C_2 \) तरीकों से निकाले जा सकते हैं तथा बचे हुए 51 पत्तों में से 2 पत्ते \( ^{51}C_2 \) तरीकों से निकाले जा सकते हैं। इसलिए, दो ईंट के पत्तों के निकालने की प्रायिकता, जबकि खोया हुआ पत्ता भी ईंट का है, निम्नलिखित है:
\( P(A|E_1) = \frac{^{12}C_2}{^{51}C_2} = \frac{\frac{12 \times 11}{2}}{\frac{51 \times 50}{2}} = \frac{132}{2550} = \frac{22}{425} \)
ईंट के बजाय कोई और पत्ता खो जाने के बाद 13 ईंट के पत्तों के साथ गड्डी में कुल 51 पत्ते ही बचेंगे। इन 13 ईंट के पत्तों से दो पत्ते \( ^{13}C_2 \) तरीकों से निकाले जा सकते हैं तथा बचे हुए 51 पत्तों में से 2 पत्ते \( ^{51}C_2 \) तरीकों से निकाले जा सकते हैं। इसलिए, दो ईंट के पत्तों के निकालने की प्रायिकता, जबकि खोया हुआ पत्ता ईंट का नहीं है, निम्नलिखित है:
\( P(A|E_2) = \frac{^{13}C_2}{^{51}C_2} = \frac{\frac{13 \times 12}{2}}{\frac{51 \times 50}{2}} = \frac{156}{2550} = \frac{26}{425} \)
इसलिए, खो गए पत्ते की ईंट होने की प्रायिकता:
\( P(E_1|A) = \frac{P(E_1) \cdot P(A|E_1)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2)} \)
\( P(E_1|A) = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{22}{425}}{\frac{1}{4} \times \frac{22}{425} + \frac{3}{4} \times \frac{26}{425}} = \frac{22}{22 + 78} = \frac{22}{100} = \frac{11}{50} \)

मुख्य बिंदु:

• संचय (\( ^nC_r \)) का प्रयोग करके पत्ते चुनने के तरीकों की संख्या निकालना।
• ईंट का पत्ता खोने पर शेष ईंट के पत्तों की संख्या 12 होना।
• बेयस प्रमेय का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• पत्ता खोने के बाद कुल पत्तों की संख्या 52 ही मान लेना (जो कि 51 होनी चाहिए)।
• संचय सूत्र \( ^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} \) में गणना की गलती करना।

Exam Tips:

a) \( ^nC_2 \) को सीधे \( \frac{n(n-1)}{2} \) लिखकर हल करें ताकि समय बचे।
b) हर में \( 4 \times 425 \) दोनों पदों में होने के कारण सीधे कट जाता है।
c) प्रश्नों को ध्यानपूर्वक पढ़कर घटनाओं को परिभाषित करें।

Question 13: A द्वारा सत्य बोलने की प्रायिकता \( \frac{4}{5} \) है। एक सिक्का उछाला जाता है तथा A बताता है कि चित प्रदर्शित हुआ है। वास्तविक रूप में चित प्रकट होने की प्रायिकता है:
(A) \( \frac{4}{5} \)
(B) \( \frac{2}{5} \)
(C) \( \frac{1}{2} \)
(D) \( \frac{2}{5} \)

Answer:

माना, \( E_1 \) और \( E_2 \) घटनाएँ ऐसे हैं कि: \( E_1 \): A सच बोलता है और \( E_2 \): A झूठ बोलता है।
माना, X घटना 'सिक्के पर चित आया है' को प्रदर्शित करती है। इसलिए, \( P(E_1) = \frac{4}{5} \) और \( P(E_2) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \)
यदि एक सिक्के को उछाला जाए तो चित (H) आएगा या पट (T) आएगा। इसलिए, सिक्के को उछालने पर चित आने की प्रायिकता \( \frac{1}{2} \) होगी चाहे A सच बोले या झूठ।
\( \therefore P(X|E_1) = P(X|E_2) = \frac{1}{2} \)
वास्तविक रूप में चित प्रकट होने की प्रायिकता निम्नलिखित है:
\( P(E_1|X) = \frac{P(E_1) \cdot P(X|E_1)}{P(E_1) \cdot P(X|E_1) + P(E_2) \cdot P(X|E_2)} \)
\( P(E_1|X) = \frac{\frac{4}{5} \times \frac{1}{2}}{\frac{4}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{5} \times \frac{1}{2}} = \frac{\frac{4}{10}}{\frac{4}{10} + \frac{1}{10}} = \frac{\frac{4}{10}}{\frac{5}{10}} = \frac{4}{5} \times \frac{10}{5} = \frac{4}{5} \) (ध्यान दें: विकल्प (A) सही है)

मुख्य बिंदु:

• सच बोलने और झूठ बोलने की प्रायिकता का योग 1 होता है।
• सिक्के पर चित आने की प्रायिकता घटना से स्वतंत्र रूप से \( \frac{1}{2} \) होती है।
• बेयस प्रमेय का बहुविकल्पीय प्रश्न में प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• सिक्के की प्रायिकता को 1 मान लेना बजाय \( \frac{1}{2} \) के।
• \( P(X|E_2) \) का मान गलत रख देना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में भी संपूर्ण हल लिखकर ही सही विकल्प चुनें।
b) \( P(X|E_1) \) और \( P(X|E_2) \) दोनों का मान यहाँ समान होगा क्योंकि सिक्का निष्पक्ष है।
c) सही विकल्प (A) है।

Question 14: यदि \( A \subset B \), तब \( A \cap B = A \), इसलिए \( P(A \cap B) = P(A) \) तथा \( P(A) \le P(B) \).
यहाँ, \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A)}{P(B)} \neq \frac{P(A)}{P(B)} \Rightarrow P(A|B) \ge \frac{P(A)}{P(B)} \dots (1) \)
हम जानते हैं: \( P(B) \le 1 \Rightarrow \frac{1}{P(B)} \ge 1 \), इसलिए, समीकरण (1) से, \( \frac{P(A)}{P(B)} \ge P(A) \Rightarrow P(A|B) \ge P(A) \)
अतः, विकल्प (C) सही है।

Answer:

प्रश्न में दिए गए कथनों के आधार पर, सशर्त प्रायिकता की परिभाषा से:
\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
चूँकि \( A \subset B \) दिया गया है, इसलिए \( A \cap B = A \)
अतः \( P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)} \)
हम जानते हैं कि किसी भी घटना की प्रायिकता 1 से अधिक नहीं हो सकती, इसलिए \( P(B) \le 1 \)
इसके फलस्वरूप \( \frac{1}{P(B)} \ge 1 \)
अतः \( \frac{P(A)}{P(B)} \ge P(A) \Rightarrow P(A|B) \ge P(A) \)
इसलिए सही विकल्प (C) है: \( P(A|B) \ge P(A) \)

मुख्य बिंदु:

• उपसमुच्चय (\( A \subset B \)) होने पर सर्वनिष्ठ (\( A \cap B = A \)) होता है।
• सशर्त प्रायिकता का सूत्र \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) का प्रयोग।
• प्रायिकता के गुणधर्म (\( P(B) \le 1 \)) का उपयोग।

आम गलतियाँ:

• \( A \subset B \) होने पर \( A \cap B \) को B लिख देना (जबकि यह A होता है)।
• असमिकाओं (Inequalities) के नियमों को गलत लागू करना।

Exam Tips:

a) वेन आरेख (Venn Diagram) बनाकर \( A \subset B \) की स्थिति को समझें।
b) सशर्त प्रायिकता के सभी परिणामों को याद रखें।
c) सही विकल्प (C) है।