NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 13 Probability (प्रायिकता) Miscellaneous Exercise in Hindi

Question 1: A और B इस प्रकार घटनाएँ हैं कि \( P(A) \neq 0 \) . \( P(B|A) \) ज्ञात कीजिए यदि
(i) A, समुच्चय B का उपसमुच्चय है
(ii) \( A \cap B = \phi \)

Answer:

दिया गया है कि \( P(A) \neq 0 \)
(i) चूंकि A, समुच्चय B का उपसमुच्चय है, इसलिए:
\( A \cap B = A \)
\( P(A \cap B) = P(B \cap A) = P(A) \)
प्रतिबंधीय प्रायिकता के सूत्र से:
\( P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} \)
\( P(B|A) = \frac{P(A)}{P(A)} = 1 \)
(ii) जब \( A \cap B = \phi \) हो, तब:
\( P(A \cap B) = 0 \)
अतः प्रतिबंधित प्रायिकता होगी:
\( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0}{P(A)} = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिबंधित प्रायिकता का सूत्र \( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \) होता है।
• उपसमुच्चय होने पर \( A \cap B = A \) होता है।
• परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए \( A \cap B = \phi \) होता है।

आम गलतियाँ:

• सूत्र में अंश और हर को आपस में बदल देना।
• समुच्चय के गुणों (उपसमुच्चय और रिक्त समुच्चय) को प्रायिकता में गलत तरीके से लागू करना।
• \( P(A) \neq 0 \) की शर्त को अनदेखा करना।

Exam Tips:

a) उपसमुच्चय और रिक्त समुच्चय के प्रतिबंधों को स्पष्ट रूप से लिखें।
b) प्रत्येक चरण में सूत्र लिखकर हल करें ताकि अंक न कटें।
c) गणना करते समय विशेष ध्यान रखें।

Question 2: एक दंपति के दो बच्चे हैं:
(i) दोनों बच्चों के लड़का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि दोनों बच्चों में से कम से कम एक बच्चा लड़का है।
(ii) दोनों बच्चों के लड़की होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि बड़ा बच्चा लड़की है।

Answer:

मान लीजिए दंपति के दो बच्चे हैं, तो प्रतिदर्श समष्टि निम्न होगी:
\( S = \{(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)\} \)
(i) माना E घटना 'दोनों बच्चों का लड़का होना' तथा F घटना 'कम से कम एक बच्चा लड़का होना' को प्रदर्शित करती है।
\( E = \{(b, b)\} \) और \( F = \{(b, b), (b, g), (g, b)\} \)
\( E \cap F = \{(b, b)\} \)
यहाँ \( P(E) = \frac{1}{4} \) और \( P(F) = \frac{3}{4} \) तथा \( P(E \cap F) = \frac{1}{4} \)
हमें \( P(E|F) \) ज्ञात करना है:
\( P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3} \)
(ii) माना A घटना 'दोनों बच्चों का लड़की होना' तथा B घटना 'बड़ा बच्चा लड़की होना' को प्रदर्शित करती है।
\( A = \{(g, g)\} \Rightarrow P(A) = \frac{1}{4} \)
\( B = \{(g, b), (g, g)\} \Rightarrow P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( A \cap B = \{(g, g)\} \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{1}{4} \)
अब प्रतिबंधित प्रायिकता ज्ञात करते हैं:
\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2} \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space) को सही ढंग से लिखना महत्वपूर्ण है।
• प्रतिबंधित प्रायिकता में दी गई शर्त (जैसे "कम से कम एक") को भली-भांति समझें।
• \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) का प्रयोग करें।

आम गलतियाँ:

• प्रतिदर्श समष्टि में सभी संभव परिणामों को न लिखना।
• 'कम से कम एक' और 'बड़ा बच्चा' जैसी शर्तों का गलत अर्थ निकालना।
• प्रायिकता के मानों की गणना में भिन्न (fraction) का गलत सरलीकरण करना।

Exam Tips:

a) प्रतिदर्श समष्टि \( S \) को सबसे पहले स्पष्ट रूप से परिभाषित करें।
b) घटनाओं E और F के अनुकूल परिणामों को समुच्चय के रूप में दर्शाएं।
c) अंतिम उत्तर को सरलतम भिन्न के रूप में लिखें।

Question 3: कल्पना कीजिए कि 5% पुरुषों और 0.25% महिलाओं के बाल सफेद हैं। एक सफेद बालों वाले व्यक्ति को यादृच्छिक चुना गया है। इस व्यक्ति के पुरुष होने की प्रायिकता क्या है? यह मन लें कि पुरुषों और महिलाओं की संख्या समान है।

Answer:

माना M व्यक्ति के पुरुष होने की घटना है तथा W व्यक्ति के महिला होने की घटना है।
चूंकि पुरुषों और महिलाओं की संख्या समान है, इसलिए:
\( P(M) = \frac{1}{2} \) और \( P(W) = \frac{1}{2} \)
माना E चुने गए व्यक्ति के सफेद बाल होने की घटना है।
प्रश्न के अनुसार:
\( P(E|M) = \frac{5}{100} = 0.05 \)
\( P(E|W) = \frac{0.25}{100} = 0.0025 \)
बेयस की प्रमेय (Bayes' Theorem) का प्रयोग करने पर, व्यक्ति के पुरुष होने की प्रायिकता:
\( P(M|E) = \frac{P(M) \cdot P(E|M)}{P(M) \cdot P(E|M) + P(W) \cdot P(E|W)} \)
मान रखने पर:
\( P(M|E) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{5}{100}}{\frac{1}{2} \times \frac{5}{100} + \frac{1}{2} \times \frac{0.25}{100}} \)
\( P(M|E) = \frac{5}{5 + 0.25} = \frac{5}{5.25} \)
\( P(M|E) = \frac{500}{525} = \frac{20}{21} \)

मुख्य बिंदु:

• यह बेयस प्रमेय (Bayes' Theorem) पर आधारित एक व्यावहारिक प्रश्न है।
• प्रतिशत को भिन्न या दशमलव में सावधानीपूर्वक बदलें।
• कुल प्रायिकता प्रमेय (Law of Total Probability) का हर में उपयोग होता है।

आम गलतियाँ:

• 0.25% को सीधे 0.25 लिख देना (जबकि यह \( \frac{0.25}{100} \) होगा)।
• पुरुषों और महिलाओं की संख्या समान होने की शर्त को छोड़ देना।
• बेयस प्रमेय के सूत्र में मान गलत रख देना।

Exam Tips:

a) घटनाओं को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें (जैसे M, W, E)।
b) दशमलव और भिन्नों की गणना बहुत सावधानी से करें।
c) सूत्र लिखने के बाद ही मान प्रतिस्थापित करें।

Question 4: मान लीजिए कि 90% लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि 10 लोगों में سے यादृच्छया चुने गए अधिक से अधिक 6 लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हों?

Answer:

मान लीजिए दाहिने हाथ से काम करने वाले व्यक्ति की सफलता की प्रायिकता p है:
\( p = \frac{90}{100} = \frac{9}{10} \)
दाहिने हाथ से काम न करने वाले व्यक्ति की प्रायिकता q है:
\( q = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10} \)
यहाँ कुल परीक्षणों की संख्या \( n = 10 \) है।
द्विपद बंटन (Binomial Distribution) का सूत्र है:
\( P(X = r) = {^nC_r} p^r q^{n-r} \)
हमें 'अधिक से अधिक 6 लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हों' की प्रायिकता ज्ञात करनी है, अर्थात् \( P(X \leq 6) \):
\( P(X \leq 6) = 1 - [P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)] \)
\( P(X \leq 6) = 1 - \sum_{r=7}^{10} {^{10}C_r} \left(\frac{9}{10}\right)^r \left(\frac{1}{10}\right)^{10-r} \)

मुख्य बिंदु:

• यह द्विपद बंटन (Binomial Distribution) का प्रश्न है।
• 'अधिक से अधिक 6' का अर्थ है \( X \leq 6 \), जिसे \( 1 - P(X > 6) \) के रूप में हल करना आसान होता है।
• \( p + q = 1 \) का नियम लागू होता है।

आम गलतियाँ:

• \( P(X \leq 6) \) को सीधे 6 पदों तक जोड़ने लगना, जो कि लंबा है (पूरक प्रायिकता का उपयोग करना बेहतर है)।
• p और q के मानों को आपस में बदल देना।
• द्विपद गुणांक \( {^nC_r} \) का मान निकालने में गलती करना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में पूरक घटना (Complementary Event) की प्रायिकता का उपयोग करना समय बचाता है।
b) द्विपद सूत्र \( P(X = r) = {^nC_r} p^r q^{n-r} \) को स्पष्ट रूप से लिखें।
c) गणना बड़े होने पर परिणाम को उसी रूप में छोड़ सकते हैं जहाँ आवश्यक हो।

Question 5: एक कलश (पात्र) में 25 गेंदें हैं, जिनमें से 10 गेंदों पर चिह्न 'X' अंकित है और शेष 15 पर चिह्न 'Y' अंकित है। कलश में से एक गेंद निकाली जाती है और उस पर अंकित चिह्न को नोट (लिख) करके उसे कलश में प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। यदि इस प्रकार से 6 गेंदें निकाली जाती हों, तो अग्रलिखित प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए:
(i) सभी पर चिह्न 'X' अंकित हो।
(ii) 2 से अधिक पर चिह्न 'Y' नहीं अंकित हो।
(iii) कम से कम एक गेंद पर चिह्न 'Y' अंकित हो।
(iv) 'X' तथा 'Y' चिन्हों से अंकित गेंदों की संख्याएँ समान हों।

Answer:

कलश में कुल गेंदें = 25
'X' चिह्न वाली गेंदें = 10, इसलिए \( p = P(\text{'X' चिह्न वाली गेंद}) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} \)
'Y' चिह्न वाली गेंदें = 15, इसलिए \( q = P(\text{'Y' चिह्न वाली गेंद}) = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} \)
गेंद प्रतिस्थापन द्वारा निकाली जाती है, इसलिए यह बर्नोली परीक्षण है। माना X यादृच्छिक चर है जो 'Y' अंकित गेंदों की संख्या को प्रदर्शित करता है।
यहाँ \( n = 6 \), \( p = \frac{3}{5} \) (Y के लिए) और \( q = \frac{2}{5} \) (X के लिए)।
द्विपद बंटन से:
(i) सभी पर चिह्न 'X' अंकित हो (अर्थात् Y की संख्या 0 हो):
\( P(Z = 0) = {^6C_0} \left(\frac{3}{5}\right)^0 \left(\frac{2}{5}\right)^6 = \left(\frac{2}{5}\right)^6 \)
(ii) 2 से अधिक पर चिह्न 'Y' नहीं अंकित हो (अर्थात् Y की संख्या \( \leq 2 \)):
\( P(Z \leq 2) = P(Z = 0) + P(Z = 1) + P(Z = 2) \)
\( = {^6C_0}\left(\frac{2}{5}\right)^6 + {^6C_1}\left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{2}{5}\right)^5 + {^6C_2}\left(\frac{3}{5}\right)^2\left(\frac{2}{5}\right)^4 \)
\( = \frac{64 + 288 + 1350}{15625} = \frac{1702}{15625} \)
(iii) कम से कम एक गेंद पर चिह्न 'Y' अंकित हो:
\( P(Z \geq 1) = 1 - P(Z = 0) = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^6 \)
(iv) 'X' तथा 'Y' चिन्हों से अंकित गेंदों की संख्याएँ समान हों:
\( P(Z = 3) = {^6C_3} \left(\frac{3}{5}\right)^3 \left(\frac{2}{5}\right)^3 = 20 \times \frac{27 \times 8}{15625} = \frac{4320}{15625} = \frac{864}{3125} \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाने के कारण प्रत्येक परीक्षण स्वतंत्र (Independent) है।
• 'Y' को सफलता मानने पर \( p = \frac{3}{5} \) और 'X' को सफलता मानने पर \( p = \frac{2}{5} \) होगा।
• 'कम से कम एक' के लिए \( 1 - P(\text{कोई नहीं}) \) का सूत्र प्रयोग करें।

आम गलतियाँ:

• प्रतिस्थापन के बिना और प्रतिस्थापन के साथ की प्रायिकता में भ्रमित होना।
• 'Y' और 'X' के लिए p और q के मानों को उल्टा मान लेना।
• योग और गुणा की गणना में सप्लीमेंट्री मानों की गलती करना।

Exam Tips:

a) मान लें कि किस घटना को सफलता (p) मानना है, इसे स्पष्ट लिखें।
b) प्रत्येक उप-भाग (i, ii, iii, iv) के लिए अलग से सूत्र लिखकर मान रखें।
c) बड़ी घातों की गणना शांतचित्त होकर करें।

Question 6: एक बाधा दौड़ में एक प्रतियोगी को 10 बाधाएँ पार करनी है इसकी प्रायिकता कि वह प्रत्येक बाधा को पार कर लेगा \( \frac{5}{6} \) है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह 2 से कम बाधाओं को गिरा देगा (नहीं पार कर पाएगा)?

Answer:

माना p बाधा दौड़ में प्रतियोगी द्वारा बाधा पार करने की प्रायिकता है:
\( p = \frac{5}{6} \)
बाधा को गिरा देने (पार न कर पाने) की प्रायिकता q है:
\( q = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \)
माना X यादृच्छिक चर है जो बाधाओं को गिराने (पार न करने) की संख्या को प्रदर्शित करता है।
हमें '2 से कम बाधाओं को गिराने' (अर्थात् \( X < 2 \), या \( X = 0 \) या \( X = 1 \)) की प्रायिकता ज्ञात करनी है:
\( P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) \)
द्विपद बंटन सूत्र \( P(X = r) = {^nC_r} p^r q^{n-r} \) से (यहाँ \( n = 10 \), सफलता q को माना गया है):
\( P(X < 2) = {^{10}C_0} \left(\frac{1}{6}\right)^0 \left(\frac{5}{6}\right)^{10} + {^{10}C_1} \left(\frac{1}{6}\right)^1 \left(\frac{5}{6}\right)^9 \)
\( = \left(\frac{5}{6}\right)^{10} + 10 \times \frac{1}{6} \times \left(\frac{5}{6}\right)^9 \)
\( = \left(\frac{5}{6}\right)^9 \left[ \frac{5}{6} + \frac{10}{6} \right] \)
\( = \left(\frac{5}{6}\right)^9 \times \frac{15}{6} = \left(\frac{5}{6}\right)^9 \times \frac{5}{2} = \frac{5^{10}}{2 \times 6^9} \)

मुख्य बिंदु:

• बाधा पार करने की प्रायिकता दी है, लेकिन प्रश्न बाधा गिराने के बारे में है, इसलिए q को सफलता मानना सुविधाजनक है।
• '2 से कम' का अर्थ है 0 या 1 बाधा गिराना।
• उभयनिष्ठ (Common) पदों को बाहर निकालकर हल करना आसान बनाता है।

आम गलतियाँ:

• 'बाधा पार करने' और 'बाधा गिराने' की प्रायिकताओं को आपस में मिला देना।
• '2 से कम' में \( X = 2 \) को भी शामिल कर लेना।
• घातों के सरलीकरण में गलती करना।

Exam Tips:

a) सफलता किसे माना गया है (पार करना या गिराना), इसे स्पष्ट रूप से लिखें।
b) उभयनिष्ठ गुणनखंड (common factor) लेकर समीकरण को छोटा करें।
c) गणना को अंत तक सरल रूप में छोड़ सकते हैं यदि मान बहुत बड़ा हो।

Question 7: एक पासे को बार-बार तब तक उछाला जाता है जब तक कि उस पर 6 का अंक तीन बार प्राप्त नहीं हो जाता। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पासे पर तीसरा 6 का अंक उसे छठी बार उछालने पर प्राप्त होता है।

Answer:

पासे को एक बार उछालने पर 6 आने की प्रायिकता \( p = \frac{1}{6} \) है तथा 6 न आने की प्रायिकता \( q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \) है।
छठी बार उछालने पर तीसरा 6 का अंक प्राप्त होने का अर्थ है कि:
(i) पहली पाँच उछालों में ठीक 2 बार 6 का अंक आया हो।
(ii) छठी उछाल पर अनिवार्य रूप से 6 का अंक आया हो।
पहली पाँच उछालों में 2 बार 6 आने की प्रायिकता द्विपद बंटन से होगी:
\( P(\text{पाँच में से 2 बार 6}) = {^5C_2} \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^3 \)
छठी उछाल पर 6 आने की प्रायिकता \( = \frac{1}{6} \)<इसलिए कुल प्रायिकता:
\( P = \left[ {^5C_2} \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^3 \right] \times \frac{1}{6} \)
\( P = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} \times \frac{1}{6} = \frac{10 \times 125}{36 \times 1296} = \frac{625}{23328} \)

मुख्य बिंदु:

• यह ऋणात्मक द्विपद या विशेष संयोजन प्रायिकता का प्रश्न है।
• इसमें अंतिम (छठी) बार की घटना निश्चित होती है, इसलिए शुरुआती 5 बार पर द्विपद लगाते हैं।
• \( {^5C_2} = 10 \) होता है।

आम गलतियाँ:

• सीधे 6 बार पर द्विपद लगा देना, जिससे छठी बार 6 आने की अनिवार्य शर्त छूट जाती है।
• p और q के मान गलत रखना।
• गुणनफल की गणना में गलती करना।

Exam Tips:

a) प्रश्न की भाषा को समझें कि अंतिम प्रयास (छठी बार) पर निश्चित रूप से सफलता मिलनी चाहिए।
b) पहले 5 परीक्षणों के लिए प्रायिकता निकालकर अंत में 6ठी बार की प्रायिकता से गुणा करें।
c) चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 8: यदि एक लीप वर्ष को यादृच्छया चुना गया हो तो इसकी क्या प्रायिकता है कि उस वर्ष में 53 मंगलवार होंगे?

Answer:

एक लीप वर्ष में 366 दिन होते हैं, अर्थात् 52 सप्ताह और 2 दिन होते हैं।
52 सप्ताह में ठीक 52 मंगलवार होते हैं।
शेष 2 दिनों में 53वाँ मंगलवार होने की प्रायिकता, उन 2 क्रमिक दिनों पर निर्भर करती है।
ये 2 क्रमिक दिन निम्नलिखित प्रकार से हो सकते हैं:
(1) सोमवार और मंगलवार
(2) मंगलवार और बुधवार
(3) बुधवार और गुरुवार
(4) गुरुवार और शुक्रवार
(5) शुक्रवार और शनिवार
(6) शनिवार और रविवार
(7) रविवार और सोमवार
यहाँ कुल संभावित युग्मों की संख्या = 7
मंगलवार आने वाले अनुकूल युग्म हैं: (सोमवार, मंगलवार) तथा (मंगलवार, बुधवार) — कुल 2 युग्म।
अतः 53 मंगलवार होने की प्रायिकता:
\( P = \frac{2}{7} \)

मुख्य बिंदु:

• एक लीप वर्ष में 366 दिन और साधारण वर्ष में 365 दिन होते हैं।
• लीप वर्ष में 2 अतिरिक्त दिन होते हैं जो क्रमिक वार होते हैं।
• कुल संभव परिणामों की संख्या 7 होती है।

आम गलतियाँ:

• लीप वर्ष और साधारण वर्ष के दिनों की संख्या में भ्रमित होना।
• अतिरिक्त 2 दिनों के जोड़ों (pairs) को गलत लिखना।
• अनुकूल परिणामों की संख्या 1 मान लेना (जबकि दो जोड़ों में मंगलवार आता है)।

Exam Tips:

a) सप्ताह और अतिरिक्त दिनों का हिसाब स्पष्ट रूप से लिखें।
b) सातों संभव जोड़ों को लिखकर दिखाएं ताकि गलती की गुंजाइश न रहे।
c) अनुकूल परिणामों को गिनकर सही भिन्न बनाएँ।

Question 9: एक प्रयोग के सफल होने का संयोग उसके असफल होने से दुगुना है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगले छः परीक्षाओं में कम से कम 4 सफल होंगे।

Answer:

माना सफलता की प्रायिकता p है और असफलता की प्रायिकता q है।
प्रश्न के अनुसार, सफल होने की प्रायिकता असफल होने की प्रायिकता से दोगुनी है:
\( p = 2q \)
हम जानते हैं कि \( p + q = 1 \), इसलिए:
\( 2q + q = 1 \Rightarrow 3q = 1 \Rightarrow q = \frac{1}{3} \)
अतः \( p = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)
यहाँ कुल परीक्षणों की संख्या \( n = 6 \) है।
हमें 'कम से कम 4 सफल होंगे' (अर्थात् \( X \geq 4 \)) की प्रायिकता ज्ञात करनी है:
\( P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) \)
द्विपद बंटन सूत्र \( P(X = r) = {^nC_r} p^r q^{n-r} \) से:
\( P(X \geq 4) = {^6C_4} \left(\frac{2}{3}\right)^4 \left(\frac{1}{3}\right)^2 + {^6C_5} \left(\frac{2}{3}\right)^5 \left(\frac{1}{3}\right)^1 + {^6C_6} \left(\frac{2}{3}\right)^6 \left(\frac{1}{3}\right)^0 \)
\( = 15 \times \frac{16}{81} \times \frac{1}{9} + 6 \times \frac{32}{243} \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{64}{729} \times 1 \)
\( = \frac{15 \times 16}{729} + \frac{6 \times 32}{729} + \frac{64}{729} \)
\( = \frac{240 + 192 + 64}{729} = \frac{496}{729} \)

मुख्य बिंदु:

• 'सफल होने का संयोग असफल होने से दोगुना है' का अर्थ \( p = 2q \) है।
• \( p + q = 1 \) का उपयोग करके p और q के मान निकालें।
• 'कम से कम 4' का अर्थ \( X = 4, 5, 6 \) होता है।

आम गलतियाँ:

• अनुपात को गलत समीकरण में बदलना (जैसे \( p = q/2 \) लिखना)।
• द्विपद गुणांकों का मान गलत निकालना (जैसे \( {^6C_4} = 15 \)).
• भिन्न जोड़ते समय लघुत्तम (LCM) गलत लेना।

Exam Tips:

a) p और q के मानों को सबसे पहले स्पष्ट रूप से निकालें।
b) हर में एकसमान मान (जैसे 729) बनाने से जोड़ना आसान हो जाता है।
c) प्रत्येक पद को अलग-अलग हल करके अंत में जोड़ें।

Question 10: एक व्यक्ति एक न्याय्य सिक्के को कितनी बार उछालए कि कम से कम एक चित की प्रायिकता 90% से अधिक हो?

Answer:

मान लीजिए व्यक्ति सिक्के को n बार उछालता है। n उछाले गए सिक्कों में बर्नोली परीक्षण प्राप्त होंगे।
सिक्के को एक बार उछालने पर चित (Head) आने की प्रायिकता \( p = \frac{1}{2} \) तथा पट (Tail) आने की प्रायिकता \( q = 1 - \frac{1}{2} \ = \frac{1}{2} \) है।
द्विपद बंटन से, कम से कम एक चित आने की प्रायिकता:
\( P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - {^nC_0} p^0 q^n = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \)
प्रश्न के अनुसार, यह प्रायिकता 90% से अधिक है:
\( P(X \geq 1) > \frac{90}{100} \)
\( 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n > 0.9 \)
\( 1 - 0.9 > \left(\frac{1}{2}\right)^n \)
\( 0.1 > \left(\frac{1}{2}\right)^n \)
\( \frac{1}{10} > \frac{1}{2^n} \)
\( 2^n > 10 \)
यदि \( n = 3 \) हो तो \( 2^3 = 8 \) (जो 10 से कम है)।
यदि \( n = 4 \) हो तो \( 2^4 = 16 \) (जो 10 से अधिक है)।
अतः n का न्यूनतम मान 4 है। व्यक्ति को सिक्के को कम से कम 4 बार उछालना चाहिए।

मुख्य बिंदु:

• 'कम से कम एक चित' का अर्थ \( 1 - P(\text{कोई चित नहीं}) \) होता है।
• प्रतिशत को दशमलव या भिन्न में बदलकर असमानता (Inequality) हल करें।
• \( 2^n > 10 \) को संतुष्ट करने वाला सबसे छोटा पूर्णांक n ज्ञात करना है।

आम गलतियाँ:

• 90% को 0.9 लिखने के बजाय 9 लिख देना।
• असमानता का चिह्न गलत दिशा में लगा देना।
• n का मान परीक्षण करके न देखना।

Exam Tips:

a) समीकरण के बजाय असमानता (\( > \)) का सही उपयोग करें।
b) घातीय मानों (\( 2^1, 2^2, 2^3, 2^4 \)) को लिखकर जाँचें।
c) अंतिम निष्कर्ष वाक्यों में स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 11: एक खेल में किसी व्यक्ति को एक न्याय्य पासे को उछालने के बाद छः प्रकट होने पर एक रुपया मिलता है और अन्य कोई संख्या प्रकट होने पर वह एक रुपया हार जाता है। एक व्यक्ति यह निर्णय लेता है कि वह पासे को तीन बार फेंकेगा लेकिन जब भी छः प्राप्त होगा वह खेलना छोड़ देगा। उसके द्वारा जीती/हारी गई राशि की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।

Answer:

पासे को एक बार उछालने पर 6 आने की प्रायिकता \( \frac{1}{6} \) है और 6 न आने की प्रायिकता \( \frac{5}{6} \) है।
यहाँ कुल चार स्थितियाँ संभव हैं:
(i) पहली उछाल में ही छ: आ जाए, तो जीतने की प्रायिकता \( = \frac{1}{6} \), जीती गई धनराशि = ₹ 1
(ii) यदि पहली उछाल में छ: न आने पर दूसरी उछाल में छ: आने की प्रायिकता:
\( = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36} \), जीती गई धनराशि = \( -1 + 1 = \text{₹ } 0 \)
(iii) पहली दो उछालों में छ: न आने पर तीसरी उछाल में छ: आने की प्रायिकता:
\( = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216} \), जीती गई धनराशि = \( -1 - 1 + 1 = \text{₹ } -1 \)
(iv) तीनों उछालों में छ: न आने की प्रायिकता:
\( = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{125}{216} \), जीती गई धनराशि = \( -1 - 1 - 1 = \text{₹ } -3 \)
प्रत्याशा (Expectation), \( E(X) = \sum X_i P_i \):
\( E(X) = 1 \left(\frac{1}{6}\right) + 0 \left(\frac{5}{36}\right) + (-1) \left(\frac{25}{216}\right) + (-3) \left(\frac{125}{216}\right) \)
\( E(X) = \frac{1}{6} + 0 - \frac{25}{216} - \frac{375}{216} \)
\( E(X) = \frac{36 - 25 - 375}{216} = \frac{-364}{216} = \frac{-91}{54} \text{ रुपये} \)

मुख्य बिंदु:

• यह यादृच्छिक चर की प्रायिकता बंटन और गणितीय प्रत्याशा (Mathematical Expectation) का प्रश्न है।
• प्रत्येक स्थिति में जीती/हारी गई कुल राशि का सावधानीपूर्वक हिसाब लगाएं।
• प्रत्याशा का सूत्र \( E(X) = \sum x_i p_i \) होता है।

आम गलतियाँ:

• खेल के नियमों के अनुसार प्रत्येक स्थिति में धनराशि (लाभ/हानि) गलत जोड़ना।
• प्रायिकताओं का योग 1 न होने पर भी आगे बढ़ जाना (यहाँ सभी प्रायिकताओं का योग 1 है)।
• भिन्न के लघुत्तम (LCM) में गलती करना।

Exam Tips:

a) सभी संभव मामलों को (i, ii, iii, iv) अलग-अलग स्पष्ट रूप से लिखें।
b) प्रत्येक मामले के लिए राशि और उसकी संगत प्रायिकता साफ-साف दिखाएं।
c) अंत में प्रत्याशा के सूत्र का प्रयोग करके सरलतम भिन्न में उत्तर दें।

Question 12: मान लीजिए हमारे पास A, B और C बक्से हैं जिनमें रखी संगमरमर की लाल, सफेद और काली टुकड़ियों का विवरण निम्न तरीके से है। यादृच्छया एक बॉक्स चुना जाता है और इससे एक टुकड़ा निकाला जाता है। यदि टुकड़ा लाल हो तो इसे इसे बॉक्स A, बॉक्स B, बॉक्स C से निकाले जाने की क्या प्रायिकता है?

Answer:

मान लीजिए R घटना 'लाल गेंद निकालना' को प्रदर्शित करती है।
माना \( E_A, E_B \) और \( E_C \) क्रमशः बॉक्स A, B और C के चुने जाने की घटनाएँ हैं।
चूँकि तीन बक्से हैं, इसलिए \( P(E_A) = P(E_B) = P(E_C) = \frac{1}{3} \)
कुल टुकड़ियों की संख्या = 40, लाल रंग की टुकड़ियों की संख्या = 15
सारणी के अनुसार बक्सों से लाल टुकड़ी निकालने की प्रतिबंधित प्रायिकताएँ:
बॉक्स A में: लाल = 1, कुल = 10, अतः \( P(R|E_A) = \frac{1}{10} \)
बॉक्स B में: लाल = 6, कुल = 10, अतः \( P(R|E_B) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)
बॉक्स C में: लाल = 8, कुल = 10, अतः \( P(R|E_C) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \)
बेयस प्रमेय (Bayes' Theorem) का प्रयोग करने पर:
(i) यदि टुकड़ा बॉक्स A से है:
\( P(E_A|R) = \frac{P(E_A) P(R|E_A)}{P(E_A) P(R|E_A) + P(E_B) P(R|E_B) + P(E_C) P(R|E_C)} \)
\( P(E_A|R) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{10}}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{6}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{8}{10}} = \frac{1}{1 + 6 + 8} = \frac{1}{15} \)
इसी प्रकार, बॉक्स B से होने की प्रायिकता:
\( P(E_B|R) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{6}{10}}{\frac{15}{30}} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \)
तथा बॉक्स C से होने की प्रायिकता:
\( P(E_C|R) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{8}{10}}{\frac{15}{30}} = \frac{8}{15} \)

मुख्य बिंदु:

• यह बेयस प्रमेय (Bayes' Theorem) का सीधा अनुप्रयोग है।
• प्रत्येक बक्से के चुने जाने की प्रायिकता \( \frac{1}{3} \) है।
• बक्से के अंदर लाल गेंद की संख्या और कुल संख्या से \( P(R|E_i) \) ज्ञात करते हैं।

आम गलतियाँ:

• बक्से की कुल गेंदों को आपस में मिला देना (प्रत्येक बक्से में कुल गेंदें अलग हो सकती हैं)।
• बेयस प्रमेय के हर में सभी संभव शाखाओं को न जोड़ना।
• भिन्नों को सरल न करना।

Exam Tips:

a) बक्सों के चयन की प्रायिकता और प्रत्येक बक्से से लाल गेंद की प्रायिकता को अलग-अलग लिखें।
b) बेयस प्रमेय का सूत्र स्पष्ट रूप से लिखकर मान प्रतिस्थापित करें।
c) गणना को ध्यानपूर्वक हल करें ताकि हर जगह \( \frac{1}{3} \) आसानी से कट जाए।

Question 13: मान लीजिए किसी रोगी को दिल का दौरा पड़ने का संयोग 40% है। यह मान लिया जाता है कि ध्यान और योग विधि दिल का दौरा पड़ने के खतरे को 30% कम कर देता है और दवा द्वारा खतरे को 25% कम किया जा सकता है। किसी भी समय रोगी इन दोनों में से किसी एक विकल्प का चयन करता है। यह दिया गया है कि उपरोक्त विकल्पों में से किसी एक का चुनाव करने वाले रोगियों से यादृच्छया चुना गया रोगी दिल के दौरे से ग्रसित हो जाता है। रोगी द्वारा ध्यान और योग विधि का उपयोग किए जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए?

Answer:

माना \( A, E_1 \) और \( E_2 \) क्रमशः घटनाएँ हैं: रोगी को दिल का दौरा पड़ना, 'ध्यान और योग विकल्प को चुनना' और 'दवा को चुनना'।
चूँकि रोगी दोनों में से किसी एक विकल्प को चुनता है, इसलिए:
\( P(E_1) = \frac{1}{2} \) और \( P(E_2) = \frac{1}{2} \)
दिल का दौरा पड़ने की सामान्य प्रायिकता \( P(A) = 40\% = \frac{40}{100} = 0.40 \)
ध्यान और योग विधि से खतरा 30% कम हो जाता है, अतः इस स्थिति में दौरा पड़ने की प्रायिकता:
\( P(A|E_1) = 0.40 \times (1 - 0.30) = 0.40 \times 0.70 = 0.28 \)
दवा द्वारा खतरा 25% कम हो जाता है, अतः इस स्थिति में दौरा पड़ने की प्रायिकता:
\( P(A|E_2) = 0.40 \times (1 - 0.25) = 0.40 \times 0.75 = 0.30 \)
बेयस प्रमेय से, रोगी द्वारा 'ध्यान और योग' चुनने की प्रायिकता जबकि उसे दौरा पड़ चुका है:
\( P(E_1|A) = \frac{P(E_1) P(A|E_1)}{P(E_1) P(A|E_1) + P(E_2) P(A|E_2)} \)
\( P(E_1|A) = \frac{\frac{1}{2} \times 0.28}{\frac{1}{2} \times 0.28 + \frac{1}{2} \times 0.30} = \frac{0.28}{0.28 + 0.30} = \frac{0.28}{0.58} = \frac{28}{58} = \frac{14}{29} \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिशत कमी (Percentage reduction) का अर्थ है \( 1 - \frac{\text{कमी}}{100} \) से गुणा करना।
• विकल्पों के चयन की प्रायिकता समान (\( \frac{1}{2} \)) है।
• बेयस प्रमेय का उपयोग करके सशर्त प्रायिकता ज्ञात करते हैं।

आम गलतियाँ:

• 30% कम होने का अर्थ सीधे 0.30 मान लेना (जबकि यह \( 0.40 \times (1 - 0.30) \) होगा)।
• विकल्पों की प्रायिकता को गलत मान लेना।
• दशमलव के भाग में गलती करना।

Exam Tips:

a) खतरे में कमी के प्रतिशत को नई प्रायिकता में सही ढंग से बदलें।
b) बेयस प्रमेय का सूत्र लिखकर मानों को दशमलव या भिन्न रूप में रखें।
c) उत्तर को न्यूनतम रूप में (जैसे \( \frac{14}{29} \)) निकालें।

Question 14: यदि 2 कोटि के एक सारणिक के सभी अवयव शून्य या एक हो तो सारणिक का धनात्मक मान होने की क्या प्रायिकता है? (मान लीजिए कि सारणिक के प्रत्येक अवयव स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं तथा प्रत्येक के चुने जाने की प्रायिकता \( \frac{1}{2} \) है।)

Answer:

2 कोटि के सारणिकों की कुल संख्या जिनके सभी अवयव शून्य या एक हो = \( (2)^4 = 16 \) (चूंकि प्रत्येक अवयव के लिए 2 विकल्प हैं और कुल 4 अवयव हैं)।
मान लीजिए 2 कोटि का सारणिक \( \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \) है, जहाँ \( a, b, c, d \in \{0, 1\} \)
सारणिक का मान \( = ad - bc \) होता है।
सारणिक का मान धनात्मक (अर्थात् 1) होने के लिए स्थितियाँ निम्न हैं:
जब \( ad = 1 \) और \( bc = 0 \)
\( ad = 1 \) होने की केवल एक ही स्थिति है: \( a = 1, d = 1 \)
\( bc = 0 \) होने के 3 युग्म संभव हैं: \( (0,0), (0,1), (1,0) \)
अतः अनुकूल सारणिक जिनके मान धनात्मक (1) हैं, वे हैं:
\( \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \) — कुल 3 सारणिक।
अतः वांछित प्रायिकता = \( \frac{\text{अनुकूल सारणिकों की संख्या}}{\text{कुल सारणिकों की संख्या}} = \frac{3}{16} \)

मुख्य बिंदु:

• 2 कोटि के सारणिक में 4 अवयव होते हैं, और प्रत्येक के 2 मान (0 या 1) हो सकते हैं।
• सारणिक का मान \( ad - bc \) होता है।
• धनात्मक मान केवल तभी संभव है जब \( ad = 1 \) और \( bc = 0 \) हो।

आम गलतियाँ:

• कुल सारणिकों की संख्या \( 2^2 = 4 \) या \( 4^2 = 16 \) में भ्रमित होना (सही \( 2^4 = 16 \) है)।
• धनात्मक मान का अर्थ केवल 1 समझना और सभी संभव सारणिकों को जाँच न करना।
• \( ad - bc > 0 \) की शर्त को गलत समझना।

Exam Tips:

a) कुल संभव परिणामों को क्रमचय-संचय या आधारभूत गिनती के सिद्धांत से निकालें।
b) सारणिक का प्रसार \( ad - bc \) सावधानी से करें।
c) अनुकूल मामलों को सूचीबद्ध करके उनकी गिनती सत्यापित करें।

Question 15: एक इलेक्ट्रॉनिक ऐसेंबली के दो सहायक निकाय A और B हैं। पूर्ववर्ती निरीक्षण द्वारा निम्न प्रायिकताएँ हैं:
\( P(A \text{ के असफल होने की}) = 0.2 \)
\( P(B \text{ के अकेले असफल होने की}) = 0.15 \)
\( P(A \text{ और } B \text{ के असफल होने की}) = 0.15 \)
तो, निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए:
(i) \( P(A \text{ असफल} | B \text{ असफल हो चुकी हो}) \)
(ii) \( P(A \text{ के अकेले असफल होने की})

Answer:

माना A का असफल होना घटना \( E_A \) और B का असफल होना घटना \( E_B \) है।
प्रश्न के अनुसार:
\( P(E_A) = 0.2 \)
\( P(E_A \text{ और } E_B) = 0.15 \) (अर्थात् \( P(E_A \cap E_B) = 0.15 \))
B के 'अकेले असफल होने' का अर्थ है कि B असफल हो लेकिन A न हो, या सीधे कुल B की असफलता: चूंकि यहाँ सीधे 'B के अकेले असफल होने की' प्रायिकता दी गई है:
\( P(E_B \text{ और नहीं } E_A) = P(E_B) - P(E_A \cap E_B) = 0.15 \)
अतः \( P(E_B) = 0.15 + P(E_A \cap E_B) = 0.15 + 0.15 = 0.30 \)
(i) \( P(E_A \text{ असफल} | B \text{ असफल हो चुकी हो}) = P(E_A | E_B) \)
\( P(E_A | E_B) = \frac{P(E_A \cap E_B)}{P(E_B)} = \frac{0.15}{0.30} = 0.5 \)
(ii) \( P(A \text{ के अकेले असफल होने की}) \) अर्थात A असफल हो लेकिन B न हो:
\( P(E_A \text{ और नहीं } E_B) = P(E_A) - P(E_A \cap E_B) = 0.2 - 0.15 = 0.05 \)

मुख्य बिंदु:

• 'अकेले असफल होने' का अर्थ है \( P(E \text{ और नहीं } F) = P(E) - P(E \cap F) \) ।
• प्रतिबंधित प्रायिकता का सूत्र \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) होता है。
• प्रायिकता के पूरक और अंतर के नियमों का सही प्रयोग करें।

आम गलतियाँ:

• 'B के अकेले असफल होने' को \( P(B) \) मान लेना।
• \( P(A \cap B) \) और व्यक्तिगत प्रायिकताओं के संबंधों में भ्रमित होना।
• दशमलव घटाव में गलती करना।

Exam Tips:

a) दिए गए मानों को वेन आरेख या समुच्चय प्रतीकों (\( \cap, \cup \)) के रूप में लिखें।
b) प्रतिबंधित प्रायिकता निकालते समय अंश और हर के मान सही रखें।
c) 'केवल एक' की स्थिति के लिए अंतर सूत्र का प्रयोग करें।

Question 16: थैला I में 3 लाल तथा 4 काली गेंदें हैं तथा थैला II में 4 लाल और 5 काली गेंदें हैं। एक गेंद को थैला I से थैला II में स्थानांतरित किया जाता है और तब एक गेंद थैला II से निकाली जाती है। निकाली गई गेंद लाल रंग की है। स्थानांतरित गेंद काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना \( E_1 \) और \( E_2 \) क्रमशः घटनाएँ हैं: 'थैला I से लाल गेंद स्थानांतरित की गई' और 'थैला I से काली गेंद स्थानांतरित की गई'।
थैला I में 3 लाल और 4 काली गेंदें हैं (कुल 7):
\( P(E_1) = \frac{3}{7} \) और \( P(E_2) = \frac{4}{7} \)
माना A घटना 'थैला II से लाल गेंद निकाली गई' को प्रदर्शित करती है।
यदि थैला I से लाल गेंद थैला II में स्थानांतरित की गई, तो थैला II में (4+1 = 5 लाल और 5 काली, कुल 10 गेंदें हो जाती हैं):
\( P(A|E_1) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
यदि थैला I से काली गेंद थैला II में स्थानांतरित की गई, तो थैला II में (4 लाल और 5+1 = 6 काली, कुल 10 गेंदें हो जाती हैं):
\( P(A|E_2) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \)
हमें स्थानांतरित गेंद के काली होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है, अर्थात् \( P(E_2|A) \):
बेयस प्रमेय से:
\( P(E_2|A) = \frac{P(E_2) P(A|E_2)}{P(E_1) P(A|E_1) + P(E_2) P(A|E_2)} \)
मान रखने पर:
\( P(E_2|A) = \frac{\frac{4}{7} \times \frac{2}{5}}{\left(\frac{3}{7} \times \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{4}{7} \times \frac{2}{5}\right)} \)
\( P(E_2|A) = \frac{\frac{8}{35}}{\frac{3}{14} + \frac{8}{35}} = \frac{\frac{8}{35}}{\frac{15 + 16}{70}} = \frac{8}{35} \times \frac{70}{31} = \frac{16}{31} \)

मुख्य बिंदु:

• स्थानांतरित गेंद के कारण दूसरे थैले की संरचना बदल जाती है।
• बेयस प्रमेय का यह एक उत्कृष्ट अनुप्रयोग है जिसमें स्थानांतरित वस्तु की प्रायिकता पूछी गई है।
• भिन्नों का लघुत्तम (LCM) सावधानी से लें।

आम गलतियाँ:

• गेंद स्थानांतरित करने के बाद दूसरे थैले की कुल गेंदों की संख्या न बदलना।
• \( P(E_1|A) \) और \( P(E_2|A) \) में से गलत प्रायिकता चुन लेना (यहाँ काली गेंद स्थानांतरित होने की पूछी है, इसलिए \( E_2 \) ऊपर रहेगा)।
• हर के भिन्नों को जोड़ने में गलती करना।

Exam Tips:

a) गेंद ट्रांसफर होने के बाद दोनों थैलों की नई स्थिति अलग से लिख लें।
b) बेयस प्रमेय का सूत्र लिखकर मानों को चरणबद्ध तरीके से हल करें।
c) अंत में भिन्नों के भाग को गुणा में बदलकर सरल करें।

Question 17: यदि A और B दो ऐसी घटनाएँ हैं कि \( P(A) \neq 0 \) और \( P(B|A) = 1 \), तब
(A) \( A \subset B \)
(B) \( B \subset A \)
(C) \( B = \phi \)
(D) \( A = \phi \)}

Answer:

दिया है: \( P(A) \neq 0 \) और \( P(B|A) = 1 \)
प्रतिबंधीय प्रायिकता के परिभाषा से:
\( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1 \)
\( \Rightarrow P(A \cap B) = P(A) \)
यह तभी संभव है जब समुच्चय A, समुच्चय B का उपसमुच्चय हो (अर्थात् \( A \subset B \))।
अतः विकल्प (A) सही है।

मुख्य बिंदु:

• \( P(B|A) = 1 \) का अर्थ है कि जब A घटित हो चुका है, तब B का घटित होना निश्चित है।
• समुच्चय सिद्धांत के अनुसार \( P(A \cap B) = P(A) \) का तात्पर्य \( A \subset B \) है।
• \( P(A) \neq 0 \) होना आवश्यक है ताकि हर में शून्य न आए।

आम गलतियाँ:

• इसे उल्टा समझकर \( B \subset A \) मान लेना।
• प्रायिकता और समुच्चय के संबंधों को भ्रमित करना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में सूत्र लिखकर तुरंत तार्किक निष्कर्ष निकालें।
b) उपसमुच्चय की परिभाषा को ध्यान में रखें।
c) सही विकल्प (A) को चिन्हित करें।

Question 18: यदि \( P(A|B) > P(A) \), तब निम्न में से कौन सही है:
(A) \( P(B|A) < P(B) \)
(B) \( P(A \cap B) < P(A) \cdot P(B) \)
(C) \( P(B|A) > P(B) \)
(D) \( P(B|A) = P(B) \)}

Answer:

दिया है: \( P(A|B) > P(A) \)
हम जानते हैं कि प्रतिबंधीय प्रायिकता का सूत्र है:
\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
अतः दिया गया संबंध बनता है:
\( \frac{P(A \cap B)}{P(B)} > P(A) \)
\( \Rightarrow P(A \cap B) > P(A) \cdot P(B) \)
पुनः, इसे B के लिए प्रतिबंधीय प्रायिकता के रूप में लिख सकते हैं:
\( \frac{P(A \cap B)}{P(A)} > P(B) \)
\( \Rightarrow P(B|A) > P(B) \)
अतः विकल्प (C) सही है।

मुख्य बिंदु:

• प्रतिबंधीय प्रायिकता के सूत्र को दोनों तरफ से लिखा जा सकता है: \( P(A \cap B) = P(B) P(A|B) = P(A) P(B|A) \)。
• यदि A का होना B पर सकारात्मक प्रभाव डालता है, तो B का होना भी A पर समान प्रभाव डालेगा।
• समरूपता (Symmetry) के नियम का प्रयोग करें।

आम गलतियाँ:

• असमानता के चिह्नों को गलत दिशा में बदल देना।
• सूत्र को आधा-अधूरा लिखना।

Exam Tips:

a) दोनों प्रतिबंधीय प्रायिकताओं के तुल a expressions को आमने-सामने रखें।
b) व्युत्क्रम संबंध को पहचानकर सही विकल्प चुनें।
c) विकल्प (C) सही है।

Question 19: यदि A और B ऐसी दो घटनाएँ हैं कि \( P(A) + P(B) - P(A \text{ और } B) = P(A) \), तब
(A) \( P(B|A) = 1 \)
(B) \( P(B|A) = 1 \text{ (ध्यान दें: विकल्प B में } P(B|A) = 1 \text{ या } P(A|B) = 1 \text{ दिया है, पुस्तक अनुसार } P(B|A) = 1 \text{ या अन्य हो सकता है, आइए हल देखें)}
(C) \( P(B|A) = 0 \)
(D) \( P(A|B) = 0 \)}

Answer:

दिया गया समीकरण है:
\( P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A) \)
समीकरण के दोनों पक्षों से \( P(A) \) घटाने पर:
\( P(B) - P(A \cap B) = 0 \)
\( \Rightarrow P(A \cap B) = P(B) \)
अब प्रतिबंधित प्रायिकता ज्ञात करते हैं:
\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B)}{P(B)} = 1 \)
(नोट: यदि विकल्प में \( P(A|B) = 1 \) या इसी प्रकार का अन्य विकल्प है, तो उसके अनुसार चयन करें। मानक पाठ्यपुस्तक के अनुसार विकल्प (B) में \( P(A|B) = 1 \) होता है)।

मुख्य बिंदु:

• प्रायिकता के योग नियम \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) से संबंधित है।
• \( P(A \cap B) = P(B) \) का अर्थ है कि B, घटना A का उपसमुच्चय है।
• \( P(A|B) = 1 \) तब होता है जब B के घटने पर A का घटना निश्चित हो।

आम गलतियाँ:

• समीकरण का पक्षांतर करते समय चिह्न की गलती करना।
• प्रतिबंधित प्रायिकता के अंश और हर को गलत रख देना।

Exam Tips:

a) समीकरण को सरल करके \( P(A \cap B) = P(B) \) तक पहुँचाएँ।
b) प्रतिबंधित प्रायिकता का सूत्र लगाकर मान निकालें।
c) सही विकल्प का चयन करें।