NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 13 Probability (प्रायिकता) Exercise 13.2 in Hindi

Question 1: यदि \( P(A) = \frac{3}{5} \), \( P(B) = \frac{1}{5} \) और A तथा B स्वतंत्र घटनाएँ हैं तो \( P(A \cap B) \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया है:
\( P(A) = \frac{3}{5} \)
\( P(B) = \frac{1}{5} \)
चूँकि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, इसलिए स्वतंत्र घटनाओं के गुणधर्म से:
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)
\( P(A \cap B) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{5} \)
\( P(A \cap B) = \frac{3}{25} \)

मुख्य बिंदु:

• स्वतंत्र घटनाओं के लिए प्रतिबंध \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \) होता है।
• दी गई प्रायिकताओं के मान सीधे सूत्र में रखे जाते हैं।
• भिन्नों का गुणा अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करके किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• स्वतंत्र घटनाओं की जगह पारस्परिक अपवर्जी घटनाओं का सूत्र लगा देना।
• गुणा करते समय हर कास गुणा (cross multiplication) कर देना।
• मानों को गलत तरीके से प्रतिस्थापित करना।

Exam Tips:

a) हमेशा सूत्र को स्पष्ट रूप से लिखें ताकि स्टेप-मार्किंग का पूरा लाभ मिल सके।
b) गणना को ध्यानपूर्वक करें ताकि भिन्न का गुणनफल सही आए।
c) अंतिम उत्तर को सरलतम रूप में लिखें।

Question 2: 52 पत्तों की एक गड्डी में से यदृच्छया बिना प्रतिस्थापित किए गए दो पत्ते निकाले गए। दोनों पत्तों के काले रंग होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Answer:

हम जानते हैं कि 52 पत्तों की एक गड्डी में कुल 26 काले रंग के पत्ते होते हैं।
माना, \( P(A) \) = पहली बार काले रंग का पत्ता निकलने की प्रायिकता
\( P(B) \) = दूसरी बार काले रंग का पत्ता निकलने की प्रायिकता
इसलिए, \( P(A) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} \)
चूँकि पहला पत्ता प्रतिस्थापित नहीं किया गया है, इसलिए कुल पत्तों की संख्या 51 और काले पत्तों की संख्या 25 रह जाती है।
अतः, \( P(B) = \frac{25}{51} \)
दोनों पत्तों के काले रंग होने की प्रायिकता:
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)
\( = \frac{1}{2} \times \frac{25}{51} \)
\( = \frac{25}{102} \)

मुख्य बिंदु:

• बिना प्रतिस्थापन के निकालने पर दूसरी प्रायिकता पर कुल परिणामों की संख्या कम हो जाती है।
• कुल काले पत्ते 26 होते हैं और लाल पत्ते भी 26 होते हैं।
• यहाँ गुणन नियम \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) \) का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• दूसरी बार निकालते समय कुल पत्तों की संख्या 52 ही मान लेना।
• काले पत्तों की कुल संख्या में गलती करना।
• बिना प्रतिस्थापन और प्रतिस्थापन के अंतर को न समझना।

Exam Tips:

a) भाषा वाले प्रश्नों में घटनाओं को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें।
b) बिना प्रतिस्थापन के संदर्भ में प्रतिदर्श समष्टि में होने वाले बदलाव को दर्शाएं।
c) अंत में अंश और हर को ठीक से गुणा करके परिणाम लिखें।

Question 3: संतरों के एक डिब्बे का निरीक्षण उसमें से तीन संतरों को यदृच्छया बिना प्रतिस्थापित किए हुए निकालकर किया जाता है। यदि तीनों निकाले गए संतरे अच्छे हों तो डिब्बे को बिक्री के लिए स्वीकृत किया جاتا है अन्यथा अस्वीकृत कर देते हैं। एक डिब्बा जिसमें 15 संतरे हैं जिसमें से 12 अच्छे हैं व 3 खराब संतरे हैं, के बिक्री के लिए स्वीकृत होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना A, B और C घटनाएँ क्रमशः पहली, दूसरी और तीसरी बार अच्छा संतरा निकलने को प्रदर्शित करती हैं।
कुल संतरे = 15, अच्छे संतरे = 12
पहला संतरा अच्छा होने की प्रायिकता:
\( P(A) = \frac{12}{15} \)
पहले संतरे को प्रतिस्थापित नहीं किया गया है। इसलिए दूसरा संतरा अच्छा होने की प्रायिकता:
\( P(B) = \frac{11}{14} \)
इसी प्रकार तीसरा संतरा अच्छा होने की प्रायिकता:
\( P(C) = \frac{10}{13} \)
यदि तीनों निकाले गए संतरे अच्छे हों तो डिब्बे को बिक्री के लिए स्वीकृत किया जाता है।
इस प्रकार, तीनों निकाले गए संतरे अच्छे होने की प्रायिकता:
\( P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|AB) \)
\( = \frac{12}{15} \times \frac{11}{14} \times \frac{10}{13} \)
अतः, डिब्बे के बिक्री के लिए स्वीकृत होने की प्रायिकता:
\( = \frac{44}{91} \)

मुख्य बिंदु:

• प्रत्येक सफल चयन के बाद कुल और अनुकूल दोनों संतरों की संख्या में 1 की कमी होती है।
• यह बिना प्रतिस्थापन के क्रमिक चയন (successive selection) का प्रश्न है।
• सभी तीन स्वतंत्र चरणों की प्रायिकताओं का गुणनफल निकाला जाता है।

आम गलतियाँ:

• प्रत्येक बार हर में 15 ही रखना।
• खराब और अच्छे संतरों की संख्याओं में भ्रमित होना।
• भिन्नों के गुणा में लघुत्तम (LCM) निकालने की कोशिश करना (जो गुणन में नहीं होता)।

Exam Tips:

a) बिना प्रतिस्थापन वाले प्रश्नों में प्रत्येक चरण पर शेष वस्तुओं की संख्या ध्यान से लिखें।
b) यदि संभव हो तो अंश और हर को बीच में ही सरल (reduce) कर लें ताकि गुणा आसान हो जाए।
c) अंतिम भिन्न को उसके सरलतम रूप में ही छोड़ें।

Question 4: एक न्याय सिक्का और एक अभिन्नत पासे को उछाला गया। मान लें A घटना 'सिक्के पर चित प्रकट होता है' और B घटना 'पासे पर संख्या 3 प्रकट होती है' को निरूपित करते हैं। निरीक्षण कीजिए कि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं या नहीं?

Answer:

एक न्याय सिक्का और एक अभिन्नत पासा को उछाला जाए तो प्रतिदर्श समष्टि निम्न प्रकार है:
\( S = \{(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)\} \)
दिया है: A: सिक्के पर चित प्रकट होता है।
\( A = \{(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6)\} \), इसलिए \( P(A) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)
B: पासे पर 3 प्रकट होना:
\( B = \{(H, 3), (T, 3)\} \), इसलिए \( P(B) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \)
\( A \cap B = \{(H, 3)\} \), इसलिए \( P(A \cap B) = \frac{1}{12} \)
अब, \( P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \)
चूँकि \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \), अतः घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं।

मुख्य बिंदु:

• दो घटनाओं की स्वतंत्रता की जाँच के लिए \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \) की सत्यता की जाँच की जाती है।
• प्रतिदर्श समष्टि में कुल परिणामों की संख्या \( 2 \times 6 = 12 \) होगी।
• उभयनिष्ठ अवयव (common elements) से \( A \cap B \) ज्ञात किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिदर्श समष्टि ठीक से न बनाना।
• घटनाओं की प्रायिकता निकालते समय कुल परिणाम 6 या 2 मान लेना।
• स्वतंत्रता की शर्त को सही से सत्यापित न करना।

Exam Tips:

a) कार्तीय गुणन (Cartesian product) के रूप में प्रतिदर्श समष्टि को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
b) दोनों प्रायिकताओं के गुणनफल और सर्वनिष्ठ (intersection) की प्रायिकता की तुलना स्पष्ट रूप से दिखाएं।
c) निष्कर्ष को अंतिम पंक्ति में अवश्य लिखें।

Question 5: एक पासे पर 1, 2, 3 लाल रंग से और 4, 5, 6 हरे रंग से लिखे गए हैं। इस पासे को उछाला गया। मान लें A घटना 'संख्या सम है' और घटना 'संख्या लाला रंग से लिखी गई है' को निरूपित करते हैं। क्या A और B स्वतंत्र हैं?

Answer:

एक पासे को फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
यहाँ, A (संख्या सम है) को प्रदर्शित करती है, इसलिए \( A = \{2, 4, 6\} \) और \( P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
B (संख्या लाला रंग से लिखी है) को प्रदर्शित करती है, इसलिए \( B = \{1, 2, 3\} \) और \( P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
\( A \cap B = \{2\} \), इसलिए \( P(A \cap B) = \frac{1}{6} \)
अब, \( P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)
यहाँ, \( P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B) \), इसलिए घटनाएँ A और B स्वतंत्र नहीं हैं।

मुख्य बिंदु:

• घटना A और B के अनुकूल परिणामों के समुच्चयों को सही से पहचानना आवश्यक है।
• \( A \cap B \) दोनों घटनाओं के समुच्चय का प्रतिच्छेदन (intersection) होता है।
• यदि \( P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B) \), तो घटनाएँ स्वतंत्र नहीं होती हैं।

आम गलतियाँ:

• रंग और संख्या के प्रतिबंधों को समझने में भूल करना।
• प्रतिच्छेदन समुच्चय \( A \cap B \) में गलत अवयव लिख लेना।
• गुणनफल की तुलना न करके सीधे उत्तर लिख देना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक घटना के लिए समुच्चय के अवयव लिखकर दिखाएं।
b) स्वतंत्र होने के प्रतिबंध को गणितीय रूप में लिखकर तुलना करें।
c) कारण सहित उत्तर दें कि घटनाएँ स्वतंत्र क्यों नहीं हैं।

Question 6: मान लें E और F दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि \( P(E) = \frac{3}{5} \), \( P(F) = \frac{3}{10} \) और \( P(E \cap F) = \frac{1}{5} \), तब क्या E और F स्वतंत्र हैं?

Answer:

दिया है:
\( P(E) = \frac{3}{5} \), \( P(F) = \frac{3}{10} \) और \( P(E \cap F) = \frac{1}{5} \)
अब, \( P(E) \cdot P(F) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{10} = \frac{9}{50} \)
यहाँ, \( P(E \cap F) = \frac{1}{5} = \frac{10}{50} \)
चूँकि \( P(E \cap F) \neq P(E) \cdot P(F) \), इसलिए घटनाएँ E और F स्वतंत्र नहीं हैं।

मुख्य बिंदु:

• दो घटनाओं की स्वतंत्रता की जाँच के लिए \( P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) \) की जाँच की जाती है।
• भिन्नों की तुलना करने के लिए हर (denominator) को समान बनाया जा सकता है।
• सीधे मानों को सूत्र में रखकर असंगति दिखाई जाती है।

आम गलतियाँ:

• भिन्नों की तुलना करते समय हर समान किए बिना गलत निष्कर्ष निकाल लेना।
• गुणनफल निकालने में गलती करना।
• परिभाषा का गलत उपयोग करना।

Exam Tips:

a) दोनों मानों (दिए गए सर्वनिष्ठ और प्रायिकताओं के गुणनफल) को समान हर वाले भिन्न में बदलकर तुलना करना आसान होता है।
b) अपने निष्कर्ष को स्पष्ट शब्दों में लिखें।
c) सभी चरणों को क्रमबद्ध रूप से हल करें।

Question 7: A और B ऐसी घटनाएँ दी गई हैं जहाँ \( P(A) = \frac{1}{2} \), \( P(A \cup B) = \frac{3}{5} \), तथा \( P(B) = p \). p का मान ज्ञात कीजिए यदि (i) घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं। (ii) घटनाएँ स्वतंत्र हैं।

Answer:

दिया है: \( P(A) = \frac{1}{2} \), \( P(A \cup B) = \frac{3}{5} \) और \( P(B) = p \)
(i) जब A और B परस्पर अपवर्जी हैं तो \( (A \cap B) = \Phi \), इसलिए \( P(A \cap B) = 0 \)
हम जानते हैं कि: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( \Rightarrow \frac{3}{5} = \frac{1}{2} + p - 0 \)
\( \Rightarrow p = \frac{3}{5} - \frac{1}{2} \)
\( \Rightarrow p = \frac{6 - 5}{10} = \frac{1}{10} \)
(ii) जब A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2}p \)
हम जानते हैं कि \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( \Rightarrow \frac{3}{5} = \frac{1}{2} + p - \frac{1}{2}p \)
\( \Rightarrow \frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}p \)
\( \Rightarrow \frac{1}{10} = \frac{1}{2}p \)
\( \Rightarrow p = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \)

मुख्य बिंदु:

• परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए \( P(A \cap B) = 0 \) होता है।
• स्वतंत्र घटनाओं के लिए \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \) होता है।
• प्रायिकता के योग नियम \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) का उपयोग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• अपवर्जी और स्वतंत्र दोनों प्रतिबंधों को एक ही मान लेना।
• समीकरण हल करते समय भिन्न के घटाव (subtraction) में गलती करना।
• सूत्र में मान रखते समय चरों का पक्षांतर गलत करना।

Exam Tips:

a) उप-भाग (i) और (ii) को अलग-अलग और स्पष्ट रूप से हल करें।
b) प्रत्येक भाग में लागू होने वाली मुख्य शर्त को पहले लिखें।
c) लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) सावधानी से लें।

Question 8: मान लें A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं तथा \( P(A) = 0.3 \) और \( P(B) = 0.4 \). तब (i) \( P(A \cap B) \) (ii) \( P(A \cup B) \) (iii) \( P(A|B) \) (iv) \( P(B|A) \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

(i) दिया है: \( P(A) = 0.3 \) और \( P(B) = 0.4 \)
चूँकि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.3 \times 0.4 = 0.12 \)
(ii) हम जानते हैं कि \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( \Rightarrow P(A \cup B) = 0.3 + 0.4 - 0.12 = 0.58 \)
(iii) हम जानते हैं कि \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( \Rightarrow P(A|B) = \frac{0.12}{0.4} = 0.3 \)
(iv) हम जानते हैं कि \( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)
\( \Rightarrow P(B|A) = \frac{0.12}{0.3} = 0.4 \)

मुख्य बिंदु:

• स्वतंत्र घटनाओं के लिए सर्वनिष्ठ की प्रायिकता उनके गुणनफल के बराबर होती है।
• सप्रतिबंध प्रायिकता (Conditional probability) का सूत्र \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) होता है।
• दशमलव संख्याओं का गुणा और भाग सावधानी से करना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• दशमलव के गुणन में अंकों की गिनती में भूल करना।
• सप्रतिबंध प्रायिकता के अंश और हर के मानों को उलट देना।
• योग नियम में \( P(A \cap B) \) को घटाना भूल जाना।

Exam Tips:

a) चारों भागों को (i), (ii), (iii), (iv) क्रम में हल करें।
b) प्रत्येक भाग के लिए उपयुक्त सूत्र पहले लिखें।
c) दशमलव के भाग को सरल करने के लिए अंश और हर दोनों को 100 से गुणा करके हल कर सकते हैं।

Question 9: दी गई घटनाएँ A और B ऐसी हैं, जहाँ \( P(A) = \frac{1}{4} \), \( P(B) = \frac{1}{2} \) और \( P(A \cap B) = \frac{1}{8} \), तब \( P(A - \text{नहीं और } B - \text{नहीं}) \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया है: \( P(A) = \frac{1}{4} \), \( P(B) = \frac{1}{2} \) और \( P(A \cap B) = \frac{1}{8} \)
हमें \( P(A' \cap B') \) ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि \( P(A' \cap B') = P(A \cup B)' \) (डी मॉर्गन नियम से)
\( = 1 - P(A \cup B) \)
\( = 1 - [P(A) + P(B) - P(A \cap B)] \)
\( = 1 - \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8}\right] \)
\( = 1 - \left[\frac{2 + 4 - 1}{8}\right] \)
\( = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8} \)

मुख्य बिंदु:

• 'A नहीं और B नहीं' का अर्थ \( A' \cap B' \) होता है।
• डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \( A' \cap B' = (A \cup B)' \) होता है।
• पूरक घटना का सूत्र \( P(E') = 1 - P(E) \) होता है।

आम गलतियाँ:

• 'और' (and) को 'या' (or) समझकर गलत समुच्चय लिख लेना।
• कोष्ठक के बाहर माइनस चिह्न होने पर अंदर के चिह्नों में गलती करना।
• भिन्नों का लघुत्तम (LCM) निकालने में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) डी मॉर्गन नियम का उल्लेख अवश्य करें।
b) पहले कोष्ठक के अंदर के पद का मान निकालें, फिर 1 में से घटाएं।
c) भिन्नों के जोड़-घटाव में एलसीएम की प्रक्रिया को साफ-साफ दिखाएं।

Question 10: मान लें A तथा B स्वतंत्र घटनाएँ हैं और \( P(A) = \frac{1}{2} \), \( P(B) = \frac{7}{12} \) और \( P(A - \text{नहीं और } B - \text{नहीं}) = \frac{1}{4} \), क्या A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं?

Answer:

दिया है: \( P(A) = \frac{1}{2} \), \( P(B) = \frac{7}{12} \) और \( P(A' \cap B') = \frac{1}{4} \)
\( \Rightarrow P(A' \cap B') = \frac{1}{4} \)
\( \Rightarrow P(A \cup B)' = \frac{1}{4} \) (डी मॉर्गन नियम से)
\( \Rightarrow 1 - P(A \cup B) = \frac{1}{4} \)
\( \Rightarrow P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)
हम जानते हैं कि \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{7}{12} - P(A \cap B) \)
\( \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{7}{12} - \frac{3}{4} \)
\( \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{6 + 7 - 9}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \) --- (1)
लेकिन, \( P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{7}{12} = \frac{7}{24} \) --- (2)
यहाँ, \( \frac{1}{3} \neq \frac{7}{24} \), इसलिए \( P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B) \)
अतः, A और B स्वतंत्र घटनाएँ नहीं हैं।

मुख्य बिंदु:

• पहले दी गई जानकारी से \( P(A \cap B) \) का वास्तविक मान निकाला जाता है।
• फिर \( P(A) \cdot P(B) \) की गणना करके दोनों की तुलना की जाती है।
• यदि दोनों मान बराबर नहीं आते हैं, तो घटनाएँ स्वतंत्र नहीं होती हैं।

आम गलतियाँ:

• \( P(A' \cap B') \) से सीधे स्वतंत्रता की जाँच करने की कोशिश करना।
• भिन्नों के जोड़ और घटाव में लघुत्तम लेते समय गलती करना।
• समीकरणों की तुलना करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) प्रश्न में दिए गए कथन की सत्यता की जाँच करने के लिए दोनों पक्षों को अलग-अलग हल करें।
b) समीकरण (1) और (2) को स्पष्ट रूप से अंकित करें।
c) अंत में निष्कर्ष जरूर लिखें।

Question 11: A और B स्वतंत्र घटनाएँ दी गई हैं जहाँ \( P(A) = 0.3 \), \( P(B) = 0.6 \) तो (i) \( P(A \text{ और } B) \) (ii) \( P(A \text{ और } B - \text{नहीं}) \) (iii) \( P(A \text{ या } B) \) (iv) \( P(A \text{ और } B \text{ में कोई भी नहीं}) \) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया है: \( P(A) = 0.3, P(B) = 0.6 \). A व B स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
(i) \( P(A \text{ और } B) = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.3 \times 0.6 = 0.18 \)
(ii) \( P(A \text{ और } B') = P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = 0.3 - 0.18 = 0.12 \)
(iii) \( P(A \text{ या } B) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.3 + 0.6 - 0.18 = 0.72 \)
(iv) \( P(A \text{ और } B \text{ में कोई भी नहीं}) = P(A' \cap B') = P(A \cup B)' = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.72 = 0.28 \)

मुख्य बिंदु:

• 'A और B' का अर्थ \( P(A \cap B) \) होता है।
• 'A और B नहीं' का अर्थ \( P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) \) होता है।
• 'कोई भी नहीं' का अर्थ \( P(A' \cap B') \) होता है।

आम गलतियाँ:

• भाषा को प्रतीकों में बदलते समय गलत समुच्चय का चयन करना।
• दशमलव के घटाव में स्थान का ध्यान न रखना।
• स्वतंत्र घटनाओं के गुणों का गलत प्रयोग करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक उप-भाग को अलग-अलग लिखकर हल करें।
b) समुच्चयों के पूरक और अंतर सूत्रों का सही उपयोग करें।
c) गणना को एक बार पुनः जाँच लें।

Question 12: एक पासे को तीन बार उछाला जाता है तो कम से कम एक बार विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Answer:

एक पासे को एक बार उछालने पर विषम संख्या आने की प्रायिकता = \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
इसी प्रकार, विषम संख्या न आने की प्रायिकता = \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
इसलिए, पासे को तीन बार उछालने पर, सभी पर सम संख्या आने की प्रायिकता = \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \)
इसलिए, कम से कम एक बार विषम संख्या आने की प्रायिकता:
= 1 - किसी भी उछाल में विषम संख्या न आने की प्रायिकता
= 1 - सभी उछालों में सम संख्या आने की प्रायिकता
= \( 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \)

मुख्य बिंदु:

• 'कम से कम एक' वाले प्रश्नों में पूरक घटना (complementary event) का प्रयोग करना सबसे आसान होता है।
• 'कम से कम एक बार विषम' का पूरक 'एक बार भी विषम न आना' यानी 'सभी बार सम आना' है।
• पासे पर 3 सम और 3 विषम संख्याएँ होती हैं।

आम गलतियाँ:

• सीधे प्रायिकताओं को जोड़ने की गलती करना।
• पूरक घटना का अर्थ गलत निकाल लेना।
• स्वतंत्र प्रयोगात्मक परिणामों का गुणन गलत करना।

Exam Tips:

a) 'कम से कम एक' (at least one) शब्द देखते ही 1 में से पूरक प्रायिकता घटाने वाले नियम का प्रयोग करने की सोचें।
b) भाषा को स्पष्ट रूप से लिखकर समझाएं।
c) भिन्नों का घटाव सावधानी से करें।

Question 13: दो गेंद एक बॉक्स से प्रतिस्थापित कर के निकाली जाती हैं। बॉक्स में 10 काली और 8 लाल गेंद हैं तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
(i) दोनों गेंदें लाल हों।
(ii) प्रथम काली एवं दूसरी लाल हो।
(iii) एक काली तथा एक लाल हो।

Answer:

कुल गेंदें = 10 (काली) + 8 (लाल) = 18 गेंदें
(i) पहली बार में लाल गेंद आने की प्रायिकता = \( \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \)
गेंद को वापस प्रतिस्थापित किया जाता है, इसलिए दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता = \( \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \)
अतः, दोनों गेंद लाल होने की प्रायिकता = \( \frac{4}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{16}{81} \)
(ii) पहली गेंद काली होने की प्रायिकता = \( \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \)
गेंद को वापस प्रतिस्थापित कर दिया जाता है, इसलिए दूसरी गेंद लाल निकलने की प्रायिकता = \( \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \)
इसलिए, पहली काली और दूसरी गेंद लाल निकलने की प्रायिकता = \( \frac{5}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{20}{81} \)
(iii) पहली गेंद लाल होने और दूसरी गेंद काली निकलने की प्रायिकता = \( \frac{8}{18} \times \frac{10}{18} = \frac{4}{9} \times \frac{5}{9} = \frac{20}{81} \)
अतः, एक काली और एक लाल गेंद होने की प्रायिकता = पहली गेंद लाल और दूसरी गेंद काली + पहली गेंद काली और दूसरी गेंद लाल
\( = \frac{20}{81} + \frac{20}{81} = \frac{40}{81} \)

मुख्य बिंदु:

• 'प्रतिस्थापित कर के' (with replacement) का अर्थ है कि प्रत्येक बार कुल गेंदें समान (18) रहती हैं।
• 'एक काली और एक लाल' में दोनों स्थितियाँ (पहला काली-दूसरा लाल तथा पहला लाल-दूसरा काली) शामिल होती हैं।
• स्वतंत्र चरणों के लिए प्रायिकताओं को गुणा किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिस्थापन के बाद भी कुल गेंदों की संख्या 17 कर देना।
• तीसरे भाग में केवल एक ही क्रम की प्रायिकता निकालकर छोड़ देना।
• भिन्नों को सरल न करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक उप-भाग को अलग से लिखकर हल करें।
b) शुरुआत में ही कुल गेंदों की संख्या स्पष्ट कर लें।
c) तीसरे भाग में दोनों संभव क्रमों को जोड़ना न भूलें।

Question 14: एक विशेष समस्या को A और B द्वारा स्वतंत्र रूप से हल करने की प्रायिकताएँ क्रमशः \( \frac{1}{2} \) और \( \frac{1}{3} \) हैं। यदि दोनों, स्वतंत्र रूप से, समस्या हल करने का प्रयास करते हैं, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि:
(i) समस्या हल हो जाएगी
(ii) उनमे से तथतः कोई एक समस्या हल कर लेता है।

Answer:

समस्या को A द्वारा हल करने की प्रायिकता, \( P(A) = \frac{1}{2} \)
समस्या को B द्वारा हल करने की प्रायिकता, \( P(B) = \frac{1}{3} \)
चूँकि A और B स्वतंत्र रूप से हल कर सकते हैं, इसलिए \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \)
\( P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)
\( P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)
(i) समस्या को हल करने की प्रायिकता = \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3 + 2 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
(ii) किसी एक द्वारा समस्या को हल करने की प्रायिकता:
\( = P(A) \cdot P(B') + P(B) \cdot P(A') \)
\( = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

मुख्य बिंदु:

• स्वतंत्र घटनाओं के लिए पूरक प्रायिकताएँ \( P(A') \) और \( P(B') \) आसानी से निकाली जा सकती हैं।
• 'तथतः कोई एक' (exactly one) का अर्थ \( A \text{ और } B' \) या \( B \text{ और } A' \) होता है।
• समस्या हल होने का अर्थ \( P(A \cup B) \) ज्ञात करना है।

आम गलतियाँ:

• दूसरे भाग में दोनों के हल न करने की प्रायिकता निकाल लेना।
• योग नियम में सर्वनिष्ठ को न घटाना।
• भिन्नों के जोड़ने में लघुत्तम की गलती करना।

Exam Tips:

a) पहले आवश्यक मान जैसे \( P(A') \), \( P(B') \) और \( P(A \cap B) \) निकाल कर रख लें।
b) दूसरे भाग के लिए सूत्र को शब्दों और प्रतीकों दोनों में स्पष्ट लिखें।
c) परिणाम को सरलतम रूप में ही छोड़ें।

Question 15: ताश के 52 पत्तों की एक सुमित्रित गड्डी से एक पत्ता यदृच्छया निकाला जाता है। निम्नलिखित में से किन दशाओं में घटनाएँ E और F स्वतंत्र हैं?
(i) E: 'निकالا गया पत्ता हुकम का है' , F: 'निकالا गया पत्ता इक्का है'
(ii) E: 'निकالا गया पत्ता काले रंग का है', F: 'निकالا गया पत्ता एक बादशाह है'
(iii) E: 'निकالا गया पत्ता एक बादशाह या एक बेगम है', F: 'निकالا गया पत्ता एक बेगम या एक गुलाम है'

Answer:

(i) ताश के 52 पत्तों में, 13 पत्ते हुकम के और 4 पत्ते इक्के होते हैं।
\( \therefore P(E) = P(\text{हुकम का पत्ता}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \)
\( \therefore P(F) = P(\text{इक्का}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \)
ताश की गड्डी में केवल 1 पत्ता हुकम का इक्का होता है। इसलिए,
\( P(E \cap F) = P(\text{हुकम का इक्का}) = \frac{1}{52} \)
अब, \( P(E) \cdot P(F) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{52} \)
चूँकि \( P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) \), अतः घटनाएँ E और F स्वतंत्र हैं।
(ii) ताश के 52 पत्तों में 26 पत्ते काले रंग के और 4 बादशाह हैं।
\( \therefore P(E) = P(\text{काला रंग}) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} \)
\( \therefore P(F) = P(\text{बादशाह}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \)
ताश के 52 पत्तों में, 2 काले बादशाह होते हैं। इसलिए,
\( P(E \cap F) = P(\text{काला बादशाह}) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26} \)
अब, \( P(E) \cdot P(F) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{26} \)
चूँकि \( P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) \), अतः घटनाएँ E और F स्वतंत्र हैं।
(iii) ताश के 52 पत्तों में, 4 बादशाह, 4 बेगम और 4 गुलाम हैं।
\( \therefore P(E) = P(\text{बादशाह या बेगम}) = \frac{8}{52} = \frac{2}{13} \)
\( \therefore P(F) = P(\text{बेगम या गुलाम}) = \frac{8}{52} = \frac{2}{13} \)
यहाँ 4 पत्ते ऐसे हैं जो 'बादशाह या बेगम' और 'बेगम या गुलाम' में उभयनिष्ठ हैं (दोनों बेगम)।
\( \therefore P(E \cap F) = P(\text{बेगम}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \)
अब, \( P(E) \cdot P(F) = \frac{2}{13} \times \frac{2}{13} = \frac{4}{169} \)
चूँकि \( P(E \cap F) \neq P(E) \cdot P(F) \), अतः घटनाएँ E और F स्वतंत्र नहीं हैं।

मुख्य बिंदु:

• ताश के पत्तों की संरचना (रंग, सूट, मुख वाले पत्ते आदि) की अच्छी समझ होनी चाहिए।
• स्वतंत्रता की जाँच के लिए हमेशा \( P(E \cap F) \) और \( P(E) \cdot P(F) \) की तुलना करें।
• उभयनिष्ठ परिणामों (intersection) को सावधानी से गिनें।

आम गलतियाँ:

• तीसरे भाग में सर्वनिष्ठ पत्तों की संख्या गलत गिन लेना।
• भिन्नों को सरल न करना।
• स्वतंत्रता की परिभाषा भूल जाना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक उप-भाग को अलग-अलग हल करें ताकि जाँच आसान हो।
b) ताश के पत्तों से जुड़े मानों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) अंत में स्पष्ट निष्कर्ष लिखें कि घटनाएँ स्वतंत्र हैं या नहीं।

Question 16: एक छात्रावास में 60% विद्यार्थी हिंदी का, 40% अंग्रेजी का और 20% दोनों अखबार पढ़ते हैं। एक छात्र को यदृच्छया चुना जाता है।
(a) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह न तो हिंदी और न ही अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है।
(b) यदि वह हिंदी का अखबार पढ़ती है तो उसके अंग्रेजी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(c) यदि वह अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है तो उसके हिंदी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना, H घटना हिंदी का अखबार पढ़ना और E घटना अंग्रेजी का अखबार पढ़ना है।
दिया है: \( P(H) = 60\% = \frac{60}{100} = \frac{3}{5} \), \( P(E) = 40\% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5} \) और \( P(H \cap E) = 20\% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5} \)
(a) प्रायिकता कि वह न तो हिंदी और न ही अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है:
\( = P(H' \cap E') = P(H \cup E)' = 1 - P(H \cup E) \)
\( = 1 - [P(H) + P(E) - P(H \cap E)] \)
\( = 1 - \left[\frac{3}{5} + \frac{2}{5} - \frac{1}{5}\right] = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \)
(b) विद्यार्थी के अंग्रेजी का अखबार पढ़ने की प्रायिकता जबकि दिया है कि वह हिंदी का अखबार भी पढ़ती है, निम्नलिखित है:
\( P(E|H) = \frac{P(H \cap E)}{P(H)} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{1}{3} \)
(c) विद्यार्थी के हिंदी का अखबार पढ़ने की प्रायिकता जबकि दिया है कि वह अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है, निम्नलिखित है:
\( P(H|E) = \frac{P(H \cap E)}{P(E)} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{1}{2} \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिशत को भिन्न या दशमलव में बदलना आवश्यक है।
• 'न तो हिंदी और न ही अंग्रेजी' का अर्थ \( P(H' \cap E') \) होता है।
• सप्रतिबंध प्रायिकता (Conditional probability) के सूत्रों का सही प्रयोग करें।

आम गलतियाँ:

• प्रतिशत को सीधे 60, 40 मान लेना (बटे 100 न करना)।
• सप्रतिबंध प्रायिकता में अंश और हर के मानों को उलटा रख देना।
• डी मॉर्गन नियम का गलत उपयोग करना।

Exam Tips:

a) तीनों भागों (a), (b), (c) को स्पष्ट रूप से अलग-अलग हल करें।
b) सप्रतिबंध प्रायिकता के लिए सूत्र अवश्य लिखें।
c) भिन्नों के भाग को हल करते समय सावधानी बरतें।

Question 17: यदि पासे का एक जोड़ा उछाला जाता है तो प्रत्येक पासे पर सम अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता निम्नलिखित में से क्या है:
(A) 0
(B) \( \frac{1}{3} \)
(C) \( \frac{1}{12} \)
(D) \( \frac{1}{36} \)

Answer:

जब दो पासों का एक जोड़ा उछाला जाता है तो प्रतिदर्श समष्टि के कुल परिणाम = 36
पासे पर केवल एक सम अभाज्य संख्या 2 है। माना E घटना 'प्रत्येक पासे पर सम अभाज्य संख्या प्राप्त करना है'।
\( \therefore E = \{(2, 2)\} \), इस प्रकार
\( P(E) = \frac{1}{36} \)
अतः, विकल्प (D) सही है।

मुख्य बिंदु:

• सम अभाज्य संख्या केवल 2 होती है।
• दो पासों को उछालने पर कुल परिणाम \( 6 \times 6 = 36 \) होते हैं।
• अनुकूल परिणाम केवल एक युग्म \( (2, 2) \) होगा।

आम गलतियाँ:

• सभी सम संख्याओं (2, 4, 6) को सम अभाज्य मान लेना।
• कुल परिणामों की संख्या 12 लिख देना।
• अनुकूल परिणामों की संख्या में भूल करना।

Exam Tips:

• अभाज्य और सम संख्याओं की परिभाषा को स्पष्ट रूप से याद रखें।
• बहुविकल्पीय प्रश्न में सही विकल्प का चयन करने से पहले उसकी पूरी गणना कर लें।

Question 18: दो घटनाओं A और B को परस्पर स्वतंत्र कहते हैं, यदि
(A) A और B परस्पर अपवर्जी हैं
(B) \( P(A'B') = [1 - P(A)][1 - P(B)] \)
(C) \( P(A) = P(B) \)
(D) \( P(A) + P(B) = 1 \)

Answer:

घटनाएँ A और B स्वतंत्र होती यदि \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)
विकल्प (A) पर विचार करते हैं:
माना, \( P(A) = m, P(B) = n, 0 < m, n < 1 \)
A और B परस्पर अपवर्जी हैं, \( \therefore A \cap B = \Phi \Rightarrow P(A \cap B) = 0 \)
परन्तु, \( P(A) \cdot P(B) = mn \neq P(A \cap B) \), अतः, विकल्प (A) गलत है।
विकल्प (B) पर विचार करते हैं:
\( P(A' \cap B') = 1 - P(A) - P(B) + P(A \cdot B) \)
\( \Rightarrow 1 - P(A \cup B) = 1 - P(A) - P(B) + P(A) \cdot P(B) \)
\( \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B) \)
\( \Rightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)
इससे पता चलता है कि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं यदि \( P(A' \cap B') = [1 - P(A)][1 - P(B)] \)
अतः, विकल्प (B) सही है।

मुख्य बिंदु:

• यदि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो उनकी पूरक घटनाएँ A' और B' भी स्वतंत्र होती हैं।
• \( P(A' \cap B') = P(A') \cdot P(B') = [1 - P(A)][1 - P(B)] \) स्वतंत्रता का एक अन्य प्रतिबन्ध है।
• परस्पर अपवर्जी और स्वतंत्र घटनाएँ एक दूसरे से भिन्न होती हैं।

आम गलतियाँ:

• अपवर्जी घटनाओं को ही स्वतंत्र समझ लेना।
• डी मॉर्गन नियम और पूरक प्रायिकता के संबंधों को सही से न समझना।

Exam Tips:

• ऐसे वैचारिक बहुविकल्पीय प्रश्नों में सभी विकल्पों का परीक्षण करके सही निष्कर्ष पर पहुँचें।
• स्वतंत्रता के विभिन्न समतुल्य प्रतिबन्धों को याद रखें।