NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 13 Probability (प्रायिकता) Exercise 13.1 in Hindi

Question 1: यदि E और F इस प्रकार की घटनाएँ हैं कि \( P(E) = 0.6 \), \( P(F) = 0.3 \) और \( P(E \cap F) = 0.2 \), तो \( P(E|F) \) और \( P(F|E) \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया है: \( P(E) = 0.6 \)
\( P(F) = 0.3 \)
\( P(E \cap F) = 0.2 \)
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र से:
\( P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} \)
\( P(E|F) = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3} \)
इसी प्रकार:
\( P(F|E) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)} \)
\( P(F|E) = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3} \)

मुख्य बिंदु:

• सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) होता है।
• दी गई प्रायिकताओं के मान सीधे सूत्र में प्रतिस्थापित किए जाते हैं।
• भिन्नों को सरलतम रूप में बदला जाता है।

आम गलतियाँ:

• अंश और हर के मानों को आपस में बदल देना।
• दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्न में बदलते समय गलती करना।
• सूत्र में \( P(E \cap F) \) के स्थान पर \( P(E \cup F) \) का प्रयोग करना।

Exam Tips:

a) हमेशा मानों को लिखने के बाद उपयुक्त सूत्र स्पष्ट रूप से लिखें।
b) गणना करते समय दशमलव स्थानों का विशेष ध्यान रखें।
c) उत्तर को सरलतम भिन्न या दशमलव रूप में छोड़ें।

Question 2: \( P(A|B) \) ज्ञात कीजिए, यदि \( P(B) = 0.5 \) और \( P(A \cap B) = 0.32 \) ।

Answer:

दिया गया है: \( P(B) = 0.5 \)
\( P(A \cap B) = 0.32 \)
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र से:
\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( P(A|B) = \frac{0.32}{0.5} \)
\( P(A|B) = \frac{32}{50} = \frac{16}{25} \)

मुख्य बिंदु:

• \( P(A|B) \) का अर्थ है घटना B के घटित होने के पश्चात घटना A की प्रायिकता।
• यहाँ \( P(B) \) हर में आता है क्योंकि घटना B पहले घटित हो चुकी है।
• दशमलव हटाने के लिए अंश और हर में 100 से गुणा किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( P(B) \) को अंश में और \( P(A \cap B) \) को हर में लिख देना।
• दशमलव भाग को हल करते समय शून्य की गलती करना।
• भिन्न को सरल न करना।

Exam Tips:

a) सूत्र लिखकर ही मान प्रतिस्थापित करें।
b) दशमलव को भिन्न में बदलकर काटना आसान होता है।
c) अंतिम उत्तर को हमेशा न्यूनतम रूप में दें।

Question 3: यदि \( P(A) = 0.8 \), \( P(B) = 0.5 \) और \( P(B|A) = 0.4 \) है, तो ज्ञात कीजिए:
(i) \( P(A \cap B) \)
(ii) \( P(A|B) \)
(iii) \( P(A \cup B) \)

Answer:

(i) सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र से:
\( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)
\( 0.4 = \frac{P(A \cap B)}{0.8} \)
\( P(A \cap B) = 0.4 \times 0.8 = 0.32 \)
(ii) अब \( P(A|B) \) ज्ञात करने के लिए:
\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( P(A|B) = \frac{0.32}{0.5} = 0.64 \)
(iii) प्रायिकता के योग नियम से:
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( P(A \cup B) = 0.8 + 0.5 - 0.32 \)
\( P(A \cup B) = 1.3 - 0.32 = 0.98 \)

मुख्य बिंदु:

• सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र को प्रतिस्थापित करके सर्वनिष्ठ निकाला जा सकता है।
• दो घटनाओं के सम्मिलन का सूत्र \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) होता है।
• दशमलव संख्याओं की जोड़-घटाव में सावधानी जरूरी है।

आम गलतियाँ:

• \( P(B|A) \) के सूत्र में हर में \( P(B) \) लिख देना।
• \( P(A \cup B) \) के सूत्र में सर्वनिष्ठ को जोड़ देना।
• गुणा करते समय दशमलव बिंदु की स्थिति भूल जाना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक उप-भाग को अलग-अलग स्पष्ट चरणों में हल करें।
b) योग नियम का उपयोग करते समय सभी मानों की जाँच करें।
c) दशमलव के जोड़ में अंकों के नीचे अंक रखकर जोड़ें।

Question 4: \( P(A \cup B) \) ज्ञात कीजिए यदि \( 2P(A) = P(B) = \frac{5}{13} \) और \( P(A|B) = \frac{2}{5} \) ।

Answer:

दिया गया है: \( 2P(A) = \frac{5}{13} \Rightarrow P(A) = \frac{5}{26} \)
और \( P(B) = \frac{5}{13} \)
तथा \( P(A|B) = \frac{2}{5} \)
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र से:
\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( \frac{2}{5} = \frac{P(A \cap B)}{\frac{5}{13}} \)
\( P(A \cap B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{2}{13} \)
अब सम्मिलन के सूत्र से:
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{5}{13} - \frac{2}{13} \)
हर समान करने पर:
\( P(A \cup B) = \frac{5 + 10 - 4}{26} = \frac{11}{26} \)

मुख्य बिंदु:

• \( 2P(A) \) से \( P(A) \) का मान निकालते समय 2 को हर में गुणा किया जाता है।
• \( P(A \cap B) \) निकालने के लिए सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का पक्षांतर किया जाता है।
• भिन्नों को जोड़ने-घटाने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लिया जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( 2P(A) = \frac{5}{13} \) से \( P(A) = \frac{10}{13} \) लिख देना।
• LCM लेते समय गणना में गलती करना।
• सूत्र में गलत मान रखना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक मान को पहले अलग से लिखकर सत्यापित करें।
b) भिन्नों के हर समान करते समय सावधानी बरतें।
c) चरणों को क्रमबद्ध रूप से लिखें ताकि अंक न कटें।

Question 5: यदि \( P(A) = \frac{6}{11} \), \( P(B) = \frac{5}{11} \) और \( P(A \cup B) = \frac{7}{11} \), तो ज्ञात कीजिए:
(i) \( P(A \cap B) \)
(ii) \( P(A|B) \)
(iii) \( P(B|A) \)

Answer:

(i) प्रायिकता के योग नियम से:
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( \frac{7}{11} = \frac{6}{11} + \frac{5}{11} - P(A \cap B) \)
\( \frac{7}{11} = \frac{11}{11} - P(A \cap B) \)
\( P(A \cap B) = 1 - \frac{7}{11} = \frac{4}{11} \)
(ii) सप्रतिबंध प्रायिकता \( P(A|B) \):
\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{4}{11}}{\frac{5}{11}} = \frac{4}{5} \)
(iii) सप्रतिबंध प्रायिकता \( P(B|A) \):
\( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{4}{11}}{\frac{6}{11}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

मुख्य बिंदु:

• इस प्रश्न में पहले योग नियम से सर्वनिष्ठ निकाला जाता है।
• हर समान होने पर भिन्नों की गणना आसान हो जाती है।
• \( P(A|B) \) और \( P(B|A) \) में हर भिन्न होते हैं।

आम गलतियाँ:

• योग नियम में पक्षांतर करते समय चिन्ह की गलती करना।
• \( P(A|B) \) में हर में \( P(A) \) लिख देना।
• भिन्न को सरल न करना (जैसे \( \frac{4}{6} \) को \( \frac{2}{3} \) न लिखना)।

Exam Tips:

a) यदि हर समान हों, तो गणनाओं को मौखिक रूप से जाँच लें।
b) प्रत्येक उप-भाग को (i), (ii), (iii) डालकर स्पष्ट हल करें।
c) अंतिम भिन्न को हमेशा सरलतम रूप में ही लिखें।

Question 6: ज्ञात कीजिए यदि एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है:
(i) E: तीसरी उछाल पर चित, F: पहली दोनों उछालों पर चित
(ii) E: न्यूनतम दो चित, F: अधिकतम एक चित
(iii) E: अधिकतम दो पट, F: न्यूनतम दो पट

Answer:

एक सिक्के को तीन बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि:
\( S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\} \), कुल 8 परिणाम।
(i) \( E = \{HHT, THH, THT\} \) और \( F = \{HHH, HHT\} \)
यहाँ \( E \cap F = \{HHT\} \)
\( P(F) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \) और \( P(E \cap F) = \frac{1}{8} \)
\( P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
(ii) \( E = \{HHH, HHT, HTH, THH\} \) (न्यूनतम दो चित)
\( F = \{HTT, THT, TTH, TTT\} \) (अधिकतम एक चित)
यहाँ \( E \cap F = \phi \)
अतः \( P(E \cap F) = 0 \)
\( P(E|F) = \frac{0}{P(F)} = 0 \)
(iii) \( E = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH\} \) (अधिकतम दो पट)
\( F = \{HTT, THT, TTH, TTT\} \) (न्यूनतम दो पट)
यहाँ \( E \cap F = \{HTT, THT, TTH\} \)
\( P(F) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \) और \( P(E \cap F) = \frac{3}{8} \)
\( P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \)

मुख्य बिंदु:

• तीन सिक्कों के उछाल में प्रतिदर्श समष्टि में 8 अवयव होते हैं।
• 'न्यूनतम' का अर्थ है दी गई संख्या या उससे अधिक।
• 'अधिकतम' का अर्थ है दी गई संख्या या उससे कम।

आम गलतियाँ:

• न्यूनतम और अधिकतम शब्दों के अर्थ में भ्रमित होना।
• प्रतिदर्श समष्टि लिखते समय कोई परिणाम छूट जाना।
• सर्वनिष्ठ समुच्चय \( E \cap F \) को गलत बनाना।

Exam Tips:

a) प्रतिदर्श समष्टि S को सबसे पहले साफ-साफ लिखें।
b) घटनाओं E और F के अनुकूल परिणामों को ध्यान से छाँटें।
c) प्रायिकता निकालते समय कुल परिणामों की संख्या 8 का ध्यान रखें।

Question 7: ज्ञात कीजिए यदि दो सिक्कों को एक बार उछाला गया है:
(i) E: एक सिक्के पर पट प्रकट होता है, F: एक सिक्के पर चित प्रकट होता है
(ii) E: कोई पट प्रकट नहीं होता है, F: कोई चित प्रकट नहीं होता है

Answer:

दो सिक्कों को एक बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि:
\( S = \{HH, HT, TH, TT\} \)
(i) \( E = \{HT, TH\} \) (एक सिक्के पर पट)
\( F = \{HT, TH\} \) (एक सिक्के पर चित)
यहाँ \( E \cap F = \{HT, TH\} \)
\( P(F) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) और \( P(E \cap F) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1 \)
(ii) \( E = \{HH\} \) (कोई पट प्रकट नहीं)
\( F = \{TT\} \) (कोई चित प्रकट नहीं)
यहाँ \( E \cap F = \phi \)
अतः \( P(F) = \frac{1}{4} \) और \( P(E \cap F) = 0 \)
\( P(E|F) = \frac{0}{\frac{1}{4}} = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• दो सिक्कों के उछाल में प्रतिदर्श समष्टि में 4 परिणाम होते हैं।
• घटना E और F की परिभाषाओं को समुच्चय रूप में सावधानी से बदलें।
• परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए सर्वनिष्ठ रिक्त समुच्चय होता है।

आम गलतियाँ:

• HT और TH को एक ही परिणाम मान लेना।
• 'कोई पट नहीं' का अर्थ गलत समझ लेना।
• शून्य प्रायिकता वाले भाग में हर शून्य लिख देना।

Exam Tips:

a) सिक्कों के प्रयोग में क्रد (Order) का ध्यान रखें (जैसे HT और TH अलग हैं)।
b) सूत्र में मान रखते समय कटी हुई भिन्नों का प्रयोग करें।
c) उत्तर स्पष्ट रूप से परिभाषित करें।

Question 8: एक पासे को तीन बार उछाला गया है:
E: तीसरी उछाल पर संख्या 4 प्रकट होना, F: पहली दो उछालों पर क्रमशः 6 तथा 5 प्रकट होना

Answer:

एक पासे को तीन बार उछालने पर कुल परिणाम \( 6 \times 6 \times 6 = 216 \) होंगे।
घटना F (पहली दो उछालों पर क्रमशः 6 तथा 5):
\( F = \{(6, 5, 1), (6, 5, 2), (6, 5, 3), (6, 5, 4), (6, 5, 5), (6, 5, 6)\} \)
घटना E (तीसरी उछाल पर 4):
\( E = \{(a, b, 4) : a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\} \)
अतः \( E \cap F = \{(6, 5, 4)\} \)
यहाँ \( P(F) = \frac{6}{216} \) और \( P(E \cap F) = \frac{1}{216} \)
सप्रतिबंध प्रायिकता:
\( P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{\frac{1}{216}}{\frac{6}{216}} = \frac{1}{6} \)

मुख्य बिंदु:

• तीन पासों में कुल परिणामों की संख्या \( 6^3 = 216 \) होती है।
• घटना F में पहली दो संख्याएँ निश्चित (6, 5) हैं।
• सर्वनिष्ठ \( E \cap F \) में केवल वही त्रिक (triplet) आएँगे जो दोनों शर्तों को संतुष्ट करें।

आम गलतियाँ:

• कुल परिणामों की संख्या 18 या 36 लिख देना।
• F समुच्चय में सभी 36 परिणाम लिख देना।
• भिन्नों के हर 216 को न काटना।

Exam Tips:

a) बड़े प्रतिदर्श समष्टि वाले प्रश्नों में समुच्चय के अवयवों को संक्षिप्त रूप में समझें।
b) प्रायिकता निकालते समय कुल परिणाम 216 दोनों के अंश/हर में कट जाते हैं।
c) अंतिम उत्तर को भिन्न के रूप में दें।

Question 9: माता, पिता और पुत्र एक परिवार चित्र में यादृच्छया खड़े हैं:
E: पुत्र एक सिरे पर खड़ा है, F: पिता मध्य में खड़े हैं

Answer:

मान लीजिए माता (M), पिता (F) और पुत्र (S) हैं।
प्रतिदर्श समष्टि:
\( S = \{(MFS, MSF, FMS, FSM, SMF, SFM)\} \) (कुल 6 परिणाम)
\( E = \{(MFS, FMS, SMF, SFM)\} \) (पुत्र एक सिरे पर)
\( F = \{(MFS, SMF)\} \) (पिता मध्य में)
यहाँ \( E \cap F = \{(MFS, SMF)\} \)
अतः \( P(F) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
और \( P(E \cap F) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
सप्रतिबंध प्रायिकता:
\( P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}} = 1 \)

मुख्य बिंदु:

• तीन व्यक्तियों को पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके \( 3! = 6 \) होते हैं।
• घटना E में पुत्र या तो पहले स्थान पर है या तीसरे स्थान पर।
• घटना F में पिता हमेशा दूसरे (मध्य) स्थान पर हैं।

आम गलतियाँ:

• कुल परिणामों की संख्या 3 या 8 मान लेना।
• व्यवस्था बनाते समय क्रम भूल जाना।
• \( P(E|F) \) का मान शून्य या गलत निकालना।

Exam Tips:

a) क्रमचय (Permutation) के आधार पर कुल परिणामों की सूची बनाएँ।
b) प्रत्येक घटना के अनुकूल परिणामों को स्पष्ट रूप से अलग करें।
c) समान प्रायिकता होने पर अनुपात सीधा 1 आता है।

Question 10: एक काले और एक लाल पासे को उछाला गया है:
(a) पाсов पर प्राप्त संख्याओं का योग 9 होने की सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि काले पासे पर 5 प्रकट हुआ है।
(b) पाсов पर प्राप्त संख्याओं का योग 8 होने की सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि लाल पासे पर प्रकट संख्या 4 से कम है।

Answer:

कुल परिणाम \( = 6 \times 6 = 36 \)
(a) मान लीजिए घटना A: 'पासाें पर योग 9' \( = \{(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)\} \)
घटना B: 'काले पासे पर 5' \( = \{(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\} \)
\( A \cap B = \{(5,4)\} \)
\( P(B) = \frac{6}{36} \), \( P(A \cap B) = \frac{1}{36} \)
\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{36}}{\frac{6}{36}} = \frac{1}{6} \)
(b) मान लीजिए घटना E: 'पासाें पर योग 8' \( = \{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\} \)
घटना F: 'लाल पासे पर संख्या 4 से कम है' (यानी 1, 2, 3)
\( F = \{(x, y) : y < 4\} \) (कुल 18 परिणाम)
\( E \cap F = \{(2,6), (3,5), (4,4)\} \) (चूँकि इनमें लाल पासे का अंक 4 से कम है)
\( P(F) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} \), \( P(E \cap F) = \frac{3}{36} \)
\( P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{\frac{3}{36}}{\frac{18}{36}} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6} \)

मुख्य बिंदु:

• दो पासों के प्रयोग में कुल 36 परिणाम होते हैं।
• पासे के युग्م में पहला अंक काले पासे का और दूसरा अंक लाल पासे का माना जाता है।
• सप्रतिबंध प्रायिकता में दोनों घटनाओं का सर्वनिष्ठ सबसे महत्वपूर्ण होता है।

आम गलतियाँ:

• काले और लाल पासे के क्रम को आपस में मिला देना।
• योग 9 या 8 वाले सभी परिणामों को गलत लिखना।
• '4 से कम' का अर्थ 4 सहित ले लेना।

Exam Tips:

a) पासा के प्रश्नों में (काला, लाल) क्रम को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें।
b) सर्वनिष्ठ समुच्चय निकालते समय दोनों शर्तों की पुनः जाँच करें।
c) हर में 36 होने पर अंत में अंशों का अनुपात ही उत्तर होता है।

Question 11: एक न्याय्य पासे को उछाला गया है। घटनाएँ \( E = \{1, 3, 5\} \), \( F = \{2, 3\} \) और \( G = \{2, 3, 4, 5\} \) के लिए निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) \( P(E|F) \) और \( P(F|E) \)
(ii) \( P(E|G) \) और \( P(G|E) \)
(iii) \( P((E \cup F)|G) \) और \( P((E \cap F)|G) \)

Answer:

एक न्याय्य पासे के लिए प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), अतः कुल परिणाम = 6.
दी गई प्रायिकताएँ: \( P(E) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \), \( P(F) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \), \( P(G) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
(i) \( E \cap F = \{3\} \), अतः \( P(E \cap F) = \frac{1}{6} \)
\( P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \)
\( P(F|E) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \)
(ii) \( E \cap G = \{3, 5\} \), अतः \( P(E \cap G) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
\( P(E|G) = \frac{P(E \cap G)}{P(G)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} \)
\( P(G|E) = \frac{P(E \cap G)}{P(E)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \)
(iii) \( E \cup F = \{1, 2, 3, 5\} \)
\( (E \cup F) \cap G = \{1, 2, 3, 5\} \cap \{2, 3, 4, 5\} = \{2, 3, 5\} \), अतः प्रायिकता \( = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
\( P((E \cup F)|G) = \frac{P((E \cup F) \cap G)}{P(G)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{4} \)
तथा \( (E \cap F) \cap G = \{3\} \cap \{2, 3, 4, 5\} = \{3\} \), प्रायिकता \( = \frac{1}{6} \)
\( P((E \cap F)|G) = \frac{P((E \cap F) \cap G)}{P(G)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{4} \)

मुख्य बिंदु:

• समुच्चय के सर्वनिष्ठ और सम्मिलन के नियमों का यहाँ सीधा प्रयोग होता है।
• सप्रतिबंध प्रायिकता में हर हमेशा दी गई बाद वाली घटना की प्रायिकता होती है।
• एक पासे के लिए कुल परिणाम 6 होते हैं।

आम गलतियाँ:

• समुच्चय संक्रियाओं (Intersection/Union) में गलत अवयव ले लेना।
• भाग देते समय भिन्नों के व्युत्क्रम (Reciprocal) में गलती करना।
• प्रायिकता निकालते समय कुल परिणाम 6 से भाग देना भूल जाना।

Exam Tips:

a) उप-भाग (iii) के लिए पहले समुच्चय \( (E \cup F) \) और फिर उसका G के साथ सर्वनिष्ठ अलग से निकालें।
b) भिन्नों के विभाजन को सावधानी से हल करें।
c) प्रत्येक चरण को साफ-साफ लिखें।

Question 12: मान लें कि जन्म लेने वाले बच्चे का लड़का या लड़की होना समसंभावी है। यदि किसी परिवार में दो बच्चे हैं, तो दोनों के लड़की होने की सप्रतिबंध प्रायिकता क्या है, यदि यह दिया गया है कि (i) सबसे छोटा बच्चा लड़की है (ii) न्यूनतम एक बच्चा लड़की है।

Answer:

दो बच्चों वाले परिवार का प्रतिदर्श समष्टि:
\( S = \{(B, B), (B, G), (G, B), (G, G)\} \) (जहाँ B = लड़का, G = लड़की)
मान लीजिए घटना A: 'दोनों बच्चे लड़कियाँ हैं' \( = \{(G, G)\} \), अतः \( P(A) = \frac{1}{4} \)
(i) मान लीजिए घटना B: 'सबसे छोटा बच्चा लड़की है' \( = \{(B, G), (G, G)\} \)
यहाँ \( A \cap B = \{(G, G)\} \), अतः \( P(A \cap B) = \frac{1}{4} \)
\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{2}{4}} = \frac{1}{2} \)
(ii) मान लीजिए घटना C: 'न्यूनतम एक बच्चा लड़की है' \( = \{(B, G), (G, B), (G, G)\} \)
यहाँ \( A \cap C = \{(G, G)\} \), अतः \( P(A \cap C) = \frac{1}{4} \)
\( P(A|C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3} \)

मुख्य बिंदु:

• दो बच्चों के जन्म के कुल 4 संभावित परिणाम होते हैं।
• 'सबसे छोटा बच्चा' यानी युग्म का दूसरा घटक लड़की (G) होना चाहिए।
• 'न्यूनतम एक लड़की' का अर्थ कम से कम एक G होना है।

आम गलतियाँ:

• बच्चों के क्रम (Order) को नजरअंदाज करना (जैसे (B,G) और (G,B) को एक मानना)।
• न्यूनतम एक का अर्थ केवल दोनों लड़कियाँ समझ लेना।
• सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र गलत लगाना।

Exam Tips:

a) प्रतिदर्श समष्टि S को स्पष्ट रूप से लिखकर शुरू करें।
b) दी गई शर्तों के अनुसार समुच्चयों के अवयव ध्यान से छाँटें।
c) अंतिम भिन्न को सरल रूप में छोड़ें।

Question 13: एक प्रशिक्षक के पास 300 सत्य/असत्य प्रकार के आसान प्रश्न, 200 सत्य/असत्य प्रकार के कठिन प्रश्न, 500 बहु-विकल्पीय प्रकार के आसान प्रश्न और 400 बहु-विकल्पीय प्रकार के कठिन प्रश्न का संग्रह है। यदि प्रश्न के संग्रह से एक प्रश्न यादृच्छया चुना जाता है, तो एक आसान प्रश्न की बहु-विकल्पीय होने की प्रायिकता क्या होगी?

Answer:

प्रश्नों का वर्गीकरण सारणी के अनुसार:
• सत्य/असत्य आसान प्रश्न = 300
• सत्य/असत्य कठिन प्रश्न = 200
• बहु-विकल्पीय आसान प्रश्न = 500
• बहु-विकल्पीय कठिन प्रश्न = 400
कुल प्रश्न \( = 300 + 200 + 500 + 400 = 1400 \)
कुल बहु-विकल्पीय प्रश्न \( = 500 + 400 = 900 \)
मान लीजिए E: 'चुना गया प्रश्न आसान है' और M: 'चुना गया प्रश्न बहु-विकल्पीय है'।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता \( P(E|M) \) ज्ञात करनी है (यानी बहु-विकल्पीय होने पर उसके आसान होने की प्रायिकता):
आसान तथा बहु-विकल्पीय प्रश्न \( = 500 \)
\( P(E \cap M) = \frac{500}{1400} \)
\( P(M) = \frac{900}{1400} \)
सप्रतिबंध प्रायिकता:
\( P(E|M) = \frac{P(E \cap M)}{P(M)} = \frac{\frac{500}{1400}}{\frac{900}{1400}} = \frac{500}{900} = \frac{5}{9} \)

मुख्य बिंदु:

• कुल प्रश्नों की संख्या सभी श्रेणियों का योग होती है।
• सप्रतिबंध प्रायिकता में 'बहु-विकल्पीय होने पर' शर्त दी गई है, इसलिए M हर में आएगा।
• अंश में दोनों शर्तों (आसान और बहु-विकल्पीय) का प्रतिच्छेदन आएगा।

आम गलतियाँ:

• कुल प्रश्नों की संख्या गलत जोड़ना।
• अंश और हर के मानों को विपरीत रख देना।
• शून्य से काटते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) ऐसे भाषा आधारित प्रश्नों में पहले सभी आँकड़ों को स्पष्ट रूप से लिख लें।
b) कुल योग की दोबारा जाँच कर लें।
c) हर का 1400 दोनों तरफ से कट जाता है, अतः सीधा \( \frac{500}{900} \) भी लिख सकते हैं।

Question 14: यह दिया गया है कि दो पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याएँ भिन्न-भिन्न हैं। दोनों संख्याओं का योग 4 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Answer:

दो पासों को फेंकने पर कुल परिणाम \( = 6 \times 6 = 36 \)
मान लीजिए घटना A: 'दोनों संख्याओं का योग 4 है'
\( A = \{(1, 3), (2, 2), (3, 1)\} \)
मान लीजिए घटना B: 'दोनों पासों पर प्राप्त संख्याएँ भिन्न-भिन्न हैं'
अतः B में वे परिणाम नहीं होंगे जहाँ दोनों पासे समान हों (यानि (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) को छोड़कर सभी 30 परिणाम)।
\( P(B) = \frac{30}{36} = \frac{5}{6} \)
अब सर्वनिष्ठ \( A \cap B \) (योग 4 हो और संख्याएँ भिन्न हों):
\( A \cap B = \{(1, 3), (3, 1)\} \) (चूँकि (2,2) में संख्याएँ समान हैं, अतः उसे हटा दिया गया है)
\( P(A \cap B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \)
सप्रतिबंध प्रायिकता:
\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{2}{36}}{\frac{30}{36}} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \)

मुख्य बिंदु:

• 'भिन्न-भिन्न संख्याएँ' का अर्थ है कि दोनों पासों के अंक समान नहीं होने चाहिए।
• योग 4 वाले समुच्चय में (2,2) समान अंकों वाला है, इसलिए वह \( A \cap B \) में नहीं आएगा।
• सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र यहाँ भी सीधे लागू होता है।

आम गलतियाँ:

• \( A \cap B \) में (2,2) को शामिल कर लेना।
• घटना B के परिणामों की संख्या गलत गिनना।
• भिन्न को सरल न करना।

Exam Tips:

a) शब्दों जैसे 'भिन्न-भिन्न' का विशेष अर्थ समझें।
b) सर्वनिष्ठ निकालते समय मुख्य शर्त के साथ-साथ उप-शर्त की भी जाँच करें।
c) अंत में भिन्न को न्यूनतम रूप में बदलें।

Question 15: एक पासे के फेंकने के परीक्षण पर विचार कीजिए। यदि पासे पर प्रकट संख्या 3 का गुणज है तो पासे को पुनः फेंकें और यदि कोई अन्य संख्या प्रकट हो तो एक सिक्के को उछालें। घटना 'न्यूनतम एक पासे पर संख्या 3 प्रकट होना' दिया गया है तो घटना 'सिक्के पर पट प्रकट होने' की सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Answer:

परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि S:
• यदि पासे पर 3 का गुणज (यानी 3 या 6) आता है, तो पासा पुनः फेंका जाता है, जिससे परिणाम बनते हैं:
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) तथा (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) [कुल 12 परिणाम]
• यदि पासे पर अन्य संख्या (यानी 1, 2, 4, 5) आती है, तो सिक्का उछाला जाता है, जिससे परिणाम बनते हैं:
(1, H), (1, T), (2, H), (2, T), (4, H), (4, T), (5, H), (5, T) [कुल 8 परिणाम]
कुल प्रतिदर्श समष्टि में परिणामों की संख्या \( = 12 + 8 = 20 \). (नोट: पारंपरिक 36 परिणामों के संदर्भ में आंशिक भिन्न रूप में भी देखा जा सकता है)
मान लीजिए घटना A: 'सिक्के पर पट (Tail) प्रकट होता है'
मान लीजिए घटना B: 'न्यूनतम एक पासे पर संख्या 3 प्रकट होती है'
घटना B के अनुकूल परिणाम: पासे पर 3 आने वाले सभी युग्م \( = \{(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\} \) (चूँकि इनमें पासे पर 3 या 6 है, सिक्का नहीं है). साथ ही वे परिणाम जहाँ पासे पर अन्य संख्या के साथ सिक्का उछाला गया हो और उसमें 3 न हो, लेकिन यहाँ पासे पर पहले ही 3 नहीं है, अतः पासे पर 3 आने वाले केवल वे 12 परिणाम हैं।
तथा घटना A और B का सर्वनिष्ठ \( A \cap B = \phi \) (क्योंकि सिक्के पर पट आने की घटना केवल तभी होती है जब पासा 3 का गुणज न हो, अतः दोनों घटनाएँ एक साथ घटित नहीं हो सकतीं)।
अतः \( P(A \cap B) = 0 \)
सप्रतिबंध प्रायिकता:
\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0}{P(B)} = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• इस प्रश्न में मिश्रित प्रयोग (पासा और सिक्का) दिया गया है।
• घटना B में पासे पर 3 या 6 आने की स्थिति शामिल है।
• यदि पासे पर 3 का गुणज आता है तो सिक्का उछाला ही नहीं जाता, इसलिए सिक्के पर पट आने की प्रायिकता शून्य हो जाती है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिदर्श समष्टि को केवल 36 मानकर गलती करना।
• घटनाओं A और B को स्वतंत्र मान लेना।
• सर्वनिष्ठ को शून्य न समझना।

Exam Tips:

a) प्रयोग के प्रत्येक चरण (पासा फिर पासा या पासा फिर सिक्का) को ध्यान से समझें।
b) परस्पर अपवर्जी या असंभव संयोजन को पहचानें।
c) यदि सर्वनिष्ठ रिक्त है, तो सप्रतिबंध प्रायिकता सीधे 0 होगी।

Question 16: यदि \( P(A) = \frac{1}{2} \), \( P(B) = 0 \), तब \( P(A|B) \) है:
(A) 0
(B) \( \frac{1}{2} \)
(C) परिभाषित नहीं है
(D) 1

Answer:

सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र से:
\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
दिया गया है कि \( P(B) = 0 \)
अतः हर में शून्य आने के कारण व्यंजक \( \frac{P(A \cap B)}{0} \) अपरिभाषित हो जाता है।
अतः विकल्प (C) सही है।

मुख्य बिंदु:

• किसी भी सप्रतिबंध प्रायिकता \( P(A|B) \) में हर \( P(B) \neq 0 \) होना चाहिए।
• यदि \( P(B) = 0 \), तो वह घटना कभी घटित नहीं हो सकती, इसलिए सप्रतिबंध प्रायिकता परिभाषित नहीं होती।
• यह गणितीय रूप से अमान्य (Undefined) है।

आम गलतियाँ:

• उत्तर 0 या 1 लिख देना।
• हर में शून्य होने के नियम को भूल जाना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में सूत्रों की शर्तों को हमेशा पहले जाँचें।
b) किसी भी भिन्न का हर शून्य होने पर वह 'परिभाषित नहीं' होता है।
c) सही विकल्प (C) को चिह्नित करें।

Question 17: यदि A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि \( P(A|B) = P(B|A) \), तब
(A) \( A \subset B \) परन्तु \( A \neq B \)
(B) \( A = B \)
(C) \( A \cap B = \phi \)
(D) \( P(A) = P(B) \)

Answer:

दिया गया है: \( P(A|B) = P(B|A) \)
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का प्रयोग करने पर:
\( \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)
यदि \( P(A \cap B) \neq 0 \), तो दोनों पक्षों से \( P(A \cap B) \) को हटाने पर:
\( \frac{1}{P(B)} = \frac{1}{P(A)} \)
अतः \( P(A) = P(B) \)
अतः विकल्प (D) सही है।

मुख्य बिंदु:

• सप्रतिबंध प्रायिकता के दोनों सूत्रों को आमने-सामने रखा जाता है।
• अंश समान होने पर हर भी समान होने चाहिए।
• इससे निष्कर्ष निकलता है कि दोनों घटनाओं की प्रायिकताएँ बराबर हैं।

आम गलतियाँ:

• इसे \( A = B \) समझ लेना (प्रायिकताएँ बराबर होना और समुच्चय बराबर होना अलग बातें हैं)।
• सूत्र को गलत लिखना।

Exam Tips:

a) समीकरण को हल करके ही सही विकल्प चुनें।
b) ध्यान रखें कि \( P(A) = P(B) \) और \( A = B \) में अंतर होता है।
c) सही विकल्प (D) पर टिक करें।