Official NCERT Solutions for Class 12 Mathematics: Chapter 12 रैखिक प्रोग्रामन
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 12 रैखिक प्रोग्रामन
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Question 1: निम्न अवरोधों के अंतर्गत \( Z = 3x + 4y \) का अधिकमीकरण कीजिए: \( x + y \leq 4, x \geq 0, y \geq 0 \) ।
Answer:
आकृति में छायांकित क्षेत्र व्यवरोधों के निकाय \( x + y \leq 4, x \geq 0, y \geq 0 \) द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र है।
सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध है। इसलिए, \( Z \) का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए कोणीय बिंदु विधि का उपयोग करेंगे।
कोणीय बिंदु क्रमशः \( O(0, 0), A(4, 0) \) और \( B(0, 4) \) हैं।
कोणीय बिंदु \( (0, 0) \) पर \( Z = 3(0) + 4(0) = 0 \)
कोणीय बिंदु \( (4, 0) \) पर \( Z = 3(4) + 4(0) = 12 \)
कोणीय बिंदु \( (0, 4) \) पर \( Z = 3(0) + 4(4) = 16 \) (अधिकतम)
अतः, बिंदु \( (0, 4) \) पर \( Z \) का अधिकतम मान \( 16 \) है।
मुख्य बिंदु:
• सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध होने पर अधिकतम या न्यूनतम मान कोणीय बिंदुओं पर ही प्राप्त होता है।
• \( x \geq 0 \) और \( y \geq 0 \) प्रथम चतुर्थांश को दर्शाते हैं।
• उद्देश्य फलन \( Z = 3x + 4y \) में कोणीय बिंदुओं के निर्देशांक रखकर मान ज्ञात किए जाते हैं।
आम गलतियाँ:
• असमिकाओं के ग्राफ बनाते समय रेखाओं के सही बिंदुओं की पहचान न करना।
• सुसंगत क्षेत्र (Feasible Region) का गलत चयन करना।
• गणना में मान रखते समय \( x \) और \( y \) के निर्देशांकों को आपस में बदल देना।
Exam Tips:
a) ग्राफ हमेशा पेंसिल और स्केल की सहायता से स्पष्ट रूप से बनाएं।
b) कोणीय बिंदुओं की सारणी (Table) बनाकर स्पष्ट रूप से मान प्रदर्शित करें।
c) उत्तर लिखते समय अधिकतम या न्यूनतम मान के साथ संबंधित बिंदु को अवश्य दर्शाएं।
Question 2: निम्न अवरोधों के अंतर्गत \( Z = -3x + 4y \) का न्यूतमीकरण कीजिए: \( x + 2y \leq 8, 3x + 2y \leq 12, x \geq 0, y \geq 0 \)。
Answer:
आकृति में छायांकित क्षेत्र व्यवरोधों के निकाय \( x + 2y \leq 8, 3x + 2y \leq 12, x \geq 0, y \geq 0 \) द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र है।
सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध है। इसलिए, \( Z \) का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए कोणीय बिंदु विधि का उपयोग करेंगे।
कोणीय बिंदु क्रमशः \( O(0, 0), A(4, 0), B(2, 3) \) और \( C(0, 4) \) हैं।
कोणीय बिंदु \( (0, 0) \) पर \( Z = -3(0) + 4(0) = 0 \)
कोणीय बिंदु \( (4, 0) \) पर \( Z = -3(4) + 4(0) = -12 \) (न्यूनतम)
कोणीय बिंदु \( (2, 3) \) पर \( Z = -3(2) + 4(3) = 6 \)
कोणीय बिंदु \( (0, 4) \) पर \( Z = -3(0) + 4(4) = 16 \)
अतः, बिंदु \( (4, 0) \) पर \( Z \) का न्यूनतम मान \( -12 \) है।
मुख्य बिंदु:
• दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को हल करके सुसंगत क्षेत्र का आंतरिक कोणीय बिंदु ज्ञात किया जाता है।
• न्यूतमीकरण के प्रश्नों में सबसे छोटा मान उत्तर होता है।
• ऋणात्मक मान भी संख्यात्मक रूप से छोटा होने पर न्यूनतम हो सकता है।
आम गलतियाँ:
• प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने में समीकरणों को गलत हल करना।
• ऋणात्मक मानों की तुलना करते समय भ्रमित होना।
• प्रथम चतुर्थांश की सीमाओं की उपेक्षा करना।
Exam Tips:
a) दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को अलग से कार्य (Rough Work) में हल करके जांच लें।
b) सारणी बनाते समय प्रत्येक मान की गणना सावधानीपूर्वक करें।
c) अंतिम उत्तर को वाक्यों में स्पष्ट रूप से लिखें।
Question 3: निम्न अवरोधों के अंतर्गत \( Z = 5x + 3y \) का अधिकमीकरण कीजिए: \( 3x + 5y \leq 15, 5x + 2y \leq 10, x \geq 0, y \geq 0 \)。
Answer:
आकृति में छायांकित क्षेत्र व्यवरोधों के निकाय \( 3x + 5y \leq 15, 5x + 2y \leq 10, x \geq 0, y \geq 0 \) द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र है।
सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध है। इसलिए, \( Z \) का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए कोणीय बिंदु विधि का उपयोग करेंगे।
कोणीय बिंदु क्रमशः \( O(0, 0), A(2, 0), B(0, 3) \) और \( C\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right) \) हैं।
कोणीय बिंदु \( (0, 0) \) पर \( Z = 5(0) + 3(0) = 0 \)
कोणीय बिंदु \( (2, 0) \) पर \( Z = 5(2) + 3(0) = 10 \)
कोणीय बिंदु \( (0, 3) \) पर \( Z = 5(0) + 3(3) = 9 \)
कोणीय बिंदु \( \left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right) \) पर \( Z = 5\left(\frac{20}{19}\right) + 3\left(\frac{45}{19}\right) = \frac{100 + 135}{19} = \frac{235}{19} \) (अधिकतम)
अतः, बिंदु \( \left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right) \) पर \( Z \) का अधिकतम मान \( \frac{235}{19} \) है।
मुख्य बिंदु:
• भिन्नात्मक निर्देशांकों वाले प्रतिच्छेदन बिंदुओं को भी विधिपूर्वक हल करना आवश्यक है।
• सुसंगत क्षेत्र के सभी कोने स्पष्ट रूप से दिखने चाहिए।
• उद्देश्य फलन में भिन्न के मानों को सावधानी से जोड़ें।
आम गलतियाँ:
• भिन्नात्मक बिंदुओं को ग्राफ से अनुमानित लिखकर छोड़ देना, जबकि उन्हें समीकरण हल करके ही निकालना चाहिए।
• लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने में गलती करना।
• सही कोणीय बिंदुओं की सूची अधूरी छोड़ना।
Exam Tips:
a) भिन्नात्मक मान आने पर घबराएं नहीं, समीकरणों को रैखिक युग्म की तरह हल करें।
b) गणना के चरणों को उत्तर पुस्तिका में साफ-साफ दर्शाएं।
c) अधिकतम मान को भिन्न के रूप में ही उत्तर में लिखें।
Question 4: निम्न अवरोधों के अंतर्गत \( Z = 3x + 5y \) का न्यूतमीकरण कीजिए: \( x + 3y \geq 3, x + y \geq 2, x, y \geq 0 \)。
Answer:
आकृति में छायांकित क्षेत्र व्यवरोधों के निकाय \( x + 3y \geq 3, x + y \geq 2, x, y \geq 0 \) द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र है।
सुसंगत क्षेत्र अपरिवद्ध है। इसलिए, \( Z \) का न्यूनतम मान हो भी सकता है और नहीं भी। इस समस्या का निष्कर्ष ज्ञात करने के लिए असमीकरण \( 3x + 5y < 7 \) का आलेख खींचते हैं। यहाँ, \( 3x + 5y < 7 \) के आलेख द्वारा प्राप्त अर्धतल व सुसंगत क्षेत्र में कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। अत:, बिंदु \( \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) \) पर \( Z \) का न्यूनतम मान \( 7 \) है।
कोणीय बिंदु क्रमशः \( A(3, 0), \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) \) और \( C(0, 2) \) हैं।
कोणीय बिंदु \( (3, 0) \) पर \( Z = 3(3) + 5(0) = 9 \)
कोणीय बिंदु \( \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) \) पर \( Z = 3\left(\frac{3}{2}\right) + 5\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{9+5}{2} = 7 \) (न्यूनतम)
कोणीय बिंदु \( (0, 2) \) पर \( Z = 3(0) + 5(2) = 10 \)
अतः, बिंदु \( \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) \) पर न्यूनतम मान \( 7 \) है।
मुख्य बिंदु:
• अपरिवद्ध (Unbounded) सुसंगत क्षेत्र के मामले में परीक्षण असमिका (Test Inequality) का उपयोग किया जाता है।
• यदि \( Z < \text{न्यूनतम मान} \) का ग्राफ सुसंगत क्षेत्र से नहीं मिलता है, तो वह मान वास्तव में न्यूनतम होता है।
• कोणीय बिंदु विधि से प्राप्त मान को संशय की स्थिति में ग्राफ द्वारा सत्यापित किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• अपरिवद्ध क्षेत्र होने पर सीधे उत्तर लिखकर छोड़ देना और परीक्षण असमिका का प्रयोग न करना।
• परीक्षण असमिका का खुला अर्धतल गलत दिशा में खींचना।
• उभयनिष्ठ बिंदु की गलत पहचान करना।
Exam Tips:
a) अपरिवद्ध क्षेत्र वाले प्रश्नों में विशेष सावधानी बरतें और परीक्षण रेखा \( Z < \text{मान} \) की डॉटेड रेखा अवश्य बनाएं।
b) सभी कोणीय बिंदुओं पर मानों की तुलना करें।
c) निष्कर्ष को भाषा के रूप में स्पष्ट लिखें।
Question 5: निम्न अवरोधों के अंतर्गत \( Z = 3x + 2y \) का न्यूतमीकरण कीजिए: \( x + 2y \leq 10, 3x + y \leq 15, x \geq 0, y \geq 0 \)。
Answer:
आकृति में छायांकित क्षेत्र व्यवरोधों के निकाय \( x + 2y \leq 10, 3x + y \leq 15, x \geq 0, y \geq 0 \) द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र है।
सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध है। इसलिए, \( Z \) का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए कोणीय बिंदु विधि का उपयोग करेंगे। कोणीय बिंदु क्रमशः \( A(5, 0), B(4, 3) \) और \( C(0, 5) \) हैं।
कोणीय बिंदु \( (5, 0) \) पर \( Z = 3(5) + 2(0) = 15 \)
कोणीय बिंदु \( (4, 3) \) पर \( Z = 3(4) + 2(3) = 12, \text{ (अधिकतम गलत छपा है, प्रश्न न्यूतमीकरण है)} \)
कोणीय बिंदु \( (0, 5) \) पर \( Z = 3(0) + 2(5) = 10 \) (न्यूनतम)
अतः, बिंदु \( (0, 5) \) पर \( Z \) का न्यूनतम मान \( 10 \) है।
मुख्य बिंदु:
• परिबद्ध क्षेत्र में सभी कोणीय बिंदुओं पर मान निकालकर न्यूनतम मान की पहचान की जाती है।
• अक्षों पर काटने वाले बिंदुओं (Intercepts) को सही से अंकित करें।
• उद्देश्य फलन के गुणांकों का सही प्रतिस्थापन करें।
आम गलतियाँ:
• न्यूतमीकरण के प्रश्न में अधिकतम मान निकाल देना।
• रेखाओं के अंतःखंड (Intercepts) गलत ले लेना।
• सुसंगत क्षेत्र से बाहर के बिंदु को कोणीय बिंदु मान लेना।
Exam Tips:
a) प्रश्न में न्यूतमीकरण पूछा गया है या अधिकमीकरण, इसे ध्यान से पढ़ें।
b) सारणी में सभी बिंदुओं को क्रमवार लिखें।
c) ग्राफ पर पैमाना (Scale) स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
Question 6: निम्न अवरोधों के अंतर्गत \( Z = x + 2y \) का न्यूतमीकरण कीजिए: \( 2x + y \geq 3, x + 2y \geq 6, x, y \geq 0 \). दर्शाइए कि \( Z \) का न्यूनतम मान दो बिंदुओं से अधिक बिंदुओं पर परित होता है।
Answer:
आकृति में छायांकित क्षेत्र व्यवरोधों के निकाय \( 2x + y \geq 3, x + 2y \geq 6, x \geq 0 \) और \( y \geq 0 \) द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र है।
सुसंगत क्षेत्र अपरिवद्ध है। कोणीय बिंदु क्रमशः \( A(6, 0) \) और \( B(0, 3) \) हैं।
कोणीय बिंदु \( (6, 0) \) पर \( Z = 6 + 2(0) = 6 \)
कोणीय बिंदु \( (0, 3) \) पर \( Z = 0 + 2(3) = 6 \)
यहाँ, यह स्पष्ट है कि \( Z \) का मान बिंदु \( A \) और \( B \) पर समान है। यदि कोई भी बिंदु, जैसे \( (2, 2) \) रेखा \( x + 2y = 6 \) में रखने पर \( Z \) का मान \( 6 \) आता है। इसप्रकार, हम कह सकते हैं कि \( Z \) का न्यूनतम मान \( 2 \) से अधिक बिंदुओं पर है।
अतः, रेखा \( x + 2y = 6 \) के प्रत्येक बिंदु पर \( Z \) का मान न्यूनतम है।
मुख्य बिंदु:
• जब दो अलग-अलग कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन का मान समान और न्यूनतम/अधिकतम आ जाए, तो उन दोनों बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड के प्रत्येक बिंदु पर वही मान प्राप्त होता है।
• अपरिवद्ध क्षेत्र में भी फलन का इष्टतम मान (Optimal Value) मिल सकता है।
• रेखा पर स्थित किसी अन्य बिंदु से उत्तर की पुष्टि की जा सकती है।
आम गलतियाँ:
• केवल दो बिंदुओं को ही उत्तर मान लेना और यह न बताना कि उनके बीच की पूरी रेखा पर न्यूनतम मान है।
• परीक्षण असमिका का गलत उपयोग करना।
• रेखा की समीकरण को गलत पहचानना।
Exam Tips:
a) यदि दो कोणीय बिंदुओं पर समान इष्टतम मान मिले, तो विशेष रूप से लिखें कि उस रेखाखंड के सभी बिंदुओं पर मान समान होगा।
b) रेखा पर स्थित एक मध्यवर्ती बिंदु लेकर जांच अवश्य करें।
c) उत्तर को तार्किक रूप से पूर्ण लिखें।
Question 7: निम्न अवरोधों के अंतर्गत \( Z = 5x + 10y \) का न्यूतमीकरण तथा अधिकमीकरण कीजिए: \( x + 2y \leq 120, x + y \geq 60, x - 2y \geq 0, x, y \geq 0 \)。
Answer:
आकृति में छायांकित क्षेत्र व्यवरोधों के निकाय \( x + 2y \leq 120, x + y \geq 60, x - 2y \geq 0, x \geq 0 \) और \( y \geq 0 \) द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र है।
सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध है। इसलिए, \( Z \) का अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए कोणीय बिंदु विधि का उपयोग करेंगे। कोणीय बिंदु क्रमशः \( A(60, 0), B(120, 0), C(60, 30) \) और \( D(40, 20) \) हैं।
कोणीय बिंदु \( (60, 0) \) पर \( Z = 5(60) + 10(0) = 300 \) (न्यूनतम)
कोणीय बिंदु \( (120, 0) \) पर \( Z = 5(120) + 10(0) = 600 \) (अधिकतम)
कोणीय बिंदु \( (60, 30) \) पर \( Z = 5(60) + 10(30) = 300 + 300 = 600 \) (अधिकतम)
कोणीय बिंदु \( (40, 20) \) पर \( Z = 5(40) + 10(20) = 200 + 200 = 400 \)
अतः, बिंदु \( (60, 0) \) पर \( Z \) का न्यूनतम मान \( 300 \) है तथा बिंदुओं \( (120, 0) \) और \( (60, 30) \) को मिलाने वाली रेखा के सभी बिंदुओं पर \( Z \) का अधिकतम मान \( 600 \) है।
मुख्य बिंदु:
• एक ही प्रश्न में न्यूतमीकरण और अधिकमीकरण दोनों एक साथ पूछे जा सकते हैं।
• परिबद्ध क्षेत्र में सभी कोणीय बिंदुओं की गणना करना अनिवार्य है।
• दो बिंदुओं पर अधिकतम मान आने पर रेखाखंड के सभी बिंदुओं पर अधिकतम होने का नियम लागू होता है।
आम गलतियाँ:
• किसी एक कोणीय बिंदु को छोड़ देना जिससे सही अधिकतम/न्यूनतम मान छूट जाए।
• असमिका \( x - 2y \geq 0 \) का ग्राफ गलत दिशा में खींचना।
• गुणा करते समय संख्याओं की गणना में छोटी त्रुटि करना।
Exam Tips:
a) सभी कोणीय बिंदुओं के निर्देशांक ग्राफ से बिल्कुल सटीक पढ़ें।
b) सारणी में मान निकालते समय कार्य (Calculation) साफ दिखाएं।
c) न्यूनतम और अधिकतम दोनों उत्तरों को अलग-अलग स्पष्ट रूप से रेखांकित करें।
Question 8: निम्न अवरोधों के अंतर्गत \( Z = x + 2y \) का न्यूतमीकरण तथा अधिकमीकरण कीजिए: \( x + 2y \geq 100, 2x - y \leq 0, 2x + y \leq 200, x, y \geq 0 \)。
Answer:
आकृति में छायांकित क्षेत्र व्यवरोधों के निकाय \( x + 2y \geq 100, 2x - y \leq 0, 2x + y \leq 200, x \geq 0 \) और \( y \geq 0 \) द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र है।
सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध है। इसलिए, \( Z \) का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए कोणीय बिंदु विधि का उपयोग करेंगे। कोणीय बिंदु क्रमशः \( A(0, 50), B(20, 40), C(50, 100) \) और \( D(0, 200) \) हैं।
कोणीय बिंदु \( (0, 50) \) पर \( Z = 0 + 2(50) = 100 \) (न्यूनतम)
कोणीय बिंदु \( (20, 40) \) पर \( Z = 20 + 2(40) = 20 + 80 = 100 \) (न्यूनतम)
कोणीय बिंदु \( (50, 100) \) पर \( Z = 50 + 2(100) = 250 \)
कोणीय बिंदु \( (0, 200) \) पर \( Z = 0 + 2(200) = 400 \) (अधिकतम)
अतः, बिंदु \( (0, 200) \) पर \( Z \) का अधिकतम मान \( 400 \) है तथा बिंदुओं \( (0, 50) \) और \( (20, 40) \) को मिलाने वाली रेखाखंड के सभी बिंदुओं पर \( Z \) का न्यूनतम मान \( 100 \) है।
मुख्य बिंदु:
• बहु-बिंदु न्यूनतम (Multiple optimal points) मान की स्थिति को पहचानना महत्वपूर्ण है।
• रेखा \( x + 2y = 100 \) के दोनों अंतः बिंदुओं पर समान न्यूनतम मान प्राप्त होता है।
• ग्राफ पर सभी असमिकाओं के उभयनिष्ठ क्षेत्र को सही से छायांकित करना।
आम गलतियाँ:
• असमिका \( 2x - y \leq 0 \) का ग्राफ खींचने में रेखा के ढाल (Slope) की गलती करना।
• केवल एक बिंदु पर न्यूनतम मान मान लेना, जबकि दूसरे बिंदु पर भी वही मान होना।
• \( x \geq 0, y \geq 0 \) की शर्त को भूल जाना।
Exam Tips:
a) ग्राफ बनाते समय बड़े पैमानों (जैसे 20, 40, 50 के अंतर) का सही चयन करें।
b) प्रतिच्छेदन बिंदुओं को बीजगणितीय विधि से हल करके सत्यापित करें।
c) अंतिम उत्तर में अधिकतम और न्यूनतम दोनों मानों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
Question 9: निम्न अवरोधों के अंतर्गत \( Z = -x + 2y \) का अधिकमीकरण कीजिए: \( x \geq 3, x + y \geq 5, x + 2y \geq 6, y \geq 0 \)。
Answer:
आकृति में छायांकित क्षेत्र व्यवरोधों के निकाय \( x \geq 3, x + y \geq 5, x + 2y \geq 6, y \geq 0 \) द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र है।
सुसंगत क्षेत्र अपरिवद्ध है। कोणीय बिंदु क्रमशः \( A(6, 0), B(4, 1) \) और \( C(3, 2) \) हैं।
कोणीय बिंदु \( (6, 0) \) पर \( Z = -6 + 2(0) = -6 \)
कोणीय बिंदु \( (4, 1) \) पर \( Z = -4 + 2(1) = -2 \)
कोणीय बिंदु \( (3, 2) \) पर \( Z = -3 + 2(2) = 1 \)
सुसंगत क्षेत्र अपरिवद्ध है। इसलिए, \( Z \) का अधिकतम मान हो भी सकता है और नहीं भी। इस समस्या का निष्कर्ष ज्ञात करने के लिए असमीकरण \( -x + 2y > 1 \) का आलेख खींचते हैं। यहाँ, \( -x + 2y > 1 \) के आलेख द्वारा प्राप्त अर्धतल व सुसंगत क्षेत्र में कई उभयनिष्ठ बिंदु हैं। अतः, का कोई अधिकतम मान नहीं है।
मुख्य बिंदु:
• अपरिवद्ध क्षेत्र में फलन का अधिकतम मान सुनिश्चित करने के लिए परीक्षण असमिका का प्रयोग अनिवार्य है।
• यदि परीक्षण अर्धतल और सुसंगत क्षेत्र में उभयनिष्ठ बिंदु मौजूद हों, तो अधिकतम मान का अस्तित्व नहीं होता।
• कोणीय बिंदुओं के मान केवल प्रारंभिक मान देते हैं, अंतिम निष्कर्ष परीक्षण से आता है।
आम गलतियाँ:
• अपरिवद्ध क्षेत्र होने पर भी सबसे बड़े कोणीय बिंदु के मान को ही उत्तर मान लेना।
• परीक्षण असमिका का चिह्न गलत लगाना।
• ग्राफ में रेखाओं को गलत बिंदुओं से गुजारना।
Exam Tips:
a) अपरिवद्ध क्षेत्र के प्रश्नों में अंत में परीक्षण रेखा और अर्धतल की जाँच अवश्य करें।
b) यदि उभयनिष्ठ क्षेत्र मिले तो लिखें कि "अधिकमान का अस्तित्व नहीं है"।
c) चरणों को क्रमिक रूप से सुव्यवस्थित लिखें।
Question 10: निम्न अवरोधों के अंतर्गत \( Z = x + y \) का अधिकमीकरण कीजिए: \( x - y \leq -1, -x + y \leq 0, x, y \geq 0 \)。
Answer:
आकृति में छायांकित क्षेत्र व्यवरोधों के निकाय \( x - y \leq -1, -x + y \leq 0, x \geq 0 \) और \( y \geq 0 \) द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र है।
आकृति में ऐसा कोई बिंदु नहीं है जो सभी व्यवरोधों को एक साथ संतुष्ट कर सके। अतः, समस्या का हल नहीं है।
मुख्य बिंदु:
• यदि दी गई असमिकाओं के बीच कोई उभयनिष्ठ (Common) क्षेत्र न बने, तो सुसंगत क्षेत्र रिक्त (Empty) होता है।
• रिक्त सुसंगत क्षेत्र वाली रैखिक प्रोग्रामन समस्या का कोई हल संभव नहीं होता।
• सभी प्रतिबंधों का एक साथ संतुष्ट होना आवश्यक है।
आम गलतियाँ:
• असमिकाओं का ग्राफ बनाते समय गलत अर्धतल को छायांकित करना।
• बिना सुसंगत क्षेत्र की जाँच किए सीधे कोणीय बिंदु ढूंढने का प्रयास करना।
• प्रश्न को गलत समझकर हल निकालने की कोशिश करना।
Exam Tips:
a) ग्राफ बनाते ही सबसे पहले यह जांच लें कि क्या कोई उभयनिष्ठ सुसंगत क्षेत्र बन रहा है या नहीं।
b) यदि कोई उभयनिष्ठ क्षेत्र न हो, तो स्पष्ट रूप से लिखें कि "सुसंगत क्षेत्र रिक्त है, अतः समस्या का कोई हल नहीं है।"
c) अपना समय ऐसे प्रश्नों को हल करने में व्यर्थ न करें जहाँ क्षेत्र ही न बनता हो।
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