Step-by-Step Textbook Solutions for Class 12 Mathematics Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति
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Question 1: उन रेखाओं के मध्य कोण ज्ञात कीजिए, जिनके दिक्-अनुपात \( a, b, c \) और \( b - c, c - a, a - b \) हैं।
Answer:
माना कोण \( Q \) दी गई रेखाओं के बीच बना है जिसके दिक्-अनुपात \( a, b, c \) और \( b - c, c - a, a - b \) हैं। इसलिए,
\( \cos Q = \left| \frac{a(b - c) + b(c - a) + c(a - b)}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \sqrt{(b - c)^2 + (c - a)^2 + (a - b)^2}} \right| \)
\( \cos Q = \left| \frac{ab - ac + bc - ab + ac - bc}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \sqrt{(b - c)^2 + (c - a)^2 + (a - b)^2}} \right| \)
\( \cos Q = \left| \frac{0}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \sqrt{(b - c)^2 + (c - a)^2 + (a - b)^2}} \right| \)
\( \Rightarrow \cos Q = 0 \)
\( \Rightarrow Q = \cos^{-1}(0) \)
\( \Rightarrow Q = 90^\circ \)
अतः, दी गई रेखाओं के बीच का कोण \( 90^\circ \) है।
मुख्य बिंदु:
• दो रेखाओं के दिक्-अनुपातों के बीच का कोण सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
• अंश में पदों को गुणा करने पर सभी पद कट जाते हैं और मान शून्य हो जाता है।
• यदि \( \cos Q = 0 \) हो, तो रेखाएं परस्पर लंबवत होती हैं।
आम गलतियाँ:
• अंश का विस्तार करते समय चिह्न की गलती करना।
• हर के व्यंजक को हल करने में अनावश्यक समय नष्ट करना।
• कोण को डिग्री में न लिखकर केवल मान छोड़ देना।
Exam Tips:
a) सूत्र को स्पष्ट रूप से लिखें ताकि परीक्षक पर अच्छा प्रभाव पड़े।
b) गणना चरण दर चरण दिखाएं ताकि गलती की संभावना न रहे।
c) अंत में उत्तर की इकाई (डिग्री/रेडियन) अवश्य लिखें।
Question 2: \( x \)-अक्ष के समांतर तथा मूल-बिंदु से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना, \( A \) बिंदु \( x \)-अक्ष पर स्थित है इसलिए बिंदु \( A \) के निर्देशांक \( (a, 0, 0) \) हैं, जहाँ \( a \in \mathbb{R} \) है।
\( OA \) के दिक्-अनुपात \( (a - 0), 0, 0 \) अर्थात \( a, 0, 0 \) हैं।
इसलिए रेखा \( OA \) का समीकरण,
\( \frac{x - 0}{a} = \frac{y - 0}{0} = \frac{z - 0}{0} \)
\( \Rightarrow \frac{x}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z}{0} \)
अतः, \( x \)-अक्ष के समांतर तथा मूल-बिंदु से जाने वाली रेखा का समीकरण \( \frac{x}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z}{0} \) है।
मुख्य बिंदु:
• \( x \)-अक्ष की दिशा में दिक्-अनुपात \( 1, 0, 0 \) होते हैं।
• मूल-बिंदु के निर्देशांक \( (0, 0, 0) \) होते हैं।
• रेखा का मानक समीकरण \( \frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} \) प्रयोग किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• दिक्-अनुपातों के स्थान पर निर्देशांक लिख देना।
• हर में शून्य होने पर असमंजस में पड़ना, जबकि अक्षों के समांतर रेखाओं में हर शून्य हो सकता है।
• मूल-बिंदु के निर्देशांक गलत मानना।
Exam Tips:
a) याद रखें कि किसी भी अक्ष के समांतर रेखा के दिक्-अनुपात उसी अक्ष की दिशा cosines के समानुपाती होते हैं।
b) समीकरण लिखते समय हर के शून्य मान को सही रूप से दर्शाएं।
c) अंतिम समीकरण को बॉक्स में बंद करें।
Question 3: यदि रेखाएँ \( \frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 1}{2k} = \frac{z - 3}{2} \) और \( \frac{x - 1}{3k} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 6}{-5} \) परस्पर लंब हों तो \( k \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
रेखाओं \( \frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 1}{2k} = \frac{z - 3}{2} \) और \( \frac{x - 1}{3k} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 6}{-5} \) के दिक्-अनुपात क्रमशः \( -3, 2k, 2 \) और \( 3k, 1, -5 \) हैं।
हम जानते हैं कि \( a_1, b_1, c_1 \) और \( a_2, b_2, c_2 \) दिक्-अनुपात वाली रेखाएँ परस्पर लंब होंगी यदि \( a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0 \)
\( \Rightarrow -3(3k) + 2k(1) + 2(-5) = 0 \)
\( \Rightarrow -9k + 2k - 10 = 0 \)
\( \Rightarrow 7k = -10 \)
\( \Rightarrow k = -\frac{10}{7} \)
अतः, \( k = -\frac{10}{7} \) के लिए दोनों रेखाएँ परस्पर लंब होंगी।
मुख्य बिंदु:
• दो रेखाओं के लंबवत होने की शर्त \( a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0 \) होती है।
• दिए गए समीकरणों से सीधे दिक्-अनुपात निकाले जाते हैं।
• समीकरण को हल करके \( k \) का मान प्राप्त किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• गुणा करते समय चिह्न की गलती करना (जैसे \( -9k \) के स्थान पर \( 9k \) लिखना)।
• दिक्-अनुपात चुनते समय अचर पदों (जैसे \( 1, 3, 6 \)) को दिक्-अनुपात मान लेना।
• पक्षांतर करते समय चिन्ह न बदलना।
Exam Tips:
a) लंबवत होने की शर्त का सूत्र स्पष्ट रूप से लिखें।
b) बीजगणितीय गणना सावधानी से करें।
c) परिणामी \( k \) के मान को एक बार समीकरण में रखकर जाँच लें।
Question 4: रेखाओं \( \vec{r} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} + \lambda(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) \) और \( \vec{r} = -4\hat{i} + \mu(3\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}) \) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer:
दी गई रेखाओं के समीकरण:
\( \vec{r} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} + \lambda(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) \) ...(1)
\( \vec{r} = -4\hat{i} + \mu(3\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}) \) ...(2)
रेखाओं \( \vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b}_1 \) और \( \vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b}_2 \) के बीच की दूरी:
\( d = \left| \frac{(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right| \) ...(3)
\( \vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b}_1 \) और \( \vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b}_2 \) की तुलना समीकरण (1) और (2) से करने पर
\( \vec{a}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}, \quad \vec{b}_1 = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k} \)
\( \vec{a}_2 = -4\hat{i} - \hat{k}, \quad \vec{b}_2 = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k} \)
\( \Rightarrow \vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (-4\hat{i} - \hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = -5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k} \)
\( \Rightarrow \vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix} \)
\( = (4 + 4)\hat{i} - (-2 - 6)\hat{j} + (-2 + 6)\hat{k} = 8\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k} \)
\( \Rightarrow |\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{(8)^2 + (8)^2 + (4)^2} = 12 \)
\( (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) = (8\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (-5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) = -40 - 16 - 12 = -108 \)
समीकरण (3) में मान रखने पर, \( d = \left| \frac{-108}{12} \right| = 9 \)
अतः, दी गई रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी 9 इकाई है।
मुख्य बिंदु:
• दो skew lines के बीच न्यूनतम दूरी का सदिश सूत्र प्रयोग किया जाता है।
• क्रॉसवर्क (\( \vec{b}_1 \times \vec{b}_2 \)) और डॉट प्रोडक्ट (\( \cdot \)) की गणना सावधानी से करनी होती है।
• दूरी हमेशा धनात्मक होती है, इसलिए मापांक (| |) का प्रयोग किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• सदिशों \( \vec{a}_1 \) और \( \vec{a}_2 \) की पहचान में गलती करना।
• सारणिक (Determinant) निकालते समय चिह्न की गलती करना।
• अंत में मापांक लेना भूल जाना जिससे ऋणात्मक उत्तर आ सकता है।
Exam Tips:
a) सूत्र को सबसे पहले लिखें ताकि आधे अंक सुनिश्चित हो सकें।
b) क्रॉsproduct और dot product की गणना अलग से रफ़ कार्य में या स्पष्ट चरणों में करें।
c) उत्तर के साथ 'इकाई' (units) लिखना न भूलें।
Question 5: बिंदु \( (1, 2, -4) \) से जाने वाली और दोनों रेखाओं \( \frac{x - 8}{3} = \frac{y + 19}{-16} = \frac{z - 10}{7} \) और \( \frac{x - 15}{3} = \frac{y - 29}{8} = \frac{z - 5}{-5} \) पर लंब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना, अभीष्ट रेखा, सदिश \( \vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k} \) के समांतर है।
बिंदु \( (1, 2, -4) \) का स्थिति सदिश: \( \vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k} \)
बिंदु \( (1, 2, -4) \) से होकर जाने वाली तथा सदिश \( \vec{b} \) के समांतर रेखा का समीकरण: \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} \)
\( \Rightarrow \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) + \lambda(b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}) \) ...(1)
दी गई रेखाओं के समीकरण:
\( \frac{x - 8}{3} = \frac{y + 19}{-16} = \frac{z - 10}{7} \) ...(2) और \( \frac{x - 15}{3} = \frac{y - 29}{8} = \frac{z - 5}{-5} \) ...(3)
रेखाएँ (1) और (2) परस्पर लंब हैं, इसलिए \( 3b_1 - 16b_2 + 7b_3 = 0 \) ...(4)
और रेखाएँ (1) और (3) भी परस्पर लंब हैं, इसलिए \( 3b_1 + 8b_2 - 5b_3 = 0 \) ...(5)
समीकरण (4) और (5) से
\( \frac{b_1}{(-16)(-5) - 8 \times 7} = \frac{b_2}{7 \times 3 - 3(-5)} = \frac{b_3}{3 \times 8 - 3(-16)} \)
\( \Rightarrow \frac{b_1}{80 - 56} = \frac{b_2}{21 + 15} = \frac{b_3}{24 + 48} \)
\( \Rightarrow \frac{b_1}{24} = \frac{b_2}{36} = \frac{b_3}{72} \)
\( \Rightarrow \frac{b_1}{2} = \frac{b_2}{3} = \frac{b_3}{6} \)
\( \Rightarrow \) सदिश \( \vec{b} \) के दिक्-अनुपात \( 2, 3 \) और \( 6 \) हैं अर्थात \( \vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k} \)
\( \vec{b} \) का मान समीकरण (1) में रखने पर: \( \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}) \)
अतः, यह रेखा का अभीष्ट समीकरण है।
मुख्य बिंदु:
• लंबवत रेखाओं के लिए \( a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0 \) शर्त का प्रयोग किया जाता है।
• वज्र गुणन विधि (Cross multiplication method) का उपयोग करके दिक्-अनुपात \( b_1, b_2, b_3 \) निकाले जाते हैं।
• रेखा का सदिश समीकरण \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} \) के रूप में लिखा जाता है।
आम गलतियाँ:
• वज्र गुणन (Cross multiplication) करते समय चिन्हों की गलती करना।
• दिक्-अनुपातों को सरल (simplify) न करना।
• सदिश समीकरण के स्थान पर कार्तीय समीकरण लिख देना (जबकि प्रश्न में सदिश समीकरण पूछा गया है)।
Exam Tips:
a) वज्र गुणन विधि को सारणिक रूप से समझकर हल करें ताकि गलती न हो।
b) अनुपातों को सरलतम रूप में बदलना न भूलें।
c) प्रश्न में पूछे गए रूप (सदिश या कार्तीय) के अनुसार ही अंतिम उत्तर दें।
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NCERT Solutions for Class 12 Mathematics Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति
Textbook Solutions for Class 12 Mathematics Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति
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