NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 11 Three Dimensional Geometry (त्रि-विमीय ज्यामिति) Exercise 11.2 in Hindi

Question 1: दर्शाइए कि दिक्-कोसाइन \( \frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13} \); \( \frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13} \); \( \frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13} \) वाली तीन रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं।

Answer:

हम जानते हैं कि दो रेखाएँ जिनकी दिक्-कोसाइन क्रमशः \( (l_1, m_1, n_1) \) और \( (l_2, m_2, n_2) \) हैं, परस्पर लंब होंगी यदि:
\( l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0 \)
(i) पहली दो रेखाओं के लिए, जिनकी दिक्-कोसाइन \( \frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13} \) और \( \frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13} \) हैं:
\( l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = \left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{4}{13}\right) + \left(\frac{-3}{13}\right)\left(\frac{12}{13}\right) + \left(\frac{-4}{13}\right)\left(\frac{3}{13}\right) \)
\( = \frac{48}{169} - \frac{36}{169} - \frac{12}{169} = 0 \)
अतः, रेखाएँ परस्पर लंब हैं।
(ii) दूसरी और तीसरी रेखाओं के लिए, जिनकी दिक्-कोसाइन \( \frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13} \) और \( \frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13} \) हैं:
\( l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = \left(\frac{4}{13}\right)\left(\frac{3}{13}\right) + \left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{-4}{13}\right) + \left(\frac{3}{13}\right)\left(\frac{12}{13}\right) \)
\( = \frac{12}{169} - \frac{48}{169} + \frac{36}{169} = 0 \)
अतः, रेखाएँ परस्पर लंब हैं।
(iii) पहली और तीसरी रेखाओं के लिए, जिनकी दिक्-कोसाइन \( \frac{3}{12}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13} \) और \( \frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13} \) हैं:
\( l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = \left(\frac{3}{13}\right)\left(\frac{12}{13}\right) + \left(\frac{-4}{13}\right)\left(\frac{-3}{13}\right) + \left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{-4}{13}\right) \)
\( = \frac{36}{169} + \frac{12}{169} - \frac{48}{169} = 0 \)
अतः, रेखाएँ परस्पर लंब हैं। इसप्रकार, सभी रेखाएँ परस्पर लंब हैं।

मुख्य बिंदु:

• दो रेखाओं के लंबवत होने की शर्त \( l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = 0 \) होती है।
• दिक्-कोसाइन (Direction Cosines) का गुणनफल निकालकर योग शून्य सिद्ध करना होता है।
• तीनों युग्मों की जाँच अलग-अलग करनी आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• ऋनात्मक चिह्नों (Minus signs) को गुणा करते समय गलती करना।
• हर (Denominator) के गुणनफल में त्रुटि करना।
• तीनों युग्मों की बजाय केवल एक की जाँच करके छोड़ देना।

Exam Tips:

a) गणना को स्पष्ट रूप से चरणों में दिखाएँ ताकि परीक्षा में अंक न कटें।
b) चिह्नों की सावधानीपूर्वक जाँच करें।
c) अंत में निष्कर्ष अवश्य लिखें कि रेखाएँ परस्पर लंब हैं।

Question 2: दर्शाइए कि बिंदुओं \( (1, -1, 2), (3, 4, -2) \) से होकर जाने वाली रेखा बिंदुओं \( (0, 3, 2) \) और \( (3, 5, 6) \) से जाने वाली रेखा पर लंब है।

Answer:

माना AB बिंदुओं \( (1, -1, 2) \) और \( (3, 4, -2) \) को मिलाने वाली रेखा है तथा CD बिंदुओं \( (0, 3, 2) \) और \( (3, 5, 6) \) को मिलाने वाली रेखा है।
रेखा AB के दिक्-अनुपात \( a_1, b_1, c_1 \) क्रमशः \( (3 - 1), (4 - (-1)), \) और \( (-2 - 2) \) अर्थात् \( 2, 5, \) और \( -4 \) हैं।
रेखा CD के दिक्-अनुपात \( a_2, b_2, c_2 \) क्रमशः \( (3 - 0), (5 - 3), \) और \( (6 - 2) \) अर्थात् \( 3, 2, \) और \( 4 \) हैं।
AB और CD परस्पर लंब होंगे यदि \( a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0 \), इसलिए:
\( a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 2 \times 3 + 5 \times 2 + (-4) \times 4 = 6 + 10 - 16 = 0 \)
अतः, AB और CD परस्पर लंब हैं।

मुख्य बिंदु:

• दो बिंदुओं से जाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात \( x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1 \) होते हैं।
• रेखाओं के लंबवत होने के लिए \( a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0 \) होना चाहिए।
• दिक्-अनुपातों की सही पहचान करना महत्वपूर्ण है।

आम गलतियाँ:

• घटाते समय निर्देशांकों के चिह्नों की गलती करना।
• दिक्-अनुपातों के स्थान पर दिक्-कोसाइन का गलत प्रयोग करना।
• अंतिम योग शून्य न आने पर भी लंब लिख देना।

Exam Tips:

a) दिक्-अनुपात निकालते समय अंतिम बिंदु में से प्रारंभिक बिंदु को घटाने का नियम याद रखें।
b) गुणनफल और योग की गणना को स्टेप-बाय-स्टेप लिखें।
c) प्रश्न के अंत में निष्कर्ष स्पष्ट रूप से दें।

Question 3: दर्शाइए कि बिंदुओं \( (4, 7, 8), (2, 3, 4) \) से होकर जाने वाली रेखा, बिंदुओं \( (-1, -2, 1), (1, 2, 5) \) से जाने वाली रेखा के समांतर है।

Answer:

माना AB बिंदुओं \( (4, 7, 8) \) और \( (2, 3, 4) \) को मिलाने वाली रेखा है तथा CD बिंदुओं \( (-1, -2, 1) \) और \( (1, 2, 5) \) को मिलाने वाली रेखा है।
रेखा AB के दिक्-अनुपात \( a_1, b_1, c_1 \) क्रमशः \( (2 - 4), (3 - 7), \) और \( (4 - 8) \) अर्थात् \( -2, -4, \) और \( -4 \) हैं।
रेखा CD के दिक्-अनुपात \( a_2, b_2, c_2 \) क्रमशः \( (1 - (-1)), (2 - (-2)), \) और \( (5 - 1) \) अर्थात् \( 2, 4, \) और \( 4 \) हैं।
AB और CD परस्पर समांतर होंगी यदि:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)
यहाँ, \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{-2}{2} = -1 \), \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{4} = -1 \) और \( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-4}{4} = -1 \)
चूँकि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \), अतः रेखा AB, रेखा CD के समांतर है।

मुख्य बिंदु:

• दो रेखाओं के समांतर होने की शर्त \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \) होती है।
• दिक्-अनुपातों के अनुपात बराबर आने चाहिए।
• बिंदुओं से दिक्-अनुपात ज्ञात करने का सूत्र प्रयोग होता है।

आम गलतियाँ:

• अनुपातों की तुलना करते समय चिह्न की गलती करना।
• समांतर और लंबवत की शर्तों को आपस में मिला देना।
• घटाव में छोटी संख्या में से बड़ी संख्या घटाने की भूल करना।

Exam Tips:

a) समांतर रेखाओं के लिए अनुपात समान होते हैं, यह नियम ध्यान रखें।
b) तीनों अनुपातों का मान लिखकर दिखाएँ कि वे आपस में बराबर हैं।
c) सरलतम रूप में अनुपात निकालें।

Question 4: बिंदु \( (1, 2, 3) \) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सदिश \( 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k} \) के समांतर है।

Answer:

दिया है कि रेखा, बिंदु A \( (1, 2, 3) \) से होकर गुजरती है, इसलिए बिंदु A का स्थिति सदिश \( \vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \) है।
दिया गया सदिश: \( \vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k} \)
हम जानते हैं कि सदिश \( \vec{a} \) से होकर गुजरने वाली रेखा, जो सदिश \( \vec{b} \) के समांतर है, का समीकरण निम्नलिखित प्रकार से होगा:
\( \vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} \), जहाँ \( \lambda \) एक अचर है।
इसलिए, \( \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) \)
अतः, यह दी गई रेखा का सदिश समीकरण है।

मुख्य बिंदु:

• बिंदु से स्थिति सदिश \( \vec{a} \) बनता है।
• समांतर सदिश \( \vec{b} \) रेखा की दिशा को निर्धारित करता है।
• रेखा का सदिश समीकरण \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} \) होता है।

आम गलतियाँ:

• स्थिति सदिश और समांतर सदिश को आपस में बदल देना।
• अचर \( \lambda \) लिखना भूल जाना।
• सदिश रूप के स्थान पर सीधे कार्तीय रूप लिख देना जबकि प्रश्न में स्पष्ट नहीं है।

Exam Tips:

a) सदिश समीकरण का मानक सूत्र हमेशा लिखें।
b) मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते समय कोष्ठकों का ध्यान रखें।
c) अंतिम उत्तर को स्पष्ट रूप से बॉक्स में बंद करें।

Question 5: बिंदु जिसकी स्थिति सदिश \( 2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k} \) से गुजरने व सदिश \( \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} \) की दिशा में जाने वाली रेखा का सदिश और कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer:

रेखा जिस बिंदु से गुजरती है, उसका स्थिति सदिश \( \vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k} \) ...(1)
दिया गया सदिश: \( \vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} \) ...(2)
हम जानते हैं कि सदिश \( \vec{a} \) से होकर गुजरने वाली रेखा, जो सदिश \( \vec{b} \) के समांतर है, का सदिश समीकरण निम्नलिखित है:
\( \vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} \), जहाँ \( \lambda \) एक अचर है।
इसलिए, \( \vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \)
अब, माना \( \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \)
\( x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} = (2 + \lambda)\hat{i} + (-1 + 2\lambda)\hat{j} + (4 - \lambda)\hat{k} \)
दोनों पक्षों की तुलना करके तथा \( \lambda \) को विलोपित करने पर, कार्तीय समीकरण निम्नलिखित है:
\( \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{-1} \)

मुख्य बिंदु:

• सदिश रूप से कार्तीय रूप में बदलने के लिए \( \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \) रखा जाता है।
• \( \lambda \) का मान निकालकर कार्तीय समीकरण प्राप्त किया जाता है।
• बिंदु के निर्देशांक कार्तीय समीकरण के अंश में घटते हैं।

आम गलतियाँ:

• कार्तीय रूप में बिंदुओं के चिह्न उल्टे लिख देना।
• दिक्-अनुपातों को अंश में और बिंदुओं को हर में लिख देना।
• \( \lambda \) का विलोपन गलत करना।

Exam Tips:

a) दोनों रूपों (सदिश और कार्तीय) को स्पष्ट रूप से हल करें।
b) तुलना विधि का सही उपयोग करें।
c) कार्तीय रूप का मानक सूत्र याद रखें: \( \frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} \) ।

Question 6: उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु \( (-2, 4, -5) \) से जाती है और \( \frac{x + 3}{3} = \frac{y - 4}{5} = \frac{z + 8}{6} \) के समांतर है।

Answer:

दिया है कि रेखा, बिंदु \( (-2, 4, -5) \) से होकर जाती है तथा \( \frac{x + 3}{3} = \frac{y - 4}{5} = \frac{z + 8}{6} \) के समांतर है।
रेखा \( \frac{x + 3}{3} = \frac{y - 4}{5} = \frac{z + 8}{6} \) के दिक्-अनुपात \( 3, 5 \) और \( 6 \) हैं।
अतः, अभीष्ट रेखा, दी गई रेखा \( \frac{x + 3}{3} = \frac{y - 4}{5} = \frac{z + 8}{6} \) के समांतर है।
इसलिए, इसके दिक्-कोसाइन \( 3k, 5k, \) और \( 6k \) के रूप में होंगे, जहाँ \( k = 0 \) है।
हम जानते हैं कि बिंदु \( (x_1, y_1, z_1) \) से होकर जाने वाली रेखा, जिसका दिक्-अनुपात \( a, b, c \) हो, निम्नलिखित प्रकार से होती है:
\( \frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} \)
अतः, अभीष्ट रेखा का समीकरण: \( \frac{x + 2}{3} = \frac{y - 4}{5} = \frac{z + 5}{6} \)

मुख्य बिंदु:

• समांतर रेखाओं के दिक्-अनुपात समान या समानुपातिक होते हैं।
• दिए गए बिंदु \( (x_1, y_1, z_1) = (-2, 4, -5) \) हैं।
• हर में दी गई रेखा के दिक्-अनुपात ही प्रयोग होंगे।

आम गलतियाँ:

• बिंदु के निर्देशांकों के चिह्न बदलते समय गलती करना।
• समांतर रेखा के दिक्-अनुपात के स्थान पर बिंदु के निर्देशांक हर में लिख देना।
• समीकरण बनाते समय अंश और हर को आपस में बदलना।

Exam Tips:

a) पहचानें कि समांतर रेखा के दिक्-अनुपात समान रहते हैं।
b) सूत्र में मान सीधा प्रतिस्थापित करें।
c) अंतिम समीकरण की शुद्धता की जाँच अवश्य करें।

Question 7: एक रेखा का कार्तीय समीकरण \( \frac{x - 5}{3} = \frac{y + 4}{7} = \frac{z - 6}{2} \) है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer:

दी गई रेखा का कार्तीय समीकरण \( \frac{x - 5}{3} = \frac{y + 4}{7} = \frac{z - 6}{2} \) है।
दी गई रेखा बिंदु \( (5, -4, 6) \) से होकर जाती है। इस बिंदु का स्थिति सदिश \( \vec{a} = 5\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k} \) है।
दी गई रेखा की दिक्-अनुपात \( 3, 7, \) और \( 2 \) हैं। अर्थात् रेखा, सदिश \( \vec{b} = 3\hat{i} + 7\hat{j} + 2\hat{k} \) के समांतर है।
हम जानते हैं कि सदिश \( \vec{a} \) से होकर गुजरने वाली रेखा, जो सदिश \( \vec{b} \) के समांतर है, निम्नलिखित प्रकार से होगी:
\( \vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} \), जहाँ \( \lambda \) एक अचर है।
इसलिए, \( \vec{r} = (5\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 7\hat{j} + 2\hat{k}) \)
अतः, ये दी गई रेखा का सदिश समीकरण है।

मुख्य बिंदु:

• कार्तीय समीकरण से बिंदु के निर्देशांक निकालकर स्थिति सदिश \( \vec{a} \) बनाया जाता है।
• हर में दिए गए मान समांतर सदिश \( \vec{b} \) के घटक बनते हैं।
• सदिश समीकरण का मानक रूप \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} \) है।

आम गलतियाँ:

• कार्तीय समीकरण से बिंदु लेते समय चिह्न न बदलना (जैसे \( y + 4 \) से \( +4 \) ले लेना)।
• दिक्-अनुपातों को स्थिति सदिश में और बिंदुओं को समांतर सदिश में ले लेना।
• अचर \( \lambda \) को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) कार्तीय से सदिश रूप में बदलते समय चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।
b) हर वाले मानो को सदिश \( \vec{b} \) के साथ \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) लगाकर लिखें।
c) उत्तर को मानक रूप में प्रस्तुत करें।

Question 8: निम्नलिखित रेखा-युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
(i) \( \vec{r} = 2\hat{i} - 5\hat{j} + \hat{k} + \lambda(3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}) \) और \( \vec{r} = 7\hat{i} - 6\hat{k} + \mu(\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) \)
(ii) \( \vec{r} = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k} + \lambda(\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) \) और \( \vec{r} = 2\hat{i} - j - 56\hat{k} + \mu(3\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k}) \)

Answer:

(i) माना, रेखा-युग्म के बीच का कोण \( Q \) है।
हम जानते हैं कि दो रेखाओं के बीच के कोण के लिए: \( \cos Q = \left| \frac{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2}{|\vec{b}_1| |\vec{b}_2|} \right| \)
दी गई रेखाएँ क्रमशः सदिश \( \vec{b}_1 = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k} \) और \( \vec{b}_2 = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} \) के समांतर हैं।
अब, \( |\vec{b}_1| = \sqrt{(3)^2 + (2)^2 + (6)^2} = 7 \)
\( |\vec{b}_2| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (2)^2} = 3 \)
\( \vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2 = (3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 3 \times 1 + 2 \times 2 + 6 \times 2 = 3 + 4 + 12 = 19 \)
इसलिए, \( \cos Q = \frac{19}{7 \times 3} \Rightarrow Q = \cos^{-1}\left(\frac{19}{21}\right) \)
(ii) दी गई रेखाएँ क्रमशः सदिश \( \vec{b}_1 = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k} \) और \( \vec{b}_2 = 3\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k} \) के समांतर हैं।
\( |\vec{b}_1| = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{6} \)
\( |\vec{b}_2| = \sqrt{(3)^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)
\( \vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2 = (\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (3\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k}) = 1 \cdot 3 - 1(-5) - 2(-4) = 3 + 5 + 8 = 16 \)
इसलिए, \( \cos Q = \frac{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2}{|\vec{b}_1| |\vec{b}_2|} = \frac{16}{\sqrt{6} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{16}{10\sqrt{3}} = \frac{8}{5\sqrt{3}} \Rightarrow Q = \cos^{-1}\left(\frac{8}{5\sqrt{3}}\right) \)

मुख्य बिंदु:

• दो रेखाओं के बीच का कोण केवल उनके समांतर सदिशों \( \vec{b}_1 \) और \( \vec{b}_2 \) पर निर्भर करता है।
• सूत्र \( \cos Q = \left| \frac{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2}{|\vec{b}_1| |\vec{b}_2|} \right| \) का प्रयोग किया जाता है।
• परिमाण (Magnitude) निकालते समय वर्गमूल का सही हल होना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• बिंदु वाले सदिशों का उपयोग कोण निकालने में कर देना।
• अदिश गुणनफल (Dot product) में चिह्न की भूल करना।
• वर्गमूल निकालते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) कोण ज्ञात करने के लिए केवल \( \vec{b}_1 \) और \( \vec{b}_2 \) को पहचानें।
b) गणना के चरणों को साफ-सुथरा लिखें।
c) उत्तर को प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के रूप में दें।

Question 9: निम्नलिखित रेखा-युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
(i) \( \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z + 3}{-3} \) और \( \frac{x + 2}{-3} = \frac{y - 4}{8} = \frac{z - 5}{4} \)
(ii) \( \frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1} \) और \( \frac{x - 5}{4} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{8} \)

Answer:

(i) माना, सदिश \( \vec{b}_1 \) और \( \vec{b}_2 \) दी गई रेखाओं के समांतर सदिश हैं।
\( \vec{b}_1 = 2\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k} \) और \( \vec{b}_2 = -3\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k} \)
\( |\vec{b}_1| = \sqrt{(2)^2 + (5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{38} \)
\( |\vec{b}_2| = \sqrt{(-1)^2 + (8)^2 + (4)^2} = \sqrt{81} = 9 \)
\( \vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2 = (2\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (-i + 8\hat{j} + 4\hat{k}) = 2(-1) + 5 \times 8 + (-3)(4) = -2 + 40 - 12 = 26 \)
दोनों रेखाओं के बीच का कोण \( Q \) निम्नलिखित सूत्र से प्राप्त कर सकते हैं:
\( \cos Q = \left| \frac{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2}{|\vec{b}_1| |\vec{b}_2|} \right| \)
इसलिए, \( \cos Q = \frac{26}{9\sqrt{38}} \Rightarrow Q = \cos^{-1}\left(\frac{26}{9\sqrt{38}}\right) \)
(ii) माना, सदिश \( \vec{b}_1 \) और \( \vec{b}_2 \) दी गई रेखाओं के समांतर सदिश हैं।
\( \vec{b}_1 = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} \) और \( \vec{b}_2 = 4\hat{i} + \hat{j} + 8\hat{k} \)
यहाँ,
\( |\vec{b}_1| = \sqrt{(2)^2 + (2)^2 + (1)^2} = \sqrt{9} = 3 \)
\( |\vec{b}_2| = \sqrt{(4)^2 + (1)^2 + (8)^2} = \sqrt{81} = 9 \)
\( \vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2 = (2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot (4\hat{i} + \hat{j} + 8\hat{k}) = 2 \times 4 + 2 \times 1 + 1 \times 8 = 8 + 2 + 8 = 18 \)
माना, दोनों रेखाओं के बीच का कोण \( Q \) है, इसलिए:
\( \cos Q = \left| \frac{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2}{|\vec{b}_1| |\vec{b}_2|} \right| = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{2}{3} \Rightarrow Q = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) \)

मुख्य बिंदु:

• कार्तीय समीकरण के हर में दिए गए मान दिक्-अनुपात होते हैं, जिनसे \( \vec{b}_1 \) और \( \vec{b}_2 \) बनते हैं।
• कोण निकालने का सूत्र सदिश रूप जैसा ही होता है।
• गणना में वर्गमूल और अदिश गुणनफल का सही प्रयोग आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• कार्तीय समीकरण के अंश के मानों को दिक्-अनुपात समझ लेना।
• हर के मानों में से ऋनात्मक चिह्न छोड़ देना।
• अदिश गुणनफल की गणना में गलती करना।

Exam Tips:

a) कार्तीय समीकरण से सीधे \( \vec{b}_1 \) और \( \vec{b}_2 \) के घटक लिखना सीखें।
b) हर चरण को साफ-सुथरा हल करें।
c) अंतिम उत्तर को त्रिकोणमितीय प्रतिलोम रूप में दें।

Question 10: \( p \) का मान ज्ञात कीजिए ताकि रेखाएँ \( \frac{1 - x}{3} = \frac{7y - 14}{2p} = \frac{z - 3}{2} \) और \( \frac{7 - 7x}{3p} = \frac{y - 5}{1} = \frac{6 - z}{5} \) परस्पर लंब हों।

Answer:

समीकरणों को मानक रूप में लिखने पर:
\( \frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 2}{\frac{2p}{7}} = \frac{z - 3}{2} \) और \( \frac{x - 1}{\frac{-3p}{7}} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z - 6}{-5} \)
दो रेखाएँ, जिनके दिक्-अनुपात \( a_1, b_1, c_1 \) और \( a_2, b_2, c_2 \) हैं, लंब होंगी यदि:
\( a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0 \)
\( \Rightarrow (-3) \cdot \left(\frac{-3p}{7}\right) + \left(\frac{2p}{7}\right) \cdot (1) + (2) \cdot (-5) = 0 \)
\( \Rightarrow \frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} = 10 \)
\( \Rightarrow \frac{11p}{7} = 10 \)
\( \Rightarrow p = \frac{70}{11} \)
अतः, \( p \) का अभीष्ट मान \( \frac{70}{11} \) है।

मुख्य बिंदु:

• रेखा के समीकरण को मानक रूप (\( x \) का गुणांक धनात्मक \( +1 \)) में बदलना अनिवार्य है।
• लंबवत होने की शर्त \( a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0 \) का प्रयोग होता है।
• दिक्-अनुपातों की सही पहचान मानक रूप से ही होती है।

आम गलतियाँ:

• बिना मानक रूप में बदले सीधे दिक्-अनुपात ले लेना (जैसे \( 1 - x \) से \( 3 \) ले लेना)।
• \( x \) और \( z \) के गुणांकों को धनात्मक न बनाना।
• समीकरण हल करते समय पक्षांतर में गलती करना।

Exam Tips:

a) हमेशा सुनिश्चित करें कि \( x, y, z \) के गुणांक \( +1 \) हों।
b) यदि गुणांक ऋनात्मक या अन्य संख्या है, तो अंश और हर दोनों को उससे विभाजित करें।
c) बीजगणितीय गणना सावधानी से करें।

Question 11: दर्शाइए कि रेखाएँ \( \frac{x - 5}{3} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z}{2} \) और \( \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} \) परस्पर लंब हैं।

Answer:

दी गई रेखाओं के समीकरण \( \frac{x - 5}{-3} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z}{2} \) और \( \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} \) हैं।
रेखाओं के दिक्-अनुपात क्रमशः: \( -3, 5, 1 \) और \( 1, 2, 3 \) हैं।
दो रेखाएँ, जिनका दिक्-अनुपात क्रमशः \( a_1, b_1, c_1 \) और \( a_2, b_2, c_2 \) है, लंब होती हैं यदि \( a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0 \)
यहाँ, \( a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 7 \times 1 + (-5) \times 2 + 1 \times 3 = 7 - 10 + 3 = 0 \)
अतः, दी गई रेखाएँ परस्पर लंब हैं।

मुख्य बिंदु:

• रेखाओं के लंबवत होने की शर्त \( a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0 \) है।
• हर में दिए गए मान दिक्-अनुपात होते हैं।
• गुणनफल का योग शून्य सिद्ध करना होता है।

आम गलतियाँ:

• चिह्नों को ध्यान में न रखना।
• समांतर और लंबवत की शर्तों में भ्रमित होना।
• गणना में छोटी-मोटी जोड़-घटाव की गलती करना।

Exam Tips:

a) दिक्-अनुपातों को अलग से लिखकर दिखाएँ।
b) लंबवत की शर्त लिखकर मानों को प्रतिस्थापित करें।
c) अंत में स्पष्ट निष्कर्ष दें।

Question 12: रेखाओं \( \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \) और \( \vec{r} = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k} + \mu(2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) \) के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

Answer:

दी गई रेखाएँ: \( \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \) और \( \vec{r} = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k} + \mu(2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) \)
हम जानते हैं कि रेखाओं \( \vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b}_1 \) और \( \vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b}_2 \) के बीच न्यूनतम दूरी निम्नलिखित सूत्र से प्राप्त कर सकते हैं:
\( d = \left| \frac{(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right| \) ...(1)
यहाँ, \( \vec{a}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} \)
\( \vec{b}_1 = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \)
\( \vec{a}_2 = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k} \)
\( \vec{b}_2 = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k} \)
इसलिए, \( \vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k} \)
\( \vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (-2 - 1)\hat{i} - (2 - 2)\hat{j} + (1 - (-2))\hat{k} = -3\hat{i} + 3\hat{k} \)
\( \Rightarrow |\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{(-3)^2 + (3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
समीकरण (1) में सभी मानों को रखने पर:
\( d = \left| \frac{(-3\hat{i} + 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k})}{3\sqrt{2}} \right| = \left| \frac{-3(1) + 3(-2)}{3\sqrt{2}} \right| = \left| \frac{-3 - 6}{3\sqrt{2}} \right| = \left| \frac{-9}{3\sqrt{2}} \right| = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \)
अतः, दोनों रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \) इकाई है।

मुख्य बिंदु:

• दो skew रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी का सूत्र \( d = \left| \frac{(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right| \) होता है।
• सदिश गुणनफल (Cross product) सारणिक विधि से निकाला जाता है।
• अंत में मापांक (Modulus) लेने से दूरी हमेशा धनात्मक आती है।

आम गलतियाँ:

• क्रॉस प्रोडक्ट निकालते समय सारणिक के चिह्न (Signs) की गलती करना।
• \( \vec{a}_2 - \vec{a}_1 \) की जगह \( \vec{a}_1 - \vec{a}_2 \) लिखना (मापांक के कारण उत्तर पर प्रभाव नहीं पड़ता पर नियम अनुसार लिखना सही है)।
• वर्गमूल और परिमाण निकालने में भूल करना।

Exam Tips:

a) सूत्र को सबसे पहले लिखें ताकि स्टेप-वाइज मार्किंग मिल सके।
b) क्रॉस प्रोडक्ट और डॉट प्रोडक्ट की गणना सावधानी से करें।
c) परिणाम को हर का परिमेयकरण (Rationalisation) करके लिखें।

Question 13: रेखाओं \( \frac{x + 1}{7} = \frac{y + 1}{-6} = \frac{z + 1}{1} \) और \( \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 5}{-2} = \frac{z - 7}{1} \) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

Answer:

दी गई रेखाओं के समीकरण:
\( \frac{x + 1}{7} = \frac{y + 1}{-6} = \frac{z + 1}{1} \) और \( \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 5}{-2} = \frac{z - 7}{1} \)
हम जानते हैं कि रेखाओं \( \frac{x - x_1}{a_1} = \frac{y - y_1}{b_1} = \frac{z - z_1}{c_1} \) और \( \frac{x - x_2}{a_2} = \frac{y - y_2}{b_2} = \frac{z - z_2}{c_2} \) के बीच न्यूनतम दूरी:
\( d = \frac{\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\sqrt{(b_1 c_2 - b_2 c_1)^2 + (c_1 a_2 - c_2 a_1)^2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2}} \) ...(1)
यहाँ, \( x_1 = -1, y_1 = -1, z_1 = -1 \)
\( a_1 = 7, b_1 = -6, c_1 = 1 \)
\( x_2 = 3, y_2 = 5, z_2 = 7 \)
\( a_2 = 1, b_2 = -2, c_2 = 1 \)
इसलिए, \( x_2 - x_1 = 3 - (-1) = 4 \)
\( y_2 - y_1 = 5 - (-1) = 6 \)
\( z_2 - z_1 = 7 - (-1) = 8 \)
सारणिक का मान:
\( \begin{vmatrix} 4 & 6 & 8 \\ 7 & -6 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 4(-6 - (-2)) - 6(7 - 1) + 8(-14 - (-6)) \)
\( = 4(-4) - 6(6) + 8(-8) = -16 - 36 - 64 = -116 \)
हर का मान (Denominator):
\( \sqrt{(-6 \times 1 - (-2) \times 1)^2 + (1 \times 1 - 1 \times 7)^2 + (7 \times (-2) - 1 \times (-6))^2} \)
\( = \sqrt{(-6 + 2)^2 + (1 - 7)^2 + (-14 + 6)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 36 + 64} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29} \)
सूत्र (1) में सभी मानों को रखने पर:
\( d = \frac{-116}{2\sqrt{29}} = \frac{-58}{\sqrt{29}} = -2\sqrt{29} \)
हम जानते हैं कि दूरी ऋनात्मक नहीं होती है, इसलिए रेखाओं के बीच की दूरी \( 2\sqrt{29} \) इकाई है।

मुख्य बिंदु:

• कार्तीय रूप में न्यूनतम दूरी के लिए सारणिक वाले सूत्र का प्रयोग किया जाता है।
• \( x_1, y_1, z_1 \) और \( x_2, y_2, z_2 \) बिंदुओं के निर्देशांक हैं।
• दूरी हमेशा धनात्मक होती है, अतः अंतिम मान का परिमाण लिया जाता है।

आम गलतियाँ:

• बिंदुओं के निर्देशांक लेते समय चिह्नों की गलती करना।
• सारणिक का विस्तार (Expansion) करते समय ऋनात्मक चिह्न की भूल करना।
• हर की गणना में वर्गमूल के अंदर की संख्या जोड़ते समय त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) कार्तीय रूप का सूत्र परीक्षा में सही-सही लिखें।
b) सारणिक का मान निकालते समय प्रत्येक पद की गणना अलग से करें।
c) अंत में दर्शाएँ कि दूरी ऋनात्मक नहीं हो सकती।

Question 14: रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:
\( \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(t - 3\hat{j} + 2\hat{k}) \) और \( \vec{r} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k} + \mu(2\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) \)

Answer:

हम जानते हैं कि रेखाओं \( \vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b}_1 \) और \( \vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b}_2 \) के बीच न्यूनतम दूरी निम्नलिखित सूत्र से प्राप्त कर सकते हैं:
\( d = \left| \frac{(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right| \) ...(1)
दी गई रेखाओं की तुलना \( \vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b}_1 \) और \( \vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b}_2 \) से करने पर:
\( \vec{a}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \)
\( \vec{b}_1 = \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k} \)
\( \vec{a}_2 = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k} \)
\( \vec{b}_2 = 2\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k} \)
इसलिए, \( \vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k} \)
\( \vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \end{vmatrix} = (-3 - 8)\hat{i} - (1 - 4)\hat{j} + (4 - (-6))\hat{k} = -11\hat{i} + 3\hat{j} + 10\hat{k} \)
\( \Rightarrow |\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{(-11)^2 + (3)^2 + (10)^2} = \sqrt{121 + 9 + 100} = \sqrt{230} \)
अब, \( (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) = (-11\hat{i} + 3\hat{j} + 10\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = -33 + 9 + 30 = 6 \)
सूत्र (1) में सभी मानों को रखने पर:
\( d = \frac{6}{\sqrt{230}} \)
अतः, दी गई रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी \( \frac{6}{\sqrt{230}} \) इकाई है। (टिप्पणी: यदि प्रश्न में सदिश \( \vec{b}_1 = \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k} \) हो, तो हल तदनुसार \( \frac{3}{\sqrt{19}} \) भी आ सकता है।)

मुख्य बिंदु:

• सदिश रूप में न्यूनतम दूरी के लिए सूत्र \( d = \left| \frac{(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right| \) का प्रयोग होता है।
• \( \vec{a}_1, \vec{a}_2 \) स्थिति सदिश हैं तथा \( \vec{b}_1, \vec{b}_2 \) समांतर सदिश हैं।
• क्रॉस प्रोडक्ट और डॉट प्रोडक्ट की गणना अत्यंत सावधानी से करनी चाहिए।

आम गलतियाँ:

• सारणिक विस्तार में चिह्न की गलती करना।
• अदिश गुणनफल (Dot product) निकालते समय घटकों को गलत गुणा करना।
• मापांक भूल जाना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक मान को अलग से लिखकर समीकरण में रखें।
b) गणना के हर चरण को साफ-सुथरा दर्शाएँ।
c) अंतिम उत्तर में इकाई (Units) लिखना न भूलें।

Question 15: रेखाएँ, जिनकी सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:
\( \vec{r} = (1 - t)\hat{i} + (t - 2)\hat{j} + (3 - 2t)\hat{k} \) और \( \vec{r} = (s + 1)\hat{i} + (2s - 1)\hat{j} - (2s + 1)\hat{k} \)

Answer:

दी गई रेखाएँ:
\( \vec{r} = (1 - t)\hat{i} + (t - 2)\hat{j} + (3 - 2t)\hat{k} \)
\( \Rightarrow \vec{r} = (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + t(-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) \) ...(1)
और \( \vec{r} = (s + 1)\hat{i} + (2s - 1)\hat{j} - (2s + 1)\hat{k} \)
\( \Rightarrow \vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) + s(\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) \) ...(2)
हम जानते हैं कि रेखाओं \( \vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b}_1 \) और \( \vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b}_2 \) के बीच न्यूनतम दूरी निम्नलिखित सूत्र से प्राप्त कर सकते हैं:
\( d = \left| \frac{(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right| \) ...(3)
यहाँ, \( \vec{a}_1 = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} \), \( \vec{b}_1 = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k} \)
\( \vec{a}_2 = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k} \), \( \vec{b}_2 = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k} \)
इसलिए, \( \vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = \hat{j} - 4\hat{k} \)
\( \vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = (-2 - (-4))\hat{i} - (2 - (-2))\hat{j} + (-2 - 1)\hat{k} = 2\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k} \)
\( \Rightarrow |\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{(2)^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29} \)
अब, \( (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) = (2\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (0\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}) = 2(0) - 4(1) - 3(-4) = 0 - 4 + 12 = 8 \)
सूत्र (3) में सभी मानों को रखने पर:
\( d = \left| \frac{8}{\sqrt{29}} \right| = \frac{8}{\sqrt{29}} \)
अतः, दी गई रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी \( \frac{8}{\sqrt{29}} \) इकाई है।

मुख्य बिंदु:

• दिए गए समीकरणों को पहले \( \vec{r} = \vec{a} + t\vec{b} \) के मानक रूप में अलग करना होता है।
• \( \vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{b}_1, \vec{b}_2 \) की पहचान सावधानी से करें।
• न्यूनतम दूरी के सूत्र में मान रखकर हल करें।

आम गलतियाँ:

• समीकरण को मानक रूप में बदलते समय अचर और चर के गुणांकों को गलत अलग करना।
• सारणिक के विस्तार में चिह्न की त्रुटि करना।
• डॉट प्रोडक्ट निकालते समय शून्य गुणांक वाले पदों को छोड़ते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) समीकरणों को पहले स्पष्ट रूप से अलग-अलग लिखें।
b) क्रॉस और डॉट प्रोडक्ट के चरणों को साफ-सुथरा दिखाएँ।
c) अंत में मापांक के साथ मात्रक (इकाई) अवश्य लिखें।