Official NCERT Solutions for Class 12 Mathematics: Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति
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Question 1: यदि एक रेखा \( x \), \( y \) और \( z \)-अक्ष के साथ क्रमशः \( 90^\circ, 135^\circ, 45^\circ \) के कोण बनाती है तो इसकी दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना रेखा की दिक्-कोसाइन \( l, m, \) और \( n \) हैं।
यहाँ \( l = \cos 90^\circ = 0 \)
\( m = \cos 135^\circ = -\frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( n = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
अतः रेखा की दिक्-कोसाइन \( 0, -\frac{1}{\sqrt{2}} \) और \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) हैं।
मुख्य बिंदु:
• किसी रेखा के दिक्-कोसाइन उसकी अक्षों के साथ बनने वाले कोणों की कोज्या (cosine) होते हैं।
• \( l = \cos \alpha, m = \cos \beta, n = \cos \gamma \)
• \( \cos 135^\circ \) का मान ऋणात्मक होता है क्योंकि यह दूसरे चतुर्थांश में है।
आम गलतियाँ:
• \( \cos 135^\circ \) को धनात्मक लिख देना।
• दिक्-कोसाइन और दिक्-अनुपात में भ्रमित होना।
• त्रिकोणमितीय मानों को गलत याद रखना।
Exam Tips:
a) कोणों के साथ 'cos' लगाना न भूलें।
b) चतुर्थांश के नियमों का ध्यान रखें।
c) उत्तर को स्पष्ट रूप से अलग-अलग लिखें।
Question 2: एक रेखा की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए जो निर्देशांकों के साथ समान कोण बनाती है।
Answer:
माना, रेखा की दिक्-कोसाइन \( l, m, \) और \( n \) हैं, जो निर्देशांकों के साथ \( \alpha \) कोण बनाती है। इसलिए,
\( l = \cos \alpha, m = \cos \alpha \) और \( n = \cos \alpha \)
हम जानते हैं कि \( l^2 + m^2 + n^2 = 1 \)
\( \Rightarrow \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
\( \Rightarrow 3\cos^2 \alpha = 1 \)
\( \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{3} \)
\( \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \)
अतः अभीष्ट रेखा की दिक्-कोसाइन \( \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \) और \( \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \) हैं।
मुख्य बिंदु:
• समान कोण होने पर \( l = m = n \) होता है।
• सर्वसमिका \( l^2 + m^2 + n^2 = 1 \) का प्रयोग किया जाता है।
• दोनों चिन्ह (धनात्मक और ऋणात्मक) संभव हैं।
आम गलतियाँ:
• वर्गमूल लेते समय \( \pm \) चिन्ह न लगाना।
• \( 3\cos^2 \alpha \) को केवल \( \cos^2 \alpha \) लिख देना।
• समीकरण में मान गलत प्रतिस्थापित करना।
Exam Tips:
a) मौलिक सर्वसमिका \( l^2 + m^2 + n^2 = 1 \) का स्पष्ट उल्लेख करें।
b) अंतिम उत्तर में \( \pm \) चिन्ह का ध्यान रखें।
c) चरणों को क्रमबद्ध तरीके से हल करें।
Question 3: यदि रेखा की दिक्-अनुपात \(-18, 12, -4\) हैं तो इसकी दिक्-कोसाइन निम्नलिखित प्रकार से होगा:
Answer:
दिए गए दिक्-अनुपात \( a = -18, b = 12, c = -4 \) हैं।
दिक्-कोसाइन ज्ञात करने का सूत्र है:
\( l = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \)
हर का मान:
\( \sqrt{(-18)^2 + (12)^2 + (-4)^2} = \sqrt{324 + 144 + 16} \)
\( = \sqrt{484} = 22 \)
अतः दिक्-कोसाइन हैं:
\( l = \frac{-18}{22} = -\frac{9}{11} \)
\( m = \frac{12}{22} = \frac{6}{11} \)
\( n = \frac{-4}{22} = -\frac{2}{11} \)
अतः रेखा की दिक्-कोसाइन \( -\frac{9}{11}, \frac{6}{11}, -\frac{2}{11} \) हैं।
मुख्य बिंदु:
• दिक्-अनुपातों को उनके वर्गमूल के योग से विभाजित करके दिक्-कोसाइन प्राप्त किए जाते हैं।
• हर में \( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \) का मान निकाला जाता है।
• भिन्नों को सरलतम रूप में बदला जाता है।
आम गलतियाँ:
• ऋणात्मक संख्याओं का वर्ग करते समय चिन्ह की गलती करना।
• वर्गमूल निकालना भूल जाना।
• भिन्नों को सरल न करना।
Exam Tips:
a) सूत्र को स्पष्ट रूप से लिखें।
b) जोड़ और वर्ग की गणना सावधानी से करें।
c) अंत में भिन्नों को न्यूनतम रूप में बदलें।
Question 4: दर्शाइए कि बिंदु \((2, 3, 4), (-1, -2, 1), (5, 8, 7)\) संरेख हैं।
Answer:
दिए गए बिंदु \( A(2, 3, 4), B(-1, -2, 1) \) और \( C(5, 8, 7) \) हैं।
बिंदुओं \( (x_1, y_1, z_1) \) और \( (x_2, y_2, z_2) \) को मिलाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात \( x_2 - x_1, y_2 - y_1 \) और \( z_2 - z_1 \) होते हैं।
इसलिए, \( AB \) के दिक्-अनुपात: \( (-1 - 2), (-2 - 3), (1 - 4) \) अर्थात् \( -3, -5 \) और \( -3 \) हैं।
तथा \( BC \) के दिक्-अनुपात: \( (5 - (-1)), (8 - (-2)), (7 - 1) \) अर्थात् \( 6, 10 \) और \( 6 \) हैं।
यहाँ, \( BC \) के दिक्-अनुपात, \( AB \) के दिक्-अनुपात की \( -2 \) गुनी हैं अर्थात् वे समानुपाती हैं।
इसलिए, \( AB \) और \( BC \) समांतर रेखाएँ हैं, परंतु बिंदु \( B \) दोनों ही रेखाओं \( AB \) और \( BC \) में उभयनिष्ठ है।
अतः बिंदु \( A, B, \) और \( C \) संरेख हैं।
मुख्य बिंदु:
• संरेखता दिखाने के लिए रेखाओं के दिक्-अनुपात समानुपाती होने चाहिए।
• दोनों रेखाओं में एक बिंदु उभयनिष्ठ होना आवश्यक है।
• दिक्-अनुपातों का अनुपात स्थिर होता है।
आम गलतियाँ:
• केवल समांतर सिद्ध करके छोड़ देना, उभयनिष्ठ बिंदु का उल्लेख न करना।
• दिक्-अनुपात निकालते समय घटाने में गलती करना।
• समानुपात की शर्त को सही से न समझना।
Exam Tips:
a) दोनों रेखाखंडों के दिक्-अनुपात अलग-अलग निकालें।
b) समानुपात संबंध को स्पष्ट दिखाएं।
c) उभयनिष्ठ बिंदु का तर्क अवश्य लिखें।
Question 5: एक त्रिभुज की भुजाओं की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज के शीर्ष बिंदु \((3, 5, -4), (-1, 1, 2)\) और \((-5, -5, -2)\) हैं।
Answer:
दिए गए \( \Delta ABC \) के शीर्ष क्रमशः \( A(3, 5, -4), B(-1, 1, 2) \) और \( C(-5, -5, -2) \) हैं।
\( AB \) के दिक्-अनुपात: \( (-1 - 3), (1 - 5), (2 - (-4)) \) अर्थात् \( -4, -4 \) और \( 6 \) हैं।
\( AB \) की लंबाई: \( \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 16 + 36} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \)
अतः \( AB \) की दिक्-कोसाइन:
\( \frac{-4}{2\sqrt{17}}, \frac{-4}{2\sqrt{17}}, \frac{6}{2\sqrt{17}} \) अर्थात् \( \frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{3}{\sqrt{17}} \)
इसी प्रकार, \( BC \) के दिक्-अनुपात: \( (-5 - (-1)), (-5 - 1), (-2 - 2) \) अर्थात् \( -4, -6 \) और \( -4 \) हैं।
\( BC \) की लंबाई: \( \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 36 + 16} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \)
अतः \( BC \) की दिक्-कोसाइन:
\( \frac{-4}{2\sqrt{17}}, \frac{-6}{2\sqrt{17}}, \frac{-4}{2\sqrt{17}} \) अर्थात् \( \frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{-3}{\sqrt{17}}, \frac{-2}{\sqrt{17}} \)
तथा \( CA \) के दिक्-अनुपात: \( (3 - (-5)), (5 - (-5)), (-4 - (-2)) \) अर्थात् \( 8, 10 \) और \( -2 \) हैं।
\( CA \) की लंबाई: \( \sqrt{8^2 + 10^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 100 + 4} = \sqrt{168} = 2\sqrt{42} \)
अतः \( CA \) की दिक्-कोसाइन:
\( \frac{8}{2\sqrt{42}}, \frac{10}{2\sqrt{42}}, \frac{-2}{2\sqrt{42}} \) अर्थात् \( \frac{4}{\sqrt{42}}, \frac{5}{\sqrt{42}}, \frac{-1}{\sqrt{42}} \)
मुख्य बिंदु:
• त्रिभुज की प्रत्येक भुजा के दिक्-अनुपात पहले निकाले जाते हैं।
• प्रत्येक भुजा की लंबाई (परिमाण) से दिक्-अनुपातों को भाग देकर दिक्-कोसाइन प्राप्त किए जाते हैं।
• वर्गमूल को सरल करना आवश्यक है।
आम गलतियाँ:
• बिंदुओं के घटाव में चिन्ह की अशुद्धि करना।
• लंबाई निकालते समय वर्गों का योग गलत करना।
• अंतिम भिन्नों का सरलीकरण न करना।
Exam Tips:
a) तीनों भुजाओं \( AB, BC, CA \) के लिए अलग-अलग चरण लिखें।
b) गणनाओं को साफ-सुथरा रखें ताकि गलती न हो।
c) वर्गमूल बाहर निकालते समय गुणनखंड विधि का सही प्रयोग करें।
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Mathematics Class 12 Curriculum Solutions: Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति
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