NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 10 Vector Algebra (सदिश बीजगणित) Miscellaneous Exercise in Hindi

Question 1: XY-तल में, x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ वामावर्त दिशा में 30° का कोण बनाने वाला मात्रक सदिश लिखिए।

Answer:

मान लीजिए कि एक मात्रक सदिश \( \vec{r} \) है,
\( \vec{r} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j} \)
यहाँ, \( \theta \) मात्रक सदिश और x-अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच का कोण है। इसलिए, \( \theta = 30^\circ \) के लिए:
\( \vec{r} = \cos 30^\circ \hat{i} + \sin 30^\circ \hat{j} \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} \)
अतः, अभीष्ट मात्रक सदिश \( \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} \) है।

मुख्य बिंदु:

• किसी मात्रक सदिश का घटक रूप \( \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j} \) होता है।
• x-अक्ष के साथ कोण \( \theta \) लेने पर x-घटक \( \cos \theta \) और y-घटक \( \sin \theta \) होता है।
• मात्रक सदिश का परिमाण सदैव 1 होता है।

आम गलतियाँ:

• sin और cos के मानों को आपस में बदल देना।
• मात्रक सदिश में सदिश चिन्ह या केप लगाना भूल जाना।
• डिग्री के मान गलत रखना।

Exam Tips:

a) हमेशा मानक सूत्र से शुरुआत करें।
b) त्रिकोणमितीय मानों को सावधानीपूर्वक रखें।
c) अंतिम उत्तर में मात्रक सदिश का प्रारूप स्पष्ट लिखें।

Question 2: बिंदु P\( (x_1, y_1, z_1) \) और Q\( (x_2, y_2, z_2) \) को मिलाने वाले सदिश के अदिश घटक और परिमाण ज्ञात कीजिए।

Answer:

बिंदुओं P\( (x_1, y_1, z_1) \) तथा Q\( (x_2, y_2, z_2) \) को मिलाने वाला सदिश:
\( \vec{PQ} = \) Q का स्थिति सदिश - P का स्थिति सदिश
\( = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k} \)
\( \vec{PQ} का परिमाण = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \)
अतः, बिंदु P और Q को मिलाने वाले सदिश के अदिश घटक:
\( (x_2 - x_1), (y_2 - y_1), (z_2 - z_1) \) और परिमाण \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \) है।

मुख्य बिंदु:

• दो बिंदुओं के बीच का सदिश = (अंतिम बिंदु का स्थिति सदिश) - (प्रारंभिक बिंदु का स्थिति सदिश)।
• अदिश घटक सदिश के गुणांक होते हैं।
• परिमाण निकालने के लिए सभी घटकों के वर्गों के योग का वर्गमूल लेते हैं।

आम गलतियाँ:

• प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं के क्रम को उलटा लिख देना।
• वर्गमूल के अंदर ऋणात्मक चिन्ह का गलत वर्ग करना।
• अदिश घटकों के साथ \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) लिख देना।

Exam Tips:

a) स्थिति सदिशों के सूत्र को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
b) अदिश घटक लिखते समय यूनिट वेक्टर्स को शामिल न करें।
c) परिमाण का सूत्र सही लिखें।

Question 3: एक लड़की पश्चिम दिशा में 4 km चलती है। उसके पश्चात वह उत्तर से 30° पश्चिम की दिशा में 3 km चलती है और रुक जाती है। प्रस्थान के प्रारंभिक बिंदु से लड़की का विस्थापन ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना बिंदु O लड़की के प्रस्थान के प्रारम्भिक बिन्दु है और B वह बिन्दु है जहाँ लड़की रुक जाती है।
लड़की की स्थिति निम्न प्रकार से है:
यहाँ, \( \vec{OA} = -4\hat{i} \)
\( \vec{AB} = |\vec{AB}| \cos 60^\circ \hat{i} + |\vec{AB}| \sin 60^\circ \hat{j} \)
\( = 3 \times \frac{1}{2}\hat{i} + 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{j} \)
\( = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{3\sqrt{3}}{2}\hat{j} \)
सदिश योग के त्रिभुज नियम से,
\( \vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB} \Rightarrow (-4\hat{i}) + (\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{3\sqrt{3}}{2}\hat{j}) \)
\( = (-4 + \frac{3}{2})\hat{i} + (\frac{3\sqrt{3}}{2})\hat{j} \)
\( = (\frac{-8+3}{2})\hat{i} + (\frac{3\sqrt{3}}{2})\hat{j} \)
\( = \frac{-5}{2}\hat{i} + \frac{3\sqrt{3}}{2}\hat{j} \)
अतः, प्रस्थान के प्रारंभिक बिंदु से लड़की का विस्थापन \( \frac{-5}{2}\hat{i} + \frac{3\sqrt{3}}{2}\hat{j} \) है।

मुख्य बिंदु:

• दिशाओं (पूर्व, पश्चिम, उत्तर, दक्षिण) को \( \hat{i} \) और \( \hat{j} \) के रूप में व्यक्त करना।
• त्रिभुज नियम का उपयोग करके विस्थापन ज्ञात करना।
• कोण का सही विश्लेषण करना।

आम गलतियाँ:

• कोण \( 30^\circ \) को सीधे x-अक्ष से मान लेना जबकि वह उत्तर से है।
• सदिश योग में घटकों को गलत जोड़ना।
• दिशा के चिन्ह (धनात्मक/ऋणात्मक) की भूल करना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के प्रश्नों में कच्चा चित्र (rough diagram) अवश्य बनाएं।
b) कोणों को координат अक्षों के सापेक्ष ध्यान से समझें।
c) जोड़-घटाव की गणना अंत में जांच लें।

Question 4: यदि \( \vec{a} = \vec{b} + \vec{c} \) तब क्या यह सत्य है कि \( |\vec{a}| = |\vec{b}| + |\vec{c}| \) ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

Answer:

\( \Delta ABC \) में, माना \( \vec{CB} = \vec{a}, \vec{CA} = \vec{b} \), और \( \vec{AB} = \vec{c} \)
सदिश योग के त्रिभुज नियम से, \( \vec{a} = \vec{b} + \vec{c} \)
दिया है कि सदिश \( |\vec{a}|, |\vec{b}| \) और \( |\vec{c}| \) त्रिभुज ABC की तीनों को दर्शाते हैं।
हम जानते हैं कि त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है। अर्थात:
\( |\vec{a}| < |\vec{b}| + |\vec{c}| \)
इसप्रकार, हम कह सकते हैं कि \( |\vec{a}| = |\vec{b}| + |\vec{c}| \) सत्य नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• त्रिभुज की असमिका (triangle inequality) का प्रयोग।
• दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है।
• सदिशों के परिमाण दूरियों को दर्शाते हैं।

आम गलतियाँ:

• सदिशों के योग और उनके परिमाणों کے योग को एक मान लेना।
• ज्यामितीय प्रतिबंधों की उपेक्षा करना।

Exam Tips:

a) त्रिभुज असमानता का नियम स्पष्ट रूप से लिखें।
b) कारण सहित उत्तर दें कि यह सर्वसत्य क्यों नहीं है।
c) सदिश त्रिभुज का छोटा आरेख बना सकते हैं।

Question 5: x का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए \( x(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \) एक मात्रक सदिश है।

Answer:

\( x(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \) एक मात्रक सदिश है यदि \( |x(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})| = 1 \), इसलिए, \( |x||\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}| = 1 \)
\( \Rightarrow \sqrt{x^2 + x^2 + x^2} = 1 \)
\( \Rightarrow \sqrt{3x^2} = 1 \)
\( \Rightarrow \sqrt{3}|x| = 1 \)
\( \Rightarrow |x| = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \)
अतः, x کا मान \( \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \) है।

मुख्य बिंदु:

• मात्रक सदिश का परिमाण 1 होता है।
• अदिश गुणन को परिमाण से बाहर निकालते समय मापांक (modulus) लगता है।
• वर्गमूल हल करते समय धनात्मक और ऋणात्मक दोनों चिह्न आते हैं।

आम गलतियाँ:

• केवल धनात्मक मान लिखना और ऋणात्मक मान छोड़ देना।
• परिमाण निकालते समय x का वर्ग भूल जाना।

Exam Tips:

a) मात्रक सदिश की परिभाषा से शुरुआत करें।
b) अंतिम उत्तर में \( \pm \) चिह्न लगाना न भूलें।
c) गणना के चरणों को क्रमित रखें।

Question 6: सदिशों \( \vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k} \) और \( \vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \) के परिणामी के समांतर एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 5 इकाई है।

Answer:

दिया है: \( \vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k} \) तथा \( \vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \)
माना सदिश \( \vec{c} \), सदिशों \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) का परिणामी के समांतर सदिश है।
इसलिए, \( \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (2 + 1)\hat{i} + (3 - 2)\hat{j} + (-1 + 1)\hat{k} = 3\hat{i} + \hat{j} \)
\( \therefore |\vec{c}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \)
परिणामी के समांतर मात्रक सदिश:
\( \hat{c} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{3\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{10}} \)
अतः, 5 परिमाण वाला अभीष्ट सदिश:
\( 5\hat{c} = \pm 5 \cdot \frac{3\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{10}} = \pm \frac{15\hat{i} + 5\hat{j}}{\sqrt{10}} \) या \( \pm 5 \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{10}}\hat{j}\right) \)

मुख्य बिंदु:

• परिणामी सदिश दोनों सदिशों का योग होता है।
• किसी सदिश के समांतर मात्रक सदिश निकालकर उसे इच्छित परिमाण سے गुणा करते हैं।
• समांतर सदिश में \( \pm \) दोनों दिशाओं को दर्शा सकता है यदि विशिष्ट दिशा न दी गई हो।

आम गलतियाँ:

• परिणामी निकालते समय घटकों को घटा देना।
• मात्रक सदिश को 5 से गुणा करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) पहले दोनों सदिशों का योग निकालें।
b) उसके बाद उसका मात्रक सदिश ज्ञात करें।
c) अंत में दिए गए परिमाण (5) से गुणा करें।

Question 7: यदि \( \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}, \vec{b} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} \) और \( \vec{c} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \), तो सदिश \( 2\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c} \) के समांतर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया है, \( \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}, \vec{b} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} \) तथा \( \vec{c} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \)
इसलिए, \( 2\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c} = 2(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - (2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + 3(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) \) [नोट: यदि प्रश्न में \( 2\hat{k} \) या \( \hat{k} \) हो तो मानक रूप लें]
\( = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} - 2\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k} + 3\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k} \)
और \( |2\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17} \)
अतः, सदिश \( 2\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c} \) के समांतर एक मात्रक सदिश निम्नलिखित है:
\( = \frac{2\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c}}{|2\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c}|} = \frac{3}{\sqrt{17}}\hat{i} - \frac{2}{\sqrt{17}}\hat{j} + \frac{2}{\sqrt{17}}\hat{k} \)

मुख्य बिंदु:

• पहले दिए गए व्यंजक \( 2\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c} \) को सरल करें।
• प्राप्त परिणामी सदिश का परिमाण निकालें।
• मात्रक सदिश निकालने के लिए सदिश को उसके परिमाण से भाग दें।

आम गलतियाँ:

• गुणा करते समय अदिश राशि को केवल पहले घटक से गुणा करना।
• ऋण चिन्ह (-) का अंदर गुणा करते समय संकेतों की गलती करना।

Exam Tips:

a) कोष्ठक खोलते समय हर पद का चिन्ह ध्यान से देखें।
b) परिमाण की गणना में वर्गों को धनात्मक रखें।
c) अंतिम उत्तर को मात्रक सदिश के मानक रूप में लिखें।

Question 8: दर्शाइए कि बिंदु A\( (1, -2, -8) \), B\( (5, 0, -2) \) और C\( (11, 3, 7) \) संरेख है और B द्वारा AC को विभाजित करने वाला अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिए गए बिंदु: A\( (1, -2, -8) \), B\( (5, 0, -2) \) और C\( (11, 3, 7) \) हैं। इसलिए,
\( \vec{AB} = (5 - 1)\hat{i} + (0 + 2)\hat{j} + (-2 + 8)\hat{k} = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k} \)
\( \vec{BC} = (11 - 5)\hat{i} + (3 - 0)\hat{j} + (7 + 2)\hat{k} = 6\hat{i} + 3\hat{j} + 9\hat{k} \)
\( \vec{AC} = (11 - 1)\hat{i} + (3 + 2)\hat{j} + (7 + 8)\hat{k} = 10\hat{i} + 5\hat{j} + 15\hat{k} \)
\( |\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 4 + 36} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} \)
\( |\vec{BC}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + 9^2} = \sqrt{36 + 9 + 81} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14} \)
\( |\vec{AC}| = \sqrt{(10)^2 + 5^2 + (15)^2} = \sqrt{100 + 25 + 225} = \sqrt{350} = 5\sqrt{14} \)
\( \therefore |\vec{AC}| = |\vec{AB}| + |\vec{BC}| \)
अतः, बिंदु A, B, और C संरेख हैं।
अब, माना B रेखा AC को \( \lambda : 1 \) के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए,
\( \vec{OB} = \frac{\lambda \vec{OC} + \vec{OA}}{\lambda + 1} \)
\( \Rightarrow 5\hat{i} - 2\hat{k} = \frac{\lambda(11\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}) + (1 - 2\hat{j} - 8\hat{k})}{\lambda + 1} \)
\( \Rightarrow (\lambda + 1)(5\hat{i} - 2\hat{k}) = 11\lambda\hat{i} + 3\lambda\hat{j} + 7\lambda\hat{k} + \hat{i} - 2\hat{j} - 8\hat{k} \)
\( \Rightarrow 5(\lambda + 1)\hat{i} - 2(\lambda + 1)\hat{k} = (11\lambda + 1)\hat{i} + (3\lambda - 2)\hat{j} + (7\lambda - 8)\hat{k} \)
दोनों ओर तुलना करने पर:
\( 5(\lambda + 1) = 11\lambda + 1 \)
\( 5\lambda + 5 = 11\lambda + 1 \)
\( \Rightarrow 6\lambda = 4 \)
\( \Rightarrow \lambda = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
अतः, बिंदु B रेखाखंड AC को \( 2:3 \) में विभाजित करता है।

मुख्य बिंदु:

• संरेखता के लिए दो छोटी भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी बड़ी भुजा के बराबर होना चाहिए।
• खंड सूत्र (section formula) का प्रयोग करके अनुपात निकाला जाता है।
• संगत घटकों की तुलना करके \( \lambda \) का मान ज्ञात करते हैं।

आम गलतियाँ:

• केवल एक घटक की तुलना करके छोड़ देना, जबकि सभी घटकों से समान मान आना चाहिए।
• अनुपात को गलत रूप में लिखना।

Exam Tips:

a) संरेख सिद्ध करने के लिए पहले तीनों सदिश निकालें।
b) विभाजन अनुपात निकालते समय आंतरिक विभाजन सूत्र का प्रयोग करें।
c) उत्तर की पुष्टि दूसरे घटक से भी कर लें।

Question 9: दो बिंदुओं P\( (2\vec{a} + \vec{b}) \) और Q\( (\vec{a} - 3\vec{b}) \) को मिलाने वाली रेखा को 1:2 के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिंदु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए। यह भी दर्शाइए कि बिंदु P रेखाखंड RQ का मध्य बिंदु है।

Answer:

दिया गया है कि \( \vec{OP} = 2\vec{a} + \vec{b} \) तथा \( \vec{OQ} = \vec{a} - 3\vec{b} \)
यह भी दिया है कि बिन्दु R रेखाखंड PQ को 1:2 के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है। खंडसूत्र के प्रयोग से
\( \vec{OR} = \frac{1(2\vec{a} + \vec{b}) - 2(\vec{a} - 3\vec{b})}{1 - 2} = \frac{4\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{a} + 3\vec{b}}{1} = 3\vec{a} + 5\vec{b} \)
इसलिए, RQ के मध्य बिंदु का स्थिति सदिश = \( \frac{\vec{OQ} + \vec{OR}}{2} \)
\( = \frac{(\vec{a} - 3\vec{b}) + (3\vec{a} + 5\vec{b})}{2} = \frac{4\vec{a} + 2\vec{b}}{2} = 2\vec{a} - \vec{b} = \vec{OP} \)
अतः, P रेखाखंड RQ का मध्य बिंदु है।

मुख्य बिंदु:

• बाह्य विभाजन सूत्र में हर और अंश में ऋण चिह्न (-) का प्रयोग होता है।
• मध्य बिंदु निकालने के लिए दोनों सिरों के स्थिति सदिशों को जोड़कर 2 से भाग देते हैं।
• परिणाम को प्रारंभिक बिंदु P के सदिश के बराबर दिखाना होता है।

आम गलतियाँ:

• बाह्य विभाजन में आंतरिक विभाजन का सूत्र (धन चिह्न) लगा देना।
• मध्य बिंदु के सूत्र में जोड़ की जगह घटाव कर देना।

Exam Tips:

a) बाह्य विभाजन का सूत्र स्पष्ट रूप से लिखें।
b) बीजगणितीय सरलतीकरण सावधानी से करें।
c) अंत में दिखाएं कि मध्य बिंदु का सदिश P के सदिश के बराबर है।

Question 10: एक समांतर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ \( 2\vec{i} - 4\vec{j} + 5\vec{k} \) और \( \vec{i} - 2\vec{j} - 3\vec{k} \) हैं। इसके विकर्ण के समांतर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।

Answer:

समांतर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ: \( \vec{a} = 2\vec{i} - 4\vec{j} + 5\vec{k} \) और \( \vec{b} = \vec{i} - 2\vec{j} - 3\vec{k} \)
इसलिए, समांतर चतुर्भुज का विकर्ण = \( \vec{a} + \vec{b} \)
\( \vec{a} + \vec{b} = (2 + 1)\hat{i} + (-4 - 2)\hat{j} + (5 - 3)\hat{k} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\vec{k} \)
इसप्रकार, विकर्ण के समांतर मात्रक सदिश निम्नलिखित है:
\( \frac{\vec{a} + \vec{b}}{|\vec{a} + \vec{b}|} = \frac{3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2}} = \frac{3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{9 + 36 + 4}} = \frac{3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}}{7} = \frac{3}{7}\hat{i} - \frac{6}{7}\hat{j} + \frac{2}{7}\hat{k} \)
• समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = \( |\vec{a} \times \vec{b}| \)
\( \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -4 & 5 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix} \)
\( = \hat{i}(12 + 10) - \hat{j}(-6 - 5) + \hat{k}(-4 + 4) \)
\( = 22\hat{i} + 11\hat{j} \)
\( \therefore |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{22^2 + 11^2} = 11\sqrt{2^2 + 1^2} = 11\sqrt{5} \)
अतः, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( 11\sqrt{5} \) वर्ग इकाई है।

मुख्य बिंदु:

• समांतर चतुर्भुज का विकर्ण दोनों संलग्न भुजाओं का योग होता है।
• क्षेत्रफल निकालने के लिए सदिशों का सदिश गुणन (cross product) करते हैं।
• सदिश गुणन का परिमाण ही समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल होता है।

आम गलतियाँ:

• सदिश गुणन सारणिक (determinant) हल करते समय चिन्हों की गलती करना।
• क्षेत्रफल में वर्ग इकाई लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) सारणिक का विस्तार सावधानी से करें।
b) उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर लेकर परिमाण निकालना आसान बनाएं।
c) दोनों भागों (मात्रक सदिश और क्षेत्रफल) को अलग-अलग स्पष्ट हल करें।

Question 11: दर्शाइए कि OX, OY एवं OZ अक्षों के साथ बराबर झुके हुए सदिश की दिक-कोसाइनें \( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \) हैं।

Answer:

माना कोई एक सदिश OX, OY और OZ अक्षों के साथ \( \alpha \) कोण बनाता है। अतः, सदिश की दिक-कोसाइनें \( \cos \alpha, \cos \alpha \) और \( \cos \alpha \) होंगी।
हम जानते हैं कि, \( \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
\( \Rightarrow 3\cos^2 \alpha = 1 \)
\( \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
अतः, OX, OY एवं OZ अक्षों के साथ बराबर झुके हुए सदिश की दिक-कोसाइनें \( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \) हैं।

मुख्य बिंदु:

• समान कोण बनाने पर सभी दिक-कोसाइनें समान होती हैं (\( \cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma \)).
• दिक-कोसाइनों के वर्गों का योग सदैव 1 होता है (\( l^2 + m^2 + n^2 = 1 \)).
• वर्गमूल लेते समय धनात्मक मान पर विचार करते हैं।

आम गलतियाँ:

• सूत्र में \( 3 \) से भाग देना भूल जाना।
• तीनों कोणों को अलग-अलग मान लेना।

Exam Tips:

a) मूल गुणधर्म \( l^2 + m^2 + n^2 = 1 \) से शुरुआत करें।
b) समरूपता का तर्क स्पष्ट रूप से दें।

Question 12: मान लीजिए \( \vec{a} = \hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}, \vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 7\hat{k} \) और \( \vec{c} = 2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k} \). एक ऐसा सदिश \( \vec{d} \) ज्ञात कीजिए जो \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) दोनों पर लंब है और \( \vec{c} \cdot \vec{d} = 15 \)

Answer:

माना \( \vec{d} = d_1\hat{i} + d_2\hat{j} + d_3\hat{k} \)
दिया है कि \( \vec{d} \) सदिशों \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) के लंब है, इसलिए
\( \vec{a} \cdot \vec{d} = 0 \Rightarrow d_1 + 4d_2 + 2d_3 = 0 \) ...(i)
तथा, \( \vec{b} \cdot \vec{d} = 0 \Rightarrow 3d_1 - 2d_2 + 7d_3 = 0 \) ...(ii)
हमें यह भी दिया है कि:
\( \vec{c} \cdot \vec{d} = 15 \Rightarrow 2d_1 - d_2 + 4d_3 = 15 \) ...(iii)
समीकरण (i), (ii) और (iii) को हल करने पर:
\( d_1 = \frac{160}{3}, d_2 = -\frac{5}{3} \) और \( d_3 = -\frac{70}{3} \)
\( \therefore \vec{d} = \frac{160}{3}\hat{i} - \frac{5}{3}\hat{j} - \frac{70}{3}\hat{k} = \frac{1}{3}(160\hat{i} - 5\hat{j} - 70\hat{k}) \)
अतः, अभीष्ट सदिश \( \frac{1}{3}(160\hat{i} - 5\hat{j} - 70\hat{k}) \) है।

मुख्य बिंदु:

• लंबवत सदिशों का अदिश गुणन (dot product) शून्य होता है।
• तीन चरों वाले रैखिक समीकरण निकाय को विलोपन या वज्र गुणन विधि से हल करते हैं।

आम गलतियाँ:

• अदिश गुणन में घटकों का गुणा गलत करना।
• समीकरणों को हल करते समय गणना की अशुद्धि।

Exam Tips:

a) तीन समीकरणों को क्रमानुसार (i), (ii), (iii) नाम दें।
b) मानों को समीकरण में रखकर उत्तर की जाँच करें।

Question 13: सदिश \( \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \) का, \( 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k} \) और \( \lambda\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \) के योगफल की दिशा में मात्रक सदिश के साथ अदिश गुणनफल 1 के बराबर है तो \( \lambda \) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

यहाँ, \( (2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}) + (\lambda\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = (2 + \lambda)\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k} \)
इसलिए, \( (2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}) + (\lambda\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \) की दिशा में मात्रक सदिश:
\( = \frac{(2 + \lambda)\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{(2 + \lambda)^2 + (6)^2 + (-2)^2}} = \frac{(2 + \lambda)\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{4 + 4\lambda + \lambda^2 + 36 + 4}} = \frac{(2 + \lambda)\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda + 44}} \)
दिया है कि \( (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \) के साथ मात्रक सदिश का गुणनफल 1 है।
\( \Rightarrow (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot \frac{(2 + \lambda)\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda + 44}} = 1 \)
\( \Rightarrow \frac{(2 + \lambda) + 6 - 2}{\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda + 44}} = 1 \)
\( \Rightarrow \frac{\lambda + 6}{\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda + 44}} = 1 \)
\( \Rightarrow \lambda + 6 = \sqrt{\lambda^2 + 4\lambda + 44} \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( (\lambda + 6)^2 = \lambda^2 + 4\lambda + 44 \)
\( \Rightarrow \lambda^2 + 12\lambda + 36 = \lambda^2 + 4\lambda + 44 \)
\( \Rightarrow 8\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = 1 \)
अतः, \( \lambda \) का मान 1 है।

मुख्य बिंदु:

• पहले दो सदिशों का योगफल निकालें।
• उस योगफल का मात्रक सदिश ज्ञात करें।
• दिए गए तीसरे सदिश के साथ उसका डॉट प्रोडक्ट 1 के बराबर रखें।

आम गलतियाँ:

• वर्ग करते समय बीजगणितीय सर्वसमिका \( (a+b)^2 \) गलत खोलना।
• रूट (square root) हटाते समय दोनों पक्षों का वर्ग करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) चरणों को स्पष्ट रूप से अलग-अलग हल करें।
b) समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते समय सावधानी बरतें।

Question 14: यदि \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) समान परिमाणों वाले परस्पर लंबवत सदिश हैं तो दर्शाइए कि सदिश \( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \), सदिशों \( \vec{a}, \vec{b} \) तथा \( \vec{c} \) के साथ बराबर झुका हुआ है।

Answer:

दिया है कि \( \vec{a}, \vec{b} \) और \( \vec{c} \) परस्पर लंबवत सदिश हैं,
इसलिए, \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 0 \)
ये समान परिमाणों वाले सदिश हैं, इसलिए \( |\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| \)
माना, सदिश \( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \) दिए गए सदिशों \( \vec{a}, \vec{b} \) और \( \vec{c} \) के साथ क्रमशः कोण \( \theta_1, \theta_2 \) और \( \theta_3 \) बनाता है। इसलिए,
\( \cos \theta_1 = \frac{(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{a}}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| |\vec{a}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| |\vec{a}|} = \frac{|\vec{a}|^2}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| |\vec{a}|} \)
\( \cos \theta_2 = \frac{(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{b}}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| |\vec{b}|} = \frac{|\vec{b}|^2}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| |\vec{b}|} \)
\( \cos \theta_3 = \frac{(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{c}}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| |\vec{c}|} = \frac{|\vec{c}|^2}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| |\vec{c}|} \)
चूँकि \( |\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| \), इसलिए \( \cos \theta_1 = \cos \theta_2 = \cos \theta_3 \)
\( \therefore \theta_1 = \theta_2 = \theta_3 \)
अतः, सदिश \( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \) सदिशों \( \vec{a}, \vec{b} \) तथा \( \vec{c} \) के साथ बराबर झुका हुआ है।

मुख्य बिंदु:

• परस्पर लंबवत होने पर डॉट प्रोडक्ट शून्य होता है।
• दो सदिशों के बीच के कोण का सूत्र \( \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} \) का उपयोग करें।
• समान परिमाण का उपयोग करके दिक-कोसाइन समान सिद्ध करना।

आम गलतियाँ:

• लंबवत सदिशों के डॉट प्रोडक्ट को शून्य न रखना।
• परिमाण समान होने की शर्त का उपयोग भूल जाना।

Exam Tips:

a) कोण का सूत्र लिखकर स्पष्ट मान रखें।
b) अंत में तर्क दें कि कोसाइन के मान बराबर होने पर कोण भी समान होंगे।

Question 15: सिद्ध कीजिए कि \( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 \) यदि और केवल यदि \( \vec{a}, \vec{b} \) लंबवत हैं। यह दिया है कि \( \vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0} \)

Answer:

\( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 \)
\( \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 \)      (सदिश गुणन के वितरण नियम से)
\( \Rightarrow |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 \)      (सदिश गुणन के क्रमविनिमय नियम से)
\( \Rightarrow 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \)
\( \therefore \vec{a} \) और \( \vec{b} \) परस्पर लंब हैं।      (\( \vec{a} \neq 0, \vec{b} \neq 0 \) दिया है)

मुख्य बिंदु:

• डॉट प्रोडक्ट के वितरण और क्रमविनिमय नियमों का उपयोग।
• \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \) का गुणधर्म।
• लंबवत होने की शर्त \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \) ।

आम गलतियाँ:

• डॉट प्रोडक्ट को साधारण बीजगणितीय गुणन समझ लेना।
• \( 2\vec{a} \cdot \vec{b} \) को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक चरण में प्रयुक्त गुणधर्म (वितरण/क्रमविनिमय) को कोष्ठک में लिखें।
b) दोनों तरफ से (if and only if) उपपत्ति को स्पष्ट करें।

Question 16: यदि दो सदिशों \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) के बीच का कोण \( \theta \) है तो \( \vec{a} \cdot \vec{b} \ge 0 \) होगा यदि:
(A) \( 0 < \theta < \pi \)
(B) \( 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2} \)
(C) \( 0 < \theta < \pi \)
(D) \( 0 \le \theta \le \pi \)

Answer:

माना सदिशों \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) के बीच का कोण \( \theta \) है।
सदिशों \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) के लिए \( |\vec{a}| \) तथा \( |\vec{b}| \) धनात्मक होंगे।
हम जानते हैं कि \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta \)
\( \therefore \vec{a} \cdot \vec{b} \ge 0 \Rightarrow |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta \ge 0 \)
\( \Rightarrow \cos \theta \ge 0 \)      [\( |\vec{a}| \) और \( |\vec{b}| \) धनात्मक हैं]
\( \Rightarrow 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2} \)
अतः, \( \vec{a} \cdot \vec{b} \ge 0 \) यदि \( 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2} \) ।
अतः, विकल्प (B) सही है।

मुख्य बिंदु:

• डॉट प्रोडक्ट का सूत्र \( |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta \) होता है।
• परिमाण सदैव धनात्मक होते हैं, इसलिए चिह्न \( \cos \theta \) पर निर्भर करता है।
• प्रथम चतुर्थांश में कोसाइन धनात्मक होता है।

आम गलतियाँ:

• कोण की सीमा \( 0 \) से \( \pi \) के बजाय गलत अंतराल चुन लेना।
• परिमाण के ऋणात्मक होने की संभावना मान लेना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्न में पहले सूत्र लिखकर स्पष्ट करें।
b) त्रिकोणमितीय फलكों के चिह्नों का ध्यान रखें।

Question 17: मान लीजिए \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) दो मात्रक सदिश हैं और उनके बीच का कोण \( \theta \) है तो \( \vec{a} + \vec{b} \) एक मात्रक सदिश है यदि:
(A) \( \theta = \frac{\pi}{3} \)
(B) \( \theta = \frac{2\pi}{3} \)
(C) \( \theta = \frac{\pi}{2} \)
(D) \( \theta = \frac{2\pi}{3} \)

Answer:

\( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) दो मात्रक सदिश हैं जिनके बीच का कोण \( \theta \) है।
इसलिए, \( |\vec{a}| = |\vec{b}| = 1 \)
यहाँ, \( \vec{a} + \vec{b} \) एक मात्रक सदिश होगा यदि \( |\vec{a} + \vec{b}| = 1 \)
\( \Rightarrow |\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1 \)
\( \Rightarrow (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 1 \)
\( \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = 1 \)
\( \Rightarrow |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta + |\vec{b}|^2 = 1 \)
\( \Rightarrow 1^2 + 2(1)(1)\cos \theta + 1^2 = 1 \)
\( \Rightarrow 1 + 2\cos \theta + 1 = 1 \)
\( \Rightarrow 2\cos \theta = -1 \)
\( \Rightarrow \cos \theta = -\frac{1}{2} \)
\( \Rightarrow \theta = \frac{2\pi}{3} \)
अतः, \( \vec{a} + \vec{b} \) एक मात्रक सदिश होगा यदि \( \theta = \frac{2\pi}{3} \) ।
इसप्रकार, विकल्प (D) [या (B)] सही है।

मुख्य बिंदु:

• मात्रक सदिश होने पर उसका वर्ग परिमाण भी 1 होता है।
• \( |\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \) का उपयोग करें।
• \( \cos \theta = -\frac{1}{2} \) का मुख्य मान \( \frac{2\pi}{3} \) होता है।

आम गलतियाँ:

• सीधे सदिशों को जोड़कर परिमाण 1 रख देना बिना वर्ग किए।
• त्रिकोणमितीय मान निकालने में चतुर्थांश की गलती करना।

Exam Tips:

a) दोनों पक्षों का वर्ग करके डॉट प्रोडक्ट का प्रसार करें।
b) मान रखकर समीकरण को सरल करें।

Question 18: \( \hat{i} \cdot (\vec{j} \times \vec{k}) + \hat{j} \cdot (\vec{i} \times \vec{k}) + \hat{k} \cdot (\vec{i} \times \vec{j}) \) का मान है:
(A) 0
(B) -1
(C) 1
(D) 3

Answer:

\( \hat{i} \cdot (\vec{j} \times \vec{k}) + \hat{j} \cdot (\vec{i} \times \vec{k}) + \hat{k} \cdot (\vec{i} \times \vec{j}) \)
\( = \hat{i} \cdot \hat{i} + \hat{j} \cdot (-\hat{j}) + \hat{k} \cdot \hat{k} \)
\( = 1 - \hat{j} \cdot \hat{j} + 1 \)
\( = 1 - 1 + 1 = 1 \)
इसलिए, विकल्प (C) सही है।

मुख्य बिंदु:

• एकांक सदिशों के सदिश गुणन (cross product) के चक्रीय नियम का प्रयोग।
• \( \vec{j} \times \vec{k} = \hat{i} \), \( \vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j} \), \( \vec{i} \times \vec{j} = \hat{k} \) ।
• समान सदिशों का डॉट प्रोडक्ट 1 होता है।

आम गलतियाँ:

• क्रॉस प्रोडक्ट के क्रम को ध्यान में न रखकर चिन्ह की गलती करना।

Exam Tips:

a) क्रॉस प्रोडक्ट के मान सीधे याद रखें।
b) डॉट प्रोडक्ट के गुणों का सही प्रयोग करें।

Question 19: यदि दो सदिशों \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) के बीच का कोण \( \theta \) है तो \( |\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a} \times \vec{b}| \) जब \( \theta \) बराबर है:
(A) 0
(B) \( \frac{\pi}{4} \)
(C) \( \frac{\pi}{2} \)
(D) \( \pi \)}

Answer:

दिया है कि \( \theta \) दोनों सदिशों \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) के बीच का कोण है।
\( |\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a} \times \vec{b}| \)
\( \Rightarrow |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta = |\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta \)
\( \Rightarrow \cos \theta = \sin \theta \)      [\( |\vec{a}| \) और \( |\vec{b}| \) धनात्मक हैं]
\( \Rightarrow \tan \theta = 1 \)
\( \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4} \)
अतः, \( |\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a} \times \vec{b}| \) यदि \( \theta = \frac{\pi}{4} \)。
इसलिए, विकल्प (B) सही है।

मुख्य बिंदु:

• डॉट प्रोडक्ट का परिमाण \( |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta \) होता है।
• क्रॉस प्रोडक्ट का परिमाण \( |\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta \) होता है।
• दोनों को बराबर रखकर \( \tan \theta = 1 \) प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• मापांक (modulus) के प्रभाव को नजरअंदाज करना।
• \( \tan \theta = 1 \) से कोण का मान गलत निकालना।

Exam Tips:

a) दोनों सूत्रों को आमने-सामने रखकर तुलना करें।
b) त्रिकोणमितीय अनुपात में बदलकर सीधा हल प्राप्त करें।