NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 10 Vector Algebra (सदिश बीजगणित) Exercise 10.3 in Hindi

Question 1: दो सदिशों \( \vec{a} \) तथा \( \vec{b} \) के परिमाण क्रमशः \( \sqrt{3} \) एवं \( 2 \) और \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{6} \) है तो \( \vec{a} \) तथा \( \vec{b} \) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया है कि, \( |\vec{a}| = \sqrt{3} \), \( |\vec{b}| = 2 \) एवं \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{6} \)
हम जानते हैं कि \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \)
मान रखने पर:
\( \sqrt{6} = \sqrt{3} \times 2 \times \cos \theta \)
\( \Rightarrow \cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} \times 2} \)
\( \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4} \)
अतः, दिये गए सदिशों \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) के बीच का कोण \( \frac{\pi}{4} \) है।

मुख्य बिंदु:

• दो सदिशों का अदिश गुणनफल सूत्र का प्रयोग किया गया है।
• सदिशों के परिमाण सीधे दिए गए थे।
• त्रिकोणमितीय सारणी से कोण का मान ज्ञात किया गया है।

आम गलतियाँ:

• वर्गमूल को हल करने में गलती करना।
• \( \cos \theta \) के मान को सीधे कोण में बदलते समय त्रिकोणमितीय मान की भूल होना।

Exam Tips:

a) हमेशा सूत्र \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \) को स्पष्ट लिखें।
b) कोण का मान रेडियन में ही दें।
c) गणना को सरल बनाते समय चरणों का पालन करें।

Question 2: सदिशों \( \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} \) और \( 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिये गए सदिश \( \vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} \) तथा \( \vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \) हैं।
\( |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \)
\( |\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14} \)
इसलिए, \( \vec{a} \cdot \vec{b} = (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k})(3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) \)
\( = 1(3) + (-2)(-2) + 3(1) = 3 + 4 + 3 = 10 \)
हम जानते हैं कि \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \)
\( \therefore 10 = \sqrt{14} \sqrt{14} \cos \theta \)
\( \Rightarrow \cos \theta = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \)
इसलिए, \( \theta = \cos^{-1}\left(\frac{5}{7}\right) \)

मुख्य बिंदु:

• दो सदिशों का अदिश गुणनफल उनके संगत घटकों के गुणनफल का योग होता है।
• किसी सदिश का परिमाण उसके घटकों के वर्गों के योग का वर्गमूल होता है।
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का उपयोग करके कोण को व्यक्त किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• घटक गुणा करते समय ऋनात्मक चिन्हों की भूल करना।
• परिमाण निकालते समय वर्ग करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) अदिश गुणनफल और परिमाण दोनों की गणना अलग-अलग करें।
b) यदि परिणाम मानक कोण न हो, तो उसे प्रतिलोम फलन के रूप में ही छोड़ दें।
c) अंत में उत्तर को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।

Question 3: सदिश \( \hat{i} + \hat{j} \) पर सदिश \( \hat{i} - \hat{j} \) का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना \( \vec{a} = \hat{i} - \hat{j} \) और \( \vec{b} = \hat{i} + \hat{j} \) है।
सदिश \( \vec{a} \) का सदिश \( \vec{b} \) पर प्रक्षेप निम्नलिखित प्रकार से होगा:
\( \frac{1}{|\vec{b}|} (\vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} [(1)(1) + (-1)(1)] = \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - 1) = 0 \)
अतः, सदिश \( \hat{i} + \hat{j} \) पर सदिश \( \hat{i} - \hat{j} \) का प्रक्षेप \( 0 \) है।

मुख्य बिंदु:

• सदिश \( \vec{a} \) का \( \vec{b} \) पर प्रक्षेप \( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \) होता है।
• हर में प्रक्षेप प्राप्त करने वाले सदिश का परिमाण आता है।
• अदिश गुणनफल शून्य होने पर प्रक्षेप शून्य होता है।

आम गलतियाँ:

• किस सदिश पर प्रक्षेप निकालना है, उसमें अंश और हर के सदिशों को आपस में बदल देना।
• परिमाण की गणना में गलती करना।

Exam Tips:

a) हमेशा याद रखें: "पर" (on) आने वाला सदिश हर (denominator) में जाता है।
b) प्रक्षेप एक अदिश राशि है, अतः इसका मान संख्यात्मक होता है।
c) सूत्र को स्पष्ट रूप से लिखकर मान रखें।

Question 4: सदिश \( \hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k} \) का, सदिश \( 7\hat{i} - \hat{j} + 8\hat{k} \) पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना \( \vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k} \) और \( \vec{b} = 7\hat{i} - \hat{j} + 8\hat{k} \) है।
सदिश \( \vec{a} \) का सदिश \( \vec{b} \) पर प्रक्षेप निम्नलिखित प्रकार से होगा:
\( \frac{1}{|\vec{b}|} (\vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{1}{\sqrt{7^2 + (-1)^2 + 8^2}} [(1)(7) + 3(-1) + 7(8)] \)
\( = \frac{7 - 3 + 56}{\sqrt{49 + 1 + 64}} = \frac{60}{\sqrt{114}} \)

मुख्य बिंदु:

• प्रक्षेप का सूत्र \( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \) उपयोग किया गया है।
• अदिश गुणनफल में संगत घटकों को गुणा करके जोड़ा गया है।
• हर में हर वाले सदिश का परिमाण निकाला गया है।

आम गलतियाँ:

• सदिशों के घटकों को गलत क्रम में गुणा करना।
• वर्गमूल के अंदर संख्याओं का योग गलत करना।

Exam Tips:

a) गणना करते समय प्रत्येक पद की सावधानी से जाँच करें।
b) यदि संभव हो तो अंश और हर को सरल बनाएँ।
c) अंतिम उत्तर को वर्गमूल के रूप में ही छोड़ सकते हैं यदि सरल न हो।

Question 5: दर्शाइए कि दिए हुए निम्नलिखित तीन सदिशों में से प्रत्येक मात्रक सदिश है, \( \frac{1}{7}(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}) \), \( \frac{1}{7}(3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}) \), \( \frac{1}{7}(6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) \) यह भी दर्शाइए कि ये सदिश परस्पर एक दूसरे के लम्बवत् हैं।

Answer:

माना \( \vec{a} = \frac{1}{7}(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}) = \frac{2}{7}\hat{i} + \frac{3}{7}\hat{j} + \frac{6}{7}\hat{k} \)
\( \vec{b} = \frac{1}{7}(3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{3}{7}\hat{i} - \frac{6}{7}\hat{j} + \frac{2}{7}\hat{k} \)
\( \vec{c} = \frac{1}{7}(6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) = \frac{6}{7}\hat{i} + \frac{2}{7}\hat{j} - \frac{3}{7}\hat{k} \)
इसलिए,
\( |\vec{a}| = \sqrt{\left(\frac{2}{7}\right)^2 + \left(\frac{3}{7}\right)^2 + \left(\frac{6}{7}\right)^2} = \sqrt{\frac{4}{49} + \frac{9}{49} + \frac{36}{49}} = \sqrt{\frac{49}{49}} = 1 \)
\( |\vec{b}| = \sqrt{\left(\frac{3}{7}\right)^2 + \left(-\frac{6}{7}\right)^2 + \left(\frac{2}{7}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{49} + \frac{36}{49} + \frac{4}{49}} = \sqrt{\frac{49}{49}} = 1 \)
\( |\vec{c}| = \sqrt{\left(\frac{6}{7}\right)^2 + \left(\frac{2}{7}\right)^2 + \left(-\frac{3}{7}\right)^2} = \sqrt{\frac{36}{49} + \frac{4}{49} + \frac{9}{49}} = \sqrt{\frac{49}{49}} = 1 \)
अतः, तीनों दिए गए सदिश, मात्रक सदिश हैं।
अब, \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{2}{7} \times \frac{3}{7} + \frac{3}{7} \times \left(-\frac{6}{7}\right) + \frac{6}{7} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{49} - \frac{18}{49} + \frac{12}{49} = 0 \)
\( \vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{3}{7} \times \frac{6}{7} + \left(-\frac{6}{7}\right) \times \frac{2}{7} + \frac{2}{7} \times \left(-\frac{3}{7}\right) = \frac{18}{49} - \frac{12}{49} - \frac{6}{49} = 0 \)
\( \vec{c} \cdot \vec{a} = \frac{6}{7} \times \frac{2}{7} + \frac{2}{7} \times \frac{3}{7} + \left(-\frac{3}{7}\right) \times \frac{6}{7} = \frac{12}{49} + \frac{6}{49} - \frac{18}{49} = 0 \)
अतः, ये सदिश परस्पर एक दूसरे के लम्बवत् हैं।

मुख्य बिंदु:

• मात्रक सदिश वह होता है जिसका परिमाण \( 1 \) होता है।
• दो सदिश परस्पर लम्बवत् होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो (\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \))।
• तीनों युग्मों (\( \vec{a}, \vec{b} \); \( \vec{b}, \vec{c} \); \( \vec{c}, \vec{a} \)) के लिए अदिश गुणनफल की जाँच की गई है।

आम गलतियाँ:

• परिमाण निकालते समय हर (denominator) का वर्ग करना भूल जाना।
• अदिश गुणनफल में चिन्हों की गलती करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक सदिश का परिमाण अलग-अलग निकाल कर दिखाएँ।
b) लम्बवत् सिद्ध करने के लिए तीनों युग्मों का अदिश गुणनफल शून्य होना अनिवार्य रूप से दिखाएँ।
c) भिन्न (fraction) के जोड़-घटाव में लघुत्तम (LCM) सावधानी से लें।

Question 6: यदि \( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 8 \) और \( |\vec{a}| = 8|\vec{b}| \) हो तो \( |\vec{a}| \) एवं \( |\vec{b}| \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया है: \( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 8 \)
\( \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 8 \)
\( \Rightarrow |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 8 \) [چونکہ \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \)]
\( \Rightarrow (8|\vec{b}|)^2 - |\vec{b}|^2 = 8 \) [दिया है: \( |\vec{a}| = 8|\vec{b}| \)]
\( \Rightarrow 64|\vec{b}|^2 - |\vec{b}|^2 = 8 \)
\( \Rightarrow 63|\vec{b}|^2 = 8 \)
\( \Rightarrow |\vec{b}|^2 = \frac{8}{63} \)
\( \Rightarrow |\vec{b}| = \sqrt{\frac{8}{63}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{7}} \)
\( \Rightarrow |\vec{a}| = 8|\vec{b}| = \frac{8 \times 2\sqrt{2}}{3\sqrt{7}} = \frac{16\sqrt{2}}{3\sqrt{7}} \)

मुख्य बिंदु:

• सदिशों के अदिश गुणनफल के वितरण नियम का उपयोग किया गया है।
• \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \) गुण का प्रयोग किया गया है।
• दिए गए संबंध \( |\vec{a}| = 8|\vec{b}| \) को समीकरण में प्रतिस्थापित किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( (8|\vec{b}|)^2 \) को हल करते समय \( 8 \) का वर्ग करना भूल जाना (इसे केवल \( 8|\vec{b}|^2 \) लिख देना)।
• सदिशों के परिमाण को ऋणात्मक मान लेना।

Exam Tips:

a) बीजगणितीय सर्वसमिकाओं जैसे \( (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \) का सदिशों में सीधा उपयोग किया जा सकता है।
b) मान प्रतिस्थापित करते समय कोष्ठक का सही उपयोग करें।
c) अंत में दोनों परिमाणों को स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 7: \( (3\vec{a} - 5\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + 7\vec{b}) \) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

\( (3\vec{a} - 5\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + 7\vec{b}) \)
\( = 3\vec{a} \cdot 2\vec{a} + 3\vec{a} \cdot 7\vec{b} - 5\vec{b} \cdot 2\vec{a} - 5\vec{b} \cdot 7\vec{b} \)
\( = 6\vec{a} \cdot \vec{a} + 21\vec{a} \cdot \vec{b} - 10\vec{a} \cdot \vec{b} - 35\vec{b} \cdot \vec{b} \)
\( = 6|\vec{a}|^2 + 11\vec{a} \cdot \vec{b} - 35|\vec{b}|^2 \)

मुख्य बिंदु:

• सदिशों के अदिश गुणनफल के वितरण नियम का पालन किया गया है।
• \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \) क्रमविनिमय नियम का उपयोग करके पदों को जोड़ा गया है।
• \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \) प्रतिस्थापित किया गया है।

आम गलतियाँ:

• गुणा करते समय गुणांकों (coefficients) की गलती करना।
• सदिशों के बीच अदिश गुणनफल के चिन्ह को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) बीजगणितीय गुणा की तरह ही प्रत्येक पद का गुणा करें।
b) समान सदिशों के अदिश गुणनफल को तुरंत परिमाण के वर्ग में बदलें।
c) सजातीय पदों को जोड़कर संक्षिप्त रूप में उत्तर दें।

Question 8: दो सदिशों \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) के परिमाण ज्ञात कीजिए, यदि इनके परिमाण समान हैं और इनके बीच का कोण \( 60^\circ \) है तथा इनका अदिश गुणनफल \( \frac{1}{2} \) है।

Answer:

माना \( \theta \), सदिशों \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) के बीच का कोण है।
दिया है: \( |\vec{a}| = |\vec{b}| \), \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} \) तथा \( \theta = 60^\circ \) ...(1)
हम जानते हैं कि \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \)
\( \therefore \frac{1}{2} = |\vec{a}| |\vec{a}| \cos 60^\circ \) (समीकरण (1) के प्रयोग से)
\( \Rightarrow \frac{1}{2} = |\vec{a}|^2 \times \frac{1}{2} \)
\( \Rightarrow |\vec{a}|^2 = 1 \)
\( \Rightarrow |\vec{a}| = |\vec{b}| = 1 \)

मुख्य बिंदु:

• दोनों सदिशों के परिमाण समान दिए गए हैं (\( |\vec{a}| = |\vec{b}| \))।
• \( \cos 60^\circ \) का मान \( \frac{1}{2} \) होता है।
• समीकरण में मान रखकर हल किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( |\vec{a}| |\vec{b}| \) को \( |\vec{a}|^2 \) लिखने में गलती करना जब परिमाण समान न माने हों।
• त्रिकोणमितीय मान गलत रखना।

Exam Tips:

a) दी गई शर्तों को सबसे पहले समीकरण के रूप में लिख लें।
b) \( \cos 60^\circ \) का मान सही प्रतिस्थापित करें।
c) परिमाण धनात्मक होता है अतः \( |\vec{a}| = 1 \) ही लें।

Question 9: यदि एक मात्रक सदिश \( \vec{x} \) के लिए \( (\vec{x} - \vec{a}) \cdot (\vec{x} + \vec{a}) = 12 \) हो तो \( |\vec{a}| \) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया है: \( (\vec{x} - \vec{a}) \cdot (\vec{x} + \vec{a}) = 12 \)
\( \Rightarrow \vec{x} \cdot \vec{x} + \vec{x} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{x} - \vec{a} \cdot \vec{a} = 12 \)
\( \Rightarrow |\vec{x}|^2 - |\vec{a}|^2 = 12 \) [चूंकि \( \vec{x} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{x} \)]
\( \Rightarrow (1)^2 - |\vec{a}|^2 = 12 \) [क्योंकि \( \vec{x} \) एक मात्रक सदिश है]
\( \Rightarrow |\vec{x}|^2 - 1 = 12 \)
\( \Rightarrow |\vec{a}|^2 = 1 - 12 \) (या समीकरण को व्यवस्थित करने पर \( 1 - 12 = |\vec{a}|^2 \Rightarrow |\vec{a}| = \sqrt{13} \))
\( \Rightarrow |\vec{a}| = \sqrt{13} \)

मुख्य बिंदु:

• मात्रक सदिश होने के कारण \( |\vec{x}| = 1 \) है।
• सर्वसमिका \( (\vec{x} - \vec{a}) \cdot (\vec{x} + \vec{a}) = |\vec{x}|^2 - |\vec{a}|^2 \) का प्रयोग किया गया है।
• परिमाण धनात्मक होता है इसलिए वर्गमूल धनात्मक लिया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( |\vec{x}| = 1 \) का मान रखना भूल जाना।
• पक्षांतर करते समय चिन्ह की गलती करना।

Exam Tips:

a) मात्रक सदिश का अर्थ स्पष्ट रूप से समझें कि उसका परिमाण \( 1 \) होता है।
b) बीजगणितीय सूत्रों का सीधा सदिशों में प्रयोग करें।
c) अंत में वर्गमूल लेते समय केवल धनात्मक मान लें।

Question 10: यदि \( \vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \), \( \vec{b} = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} \) और \( \vec{c} = 3\hat{i} + \hat{j} \) इस प्रकार है कि \( \vec{a} + \lambda\vec{b} \), \( \vec{c} \) पर लंब है, तो \( \lambda \) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिए गए सदिश: \( \vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \), \( \vec{b} = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} \) और \( \vec{c} = 3\hat{i} + \hat{j} \)
इसलिए, \( \vec{a} + \lambda\vec{b} = (2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = (2 - \lambda)\hat{i} + (2 + 2\lambda)\hat{j} + (3 + \lambda)\hat{k} \)
यदि \( (\vec{a} + \lambda\vec{b}) \perp \vec{c} \)
तो \( (\vec{a} + \lambda\vec{b}) \cdot \vec{c} = 0 \)
\( \Rightarrow [(2 - \lambda)\hat{i} + (2 + 2\lambda)\hat{j} + (3 + \lambda)\hat{k}] \cdot (3\hat{i} + \hat{j}) = 0 \)
\( \Rightarrow (2 - \lambda)3 + (2 + 2\lambda)1 + (3 + \lambda)0 = 0 \)
\( \Rightarrow 6 - 3\lambda + 2 + 2\lambda = 0 \)
\( \Rightarrow -3\lambda + 2\lambda + 8 = 0 \)
\( \Rightarrow -\lambda + 8 = 0 \)
\( \Rightarrow \lambda = 8 \)
अतः, \( \lambda \) का अभीष्ट मान \( 8 \) है।

मुख्य बिंदु:

• दो सदिशों के लम्बवत् होने की शर्त उनका अदिश गुणनफल शून्य होना है।
• पहले सदिशों के संयोजन \( \vec{a} + \lambda\vec{b} \) को घटक रूप में लिखा गया है।
• संगत घटकों का गुणा करके सरल रैखिक समीकरण को हल किया गया है।

आम गलतियाँ:

• अदिश गुणनफल करते समय \( \hat{k} \) के घटक का गुणा छूट जाना (क्योंकि \( \vec{c} \) में \( \hat{k} \) का गुणांक शून्य है)।
• ब्रैकेट खोलते समय चिन्ह की गलती करना।

Exam Tips:

a) लम्बवत् शब्द देखते ही तुरंत अदिश गुणनफल को \( 0 \) के बराबर लिखें।
b) सदिशों के घटकों को जोड़ते समय \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) के गुणांकों को अलग-अलग समूहीकृत करें।
c) सरल समीकरण को हल करके \( \lambda \) का मान निकालें।

Question 11: दर्शाइए कि दो शून्येतर सदिशों \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) के लिए \( |\vec{a}|\vec{b} + |\vec{b}|\vec{a} \), \( |\vec{a}|\vec{b} - |\vec{b}|\vec{a} \) पर लंब है।

Answer:

लंब दिखाने के लिए हमें इनके अदिश गुणनफल को शून्य सिद्ध करना होगा:
\( (|\vec{a}|\vec{b} + |\vec{b}|\vec{a}) \cdot (|\vec{a}|\vec{b} - |\vec{b}|\vec{a}) \)
\( = |\vec{a}|\vec{b} \cdot (|\vec{a}|\vec{b}) - |\vec{a}|\vec{b} \cdot (|\vec{b}|\vec{a}) + |\vec{b}|\vec{a} \cdot (|\vec{a}|\vec{b}) - |\vec{b}|\vec{a} \cdot (|\vec{b}|\vec{a}) \)
\( = |\vec{a}|^2 (\vec{b} \cdot \vec{b}) - |\vec{a}||\vec{b}|(\vec{b} \cdot \vec{a}) + |\vec{b}||\vec{a}|(\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2 (\vec{a} \cdot \vec{a}) \)
\( = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - |\vec{a}||\vec{b}|(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}||\vec{b}|(\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2 |\vec{a}|^2 \) [चूंकि \( \vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b} \)]
\( = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - |\vec{b}|^2 |\vec{a}|^2 = 0 \)
अतः, \( |\vec{a}|\vec{b} + |\vec{b}|\vec{a} \) और \( |\vec{a}|\vec{b} - |\vec{b}|\vec{a} \) परस्पर लंब हैं।

मुख्य बिंदु:

• दो सदिशों के लम्बवत् होने के लिए उनके अदिश गुणनफल का मान \( 0 \) होना आवश्यक है।
• सदिशों के अदिश गुणनफल के क्रमविनिमय गुण का उपयोग किया गया है।
• समान पदों के आपस में कट जाने से परिणाम शून्य प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• अदिश गुणा करते समय अदिश गुणांकों (scalars) को बाहर लेना भूल जाना।
• \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) और \( \vec{b} \cdot \vec{a} \) को अलग मान लेना।

Exam Tips:

a) बीजगणितीय सर्वसमिका \( (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \) का उपयोग सीधे सदिशों के लिए करें।
b) प्रत्येक पद को विस्तार से लिखकर दिखाएं कि विपरीत पद आपस में कट रहे हैं।
c) अंत में निष्कर्ष अवश्य लिखें।

Question 12: यदि \( \vec{a} \cdot \vec{a} = 0 \) और \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \), तो सदिश \( \vec{b} \) के बारे में क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?

Answer:

दिया है कि \( \vec{a} \cdot \vec{a} = 0 \) और \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \)
इसलिए, \( \vec{a} \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow |\vec{a}|^2 = 0 \Rightarrow |\vec{a}| = 0 \) \(\therefore \vec{a} \) एक शून्य सदिश है।
अतः, सदिश \( \vec{b} \) का मान कुछ भी हो सकता है।

मुख्य बिंदु:

• \( \vec{a} \cdot \vec{a} = 0 \) का अर्थ है कि सदिश \( \vec{a} \) का परिमाण शून्य है, अर्थात \( \vec{a} \) एक शून्य सदिश है।
• यदि \( \vec{a} \) एक शून्य सदिश है, तो कोई भी सदिश \( \vec{b} \) लेने पर \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \) स्वतः संतुष्ट हो जाता है।
• इसलिए \( \vec{b} \) एक कोई भी स्वेच्छ सदिश हो सकता है।

आम गलतियाँ:

• यह मान लेना कि \( \vec{b} \) भी शून्य सदिश होगा।
• शून्य सदिश और शून्येतर सदिश की परिभाषा में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के वैचारिक प्रश्नों में गणितीय तर्कों को स्पष्ट रूप से लिखें।
b) बताएं कि \( \vec{a} \) शून्य सदिश होने के कारण \( \vec{b} \) पर कोई प्रतिबंध नहीं रहता।
c) उत्तर को संक्षिप्त और सटीक रखें।

Question 13: यदि \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) मात्रक सदिश इस प्रकार हैं कि \( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0} \) तो \( \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} \) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया है कि \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) मात्रक सदिश हैं, अतः \( |\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 1, |\vec{c}| = 1 \)
साथ ही, \( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0} \)
दोनों पक्षों का स्वयं के साथ अदिश गुणन करने पर:
\( (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = 0 \)
\( \Rightarrow |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0 \)
\( \Rightarrow 1 + 1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0 \)
\( \Rightarrow 3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0 \)
\( \Rightarrow (\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = \frac{-3}{2} \)

मुख्य बिंदु:

• मात्रक सदिशों का परिमाण \( 1 \) होता है।
• सदिश योग के वर्ग का विस्तार सूत्र प्रयोग किया गया है।
• पक्षांतर करके अभीष्ट मान प्राप्त किया गया है।

आम गलतियाँ:

• द्विपद विस्तार में 2 से गुणा करना भूल जाना।
• मात्रक सदिशों के वर्गों को 1 के बजाय कुछ और लिख देना।

Exam Tips:

a) जब भी \( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0} \) दिया हो, दोनों तरफ का वर्ग (अदिश गुणन) करने की तकनीक का प्रयोग करें।
b) प्रत्येक मात्रक सदिश के वर्ग को 1 से प्रतिस्थापित करें।
c) गणना को सावधानी से हल करें।

Question 14: यदि \( \vec{a} = \vec{0} \) अथवा \( \vec{b} = \vec{0} \), तब \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \) परन्तु विलोम का सत्य होना आवश्यक नहीं है। एक उदाहरण द्वारा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

Answer:

माना \( \vec{a} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k} \) और \( \vec{b} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k} \)
तब, \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 2(3) + 4(3) + 3(-6) = 6 + 12 - 18 = 0 \)
जबकि: \( |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{29} \neq 0 \) अत: \( \vec{a} \neq \vec{0} \)
इसीप्रकार \( |\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{54} \neq 0 \) अतः \( \vec{b} \neq \vec{0} \)
अतः, इस कथन का विलोम सदैव सत्य نہیں होता।

मुख्य बिंदु:

• कथन का विलोम यह है कि यदि \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \), तो या तो \( \vec{a} = \vec{0} \) या \( \vec{b} = \vec{0} \), जो कि असत्य है।
• दो शून्येतर सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य हो सकता है यदि वे परस्पर लम्बवत् हों।
• उपयुक्त उदाहरण देकर इसे सत्यापित किया गया है।

आम गलतियाँ:

• ऐसा उदाहरण चुनना जिसमें सदिश शून्य हों।
• अदिश गुणनफल की गणना में गलती करना।

Exam Tips:

a) काउंटर-एग्जांपल (प्रति-उदाहरण) देते समय ऐसे सदिश चुनें जिनका अदिश गुणनफल शून्य आए लेकिन वे स्वयं शून्य न हों।
b) लम्बवत् सदिशों के उदाहरण इसमें सबसे अच्छे रहते हैं।
c) उत्तर को संक्षिप्त और स्पष्ट रूप में लिखें।

Question 15: यदि किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A, B, C क्रमशः \( (1, 2, 3), (-1, 0, 0) \) और \( (0, 1, 2) \) हैं तो \( \angle ABC \) ज्ञात कीजिए। [\( \angle ABC \), सदिशों \( \vec{BA} \) एवं \( \vec{BC} \) के बीच का कोण है।]

Answer:

त्रिभुज के तीनों शीर्षों A, B, C के निर्देशांक \( A(1, 2, 3), B(-1, 0, 0) \) और \( C(0, 1, 2) \) हैं।
तथा \( \angle ABC \) को प्राप्त करने के लिए हमें सदिशों \( \vec{BA} \) और \( \vec{BC} \) के बीच का कोण प्राप्त करना होगा:
\( \vec{BA} = (1 - (-1))\hat{i} + (2 - 0)\hat{j} + (3 - 0)\hat{k} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \)
\( \vec{BC} = (0 - (-1))\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} + (2 - 0)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k} \)
\( \therefore \vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| |\vec{BC}| \cos(\angle ABC) \)
\( \therefore 10 = \sqrt{17} \times \sqrt{6} \cos(\angle ABC) \)
\( \Rightarrow \cos(\angle ABC) = \frac{10}{\sqrt{17} \times \sqrt{6}} \)
\( \Rightarrow \angle ABC = \cos^{-1}\left(\frac{10}{\sqrt{102}}\right) \)

मुख्य बिंदु:

• किसी कोण को ज्ञात करने के लिए उस शीर्ष से निकलने वाले दोनों सदिशों को ज्ञात किया जाता है।
• यहाँ \( \angle ABC \) के लिए सदिश \( \vec{BA} \) और \( \vec{BC} \) का उपयोग किया गया है।
• अदिश गुणनफल और परिमाण के सूत्र का उपयोग करके कोण निकाला गया है।

आम गलतियाँ:

• सदिश निकालते समय प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं के क्रम को उल्टा करना (जैसे \( \vec{AB} \) की जगह \( \vec{BA} \) न लेना)।
• अदिश गुणनफल या परिमाण निकालने में अंकगणितीय त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) जिस कोण को निकालना हो, ध्यान रखें कि दोनों सदिश उसी शीर्ष से शुरू होने चाहिए।
b) सदिशों के घटक निकालते समय 'अंतिस बिंदु के निर्देशांक - प्रारंभिक बिंदु के निर्देशांक' का नियम लगाएँ।
c) अंत में उत्तर को प्रतिलोम त्रिकोणमितीय रूप में छोड़ें।

Question 16: दर्शाइए कि बिंदु A(1, 2, 7), B(2, 6, 3) और C(3, 10, -1) संरेख हैं।

Answer:

दिए गए बिंदु A (1, 2, 7), B (2, 6, 3) और C (3, 10, -1) हैं।
\( \vec{AB} = (2 - 1)\hat{i} + (6 - 2)\hat{j} + (3 - 7)\hat{k} = \hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k} \)
\( \vec{BC} = (3 - 2)\hat{i} + (10 - 6)\hat{j} + (-1 - 3)\hat{k} = \hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k} \)
\( \vec{AC} = (3 - 1)\hat{i} + (10 - 2)\hat{j} + (-1 - 7)\hat{k} = 2\hat{i} + 8\hat{j} - 8\hat{k} \)
\( |\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16 + 16} = \sqrt{33} \)
\( |\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16 + 16} = \sqrt{33} \)
\( |\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 8^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 64 + 64} = \sqrt{132} = 2\sqrt{33} \)
\( \therefore |\vec{AC}| = |\vec{AB}| + |\vec{BC}| \)
अतः, बिंदु A, B, और C संरेख हैं।

मुख्य बिंदु:

• तीन बिंदु संरेख होते हैं यदि किन्हीं दो दूरियों (या परिमाणों) का योग तीसरी दूरी के बराबर हो।
• यहाँ \( |\vec{AC}| = |\vec{AB}| + |\vec{BC}| \) संबंध संतुष्ट होता है।
• सदिशों के परिमाण दूरी सूत्र के समान ही होते हैं।

आम गलतियाँ:

• सदिशों के परिमाण निकालने में वर्गमूल के अंदर गलती करना।
• संरेखता की शर्त में सदिशों के बजाय केवल अदिश घटकों की तुलना में भूल करना।

Exam Tips:

a) संरेखता सिद्ध करने के लिए तीनों भुजाओं के सदिश निकालकर उनके परिमाण ज्ञात करें।
b) देखें कि कौन सी दो लंबाईयों का योग तीसरी के बराबर है।
c) आप इसे यह भी दिखा सकते हैं कि एक सदिश दूसरे का अदिश गुणज है (\(\vec{AC} = 2\vec{AB}\))।

Question 17: दर्शाइए कि सदिश \( 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \), \( \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k} \) और \( 3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k} \) एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों की रचना करते हैं।

Answer:

माना, सदिश \( 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \), \( \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k} \) और \( 3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k} \) क्रमशः बिन्दुओं A, B, और C के स्थिति सदिश हैं।
अर्थात \( \vec{OA} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \), \( \vec{OB} = \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k} \) और \( \vec{OC} = 3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k} \)
यहाँ, सदिश \( \vec{AB} \), \( \vec{BC} \) और \( \vec{AC} \) त्रिभुज की भुजाओं को दर्शाते हैं।
इसलिए, \( \vec{AB} = (1 - 2)\hat{i} + (-3 - (-1))\hat{j} + (-5 - 1)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k} \)
\( \vec{BC} = (3 - 1)\hat{i} + (-4 - (-3))\hat{j} + (-4 - (-5))\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \)
\( \vec{AC} = (3 - 2)\hat{i} + (-4 - (-1))\hat{j} + (-4 - 1)\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k} \)
\( |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 4 + 36} = \sqrt{41} \)
\( |\vec{BC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \)
\( |\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35} \)
\( |\vec{BC}|^2 + |\vec{AC}|^2 = 6 + 35 = 41 = |\vec{AB}|^2 \)
अतः, \( \Delta ABC \) एक समकोण त्रिभुज है।

मुख्य बिंदु:

• समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय (\( \text{कर्ण}^2 = \text{आधार}^2 + \text{लंब}^2 \)) का पालन होना चाहिए।
• तीनों भुजाओं की लंबाई (परिमाण के वर्ग) ज्ञात की गई है।
• सबसे बड़ी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर पाया गया है।

आम गलतियाँ:

• स्थिति सदिशों से भुजाओं के सदिश निकालते समय चिन्ह की गलती करना।
• परिमाण के वर्ग निकालते समय वर्गमूल हटाना भूल जाना।

Exam Tips:

a) पहले तीनों भुजाओं के सदिश निकालें, फिर उनके परिमाण ज्ञात करें।
b) पाइथागोरस प्रमेय की जाँच करने के लिए परिमाणों के वर्गों को आपस में जोड़कर देखें।
c) अंत में स्पष्ट रूप से उल्लेख करें कि त्रिभुज समकोण है।

Question 18: यदि शून्येतर सदिश \( \vec{a} \) का परिमाण \( a \) है और \( \lambda \vec{a} \) एक मात्रक सदिश है तो \( \lambda \) का मान है:
(A) \( \lambda = 1 \)
(B) \( \lambda = -1 \)
(C) \( \lambda = |\vec{a}| \)
(D) \( a = \frac{1}{|\vec{a}|} \)

Answer:

सदिश \( \lambda\vec{a} \) एक मात्रक सदिश होगा यदि \( |\lambda\vec{a}| = 1 \)
इसलिए, \( |\lambda| |\vec{a}| = 1 \)
\( \Rightarrow |\lambda| a = 1 \) [जहाँ \( |\vec{a}| = a \)]
\( \Rightarrow |\lambda| = \frac{1}{a} \)
\( \Rightarrow \lambda = \pm \frac{1}{a} \) (या विकल्प के अनुसार \( |\lambda| = \frac{1}{|\vec{a}|} \) या संबंधित रूप)
अतः, सही विकल्प (D) सही है (जहाँ \( a = \frac{1}{|\vec{a}|} \) या \( |\lambda| = \frac{1}{|\vec{a}|} \) के रूप में प्रदर्शित है)।

मुख्य बिंदु:

• मात्रक सदिश का परिमाण सदैव \( 1 \) होता है।
• अदिश गुणन या परिमाण गुणधर्म के अनुसार \( |\lambda\vec{a}| = |\lambda| |\vec{a}| \) होता है।
• \( \lambda \) का मान सदिश के परिमाण के व्युत्क्रम के बराबर होता है।

आम गलतियाँ:

• मापांक (absolute value) को ध्यान में न रखना।
• विकल्पों को बिना हल किए केवल अनुमान लगाना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में सीधे परिभाषा का प्रयोग करें।
b) मात्रक सदिश की शर्त \( |\text{सदिश}| = 1 \) को हमेशा याद रखें।
c) सही विकल्प का चयन सावधानी से करें।