NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 10 Vector Algebra (सदिश बीजगणित) Exercise 10.2 in Hindi

Question 1: निम्नलिखित सदिशों के परिमाण का परिकलन कीजिए:
\( \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \) ; \( \vec{b} = 2\hat{i} - 7\hat{j} - 3\hat{k} \) ; \( \vec{c} = \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} - \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k} \)

Answer:

दी गई सदिश राशियाँ हैं:
\( \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \)
\( \vec{b} = 2\hat{i} - 7\hat{j} - 3\hat{k} \)
\( \vec{c} = \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} - \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k} \)
अतः सदिशों के परिमाण निम्नलिखित होंगे:
\( |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \)
\( |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-7)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 49 + 9} = \sqrt{62} \)
\( |\vec{c}| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = \sqrt{1} = 1 \)

मुख्य बिंदु:

• किसी सदिश \( \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \) का परिमाण \( \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \) होता है।
• ऋणात्मक घटकों का वर्ग भी धनात्मक होता है।
• इकाई सदिश का परिमाण हमेशा 1 होता है।

आम गलतियाँ:

• ऋणात्मक चिह्न का वर्ग करते समय चिह्न को बाहर छोड़ देना।
• वर्गमूल निकालते समय गलती करना।
• घटकों के गुणांकों को सही से न पहचानना।

Exam Tips:

a) परिमाण निकालते समय प्रत्येक घटक का वर्ग सावधानीपूर्वक करें।
b) अंतिम उत्तर में वर्गमूल का चिह्न लगाना न भूलें।
c) चिह्न सहित घटकों को सूत्र में रखें।

Question 2: समान परिमाण वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।

Answer:

माना \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) दो विभिन्न सदिश इस प्रकार हैं:
\( \vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} \)
और \( \vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k} \)
अब, इनके परिमाण ज्ञात करने पर:
\( |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \)
\( |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \)
अतः ये दोनों सदिश भिन्न हैं परन्तु इनके परिमाण समान हैं।

मुख्य बिंदु:

• विभिन्न सदिशों के घटक अलग-अलग होते हैं।
• समान परिमाण का अर्थ है कि उनके परिमाण का मान बराबर है।
• ऐसे अनंत सदिश संभव हैं।

आम गलतियाँ:

• समान सदिश और समान परिमाण वाले सदिश में भ्रमित होना।
• घटक समान लिख देना जिससे सदिश भी समान हो जाएं।

Exam Tips:

a) विभिन्न सदिश लिखने के लिए घटकों के क्रम या उनके चिह्न बदल दें।
b) परिमाण की गणना करके दिखाएं कि वे बराबर हैं।
c) सरल संख्याओं का प्रयोग करें।

Question 3: समान दिशा वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।

Answer:

माना दो विभिन्न सदिश \( \vec{p} \) और \( \vec{q} \) इस प्रकार हैं:
\( \vec{p} = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k} \)
और \( \vec{q} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k} \)
अब, सदिश \( \vec{p} \) का दिक् cosine निम्नलिखित है:
\( l = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 3^2}} = \frac{1}{\sqrt{11}}, m = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 3^2}} = \frac{1}{\sqrt{11}}, n = \frac{3}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{11}} \)
सदिश \( \vec{q} \) का दिक् cosine निम्नलिखित है:
\( l = \frac{2}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 6^2}} = \frac{2}{\sqrt{44}} = \frac{1}{\sqrt{11}}, m = \frac{2}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 6^2}} = \frac{2}{\sqrt{44}} = \frac{1}{\sqrt{11}}, n = \frac{6}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 6^2}} = \frac{6}{\sqrt{44}} = \frac{3}{\sqrt{11}} \)
यहाँ, सदिश \( \vec{p} \) व \( \vec{q} \) भिन्न हैं परन्तु उनके दिक् cosines समान हैं। अतः दोनों एक ही दिशा में हैं।

मुख्य बिंदु:

• समान दिशा वाले सदिशों के दिक् cosines समान होते हैं।
• एक सदिश दूसरे का अदिश गुणज होता है।
• परिमाण भिन्न हो सकते हैं।

आम गलतियाँ:

• केवल परिमाण को समान मान लेना।
• दिक् cosines की गणना में गलती करना।

Exam Tips:

a) एक सदिश लेकर उसमें किसी धनात्मक संख्या से गुणा करके दूसरा सदिश बनाएं।
b) दिक् cosines निकालकर उनकी तुलना करें।
c) स्पष्ट रूप से बताएं कि सदिश भिन्न क्यों हैं।

Question 4: \( x \) और \( y \) के मान ज्ञात कीजिए ताकि सदिश \( 2\hat{i} + 3\hat{j} \) और \( x\hat{i} + y\hat{j} \) समान हों।

Answer:

दो सदिश \( 2\hat{i} + 3\hat{j} \) और \( x\hat{i} + y\hat{j} \) समान होंगे यदि उनके संगत भाग बराबर हों।
अतः \( x \) और \( y \) का मान क्रमशः 2 और 3 है।

मुख्य बिंदु:

• दो सदिश तभी समान होते हैं जब उनके संगत घटक समान हों।
• \( \hat{i} \) के गुणांक की तुलना \( \hat{i} \) से और \( \hat{j} \) के गुणांक की तुलना \( \hat{j} \) से की जाती है।

आम गलतियाँ:

• घटकों की तुलना उल्टी करना।
• \( x \) और \( y \) के मानों को आपस में बदल देना।

Exam Tips:

a) संगत घटकों को आमने-सामने लिखकर तुलना करें।
b) उत्तर को स्पष्ट रूप से अलग-अलग लिखें।
c) मूल परिभाषा का उल्लेख करें।

Question 5: एक सदिश का प्रारंभिक बिंदु \( (2, 1) \) है और अंतिम बिंदु \( (-5, 7) \) है। इस सदिश के अदिश एवं सदिश घटक ज्ञात कीजिए।

Answer:

प्रारंभिक बिंदु \( P(2, 1) \) और अंतिम बिंदु \( Q(-5, 7) \) से बना सदिश निम्नलिखित है:
\( \vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (-5\hat{i} + 7\hat{j}) - (2\hat{i} + \hat{j}) = -7\hat{i} + 6\hat{j} \)
अतः, इस सदिश के अदिश घटक \( -7 \) और \( 6 \) हैं जबकि सदिश घटक \( -7\hat{i} \) और \( 6\hat{j} \) हैं।

मुख्य बिंदु:

• स्थिति सदिश अंतिम बिंदु में से प्रारंभिक बिंदु को घटाकर निकाला जाता है।
• अदिश घटक केवल गुणांक होते हैं।
• सदिश घटक इकाई सदिश के साथ होते हैं।

आम गलतियाँ:

• प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं को उल्टा घटा देना।
• अदिश और सदिश घटकों में अंतर न समझना।

Exam Tips:

a) हमेशा \( \vec{OQ} - \vec{OP} \) सूत्र का प्रयोग करें।
b) घटकों को अलग-अलग स्पष्ट रूप से लिखें।
c) चिह्नों की सावधानी रखें।

Question 6: सदिश \( \vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \), \( \vec{b} = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k} \) और \( \vec{c} = \hat{i} - 6\hat{j} - 7\hat{k} \) का योगफल ज्ञात कीजिए।

Answer:

दी गई सदिश राशियाँ \( \vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \), \( \vec{b} = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k} \) और \( \vec{c} = \hat{i} - 6\hat{j} - 7\hat{k} \) हैं, इसलिए
\( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) + (-2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}) + (\hat{i} - 6\hat{j} - 7\hat{k}) \)
\( = (1 - 2 + 1)\hat{i} + (-2 + 4 - 6)\hat{j} + (1 + 5 - 7)\hat{k} \)
\( = 0\hat{i} - 4\hat{j} - 1\hat{k} = -4\hat{j} - \hat{k} \)

मुख्य बिंदु:

• सदिशों का योग उनके संगत घटकों को जोड़कर किया जाता है।
• \( \hat{i} \) वाले पद आपस में, \( \hat{j} \) वाले पद आपस में और \( \hat{k} \) वाले पद आपस में जुड़ते हैं।

आम गलतियाँ:

• जोड़ते समय चिह्नों की गलती करना।
• शून्य गुणांक वाले पद को गलत लिखना।

Exam Tips:

a) समान इकाई सदिशों के गुणांकों को एक ब्रैकेट में लिखें।
b) योग करते समय रफ कार्य में चिह्न जांच लें।
c) अंतिम परिणाम को सरल रूप में लिखें।

Question 7: सदिश \( \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k} \) के अनुदिश एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।

Answer:

किसी सदिश \( \vec{a} \) के अनुदिश एक मात्रक सदिश इस प्रकार है:
\( \hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \)
यहाँ, \( |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \), इसलिए
\( \hat{a} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{j} + \frac{2}{\sqrt{6}}\hat{k} \)

मुख्य बिंदु:

• किसी सदिश के अनुदिश मात्रक सदिश, उस सदिश को उसके परिमाण से भाग देकर प्राप्त किया जाता है।
• मात्रक सदिश का परिमाण हमेशा 1 होता है।

आम गलतियाँ:

• सदिश में उसके परिमाण से गुणा करना बजाय भाग देने के।
• परिमाण निकालने में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) पहले दिए गए सदिश का परिमाण निकालें।
b) सूत्र \( \hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \) लिखें।
c) प्रत्येक घटक को अलग-अलग परिमाण से विभाजित करें।

Question 8: सदिश \( \vec{PQ} \) के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदु P और Q क्रमशः \( (1, 2, 3) \) और \( (4, 5, 6) \) हैं।

Answer:

दिए गए बिंदु क्रमशः \( P(1, 2, 3) \) और \( Q(4, 5, 6) \) हैं। इसलिए
\( \vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k} \)
सदिश \( \vec{PQ} \) के अनुदिश एक मात्रक सदिश है: \( \frac{\vec{PQ}}{|\vec{PQ}|} \)
यहाँ, \( |\vec{PQ}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \), इसलिए
\( \frac{\vec{PQ}}{|\vec{PQ}|} = \frac{3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k} \)

मुख्य बिंदु:

• पहले दो बिंदुओं से सदिश \( \vec{PQ} \) ज्ञात किया जाता है।
• फिर उस सदिश का मात्रक सदिश निकाला जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( \vec{OP} \) में से \( \vec{OQ} \) घटाना।
• \( \sqrt{27} \) को सरल करने में गलती करना।

Exam Tips:

a) स्थिति सदिशों का अंतर सावधानी से निकालें।
b) वर्गमूल को सरलतम रूप में बदलें।
c) अंश और हर में समान पदों को काटें।

Question 9: दिए हुए सदिशों \( \vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} \) और \( \vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \) के लिए, सदिश \( \vec{a} + \vec{b} \) के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।

Answer:

दी गई सदिश राशियाँ \( \vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} \) और \( \vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \) हैं, इसलिए
\( \vec{a} + \vec{b} = (2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + (-\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \)
\( = (2 - 1)\hat{i} + (-1 + 1)\hat{j} + (2 - 1)\hat{k} \)
\( = \hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k} = \hat{i} + \hat{k} \)
अब \( \vec{a} + \vec{b} \) के अनुदिश एक मात्रक सदिश निम्नलिखित है:
\( \frac{\vec{a} + \vec{b}}{|\vec{a} + \vec{b}|} \)
यहाँ, \( |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \), इसलिए, एक मात्रक सदिश निम्नलिखित है:
\( \frac{\vec{a} + \vec{b}}{|\vec{a} + \vec{b}|} = \frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k} \)

मुख्य बिंदु:

• पहले दोनों सदिशों का योग ज्ञात करना आवश्यक है।
• योग के पश्चात प्राप्त सदिश का मात्रक सदिश निकाला जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) के अलग-अलग मात्रक सदिश निकालकर जोड़ देना।
• शून्य घटक वाले पद को गलत गणना में लेना।

Exam Tips:

a) चरणबद्ध तरीके से पहले योग करें फिर मात्रक सदिश निकालें।
b) योगफल का परिमाण ध्यान से ज्ञात करें।
c) अंतिम उत्तर को मानक रूप में लिखें।

Question 10: सदिश \( 5\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} \) के अनुदिश एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 8 इकाई है।

Answer:

माना \( \vec{a} = 5\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} \), इसलिए
\( |\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 1 + 4} = \sqrt{30} \)
सदिश \( \vec{a} \) के अनुदिश एक मात्रक सदिश निम्नलिखित है:
\( \hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{5\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{30}} \)
अतः, सदिश \( 5\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} \) के अनुदिश एक सदिश जिसका परिमाण 8 इकाई हो, निम्नलिखित है:
\( 8\hat{a} = 8 \left(\frac{5\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{30}}\right) = \frac{40}{\sqrt{30}}\hat{i} - \frac{8}{\sqrt{30}}\hat{j} + \frac{16}{\sqrt{30}}\hat{k} \)

मुख्य बिंदु:

• किसी निश्चित परिमाण का सदिश ज्ञात करने के लिए पहले मात्रक सदिश निकाला जाता है।
• वांछित परिमाण से मात्रक सदिश में गुणा कर दिया जाता है।

आम गलतियाँ:

• सीधे दिए गए सदिश में 8 से गुणा कर देना।
• परिमाण की गणना में गलती करना।

Exam Tips:

a) पहले मात्रक सदिश ज्ञात करें।
b) दिए गए संख्यात्मक परिमाण (यहाँ 8) से मात्रक सदिश को गुणा करें।
c) उत्तर को अदिश गुणन के रूप में स्पष्ट दिखाएं।

Question 11: दर्शाइए कि सदिश \( 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k} \) और \( -4\hat{i} + 6\hat{j} - 8\hat{k} \) संरेख हैं।

Answer:

माना \( \vec{a} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k} \) और \( \vec{b} = -4\hat{i} + 6\hat{j} - 8\hat{k} \)
यहाँ, \( \vec{b} = -4\hat{i} + 6\hat{j} - 8\hat{k} = -2(2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}) = -2\vec{a} \)
\( \Rightarrow \vec{b} = \lambda\vec{a} \), जहाँ \( \lambda = -2 \)
अतः, सदिश \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) संरेख हैं।

मुख्य बिंदु:

• दो सदिश \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) संरेख होते हैं यदि \( \vec{b} = \lambda\vec{a} \) हो।
• यहाँ \( \lambda \) कोई अदिश है।

आम गलतियाँ:

• संरेखता दिखाने के लिए केवल परिमाण की तुलना करना।
• उभयनिष्ठ अदिश गुणांक को सही से न पहचानना।

Exam Tips:

a) एक सदिश को दूसरे सदिश के अदिश गुणन के रूप में व्यक्त करें।
b) \( \lambda \) का मान स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) निष्कर्ष अवश्य लिखें।

Question 12: सदिश \( \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \) की दिक् cosine ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना \( \vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \), इसलिए
\( |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \)
सदिश \( \vec{a} \) के अनुदिश एक मात्रक सदिश है:
\( \hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}}{\sqrt{14}} = \frac{1}{\sqrt{14}}\hat{i} + \frac{2}{\sqrt{14}}\hat{j} + \frac{3}{\sqrt{14}}\hat{k} \)
अतः, सदिश \( \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \) की दिक् cosine निम्नलिखित हैं:
\( \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}} \)

मुख्य बिंदु:

• किसी सदिश के मात्रक सदिश के अदिश घटक ही उसकी दिक् cosines होती हैं।
• दिक् cosines को \( l, m, n \) से दर्शाया जाता है।

आम गलतियाँ:

• केवल घटक लिखकर छोड़ देना, परिमाण से भाग न देना।
• वर्गमूल की गणना में गलती करना।

Exam Tips:

a) पहले सदिश का परिमाण निकालें।
b) मात्रक सदिश के गुणांकों को अलग से दिक् cosines के रूप में लिखें।
c) उत्तर को क्रमित युग्म या अलग-अलग स्पष्ट रूप में प्रदर्शित करें।

Question 13: बिन्दुओं \( A(1, 2, -3) \) एवं \( B(-1, -2, 1) \) को मिलाने वाले एवं A से B की तरफ दिष्ट सदिश की दिक् cosine ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिए गए बिंदु \( A(1, 2, -3) \) और \( B(-1, -2, 1) \) हैं। इसलिए
\( \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (-\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) = -2\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k} \)
सदिश \( \vec{AB} \) के अनुदिश एक मात्रक सदिश निम्नलिखित है:
\( \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} \)
यहाँ, \( |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6 \), इसलिए
\( \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} = \frac{-2\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}}{6} = -\frac{1}{3}\hat{i} - \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k} \)
अतः, सदिश \( \vec{AB} \) की दिक् cosine निम्नलिखित हैं:
\( -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \)

मुख्य बिंदु:

• A से B की तरफ सदिश \( \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} \) होता है।
• दिक् cosines मात्रक सदिश के घटक होते हैं।

आम गलतियाँ:

• \( \vec{OA} - \vec{OB} \) निकाल लेना।
• परिमाण निकालते समय ऋणात्मक चिह्नों का वर्ग गलत करना।

Exam Tips:

a) दिशा का ध्यान रखते हुए स्थिति सदिश का अंतर निकालें।
b) मात्रक सदिश प्राप्त करने के लिए परिमाण से भाग दें।
c) दिक् cosines को स्पष्ट रूप से अलग दर्शाएं।

Question 14: दर्शाइए कि सदिश \( \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \) अक्षों OX, OY एवं OZ के साथ बराबर झुका हुआ है।

Answer:

माना \( \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \), इसलिए
\( |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \)
सदिश \( \vec{a} \) के अनुदिश एक मात्रक सदिश निम्नलिखित है:
\( \hat{a} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k} \)
अतः, सदिश \( \vec{a} \) के दिक् cosine निम्नलिखित हैं:
\( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \)
माना, सदिश \( \vec{a} \) अक्षों \( x, y \) और \( z \) से क्रमशः \( \alpha, \beta \) और \( \gamma \) कोण बनाती है। इसलिए
\( \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}, \cos\beta = \frac{1}{\sqrt{3}}, \cos\gamma = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
अतः, सदिश \( \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \) अक्षों OX, OY एवं OZ के साथ बराबर झुका हुआ है।

मुख्य बिंदु:

• किसी सदिश का अक्षों के साथ झुकाव उसकी दिक् cosines \( (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) \) द्वारा निर्धारित होता है।
• यदि दिक् cosines समान हैं, तो कोण भी समान होते हैं।

आम गलतियाँ:

• दिक् cosines और कोणों में अंतर न समझना।
• परिमाण निकालने में गलती करना।

Exam Tips:

a) पहले दिक् cosines ज्ञात करें।
b) दिखाएं कि तीनों दिक् cosines आपस में बराबर हैं।
c) निष्कर्ष दें कि कोण भी समान हैं।

Question 15: बिन्दुओं \( P(\vec{a}) \) और \( Q(\vec{b}) \) को मिलाने वाली रेखा को \( 2:1 \) के अनुपात में (i) अंत: (ii) बाह्य, विभाजित करने वाले बिंदु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

Answer:

बिन्दुओं \( p \) और \( q \) के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं: \( \vec{OP} = \vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} \) और \( \vec{OQ} = \vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \)
(i) बिंदु R का स्थिति सदिश, जो बिन्दुओं P और Q को मिलाने वाली रेखा को \( 2:1 \) में अंत: विभाजित करता है, इस प्रकार है:
\( \vec{OR} = \frac{2(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + 1(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})}{2 + 1} = \frac{-2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} + \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{3} = -\frac{1}{3}\hat{i} + \frac{4}{3}\hat{j} + \frac{1}{3}\hat{k} \)
(ii) बिंदु R का स्थिति सदिश, जो बिन्दुओं P और Q को मिलाने वाली रेखा को \( 2:1 \) में बाह्य विभाजित करता है, इस प्रकार है:
\( \vec{OR} = \frac{2(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 1(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})}{2 - 1} = \frac{-2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} - \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}}{1} = -3\hat{i} + 0\hat{j} + 3\hat{k} = -3\hat{i} + 3\hat{k} \)

मुख्य बिंदु:

• अंतः विभाजन सूत्र: \( \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n} \)
• बाह्य विभाजन सूत्र: \( \frac{m\vec{b} - n\vec{a}}{m - n} \)

आम गलतियाँ:

• अंतः और बाह्य सूत्रों के चिह्नों में भ्रमित होना।
• \( m \) और \( n \) के मानों को गलत जगह रखना।

Exam Tips:

a) दोनों सूत्रों को स्पष्ट रूप से लिखकर मान रखें।
b) गुणा करते समय चिह्नों की सावधानी बरतें।
c) हर को सरल करके अंतिम उत्तर लिखें।

Question 16: दो बिंदुओं P(2, 3, 4) और Q(4, 1, -2) को मिलाने वाले सदिश का मध्य बिंदु ज्ञात कीजिए।

Answer:

बिन्दुओं \( P(2, 3, 4) \) और \( Q(4, 1, -2) \) को मिलाने वाले सदिश के मध्य बिंदु R के अनुदिश स्थिति सदिश है:
\( \vec{OR} = \frac{(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) + (4\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})}{2} \)
\( \vec{OR} = \frac{6\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}}{2} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} \)

मुख्य बिंदु:

• मध्य बिंदु का स्थिति सदिश दोनों बिंदुओं के स्थिति सदिशों के योग का आधा होता है।
• सूत्र: \( \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \)

आम गलतियाँ:

• मध्य बिंदु निकालते समय घटा देना।
• 2 से भाग देना भूल जाना।

Exam Tips:

a) मध्य बिंदु सूत्र का प्रयोग करें।
b) संगत घटकों को जोड़कर 2 से भाग दें।
c) उत्तर को सदिश रूप में व्यक्त करें।

Question 17: दर्शाइए कि बिंदु A, B और C, जिनके स्थिति सदिश क्रमशः \( \vec{a} = 3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k} \), \( \vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \) और \( \vec{c} = \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k} \) हैं, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।

Answer:

बिन्दुओं A, B और C के अनुदिश स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:
\( \vec{OA} = 3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k} \)
\( \vec{OB} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \)
\( \vec{OC} = \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k} \)
इसलिए, त्रिभुज की भुजाओं के सदिश होंगे:
\( \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}) = -\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k} \)
\( \vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}) - (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = -\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k} \)
\( \vec{CA} = \vec{OA} - \vec{OC} = (3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}) - (\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}) = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \)
अब, भुजाओं की लंबाई (परिमाण) ज्ञात करने पर:
\( |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35} \Rightarrow |\vec{AB}|^2 = 35 \)
\( |\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 4 + 36} = \sqrt{41} \Rightarrow |\vec{BC}|^2 = 41 \)
\( |\vec{CA}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \Rightarrow |\vec{CA}|^2 = 6 \)
यहाँ, \( |\vec{AB}|^2 + |\vec{CA}|^2 = 35 + 6 = 41 = |\vec{BC}|^2 \)
अतः, त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है।

मुख्य बिंदु:

• समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय \( (\text{आधार})^2 + (\text{लंब})^2 = (\text{कर्ण})^2 \) संतुष्ट होनी चाहिए।
• तीनों भुजाओं के सदिश निकाल कर उनके परिमाण का वर्ग निकाला जाता है।

आम गलतियाँ:

• सदिश निकालते समय क्रम गलत लिखना।
• पाइथागोरस संबंध की जाँच में गलती करना।

Exam Tips:

a) त्रिभुज की तीनों भुजाओं \( \vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CA} \) को निकालें।
b) उनके परिमाणों के वर्ग ज्ञात करें।
c) पाइथागोरस प्रमेय की संतुष्टि को स्पष्ट रूप से दिखाएं।

Question 18: त्रिभुज ABC के लिए निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है:
(A) \( \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0} \)
(B) \( \vec{AB} + \vec{BC} - \vec{AC} = \vec{0} \)
(C) \( \vec{AB} + \vec{BC} - \vec{CA} = \vec{0} \)
(D) \( \vec{AB} - \vec{CB} + \vec{CA} = \vec{0} \)

Answer:

त्रिभुज नियम का प्रयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है:
\( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \)     ...(1)
\( \Rightarrow \vec{AB} + \vec{BC} - \vec{AC} = \vec{0} \)     ...(2)
अतः, विकल्प (B) सत्य है।
समीकरण (1) से, \( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \)
चूँकि \( \vec{AC} = -\vec{CA} \), इसलिए:
\( \vec{AB} + \vec{BC} + (-\vec{CA}) = \vec{0} \)
\( \Rightarrow \vec{AB} + \vec{BC} - \vec{CA} = \vec{0} \)
अतः, विकल्प (A) भी सत्य है।
समीकरण (2) से, \( \vec{AB} - \vec{CB} + \vec{CA} = 0 \) को जांचने पर यह भी त्रिभुज के नियमों के अनुसार सही बैठता है।
अतः, विकल्प (C) सत्य नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• त्रिभुज नियम के अनुसार \( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \) होता है।
• सदिशों के विपरीत क्रम में \( \vec{AC} = -\vec{CA} \) होता है।

आम गलतियाँ:

• सदिशों के दिशा परिवर्तन के नियमों में भ्रमित होना।
• विकल्पों के चिह्नों को ध्यान से न पढ़ना।

Exam Tips:

a) त्रिभुज नियम का मूल समीकरण लिखें।
b) प्रत्येक विकल्प को सदिश योग के नियमों से जांचें।
c) सही और गलत कथनों को अलग पहचानें।

Question 19: यदि \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) दो संरेख सदिश हैं तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है:
(A) \( \vec{b} = \lambda\vec{a} \), ਕਿਸी अदिश \( \lambda \) के लिए
(B) \( \vec{b} = \pm\vec{a} \)
(C) \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) के क्रमागत घटक समानुपाती नहीं हैं।
(D) दोनों सदिशों \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) की दिशा समान है परन्तु परिमाण विभिन्र हैं।

Answer:

यदि सदिश \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) संरेख हैं तो वे समांतर भी होंगे। इसलिए, \( \vec{b} = \lambda\vec{a} \) (किसी अदिश \( \lambda \) के लिए)। अतः, विकल्प (A) सही है।
यदि \( \lambda = \pm 1 \), तो \( \vec{b} = \pm\vec{a} \) । अतः, विकल्प (B) सही है।
यदि सदिश \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) संरेख हैं तो उनके क्रमागत घटक समानुपाती होते हैं। अतः, कथन "उनके क्रमागत घटक समानुपाती नहीं हैं" सही नहीं है।
अतः, विकल्प (C) सही नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• संरेख सदिशों के घटक हमेशा समानुपाती होते हैं।
• संरेख सदिशों को एक दूसरे کے अदिश गुणन के रूप में लिखा जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• "कौन सा सही नहीं है" प्रश्न को ठीक से न पढ़कर सही विकल्प चुन लेना।
• संरेखता और समानुपात के संबंध को भूल जाना।

Exam Tips:

a) प्रश्न में पूछे गए नकारात्मक कथन ("कौन सा सही नहीं है") पर विशेष ध्यान दें।
b) संरेख सदिशों के सभी गुणों को याद रखें।
c) प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करें।