NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 10 Vector Algebra (सदिश बीजगणित) Exercise 10.1 in Hindi

Question 1: उत्तर से \( 30^\circ \) पूर्व में \( 40 \text{ km} \) के विस्थापन का आलेखीय निरूपण कीजिए।

Answer:

पैमाना \( 1 \text{ cm} = 10 \text{ इकाई} \) लीजिए।
यहाँ सदिश \( \vec{OP} \), उत्तर से \( 30^\circ \) पूर्व में \( 40 \text{ km} \) के विस्थापन को निरूपित करता है।
रेखाखंड \( OP \) की लंबाई \( 4 \text{ cm} \) होगी जो पूर्व से उत्तर की ओर \( 30^\circ \) का कोण बनाती है।

मुख्य बिंदु:

• विस्थापन एक सदिश राशि है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
• आलेखीय निरूपण के लिए उचित पैमाने का चयन करना आवश्यक है।
• तीर का निशान सदिश की दिशा को इंगित करता है।

आम गलतियाँ:

• दिशा गलत कोण पर अंकित करना।
• पैमाने को ध्यान में न रखकर गलत लंबाई की रेखा खींचना।
• सदिश पर तीर का निशान न लगाना।

Exam Tips:

a) हमेशा पैमाने को स्पष्ट रूप से आलेख के पास लिखें।
b) कोण को चांदा (Protractor) की सहायता से सटीक मापें।
c) दिशाओं (उत्तर, दक्षिण, पूर्व, पश्चिम) को सही आरेखीय स्थिति में दर्शाएँ।

Question 2: निम्नलिखित मापों को अदिश एवं सदिश के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए:
(i) \( 10 \text{ kg} \)
(ii) \( 2 \text{ मीटर उत्तर - पश्चिम} \)
(iii) \( 40^\circ \)
(iv) \( 40 \text{ वाट} \)
(v) \( 10^{-19} \text{ कूलंब} \)
(vi) \( 20 \text{ m/s}^2 \)

Answer:

(i) \( 10 \text{ kg} \) एक अदिश राशि है क्योंकि इसमें केवल परिमाण है दिशा नहीं है।
(ii) \( 2 \text{ मीटर उत्तर पश्चिम} \) में परिमाण एवं दिशा दोनों हैं। अतः यह एक सदिश राशि है।
(iii) \( 40^\circ \) में केवल परिमाण है, अतः यह एक अदिश राशि है।
(iv) \( 40 \text{ वाट} \) में केवल परिमाण है, अतः यह एक अदिश राशि है।
(v) \( 10^{-19} \text{ कूलंब} \) में केवल परिमाण है, अतः यह एक अदिश राशि है।
(vi) \( 20 \text{ m/s}^2 \) में परिमाण तथा दिशा दोनों हैं, अतः यह एक सदिश राशि है।

मुख्य बिंदु:

• अदिश राशियों में केवल परिमाण होता है।
• सदिश राशियों में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
• त्वरण और बल जैसी राशियाँ सदिश होती हैं।

आम गलतियाँ:

• मात्रक देखकर भ्रमित होना।
• दिशा की उपस्थिति या अनुपस्थिति को नजरअंदाज करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक माप के साथ दी गई इकाई और दिशा को ध्यान से पढ़ें।
b) उत्तर लिखते समय कारण भी स्पष्ट करें ताकि पूर्ण अंक मिल सकें।

Question 3: निम्नलिखित को अदिश एवं सदिश राशियों के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए:
(i) समय कालांश
(ii) दूरी
(iii) बल
(iv) वेग
(v) कार्य

Answer:

(i) समय कालांश के केवल परिमाण है, अतः यह एक अदिश राशि है।
(ii) दूरी में केवल परिमाण है, अतः यह एक अदिश राशि है।
(iii) बल में परिमाण के साथ - साथ दिशा भी होती है, अतः यह एक सदिश राशि है।
(iv) वेग में परिमाण के साथ - साथ दिशा भी होती है, अतः यह एक सदिश राशि है।
(v) कार्य में केवल परिमाण है, अतः यह एक अदिश राशि है।

मुख्य बिंदु:

• भौतिक राशियों के मूल गुणों (परिमाण और दिशा) को समझना आवश्यक है।
• कार्य और ऊर्जा अदिश राशियाँ हैं जबकि बल और वेग सदिश राशियाँ हैं।

आम गलतियाँ:

• वेग और चाल या दूरी और विस्थापन को एक समझना।
• कार्य को सदिश मान लेना क्योंकि इसमें बल और विस्थापन शामिल होते हैं।

Exam Tips:

a) भौतिकी और गणित दोनों के दृष्टिकोण से राशियों की परिभाषा याद रखें।
b) प्रत्येक भाग का उत्तर अलग-अलग स्पष्ट रूप से दें।

Question 4: आकृति (एक वर्ग) में निम्नलिखित सदिशों को पहचानिए:
(i) सह - आदिम
(ii) समान
(iii) संरेख परंतु असमान

Answer:

(i) सदिश \( \vec{a} \) और \( \vec{d} \) दोनों एक ही बिंदु से आरंभ होते हैं, अतः ये सह - आदिम हैं।
(ii) सदिश \( \vec{d} \) और \( \vec{b} \) दोनों ही समान परिमाण के हैं तथा दोनों की दिशा भी समान है। अतः, ये दोनों सदिश समान हैं।
(iii) सदिश \( \vec{a} \) और \( \vec{c} \) दोनों ही संरेख हैं परंतु उनकी दिशाएँ विपरीत हैं। अतः ये समान नहीं हैं।

मुख्य बिंदु:

• सह-आदिम सदिश वे होते हैं जिनका प्रारंभिक बिंदु एक ही होता है।
• समान सदिशों के परिमाण और दिशा दोनों समान होते हैं।
• संरेख सदिश एक ही रेखा के समांतर होते हैं।

आम गलतियाँ:

• विपरीत दिशा वाले संरेख सदिशों को समान समझ लेना।
• प्रारंभिक बिंदु की पहचान में गलती करना।

Exam Tips:

a) आकृति को ध्यान से देखकर प्रत्येक सदिश के तीर और आरंभिक बिंदु की जाँच करें।
b) परिभाषाओं के आधार पर ही वर्गीकरण करें।

Question 5: निम्नलिखित का उत्तर सत्य अथवा असत्य के रूप में दीजिए:
(i) \( \vec{a} \) तथा \( -\vec{a} \) संरेख हैं।
(ii) दो संरेख सदिशों का परिमाण सदैव समान होता है।
(iii) समान परिमाण वाले दो सदिश संरेख होते हैं।
(iv) समान परिमाण वाले दो संरेख सदिश समान होते हैं।

Answer:

(i) सत्य: सदिश \( \vec{a} \) और \( -\vec{a} \) एक ही रेखा के समांतर हैं।
(ii) असत्य: दो संरेख सदिशों के परिमाण भिन्न - भिन्न हो सकते हैं।
(iii) असत्य: समान परिमाण के दो सदिशों की दिशा भिन्न - भिन्न हो सकती है।
(iv) असत्य: समान परिमाण वाले दो संरेख सदिशों की दिशाएँ विपरीत हो सकती हैं।

मुख्य बिंदु:

• संरेख सदिशों के लिए केवल समांतर होना आवश्यक है, परिमाण का समान होना आवश्यक नहीं है।
• समान सदिशों के लिए परिमाण और दिशा दोनों का समान होना अनिवार्य है।

आम गलतियाँ:

• संरेख और समान सदिशों की शर्तों को आपस में मिला देना।
• विपरीत दिशा वाले संरेख सदिशों को समान मान लेना।

Exam Tips:

a) सत्य/असत्य प्रश्नों में प्रत्येक कथन की गणितीय परिभाषा से जाँच करें।
b) प्रति-उदाहरण (Counter-example) देकर अपने उत्तर की पुष्टि करें।