NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 09 Differential Equations (अवकल समीकरण) Miscellaneous Exercise in Hindi

Question 1: निम्नलिखित अवकल समीकरणों में से प्रत्येक की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।
(i) \( \frac{d^2y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - 6y = \log x \)
(ii) \( \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 - 4\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 7y = \sin x \)
(iii) \( \frac{d^4y}{dx^4} - \sin\left(\frac{d^3y}{dx^3}\right) = 0 \)

Answer:

(i) दी गई समीकरण है: \( \frac{d^2y}{dx^2} + 5x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - 6y = \log x \)
इस अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज \( \frac{d^2y}{dx^2} \) उपस्थित है, अतः कोटि = 2
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात 1 है, अतः घात = 1
(ii) दी गई समीकरण है: \( \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 - 4\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 7y = \sin x \)
उच्चतम कोटि का अवकलज \( \frac{dy}{dx} \) है, अतः कोटि = 1
इस अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि के अवकलज की घात 3 है, अतः घात = 3
(iii) दी गई समीकरण है: \( \frac{d^4y}{dx^4} - \sin\left(\frac{d^3y}{dx^3}\right) = 0 \)
उच्चतम कोटि का अवकलज \( \frac{d^4y}{dx^4} \) है, अतः कोटि = 4
चूँकि यह समीकरण अवकलज के पदों में बहुपद समीकरण नहीं है, अतः इसकी घात परिभाषित नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• किसी अवकल समीकरण की कोटि उसमें उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है।
• घात केवल तभी परिभाषित होती है जब समीकरण उच्चतम अवकलज में एक बहुपद हो।
• त्रिकोणमितीय फलनों के कोण के रूप में अवकलज होने पर घात अपरिभाषित हो जाती है।

आम गलतियाँ:

• प्रथम कोटि को हमेशा घात समझ लेना।
• त्रिकोणमितीय फलन के अंदर अवकलज होने पर भी घात लिख देना।
• कोटि और घात की परिभाषा में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) सबसे पहले समीकरण में उच्चतम कोटि के अवकलज को पहचानें।
b) घात लिखते समय जाँच लें कि समीकरण अवकलज का बहुपद है या नहीं।
c) यदि घात परिभाषित न हो, तो स्पष्ट रूप से कारण लिखें।

Question 2: निम्नलिखित प्रश्नों में प्रत्येक के लिए सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है:
(i) \( y = ae^x + be^{-x} + x^2 \) : \( x\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} - xy + x^2 - 2 = 0 \)
(ii) \( y = e^x(a\cos x + b\sin x) \) : \( \frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + 2y = 0 \)
(iii) \( y = x\sin 3x \) : \( \frac{d^2y}{dx^2} + 9y - 6\cos 3x = 0 \)
(iv) \( x^2 = 2y^2\log y \) : \( (x^2 + y^2)\frac{dy}{dx} - xy = 0 \)

Answer:

(i) दिया गया फलन: \( y = ae^x + be^{-x} + x^2 \)
प्रथम अवकलन करने पर: \( \frac{dy}{dx} = ae^x - be^{-x} + 2x \)
पुनः अवकलन करने पर: \( \frac{d^2y}{dx^2} = ae^x + be^{-x} + 2 \)
बायाँ पक्ष में मान रखने पर: \( x(ae^x + be^{-x} + 2) + 2(ae^x - be^{-x} + 2x) - x(ae^x + be^{-x} + x^2) + x^2 - 2 \)
हल करने पर बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं आता है, अतः यह हल नहीं है।
(ii) दिया गया फलन: \( y = e^x(a\cos x + b\sin x) \)
\( \frac{dy}{dx} = e^x(-a\sin x + b\cos x) + e^x(a\cos x + b\sin x) \)
\( \frac{d^2y}{dx^2} \) ज्ञात करके अवकल समीकरण में रखने पर बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष प्राप्त होता है।
(iii) दिया गया फलन: \( y = x\sin 3x \)
\( \frac{dy}{dx} = \sin 3x + 3x\cos 3x \)
\( \frac{d^2y}{dx^2} = 6\cos 3x - 9x\sin 3x \)
समीकरण में मान रखने पर: \( (6\cos 3x - 9x\sin 3x) + 9(x\sin 3x) - 6\cos 3x = 0 \) जो कि सत्य है।
(iv) \( x^2 = 2y^2\log y \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करके मान रखने पर बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर आता है।

मुख्य बिंदु:

• फलन को संतुष्ट करने के लिए उसके अवकलज को समीकरण में रखना होता है।
• यदि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर आ जाए, तो फलन समीकरण का हल होता है।
• उत्पाद नियम (Product Rule) और श्रृंखला नियम (Chain Rule) का सावधानी से प्रयोग करें।

आम गलतियाँ:

• द्वितीय कोटि के अवकलन में चिह्न की गलती करना।
• मान रखते समय गुणा करना भूल जाना।
• फलन को सीधे समीकरण में प्रतिस्थापित न करना।

Exam Tips:

a) फलन का प्रथम और द्वितीय अवकलन अलग-अलग साफ-सुथरा निकालें।
b) बायाँ पक्ष (LHS) लिखकर उसमें मान प्रतिस्थापित करें।
c) अंत में दिखाएँ कि LHS = RHS है।

Question 3: \( (x - a)^2 + 2y^2 = a^2 \), द्वारा निरूपित वक्रों के कुल अवकल समीकरण निर्मित कीजिए जहाँ a एक स्वेच्छा अचर है।

Answer:

दी गई समीकरण है: \( (x - a)^2 + 2y^2 = a^2 \)
इसे प्रसारित करने पर: \( x^2 + a^2 - 2ax + 2y^2 = a^2 \)
\( \Rightarrow 2y^2 = 2ax - x^2 \) ...(1)
समीकरण (1) का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( 4y\frac{dy}{dx} = 2a - 2x \)
\( \Rightarrow 2y\frac{dy}{dx} = a - x \)
\( \Rightarrow a = x + 2y\frac{dy}{dx} \) ...(2)
समीकरण (2) से \( a \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( 2y^2 = 2\left(x + 2y\frac{dy}{dx}\right)x - x^2 \)
इसे हल करने पर अभीष्ट अवकल समीकरण प्राप्त होता है: \( xy\frac{dy}{dx} + x^2 - 2y^2 = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• स्वेच्छा अचर की संख्या के बराबर अवकलन किया जाता है।
• अचर राशि को हटाने के लिए प्रारंभिक समीकरण का उपयोग करें।
• अवकल समीकरण में कोई भी स्वेच्छा अचर नहीं होना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• अवकलन करते समय अचर को न हटाना।
• समीकरणों को हल करते समय बीजगणितीय त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) जितने स्वेच्छा अचर हों, उतनी बार अवकलन करने के लिए तैयार रहें।
b) अचर का मान निकालकर मुख्य समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
c) अंतिम समीकरण से अचर को पूरी तरह विलुप्त कर दें।

Question 4: सिद्ध कीजिए कि \( (x^2 - 3xy^2)dx = (y^3 - 3x^2y)dy \) जहाँ c एक प्राचल है, अवकल समीकरण \( (x^3 - 3xy^2)dx = (y^3 - 3x^2y)dy \) का व्यापक हल है।

Answer:

दी गई समीकरण है: \( \frac{dy}{dx} = \frac{x^3 - 3xy^2}{y^3 - 3x^2y} \) ...(1)
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। अतः माना \( y = vx \)
अवकलन करने पर: \( \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} \)
मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x\frac{dv}{dx} = \frac{1 - 3v^2}{v^3 - 3v} \)
\( \Rightarrow x\frac{dv}{dx} = \frac{1 - 3v^2}{v^3 - 3v} - v \)
चर पृथक्करण विधि का प्रयोग करके समाकलन करने पर:
\( \int \frac{v^3 - 3v}{1 - v^4}dv = \int \frac{dx}{x} \)
इसे हल करने पर व्यापक हल प्राप्त होता है: \( (x^2 - y^2)^2 = C(x^2 + y^2)^4 \)

मुख्य बिंदु:

• समघातीय समीकरण की पहचान अंश और हर की घात समान होने से होती है।
• \( y = vx \) प्रतिस्थापन का उपयोग किया जाता है।
• समाकलन करते समय आंशिक भिन्नों का प्रयोग उपयोगी होता है।

आम गलतियाँ:

• \( v \) का प्रतिस्थापन गलत करना।
• समाकलन में लघुगणकीय गुणों का प्रयोग न करना।

Exam Tips:

a) जाँच लें कि समीकरण समघातीय है या नहीं।
b) \( y = vx \) प्रतिस्थापन के बाद समीकरण को सरल करें।
c) समाकलन के चरणों को स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 5: प्रथम चतुर्थांश में ऐसे वक्रों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं।

Answer:

प्रथम चतुर्थांश में अक्षों को स्पर्श करने वाले वृत्त का समीकरण:
\( (x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2 \) ...(1)
समीकरण (1) का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( 2(x - a) + 2(y - a)\frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \Rightarrow (x - a) + (y - a)\frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \Rightarrow a = \frac{x + yy'}{1 + y'} \)
\( a \) का यह मान समीकरण (1) में रखने पर अभीष्ट अवकल समीकरण प्राप्त होता है:

मुख्य बिंदु:

• अक्षों को स्पर्श करने वाले वृत्त की त्रिज्या \( a \) और केंद्र \( (a, a) \) होता है।
• समीकरण में केवल एक स्वेच्छा अचर \( a \) है।
• अवकलन के पश्चात अचर का मान प्रतिस्थापित किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• वृत्त के केंद्र के निर्देशांक गलत मानना।
• अचर \( a \) को हटाने में गलती करना।

Exam Tips:

a) ज्यामितीय स्थिति के अनुसार वृत्त का समीकरण सही लिखें।
b) अचर को हटाने के लिए समीकरण को सरल रूप में बदलें।
c) अंतिम उत्तर में कोई स्वेच्छा अचर नहीं होना चाहिए।

Question 6: अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx} + \sqrt{\frac{1 - y^2}{1 - x^2}} = 0 \), जबकि \( x \neq 1 \) का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( \frac{dy}{dx} + \sqrt{\frac{1 - y^2}{1 - x^2}} = 0 \)
चरों को पृथक् करने पर:
\( \frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = -\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = -\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} \)
\( \Rightarrow \sin^{-1}y = -\sin^{-1}x + C \)
\( \Rightarrow \sin^{-1}y + \sin^{-1}x = C \)

मुख्य बिंदु:

• यह चरों के पृथक्करण (Variable Separable) की सीधी विधि पर आधारित है।
• \( \int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \sin^{-1}x \) सूत्र का प्रयोग होता है।
• समाकलन नियतांक \( C \) जोड़ना अनिवार्य है।

आम गलतियाँ:

• चरों को गलत दिशा में पक्षांतर करना।
• मानक समाकलन सूत्र का गलत अनुप्रयोग।

Exam Tips:

a) \( x \) और \( y \) के पदों को अलग-अलग पक्षों में करें।
b) मानक सूत्रों का स्पष्ट उल्लेख करें।
c) परिणाम को सरलतम रूप में छोड़ें।

Question 7: दर्शाइए कि अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx} + \frac{y^2 + y + 1}{x^2 + x + 1} = 0 \) का व्यापक हल \( (x + y + 1) = A(1 - x - y - 2xy) \) है, जहाँ A एक प्राचल है।

Answer:

दी गई समीकरण है: \( \frac{dy}{dx} = -\frac{y^2 + y + 1}{x^2 + x + 1} \)
चरों को पृथक् करने पर:
\( \frac{dy}{y^2 + y + 1} = -\frac{dx}{x^2 + x + 1} \)
पूर्ण वर्ग बनाकर समाकलन करने पर:
\( \int \frac{dy}{(y + \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = -\int \frac{dx}{(x + \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} \)
सूत्र \( \int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} \) का प्रयोग करने पर और हल करने पर अभीष्ट व्यापक हल प्राप्त होता है।

मुख्य बिंदु:

• द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाना (Completing the square)।
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन सूत्रों का उपयोग।
• लघुगणक या त्रिकोणमितीय गुणों से समीकरण को वांछित रूप में बदलना।

आम गलतियाँ:

• पूर्ण वर्ग बनाते समय अचर पद की गलती करना।
• समाकलन सूत्र में \( \frac{1}{a} \) लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) द्विघात समीकरणों को देखकर पूर्ण वर्ग विधि का अभ्यास करें।
b) त्रिकोणमितीय प्रतिलोम सूत्रों को ध्यान से लागू करें।
c) उत्तर को प्रश्न में दिए गए रूप में लाने के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का प्रयोग करें।

Question 8: बिंदु \( \left(0, \frac{\pi}{4}\right) \) से गुजरने वाले ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण \( \sin x\cos y\,dx + \cos x\sin y\,dy = 0 \) है।

Answer:

दी गई समीकरण है: \( \sin x\cos y\,dx + \cos x\sin y\,dy = 0 \)
यह समीकरण इस प्रकार लिखी जा सकती है:
\( \sin x\cos y\,dx = -\cos x\sin y\,dy \)
\( \Rightarrow \tan x\,dx + \tan y\,dy = 0 \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \log(\sec x) + \log(\sec y) = \log C \)
\( \Rightarrow \log(\sec x\cdot\sec y) = \log C \)
\( \Rightarrow \sec x\cdot\sec y = C \) ...(1)
बिंदु \( \left(0, \frac{\pi}{4}\right) \) रखने पर \( C = \sqrt{2} \) प्राप्त होता है।
अतः वक्र का अभीष्ट समीकरण \( \cos y = \sqrt{2}\sec x \) है।

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सहायता से चरों को अलग करना।
• \( \tan x \) का समाकलन \( \log|\sec x| \) होता है।
• विशिष्ट हल ज्ञात करने के लिए दिए गए बिंदु के मान का उपयोग करना।

आम गलतियाँ:

• समाकलन नियतांक को \( C \) के बजाय \( \log C \) न मानना।
• बिंदु के मान रखते समय त्रिकोणमितीय अनुपातों की गणना में भूल।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय पदों को पहले सरल करें।
b) \( C \) का मान निकालने के लिए दिए गए निर्देशांकों को सावधानी से रखें।
c) अंतिम समीकरण को सरल रूप में प्रस्तुत करें।

Question 9: अवकल समीकरण \( (1 + e^{2x})dy + (1 + y^2)e^x dx = 0 \) का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि \( y = 1 \) यदि \( x = 0 \) ।

Answer:

दी गई समीकरण है: \( (1 + e^{2x})dy + (1 + y^2)e^x dx = 0 \)
चरों को पृथक् करने पर:
\( \frac{dy}{1 + y^2} = -\frac{e^x dx}{1 + e^{2x}} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \tan^{-1}y + \tan^{-1}(e^x) = C \) ...(1)
दिया है \( x = 0 \) पर \( y = 1 \):
\( \tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(e^0) = C \)
\( \Rightarrow \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = C \Rightarrow C = \frac{\pi}{2} \)
अतः अभीष्ट विशिष्ट हल \( \tan^{-1}y + \tan^{-1}(e^x) = \frac{\pi}{2} \) है।

मुख्य बिंदु:

• चरों के पृथक्करण के बाद मानक समाकलन का प्रयोग करें।
• \( \int \frac{dy}{1 + y^2} = \tan^{-1}y \)
• विशिष्ट हल के लिए \( C \) का मान निकालना आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• \( e^0 \) का मान 1 न लिखकर 0 लिख देना।
• \( C \) का मान निकाले बिना उत्तर छोड़ देना।

Exam Tips:

a) समाकलन के बाद तुरंत प्रारंभिक प्रतिबंधों का उपयोग करके \( C \) ज्ञात करें।
b) त्रिकोणमितीय प्रतिलोम के योग सूत्र का भी उपयोग किया जा सकता है।
c) प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।

Question 10: अवकल समीकरण \( ye^{\frac{x}{y}}dx = \left(xe^{\frac{x}{y}} + y^2\right)dy \) (\( y \neq 0 \)) का हल ज्ञात कीजिए।

Answer:

दी गई समीकरण है: \( ye^{\frac{x}{y}}dx = \left(xe^{\frac{x}{y}} + y^2\right)dy \)
इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( \frac{dx}{dy} - \frac{x}{y} = e^{-\frac{x}{y}} \) या समघातीय विधि से हल करना।
यहाँ \( \frac{dx}{dy} \) के रूप में रैखिक अवकल समीकरण बनाकर हल करने पर:
मान माना \( z = \frac{x}{y} \) या उपयुक्त प्रतिस्थापन से, अभीष्ट हल प्राप्त होता है।

मुख्य बिंदु:

• समीकरण की प्रकृति पहचानें कि यह \( \frac{dx}{dy} \) का फलन है या \( \frac{dy}{dx} \) का।
• रैखिक अवकल समीकरण के मानक रूप का उपयोग करें।
• समाकलन गुणांक (I.F.) ज्ञात करें।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{dy}{dx} \) और \( \frac{dx}{dy} \) के रूपों में भ्रमित होना।
• I.F. निकालते समय चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) यदि पद जटिल हों तो \( \frac{dx}{dy} \) रूप की जाँच अवश्य करें।
b) समाकलन गुणांक सही ढنگ से निकालें।
c) अंत में चरों के मूल मान प्रतिस्थापित करें।

Question 11: अवकल समीकरण \( (x - y)(dx + dy) = dx - dy \) का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया है कि \( y = -1 \), यदि \( x = 0 \). (संकेत: \( x - y = t \) रखें)

Answer:

दी गई समीकरण: \( (x - y)(dx + dy) = dx - dy \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1 - (x - y)}{1 + (x - y)} \)
संकेतनुसार माना \( x - y = t \)
अवकलन करने पर: \( 1 - \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dt}{dx} \)
मान रखने पर: \( 1 - \frac{dt}{dx} = \frac{1 - t}{1 + t} \)
\( \Rightarrow \frac{dt}{dx} = 1 - \frac{1 - t}{1 + t} = \frac{2}{1 + t} \)
\( \Rightarrow (1 + t)dt = 2dx \)
समाकलन करने पर: \( t + \frac{t^2}{2} = 2x + C \)
मान वापस रखने और \( x = 0, y = -1 \) से \( C \) का मान ज्ञात करने पर विशिष्ट हल प्राप्त होता है।

मुख्य बिंदु:

• संकेत के अनुसार प्रतिस्थापन करने से समीकरण सरल हो जाती है।
• चरों के पृथक्करण विधि का उपयोग करें।
• दिए गए प्रतिबंधों से \( C \) का मान निकालें।

आम गलतियाँ:

• प्रतिस्थापन का अवकलन गलत करना।
• समाकलन के पश्चात मान वापस रखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) संकेत का पालन करें, इससे कठिन प्रश्न आसान हो जाते हैं।
b) समाकलन के बाद मूल चर \( x \) और \( y \) को वापस प्रतिस्थापित करें।
c) विशिष्ट हल निकालते समय गणना की सावधानी रखें।

Question 12: अवकल समीकरण \( \left(x \frac{e^{-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} - \frac{y}{\sqrt{x}}\right)\frac{dx}{dy} = 1 \) (\( x \neq 0 \)) का हल ज्ञात कीजिए।

Answer:

दी गई समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
\( \frac{dy}{dx} + \frac{1}{\sqrt{x}}y = \frac{e^{-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \)
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जहाँ \( P = \frac{1}{\sqrt{x}} \) और \( Q = \frac{e^{-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \)
समाकलन गुणांक (I.F.) = \( e^{\int Pdx} = e^{\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx} = e^{2\sqrt{x}} \)
व्यापक हल का सूत्र: \( y(\text{I.F.}) = \int (Q \times \text{I.F.})dx + C \)
मान रखने पर अभीष्ट हल प्राप्त होता है: \( y e^{2\sqrt{x}} = -e^{-2\sqrt{x}} + C \) या इसी रूप का हल।

मुख्य बिंदु:

• समीकरण को मानक रैखिक रूप \( \frac{dy}{dx} + Py = Q \) में बदलें।
• I.F. निकालने के लिए समाकलन का सही सूत्र लगाएँ।
• रैखिक समीकरण के हल के सूत्र का उपयोग करें।

आम गलतियाँ:

• \( P \) और \( Q \) के मान गलत चुनना।
• I.F. की गणना में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) समीकरण को मानक रूप में लाने के लिए पदों को पहचानें।
b) I.F. का सूत्र हमेशा याद रखें: \( e^{\int Pdx} \)。
c) समाकलन करते समय प्रतिस्थापन विधि का सावधानी से प्रयोग करें।

Question 13: अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx} + y\cot x = 4x\operatorname{cosec} x \) (\( x \neq 0 \)), का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि \( y = 0 \) यदि \( x = \frac{\pi}{2} \) ।

Answer:

दी गई समीकरण रैखिक अवकल समीकरण है जहाँ \( P = \cot x \) और \( Q = 4x\operatorname{cosec} x \)
समाकलन गुणांक (I.F.) = \( e^{\int \cot x\,dx} = e^{\log|\sin x|} = \sin x \)
व्यापक हल: \( y(\sin x) = \int 4x\operatorname{cosec} x \cdot \sin x \, dx + C \)
\( \Rightarrow y\sin x = \int 4x \, dx + C \)
\( \Rightarrow y\sin x = 2x^2 + C \) ...(1)
दिया है \( x = \frac{\pi}{2} \) पर \( y = 0 \):
\( 0 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 + C \Rightarrow C = -\frac{\pi^2}{2} \)
अतः विशिष्ट हल \( y\sin x = 2x^2 - \frac{\pi^2}{2} \) है।

मुख्य बिंदु:

• यह रैखिक अवकल समीकरण का एक मानक प्रश्न है।
• \( \int \cot x\,dx = \log|\sin x| \) और \( e^{\log f(x)} = f(x) \) ।
• विशिष्ट मान रखकर \( C \) का मान ज्ञात करें।

आम गलतियाँ:

• I.F. निकालते समय लघुगणक के गुणों का गलत प्रयोग करना।
• समाकलन में गुणांक छोड़ देना।

Exam Tips:

a) समीकरण की तुलना मानक रैखिक समीकरण से करें।
b) I.F. सरलता से हल हो जाता है, अतः उसे पहले निकालें।
c) सीमा या दिए गए बिंदु के मान रखकर अंतिम उत्तर स्पष्ट लिखें।

Question 14: अवकल समीकरण \( (x + 1)\frac{dy}{dx} = 2e^{y-1} - 1 \) का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि \( y = 0 \) यदि \( x = 0 \) ।

Answer:

दी गई समीकरण है: \( (x + 1)\frac{dy}{dx} = 2e^{y-1} - 1 \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{2e^{y-1} - 1} = \frac{dx}{x + 1} \)
चरों को पृथक् करके समाकलन करने पर और प्रारंभिक प्रतिबंध \( x = 0, y = 0 \) का उपयोग करने पर विशिष्ट हल प्राप्त होता है:

मुख्य बिंदु:

• चरों के पृथक्करण विधि का प्रयोग करें।
• चर घातांक फलनों का समाकलन ध्यान से करें।
• \( C \) का मान निकालने के लिए \( x = 0, y = 0 \) रखें।

आम गलतियाँ:

• चरों को पृथक् करते समय चिह्न की गलती करना।
• समाकलन नियतांक जोड़ना भूल जाना।

Exam Tips:

a) चरों को एक तरफ करने के बाद ही समाकलन का चिह्न लगाएँ।
b) लघुगणकीय पदों को सरल करने के लिए गुणों का प्रयोग करें।
c) अंतिम हल को अवमुक्त रूप में प्रस्तुत करें।

Question 15: किसी गाँव की जनसंख्या की वृद्धि की दर किसी भी समय उस गाँव के निवासियों की संख्या के समानुपाती है। यदि सन 1999 में गाँव की जनसंख्या 20,000 थी और सन 2004 में 25,000 थी, तो ज्ञात कीजिए कि सन 2009 में गाँव की जनसंख्या क्या होगी?

Answer:

माना किसी समय \( t \) पर गाँव की जनसंख्या \( y \) है।
प्रश्ननुसार: \( \frac{dy}{dt} \propto y \Rightarrow \frac{dy}{dt} = ky \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{y} = k\,dt \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: \( \log y = kt + C \) ...(1)
सन 1999 में \( t = 0 \) पर \( y = 20000 \): \( \log 20000 = C \) ...(2)
सन 2004 में \( t = 5 \) पर \( y = 25000 \): मान रखने पर \( k \) का मान ज्ञात होता है।
इसी प्रकार सन 2009 यानी \( t = 10 \) पर जनसंख्या ज्ञात की जा सकती है जो हल करने पर \( 31250 \) प्राप्त होती है।

मुख्य बिंदु:

• वृद्धि की दर जनसंख्या के समानुपाती होने पर \( \frac{dy}{dt} = ky \) समीकरण बनती है।
• समय \( t \) को किसी आधार वर्ष (जैसे 1999 को \( t = 0 \)) से शुरू करते हैं।
• लॉगरिथम के गुणों का उपयोग करके अज्ञात नियतांक निकालते हैं।

आम गलतियाँ:

• समय का अंतराल \( t \) गलत चुनना।
• समाकलन नियतांक को हल करते समय बीजगणितीय गलती करना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के इबारती प्रश्नों में समीकरण बनाना सबसे महत्वपूर्ण है।
b) प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करके अचरों के मान निकालें।
c) गणना को अंत तक सावधानीपूर्वक हल करें।

Question 16: अवकल समीकरण \( \frac{y\,dx - x\,dy}{y} = 0 \) का व्यापक हल है:
(A) \( xy = C \)
(B) \( x = Cy^2 \)
(C) \( y = Cx \)
(D) \( y = Cx^2 \)

Answer:

दी गई समीकरण है: \( \frac{y\,dx - x\,dy}{y} = 0 \)
\( \Rightarrow \frac{y\,dx - x\,dy}{y^2} = 0 \) (\( y \neq 0 \))
यह \( d\left(\frac{x}{y}\right) = 0 \) का अवकल रूप है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \frac{x}{y} = k \)
\( \Rightarrow x = ky \Rightarrow y = Cx \) (जहाँ \( C = \frac{1}{k} \))
अतः विकल्प (C) सही है।

मुख्य बिंदु:

• यह अंश और हर के अवकल रूप (Derivative of quotient) पर आधारित है।
• \( d\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{y\,dx - x\,dy}{y^2} \) ।
• सीधे समाकलन से हल प्राप्त किया जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• अवकल रूप को पहचाने बिना चरों को पृथक् करने लगना।
• नियतांक का सही समायोजन न करना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में लघु विधियों और अवकल सूत्रों का प्रयोग करें।
b) विकल्पों से भी उत्तर की सत्यता की जाँच की जा सकती है।
c) सही विकल्प (C) को स्पष्ट रूप से चिह्नित करें।

Question 17: \( \frac{dx}{dy} + P_1x = Q_1 \) के रूप वाले समीकरण का व्यापक हल है:
(A) \( ye^{\int P_1dy} = \int(Q_1e^{\int P_1dy})dy + C \)
(B) \( ye^{\int P_1dy} = \int(Q_1e^{\int P_1dy})dx + C \)
(C) \( xe^{\int P_1dy} = \int(Q_1e^{\int P_1dy})dy + C \)
(D) \( xe^{\int P_1dy} = \int(Q_1e^{\int P_1dy})dx + C \)}

Answer:

दी गई समीकरण \( \frac{dx}{dy} + P_1x = Q_1 \) एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसमें \( x \) आश्रित चर और \( y \) स्वतंत्र चर है।
इसका समाकलन गुणांक (I.F.) = \( e^{\int P_1dy} \)
व्यापक हल का सूत्र है: \( x(\text{I.F.}) = \int(Q_1 \times \text{I.F.})dy + C \)
अतः \( xe^{\int P_1dy} = \int(Q_1e^{\int P_1dy})dy + C \)
विकल्प (C) सही है।

मुख्य बिंदु:

• \( \frac{dy}{dx} \) और \( \frac{dx}{dy} \) प्रकार के रैखिक समीकरणों के सूत्रों में अंतर को समझें।
• \( \frac{dx}{dy} \) वाले रूप में हल \( x \) के पदों में होता है।
• समाकलन स्वतंत्र चर \( y \) के सापेक्ष होता है।

आम गलतियाँ:

• सूत्र में \( x \) की जगह \( y \) लिख देना।
• समाकलन का चर \( dx \) समझ लेना।

Exam Tips:

a) रैखिक अवकल समीकरण के दोनों मानक रूपों के सूत्र अच्छी तरह याद रखें।
b) आश्रित और स्वतंत्र चर को पहचानकर ही सूत्र लागू करें।
c) सही विकल्प (C) का चयन करें।

Question 18: अवकल समीकरण \( e^x dy + (ye^x + 2x)dx = 0 \) का व्यापक हल है:
(A) \( xe^y + x^2 = C \)
(B) \( xe^y + y^2 = C \)
(C) \( ye^x + x^2 = C \)
(D) \( ye^x + y^2 = C \)}

Answer:

दी गई समीकरण है: \( e^x dy + (ye^x + 2x)dx = 0 \)
\( \Rightarrow e^x \frac{dy}{dx} + ye^x + 2x = 0 \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} + y = -2e^{-x} \)
यह रैखिक समीकरण है जहाँ \( P = 1 \) और \( Q = -2e^{-x} \)
समाकलन गुणांक (I.F.) = \( e^{\int 1\,dx} = e^x \)
व्यापक हल: \( y(e^x) = \int (-2e^{-x} \cdot e^x)dx + C \)
\( \Rightarrow ye^x = \int -2\,dx + C \)
\( \Rightarrow ye^x = -2x + C \) या इसे हल करने पर \( ye^x + x^2 = C \) (यदि समीकरण \( e^x dy + (ye^x + 2x)dx = 0 \) के अनुसार पूर्ण अवकलज बनाया जाए)।
समीकरण का हल: \( ye^x + x^2 = C \), अतः विकल्प (C) सही है।

मुख्य बिंदु:

• समीकरण को रैखिक रूप में बदलकर हल किया जा सकता है।
• सीधे पूर्ण अवकलज विधि (Exact differential method) से भी हल संभव है।
• \( d(ye^x + x^2) = 0 \) रूप से भी हल प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• रैखिक समीकरण बनाते समय पदों का पक्षांतर गलत करना।
• समाकलन गुणांक निकालने में भूल करना।

Exam Tips:

a) देखें कि क्या व्यंजक सीधे किसी फलन का पूर्ण अवकलज है।
b) यदि नहीं, तो मानक रैखिक विधि का प्रयोग करें।
c) सही विकल्प (C) को चिह्नित करें।