NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 09 Differential Equations (अवकल समीकरण) Exercise 9.5 in Hindi

Question 1: निम्नलिखित अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( \frac{dy}{dx} + 2y = \sin x \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( \frac{dy}{dx} + 2y = \sin x \)
यह समीकरण रैखिक अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx} + py = Q \) के रूप में है, जहाँ \( p = 2 \) और \( Q = \sin x \)
समाकल गुणांक (I.F.) ज्ञात करने पर:
\( \text{I.F.} = e^{\int p \, dx} = e^{\int 2 \, dx} = e^{2x} \)
अवकल समीकरण का व्यापक हल निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
\( y \cdot (\text{I.F.}) = \int (Q \times \text{I.F.}) \, dx + C \)
\( y e^{2x} = \int \sin x \cdot e^{2x} \, dx + C \quad \text{--- (1)} \)
अब समाकलन हल करने के लिए, माना \( I = \int \sin x \cdot e^{2x} \, dx \)
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का प्रयोग करने पर:
\( I = \sin x \int e^{2x} \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\sin x) \int e^{2x} \, dx \right) dx \)
\( I = \sin x \cdot \frac{e^{2x}}{2} - \int \cos x \cdot \frac{e^{2x}}{2} \, dx \)
\( I = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{1}{2} \int \cos x \cdot e^{2x} \, dx \)
पुनः खंडशः समाकलन करने पर:
\( I = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{1}{2} \left[ \cos x \cdot \frac{e^{2x}}{2} - \int (-\sin x) \cdot \frac{e^{2x}}{2} \, dx \right] \)
\( I = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{e^{2x} \cos x}{4} - \frac{1}{4} \int \sin x \cdot e^{2x} \, dx \)
\( I = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{e^{2x} \cos x}{4} - \frac{1}{4} I \)
\( I + \frac{1}{4}I = \frac{e^{2x}}{4}(2\sin x - \cos x) \)
\( \frac{5}{4}I = \frac{e^{2x}}{4}(2\sin x - \cos x) \)
\( I = \frac{e^{2x}}{5}(2\sin x - \cos x) \)
समीकरण (1) में मान रखने पर:
\( y e^{2x} = \frac{e^{2x}}{5}(2\sin x - \cos x) + C \)
दोनों पक्षों को \( e^{2x} \) से भाग देने पर:
\( y = \frac{1}{5}(2\sin x - \cos x) + Ce^{-2x} \)
अतः, यह समीकरण दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• दी गई समीकरण रैखिक अवकल समीकरण के मानक रूप में है।
• समाकल गुणांक (I.F.) \( e^{\int p \, dx} \) का सही निर्धारण किया गया है।
• खंडशः समाकलन विधि का दो बार प्रयोग करके \( I \) का मान निकाला गया है।

आम गलतियाँ:

• समाकल गुणांक निकालते समय \( e \) की घात में समाकलन स्थिरांक लिखना भूल जाना।
• खंडशः समाकलन में चिन्हों (+ और -) की गलती करना।
• अंतिम हल में स्थिरांक \( C \) से \( I.F. \) को विभाजित करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) हमेशा समीकरण को \( \frac{dy}{dx} + py = Q \) के मानक रूप में लिखकर \( p \) और \( Q \) स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
b) त्रिकोणमितीय फलनों वाले समाकलन में खंडशः समाकलन करते समय सतर्क रहें।
c) अंत में \( y \) का मान स्वतंत्र करने के लिए पूरे समीकरण को I.F. से भाग अवश्य दें।

Question 2: निम्नलिखित अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( \frac{dy}{dx} + 3y = e^{-2x} \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( \frac{dy}{dx} + 3y = e^{-2x} \)
यह समीकरण रैखिक अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx} + py = Q \) के रूप में है, जहाँ \( p = 3 \) और \( Q = e^{-2x} \)
समाकल गुणांक (I.F.) ज्ञात करने पर:
\( \text{I.F.} = e^{\int p \, dx} = e^{\int 3 \, dx} = e^{3x} \)
अवकल समीकरण का व्यापक हल निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
\( y \cdot (\text{I.F.}) = \int (Q \times \text{I.F.}) \, dx + C \)
\( y e^{3x} = \int e^{-2x} \cdot e^{3x} \, dx + C \)
\( y e^{3x} = \int e^{x} \, dx + C \)
\( y e^{3x} = e^{x} + C \)
दोनों पक्षों को \( e^{3x} \) से भाग देने पर:
\( y = e^{-2x} + Ce^{-3x} \)
अतः, यह समीकरण दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• यह एक सरल प्रथम कोटि की रैखिक अवकल समीकरण है।
• I.F. का मान \( e^{3x} \) प्राप्त होता है।
• समान आधार होने पर घातांकों को जोड़ा गया है (\( e^{-2x} \cdot e^{3x} = e^x \))।

आम गलतियाँ:

• घातांक के नियमों का गलत प्रयोग करना।
• समाकलन करते समय \( e^x \) का समाकलन \( e^{-x} \) लिख देना।

Exam Tips:

a) घातांक वाले पदों को गुणा करते समय उनकी घातों को सावधानीपूर्वक जोड़ें।
b) प्रत्येक चरण में सूत्र लिखकर दिखाएं ताकि अंक न कटें।
c) अंतिम उत्तर को सरलतम रूप में लिखें।

Question 3: निम्नलिखित अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2 \)
यह समीकरण रैखिक अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx} + py = Q \) के रूप में है, जहाँ \( p = \frac{1}{x} \) और \( Q = x^2 \)
समाकल गुणांक (I.F.) ज्ञात करने पर:
\( \text{I.F.} = e^{\int \frac{1}{x} \, dx} = e^{\log x} = x \)
अवकल समीकरण का व्यापक हल निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
\( y \cdot (\text{I.F.}) = \int (Q \times \text{I.F.}) \, dx + C \)
\( y(x) = \int (x^2 \cdot x) \, dx + C \)
\( yx = \int x^3 \, dx + C \)
\( yx = \frac{x^4}{4} + C \)
\( y = \frac{x^3}{4} + \frac{C}{x} \)
अतः, यह समीकरण दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• यहाँ \( p = \frac{1}{x} \) है, इसलिए I.F. का मान \( e^{\log x} = x \) होता है।
• बीजीय फलनों का समाकलन सरलता से किया जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• \( e^{\log x} \) को सीधे \( x \) लिखने में गलती करना।
• समाकलन करने के बाद स्थिरांक \( C \) जोड़ना भूल जाना।

Exam Tips:

a) \( e^{\log f(x)} = f(x) \) गुणधर्म का सीधा उपयोग करें।
b) अंतिम उत्तर में \( y \) का मान स्वतंत्र करने के लिए \( x \) से भाग देना न भूलें।
c) चरणों को स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 4: निम्नलिखित अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( \frac{dy}{dx} + (\sec x)y = \tan x \quad \left(0 \leq x < \frac{\pi}{2}\right) \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( \frac{dy}{dx} + (\sec x)y = \tan x \)
यह समीकरण रैखिक अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx} + py = Q \) के रूप में है, जहाँ \( p = \sec x \) और \( Q = \tan x \)
समाकल गुणांक (I.F.) ज्ञात करने पर:
\( \text{I.F.} = e^{\int \sec x \, dx} = e^{\log(\sec x + \tan x)} = \sec x + \tan x \)
अवकल समीकरण का व्यापक हल निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
\( y \cdot (\text{I.F.}) = \int (Q \times \text{I.F.}) \, dx + C \)
\( y(\sec x + \tan x) = \int \tan x (\sec x + \tan x) \, dx + C \)
\( y(\sec x + \tan x) = \int \sec x \tan x \, dx + \int \tan^2 x \, dx \)
\( y(\sec x + \tan x) = \sec x + \int (\sec^2 x - 1) \, dx \)
\( y(\sec x + \tan x) = \sec x + \tan x - x + C \)
अतः, यह समीकरण दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• \( \sec x \) का समाकलन \( \log(\sec x + \tan x) \) होता है।
• \( \tan^2 x \) को \( \sec^2 x - 1 \) में बदलकर समाकलन किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \sec x \) के समाकलन का सूत्र गलत लिखना।
• \( \tan^2 x \) का सीधा समाकलन करने का प्रयास करना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन के सभी मानक सूत्र याद रखें।
b) \( \tan^2 x \) को हल करने के लिए सर्वसमिका \( 1 + \tan^2 x = \sec^2 x \) का प्रयोग करें।
c) उत्तर को मानक रूप में लिखें।

Question 5: निम्नलिखित अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( \cos^2 x \frac{dy}{dx} + y = \tan x \quad \left(0 \leq x < \frac{\pi}{2}\right) \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( \cos^2 x \frac{dy}{dx} + y = \tan x \)
पूरी समीकरण को \( \cos^2 x \) से भाग देने पर:
\( \frac{dy}{dx} + \frac{1}{\cos^2 x} y = \frac{\tan x}{\cos^2 x} \)
\( \frac{dy}{dx} + (\sec^2 x)y = \tan x \sec^2 x \)
यह समीकरण रैखिक अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx} + py = Q \) के रूप में है, जहाँ \( p = \sec^2 x \) और \( Q = \tan x \sec^2 x \)
समाकल गुणांक (I.F.) ज्ञात करने पर:
\( \text{I.F.} = e^{\int \sec^2 x \, dx} = e^{\tan x} \)
अवकल समीकरण का व्यापक हल निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
\( y \cdot (\text{I.F.}) = \int (Q \times \text{I.F.}) \, dx + C \)
\( y e^{\tan x} = \int (\tan x \sec^2 x \cdot e^{\tan x}) \, dx + C \)
समाकलन हल करने के लिए, माना \( \tan x = t \Rightarrow \sec^2 x \, dx = dt \)
अतः समाकलन रूप बनता है:
\( \int t e^{t} \, dt + C \)
खंडशः समाकलन करने पर:
\( = t e^t - \int 1 \cdot e^t \, dt \)
\( = t e^t - e^t + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( y e^{\tan x} = \tan x e^{\tan x} - e^{\tan x} + C \)
दोनों पक्षों को \( e^{\tan x} \) से भाग देने पर:
\( y = \tan x - 1 + Ce^{-\tan x} \)
अतः, यह समीकरण दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• समीकरण को मानक रूप में बदलने के लिए \( \cos^2 x \) से भाग दिया गया है।
• प्रतिस्थापन विधि (\( \tan x = t \)) का उपयोग करके समाकलन को सरल किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \cos^2 x \) से भाग देना भूल जाना और सीधे रैखिक रूप मानना।
• प्रतिस्थापन के बाद सीमाएं या चर बदलना भूल जाना।

Exam Tips:

a) सुनिश्चित करें कि \( \frac{dy}{dx} \) का गुणांक 1 हो, तभी समीकरण को मानक रैखिक रूप मानें।
b) प्रतिस्थापन विधि का सावधानी से उपयोग करें।
c) अंत में \( e^{\tan x} \) से विभाजित करना न भूलें।

Question 6: निम्नलिखित अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x \)
समीकरण को \( x \) से भाग देने पर:
\( \frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x \log x \)
यह समीकरण रैखिक अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx} + py = Q \) के रूप में है, जहाँ \( p = \frac{2}{x} \) और \( Q = x \log x \)
समाकल गुणांक (I.F.) ज्ञात करने पर:
\( \text{I.F.} = e^{\int \frac{2}{x} \, dx} = e^{2\log x} = e^{\log x^2} = x^2 \)
अवकल समीकरण का व्यापक हल निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
\( y \cdot (\text{I.F.}) = \int (Q \times \text{I.F.}) \, dx + C \)
\( y(x^2) = \int (x \log x \cdot x^2) \, dx + C \)
\( x^2 y = \int x^3 \log x \, dx + C \)
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का प्रयोग करने पर:
\( x^2 y = \log x \int x^3 \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\log x) \int x^3 \, dx \right) dx + C \)
\( x^2 y = \log x \cdot \frac{x^4}{4} - \int \left( \frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4} \right) dx + C \)
\( x^2 y = \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{1}{4} \int x^3 \, dx + C \)
\( x^2 y = \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{x^4}{16} + C \)
दोनों पक्षों को \( x^2 \) से भाग देने पर:
\( y = \frac{x^2}{16}(4 \log x - 1) + Cx^{-2} \)
अतः, यह समीकरण दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• समीकरण को मानक रूप में लाने के लिए \( x \) से भाग दिया गया है।
• \( e^{2\log x} \) को \( x^2 \) में बदला गया है।
• \( x^3 \log x \) के समाकलन के लिए खंडशः समाकलन का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( e^{2\log x} \) को हल करते समय 2 की घात को भूल जाना।
• खंडशः समाकलन में प्रथम और द्वितीय फलन का चयन गलत करना (ILATE नियम का पालन न करना)।

Exam Tips:

a) ILATE नियम का पालन करते हुए लॉग फलन को पहला फलन चुनें।
b) समाकलन गुणांक निकालते समय लॉगरिथम के गुणों का सही उपयोग करें।
c) अंतिम परिणाम को सरल करके लिखें।

Question 7: निम्नलिखित अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( x \log x \frac{dy}{dx} + y = \frac{2}{x} \log x \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( x \log x \frac{dy}{dx} + y = \frac{2}{x} \log x \)
पूरे समीकरण को \( x \log x \) से भाग देने पर:
\( \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{2}{x^2} \)
यह समीकरण रैखिक अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx} + py = Q \) के रूप में है, जहाँ \( p = \frac{1}{x \log x} \) और \( Q = \frac{2}{x^2} \)
समाकल गुणांक (I.F.) ज्ञात करने पर:
\( \text{I.F.} = e^{\int \frac{1}{x \log x} \, dx} = e^{\log(\log x)} = \log x \)
अवकल समीकरण का व्यापक हल निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
\( y \cdot (\text{I.F.}) = \int (Q \times \text{I.F.}) \, dx + C \)
\( y(\log x) = \int \left( \frac{2}{x^2} \log x \right) dx + C \)
मान लेते हैं \( I = \int 2x^{-2} \log x \, dx \)
खंडशः समाकलन का प्रयोग करने पर:
\( I = 2 \left[ \log x \int x^{-2} \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\log x) \int x^{-2} \, dx \right) dx \right] \)
\( I = 2 \left[ \log x \left(-\frac{1}{x}\right) - \int \left(\frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{1}{x}\right)\right) dx \right] \)
\( I = 2 \left[ -\frac{\log x}{x} + \int x^{-2} \, dx \right] \)
\( I = 2 \left[ -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} \right] = -\frac{2}{x}(1 + \log x) \)
अतः समीकरण का हल है:
\( y \log x = -\frac{2}{x}(1 + \log x) + C \)
अतः, यह समीकरण दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• \( p = \frac{1}{x \log x} \) का समाकलन \( \log(\log x) \) होता है।
• I.F. का मान \( \log x \) प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• \( \int \frac{1}{x \log x} \, dx \) को हल करने में प्रतिस्थापन का ध्यान न रखना।
• खंडशः समाकलन में ऋणात्मक चिन्हों की गलती करना।

Exam Tips:

a) \( \log x = t \) प्रतिस्थापन का उपयोग करके I.F. आसानी से निकालें।
b) समाकलन करते समय कोष्ठک और चिन्हों का विशेष ध्यान रखें।
c) उत्तर को मानक रूप में प्रस्तुत करें।

Question 8: निम्नलिखित अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( (1 + x^2) dy + 2xy \, dx = \cot x \, dx \quad (x \neq 0) \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( (1 + x^2) dy + 2xy \, dx = \cot x \, dx \)
\( dx \) से भाग देने पर:
\( (1 + x^2)\frac{dy}{dx} + 2xy = \cot x \)
पूरे समीकरण को \( (1 + x^2) \) से भाग देने पर:
\( \frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1 + x^2}y = \frac{\cot x}{1 + x^2} \)
यह समीकरण रैखिक अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx} + py = Q \) के रूप में है, जहाँ \( p = \frac{2x}{1 + x^2} \) और \( Q = \frac{\cot x}{1 + x^2} \)
समाकल गुणांक (I.F.) ज्ञात करने पर:
\( \text{I.F.} = e^{\int \frac{2x}{1 + x^2} \, dx} = e^{\log(1 + x^2)} = 1 + x^2 \)
अवकल समीकरण का व्यापक हल निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
\( y \cdot (\text{I.F.}) = \int (Q \times \text{I.F.}) \, dx + C \)
\( y(1 + x^2) = \int \left( \frac{\cot x}{1 + x^2} \cdot (1 + x^2) \right) dx + C \)
\( y(1 + x^2) = \int \cot x \, dx + C \)
\( y(1 + x^2) = \log|\sin x| + C \)
अतः, यह समीकरण दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• \( p = \frac{2x}{1 + x^2} \) का समाकलन \( \log(1 + x^2) \) होता है।
• I.F. और \( Q \) के गुणन से \( (1 + x^2) \) पद आपस में कट जाते हैं।

आम गलतियाँ:

• समीकरण को मानक रूप में बदले बिना सीधे I.F. निकालने का प्रयास करना।
• \( \cot x \) का समाकलन \( -\log|\csc x| \) या सही रूप में न लिखना।

Exam Tips:

a) \( \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \log|f(x)| \) का सीधा प्रयोग करें।
b) समाकलन के पश्चात स्थिरांक \( C \) जोड़ना न भूलें।
c) सभी चरणों को साफ-सुथरा लिखें।

Question 9: निम्नलिखित अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( x \frac{dy}{dx} + y - x \cdot xy \cot x = 0 \quad (x \neq 0) \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( x \frac{dy}{dx} + y - x y \cot x = 0 \)
\( x \frac{dy}{dx} + y(1 - x \cot x) = 0 \)
\( x \frac{dy}{dx} + y = x y \cot x \)
\( x \frac{dy}{dx} + y(1 - x \cot x) = 0 \) को पुनः व्यवस्थित करने पर:
\( x \frac{dy}{dx} + y = x y \cot x \Rightarrow x \frac{dy}{dx} + y(1 - x \cot x) = 0 \) (या प्रश्न के अनुसार सही रूप: \( x \frac{dy}{dx} + y = xy \cot x \))
दोनों पक्षों को \( x \) से भाग देने पर:
\( \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = y \cot x \)
\( \frac{dy}{dx} + \left(\frac{1}{x} - \cot x\right)y = 0 \) (यह चर पृथक्करण या रैखिक दोनों से हो सकता है)
सटीक रूप से हल करने के लिए, समीकरण: \( x \frac{dy}{dx} + y = xy \cot x \)
\( \frac{dy}{dx} + \left(\frac{1}{x} - \cot x\right)y = 0 \)
चरों को पृथक् करने पर:
\( \frac{dy}{y} = \left(\cot x - \frac{1}{x}\right)dx \)
समाकलन करने पर:
\( \log y = \log(\sin x) - \log x + \log C \)
\( \log y = \log\left(\frac{C \sin x}{x}\right) \)
\( y = \frac{C \sin x}{x} \)
अतः, यह समीकरण दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• इस समीकरण को चर पृथक्करण विधि से भी हल किया जा सकता है।
• लघुगणक के गुणों का प्रयोग करके व्यापक हल प्राप्त किया गया है।

आम गलतियाँ:

• पदों को स्थानांतरित करते समय चिन्हों की गलती करना।
• लघुगणक के घटाव गुण \( \log a - \log b = \log(a/b) \) का गलत प्रयोग करना।

Exam Tips:

a) देखें कि क्या समीकरण चर पृथक्करण (Variable Separable) विधि से हल हो सकती है।
b) समाकलन स्थिरांक को \( \log C \) के रूप में लें यदि सभी पद लॉग में हों।
c) अंतिम उत्तर को सरल रूप में व्यक्त करें।

Question 10: निम्नलिखित अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( (x + y) \frac{dy}{dx} = 1 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( (x + y) \frac{dy}{dx} = 1 \)
इसे व्युत्क्रमित (Reciprocal) करने पर:
\( \frac{dx}{dy} = x + y \)
\( \frac{dx}{dy} - x = y \)
यह समीकरण अब \( x \) में रैखिक अवकल समीकरण है: \( \frac{dx}{dy} + p_1 x = Q_1 \)
यहाँ \( p_1 = -1 \) और \( Q_1 = y \)
समाकल गुणांक (I.F.) ज्ञात करने पर:
\( \text{I.F.} = e^{\int -1 \, dy} = e^{-y} \)
अवकल समीकरण का व्यापक हल निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
\( x \cdot (\text{I.F.}) = \int (Q_1 \times \text{I.F.}) \, dy + C \)
\( x e^{-y} = \int y e^{-y} \, dy + C \)
खंडशः समाकलन का प्रयोग करने पर:
\( x e^{-y} = y(-e^{-y}) - \int 1 \cdot (-e^{-y}) \, dy + C \)
\( x e^{-y} = -y e^{-y} - e^{-y} + C \)
दोनों पक्षों को \( e^{-y} \) से भाग देने पर:
\( x = -y - 1 + Ce^y \)
\( x + y + 1 = Ce^y \)
अतः, यह समीकरण दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• समीकरण को \( y \) के सापेक्ष रैखिक अवकल समीकरण में बदला गया है (\( \frac{dx}{dy} \))।
• खंडशः समाकलन का प्रयोग दाएँ पक्ष को हल करने के लिए किया गया है।

आम गलतियाँ:

• इसे \( \frac{dy}{dx} \) के रूप में ही हल करने की कोशिश करना जिससे यह जटिल हो जाती है।
• समाकल गुणांक में \( -y \) के स्थान पर \( y \) लिख देना।

Exam Tips:

a) यदि \( \frac{dy}{dx} \) से हल करना कठिन लगे, तो \( \frac{dx}{dy} \) रूप की जाँच करें।
b) खंडशः समाकलन में चिन्हों का विशेष ध्यान रखें।
c) अंतिम उत्तर को सुव्यवस्थित रूप में लिखें।

Question 11: निम्नलिखित अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( ydx + (x - y^2)dy = 0 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( y \, dx + (x - y^2) dy = 0 \)
\( y \, dx = (y^2 - x) dy \)
\( \frac{dx}{dy} = \frac{y^2 - x}{y} \)
\( \frac{dx}{dy} = y - \frac{x}{y} \)
\( \frac{dx}{dy} + \frac{1}{y} x = y \)
यह समीकरण \( x \) में रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ \( p = \frac{1}{y} \) और \( Q = y \)
समाकल गुणांक (I.F.) ज्ञात करने पर:
\( \text{I.F.} = e^{\int \frac{1}{y} \, dy} = e^{\log y} = y \)
अवकल समीकरण का व्यापक हल निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
\( x \cdot (\text{I.F.}) = \int (Q \times \text{I.F.}) \, dy + C \)
\( x(y) = \int (y \cdot y) \, dy + C \)
\( xy = \int y^2 \, dy + C \)
\( xy = \frac{y^3}{3} + C \)
\( x = \frac{y^2}{3} + \frac{C}{y} \)
अतः, यह समीकरण दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• समीकरण को \( \frac{dx}{dy} + py = Q \) के रूप में ढाला गया है।
• I.F. का मान \( y \) प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{dy}{dx} \) निकालने की जिद करना और समीकरण को उलझाना।
• \( \frac{1}{y} \) का समाकलन गलत करना।

Exam Tips:

a) समीकरण की बनावट देखकर पहचानें कि उसे \( \frac{dx}{dy} \) से हल करना आसान है या \( \frac{dy}{dx} \) से।
b) समाकलन के सभी चरणों को साफ-सुथरा लिखें।
c) उत्तर को सरलतम रूप में दें।

Question 12: निम्नलिखित अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( (x + 3y^2) \frac{dy}{dx} = y \quad (y > 0) \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( (x + 3y^2) \frac{dy}{dx} = y \)
इसे व्युत्क्रमित करने पर:
\( \frac{dx}{dy} = \frac{x + 3y^2}{y} \)
\( \frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} + 3y \)
\( \frac{dx}{dy} - \frac{1}{y} x = 3y \)
यह समीकरण \( x \) में रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ \( p = -\frac{1}{y} \) और \( Q = 3y \)
समाकल गुणांक (I.F.) ज्ञात करने पर:
\( \text{I.F.} = e^{\int -\frac{1}{y} \, dy} = e^{-\log y} = e^{\log(y^{-1})} = \frac{1}{y} \)
अवकल समीकरण का व्यापक हल निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
\( x \cdot (\text{I.F.}) = \int (Q \times \text{I.F.}) \, dy + C \)
\( x \left(\frac{1}{y}\right) = \int \left(3y \cdot \frac{1}{y}\right) dy + C \)
\( \frac{x}{y} = \int 3 \, dy + C \)
\( \frac{x}{y} = 3y + C \)
\( x = 3y^2 + Cy \)
अतः, यह समीकरण दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• समीकरण को \( \frac{dx}{dy} \) के रूप में व्यक्त किया गया है।
• I.F. का मान \( \frac{1}{y} \) प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• \( e^{-\log y} \) को हल करते समय ऋणात्मक चिन्ह के नियम को भूल जाना।
• समाकलन स्थिरांक जोड़ना भूल जाना।

Exam Tips:

a) लॉगरिथम के गुणों \( - \log a = \log(a^{-1}) \) का सही उपयोग करें।
b) अंतिम उत्तर में \( x \) का मान स्वतंत्र रूप में निकालें।
c) प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 13: निम्नलिखित अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: \( \frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x; \quad y = 0 \text{ यदि } x = \frac{\pi}{3} \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( \frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x \)
यह रैखिक अवकल समीकरण है जहाँ \( p = 2 \tan x \) और \( Q = \sin x \)
समाकल गुणांक (I.F.) ज्ञात करने पर:
\( \text{I.F.} = e^{\int 2 \tan x \, dx} = e^{2 \log(\sec x)} = e^{\log(\sec^2 x)} = \sec^2 x \)
अवकल समीकरण का व्यापक हल:
\( y \cdot (\text{I.F.}) = \int (Q \times \text{I.F.}) \, dx + C \)
\( y \sec^2 x = \int (\sin x \sec^2 x) \, dx + C \)
\( y \sec^2 x = \int (\sec x \tan x) \, dx + C \)
\( y \sec^2 x = \sec x + C \quad \text{--- (1)} \)
दिया है, जब \( x = \frac{\pi}{3}, y = 0 \):
\( 0 \cdot \sec^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sec\left(\frac{\pi}{3}\right) + C \)
\( 0 = 2 + C \implies C = -2 \)
\( C \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( y \sec^2 x = \sec x - 2 \)
दोनों पक्षों को \( \sec^2 x \) से भाग देने पर:
\( y = \cos x - 2\cos^2 x \)
अतः, यह दी गई अवकल समीकरण का विशिष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• विशिष्ट हल ज्ञात करने के लिए पहले व्यापक हल निकाला जाता है और फिर दिए गए मानों से \( C \) का मान ज्ञात किया जाता है।
• \( \sin x \sec^2 x = \tan x \sec x \) त्रिकोणमितीय संबंध का उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( C \) का मान निकालने के बाद उसे समीकरण (1) में रखना भूल जाना।
• त्रिकोणमितीय मानों (जैसे \( \sec(\pi/3) \)) को गलत रखना।

Exam Tips:

a) विशिष्ट हल के प्रश्नों में \( C \) का मान निकालकर अंतिम समीकरण में अवश्य प्रतिस्थापित करें।
b) मानक कोणों کے त्रिकोणमितीय मानों को सही-सही याद रखें।
c) गणनाओं की पुनः जाँच करें।

Question 14: निम्नलिखित अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: \( (1 + x^2)\frac{dy}{dx} + 2xy = \frac{1}{1 + x^2}; \quad y = 0 \text{ यदि } x = 1 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( (1 + x^2)\frac{dy}{dx} + 2xy = \frac{1}{1 + x^2} \)
पूरे समीकरण को \( (1 + x^2) \) से भाग देने पर:
\( \frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1 + x^2}y = \frac{1}{(1 + x^2)^2} \)
यह रैखिक अवकल समीकरण है जहाँ \( p = \frac{2x}{1 + x^2} \) और \( Q = \frac{1}{(1 + x^2)^2} \)
समाकल गुणांक (I.F.) ज्ञात करने पर:
\( \text{I.F.} = e^{\int \frac{2x}{1 + x^2} \, dx} = e^{\log(1 + x^2)} = 1 + x^2 \)
अवकल समीकरण का व्यापक हल:
\( y \cdot (\text{I.F.}) = \int (Q \times \text{I.F.}) \, dx + C \)
\( y(1 + x^2) = \int \left( \frac{1}{(1 + x^2)^2} \cdot (1 + x^2) \right) dx + C \)
\( y(1 + x^2) = \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx + C \)
\( y(1 + x^2) = \tan^{-1} x + C \quad \text{--- (1)} \)
दिया है, जब \( x = 1, y = 0 \):
\( 0(1 + 1^2) = \tan^{-1}(1) + C \)
\( 0 = \frac{\pi}{4} + C \implies C = -\frac{\pi}{4} \)
\( C \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( y(1 + x^2) = \tan^{-1} x - \frac{\pi}{4} \)
अतः, यह दी गई अवकल समीकरण का विशिष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• मानक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय समाकलन \( \int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \tan^{-1} x \) का प्रयोग किया गया है।
• प्रारंभिक प्रतिबंधों का उपयोग करके \( C \) का मान ज्ञात किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \tan^{-1}(1) \) का मान \( \frac{\pi}{4} \) लिखने में गलती करना।
• I.F. निकालते समय हर के पद को ठीक से न काटना।

Exam Tips:

a) प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन सूत्र कंठस्थ रखें।
b) विशिष्ट हल के अंत में \( C \) का मान प्रतिस्थापित करना अनिवार्य है।
c) प्रत्येक चरण को साफ-सुथरा और क्रमिक रूप से लिखें।

Question 15: निम्नलिखित अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: \( \frac{dy}{dx} - 3y \cot x = \sin 2x; \quad y = 2 \text{ यदि } x = \frac{\pi}{2} \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( \frac{dy}{dx} - 3y \cot x = \sin 2x \)
यह रैखिक अवकल समीकरण है जहाँ \( p = -3 \cot x \) और \( Q = \sin 2x \)
समाकल गुणांक (I.F.) ज्ञात करने पर:
\( \text{I.F.} = e^{\int -3 \cot x \, dx} = e^{-3 \log(\sin x)} = e^{\log(\sin^{-3} x)} = \frac{1}{\sin^3 x} \)
अवकल समीकरण का व्यापक हल:
\( y \cdot (\text{I.F.}) = \int (Q \times \text{I.F.}) \, dx + C \)
\( y \left(\frac{1}{\sin^3 x}\right) = \int \left(\sin 2x \cdot \frac{1}{\sin^3 x}\right) dx + C \)
क्योंकि \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \), इसलिए:
\( \frac{y}{\sin^3 x} = \int \left(\frac{2 \sin x \cos x}{\sin^3 x}\right) dx + C \)
\( \frac{y}{\sin^3 x} = \int \left(\frac{2 \cos x}{\sin^2 x}\right) dx + C \)
माना \( \sin x = t \implies \cos x \, dx = dt \), तब:
\( \frac{y}{\sin^3 x} = \int \frac{2}{t^2} \, dt + C = 2 \left(-\frac{1}{t}\right) + C = -\frac{2}{\sin x} + C \)
\( y = -2 \sin^2 x + C \sin^3 x \quad \text{--- (1)} \)
दिया है, जब \( x = \frac{\pi}{2}, y = 2 \):
\( 2 = -2 \sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) + C \sin^3\left(\frac{\pi}{2}\right) \)
\( 2 = -2(1) + C(1) \implies 2 = -2 + C \implies C = 4 \)
\( C \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( y = -2 \sin^2 x + 4 \sin^3 x \)
अतः, यह दी गई अवकल समीकरण का विशिष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• \( \sin 2x \) के त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करके पद को सरल किया गया है।
• प्रतिस्थापन विधि से समाकलन हल किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( -3 \log(\sin x) \) को हल करते समय घात के नियम में गलती करना।
• \( \sin(\frac{\pi}{2}) \) का मान 0 समझ लेना (जबकि यह 1 होता है)।

Exam Tips:

a) लघुगणक के गुणांक को उसकी घात के रूप में ले जाने वाले नियम का सावधानी से प्रयोग करें।
b) त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का सही उपयोग करें।
c) विशिष्ट हल निकालते समय मानों को सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापित करें।

Question 16: मूल बिंदु से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु \( (x, y) \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु के निर्देशांकों के योग की बराबर है।

Answer:

माना वक्र का समीकरण \( y = f(x) \) है जो मूल बिंदु \( (0, 0) \) से गुजरता है।
प्रश्न के अनुसार, वक्र के किसी बिंदु \( (x, y) \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता \( \frac{dy}{dx} \) है।
अतः प्रश्नानुसार:
\( \frac{dy}{dx} = x + y \)
\( \frac{dy}{dx} - y = x \)
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जहाँ \( p = -1 \) और \( Q = x \)
समाकल गुणांक (I.F.) ज्ञात करने पर:
\( \text{I.F.} = e^{\int -1 \, dx} = e^{-x} \)
अवकल समीकरण का व्यापक हल:
\( y \cdot (\text{I.F.}) = \int (Q \times \text{I.F.}) \, dx + C \)
\( y e^{-x} = \int x e^{-x} \, dx + C \)
खंडशः समाकलन का प्रयोग करने पर:
\( y e^{-x} = x(-e^{-x}) - \int 1 \cdot (-e^{-x}) \, dx + C \)
\( y e^{-x} = -x e^{-x} - e^{-x} + C \)
दोनों पक्षों को \( e^{-x} \) से भाग देने पर:
\( y = -(x + 1) + Ce^x \)
\( x + y + 1 = Ce^x \quad \text{--- (1)} \)<चूँकि वक्र मूल बिंदु \( (0, 0) \) से होकर जाता है, इसलिए \( x = 0, y = 0 \) समीकरण (1) को संतुष्ट करेगा:
\( 0 + 0 + 1 = C e^0 \implies 1 = C(1) \implies C = 1 \)
\( C \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( x + y + 1 = e^x \)
अतः, अभीष्ट वक्र का समीकरण \( x + y + 1 = e^x \) है।

मुख्य बिंदु:

• स्पर्श रेखा की प्रवणता को \( \frac{dy}{dx} \) से निरूपित किया जाता है।
• मूल बिंदु \( (0, 0) \) से गुजरने का अर्थ है कि \( x = 0 \) पर \( y = 0 \) होगा।

आम गलतियाँ:

• भाषा को समीकरण में बदलते समय योग के स्थान पर गुणा लिख देना।
• मूल बिंदु के निर्देशांकों को \( (1, 1) \) मान लेना।

Exam Tips:

a) भाषा आधारित प्रश्नों में पहले दी गई शर्त से अवकल समीकरण बनाएं।
b) मूल बिंदु से गुजरने की शर्त का उपयोग करके \( C \) का मान निकालें।
c) उत्तर को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करें।

Question 17: बिंदु \( (0, 2) \) से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु के निर्देशांकों का योग बिंदु पर खिंची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के परिमाप से 5 अधिक है।

Answer:

माना वक्र पर कोई बिंदु \( (x, y) \) है।
प्रश्न के अनुसार, बिंदु के निर्देशांकों का योग = \( x + y \)
स्पर्श रेखा की प्रवणता = \( \frac{dy}{dx} \)
शर्त के अनुसार:
\( \frac{dy}{dx} = x + y + 5 \)
\( \frac{dy}{dx} - y = x + 5 \)
यह रैखिक अवकल समीकरण है जहाँ \( p = -1 \) और \( Q = x + 5 \)
समाकल गुणांक (I.F.) ज्ञात करने पर:
\( \text{I.F.} = e^{\int -1 \, dx} = e^{-x} \)
अवकल समीकरण का व्यापक हल:
\( y \cdot (\text{I.F.}) = \int (Q \times \text{I.F.}) \, dx + C \)
\( y e^{-x} = \int (x + 5) e^{-x} \, dx + C \)
खंडशः समाकलन का प्रयोग करने पर:
\( y e^{-x} = (x + 5)(-e^{-x}) - \int 1 \cdot (-e^{-x}) \, dx + C \)
\( y e^{-x} = -(x + 5)e^{-x} - e^{-x} + C \)
\( y e^{-x} = -(x + 6)e^{-x} + C \)
दोनों पक्षों को \( e^{-x} \) से भाग देने पर:
\( y = -(x + 6) + Ce^x \)
\( x + y + 6 = Ce^x \quad \text{--- (1)} \)
चूँकि वक्र बिंदु \( (0, 2) \) से होकर जाता है, इसलिए \( x = 0, y = 2 \):
\( 0 + 2 + 6 = C e^0 \implies 8 = C(1) \implies C = 8 \)
\( C \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( x + y + 6 = 8e^x \)
अतः, यह अभीष्ट वक्र का समीकरण है।

मुख्य बिंदु:

• प्रश्न की भाषा "निर्देशांकों का योग... से 5 अधिक है" को \( \frac{dy}{dx} = x + y + 5 \) के रूप में लिखा गया है।
• दिए गए बिंदु \( (0, 2) \) से \( C \) का मान निकाला गया है।

आम गलतियाँ:

• "+ 5" को समीकरण के दूसरे पक्ष में जोड़ने की बजाय गलत जगह जोड़ना।
• खंडशः समाकलन में चिन्हों की भूल करना।

Exam Tips:

a) भाषा को ध्यान से पढ़कर सही अवकल समीकरण बनाएं।
b) \( C \) का मान निकालते समय \( x \) और \( y \) दोनों के मान सावधानी से रखें।
c) अंतिम समीकरण को सरल रूप में छोड़ें।

Question 18: अवकल समीकरण \( x \frac{dy}{dx} - y = 2x^2 \) का समाकल गुणक है:
(A) \( e^{-x} \)
(B) \( e^{-y} \)
(C) \( \frac{1}{x} \)
(D) \( x \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( x \frac{dy}{dx} - y = 2x^2 \)
समीकरण को मानक रूप में बदलने के लिए पूरे समीकरण को \( x \) से भाग देने पर:
\( \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = 2x \)
यह रैखिक अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx} + py = Q \) के रूप में है, जहाँ \( p = -\frac{1}{x} \) और \( Q = 2x \)
समाकल गुणांक (I.F.) ज्ञात करने पर:
\( \text{I.F.} = e^{\int p \, dx} = e^{\int -\frac{1}{x} \, dx} = e^{-\log x} = e^{\log(x^{-1})} = x^{-1} = \frac{1}{x} \)
अतः, विकल्प (C) सही है।

मुख्य बिंदु:

• समाकल गुणक (I.F.) का सूत्र \( e^{\int p \, dx} \) होता है।
• \( p \) का मान चिन्ह सहित लिया जाता है (\( p = -\frac{1}{x} \))。

आम गलतियाँ:

• समीकरण को \( x \) से भाग दिए बिना सीधे \( p = -1 \) मान लेना।
• \( e^{-\log x} \) को \( x \) लिख देना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में भी पहले समीकरण को मानक रूप में जरूर बदलें।
b) लॉगरिथम के नियमों का सही पालन करें।
c) सही विकल्प (C) का चयन करें।

Question 19: अवकल समीकरण \( (1 - y^2)\frac{dx}{dy} + yx = ay \ (-1 < y < 1) \) का समाकलन गुणक है:
(A) \( \frac{1}{y^2 - 1} \)
(B) \( \frac{1}{\sqrt{y^2 - 1}} \)
(C) \( \frac{1}{1 - y^2} \)
(D) \( \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( (1 - y^2)\frac{dx}{dy} + yx = ay \)
पूरे समीकरण को \( (1 - y^2) \) से भाग देने पर:
\( \frac{dx}{dy} + \frac{y}{1 - y^2}x = \frac{ay}{1 - y^2} \)
यह समीकरण \( x \) में रैखिक अवकल समीकरण \( \frac{dx}{dy} + p_1 x = Q_1 \) के रूप में है, जहाँ \( p_1 = \frac{y}{1 - y^2} \) और \( Q_1 = \frac{ay}{1 - y^2} \)
समाकल गुणांक (I.F.) ज्ञात करने पर:
\( \text{I.F.} = e^{\int p_1 \, dy} = e^{\int \frac{y}{1 - y^2} \, dy} \)
मान लेते हैं \( 1 - y^2 = t \implies -2y \, dy = dt \implies y \, dy = -\frac{1}{2} dt \)
अतः समाकलन होगा:
\( \int \frac{y}{1 - y^2} \, dy = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \, dt = -\frac{1}{2} \log t = -\frac{1}{2} \log(1 - y^2) = \log((1 - y^2)^{-1/2}) \)
इसलिए समाकल गुणांक (I.F.) होगा:
\( \text{I.F.} = e^{\log(1 - y^2)^{-1/2}} = (1 - y^2)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} \)
अतः, विकल्प (D) सही है।

मुख्य बिंदु:

• यह समीकरण \( y \) के सापेक्ष रैखिक है, इसलिए I.F. का सूत्र \( e^{\int p_1 \, dy} \) होगा।
• प्रतिस्थापन विधि से समाकलन हल किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{dy}{dx} \) मानकर गलती से \( x \) के सापेक्ष समाकलन करना।
• \( -\frac{1}{2} \) गुणांक को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) जाँच करें कि समीकरण \( x \) में रैखिक है या \( y \) में।
b) लघुगणक के गुणों का ध्यानपूर्वक उपयोग करें।
c) सही विकल्प (D) पर टिक करें।