NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 09 Differential Equations (अवकल समीकरण) Exercise 9.4 in Hindi

Question 1: दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
\( (x^2 + xy)dy = (x^2 + y^2)dx \)

Answer:

दिया गया अवकल समीकरण है: \( (x^2 + xy)dy = (x^2 + y^2)dx \)
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + xy} \) ... (1)
माना \( F(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + xy} \)
अब \( F(\lambda x, \lambda y) = \frac{(\lambda x)^2 + (\lambda y)^2}{(\lambda x)^2 + (\lambda x)(\lambda y)} \)
\( = \frac{\lambda^2(x^2 + y^2)}{\lambda^2(x^2 + xy)} = \lambda^0 \cdot F(x, y) \)
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
इसे हल करने के लिए, माना \( y = vx \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \)
\( y \) तथा \( \frac{dy}{dx} \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + (vx)^2}{x^2 + x(vx)} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + v^2}{1 + v} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + v^2}{1 + v} - v \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + v^2 - v - v^2}{1 + v} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{1 - v}{1 + v} \)
\( \left(\frac{1 + v}{1 - v}\right)dv = \frac{dx}{x} \)
\( \left(\frac{2 - 1 + v}{1 - v}\right)dv = \frac{dx}{x} \)
\( \left(\frac{2}{1 - v} - 1\right)dv = \frac{dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( -2 \log(1 - v) - v = \log x + \log K \)
\( v = -2 \log(1 - v) - \log x - \log K \)
\( v = \log \left(\frac{k}{(1 - v)^2}\right) \)
\( \frac{y}{x} = \log \left(\frac{k}{(1 - \frac{y}{x})^2}\right) \)
\( \frac{y}{x} = \log \left(\frac{kx}{(x - y)^2}\right) \)
\( \frac{kx}{(x - y)^2} = e^{\frac{y}{x}} \implies (x - y)^2 = kx e^{-\frac{y}{x}} \)
अतः यह समीकरण दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• समघातीय अवकल समीकरण की पहचान \( F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n F(x, y) \) द्वारा की जाती है।
• \( y = vx \) का प्रतिस्थापन करके चरों को पृथक् किया जाता है।
• समाकलन के पश्चात चर \( y \) और \( x \) को पुनः उनके मूल रूप में प्रतिस्थापित किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( y = vx \) का अवकलन करते समय उत्पाद नियम (Product Rule) भूल जाना।
• समाकलन करते समय लघुगणक (Logarithm) के गुणों का गलत प्रयोग करना।
• स्वेच्छ अचर (Arbitrary Constant) को सही ढंग से न जोड़ना।

Exam Tips:

a) हमेशा जाँच लें कि दिया गया फलन समघातीय है या नहीं, इससे पहले कि आप प्रतिस्थापन शुरू करें।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से लिखें ताकि जाँचकर्ता को गणना आसानी से समझ आ सके।
c) अंतिम उत्तर को जितना संभव हो सके सरल रूप में व्यक्त करें।

Question 2: दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
\( y' = \frac{x + y}{x} \)

Answer:

दी गई समीकरण है: \( y' = \frac{x + y}{x} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x} \) ... (1)
माना \( F(x, y) = \frac{x + y}{x} \)
तब \( F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda x + \lambda y}{\lambda x} = \frac{\lambda(x + y)}{\lambda x} = \lambda^0 F(x, y) \)
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
इस समीकरण को हल करने के लिए, माना \( y = vx \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर: \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \)
\( y \) तथा \( \frac{dy}{dx} \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = 1 + v \)
\( x \frac{dv}{dx} = 1 \)
\( dv = \frac{dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( v = \log x + C \)
\( \frac{y}{x} = \log x + C \)
\( y = x \log x + Cx \)
अतः ये समीकरण, दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• \( y' \) को \( \frac{dy}{dx} \) के रूप में लिखकर शुरुआत करें।
• समघातीय सिद्ध करने के लिए अंश और हर की घात समान होनी चाहिए।
• चरों के पृथक्करण के बाद सीधे समाकलन लागू करें।

आम गलतियाँ:

• \( v \) को दाहिने पक्ष में स्थानांतरित करना भूल जाना।
• समाकलन अचर \( C \) को जोड़ना छोड़ देना।
• अंतिम चरण में \( v \) का मान वापस \( \frac{y}{x} \) न रखना।

Exam Tips:

a) प्रतिस्थापन के बाद समीकरण बहुत सरल हो जाती है, गणना ध्यान से करें।
b) प्रत्येक चरण में बराबर (=) के चिह्नों को एक सीध में न लिखकर नीचे नई पंक्ति में हल करें।
c) अंतिम हल को \( y = f(x) \) के रूप में व्यक्त करना सबसे अच्छा होता है।

Question 3: दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
\( (x - y)dy - (x + y)dx = 0 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( (x - y)dy - (x + y)dx = 0 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y} \) ... (1)
माना \( F(x, y) = \frac{x + y}{x - y} \)
इसलिए, \( F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda x + \lambda y}{\lambda x - \lambda y} = \frac{\lambda(x + y)}{\lambda(x - y)} = \lambda^0 F(x, y) \)
अतः, दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है।
इस समीकरण को हल करने के लिए, माना \( y = vx \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर: \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \)
\( y \) तथा \( \frac{dy}{dx} \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x - vx} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + v}{1 - v} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + v}{1 - v} - v = \frac{1 + v - v(1 - v)}{1 - v} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + v - v + v^2}{1 - v} = \frac{1 + v^2}{1 - v} \)
\( \left(\frac{1 - v}{1 + v^2}\right)dv = \frac{dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \left(\frac{1}{1 + v^2} - \frac{v}{1 + v^2}\right)dv = \int \frac{dx}{x} \)
\( \tan^{-1} v - \frac{1}{2}\log(1 + v^2) = \log x + C \)
\( \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{1}{2}\log\left(1 + \frac{y^2}{x^2}\right) = \log x + C \)
\( \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{1}{2}\log\left(\frac{x^2 + y^2}{x^2}\right) = \log x + C \)
\( \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{1}{2}[\log(x^2 + y^2) - \log x^2] = \log x + C \)
\( \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{1}{2}\log(x^2 + y^2) + \log x = \log x + C \)
\( \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{2}\log(x^2 + y^2) + C \)
अतः, ये समीकरण, दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• भिन्नों के समाकलन को अलग-अलग करना महत्वपूर्ण है (\( \int \frac{v}{1+v^2} dv \))।
• लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को सरल बनाया जाता है।
• अंतिम उत्तर में प्रतिस्थापन वापस रखना अनिवार्य है।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{v}{1+v^2} \) के समाकलन में \( \frac{1}{2} \) गुणा करना भूल जाना।
• लघुगणक के घटाव के नियम में कोष्ठक की गलती करना।
• \( \tan^{-1} v \) के समाकलन का सूत्र गलत लिखना।

Exam Tips:

a) लघुगणकीय पदों को आपस में काटने से पहले उनके गुणांकों का ध्यान रखें।
b) त्रिकोणमिति प्रतिस्थापन वाले प्रश्नों में गणना को बहुत सावधानी से आगे बढ़ाएं।
c) यदि संभव हो, तो उत्तर को लघुगणक या प्रतिलोम त्रिकोणमितीय रूप में समेकિત करें।

Question 4: दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
\( (x^2 - y^2)dx + 2xy dy = 0 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( (x^2 - y^2)dx + 2xy dy = 0 \)
\( \frac{dy}{dx} = -\frac{(x^2 - y^2)}{2xy} \) ... (1)
माना \( F(x, y) = -\frac{x^2 - y^2}{2xy} \)
तब \( F(\lambda x, \lambda y) = -\frac{(\lambda x)^2 - (\lambda y)^2}{2(\lambda x)(\lambda y)} = -\frac{\lambda^2(x^2 - y^2)}{\lambda^2(2xy)} = \lambda^0 F(x, y) \)
अतः, दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है।
इस समीकरण को हल करने के लिए, माना \( y = vx \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर: \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \)
\( y \) तथा \( \frac{dy}{dx} \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = -\frac{x^2 - (vx)^2}{2x(vx)} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = -\frac{x^2(1 - v^2)}{2x^2 v} = -\frac{1 - v^2}{2v} \)
\( x \frac{dv}{dx} = -\frac{1 - v^2}{2v} - v = \frac{-1 + v^2 - 2v^2}{2v} = \frac{-1 - v^2}{2v} = -\frac{1 + v^2}{2v} \)
\( \frac{2v}{1 + v^2}dv = -\frac{dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \log(1 + v^2) = -\log x + \log C = \log \frac{C}{x} \)
\( 1 - v^2 = \frac{C}{x} \) (यहाँ लॉग हटाने पर)
\( 1 - \frac{y^2}{x^2} = \frac{C}{x} \)
\( \frac{x^2 - y^2}{x^2} = \frac{C}{x} \)
\( x^2 - y^2 = Cx \)
अतः, यह समीकरण, दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• ऋणात्मक चिह्न का सही प्रबंधन करना आवश्यक है।
• \( \frac{2v}{1+v^2} \) का समाकलन सीधे \( \log(1+v^2) \) होता है क्योंकि अंश हर का अवकलज है।
• स्वेच्छ अचर को \( \log C \) मानना लघुगणक हटाने में सहायक होता है।

आम गलतियाँ:

• ऋण चिह्न को भूल जाना या कोष्ठक के अंदर गलत गुणा करना।
• लघुगणक हटाने के नियमों का गलत पालन करना।
• अंतिम उत्तर में हर के \( x \) को काटना भूल जाना।

Exam Tips:

a) समाकलन करते समय यदि अंश हर का अवकलन हो, तो सीधे लघुगणक का सूत्र लगाएं।
b) लघुगणक के पदों को एक तरफ करने से समीकरण को सरल बनाना आसान हो जाता है।
c) उत्तर को सरल बीजीय रूप में छोड़ना सबसे अच्छा रहता है।

Question 5: दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
\( x^2 \frac{dy}{dx} = x^2 - 2y^2 + xy \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( x^2 \frac{dy}{dx} = x^2 - 2y^2 + xy \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - 2y^2 + xy}{x^2} \) ... (1)
माना \( F(x, y) = \frac{x^2 - 2y^2 + xy}{x^2} \)
इसलिए, \( F(\lambda x, \lambda y) = \frac{(\lambda x)^2 - 2(\lambda y)^2 + (\lambda x)(\lambda y)}{(\lambda x)^2} = \frac{\lambda^2(x^2 - 2y^2 + xy)}{\lambda^2 x^2} = \lambda^0 F(x, y) \)
अतः, दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है।
इस समीकरण को हल करने के लिए, माना \( y = vx \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर: \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \)
\( y \) तथा \( \frac{dy}{dx} \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 - 2(vx)^2 + x(vx)}{x^2} = 1 - 2v^2 + v \)
\( x \frac{dv}{dx} = 1 - 2v^2 + v - v = 1 - 2v^2 \)
\( \frac{1}{1 - 2v^2}dv = \frac{dx}{x} \implies \frac{1}{(\sqrt{2})^2 - v^2}dv = \frac{dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left|\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} + v}{\frac{1}{\sqrt{2}} - v}\right| = \log|x| + C \)
\( \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left|\frac{1 + \sqrt{2}v}{1 - \sqrt{2}v}\right| = \log|x| + C \)
\( \frac{1}{\sqrt{2}} \log \left|\frac{1 + \frac{\sqrt{2}y}{x}}{1 - \frac{\sqrt{2}y}{x}}\right| = \log|x| + C \)
\( \frac{1}{\sqrt{2}} \log \left|\frac{x + \sqrt{2}y}{x - \sqrt{2}y}\right| = \log|x| + C \)
अतः, यह समीकरण, दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• मानक समाकलन सूत्र \( \int \frac{1}{a^2 - x^2} dx = \frac{1}{2a} \log \left|\frac{a + x}{a - x}\right| \) का उपयोग किया गया है।
• यहाँ \( a = \frac{1}{\sqrt{2}} \) है।
• प्रतिस्थापन के बाद समीकरण को मानक रूप में बदलना महत्वपूर्ण है।

आम गलतियाँ:

• समाकलन सूत्र में \( \frac{1}{2a} \) लिखना भूल जाना।
• \( v \) का मान वापस रखते समय \( \sqrt{2} \) को छोड़ देना।
• लघुगणक और बीजीय पदों के बीच संतुलन खो देना।

Exam Tips:

a) मानक समाकलन सूत्रों को परीक्षा से पहले अच्छी तरह याद कर लें।
b) यदि हर में द्विघात पद बने, तो पूर्ण वर्ग विधि (Completing the square) या मानक सूत्र का प्रयोग करें।
c) गणना के दौरान अचरों को सही स्थिति में रखें।

Question 6: दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
\( x \, dy - y \, dx = \sqrt{x^2 + y^2} \, dx \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( x \, dy - y \, dx = \sqrt{x^2 + y^2} \, dx \)
\( x \, dy = [y + \sqrt{x^2 + y^2}]dx \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} \) ... (1)
माना \( F(x, y) = \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} \)
इसलिए, \( F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda y + \sqrt{(\lambda x)^2 + (\lambda y)^2}}{\lambda x} = \frac{\lambda(y + \sqrt{x^2 + y^2})}{\lambda x} = \lambda^0 F(x, y) \)
अतः, दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है।
इस समीकरण को हल करने के लिए, माना \( y = vx \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर: \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \)
\( y \) तथा \( \frac{dy}{dx} \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^2 + (vx)^2}}{x} = v + \sqrt{1 + v^2} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2} \)
\( \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \frac{dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \log(v + \sqrt{1 + v^2}) = \log|x| + C \)
\( \log\left(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}}\right) = \log|x| + C \)
\( \log\left(\frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x}\right) = \log|x| + C \)
\( \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} = e^{\log|x| + C} = e^C |x| = Kx \)
\( y + \sqrt{x^2 + y^2} = Kx^2 \)
अतः, यह समीकरण, दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• वर्गमूल के अंदर से \( x^2 \) को कॉमन निकालकर बाहर \( x \) के रूप में लाया जाता है।
• \( \int \frac{dv}{\sqrt{1+v^2}} \) का मानक समाकलन \( \log(v + \sqrt{1+v^2}) \) होता है।
• चर को हटाने के बाद लघुगणक को घातांकीय रूप में बदला जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• वर्गमूल से बाहर निकालते समय \( x^2 \) को \( x \) न लिखकर सीधे छोड़ देना।
• समाकलन सूत्र का गलत चयन करना।
• स्वेच्छ अचर को घातांकीय रूप में बदलते समय त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) वर्गमूल वाले समघातीय प्रश्नों में \( x \) को बाहर निकालकर अंश और हर से काटना न भूलें।
b) समाकलन के मानक सूत्रों की सूची हमेशा ध्यान में रखें।
c) यदि दोनों पक्षों में लघुगणक हो, तो अचर को भी लघुगणक के रूप में (\( \log C \)) मानना सरल रहता है।

Question 7: दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
\( \left\{x \cos\left(\frac{y}{x}\right) + y \sin\left(\frac{y}{x}\right)\right\} y \, dx = \left\{y \sin\left(\frac{y}{x}\right) - x \cos\left(\frac{y}{x}\right)\right\} x \, dy \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\{x \cos(\frac{y}{x}) + y \sin(\frac{y}{x})\}y}{\{y \sin(\frac{y}{x}) - x \cos(\frac{y}{x})\}x} \) ... (1)
माना \( F(x, y) = \frac{\{x \cos(\frac{y}{x}) + y \sin(\frac{y}{x})\}y}{\{y \sin(\frac{y}{x}) - x \cos(\frac{y}{x})\}x} \)
स्पष्ट है कि \( F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^0 F(x, y) \), अतः यह एक समघातीय समीकरण है।
इस समीकरण को हल करने के लिए, माना \( y = vx \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर: \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \)
मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{(x \cos v + vx \sin v)vx}{(vx \sin v - x \cos v)x} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v}{v \sin v - \cos v} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v}{v \sin v - \cos v} - v = \frac{v \cos v + v^2 \sin v - v^2 \sin v + v \cos v}{v \sin v - \cos v} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{2v \cos v}{v \sin v - \cos v} \)
\( \left(\frac{v \sin v - \cos v}{2v \cos v}\right)dv = \frac{dx}{x} \implies \left(\frac{\tan v}{2} - \frac{1}{2v}\right)dv = \frac{dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \frac{1}{2} \log(\sec v) - \frac{1}{2} \log v = \log x + C \)
\( \log\left(\frac{\sec v}{v}\right) = \log(Cx^2) \implies \sec v = C x^2 v \)
\( \sec\left(\frac{y}{x}\right) = C x^2 \left(\frac{y}{x}\right) \implies x \sec\left(\frac{y}{x}\right) = Cxy \implies xy \cos\left(\frac{y}{x}\right) = K \) (जहाँ \( K = \frac{1}{C} \))
अतः, यह समीकरण, दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय फलनों वाले समघातीय समीकरणों में \( y = vx \) रखने पर फलन केवल \( v \) के पदों में बदल जाते हैं।
• अंश और हर को अलग करके समाकलन करना आसान बनाता है।
• \( \sec v = \frac{1}{\cos v} \) का प्रयोग करके अंतिम उत्तर को सरल बनाया जाता है।

आम गलतियाँ:

• त्रिकोणमितीय अनुपातों के समाकलन में चिह्न की भूल करना।
• लघुगणक के गुणों का गलत संयोजन करना।
• \( v \) का मान वापस \( \frac{y}{x} \) प्रतिस्थापित करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय पदों को \( \sin v \) और \( \cos v \) में बदलना सबसे सुरक्षित तरीका है।
b) समाकलन के बाद लघुगणक को एक तरफ समेकित करें ताकि एंटीलॉग लेना आसान हो।
c) गणना को बड़े ध्यान से करें क्योंकि ऐसे प्रश्नों में पद लंबे हो जाते हैं।

Question 8: दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
\( x \frac{dy}{dx} - y + x \sin\left(\frac{y}{x}\right) = 0 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( x \frac{dy}{dx} - y + x \sin\left(\frac{y}{x}\right) = 0 \)
\( x \frac{dy}{dx} = y - x \sin\left(\frac{y}{x}\right) \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{y - x \sin(\frac{y}{x})}{x} \) ... (1)
माना \( F(x, y) = \frac{y - x \sin(\frac{y}{x})}{x} \)
स्पष्ट है कि \( F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^0 F(x, y) \), अतः यह एक समघातीय समीकरण है।
इस समीकरण को हल करने के लिए, माना \( y = vx \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर: \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \)
मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx - x \sin v}{x} = v - \sin v \)
\( x \frac{dv}{dx} = -\sin v \)
\( -\frac{dv}{\sin v} = \frac{dx}{x} \implies -\ cosec v \, dv = \frac{dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( -\log|\ cosec v - \cot v| = \log x + C \)
\( \log\left|\frac{1}{\ cosec v - \cot v}\right| = \log x + \log C = \log(Cx) \)
\( \frac{1}{\ cosec v - \cot v} = Cx \implies \sin v = C x (1 - \cos v) \) (सरल करने पर)
\( \sin\left(\frac{y}{x}\right) = C x \left(1 - \cos\left(\frac{y}{x}\right)\right) \)
अतः, यह समीकरण, दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• \( \frac{1}{\sin v} = \ cosec v \) का समाकलन मानक रूप में याद होना चाहिए।
• \( \ cosec v - \cot v \) के समाकलन का सूत्र \( \log|\ cosec v - \cot v| \) है।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके उत्तर को सुव्यवस्थित किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( \ cosec v \) के समाकलन में ऋण चिह्न का गलत उपयोग करना।
• लघुगणक के योग को गुणा में बदलते समय गलती करना।
• अंतिम चरण में \( v \) का मान प्रतिस्थापित न करना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन के सभी सूत्र लिखकर अभ्यास करें।
b) यदि प्रश्न में \( \sin(y/x) \) या \( \cos(y/x) \) हो, तो प्रतिस्थापन बहुत सावधानी से करें।
c) अचर को \( \log C \) के रूप में जोड़ने से लघुगणक हटाना आसान होता है।

Question 9: दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
\( y \, dx + x \log\left(\frac{y}{x}\right) dy - 2x \, dy = 0 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( y \, dx + x \log\left(\frac{y}{x}\right) dy - 2x \, dy = 0 \)
\( y \, dx = [2x - x \log\left(\frac{y}{x}\right)] dy \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{2x - x \log(\frac{y}{x})} \) ... (1)
माना \( F(x, y) = \frac{y}{2x - x \log(\frac{y}{x})} \)
स्पष्ट है कि \( F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^0 F(x, y) \), अतः यह एक समघातीय समीकरण है।
इस समीकरण को हल करने के लिए, माना \( y = vx \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर: \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \)
मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx}{2x - x \log v} = \frac{v}{2 - \log v} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{2 - \log v} - v = \frac{v - 2v + v \log v}{2 - \log v} = \frac{v \log v - v}{2 - \log v} = \frac{v(\log v - 1)}{2 - \log v} \)
\( \left(\frac{2 - \log v}{v(\log v - 1)}\right)dv = \frac{dx}{x} \implies \left(\frac{1 - (\log v - 1)}{v(\log v - 1)}\right)dv = \frac{dx}{x} \)
\( \left(\frac{1}{v(\log v - 1)} - \frac{1}{v}\right)dv = \frac{dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \log|\log v - 1| - \log v = \log x + C \)
\( \log\left(\frac{\log v - 1}{v}\right) = \log x + \log C = \log(Cx) \)
\( \frac{\log v - 1}{v} = Cx \implies \frac{\log(\frac{y}{x}) - 1}{\frac{y}{x}} = Cx \implies \frac{x}{y} \left[\log\left(\frac{y}{x}\right) - 1\right] = Cx \)
अतः, यह समीकरण, दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• अंश और हर को \( x \) से विभाजित करके फलन को \( y/x \) के रूप में बदला जाता है।
• समाकलन करते समय आंशिक भिन्नों या समायोजन का उपयोग करना पड़ता है।
• \( \log v - 1 = t \) प्रतिस्थापन करके समाकलन को आसान बनाया जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{1}{v(\log v - 1)} \) के समाकलन में लघुगणक का नियम भूल जाना।
• लघुगणक के पदों को सरल करते समय बीजगणितीय त्रुटि करना।
• \( C \) को जोड़ना या गुणा करना गलत तरीके से लिखना।

Exam Tips:

a) जटिल भिन्नों के समाकलन के लिए सहायक चर (substitution) का प्रयोग करें।
b) चरणों को स्पष्ट रखें ताकि लघुगणक के गुण आसानी से लगाए जा सकें।
c) अंतिम उत्तर में स्वेच्छ अचर को सही स्थान पर रखें।

Question 10: दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इसको हल कीजिए:
\( \left(1 + e^{\frac{x}{y}}\right)dx + e^{\frac{x}{y}}\left(1 - \frac{x}{y}\right)dy = 0 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( \left(1 + e^{\frac{x}{y}}\right)dx + e^{\frac{x}{y}}\left(1 - \frac{x}{y}\right)dy = 0 \)
\( \left(1 + e^{\frac{x}{y}}\right)dx = -e^{\frac{x}{y}}\left(1 - \frac{x}{y}\right)dy \)
\( \frac{dx}{dy} = -\frac{e^{\frac{x}{y}}(1 - \frac{x}{y})}{1 + e^{\frac{x}{y}}} \) ... (1)
यहाँ समीकरण \( \frac{dx}{dy} = F(x, y) \) के रूप में है, जहाँ \( F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^0 F(x, y) \), अतः यह समघातीय है।
इसे हल करने के लिए, माना \( x = vy \)
दोनों पक्षों का \( y \) के सापेक्ष अवकलन करने पर: \( \frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy} \)
मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + y \frac{dv}{dy} = -\frac{e^v(1 - v)}{1 + e^v} \)
\( y \frac{dv}{dy} = -\frac{e^v - ve^v}{1 + e^v} - v = \frac{-e^v + ve^v - v - ve^v}{1 + e^v} = -\frac{v + e^v}{1 + e^v} \)
\( \left(\frac{1 + e^v}{v + e^v}\right)dv = -\frac{dy}{y} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \log(v + e^v) = -\log y + \log C = \log\left(\frac{C}{y}\right) \)
\( v + e^v = \frac{C}{y} \implies \frac{x}{y} + e^{\frac{x}{y}} = \frac{C}{y} \)
\( x + y e^{\frac{x}{y}} = C \)
अतः, यह समीकरण, दी गई अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• जब समीकरण में \( x/y \) के पद अधिक हों, तो \( \frac{dx}{dy} \) और \( x = vy \) का प्रतिस्थापन करना अधिक सुविधाजनक होता है।
• हर का अवकलज अंश में होने पर समाकलन सीधे \( \log(\text{हर}) \) होता है।
• लघुगणक हटाने पर समीकरण बहुत सरल हो जाती है।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{dx}{dy} \) के स्थान पर गलती से \( \frac{dy}{dx} \) का प्रयोग करना।
• \( x = vy \) के अवकलन में \( v + y \frac{dv}{dy} \) के बजाय \( x \) के सापेक्ष अवकलन कर देना।
• ऋण चिह्न का सही हिसाब न रखना।

Exam Tips:

a) प्रश्न में \( x/y \) देखकर तुरंत समझ जाएं कि \( \frac{dx}{dy} \) विधि आसान रहेगी।
b) समाकलन के लघुगणकीय रूप को घातांकीय रूप में बदलना न भूलें।
c) अंतिम उत्तर को एक साफ-सुथरे समीकरण के रूप में प्रस्तुत करें।

Question 11: निम्नलिखित अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
\( (x + y)dy + (x - y)dx = 0; \, y = 1 \, \text{यदि} \, x = 1 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( (x + y)dy + (x - y)dx = 0 \)
\( (x + y)dy = -(x - y)dx \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x - y}{x + y} = \frac{y - x}{y + x} \) ... (1)
यह एक समघातीय समीकरण है। हल करने के लिए माना \( y = vx \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर: \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \)
मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx - x}{vx + x} = \frac{v - 1}{v + 1} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{v - 1}{v + 1} - v = \frac{v - 1 - v(v + 1)}{v + 1} = \frac{v - 1 - v^2 - v}{v + 1} = -\frac{1 + v^2}{v + 1} \)
\( \left(\frac{v + 1}{1 + v^2}\right)dv = -\frac{dx}{x} \implies \left(\frac{v}{1 + v^2} + \frac{1}{1 + v^2}\right)dv = -\frac{dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \frac{1}{2}\log(1 + v^2) + \tan^{-1} v = -\log x + K \)
\( \frac{1}{2}\log\left(1 + \frac{y^2}{x^2}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = -\log x + K \)
\( \frac{1}{2}\log\left(\frac{x^2 + y^2}{x^2}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = -\log x + K \)
\( \frac{1}{2}\log(x^2 + y^2) - \frac{1}{2}\log(x^2) + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = -\log x + K \)
\( \frac{1}{2}\log(x^2 + y^2) - \log x + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = -\log x + K \)
\( \frac{1}{2}\log(x^2 + y^2) + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = K \) ... (2)
अब दिया है कि \( x = 1 \) पर \( y = 1 \), अतः समीकरण (2) में मान रखने पर:
\( \frac{1}{2}\log(1^2 + 1^2) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{1}\right) = K \)
\( \frac{1}{2}\log(2) + \tan^{-1}(1) = K \implies \frac{1}{2}\log 2 + \frac{\pi}{4} = K \)
\( K \) का यह मान समीकरण (2) में रखने पर:
\( \frac{1}{2}\log(x^2 + y^2) + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{2}\log 2 + \frac{\pi}{4} \)
अतः, यह विशिष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• विशिष्ट हल (Particular Solution) ज्ञात करने के लिए स्वेच्छ अचर \( K \) का मान निकालना आवश्यक होता है।
• दिए गए प्रतिबंधों \( (x=1, y=1) \) का उपयोग समाकलन के बाद किया जाता है।
• लघुगणक और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मानों को सटीक रखना जरूरी है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिबंधों का उपयोग समाकलन से पहले करना।
• \( \tan^{-1}(1) \) का मान \( \frac{\pi}{4} \) के बजाय गलत लिखना।
• अचर \( K \) का मान अंतिम समीकरण में रखना भूल जाना।

Exam Tips:

• विशिष्ट हल के प्रश्नों में सामान्य हल निकालने के बाद अंत में \( x \) और \( y \) के मान रखकर अचर की गणना करें।
• \( \log(1) = 0 \) और \( \tan^{-1}(1) = \pi/4 \) जैसे मानक मानों को याद रखें।
• उत्तर को स्पष्ट रूप से "विशिष्ट हल" के रूप में समाप्त करें।

Question 12: निम्नलिखित अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
\( x^2 dy + (xy + y^2)dx = 0; \, y = 1 \, \text{यदि} \, x = 1 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( x^2 dy + (xy + y^2)dx = 0 \)
\( x^2 dy = -(xy + y^2)dx \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{xy + y^2}{x^2} \) ... (1)
यह एक समघातीय समीकरण है। हल करने के लिए माना \( y = vx \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर: \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \)
मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = -\frac{x(vx) + (vx)^2}{x^2} = -(v + v^2) = -v - v^2 \)
\( x \frac{dv}{dx} = -v - v^2 - v = -2v - v^2 = -v(v + 2) \)
\( \left(\frac{1}{v(v + 2)}\right)dv = -\frac{dx}{x} \implies \frac{1}{2}\left(\frac{1}{v} - \frac{1}{v + 2}\right)dv = -\frac{dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \frac{1}{2}[\log v - \log(v + 2)] = -\log x + C \)
\( \frac{1}{2}\log\left(\frac{v}{v + 2}\right) = -\log x + C \)
\( \log\left(\frac{v}{v + 2}\right) = -2\log x + 2C = \log(x^{-2}) + \log K = \log\left(\frac{K}{x^2}\right) \)
\( \frac{v}{v + 2} = \frac{K}{x^2} \implies \frac{\frac{y}{x}}{\frac{y}{x} + 2} = \frac{K}{x^2} \implies \frac{y}{y + 2x} = \frac{K}{x^2} \implies \frac{x^2 y}{y + 2x} = K \) ... (2)
अब दिया है कि \( x = 1 \) पर \( y = 1 \), अतः समीकरण (2) में मान रखने पर:
\( \frac{(1)^2(1)}{1 + 2(1)} = K \implies K = \frac{1}{3} \)
\( K \) का यह मान समीकरण (2) में रखने पर:
\( \frac{x^2 y}{y + 2x} = \frac{1}{3} \implies 3x^2 y = y + 2x \)
अतः, यह अभीष्ट विशिष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• आंशिक भिन्न (Partial Fractions) विधि का उपयोग करके \( \frac{1}{v(v+2)} \) का समाकलन किया जाता है।
• विशिष्ट हल प्राप्त करने के लिए \( x=1, y=1 \) रखकर स्वेच्छ अचर ज्ञात किया जाता है।
• लघुगणक के गुणांक को शक्ति के रूप में ऊपर ले जाया जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• आंशिक भिन्नों को अलग करते समय \( \frac{1}{2} \) का गुणा छोड़ देना।
• \( K \) का मान निकालते समय गणना में चिह्न की गलती करना।
• अंतिम हल को लघुगणकीय रूप से बीजीय रूप में न बदलना।

Exam Tips:

a) आंशिक भिन्नों को सावधानी से हल करें क्योंकि एक छोटी सी गलती पूरा उत्तर बदल सकती है।
b) अचर \( K \) का मान निकालने के बाद उसे समीकरण में प्रतिस्थापित करके अंतिम उत्तर को सरल करें।
c) परीक्षा में सभी चरणों को क्रमिक रूप से लिखें।

Question 13: निम्नलिखित अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
\( \left[x \sin^2\left(\frac{y}{x}\right) - y\right]dx + x \, dy = 0; \, y = \frac{\pi}{4} \, \text{यदि} \, x = 1 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( \left[x \sin^2\left(\frac{y}{x}\right) - y\right]dx + x \, dy = 0 \)
\( x \, dy = -\left[x \sin^2\left(\frac{y}{x}\right) - y\right]dx \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{y - x \sin^2(\frac{y}{x})}{x} \) ... (1)
यह एक समघातीय समीकरण है। हल करने के लिए माना \( y = vx \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर: \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \)
मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx - x \sin^2 v}{x} = v - \sin^2 v \)
\( x \frac{dv}{dx} = -\sin^2 v \)
\( -\frac{dv}{\sin^2 v} = \frac{dx}{x} \implies -\ cosec^2 v \, dv = \frac{dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \cot v = \log x + C \implies \cot\left(\frac{y}{x}\right) = \log x + C \) ... (2)
अब दिया है कि \( x = 1 \) पर \( y = \frac{\pi}{4} \), अतः समीकरण (2) में मान रखने पर:
\( \cot\left(\frac{\pi/4}{1}\right) = \log(1) + C \implies \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0 + C \implies C = 1 \)
\( C \) का यह मान समीकरण (2) में रखने पर:
\( \cot\left(\frac{y}{x}\right) = \log x + 1 \)
अतः, यह अभीष्ट विशिष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• \( -\ cosec^2 v \) का समाकलन सीधे \( \cot v \) होता है।
• \( \cot(\frac{\pi}{4}) = 1 \) और \( \log(1) = 0 \) का मान विशिष्ट हल निकालते समय उपयोग होता है।
• समीकरण को \( \frac{dy}{dx} \) के रूप में व्यवस्थित करना पहला चरण है।

आम गलतियाँ:

• \( \ cosec^2 v \) के समाकलन में चिह्न की गलती करना।
• \( \log(1) \) को 1 मान लेना (जबकि यह 0 होता है)।
• विशिष्ट हल में अचर का मान रखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन के सूत्र अच्छी तरह याद रखें।
b) प्रतिबंधों का मान रखते समय त्रिकोणमितीय सारणी के मानों का सही प्रयोग करें।
c) अंतिम समीकरण को स्पष्ट रूप से बॉक्स में या अलग से दर्शाएं।

Question 14: निम्नलिखित अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
\( \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} + \csc\left(\frac{y}{x}\right) = 0; \, y = 0 \, \text{यदि} \, x = 1 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} + \csc\left(\frac{y}{x}\right) = 0 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \csc\left(\frac{y}{x}\right) \) ... (1)
यह एक समघातीय समीकरण है। हल करने के लिए माना \( y = vx \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर: \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \)
मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = v - \csc v \)
\( x \frac{dv}{dx} = -\csc v \)
\( -\sin v \, dv = \frac{dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \cos v = \log x + C \implies \cos\left(\frac{y}{x}\right) = \log x + C \) ... (2)
अब दिया है कि \( x = 1 \) पर \( y = 0 \), अतः समीकरण (2) में मान रखने पर:
\( \cos(0) = \log(1) + C \implies 1 = 0 + C \implies C = 1 \)
\( C \) का यह मान समीकरण (2) में रखने पर:
\( \cos\left(\frac{y}{x}\right) = \log x + 1 \)
अतः, यह अभीष्ट विशिष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• \( \csc v \) को \( \frac{1}{\sin v} \) लिखकर चरों को पृथक् किया जाता है।
• \( \cos(0) = 1 \) और \( \log(1) = 0 \) विशिष्ट हल निकालने में सहायक होते हैं।
• समाकलन के बाद त्रिकोणमितीय अनुपात में वापस मान रखना आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• \( \sin v \) के समाकलन में चिह्न की त्रुटि करना।
• \( \cos(0) \) का मान 0 समझ लेना।
• विशिष्ट हल में स्वेच्छ अचर का मान छोड़ देना।

Exam Tips:

a) प्रतिस्थापन के बाद समीकरण बहुत सरल हो जाती है, अतः शांति से समाकलन करें।
b) विशिष्ट हल के प्रश्नों में अचर निकालने के चरण को कभी न छोड़ें।
c) अपने उत्तर की जाँच एक बार दिए गए प्रतिबंधों से अवश्य कर लें।

Question 15: निम्नलिखित अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
\( 2xy + y^2 - 2x^2 \frac{dy}{dx} = 0; \, y = 2 \, \text{यदि} \, x = 1 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है: \( 2xy + y^2 - 2x^2 \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( 2x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy + y^2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2xy + y^2}{2x^2} \) ... (1)
यह एक समघातीय समीकरण है। हल करने के लिए माना \( y = vx \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर: \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \)
मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{2x(vx) + (vx)^2}{2x^2} = \frac{2v + v^2}{2} = v + \frac{v^2}{2} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{2} \)
\( \frac{2}{v^2}dv = \frac{dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( -\frac{2}{v} = \log x + C \implies -\frac{2x}{y} = \log x + C \) ... (2)
अब दिया है कि \( x = 1 \) पर \( y = 2 \), अतः समीकरण (2) में मान रखने पर:
\( -\frac{2(1)}{2} = \log(1) + C \implies -1 = 0 + C \implies C = -1 \)
\( C \) का यह मान समीकरण (2) में रखने पर:
\( -\frac{2x}{y} = \log x - 1 \implies \frac{2x}{y} = 1 - \log x \implies y = \frac{2x}{1 - \log x} \)
अतः, यह अभीष्ट विशिष्ट हल है।

मुख्य बिंदु:

• बीजगणितीय समाकलन \( \int \frac{2}{v^2} dv = -\frac{2}{v} \) का प्रयोग किया जाता है।
• विशिष्ट हल के लिए \( x = 1 \) और \( y = 2 \) का मान प्रतिस्थापित किया जाता है।
• अंत में हल को \( y \) के पदों में व्यक्त करना अधिक सुंदर और मानक है।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{2}{v^2} \) के समाकलन में ऋणात्मक चिह्न भूल जाना।
• अचर \( C \) का मान निकालते समय भिन्नों को गलत हल करना।
• \( \log(1) \) को 1 लिखना।

Exam Tips:

a) समाकलन के समय घात के नियम (\( \int x^n dx \)) का सही प्रयोग करें।
b) विशिष्ट हल निकालते समय गणनाओं की दोबारा जाँच करें।
c) अंतिम परिणाम को सरलतम रूप में छोड़ें।

Question 16: \( \frac{dy}{dx} = h\left(\frac{y}{x}\right) \) के रूप वाले समघातीय अवकल समीकरण को हल करने के लिए निम्नलिखित में से कौन सा प्रतिस्थापन किया जाता है?
(A) \( y = vx \)
(B) \( v = yx \)
(C) \( x = vy \)
(D) \( x = v \)

Answer:

दी गई समघातीय अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx} = h\left(\frac{y}{x}\right) \) के रूप में है।
इस प्रकार के समघातीय समीकरण को हल करने के लिए मानक प्रतिस्थापन \( y = vx \) किया जाता है।
अतः, विकल्प (A) सही है।

मुख्य बिंदु:

• समघातीय समीकरणों में \( y/x \) के पदों को हल करने के लिए \( y = vx \) का प्रतिस्थापन किया जाता है।
• यह प्रतिस्थापन समीकरण को चरों के पृथक्करण योग्य (separable) रूप में बदल देता है।
• यदि समीकरण \( \frac{dx}{dy} = h(\frac{x}{y}) \) के रूप में हो, तो \( x = vy \) का प्रयोग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( v = yx \) जैसा गलत प्रतिस्थापन चुन लेना।
• \( \frac{dx}{dy} \) और \( \frac{dy}{dx} \) के नियमों में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में सैद्धांतिक स्पष्टता सबसे महत्वपूर्ण है।
b) समघातीय फलन के चर को पहचानकर ही प्रतिस्थापन चुनें।
c) सीधे सही विकल्प को उत्तर पुस्तिका में कारण सहित लिखें।

Question 17: निम्नलिखित में से कौन सा समघातीय अवकल समीकरण है?
(A) \( (4x + 6y + 5)dx - (3y + 2x + 4)dy = 0 \)
(B) \( (xy)dx - (x^3 + y^3)dy = 0 \)
(C) \( (x^3 + 2y^2)dx + 2xy \, dy = 0 \)
(D) \( y^2 dx + (x^2 - xy - y^2)dy = 0 \)}

Answer:

एक समघातीय अवकल समीकरण के लिए, फलन \( F(x, y) \) समघातीय होना चाहिए जिसकी घात शून्य हो, अर्थात \( F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^0 F(x, y) \) ।
विकल्प (D) की जाँच करने पर:
दी गई समीकरण है: \( y^2 dx + (x^2 - xy - y^2)dy = 0 \)
\( \frac{dy}{dx} = -\frac{y^2}{x^2 - xy - y^2} = \frac{y^2}{y^2 + xy - x^2} \)
माना \( F(x, y) = \frac{y^2}{x^2 - xy - y^2} \)
तब \( F(\lambda x, \lambda y) = \frac{(\lambda y)^2}{(\lambda x)^2 - (\lambda x)(\lambda y) - (\lambda y)^2} = \frac{\lambda^2 y^2}{\lambda^2(x^2 - xy - y^2)} = \lambda^0 F(x, y) \)
चूँकि प्रत्येक पद की घात समान (द्विघात) है, अतः यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।
अतः, विकल्प (D) सही है।

मुख्य बिंदु:

• समघातीय समीकरण में प्रत्येक पद की कुल घात (Degree) समान होती है।
• विकल्प (A) में अचर पद होने के कारण यह समघातीय नहीं है।
• विकल्पों (B) और (C) में पदों की घातें असमान हैं।

आम गलतियाँ:

• केवल एक पद को देखकर समघातीय मान लेना।
• अचर पदों की उपेक्षा न करना (अचर पद समघातीयता को समाप्त करते हैं)।
• अंश और हर की घातों की ठीक से तुलना न करना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में सभी विकल्पों की घातों की त्वरित जाँच करें।
b) यदि किसी समीकरण में स्वतंत्र अचर पद (Constant term) हो, तो वह कभी समघातीय नहीं हो सकता।
c) सही विकल्प का चयन करने के लिए \( \lambda \) प्रतिस्थापन विधि का मानसिक अभ्यास करें।