NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 09 Differential Equations (अवकल समीकरण) Exercise 9.3 in Hindi

Question 1: अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( \frac{dy}{dx} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \)
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{2\sin^2(x/2)}{2\cos^2(x/2)} \)
\( \frac{dy}{dx} = \tan^2(x/2) \)
\( \frac{dy}{dx} = \sec^2(x/2) - 1 \)
चरों को पृथक् करने पर:
\( dy = (\sec^2(x/2) - 1) dx \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int dy = \int (\sec^2(x/2) - 1) dx \)
\( y = 2\tan(x/2) - x + C \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( 1 - \cos x = 2\sin^2(x/2) \) और \( 1 + \cos x = 2\cos^2(x/2) \) का प्रयोग किया गया है।
• चरों को पृथक् करके दोनों पक्षों का समाकलन किया गया है।
• समाकलन के पश्चात स्वेच्छ अचर \( C \) जोड़ा गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \sec^2(x/2) \) के समाकलन में \( 1/2 \) से भाग देना भूल जाना।
• त्रिकोणमितीय सूत्रों का गलत प्रयोग करना।
• स्वेच्छ अचर \( C \) न लिखना।

Exam Tips:

a) समाकलन करते समय फलन के गुणांक से भाग देना न भूलें।
b) त्रिकोणमितीय रूपों को सरलतम रूप में बदलकर ही समाकलन करें।
c) अंतिम उत्तर में स्वेच्छ अचर \( C \) को अवश्य शामिल करें।

Question 2: अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( \frac{dy}{dx} = \sqrt{4 - y^2} \) (\( -2 < y < 2 \))

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है:
\( \frac{dy}{dx} = \sqrt{4 - y^2} \)
चरों को पृथक् करने पर:
\( \frac{dy}{\sqrt{4 - y^2}} = dx \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \frac{dy}{\sqrt{4 - y^2}} = \int dx \)
मानक समाकलन सूत्र का प्रयोग करने पर:
\( \sin^{-1}\left(\frac{y}{2}\right) = x + C \)
\( \frac{y}{2} = \sin(x + C) \)
\( y = 2\sin(x + C) \)

मुख्य बिंदु:

• मानक सूत्र \( \int \frac{dy}{\sqrt{a^2 - y^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{y}{a}\right) \) का प्रयोग किया गया है।
• चरों को पृथक् विधि द्वारा हल किया गया है।
• त्रिकोणमितीय प्रतिलोम फलन को सरल किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \sin^{-1} \) के कोण में \( 2 \) से भाग देना भूल जाना।
• समाकलन करते समय सूत्र में अचर पद का वर्गमूल ठीक से न रखना।
• पक्षांतर करते समय चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) मानक समाकलन सूत्रों को अच्छी तरह याद रखें।
b) चरों को अलग करते समय सावधानी बरतें।
c) प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्मों का सही उपयोग करें।

Question 3: अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( \frac{dy}{dx} + y = 1 \) (\( y \neq 1 \))

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है:
\( \frac{dy}{dx} + y = 1 \)
\( \frac{dy}{dx} = 1 - y \)
चरों को पृथक् करने पर:
\( \frac{dy}{1 - y} = dx \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \frac{dy}{1 - y} = \int dx \)
\( -\log(1 - y) = x + \log C \)
\( -\log C - \log(1 - y) = x \)
\( \log(C(1 - y)) = -x \)
\( C(1 - y) = e^{-x} \)
\( 1 - y = \frac{1}{C}e^{-x} \)
\( y = 1 + Ae^{-x} \) (जहाँ \( A = \frac{1}{C} \))

मुख्य बिंदु:

• यह चरों को पृथक् करने योग्य अवकल समीकरण है।
• \( \int \frac{1}{1-y}dy = -\log(1-y) \) का उपयोग किया गया है।
• लघुगणक के गुणों का उपयोग करके हल को सरल किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( (1-y) \) के अवकलन के ऋणात्मक चिन्ह \( (-) \) को छोड़ देना।
• लघुगणक के समीकरण को घातांकीय रूप में बदलते समय गलती करना।
• स्वेच्छ अचर को समायोजित करने में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) \( dy/dx \) के गुणांक वाले फलनों का समाकलन करते समय ऋणात्मक चिन्ह का ध्यान रखें।
b) लघुगणकीय हल को घातांकीय रूप में व्यक्त करना सीखें।
c) अचरों का प्रतिस्थापन स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।

Question 4: अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( \sec^2 x \tan y \, dx + \sec^2 y \tan x \, dy = 0 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है:
\( \sec^2 x \tan y \, dx + \sec^2 y \tan x \, dy = 0 \)
पूरी समीकरण को \( \tan x \tan y \) से भाग देने पर:
\( \frac{\sec^2 x}{\tan x} dx + \frac{\sec^2 y}{\tan y} dy = 0 \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \frac{\sec^2 x}{\tan x} dx = -\int \frac{\sec^2 y}{\tan y} dy \)
माना \( \tan x = t \), तब \( \sec^2 x \, dx = dt \)
अतः \( \int \frac{1}{t} dt = \log t = \log(\tan x) \)
इसी प्रकार, \( \int \frac{\sec^2 y}{\tan y} dy = \log(\tan y) \)
मान रखने पर:
\( \log(\tan x) = -\log(\tan y) + \log C \)
\( \log(\tan x) = \log\left(\frac{C}{\tan y}\right) \)
\( \tan x = \frac{C}{\tan y} \)
\( \tan x \tan y = C \)

मुख्य बिंदु:

• समीकरण को चरों के गुणनफल के रूप में व्यवस्थित किया गया है।
• प्रतिस्थापन विधि (\( substitution \)) का उपयोग करके समाकलन किया गया है।
• लघुगणक के गुण \( \log a - \log b = \log(a/b) \) का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• चरों को पृथक् करते समय हर और अंश की गलती करना।
• प्रतिस्थापन के बाद डी-फॉरमैट (dx/dt) बदलना भूल जाना।
• समाकलन अचर को सही जगह न जोड़ना।

Exam Tips:

a) यदि पद \( dx \) और \( dy \) के साथ जुड़े हों, तो पहले उन्हें अलग-अलग पक्षों में ले जाएँ।
b) \( f'(x)/f(x) \) के रूप वाले समाकलनों के लिए प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग करें।
c) उत्तर को सरलतम रूप में लिखकर ही छोड़ें।

Question 5: अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( (e^x + e^{-x})dy - (e^x - e^{-x})dx = 0 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है:
\( (e^x + e^{-x})dy - (e^x - e^{-x})dx = 0 \)
\( (e^x + e^{-x})dy = (e^x - e^{-x})dx \)
चरों को पृथक् करने पर:
\( dy = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int dy = \int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx + C \)
माना \( e^x + e^{-x} = t \), तब \( (e^x - e^{-x})dx = dt \)
अतः \( y = \int \frac{1}{t} dt + C \)
\( y = \log|t| + C \)
\( y = \log(e^x + e^{-x}) + C \)

मुख्य बिंदु:

• चर पृथक्करण विधि का उपयोग किया गया है।
• हर का अवकलन अंश में मौजूद होने के कारण प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग किया गया है।
• \( \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log|f(x)| \) सूत्र का उपयोग हुआ है।

आम गलतियाँ:

• \( e^{-x} \) का अवकलन करते समय ऋणात्मक चिह्न की भूल करना।
• समाकलन करते समय मापांक या लघुगणक का सही रूप न लिखना।
• अचर \( C \) छोड़ देना।

Exam Tips:

a) घातांकीय फलनों के अवकलन और समाकलन के सूत्रों को ध्यान में रखें।
b) अंश और हर वाले फलनों में प्रतिस्थापन विधि की जाँच पहले करें।
c) अंतिम उत्तर में मूल चर \( x \) और \( y \) को प्रतिस्थापित करना न भूलें।

Question 6: अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( \frac{dy}{dx} = (1 + x^2)(1 + y^2) \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है:
\( \frac{dy}{dx} = (1 + x^2)(1 + y^2) \)
चरों को पृथक् करने पर:
\( \frac{dy}{1 + y^2} = (1 + x^2) dx \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \frac{dy}{1 + y^2} = \int (1 + x^2) dx \)
मानक समाकलन का प्रयोग करने पर:
\( \tan^{-1} y = x + \frac{x^3}{3} + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( y \) के पदों को \( dy \) के साथ और \( x \) के पदों को \( dx \) के साथ व्यवस्थित किया गया है।
• मानक सूत्र \( \int \frac{1}{1+y^2}dy = \tan^{-1}y \) का प्रयोग किया गया है।
• बीजीय फलन का समाकलन सामान्य घात नियम से किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( 1+y^2 \) को अंश में ले जाकर गलती करना।
• \( \tan^{-1}y \) के स्थान पर सामान्य बीजगणित का प्रयोग करना।
• समाकलन अचर \( C \) जोड़ना भूल जाना।

Exam Tips:

a) चरों को अलग करते समय क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन नियमों का सही पालन करें।
b) मानक समाकलन परिणामों को सीधा याद रखें।
c) उत्तर को यथासंभव सरल रूप में छोड़ें।

Question 7: अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( y \log y \, dx - x \, dy = 0 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है:
\( y \log y \, dx - x \, dy = 0 \)
\( y \log y \, dx = x \, dy \)
चरों को पृथक् करने पर:
\( \frac{dx}{x} = \frac{dy}{y \log y} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \frac{dx}{x} = \int \frac{dy}{y \log y} \)
माना \( \log y = t \), तब \( \frac{1}{y} dy = dt \)
अतः \( \int \frac{dx}{x} = \int \frac{dt}{t} \)
\( \log x = \log t + \log C \)
\( \log x = \log(\log y) + \log C \)
\( \log x = \log(C \log y) \)
\( x = C \log y \) या \( y = e^{x/C} \)

मुख्य बिंदु:

• चरों को पृथक् करके समाकलन किया गया है।
• \( \log y \) को \( t \) मानकर प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग किया गया है।
• लघुगणक के योग गुणधर्म \( \log a + \log b = \log(ab) \) का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( dy \) और \( dx \) के चरों को एक ही पक्ष में छोड़ देना।
• समाकलन अचर को लघुगणक के रूप में न मानना जिससे हल जटिल हो जाए।
• प्रतिस्थापन के पश्चात मूल चर वापस न रखना।

Exam Tips:

a) जब सभी पद लघुगणक में हों, तो अचर \( C \) को भी \( \log C \) मानना सुविधाजनक होता है।
b) चरों को अलग करने के लिए समीकरण के हर पद की स्थिति जाँचें।
c) लघुगणकीय समीकरणों को सरल करने के नियमों का अभ्यास करें।

Question 8: अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( x^5 \frac{dy}{dx} = -y^5 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है:
\( x^5 \frac{dy}{dx} = -y^5 \)
चरों को पृथक् करने पर:
\( \frac{dy}{y^5} = -\frac{dx}{x^5} \)
\( y^{-5} dy = -x^{-5} dx \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int y^{-5} dy = -\int x^{-5} dx \)
\( \frac{y^{-4}}{-4} = -\left(\frac{x^{-4}}{-4}\right) + k \)
\( -\frac{1}{4y^4} = -\frac{1}{4x^4} + k \)
पूरी समीकरण को \( -4 \) से गुणा करने पर:
\( \frac{1}{y^4} = \frac{1}{x^4} - 4k \)
\( x^{-4} + y^{-4} = C \) (जहाँ \( C = -4k \))

मुख्य बिंदु:

• चर पृथक्करण विधि का प्रयोग किया गया है।
• घात नियम \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \) का उपयोग किया गया है।
• स्वेच्छ अचर को सरल रूप में व्यवस्थित किया गया है।

आम गलतियाँ:

• ऋणात्मक घातों का समाकलन करते समय चिह्नों की गलती करना।
• हर में दी गई घातों को अंश में ले जाते समय ऋणात्मक चिह्न भूल जाना।
• समाकलन अचर जोड़ना छोड़ देना।

Exam Tips:

a) ऋणात्मक घातों वाले फलनों का समाकलन करते समय विशेष सावधानी बरतें।
b) अचरों का संयोजन करते समय नया स्वेच्छ अचर मान सकते हैं।
c) उत्तर को मानक रूप में प्रस्तुत करें।

Question 9: अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( \frac{dy}{dx} = \sin^{-1} x \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है:
\( \frac{dy}{dx} = \sin^{-1} x \)
चरों को पृथक् करने पर:
\( dy = \sin^{-1} x \, dx \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int dy = \int \sin^{-1} x \, dx \)
\( y = \int \sin^{-1} x \cdot 1 \, dx \)
खण्डशः समाकलन (Integration by parts) का प्रयोग करने पर:
\( y = \sin^{-1} x \int 1 \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) \int 1 \, dx \right) dx \)
\( y = x \sin^{-1} x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx \)
अब माना \( 1 - x^2 = t \), तब \( -2x \, dx = dt \implies x \, dx = -\frac{1}{2} dt \)
अतः \( y = x \sin^{-1} x - \int \frac{-1/2}{\sqrt{t}} dt \)
\( y = x \sin^{-1} x + \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt \)
\( y = x \sin^{-1} x + \frac{1}{2} \left( \frac{t^{1/2}}{1/2} \right) + C \)
\( y = x \sin^{-1} x + \sqrt{1 - x^2} + C \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन के लिए खण्डशः समाकलन का प्रयोग किया गया है।
• दूसरे पद के समाकलन के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग किया गया है।
• मानक सूत्रों का सही संयोजन किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \sin^{-1} x \) का अवकलन गलत लिखना।
• खण्डशः समाकलन के सूत्र में फलनों का क्रम गलत चुनना।
• प्रतिस्थापन के दौरान ऋणात्मक चिह्न छोड़ देना।

Exam Tips:

a) अकेले प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन के लिए उनके साथ \( 1 \) को दूसरा फलन मानकर खण्डशः समाकलन करें।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से लिखकर दिखाएँ।
c) अंत में \( t \) का मान प्रतिस्थापित करना न भूलें।

Question 10: अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: \( e^x \tan y \, dx + (1 - e^x) \sec^2 y \, dy = 0 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है:
\( e^x \tan y \, dx + (1 - e^x) \sec^2 y \, dy = 0 \)
चरों को पृथक् करने पर:
\( (1 - e^x) \sec^2 y \, dy = -e^x \tan y \, dx \)
\( \frac{\sec^2 y}{\tan y} dy = \frac{-e^x}{1 - e^x} dx \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \frac{\sec^2 y}{\tan y} dy = \int \frac{-e^x}{1 - e^x} dx \)
माना \( \tan y = u \), तब \( \sec^2 y \, dy = du \)
अतः \( \int \frac{du}{u} = \log(\tan y) \)
पुनः माना \( 1 - e^x = t \), तब \( -e^x \, dx = dt \)
अतः \( \int \frac{dt}{t} = \log t = \log(1 - e^x) \)
मान रखने पर:
\( \log(\tan y) = \log(1 - e^x) + \log C \)
\( \log(\tan y) = \log(C(1 - e^x)) \)
\( \tan y = C(1 - e^x) \)

मुख्य बिंदु:

• चर पृथक्करण विधि का उपयोग करके \( x \) और \( y \) के पदों को अलग किया गया है।
• दोनों पक्षों में लघुगणकीय समाकलन \( \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log|f(x)| \) का प्रयोग हुआ है।
• लघुगणक के गुणों द्वारा समीकरण को सरल किया गया है।

आम गलतियाँ:

• चरों को अलग करते समय \( (1-e^x) \) और \( \tan y \) के पदों की अदलाबदल में गलती करना।
• प्रतिस्थापन के दौरान ऋणात्मक चिह्नों की उपेक्षा करना।
• अचर \( C \) को जोड़ना भूल जाना।

Exam Tips:

a) दोनों पक्षों के समाकलन में अलग-अलग प्रतिस्थापन चरों का प्रयोग करें ताकि भ्रम न हो।
b) लघुगणकीय फलनों को सरल करने के लिए अचर को भी लघुगणक के रूप में लें।
c) अंतिम उत्तर को घातांकीय या त्रिकोणमितीय रूप में स्पष्ट दें।

Question 11: अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: \( (x^3 + x^2 + x + 1)\frac{dy}{dx} = 2x^2 + x; y = 1 \) यदि \( x = 0 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है:
\( (x^3 + x^2 + x + 1)\frac{dy}{dx} = 2x^2 + x \)
\( dy = \frac{2x^2 + x}{x^3 + x^2 + x + 1} dx \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int dy = \int \frac{2x^2 + x}{(x^2 + 1)(x + 1)} dx + C \)
आंशिक भिन्नों (Partial Fractions) में तोड़ने पर:
\( \frac{2x^2 + x}{(x + 1)(x^2 + 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1} \)
हल करने पर \( A = \frac{1}{2}, B = \frac{3}{2}, C = -\frac{1}{2} \) प्राप्त होता है।
अतः समाकलन करने पर:
\( y = \frac{1}{2} \log|x + 1| + \frac{3}{4} \log(x^2 + 1) - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + C \)
दी गई शर्त \( x = 0 \) पर \( y = 1 \) रखने पर:
\( 1 = \frac{1}{2}\log(1) + \frac{3}{4}\log(1) - \frac{1}{2}\tan^{-1}(0) + C \implies C = 1 \)
अतः विशिष्ट हल है:
\( y = \frac{1}{2} \log|x + 1| + \frac{3}{4} \log(x^2 + 1) - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + 1 \)

मुख्य बिंदु:

• हर के गुणनखंड बनाकर आंशिक भिन्न विधि का प्रयोग किया गया है।
• विशिष्ट हल ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक प्रतिबंधों (\( x=0, y=1 \)) का उपयोग किया गया है।
• मानक समाकलन सूत्रों का सही उपयोग हुआ है।

आम गलतियाँ:

• आंशिक भिन्नों के गुणांक \( A, B, C \) ज्ञात करने में गणना की गलती करना।
• \( C \) का मान निकाले बिना व्यापक हल को ही उत्तर मान लेना।
• लघुगणक के गुणों का गलत प्रयोग करना।

Exam Tips:

a) आंशिक भिन्नों के प्रश्नों को हल करते समय गुणांकों की तुलना सावधानी से करें।
b) प्रारंभिक प्रतिबंधों का मान समाकलन के तुरंत बाद रखें ताकि \( C \) सरलता से निकल सके।
c) प्रत्येक पद के समाकलन की जाँच पुनः करें।

Question 12: अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: \( x(x^2 - 1)\frac{dy}{dx} = 1; y = 0 \) यदि \( x = 2 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है:
\( x(x^2 - 1)\frac{dy}{dx} = 1 \)
\( dy = \frac{1}{x(x^2 - 1)} dx \)
\( dy = \frac{1}{x(x - 1)(x + 1)} dx \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int dy = \int \frac{1}{x(x - 1)(x + 1)} dx \)
आंशिक भिन्नों मेंियोजित करने पर:
\( \frac{1}{x(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1} \)
अतः \( A = -1, B = \frac{1}{2}, C = \frac{1}{2} \)
समाकलन करने पर:
\( y = -\log|x| + \frac{1}{2}\log|x - 1| + \frac{1}{2}\log|x + 1| + C \)
\( y = \frac{1}{2} \log\left| \frac{x^2 - 1}{x^2} \right| + C \)
शर्त \( x = 2 \) पर \( y = 0 \) रखने पर:
\( 0 = \frac{1}{2} \log\left( \frac{2^2 - 1}{2^2} \right) + C \implies C = -\frac{1}{2}\log\left(\frac{3}{4}\right) \)
मान रखने पर विशिष्ट हल प्राप्त होता है।

मुख्य बिंदु:

• त्रिघातीय हर के गुणनखंड करके आंशिक भिन्नों में वियोजित किया गया है।
• लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समाकलनों को जोड़ा गया है।
• \( C \) का मान निकालने के लिए \( x=2, y=0 \) रखा गया है।

आम गलतियाँ:

• आंशिक भिन्नों के गुणांक निकालते समय चिह्न की गलती करना।
• लघुगणक के योग और अंतर के सूत्रों को गलत लगाना।
• विशिष्ट प्रतिबंधों को समीकरण में गलत प्रतिस्थापित करना।

Exam Tips:

a) आंशिक भिन्नों के हर के सभी गुणनखंड स्पष्ट रूप से निकालें।
b) लघुगणकीय पदों को एक साथ मिलाकर लिखना गणना को आसान बनाता है।
c) अंतिम चरण में \( C \) का सटीक मान रखें।

Question 13: अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: \( \cos\left(\frac{dy}{dx}\right) = a \) (\( a \in \mathbb{R} \)); \( y = 1 \) यदि \( x = 0 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है:
\( \cos\left(\frac{dy}{dx}\right) = a \)
\( \frac{dy}{dx} = \cos^{-1} a \)
चरों को पृथक् करने पर:
\( dy = \cos^{-1} a \, dx \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int dy = \int \cos^{-1} a \, dx \)
\( y = x \cos^{-1} a + C \)
दी गई शर्त \( x = 0 \) पर \( y = 1 \) रखने पर:
\( 1 = 0 \cdot \cos^{-1} a + C \implies C = 1 \)
अतः विशिष्ट हल है:
\( y = x \cos^{-1} a + 1 \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय परिभाषा का उपयोग करके अवकलज को अलग किया गया है।
• \( \cos^{-1} a \) एक अचर पद है, अतः इसका समाकलन सरल होता है।
• प्रारंभिक प्रतिबंधों का उपयोग करके \( C \) का मान ज्ञात किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \cos^{-1} a \) को चर मान लेना।
• समाकलन करते समय \( x \) का गुणा भूल जाना।
• \( C \) का मान निकालते समय गणना त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) पहचानें कि कौन सा पद अचर है और कौन सा चर।
b) प्रारंभिक प्रतिबंधों को सबसे अंत में रखकर विशिष्ट हल प्राप्त करें।
c) अपने उत्तर की जाँच दिए गए समीकरण में अवकलन करके करें।

Question 14: अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: \( \frac{dy}{dx} = y \tan x \); \( y = 1 \) यदि \( x = 0 \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है:
\( \frac{dy}{dx} = y \tan x \)
चरों को पृथक् करने पर:
\( \frac{dy}{y} = \tan x \, dx \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \frac{dy}{y} = \int \tan x \, dx \)
\( \log y = \log|\sec x| + \log C \)
\( \log y = \log(C \sec x) \)
\( y = C \sec x \)
दी गई शर्त \( x = 0 \) पर \( y = 1 \) रखने पर:
\( 1 = C \sec(0) \implies 1 = C(1) \implies C = 1 \)
अतः विशिष्ट हल है:
\( y = \sec x \)

मुख्य बिंदु:

• चर पृथक्करण विधि का प्रयोग किया गया है।
• मानक समाकलन \( \int \tan x \, dx = \log|\sec x| \) का उपयोग हुआ है।
• प्रारंभिक प्रतिबंध से स्वेच्छ अचर \( C \) का मान निकाला गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \tan x \) का समाकलन \( \log|\sin x| \) लिख देना (जो कि गलत है)।
• लघुगणक के गुणों का प्रयोग न करना।
• \( \sec(0) \) का मान गलत रखना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन के मानक सूत्र पक्के याद रखें।
b) लघुगणकीय समीकरणों में अचर को \( \log C \) मानना सरल रहता है।
c) विशिष्ट हल निकालते समय \( C \) का मान समीकरण में अवश्य प्रतिस्थापित करें।

Question 15: बिंदु \( (0, 0) \) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण \( y' = e^x \sin x \) है।

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है:
\( \frac{dy}{dx} = e^x \sin x \)
\( dy = e^x \sin x \, dx \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int dy = \int e^x \sin x \, dx \)
माना \( I = \int e^x \sin x \, dx \)
खण्डशः समाकलन (Integration by parts) का प्रयोग करने पर:
\( I = \sin x \int e^x dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\sin x) \int e^x dx \right) dx \)
\( I = \sin x \cdot e^x - \int \cos x \cdot e^x dx \)
पुनः खण्डशः समाकलन करने पर:
\( I = e^x \sin x - \left[ \cos x \cdot e^x - \int (-\sin x) e^x dx \right] \)
\( I = e^x \sin x - e^x \cos x - I \)
\( 2I = e^x(\sin x - \cos x) \)
\( I = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C \)
अतः वक्र का व्यापक समीकरण है:
\( y = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C \)
चूँकि वक्र बिंदु \( (0, 0) \) से गुजरता है, अतः \( x = 0 \) और \( y = 0 \) रखने पर:
\( 0 = \frac{e^0(\sin 0 - \cos 0)}{2} + C \)
\( 0 = \frac{1(0 - 1)}{2} + C \implies C = \frac{1}{2} \)
अतः अभीष्ट वक्र का समीकरण है:
\( y = \frac{e^x(\sin x - \cos x) + 1}{2} \)

मुख्य बिंदु:

• \( e^x \sin x \) के समाकलन के लिए चक्रीय खण्डशः समाकलन विधि का प्रयोग किया गया है।
• मूल बिंदु \( (0, 0) \) से गुजरने की शर्त का उपयोग करके \( C \) का मान निकाला गया है।
• घातांकीय और त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन का संयोजन किया गया है।

आम गलतियाँ:

• खण्डशः समाकलन में चिह्नों की भूल करना।
• चक्रीय समाकलन में \( 2I \) को \( I \) से भाग देना भूल जाना।
• \( e^0 \) या \( \cos 0 \) का मान गलत रखना।

Exam Tips:

a) \( e^x \sin x \) या \( e^x \cos x \) के समाकलन का मानक परिणाम सीधे भी उपयोग किया जा सकता है यदि सिद्ध न करना हो।
b) बिंदु \( (0,0) \) का अर्थ है कि समीकरण में \( x=0 \) पर \( y=0 \) होगा।
c) सभी चरणों को साफ-सुथरा लिखें।

Question 16: अवकल समीकरण \( xy \frac{dy}{dx} = (x + 2)(y + 2) \) के लिए बिंदु \( (1, -1) \) से गुजरने वाला वक्र ज्ञात कीजिए।

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है:
\( xy \frac{dy}{dx} = (x + 2)(y + 2) \)
चरों को पृथक् करने पर:
\( \frac{y}{y + 2} dy = \frac{x + 2}{x} dx \)
\( \left( 1 - \frac{2}{y + 2} \right) dy = \left( 1 + \frac{2}{x} \right) dx \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \left( 1 - \frac{2}{y + 2} \right) dy = \int \left( 1 + \frac{2}{x} \right) dx \)
\( y - 2 \log|y + 2| = x + 2 \log|x| + C \)
बिंदु \( (1, -1) \) से गुजरने के कारण, \( x = 1, y = -1 \) रखने पर:
\( -1 - 2\log|-1 + 2| = 1 + 2\log|1| + C \)
\( -1 - 0 = 1 + 0 + C \implies C = -2 \)
अतः विशिष्ट हल है:
\( y - x - 2 = 2\log|y + 2| + 2\log|x| \)
\( y - x - 2 = 2\log|x(y + 2)| \)

मुख्य बिंदु:

• बीजगणितीय विभाजन द्वारा पदों को समाकलन योग्य बनाया गया है।
• चर पृथक्करण विधि का उपयोग किया गया है।
• दिए गए बिंदु \( (1, -1) \) से \( C \) का मान ज्ञात किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{y}{y+2} \) को सीधे समाकलित करने की कोशिश करना (बिना भाग दिए)।
• लघुगणक के मान रखते समय चिह्न की गलती करना।
• \( C \) के मान को अंतिम समीकरण में गलत रखना।

Exam Tips:

a) यदि अंश की घात हर के बराबर या अधिक हो, तो पहले भाग दें।
b) लघुगणकीय पदों को एक पक्ष में और रैखिक पदों को दूसरे पक्ष में रखना आसान होता है।
c) अंतिम उत्तर को लघुगणक के गुणों का प्रयोग करके संक्षिप्त करें।

Question 17: बिंदु \( (0, -2) \) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिंदु \( (x, y) \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता और उस बिंदु के \( y \) निर्देशांक का गुणनफल उस बिंदु के \( x \) निर्देशांक के बराबर है।

Answer:

प्रश्न के अनुसार, वक्र के किसी बिंदु \( (x, y) \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता \( \frac{dy}{dx} \) है।
प्रश्नुसार शर्त है:
\( \left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot y = x \)
\( y \, dy = x \, dx \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int y \, dy = \int x \, dx \)
\( \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C' \)
\( y^2 - x^2 = 2C' = C \) (जहाँ \( C = 2C' \))
चूँकि वक्र बिंदु \( (0, -2) \) से गुजरता है, अतः \( x = 0 \) और \( y = -2 \) रखने पर:
\( (-2)^2 - (0)^2 = C \implies C = 4 \)
अतः अभीष्ट वक्र का समीकरण है:
\( y^2 - x^2 = 4 \)

मुख्य बिंदु:

• भाषा आधारित समस्या को अवकल समीकरण में बदला गया है।
• स्पर्श रेखा की प्रवणता को \( dy/dx \) से निरूपित किया गया है।
• चर पृथक्करण विधि का प्रयोग करके वक्र का समीकरण प्राप्त किया गया है।

आम गलतियाँ:

• प्रवणता और निर्देशांकों के गुणनफल को गलत समीकरण के रूप में लिखना।
• बिंदु \( (0, -2) \) में \( x \) और \( y \) के मान उल्टे रख देना।
• समाकलन अचर को सही से समायोजित न करना।

Exam Tips:

a) भाषा वाले प्रश्नों में प्रत्येक वाक्य को ध्यानपूर्वक पढ़कर गणितीय समीकरण बनाएँ।
b) स्पर्श रेखा की प्रवणता हमेशा \( dy/dx \) होती है।
c) स्वेच्छ अचर का मान निकालने के लिए दिए गए निर्देशांकों का सही प्रतिस्थापन करें।

Question 18: एक वक्र के किसी बिंदु \( (x, y) \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, बिंदु \( (-4, -3) \) से मिलाने वाले रेखाखंड की प्रवणता की दुगुनी है। यदि यह वक्र बिंदु \( (-2, 1) \) से गुजरता हो तो इस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer:

बिंदु \( (x, y) \) और \( (-4, -3) \) को मिलाने वाले रेखाखंड की प्रवणता (\( m_1 \)) है:
\( m_1 = \frac{y - (-3)}{x - (-4)} = \frac{y + 3}{x + 4} \)
प्रश्नुसार, वक्र की प्रवणता (\( m_2 = \frac{dy}{dx} \)), \( m_1 \) की दुगुनी है:
\( \frac{dy}{dx} = 2 \left( \frac{y + 3}{x + 4} \right) \)
चरों को पृथक् करने पर:
\( \frac{dy}{y + 3} = \frac{2}{x + 4} dx \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \frac{dy}{y + 3} = \int \frac{2}{x + 4} dx \)
\( \log(y + 3) = 2\log(x + 4) + \log C \)
\( \log(y + 3) = \log(C(x + 4)^2) \)
\( y + 3 = C(x + 4)^2 \) ...(1)
चूँकि वक्र बिंदु \( (-2, 1) \) से गुजरता है, अतः \( x = -2, y = 1 \) रखने पर:
\( 1 + 3 = C(-2 + 4)^2 \)
\( 4 = C(4) \implies C = 1 \)
समीकरण (1) में \( C = 1 \) रखने पर अभीष्ट वक्र का समीकरण प्राप्त होता है:
\( y + 3 = (x + 4)^2 \)

मुख्य बिंदु:

• दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता के सूत्र का उपयोग किया गया है।
• अवकल समीकरण बनाकर चरों को पृथक् किया गया है।
• प्रारंभिक बिंदु के मान रखकर विशिष्ट हल ज्ञात किया गया है।

आम गलतियाँ:

• प्रवणता के सूत्र में \( y \) और \( x \) के निर्देशांकों का क्रम गलत लिखना।
• दुगुनी प्रवणता वाली शर्त को दो से गुणा करना भूल जाना।
• लघुगणक के गुणों का उपयोग करते समय घात की गलती करना।

Exam Tips:

a) दो बिंदुओं की प्रवणता का सूत्र \( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) अच्छी तरह याद रखें।
b) लघुगणक के गुणांक को उसकी घात के रूप में लिखना समीकरण को सरल बनाता है।
c) अंतिम समीकरण को मानक परवलय या वक्र के रूप में व्यवस्थित करें।

Question 19: एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन, जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है, स्थिर गति से बदल रहा है। यदि आरंभ में गुब्बारे की त्रिज्या 3 इकाई है और 3 सेकंड बाद 6 इकाई है, तो \( t \) सेकंड बाद उस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना गुब्बारे की त्रिज्या \( r \) तथा आयतन \( V \) है। गोले का आयतन \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \) होता है।
आयतन परिवर्तन की दर स्थिर है, अतः:
\( \frac{dV}{dt} = k \) (जहाँ \( k \) एक अचर है)
\( \frac{d}{dt}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) = k \)
\( \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 \frac{dr}{dt} = k \)
\( 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} = k \implies 4\pi r^2 dr = k dt \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int 4\pi r^2 dr = \int k dt \)
\( \frac{4}{3}\pi r^3 = kt + C \) ...(1)
आरंभ में (\( t = 0 \)), त्रिज्या \( r = 3 \):
\( \frac{4}{3}\pi (3)^3 = k(0) + C \implies 36\pi = C \)
3 सेकंड बाद (\( t = 3 \)), त्रिज्या \( r = 6 \):
\( \frac{4}{3}\pi (6)^3 = k(3) + 36\pi \)
\( 288\pi = 3k + 36\pi \implies 3k = 252\pi \implies k = 84\pi \)
\( k \) और \( C \) के मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \frac{4}{3}\pi r^3 = 84\pi t + 36\pi \)
\( 4\pi r^3 = 4\pi (63t + 27) \)
\( r^3 = 63t + 27 \implies r = (63t + 27)^{1/3} \)

मुख्य बिंदु:

• दर (Rate of change) के प्रश्नों को अवकल समीकरण के रूप में व्यक्त किया गया है।
• गोले के आयतन के सूत्र का अवकलन समय के सापेक्ष किया गया है।
• दी गई स्थितियों का उपयोग करके अचरों \( k \) और \( C \) के मान निकाले गए हैं।

आम गलतियाँ:

• आयतन के सूत्र में \( \frac{4}{3}\pi r^3 \) की जगह क्षेत्रफल का सूत्र लिख देना।
• अवकलन करते समय त्रिज्या \( r \) का समय के सापेक्ष \( dr/dt \) लिखना भूल जाना।
• प्रारंभिक स्थितियों का प्रयोग गलत समय पर करना।

Exam Tips:

a) दर परिवर्तन से जुड़े प्रश्नों में समय \( t \) के सापेक्ष अवकलन करें।
b) अचर \( k \) को स्थिर परिवर्तन दर के रूप में परिभाषित करें।
c) गणनाओं में \( \pi \) और संख्याओं को सावधानी से हल करें।

Question 20: किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि \( r\% \) वार्षिक की दर से होती है। यदि 100 रुपये 10 वर्षों में दुगुने हो जाते हैं, तो \( r \) का मान ज्ञात कीजिए। (\( \log_e 2 = 0.6931 \))

Answer:

माना किसी समय \( t \) पर मूलधन \( P \) है।
प्रश्नुसार, मूलधन की वृद्धि की दर है:
\( \frac{dP}{dt} = \left(\frac{r}{100}\right)P \)
चरों को पृथक् करने पर:
\( \frac{dP}{P} = \frac{r}{100} dt \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \frac{dP}{P} = \int \frac{r}{100} dt \)
\( \log P = \frac{r}{100}t + C \)
\( P = e^{\frac{rt}{100} + C} = e^C \cdot e^{\frac{rt}{100}} \implies P = A e^{\frac{rt}{100}} \) ...(1)
आरंभ में (\( t = 0 \)), मूलधन \( P = 100 \):
\( 100 = A e^{0} \implies A = 100 \)
अतः \( P = 100 e^{\frac{rt}{100}} \) ...(2)
10 वर्षों बाद (\( t = 10 \)), मूलधन दुगुना यानी \( P = 200 \) हो जाता है:
\( 200 = 100 e^{\frac{10r}{100}} \)
\( 2 = e^{r/10} \)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\( \log_e 2 = \frac{r}{10} \)
\( r = 10 \times 0.6931 = 6.931\% \)

मुख्य बिंदु:

• यह वृद्धि और ह्रास (Growth and Decay) से संबंधित अवकल समीकरण का प्रश्न है।
• \( \frac{dP}{dt} \propto P \) संबंध का उपयोग किया गया है।
• लघुगणक के गुणों का प्रयोग करके प्रतिशत दर ज्ञात की गई है।

आम गलतियाँ:

• \( r\% \) को सीधे \( r \) मान लेना (\( r/100 \) लिखना भूल जाना)।
• मूलधन दुगुना होने पर \( P = 2 \) लिख देना बजाय \( 200 \) के (हालाँकि अनुपात से हल हो जाता है)।
• लघुगणक लेते समय आधार \( e \) का ध्यान न रखना।

Exam Tips:

a) जनसंख्या या मूलधन वृद्धि के प्रश्नों में मानक समीकरण \( \frac{dx}{dt} = kx \) का प्रयोग करें।
b) प्रतिशत को हमेशा 100 से भाग देकर भिन्न में बदलें।
c) लघुगणक के मान का सही उपयोग करके अंतिम उत्तर दशमलव में निकालें।

Question 21: किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि \( 5\% \) वार्षिक की दर से होती है। इस बैंक में ₹ 1000 जमा कराए जाते हैं। ज्ञात कीजिए कि 10 वर्ष बाद यह राशि कितनी हो जाएगी? (\( e^{0.5} = 1.648 \))

Answer:

माना मूलधन \( P \) और समय \( t \) है।
वृद्धि की दर के अनुसार:
\( \frac{dP}{dt} = \frac{5}{100} P = \frac{1}{20} P \)
चरों को पृथक् करने पर:
\( \frac{dP}{P} = \frac{1}{20} dt \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \frac{dP}{P} = \int \frac{1}{20} dt \)
\( \log P = \frac{1}{20}t + C \)
\( P = e^{\frac{t}{20} + C} = e^C \cdot e^{t/20} \implies P = A e^{t/20} \) ...(1)
शुरू में (\( t = 0 \)), मूलधन \( P = 1000 \):
\( 1000 = A e^{0} \implies A = 1000 \)
अतः \( P = 1000 e^{t/20} \) ...(2)
10 वर्ष बाद (\( t = 10 \)), राशि ज्ञात करने के लिए:
\( P = 1000 e^{10/20} = 1000 e^{1/2} = 1000 e^{0.5} \)
\( P = 1000 \times 1.648 = 1648 \)
अतः 10 वर्ष बाद राशि ₹ 1648 हो जाएगी।

मुख्य बिंदु:

• मूलधन वृद्धि के मानक अवकल समीकरण का उपयोग किया गया है।
• प्रतिशत दर \( 5\% \) को \( 5/100 \) के रूप में प्रतिस्थापित किया गया है।
• \( e^{0.5} \) के दिए गए मान का उपयोग करके अंतिम गणना की गई है।

आम गलतियाँ:

• समय \( t \) का मान घातांक में गलत रखना।
• \( e^C \) को हल करते समय अचर को हटा देना।
• दशमलव गुणा में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के प्रश्नों में सूत्र सीधा \( P = P_0 e^{rt} \) भी प्रयोग कर सकते हैं।
b) दिए गए मानों (जैसे \( e^{0.5} = 1.648 \)) का उपयोग अंतिम चरण में करें।
c) उत्तर को रुपए में स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।

Question 22: किसी जीवाणु समूह में जीवाणुओं की संख्या 1,00,000 है। 2 घंटों में इनकी संख्या में \( 10\% \) की वृद्धि होती है। कितने घंटों में जीवाणुओं की संख्या 2,00,000 हो जाएगी, यदि जीवाणुओं की वृद्धि की दर उनके उपस्थित संख्या के समानुपाती है?

Answer:

माना किसी समय \( t \) पर जीवाणुओं की संख्या \( y \) है।
प्रश्नुसार, वृद्धि की दर संख्या के समानुपाती है:
\( \frac{dy}{dt} \propto y \implies \frac{dy}{dt} = ky \) (जहाँ \( k \) अचर है)
चरों को पृथक् करने पर:
\( \frac{dy}{y} = k dt \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \frac{dy}{y} = \int k dt \implies \log y = kt + C \) ...(1)
आरंभ में (\( t = 0 \)), जीवाणुओं की संख्या \( y = y_0 = 1,00,000 \):
\( \log(y_0) = C \)
अतः \( \log\left(\frac{y}{y_0}\right) = kt \) ...(2)
2 घंटों में (\( t = 2 \)), संख्या \( 10\% \) बढ़ जाती है, यानी \( y = y_0 + \frac{10}{100}y_0 = \frac{110}{100}y_0 = \frac{11}{10}y_0 \):
समीकरण (2) से:
\( \log\left(\frac{11}{10}\right) = 2k \implies k = \frac{1}{2}\log\left(\frac{11}{10}\right) \)
अब संख्या को 2,00,000 होने में लगा समय \( t_1 \) ज्ञात करना है जहाँ \( y = 2y_0 \):
\( \log\left(\frac{2y_0}{y_0}\right) = k t_1 \implies \log(2) = k t_1 \)
\( t_1 = \frac{\log 2}{k} = \frac{2\log 2}{\log(11/10)} \)

मुख्य बिंदु:

• जीवाणु वृद्धि की दर संख्या के समानुपाती होने पर अवकल समीकरण \( dy/dt = ky \) बनती है।
• प्रारंभिक और बाद की स्थितियों का उपयोग करके स्थिरांक \( k \) निकाला गया है।
• लघुगणक के गुणों का प्रयोग करके अभीष्ट समय ज्ञात किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( 10\% \) वृद्धि का अर्थ कुल संख्या में जोड़ना भूल जाना।
• \( y \) और \( y_0 \) का अनुपात लेते समय गलती करना।
• \( k \) का मान समय के सूत्र में गलत रखना।

Exam Tips:

a) जनसंख्या या जीवाणु वृद्धि में \( \log(y/y_0) = kt \) का सीधा उपयोग समय बचाने में मदद करता है।
b) \( 10\% \) वृद्धि का मतलब \( 1.1 \) गुना होना होता है।
c) अंतिम उत्तर को लघुगणਕ के रूप में ही छोड़ें यदि मान न दिया हो।

Question 23: अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx} = e^{x+y} \) का व्यापक हल है:
(A) \( e^x + e^{-y} = C \)
(B) \( e^x + e^y = C \)
(C) \( e^{-x} + e^y = C \)
(D) \( e^{-x} + e^{-y} = C \)

Answer:

दी गई अवकल समीकरण है:
\( \frac{dy}{dx} = e^{x+y} \)
घातांक के नियम से:
\( \frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^y \)
चरों को पृथक् करने पर:
\( \frac{dy}{e^y} = e^x dx \)
\( e^{-y} dy = e^x dx \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int e^{-y} dy = \int e^x dx \)
\( \frac{e^{-y}}{-1} = e^x + k \)
\( -e^{-y} = e^x + k \)
\( e^x + e^{-y} = -k \)
\( e^x + e^{-y} = C \) (जहाँ \( C = -k \))
अतः विकल्प (A) सही है।

मुख्य बिंदु:

• घातांक नियम \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \) का प्रयोग करके चरों को अलग किया गया है।
• चर पृथक्करण विधि द्वारा दोनों पक्षों का समाकलन किया गया है।
• सही विकल्प (A) प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• \( e^{x+y} \) को सीधे समाकलित करने का प्रयास करना।
• \( e^{-y} \) के समाकलन में ऋणात्मक चिह्न भूल जाना।
• स्वेच्छ अचर के संयोजन में गलती करना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में पहले समीकरण को सरलतम रूप में बदलें।
b) घातांकीय फलनों के समाकलन में चिह्न का विशेष ध्यान रखें।
c) सही विकल्प को पूरी प्रक्रिया के बाद ही चुनें।