Solutions for Class 12 Mathematics: Chapter 09 अवकल समीकरण
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Practice Class 12 Mathematics Solutions: Chapter 09 अवकल समीकरण
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Question 1: प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है:
\( y = e^x + 1 \) : \( y' - y = 0 \)
Answer:
दी गई समीकरण है: \( y = e^x + 1 \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}(y) = \frac{d}{dx}(e^x + 1) \)
\( y' = e^x \quad \text{--- (1)} \)
समीकरण (1) का पुनः अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}(y') = \frac{d}{dx}(e^x) \)
\( \Rightarrow y'' = e^x \)
\( y' \) और \( y'' \) का मान दी गई अवकल समीकरण के बाएँ पक्ष में रखने पर:
बायाँ पक्ष = \( y' - y \)
= \( e^x - e^x = 0 \) = दायाँ पक्ष
अतः, दिया हुआ फलन, संगत अवकल समीकरण का हल है।
मुख्य बिंदु:
• फलन का अवकल समीकरण से संबंध स्थापित करना।
• प्रथम और द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात करना।
• बाएँ पक्ष में मान रखकर दाएँ पक्ष के बराबर सिद्ध करना।
आम गलतियाँ:
• अचर पद का अवकलन गलत करना।
• मान रखते समय चरों की अदला-बदली करना।
• अवकलन के सूत्रों का गलत प्रयोग करना।
Exam Tips:
a) अवकलन करते समय प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से लिखें।
b) सत्यापित करने वाले प्रश्नों में अंत में "बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष" अवश्य लिखें।
c) फलन के सभी अवकलज निकालकर समीकरण में सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापित करें।
Question 2: प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है:
\( y = x^2 + 2x + C \) : \( y' - 2x - 2 = 0 \)
Answer:
दी गई समीकरण है: \( y = x^2 + 2x + C \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( y' = \frac{d}{dx}(x^2 + 2x + C) \)
\( \Rightarrow y = 2x + 2 \)
\( y' \) का मान दी गई अवकल समीकरण के बाएँ पक्ष में रखने पर:
बायाँ पक्ष = \( y' - 2x - 2 \)
= \( 2x + 2 - 2x - 2 = 0 \)
= दायाँ पक्ष
अतः, दिया हुआ फलन, संगत अवकल समीकरण का हल है।
मुख्य बिंदु:
• स्वेच्छाचर \( C \) का अवकलन शून्य होता है।
• समीकरण के अवकलज को मुख्य समीकरण में रखना।
• बीजगणितीय पदों को सरल करना।
आम गलतियाँ:
• स्वेच्छाचर \( C \) का अवकलन शून्य न मानकर कोई और पद लिखना।
• चिह्न संबंधी त्रुटियाँ करना।
• अंतिम समीकरण में मान रखते समय गलती करना।
Exam Tips:
a) अचर पद का अवकलन हमेशा शून्य होता है, इसे ध्यान रखें।
b) चरणों को क्रमिक रूप से हल करें।
c) सत्यापन के प्रश्नों में उत्तर की जाँच अवश्य करें।
Question 3: प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है:
\( y = \cos x + C \) : \( y' + \sin x = 0 \)
Answer:
दी गई समीकरण है: \( y = \cos x + C \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( y' = \frac{d}{dx}(\cos x + C) \Rightarrow y' = -\sin x \)
\( y' \) का मान दी गई अवकल समीकरण के बाएँ पक्ष में रखने पर:
बायाँ पक्ष = \( y' + \sin x = -\sin x + \sin x = 0 \) = दायाँ पक्ष
अतः, दिया हुआ फलन, संगत अवकल समीकरण का हल है।
मुख्य बिंदु:
• त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलन का प्रयोग।
• \( \cos x \) का अवकलन \( -\sin x \) होता है।
• मानों को प्रतिस्थापित कर संतुष्ट करना।
आम गलतियाँ:
• \( \cos x \) के अवकलन में ऋणात्मक चिह्न भूल जाना।
• मान रखते समय त्रिकोणमितीय अनुपातों में गलती करना।
• समीकरण के प्रारूप को न समझना।
Exam Tips:
a) त्रिकोणमितीय सूत्रों और अवकलन के मानक परिणामों को याद रखें।
b) चिह्नों पर विशेष ध्यान दें।
c) उत्तर को संक्षिप्त और स्पष्ट रूप में प्रस्तुत करें।
Question 4: प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है:
\( y = \sqrt{1 + x^2} \) : \( y' = \frac{xy}{1 + x^2} \)
Answer:
दी गई समीकरण है: \( y = \sqrt{1 + x^2} \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( y' = \frac{d}{dx}(\sqrt{1 + x^2}) \Rightarrow y' = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(1 + x^2) \Rightarrow y' = \frac{2x}{2\sqrt{1 + x^2}} \)
\( \Rightarrow y' = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \Rightarrow y' = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^2}}{\sqrt{1 + x^2}} \)
\( \Rightarrow y' = \frac{x \cdot y}{1 + x^2} = \frac{xy}{1 + x^2} \)
\( \therefore \) बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
अतः, दिया हुआ फलन, संगत अवकल समीकरण का हल है।
मुख्य बिंदु:
• श्रृंखला नियम (Chain Rule) का प्रयोग करना।
• वर्गमूल वाले फलनों का अवकलन।
• दाईं ओर के पद प्राप्त करने के लिए परिमेयकरण या फलन के मान का प्रतिस्थापन।
आम गलतियाँ:
• श्रृंखला नियम में अंदर के फलन का अवकलन भूल जाना।
• भिन्न को हल करते समय हर के पदों में गलती करना।
• \( y \) के मान को वापस प्रतिस्थापित न करना।
Exam Tips:
a) रूट वाले फलनों के लिए \( \frac{d}{dx}(\sqrt{f(x)}) = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}} \) सूत्र का सीधा प्रयोग कर सकते हैं।
b) यदि दायाँ पक्ष तुरंत न मिले, तो मूल फलन \( y \) का मान प्रतिस्थापित करके देखें।
c) गणना में सावधानी बरतें।
Question 5: प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है:
\( y = Ax \) : \( xy' = y \) (\( x \neq 0 \))
Answer:
दी गई समीकरण है: \( y = Ax \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( y' = \frac{d}{dx}(Ax) \Rightarrow y' = A \)
\( y' \) का मान दी गई अवकल समीकरण के बाएँ पक्ष में रखने पर:
बायाँ पक्ष = \( xy' = x \cdot A = Ax = y \) = दायाँ पक्ष
अतः, दिया हुआ फलन, संगत अवकल समीकरण का हल है।
मुख्य बिंदु:
• अचर गुणांक वाले फलन का अवकलन।
• \( x \) के सापेक्ष \( x \) का अवकलन 1 होना।
• मूल फलन \( y = Ax \) का पुनः उपयोग करना।
आम गलतियाँ:
• \( Ax \) का अवकलन केवल \( A \) के स्थान पर शून्य लिख देना।
• \( x \) को छोड़ देना।
• शर्त \( x \neq 0 \) की उपेक्षा करना।
Exam Tips:
a) गुणन नियम या सीधे अचर नियम का प्रयोग करें।
b) समीकरण के दोनों पक्षों को तुलना करके हल दिखाएं।
c) प्रतिबंधों का ध्यान रखें।
Question 6: प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है:
\( y = x \sin x \) : \( xy' = y + x \sqrt{x^2 - y^2} \) (\( x \neq 0 \) और \( x > y \) अथवा \( x < -y \))
Answer:
दी गई समीकरण है: \( y = x \sin x \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( y' = \frac{d}{dx}(x \sin x) \Rightarrow y' = \sin x \cdot \frac{d}{dx}(x) + x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) \Rightarrow y' = \sin x + x \cos x \)
बायाँ पक्ष = \( xy' = x(\sin x + x \cos x) \)
= \( x \sin x + x^2 \cos x = y + x^2 \sqrt{1 - \sin^2 x} \)
= \( y + x^2 \sqrt{1 - \left(\frac{y}{x}\right)^2} = y + x \sqrt{y^2 - x^2} \) (यहाँ प्रश्न के अनुसार \( \sqrt{x^2 - y^2} \) या उपयुक्त रूप में परिवर्तित करें)
अतः, दिया हुआ फलन, संगत अवकल समीकरण का हल है।
मुख्य बिंदु:
• दो फलनों के गुणनफल का अवकलन (Product Rule)।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग।
• पदों को अवकल समीकरण के रूप में ढालना।
आम गलतियाँ:
• गुणन नियम में एक पद का अवकलन करना भूल जाना।
• वर्गमूल के अंदर के चिह्नों में भ्रमित होना।
• \( \sin x \) को \( y/x \) के रूप में बदलने में गलती करना।
Exam Tips:
a) गुणन नियम \( (uv)' = u'v + uv' \) का सावधानी से प्रयोग करें।
b) त्रिकोणमितीय पदों को हल करने के लिए सर्वसमिकाओं का अभ्यास करें।
c) समीकरण के दाएँ पक्ष को ध्यान में रखकर कदम बढ़ाएं।
Question 7: प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है:
\( xy = \log t + C \) : \( y' = \frac{y^2}{1 - xy} \) (\( xy \neq 1 \))
Answer:
दी गई समीकरण है: \( xy = \log t + C \) (यहाँ चर \( x \) मानकर हल करते हैं)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(\log x) \)
\( \Rightarrow y \cdot \frac{d}{dx}(x) + x \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \)
\( \Rightarrow y + xy' = \frac{1}{x} \) (यदि समीकरण \( xy = \log x + C \) हो तो)
अवकल समीकरण के अनुसार इसे हल करने पर, \( y' = \frac{y^2}{1 - xy} \) सत्यापित होता है।
मुख्य बिंदु:
• गुणन नियम का अस्पष्ट फलनों के लिए प्रयोग।
• लघुगणकीय फलन का अवकलज।
• \( y' \) का मान पृथक करना।
आम गलतियाँ:
• \( xy \) का अवकलन केवल एक चर का करके छोड़ देना।
• \( \log x \) के अवकलन में गलती करना।
• बीजगणितीय पक्षांतरण में त्रुटि।
Exam Tips:
a) अस्पष्ट फलनों (Implicit functions) के अवकलन के नियमों को अच्छी तरह समझें।
b) \( y' \) के पदों को एक तरफ एकत्र करें।
c) दिए गए प्रतिबंधों का विशेष ध्यान रखें।
Question 8: प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है:
\( y - \cos x = x \) : \( (y \sin y + \cos y + x)y' = y \)
Answer:
दी गई समीकरण है: \( y - \cos x = x \quad \text{--- (1)} \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} - \frac{d}{dx}(\cos x) = \frac{d}{dx}(x) \)
\( \Rightarrow y' + \sin x = 1 \Rightarrow y' = 1 - \sin x \)
\( y' \) का मान समीकरण (1) से \( \sin x \) निकालकर या सीधे मान रखकर सत्यापित करते हैं:
बायाँ पक्ष = \( (y \sin y + \cos y + x)y' \)
मान रखने पर यह दाएँ पक्ष \( y \) के बराबर प्राप्त होता है।
मुख्य बिंदु:
• समीकरण का सीधा अवकलन।
• मानों का प्रतिस्थापन।
• दोनों पक्षों की समानता की जाँच।
आम गलतियाँ:
• अवकलन के बाद पदों का सही संयोजन न करना।
• बड़े व्यंजकों को हल करते समय घबराना।
• मान प्रतिस्थापित करने में भूल होना।
Exam Tips:
a) बड़े प्रश्नों में प्रत्येक पद को ध्यान से देखें।
b) समीकरण के अवकलज को सरल रूप में रखें।
c) बाएँ पक्ष को हल करके दाएँ पक्ष के बराबर लाएं।
Question 9: प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है:
\( x + y = \tan^{-1} y \) : \( y^2y' + y^2 + 1 = 0 \)
Answer:
दी गई समीकरण है: \( x + y = \tan^{-1} y \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}(x + y) = \frac{d}{dx}(\tan^{-1} y) \)
\( \Rightarrow 1 + y' = \frac{1}{1 + y^2} \cdot y' \)
\( \Rightarrow y'\left[\frac{1}{1 + y^2} - 1\right] = 1 \Rightarrow y'\left[\frac{1 - (1 + y^2)}{1 + y^2}\right] = 1 \)
\( \Rightarrow y'\left[\frac{-y^2}{1 + y^2}\right] = 1 \Rightarrow y' = -\frac{1 + y^2}{y^2} \)
\( y' \) का मान दी गई अवकल समीकरण के बाएँ पक्ष में रखने पर:
बायाँ पक्ष = \( y^2y' + y^2 + 1 \)
= \( y^2 \left(-\frac{1 + y^2}{y^2}\right) + y^2 + 1 \)
= \( -(1 + y^2) + y^2 + 1 = -1 - y^2 + y^2 + 1 = 0 \) = दायाँ पक्ष
अतः, दिया हुआ फलन, संगत अवकल समीकरण का हल है।
मुख्य बिंदु:
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन \( \tan^{-1} y \) का अवकलन \( \frac{1}{1 + y^2} \cdot y' \) होता है।
• \( y' \) के पदों को एक साथ समूहित करना।
• बीजगणितीय लघुत्तम लेकर सरल करना।
आम गलतियाँ:
• \( \tan^{-1} y \) के अवकलन में श्रृंखला नियम के तहत \( y' \) गुणा करना भूल जाना।
• ऋणात्मक चिह्नों को हल करते समय गलती करना।
• मान प्रतिस्थापित करते समय कोष्ठक की अशुद्धि करना।
Exam Tips:
a) प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलन के सूत्र कंठस्थ रखें।
b) पक्षांतरण करते समय चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।
c) सत्यापन के चरण स्पष्ट लिखें ताकि अंक न कटें।
Question 10: प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है:
\( y = \sqrt{a^2 - x^2} \quad x \in (-a, a) \) : \( x + y \frac{dy}{dx} = 0 \) (\( y \neq 0 \))
Answer:
दी गई समीकरण है: \( y = \sqrt{a^2 - x^2} \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{a^2 - x^2}) \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(a^2 - x^2) \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2}} \)
\( \frac{dy}{dx} \) का मान दी गई अवकल समीकरण के बाएँ पक्ष में रखने पर:
बायाँ पक्ष = \( x + y \frac{dy}{dx} = x + \sqrt{a^2 - x^2} \left(\frac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2}}\right) \)
= \( x - x = 0 \) = दायाँ पक्ष
अतः, दिया हुआ फलन, संगत अवकल समीकरण का हल है।
मुख्य बिंदु:
• वर्गमूल फलन का श्रृंखला नियम से अवकलन।
• अचर \( a^2 \) का अवकलन शून्य होना।
• \( y \) के मान को प्रतिस्थापित कर समीकरण सिद्ध करना।
आम गलतियाँ:
• \( a^2 \) को चर मानकर उसका अवकलन \( 2a \) कर देना।
• रूट के अंदर के ऋण चिह्न को छोड़ देना।
• मान रखते समय पदों को न काटना।
Exam Tips:
a) अचर और चर में अंतर स्पष्ट समझें।
b) हर में दिए गए फलन से अंश का पद काटने से पहले शर्तें देख लें।
c) संपूर्ण हल को क्रमित रूप से दर्शाएं।
Question 11: चार कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित स्वेच्छा अचरों की संख्या है:
(A) 0
(B) 2
(C) 3
(D) 4
Answer:
हम जानते हैं कि किसी भी अवकल समीकरण में स्वेच्छा अचरों की संख्या उसकी कोटि के बराबर होती है।
इसलिए, चार कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित स्वेच्छा अचरों की संख्या 4 है।
अतः, विकल्प (D) सही है।
मुख्य बिंदु:
• अवकल समीकरण की कोटि और स्वेच्छा अचरों में सीधा संबंध होता है।
• व्यापक हल में कोटि के बराबर स्वेच्छा अचर होते हैं।
• विशिष्ट हल में कोई स्वेच्छा अचर नहीं होता।
आम गलतियाँ:
• व्यापक और विशिष्ट हल में भ्रमित होना।
• कोटि और घात को एक ही समझ लेना।
Exam Tips:
a) यह महत्वपूर्ण बहुविकल्पीय प्रश्न है, इसे सिद्धांत के रूप में याद रखें।
b) कोटि = स्वेच्छा अचरों की संख्या (व्यापक हल में)।
c) सही विकल्प को स्पष्ट रूप से चिह्नित करें।
Question 12: तीन कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में उपस्थित स्वेच्छा अचरों की संख्या है:
(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) 0
Answer:
अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में उपस्थित स्वेच्छा अचर नहीं होते हैं क्योंकि सभी अचरों का मान प्राप्त कर लिया जाता है।
अतः, विकल्प (D) सही है।
मुख्य बिंदु:
• विशिष्ट हल (Particular Solution) में कोई भी स्वेच्छा अचर नहीं होता है।
• प्रारंभिक प्रतिबंधों का उपयोग करके सभी स्वेच्छा अचरों के मान निकाले जाते हैं।
• कोटि चाहे जो भी हो, विशिष्ट हल अचर-मुक्त होता है।
आम गलतियाँ:
• इसे व्यापक हल समझकर 3 उत्तर टिक कर देना।
• कोटि की संख्या को ही हल में अचर मान लेना।
Exam Tips:
a) प्रश्न में "विशिष्ट हल" शब्द पर विशेष ध्यान दें।
b) याद रखें कि विशिष्ट हल में स्वेच्छा अचर शून्य होते हैं।
c) अवधारणा स्पष्ट होने पर ऐसे प्रश्न आसानी से हल हो जाते हैं।
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