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Question 1: अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए: \( \frac{d^4y}{dx^4} + \sin(y''') = 0 \)
Answer:
दिया गया अवकल समीकरण है:
\( \frac{d^4y}{dx^4} + \sin(y''') = 0 \)
इस अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलज \( \frac{d^4y}{dx^4} \) (या \( y'''' \)) है।
अतः इस अवकल समीकरण की कोटि \( 4 \) है।
चूँकि यह समीकरण अवकलज \( y''' \) का त्रिकोणमितीय फलन (साइन) रखती है और इसे बहुपद समीकरण के रूप में नहीं लिखा जा सकता, इसलिए इसकी घात परिभाषित नहीं है।
मुख्य बिंदु:
• किसी अवकल समीकरण की कोटि उसमें उपस्थित उच्चतम कोटि के अवकलज की कोटि होती है।
• यदि अवकल समीकरण अपने उच्चतम कोटि के अवकलज में बहुपद नहीं है, तो उसकी घात परिभाषित नहीं होती।
• यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज चतुर्थ कोटि का है।
आम गलतियाँ:
• छात्रों द्वारा \( \sin \) के अंदर के पद को देखकर घात को \( 1 \) लिख देना।
• कोटि और घात की परिभाषा में संशय रखना।
Exam Tips:
a) सबसे पहले समीकरण में उच्चतम कोटि के अवकलज को पहचानें।
b) घात परिभाषित होने के लिए समीकरण का अवकलजों में बहुपद होना अनिवार्य है।
c) यदि घात परिभाषित न हो, तो स्पष्ट रूप से कारण लिखें।
Question 2: अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए: \( y' + 5y = 0 \)
Answer:
दिया गया अवकल समीकरण है:
\( y' + 5y = 0 \)
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
\( \frac{dy}{dx} + 5y = 0 \)
इस अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलज \( \frac{dy}{dx} \) है।
अतः इसकी कोटि \( 1 \) है।
यह अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx} \) में एक बहुपद समीकरण है और उच्चतम कोटि अवकलज की घात \( 1 \) है।
अतः इस अवकल समीकरण की घात \( 1 \) है।
मुख्य बिंदु:
• प्रथम कोटि के अवकलज \( y' \) की कोटि \( 1 \) होती है।
• समीकरण रैखिक होने के कारण घात आसानी से परिभाषित होती है।
• अधिकतम घात यहाँ \( 1 \) है।
आम गलतियाँ:
• \( y \) की घात को अवकल समीकरण की घात समझ लेना।
• कोटि को \( 0 \) मान लेना।
Exam Tips:
a) प्राइम नोटेशन (\( y', y'' \)) को डेरिवेटिव नोटेशन (\( \frac{dy}{dx} \)) में बदलकर समझें।
b) उच्चतम कोटि के अवकलज की घात ही पूरे समीकरण की घात होती है।
c) उत्तर लिखते समय कोटि और घात दोनों को अलग-अलग स्पष्ट करें।
Question 3: अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए: \( \left(\frac{ds}{dt}\right)^4 + 3s \frac{d^2s}{dt^2} = 0 \)
Answer:
दिया गया अवकल समीकरण है:
\( \left(\frac{ds}{dt}\right)^4 + 3s \frac{d^2s}{dt^2} = 0 \)
इस समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलज \( \frac{d^2s}{dt^2} \) है।
अतः इस अवकल समीकरण की कोटि \( 2 \) है।
यह समीकरण अवकलजों में एक बहुपद समीकरण है और उच्चतम कोटि अवकलज \( \frac{d^2s}{dt^2} \) की अधिकतम घात \( 1 \) है।
अतः इस अवकल समीकरण की घात \( 1 \) है।
मुख्य बिंदु:
• यहाँ स्वतंत्र चर \( t \) और परतंत्र चर \( s \) हैं।
• उच्चतम कोटि द्वितीय कोटि की है (\( \frac{d^2s}{dt^2} \))।
• घात केवल उच्चतम कोटि के अवकलज की घात से तय होती है, अन्य पदों की घात से नहीं।
आम गलतियाँ:
• \( \left(\frac{ds}{dt}\right)^4 \) की घात \( 4 \) को पूरे समीकरण की घात मान लेना।
• कोटि को \( 1 \) लिख देना।
Exam Tips:
a) हमेशा उच्चतम कोटि के अवकलज की घात देखें, न कि किसी अन्य पद की घात।
b) चरों के नाम बदलने से कोटि और घात निकालने के नियम नहीं बदलते।
c) स्टेप-बाय-स्टेप लिखकर उत्तर दें ताकि अंक न कटें।
Question 4: अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए: \( \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 + \cos\left(\frac{dy}{dx}\right) = 0 \)
Answer:
दिया गया अवकल समीकरण है:
\( \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 + \cos\left(\frac{dy}{dx}\right) = 0 \)
इस समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलज \( \frac{d^2y}{dx^2} \) है।
अतः इस अवकल समीकरण की कोटि \( 2 \) है।
चूँकि समीकरण में \( \cos\left(\frac{dy}{dx}\right) \) पद उपस्थित है, यह अवकलजों में एक बहुपद समीकरण नहीं है।
अतः इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।
मुख्य बिंदु:
• त्रिकोणमितीय फलन के अंदर अवकलज होने पर समीकरण बहुपद नहीं रहता।
• उच्चतम कोटि \( 2 \) होने के कारण कोटि \( 2 \) है।
• बहुपद न होने के कारण घात अनिर्धारित (परिभाषित नहीं) है।
आम गलतियाँ:
• \( \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 \) की घात \( 2 \) को उत्तर मान लेना।
• \( \cos \) फलन की उपेक्षा कर देना।
Exam Tips:
a) जाँच करें कि क्या सभी अवकलज त्रिकोणमितीय, लघुगणकीय या घातांकीय फलनों के कोण/घातांक के रूप में तो नहीं हैं।
b) यदि ऐसा है, तो घात 'परिभाषित नहीं है' लिखें।
c) कोटि हमेशा परिभाषित होती है, चाहे समीकरण बहुपद हो या न हो।
Question 5: अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए: \( \frac{d^2y}{dx^2} = \cos 3x + \sin 3x \)
Answer:
दिया गया अवकल समीकरण है:
\( \frac{d^2y}{dx^2} = \cos 3x + \sin 3x \)
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
\( \frac{d^2y}{dx^2} - \cos 3x - \sin 3x = 0 \)
इस समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलज \( \frac{d^2y}{dx^2} \) है।
अतः इसकी कोटि \( 2 \) है।
यह अवकल समीकरण अवकलजों में एक बहुपद समीकरण है और उच्चतम कोटि अवकलज की अधिकतम घात \( 1 \) है।
अतः इस अवकल समीकरण की घात \( 1 \) है।
मुख्य बिंदु:
• दाहिने पक्ष में स्वतंत्र चर \( x \) के त्रिकोणमितीय फलन हैं, अवकलज के नहीं।
• इसलिए यह समीकरण अवकलजों में बहुपद है।
• उच्चतम कोटि \( 2 \) और घात \( 1 \) है।
आम गलतियाँ:
• \( \cos 3x \) और \( \sin 3x \) को अवकलज का फलन समझकर घात अपरिभाषित बता देना।
• कोटि गलत पहचानना।
Exam Tips:
a) ध्यान दें कि त्रिकोणमितीय फलनों के साथ चर \( x \) है या अवकलज \( \frac{dy}{dx} \) ।
b) यदि चर \( x \) है, तो समीकरण बहुपद समीकरण हो सकता है।
c) अपने उत्तर की पुष्टि करने के बाद ही अंतिम परिणाम लिखें।
Question 6: अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए: \( (y'')^3 + (y'')^2 + (y')^4 + y^5 = 0 \)
Answer:
दिया गया अवकल समीकरण है:
\( (y'')^3 + (y'')^2 + (y')^4 + y^5 = 0 \)
इस समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलज \( y''' \) (अर्थात तृतीय कोटि का अवकलज) है।
अतः इस अवकल समीकरण की कोटि \( 3 \) है।
यह समीकरण अवकलजों में एक बहुपद समीकरण है और उच्चतम कोटि अवकलज \( y''' \) की अधिकतम घात \( 2 \) है।
अतः इस अवकल समीकरण की घात \( 2 \) है।
मुख्य बिंदु:
• यहाँ \( y''' \) की घात \( 2 \) है (ध्यान दें: प्रश्न में \( (y'')^3 + (y'')^2 + (y')^4 + y^5 = 0 \) है, जहाँ उच्चतम कोटि \( y''' \) है जिसकी घात \( 2 \) है)।
• समीकरण सभी अवकलजों में बहुपद रूप में है।
• कोटि \( 3 \) और घात \( 2 \) प्राप्त होती है।
आम गलतियाँ:
• \( (y'')^3 \) को उच्चतम कोटि मान लेना जबकि समीकरण में \( y''' \) भी उपस्थित है।
• घात को \( 3 \) लिख देना क्योंकि \( 3 \) अधिकतम घातांक दिख रहा है।
Exam Tips:
apostrophe (
a) Prime notation को ध्यान से गिनें (\( y' = 1, y'' = 2, y''' = 3 \)).
b) उच्चतम कोटि के अवकलज की ही घात को पूरे समीकरण की घात मानें।
c) प्रत्येक पद की डिग्री और ऑर्डर की सावधानीपूर्वक तुलना करें।
Question 7: अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए: \( y''' + 2y'' + y' = 0 \)
Answer:
दिया गया अवकल समीकरण है:
\( y''' + 2y'' + y' = 0 \)
इस समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलज \( y''' \) है।
अतः इस अवकल समीकरण की कोटि \( 3 \) है।
यह समीकरण अवकलजों में बहुपद समीकरण है और उच्चतम कोटि अवकलज \( y''' \) की अधिकतम घात \( 1 \) है।
अतः इस अवकल समीकरण की घात \( 1 \) है।
मुख्य बिंदु:
• \( y''' \) तृतीय कोटि का अवकलज है।
• समीकरण रैखिक एवं बहुपद रूप में है।
• उच्चतम कोटि अवकलज की घात स्पष्ट रूप से \( 1 \) है।
आम गलतियाँ:
• कोटि को \( 3 \) के बजाय \( 2 \) या \( 1 \) मान लेना।
• घात को अपरिभाषित बता देना।
Exam Tips:
a) प्राइम संकेतों को समझकर उनकी संख्या के आधार पर कोटि तय करें।
b) सभी पद रैखिक होने पर घात हमेशा \( 1 \) होती है।
c) सरल प्रश्नों में भी सावधानी बरतें ताकि गलती न हो।
Question 8: अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए: \( y' + y = e^x \)
Answer:
दिया गया अवकल समीकरण है:
\( y' + y = e^x \)
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( \frac{dy}{dx} + y - e^x = 0 \)
इस समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलज \( \frac{dy}{dx} \) है।
अतः इस अवकल समीकरण की कोटि \( 1 \) है।
यह समीकरण अवकलजों में बहुपद है और उच्चतम कोटि अवकलज की अधिकतम घात \( 1 \) है।
अतः इस अवकल समीकरण की घात \( 1 \) है।
मुख्य बिंदु:
• दाहिने पक्ष का चर घातांकीय फलन \( e^x \) है, जो कि स्वतंत्र चर का फलन है।
• कोटि प्रथम कोटि (\( 1 \)) है।
• घात भी \( 1 \) है।
आम गलतियाँ:
• \( e^x \) को देखकर घात को अपरिभाषित मान लेना।
• कोटि और घात दोनों को \( 0 \) लिख देना।
Exam Tips:
a) याद रखें कि \( e^x \) में \( x \) स्वतंत्र चर है, इसलिए यह बहुपद प्रतिबंध का उल्लंघन नहीं करता।
b) प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण की घात सदैव \( 1 \) होती है।
c) अंतिम उत्तर स्पष्ट रूप से लिखें।
Question 9: अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए: \( y'' + (y')^2 + 2y = 0 \)
Answer:
दिया गया अवकल समीकरण है:
\( y'' + (y')^2 + 2y = 0 \)
इस समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलज \( y'' \) है।
अतः इस अवकल समीकरण की कोटि \( 2 \) है।
यह समीकरण अवकलजों में बहुपद समीकरण है और उच्चतम कोटि अवकलज \( y'' \) की अधिकतम घात \( 1 \) है।
अतः इस अवकल समीकरण की घात \( 1 \) है।
मुख्य बिंदु:
• यहाँ प्रथम कोटि के अवकलज पर घात \( 2 \) है (\( (y')^2 \))।
• परंतु उच्चतम कोटि का अवकलज \( y'' \) है जिसकी अपनी घात \( 1 \) है।
• समीकरण की घात \( 1 \) होगी, \( 2 \) नहीं।
आम गलतियाँ:
• \( (y')^2 \) की घात \( 2 \) को ही पूरे अवकल समीकरण की घात समझ लेना।
• कोटि और घात में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) यह सबसे महत्वपूर्ण और भ्रमित करने वाला प्रश्न है; हमेशा उच्चतम कोटि के अवकलज की घात देखें।
b) अन्य पदों की घातों को नजरअंदाज करें जब समीकरण बहुपद हो।
c) स्टेप्स को सही ढंग से प्रस्तुत करें।
Question 10: अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए: \( y'' + 2y' + \sin y = 0 \)
Answer:
दिया गया अवकल समीकरण है:
\( y'' + 2y' + \sin y = 0 \)
इस समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलज \( y'' \) है।
अतः इस अवकल समीकरण की कोटि \( 2 \) है।
चूँकि यहाँ \( \sin y \) है (जहाँ \( y \) परतंत्र चर है, अवकलज नहीं), यह समीकरण अवकलजों में एक बहुपद समीकरण है।
अतः उच्चतम कोटि अवकलज \( y'' \) की घात \( 1 \) है और इस अवकल समीकरण की घात \( 1 \) है।
मुख्य बिंदु:
• \( \sin y \) में \( y \) चर है, अवकलज \( \frac{dy}{dx} \) नहीं। इसलिए यह बहुपदता को प्रभावित नहीं करता।
• उच्चतम कोटि \( 2 \) है।
• घात परिभाषित है और इसका मान \( 1 \) है।
आम गलतियाँ:
• \( \sin y \) को \( \sin\left(\frac{dy}{dx}\right) \) समझकर घात को अपरिभाषित बता देना।
• \( y \) के त्रिकोणमितीय फलन को देखकर भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) फलन के अंदर के चर को ध्यान से देखें—यदि वह \( y \) है तो घात परिभाषित होगी, यदि \( y' \) या \( y'' \) है तो अपरिभाषित होगी।
b) इस अंतर को परीक्षा में विशेष रूप से ध्यान रखें।
c) कोटि और घात दोनों को सही रूप से परिभाषित करें।
Question 11: अवकल समीकरण \( \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \sin\left(\frac{dy}{dx}\right) + 1 = 0 \) की घात है:
(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) परिभाषित नहीं है
Answer:
दिया गया अवकल समीकरण है:
\( \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \sin\left(\frac{dy}{dx}\right) + 1 = 0 \)
इस समीकरण में पद \( \sin\left(\frac{dy}{dx}\right) \) उपस्थित है, जिसके कारण यह समीकरण अवकलजों में बहुपद समीकरण नहीं है।
अतः इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।
अतः सही विकल्प (D) है।
मुख्य बिंदु:
• त्रिकोणमितीय फलन के कोण में अवकलज होने से बहुपद का नियम टूट जाता है।
• ऐसी स्थिति में घात अनिर्धारित या परिभाषित नहीं होती है।
• यह बहुविकल्पीय प्रश्न परीक्षा की दृष्टि से बहुत महत्वपूर्ण है।
आम गलतियाँ:
• \( \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3 \) की घात \( 3 \) को सही विकल्प (A) चुन लेना।
• \( \sin \) फलन की उपेक्षा कर देना।
Exam Tips:
a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में सभी पदों को गौर से देखें।
b) यदि किसी भी अवकलज पर कोई प्रतिबंधात्मक फलन (त्रिकोणमितीय/लघुगणकीय) लगा हो, तो तुरंत 'परिभाषित नहीं' वाले विकल्प को चुनें।
c) सही विकल्प (D) को स्पष्ट रूप से उत्तर पुस्तिका में अंकित करें।
Question 12: अवकल समीकरण \( 2x^2 \frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} + y = 0 \) की कोटि है:
(A) 2
(B) 1
(C) 0
(D) परिभाषित नहीं है
Answer:
दिया गया अवकल समीकरण है:
\( 2x^2 \frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} + y = 0 \)
इस अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलज \( \frac{d^2y}{dx^2} \) है।
अतः इस अवकल समीकरण की कोटि \( 2 \) है।
अतः सही विकल्प (A) है।
मुख्य बिंदु:
• समीकरण में उच्चतम कोटि का डेरिवेटिव द्वितीय कोटि का है।
• कोटि हमेशा एक पूर्ण संख्या होती है।
• यहाँ कोटि सीधे \( 2 \) प्राप्त होती है।
आम गलतियाँ:
• \( 2x^2 \) के गुणांक या घात को कोटि समझ लेना।
• विकल्प (B) या (C) को टिक कर देना।
Exam Tips:
a) कोटि केवल उच्चतम अवकलज के क्रम (Order) पर निर्भर करती है, गुणांकों पर नहीं।
b) ऑब्जेक्टिव प्रश्नों को हल करते समय शांत चित्त होकर उच्चतम अवकलज खोजें।
c) सही विकल्प (A) पर टिक करें।
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