Step-by-Step Textbook Solutions for Class 12 Mathematics Chapter 08 समाकलनों के अनुप्रयोग
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Question 1: दिए हुए वक्रों एवं रेखाओं से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i) \( y = x^2, x = 1, x = 2 \) एवं \( x \)-अक्ष
(ii) \( y = x^2, x = 1, x = 5 \) एवं \( x \)-अक्ष
Answer:
(i) वक्र \( y = x^2 \) और रेखाओं \( x = 1 \), \( x = 2 \) तथा \( x \)-अक्ष के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल:
\( \text{क्षेत्रफल} = \int_{1}^{2} y \, dx \)
\( = \int_{1}^{2} x^2 \, dx \)
\( = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} \)
\( = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} \)
\( = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \)
\( = \frac{7}{3} \) वर्ग इकाई
(ii) वक्र \( y = x^2 \) और रेखाओं \( x = 1 \), \( x = 5 \) तथा \( x \)-अक्ष के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल:
\( \text{क्षेत्रफल} = \int_{1}^{5} y \, dx \)
\( = \int_{1}^{5} x^2 \, dx \)
\( = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{5} \)
\( = \frac{5^3}{3} - \frac{1^3}{3} \)
\( = \frac{125}{3} - \frac{1}{3} \)
\( = \frac{124}{3} \) वर्ग इकाई
मुख्य बिंदु:
• समाकलन का प्रयोग करके वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल ज्ञात करना।
• दी गई सीमाओं \( x = a \) और \( x = b \) का उपयोग करना।
• \( x \)-अक्ष के संदर्भ में क्षेत्रफल निकालने के लिए \( \int y \, dx \) का सूत्र लगाना।
आम गलतियाँ:
• समाकलन करते समय घात में 1 जोड़ना और नई घात से भाग देना भूल जाना।
• उच्च और निम्न सीमाओं के मान रखते समय चिह्न की गलती करना।
• क्षेत्रफल के साथ वर्ग इकाई न लिखना।
Exam Tips:
a) रफ स्केच या ग्राफ बनाकर सीमाएं स्पष्ट रूप से देख लें।
b) गणना को चरणों में करें ताकि गलती की संभावना कम हो।
c) अंत में उत्तर के साथ 'वर्ग इकाई' अवश्य लिखें।
Question 2: \( y = |x + 3| \) का ग्राफ खींचिए एवं \( \int_{-6}^{0} |x + 3| \, dx \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दी गई फलन की परिभाषा:
\( y = |x + 3| = -(x + 3) \) जब \( x < -3 \)
\( y = |x + 3| = (x + 3) \) जब \( x \geq -3 \)
अतः समाकलन को अंतराल में विभाजित करने पर:
\( \int_{-6}^{0} |x + 3| \, dx = \int_{-6}^{-3} -(x + 3) \, dx + \int_{-3}^{0} (x + 3) \, dx \)
\( = -\left[ \frac{x^2}{2} + 3x \right]_{-6}^{-3} + \left[ \frac{x^2}{2} + 3x \right]_{-3}^{0} \)
\( = -\left[ \left(\frac{(-3)^2}{2} + 3(-3)\right) - \left(\frac{(-6)^2}{2} + 3(-6)\right) \right] + \left[ (0) - \left(\frac{(-3)^2}{2} + 3(-3)\right) \right] \)
\( = -\left[ \left(\frac{9}{2} - 9\right) - (18 - 18) \right] - \left(\frac{9}{2} - 9\right) \)
\( = -\left( -\frac{9}{2} \right) - \left( -\frac{9}{2} \right) \)
\( = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} = 9 \)
मुख्य बिंदु:
• मापांक फलन (Modulus function) को उसकी परिभाषा के अनुसार अलग-अलग अंतरालों में तोड़ना।
• मापांक फलन का क्रांतिक बिंदु (Critical point) ज्ञात करना, यहाँ \( x = -3 \) है।
• निश्चित समाकलन के गुणों का उपयोग करके अंतराल को विभाजित करना।
आम गलतियाँ:
• मापांक फलन को बिना तोड़े सीधे समाकलित करना।
• अंतराल विभाजन बिंदु \( -3 \) को शामिल न करना।
• ऋणात्मक चिन्हों के साथ गणना करते समय कोष्ठक की अशुद्धि करना।
Exam Tips:
a) मापांक फलनों के प्रश्नों में क्रांतिक बिंदु पर विशेष ध्यान दें।
b) समाकलन के दोनों भागों को अलग-अलग हल करके अंत में जोड़ें।
c) कोष्ठकों के बाहर लगे ऋण चिन्ह का सावधानीपूर्वक प्रसार करें।
Question 3: \( x = 0 \) एवं \( x = 2\pi \) तथा वक्र \( y = \sin x \) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
वक्र \( y = \sin x \) का ग्राफ \( x = 0 \) से \( x = 2\pi \) के बीच \( x \)-अक्ष को \( x = \pi \) पर काटता है।
\( x \in [0, \pi] \) में \( \sin x \geq 0 \) और \( x \in [\pi, 2\pi] \) में \( \sin x \leq 0 \) होता है।
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल:
\( \text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{2\pi} |\sin x| \, dx \)
\( = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx + \int_{\pi}^{2\pi} (-\sin x) \, dx \)
\( = [-\cos x]_{0}^{\pi} + [\cos x]_{\pi}^{2\pi} \)
\( = (-\cos \pi - (-\cos 0)) + (\cos 2\pi - \cos \pi) \)
\( = (-(-1) - (-1)) + (1 - (-1)) \)
\( = (1 + 1) + (1 + 1) \)
\( = 2 + 2 = 4 \) वर्ग इकाई
मुख्य बिंदु:
• त्रिकोणमितीय वक्रों के लिए यह देखना कि वक्र \( x \)-अक्ष के ऊपर है या नीचे।
• \( x \)-अक्ष के नीचे के क्षेत्र का क्षेत्रफल ऋणात्मक आता है, इसलिए मापांक का प्रयोग करते हैं।
• \( \sin x \) का समाकलन \( -\cos x \) होता है।
आम गलतियाँ:
• पूरे अंतराल \( 0 \) से \( 2\pi \) तक बिना तोड़े सीधे समाकलन करना, जिससे परिणाम शून्य आ जाता है।
• \( \cos \pi \) और \( \cos 2\pi \) के मानों में चिह्न की गलती करना।
• क्षेत्रफल को ऋणात्मक छोड़ देना।
Exam Tips:
a) साइन या कोसाइन वक्रों के प्रश्नों में उनके शून्यक (Zeros) अवश्य ज्ञात करें।
b) क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए परिमाण का ध्यान रखें।
c) त्रिकोणमितीय मानों की सारणी का सही उपयोग करें।
Question 4: वक्र \( y = x^3 \), \( x \)-अक्ष एवं कोटियों \( x = -2, x = 1 \) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:
(A) \( 9 \)
(B) \( -\frac{15}{4} \)
(C) \( \frac{15}{4} \)
(D) \( \frac{17}{4} \)}
Answer:
अभीष्ट क्षेत्रफल:
\( \text{क्षेत्रफल} = \int_{-2}^{1} |y| \, dx = \int_{-2}^{1} |x^3| \, dx \)
चूँकि अंतराल \( [-2, 0] \) में \( x^3 \leq 0 \) और \( [0, 1] \) में \( x^3 \geq 0 \) है:
\( \text{क्षेत्रफल} = \int_{-2}^{0} (-x^3) \, dx + \int_{0}^{1} x^3 \, dx \)
\( = \left[ -\frac{x^4}{4} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} \)
\( = \left( 0 - \left(-\frac{(-2)^4}{4}\right) \right) + \left( \frac{1^4}{4} - 0 \right) \)
\( = \left( 0 - \left(-\frac{16}{4}\right) \right) + \frac{1}{4} \)
\( = 4 + \frac{1}{4} \)
\( = \frac{16 + 1}{4} = \frac{17}{4} \) वर्ग इकाई
अतः, विकल्प (D) सही है।
मुख्य बिंदु:
• बहुपदीय वक्रों के चिह्न परिवर्तन के बिंदुओं की पहचान करना।
• क्षेत्रफल निकालते समय वक्र के \( x \)-अक्ष के ऊपर और नीचे होने के अनुसार अंतरालों को विभाजित करना।
• निश्चित समाकलन की गणना सावधानीपूर्वक करना।
आम गलतियाँ:
• बिना अंतराल तोड़े सीधे \( \int_{-2}^{1} x^3 \, dx \) निकाल देना।
• ऋणात्मक क्षेत्रफल प्राप्त होने पर उसे क्षेत्रफल मान लेना।
• विकल्प चुनते समय गणना की गई संख्या का चिह्न छोड़ देना।
Exam Tips:
a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में भी उचित चरणों को हल करके ही सही विकल्प चुनें।
b) विषम घात वाले फलनों के समाकलन में चिह्न का विशेष ध्यान रखें।
c) भिन्नों को जोड़ते समय लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) की गलती न करें।
Question 5: वक्र \( y = x|x| \), \( x \)-अक्ष एवं कोटियों \( x = -1 \) तथा \( x = 1 \) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:
(A) \( 0 \)
(B) \( \frac{1}{3} \)
(C) \( \frac{2}{3} \)
(D) \( \frac{4}{3} \)
[संकेत: क्षेत्रफल \( y = x^2 \) यदि \( x > 0 \) एवं \( y = -x^2 \) यदि \( x < 0 \)]
Answer:
दिए गए फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( y = x|x| = \begin{cases} -x^2, & x < 0 \\ x^2, & x > 0 \end{cases} \)
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल:
\( \text{क्षेत्रफल} = \int_{-1}^{1} |x|x| | \, dx \)
\( = \int_{-1}^{0} (-x^2) \, dx + \int_{0}^{1} x^2 \, dx \)
\( = \left[ -\frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \)
\( = \left( 0 - \left(-\frac{(-1)^3}{3}\right) \right) + \left( \frac{1^3}{3} - 0 \right) \)
\( = \left( 0 - \left(-\frac{-1}{3}\right) \right) + \frac{1}{3} \)
\( = \left( 0 - \frac{1}{3} \right) \text{ का परिमाण} + \frac{1}{3} \)
\( = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \) वर्ग इकाई
अतः, विकल्प (C) सही है।
मुख्य बिंदु:
• मापांक फलन युक्त फलनों को खंडशः परिभाषित करना।
• क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए समाकलन के दोनों भागों के मानों का योग धनात्मक रूप में लेना।
• सममित वक्रों के गुणों को समझना।
आम गलतियाँ:
• दोनों भागों के समाकलन को सीधे जोड़ने पर \( -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 0 \) लिख देना।
• मापांक फलन के अंदर चर होने के प्रभाव को नजरअंदाज करना।
• गलत विकल्प का चयन करना।
Exam Tips:
a) संकेत का उपयोग करके फलन को सरल रूपों में बदलें।
b) क्षेत्रफल के लिए प्रत्येक खंड के मान के मापांक (Absolute value) को जोड़ें।
c) बोर्ड परीक्षा में ऐसे बहुविकल्पीय प्रश्नों के लिए पूरे कार्य (Working) को रफ में अवश्य हल करें।
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