NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 08 Application of Integrals (समाकलनों के अनुप्रयोग) Exercise 8.1 in Hindi

Question 1: दीर्घवृत्त \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया समीकरण एक दीर्घवृत्त है:
\( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \)
यह दीर्घवृत्त x-अक्ष और y-अक्ष दोनों के प्रति सममित है। इसलिए, संपूर्ण क्षेत्र का क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश के क्षेत्रफल का चार गुना होगा।
प्रथम चतुर्थांश में वक्र का समीकरण:
\( y = \frac{3}{4}\sqrt{16 - x^2} \)
क्षेत्रफल = \( 4 \int_{0}^{4} y \, dx \)
\( = 4 \int_{0}^{4} \frac{3}{4}\sqrt{16 - x^2} \, dx \)
\( = 3 \int_{0}^{4} \sqrt{4^2 - x^2} \, dx \)
समाकलन करने पर:
\( = 3 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{16 - x^2} + \frac{16}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{4}\right) \right]_{0}^{4} \)
मान रखने पर:
\( = 3 \left[ \left( 0 + 8 \cdot \frac{\pi}{2} \right) - (0 + 0) \right] \)
\( = 3 [4\pi] = 12\pi \) वर्ग इकाई

मुख्य बिंदु:

• दीर्घवृत्त दोनों अक्षों के प्रति सममित होता है।
• क्षेत्रफल निकालने के लिए एक चतुर्थांश का समाकलन करके 4 से गुणा किया जाता है।
• मानक समाकलन सूत्र \( \int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx \) का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• 4 से गुणा करना भूल जाना।
• सीमा (limits) गलत लेना।
• समाकलन के सूत्र में मान प्रतिस्थापित करते समय गणना की गलती करना।

Exam Tips:

a) कच्चा चित्र (rough sketch) अवश्य बनाएँ ताकि सममिति स्पष्ट हो सके।
b) अंतिम उत्तर में 'वर्ग इकाई' लिखना न भूलें।
c) दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्षों की लंबाई पहचानना सीखें।

Question 2: दीर्घवृत्त \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 \) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया समीकरण दीर्घवृत्त है:
\( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 \)
यह दीर्घवृत्त y-अक्ष के अनुदिश बड़ा है तथा दोनों अक्षों के प्रति सममित है।
प्रथम चतुर्थांश में y का मान:
\( y = \frac{3}{2}\sqrt{4 - x^2} \)
संपूर्ण क्षेत्रफल = \( 4 \times (\text{प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल}) \)
\( = 4 \int_{0}^{2} y \, dx \)
\( = 4 \int_{0}^{2} \frac{3}{2}\sqrt{4 - x^2} \, dx \)
\( = 6 \int_{0}^{2} \sqrt{2^2 - x^2} \, dx \)
मानक सूत्र लागू करने पर:
\( = 6 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) \right]_{0}^{2} \)
सीमाएँ रखने पर:
\( = 6 \left[ \left( 0 + 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) - 0 \right] \)
\( = 6 [\pi] = 6\pi \) वर्ग इकाई

मुख्य बिंदु:

• यहाँ दीर्घवृत्त का दीर्घ अक्ष y-अक्ष पर है।
• x की सीमा 0 से 2 तक ली जाएगी क्योंकि a = 2 है।
• निश्चित समाकलन के गुणों का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• a और b के मानों को आपस में मिला देना।
• समाकलन की ऊपरी और निचली सीमा गलत रखना।

Exam Tips:

a) दीर्घवृत्त का चित्र बनाते समय ध्यान रखें कि यह y-अक्ष पर लंबा होगा।
b) त्रिकोणमितीय प्रतिलोम फलनों के मानों को सावधानीपूर्वक हल करें।
c) प्रत्येक चरण में इकाई (units) स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।

Question 3: प्रथम चतुर्थांश में वृत्त \( x^2 + y^2 = 4 \) एवं रेखाओं \( x = 0, x = 2 \) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:
(A) \( \pi \)      (B) \( \frac{\pi}{2} \)      (C) \( \frac{\pi}{3} \)      (D) \( \frac{\pi}{4} \)

Answer:

वृत्त का समीकरण: \( x^2 + y^2 = 4 \)
यहाँ त्रिज्या \( r = 2 \) है।
प्रथम चतुर्थांश में रेखाओं \( x = 0 \) और \( x = 2 \) के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल:
\( \text{ क्षेत्रफल } = \int_{0}^{2} y \, dx \)
\( = \int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx \)
सूत्र का प्रयोग करने पर:
\( = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) \right]_{0}^{2} \)
मान रखने पर:
\( = \left( 0 + 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) - (0) \)
\( = \pi \) वर्ग इकाई
अतः विकल्प (A) सही है।

मुख्य बिंदु:

• वृत्त की त्रिज्या 2 है।
• समाकलन की सीमाएँ 0 से 2 तक हैं।
• यह प्रथम चतुर्थांश का पूरा क्षेत्रफल है।

आम गलतियाँ:

• वृत्त के पूरे क्षेत्रफल का सूत्र लगाकर आधा-अधूरी गणना करना।
• सीमाएँ गलत चुनना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में सीधे मानक सूत्रों का उपयोग करें।
b) चतुर्थांश की शर्त को हमेशा ध्यान में रखें।
c) सही विकल्प को स्पष्ट रूप से उत्तर पुस्तिका में लिखें।

Question 4: वक्र \( y^2 = 4x \), y-अक्ष एवं रेखा \( y = 3 \) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:
(A) 2      (B) \( \frac{9}{4} \)      (C) \( \frac{9}{3} \)      (D) \( \frac{9}{2} \)

Answer:

वक्र का समीकरण: \( y^2 = 4x \), जिससे \( x = \frac{y^2}{4} \)
यहाँ y-अक्ष के सापेक्ष समाकलन किया जाएगा क्योंकि सीमाएँ y की दी गई हैं।
क्षेत्रफल = \( \int_{0}^{3} x \, dy \)
\( = \int_{0}^{3} \frac{y^2}{4} \, dy \)
\( = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3} \)
\( = \frac{1}{12} [3^3 - 0] \)
\( = \frac{27}{12} = \frac{9}{4} \) वर्ग इकाई
अतः विकल्प (B) सही है।

मुख्य बिंदु:

• y-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल निकालने के लिए फलन को x के रूप में (अर्थात \( x = f(y) \)) व्यक्त किया जाता है।
• सीमाएँ y = 0 से y = 3 तक हैं।
• साधारण बहुपद समाकलन नियम का प्रयोग हुआ है।

आम गलतियाँ:

• x-अक्ष के सापेक्ष समाकलन करने की गलती करना जबकि सीमाएँ y की दी गई हैं।
• सीमा मान रखते समय लघुगणक या घात में गलती करना।

Exam Tips:

a) जाँच लें कि वक्र y-अक्ष के सापेक्ष सममित है या नहीं।
b) समाकलन करते समय घात नियम \( \int y^n dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} \) का सही प्रयोग करें।
c) भिन्नों को सरलतम रूप में बदलना न भूलें।