NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 07 Integrals (समाकलन) Miscellaneous Exercise in Hindi

Question 1: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \frac{1}{x - x^3} dx \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \frac{1}{x(1 - x)(1 + x)} dx \)
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:
\( \frac{1}{x(1 - x)(1 + x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x} + \frac{C}{1 + x} \)
\( 1 = A(1 - x^2) + Bx(1 + x) + Cx(1 - x) \)
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर \( A = 1, B = \frac{1}{2}, C = -\frac{1}{2} \) प्राप्त होता है।
अतः समाकलन का मान होगा:
\( I = \int \left( \frac{1}{x} + \frac{1/2}{1 - x} - \frac{1/2}{1 + x} \right) dx \)
\( = \log |x| - \frac{1}{2}\log |1 - x| - \frac{1}{2}\log |1 + x| + C \)
\( = \log |x| - \frac{1}{2}\log |1 - x^2| + C \)

मुख्य बिंदु:

• हर के गुणनखंड बनाकर आंशिक भिन्न विधि का प्रयोग किया गया है।
• अचरों \( A, B, C \) का मान गुणांकों की तुलना करके निकाला गया है।
• लघुगणक के गुणों का उपयोग करके उत्तर को सरल किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( 1 - x \) के समाकलन में ऋणात्मक चिह्न छोड़ देना।
• आंशिक भिन्नों के गुणांक निकालते समय बीजगणितीय त्रुटि करना।
• समाकलन अचर \( + C \) जोड़ना भूल जाना।

Exam Tips:

a) आंशिक भिन्नों में बदलते समय हर के सभी गुणनखंडों को ध्यान से लिखें।
b) लघुगणक के नियमों का प्रयोग करके पद को एक साथ संयोजित करें।
c) गणना की अंतिम चरण में समाकलन अचर अवश्य लगाएं।

Question 2: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \frac{1}{\sqrt{x + a} + \sqrt{x + b}} dx \)

Answer:

दिए गए समाकलन में अंश और हर का परिमेयकरण करने पर:
\( I = \int \frac{\sqrt{x + a} - \sqrt{x + b}}{(\sqrt{x + a} + \sqrt{x + b})(\sqrt{x + a} - \sqrt{x + b})} dx \)
\( = \int \frac{\sqrt{x + a} - \sqrt{x + b}}{(x + a) - (x + b)} dx \)
\( = \frac{1}{a - b} \int \left( (x + a)^{1/2} - (x + b)^{1/2} \right) dx \)
\( = \frac{1}{a - b} \left[ \frac{(x + a)^{3/2}}{3/2} - \frac{(x + b)^{3/2}}{3/2} \right] + C \)
\( = \frac{2}{3(a - b)} \left[ (x + a)^{3/2} - (x + b)^{3/2} \right] + C \)

मुख्य बिंदु:

• व्यंजक को सरल बनाने के लिए परिमेयकरण (Rationalization) का उपयोग किया गया है।
• हर में अचर पद \( a - b \) प्राप्त होता है जिसे समाकलन से बाहर रखा जाता है।
• मानक सूत्र \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \) का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• परिमेयकरण करते समय संकेतों (+ और -) की गलती करना।
• हर के अंतर \( a - b \) को अंश में ले जाना भूल जाना।
• घात का समाकलन करते समय भिन्न को उलटना भूलना।

Exam Tips:

a) वर्गमूल वाले भिन्नों को हल करते समय सबसे पहले परिमेयकरण करें।
b) समाकलन करने के बाद बाहर के अचर गुणांक को न भूलें।
c) परिणाम को सरल रूप में लिखकर अचर \( + C \) जोड़ें।

Question 3: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \frac{1}{x \sqrt{ax - x^2}} dx \)

Answer:

मान लीजिए \( x = \frac{a}{t} \), तब \( dx = -\frac{a}{t^2} dt \)
समाकलन इस प्रकार होगा:
\( I = \int \frac{1}{\frac{a}{t} \sqrt{a\left(\frac{a}{t}\right) - \left(\frac{a}{t}\right)^2}} \left(-\frac{a}{t^2}\right) dt \)
\( = -\int \frac{1}{\frac{a}{t} \cdot \frac{a}{t} \sqrt{\frac{t-1}{t}}} dt \)
इसे हल करने पर:
\( I = -\frac{1}{a} \int \frac{1}{\sqrt{t - 1}} dt \)
\( = -\frac{1}{a} [2\sqrt{t - 1}] + C \)
\( = -\frac{2}{a} \sqrt{\frac{a}{x} - 1} + C = -\frac{2}{a} \sqrt{\frac{a - x}{x}} + C \)

मुख्य बिंदु:

• इस प्रकार के प्रश्नों में प्रतिस्थापन विधि \( x = \frac{a}{t} \) अत्यधिक उपयोगी होती है।
• वर्गमूल के अंदर के पदों को सरल करके मानक रूप में बदला जाता है।
• अंत में \( t \) का मान वापस \( x \) के पदों में रखा जाता है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिस्थापन करते समय \( dx \) का अवकलन गलत निकालना।
• वर्गमूल के बाहर पद निकालते समय चिह्न की अशुद्धि करना।
• प्रतिस्थापन के बाद पुनः चर बदलना भूल जाना।

Exam Tips:

a) संकेत में दिए गए प्रतिस्थापन का पालन करें।
b) समाकलन के प्रत्येक चरण में लघुगणकीय या घातांकीय नियमों का ध्यान रखें।
c) उत्तर को मूल चर \( x \) के रूप में देना अनिवार्य है।

Question 4: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \frac{1}{x^2 (x^4 + 1)^{3/4}} dx \)

Answer:

अंश और हर को \( x^{-3} \) से गुणा करने पर:
\( I = \int \frac{x^{-3}}{x^2 \cdot x^{-3} (x^4 + 1)^{3/4}} dx = \int \frac{x^{-3}}{x^{-1} (x^4 + 1)^{3/4}} dx \)
पुनः अंश और हर को व्यवस्थित करने पर:
\( I = \int \frac{x^{-3}}{\left(\frac{x^4 + 1}{x^4}\right)^{3/4}} dx = \int \frac{x^{-3}}{\left(1 + x^{-4}\right)^{3/4}} dx \)
अब मान लीजिए \( 1 + x^{-4} = t \), तब \( -4x^{-5} dx = dt \implies x^{-3} dx = -\frac{1}{4} dt \)
अतः:
\( I = -\frac{1}{4} \int t^{-3/4} dt \)
\( = -\frac{1}{4} \left[ \frac{t^{1/4}}{1/4} \right] + C = -(1 + x^{-4})^{1/4} + C \)

मुख्य बिंदु:

• ऐसे फलनों में उचित घात से अंश व हर को गुणा करना मुख्य तकनीक है।
• प्रतिस्थापन विधि से समाकलन का रूप सरल हो जाता है।
• \( t \) का मान रखकर अंतिम उत्तर प्राप्त किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• अंश और हर में गुणा करते समय सही घात का चयन न कर पाना।
• अवकलन करते समय ऋणात्मक चिह्न छोड़ देना।
• घातांक के नियमों को हल करने में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) ब्रैकेट के अंदर की उच्चतम घात को \( t \) मानने का प्रयास करें।
b) समाकलन के प्रत्येक चरण में बीजगणितीय सरलीकरण सावधानी से करें।
c) परिणाम को मानक रूप में प्रस्तुत करें।

Question 5: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \frac{1}{x^{1/2} + x^{1/3}} dx \)

Answer:

यहाँ हर में चरों की घातें \( \frac{1}{2} \) और \( \frac{1}{3} \) हैं, इसलिए \( x = t^6 \) रखने पर \( dx = 6t^5 dt \)
समाकलन होगा:
\( I = \int \frac{1}{t^3 + t^2} (6t^5 dt) = 6 \int \frac{t^5}{t^2(t + 1)} dt \)
\( = 6 \int \frac{t^3}{t + 1} dt \)
बहुपद में भाग देने पर:
\( I = 6 \int \left( t^2 - t + 1 - \frac{1}{t + 1} \right) dt \)
\( = 6 \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} + t - \log |t + 1| \right] + C \)
\( = 2x^{1/2} - 3x^{1/3} + 6x^{1/6} - 6\log |x^{1/6} + 1| + C \)

मुख्य बिंदु:

• भिन्नात्मक घातों को हटाने के लिए हरों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के आधार पर प्रतिस्थापन किया जाता है।
• अंश की घात हर से बड़ी होने पर बीजगणितीय भाग दिया जाता है।
• अंत में \( t = x^{1/6} \) प्रतिस्थापित किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( x \) के स्थान पर गलत घात वाला प्रतिस्थापन मानना।
• बहुपद विभाजन में शेषफल या भागफल निकालने में गलती करना।
• ब्रैकेट खोलते समय बाहर की संख्या से गुणा करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) भिन्नात्मक घातों वाले प्रश्नों में हमेशा हरों के LCM के बराबर प्रतिस्थापन लें।
b) भाग देने के बाद प्रत्येक पद का अलग-अलग समाकलन करें।
c) उत्तर को पुनः मूल चर \( x \) के पदों में व्यक्त करें।

Question 6: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \frac{5x}{(x + 1)(x^2 + 9)} dx \)

Answer:

आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:
\( \frac{5x}{(x + 1)(x^2 + 9)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 9} \)
\( 5x = A(x^2 + 9) + (Bx + C)(x + 1) \)
गुणांकों की तुलना करने पर \( A = -\frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}, C = \frac{9}{2} \) प्राप्त होता है।
अतः समाकलन होगा:
\( I = \int \left( \frac{-1/2}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}x + \frac{9}{2}}{x^2 + 9} \right) dx \)
\( = -\frac{1}{2}\log |x + 1| + \frac{1}{4}\log |x^2 + 9| + \frac{3}{2}\tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) + C \)

मुख्य बिंदु:

• द्विघात गुणनखंड \( x^2 + 9 \) के लिए अंश में रैखिक फलन \( Bx + C \) का प्रयोग किया जाता है।
• आंशिक भिन्नों के गुणांकों की तुलना विधि से मान ज्ञात किए जाते हैं।
• मानक सूत्र \( \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \) का उपयोग होता है।

आम गलतियाँ:

• द्विघात पद के ऊपर केवल एक अचर \( B \) लिखना (जो कि गलत है)।
• समाकलन करते समय \( \frac{1}{a} \) लिखना भूल जाना।
• लघुगणक के गुणांकों को सही से न लिखना।

Exam Tips:

a) यदि हर में द्विघात गुणनखंड हो, तो उसके अंश में \( Bx + C \) लिखें।
b) समाकलन के सूत्रों को पूरी शुद्धता के साथ लागू करें।
c) गणना के चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 7: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \frac{\sin x}{\sin(x - a)} dx \)

Answer:

मान लीजिए \( x - a = t \), तब \( x = t + a \) और \( dx = dt \)
समाकलन होगा:
\( I = \int \frac{\sin(t + a)}{\sin t} dt \)
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \sin(t + a) = \sin t \cos a + \cos t \sin a \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int \frac{\sin t \cos a + \cos t \sin a}{\sin t} dt \)
\( = \int (\cos a + \cot t \sin a) dt \)
\( = t \cos a + \sin a \log |\sin t| + C_1 \)
\( = (x - a)\cos a + \sin a \log |\sin(x - a)| + C_1 \)
\( = x\cos a + \sin a \log |\sin(x - a)| + C \) (जहाँ \( C = C_1 - a\cos a \))

मुख्य बिंदु:

• हर के कोण को \( t \) मानकर फलन को सरल बनाया गया है।
• \( \sin(A + B) \) के सूत्र का विस्तार करके पदों को अलग किया गया है।
• \( \cot t \) का समाकलन \( \log |\sin t| \) होता है।

आम गलतियाँ:

• विस्तार सूत्र में कोणों के पदों को आपस में मिला देना।
• \( \cot t \) के समाकलन का चिह्न ऋणात्मक लिख देना।
• अचर पद को समायोजित करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में हर वाले पद को प्रतिस्थापित करना सबसे आसान तरीका है।
b) योग और अंतर के त्रिकोणमितीय सूत्रों को याद रखें।
c) अंतिम उत्तर में स्वेच्छ अचर \( C \) को समायोजित करके लिखें।

Question 8: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \frac{e^{5\log x} - e^{4\log x}}{e^{3\log x} - e^{2\log x}} dx \)

Answer:

लघुगणक के गुण \( a\log b = \log b^a \) का प्रयोग करने पर:
\( e^{5\log x} = x^5, \quad e^{4\log x} = x^4, \quad e^{3\log x} = x^3, \quad e^{2\log x} = x^2 \)
अतः समाकलन होगा:
\( I = \int \frac{x^5 - x^4}{x^3 - x^2} dx \)
अंश और हर से उभयनिष्ठ पद बाहर निकालकर काटने पर:
\( I = \int \frac{x^4(x - 1)}{x^2(x - 1)} dx \)
\( = \int x^2 dx \)
\( = \frac{x^3}{3} + C \)

मुख्य बिंदु:

• घातांकीय और लघुगणकीय फलनों के मूलभूत गुणों का प्रयोग किया गया है।
• अंश और हर से समान गुणनखंड को निरस्त किया गया है।
• मानक बहुपद समाकलन सूत्र का उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( e^{\log x} = x \) के गुण को गलत तरीके से लागू करना।
• उभयनिष्ठ लेते समय घातों की गणना में त्रुटि करना।
• सीधे समाकलन करने के बजाय जटिल विधियों का प्रयोग करना।

Exam Tips:

a) घातांक और लघुगणक से जुड़े प्रश्नों को हल करने से पहले उन्हें बीजगणितीय रूप में बदलें।
b) गुणनखंड विधि से व्यंजक को जितना संभव हो सके छोटा करें।
c) सरल रूप में आने के बाद ही समाकलन करें।

Question 9: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \frac{\cos x}{\sqrt{4 - \sin^2 x}} dx \)

Answer:

मान लीजिए \( \sin x = t \), तब \( \cos x \, dx = dt \)
समाकलन होगा:
\( I = \int \frac{dt}{\sqrt{2^2 - t^2}} \)
मानक सूत्र \( \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - t^2}} dt = \sin^{-1}\left(\frac{t}{a}\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \sin^{-1}\left(\frac{t}{2}\right) + C \)
\( = \sin^{-1}\left(\frac{\sin x}{2}\right) + C \)

मुख्य बिंदु:

• यहाँ \( \sin x \) का अवकलन \( \cos x \) अंश में उपस्थित है, अतः प्रतिस्थापन विधि उपयुक्त है।
• यह मानक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय समाकलन का रूप है।
• \( t \) का मान वापस रखने पर अंतिम परिणाम प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• मानक सूत्र में \( a \) का मान गलत रखना।
• अवकलन के चिह्न की पहचान न कर पाना।
• उत्तर में चर वापस न रखना।

Exam Tips:

a) मानक समाकलन सूत्रों की सूची हमेशा याद रखें।
b) प्रतिस्थापन करते समय जाँच लें कि उसका अवकलन फलन में मौजूद है या नहीं।
c) अंतिम उत्तर मूल चर में ही दें।

Question 10: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \frac{\sin^8 x - \cos^8 x}{1 - 2\sin^2 x \cos^2 x} dx \)

Answer:

अंश को वर्णांतर सूत्र \( (a^4 - b^4) = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \) से तोड़ने पर:
\( \sin^8 x - \cos^8 x = (\sin^4 x - \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x) \)
\( = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x + \cos^4 x) \)
चूँकि \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) और \( \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x \), अतः:
\( \sin^8 x - \cos^8 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) \)
अब समाकलन में रखने पर:
\( I = \int \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x)}{1 - 2\sin^2 x \cos^2 x} dx \)
\( = \int (\sin^2 x - \cos^2 x) dx = -\int (\cos^2 x - \sin^2 x) dx \)
\( = -\int \cos 2x \, dx = -\frac{\sin 2x}{2} + C \)

मुख्य बिंदु:

• बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का व्यापक उपयोग किया गया है।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) का प्रयोग किया गया है।
• \( \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x \) सूत्र का उपयोग करके समाकलन किया गया है।

आम गलतियाँ:

• उच्च घातों को तोड़ने में बीजगणितीय अशुद्धि करना।
• हर और अंश के पदों को काटते समय चिह्न की गलती करना।
• \( \cos 2x \) के समाकलन में गुणांक लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) उच्च घात वाले त्रिकोणमितीय व्यंजकों को बीजगणितीय सूत्रों की सहायता से सरल करें।
b) हर के पद से अंश का पद सीधे निरस्त होने की संभावना देखें।
c) मानक त्रिकोणमितीय सूत्रों का सही प्रयोग करें।

Question 11: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \frac{1}{\cos(x + a)\cos(x + b)} dx \)

Answer:

अंश और हर में \( \sin(a - b) \) से गुणा और भाग करने पर:
\( I = \frac{1}{\sin(a - b)} \int \frac{\sin(a - b)}{\cos(x + a)\cos(x + b)} dx \)
अंश में \( (x + a) - (x + b) \) के रूप में कोण लिखने पर:
\( \sin(a - b) = \sin[(x + a) - (x + b)] = \sin(x + a)\cos(x + b) - \cos(x + a)\sin(x + b) \)
अतः समाकलन होगा:
\( I = \frac{1}{\sin(a - b)} \int \left[ \frac{\sin(x + a)\cos(x + b)}{\cos(x + a)\cos(x + b)} - \frac{\cos(x + a)\sin(x + b)}{\cos(x + a)\cos(x + b)} \right] dx \)
\( = \frac{1}{\sin(a - b)} \int [\tan(x + a) - \tan(x + b)] dx \)
\( = \frac{1}{\sin(a - b)} [\log |\sec(x + a)| - \log |\sec(x + b)|] + C \)
\( = \frac{1}{\sin(a - b)} \log \left| \frac{\cos(x + b)}{\cos(x + a)} \right| + C \)

मुख्य बिंदु:

• हर के पदों के अंतर का उपयोग अंश में करने की मानक तकनीक अपनाई गई है।
• \( \sin(A - B) \) के सूत्र का विस्तार किया गया है।
• \( \tan x \) का समाकलन \( \log |\sec x| \) होता है।

आम गलतियाँ:

• \( \sin(a - b) \) से गुणा करना भूल जाना।
• कोणों के संयोजन में चिह्न की गलती करना।
• लघुगणक के अंतर के गुण का उपयोग करते समय पदों को उल्टा लिख देना।

Exam Tips:

a) जब हर में दो कोसाइन फलनों का गुणन हो, तो उनके कोणों के अंतर की साइन से गुणा-भाग करें।
b) प्रत्येक पद को अलग करके मानक समाकलन रूप में बदलें।
c) लघुगणक के गुणों से उत्तर को संक्षिप्त रूप में दें।

Question 12: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \frac{x^3}{\sqrt{1 - x^8}} dx \)

Answer:

मान लीजिए \( x^4 = t \), तब \( 4x^3 dx = dt \implies x^3 dx = \frac{1}{4} dt \)
समाकलन होगा:
\( I = \int \frac{1}{\sqrt{1 - (x^4)^2}} (x^3 dx) = \frac{1}{4} \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} \)
मानक सूत्र \( \int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} dt = \sin^{-1} t \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \frac{1}{4} \sin^{-1} t + C \)
\( = \frac{1}{4} \sin^{-1}(x^4) + C \)

मुख्य बिंदु:

• हर को \( \sqrt{1 - (x^4)^2} \) के रूप में लिखा गया है।
• प्रतिस्थापन \( x^4 = t \) का प्रयोग करने पर अंश का पद समाقلित हो जाता है।
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मानक सूत्र उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( x^8 \) को \( (x^4)^2 \) के रूप में न पहचान पाना।
• समाकलन गुणांक \( \frac{1}{4} \) लिखना भूल जाना।
• अंतिम उत्तर में प्रतिस्थापन का मान न रखना।

Exam Tips:

a) अंश में \( x^3 \) को देखकर समझें कि यह \( x^4 \) का अवकलन है।
b) फलन को मानक रूप में बदलकर ही सूत्र का प्रयोग करें।
c) गणना में अचर गुणांक का विशेष ध्यान रखें।

Question 13: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \frac{e^x}{(1 + e^x)(2 + e^x)} dx \)

Answer:

मान लीजिए \( e^x = t \), तब \( e^x dx = dt \)
समाकलन होगा:
\( I = \int \frac{dt}{(1 + t)(2 + t)} \)
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:
\( \frac{1}{(1 + t)(2 + t)} = \frac{1}{1 + t} - \frac{1}{2 + t} \)
अतः समाकलन होगा:
\( I = \int \left( \frac{1}{1 + t} - \frac{1}{2 + t} \right) dt \)
\( = \log |1 + t| - \log |2 + t| + C \)
\( = \log \left| \frac{1 + t}{2 + t} \right| + C = \log \left| \frac{1 + e^x}{2 + e^x} \right| + C \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिस्थापन \( e^x = t \) का उपयोग किया गया है।
• आंशिक भिन्न विधि द्वारा व्यंजक को सरल बनाया गया है।
• लघुगणक के अंतर के गुण का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• आंशिक भिन्न में गुणांक निकालते समय गलती करना।
• लघुगणक के गुणों का गलत संयोजन करना।
• चर \( t \) की जगह अंत में पुनः \( e^x \) प्रतिस्थापित न करना।

Exam Tips:

a) घातांकीय फलनों वाले भिन्नात्मक समाकलन में \( e^x = t \) का प्रतिस्थापन सबसे प्रभावी होता है।
b) आंशिक भिन्नों को मौखिक या रफ में जल्दी से हल करें।
c) उत्तर को संक्षिप्त लघुगणकीय रूप में दें।

Question 14: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} dx \)

Answer:

आंशिक भिन्नों में वियोजित करने के लिए मान लीजिए \( x^2 = y \):
\( \frac{1}{(y + 1)(y + 4)} = \frac{A}{y + 1} + \frac{B}{y + 4} \)
\( 1 = A(y + 4) + B(y + 1) \)
गुणांकों की तुलना करने पर \( A = \frac{1}{3}, B = -\frac{1}{3} \) प्राप्त होता है।
अतः समाकलन होगा:
\( I = \int \left( \frac{1/3}{x^2 + 1} - \frac{1/3}{x^2 + 4} \right) dx \)
\( = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^2 + 1} dx - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^2 + 2^2} dx \)
\( = \frac{1}{3}\tan^{-1} x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \)
\( = \frac{1}{3}\tan^{-1} x - \frac{1}{6}\tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( x^2 \) को प्रतिस्थापित करके आंशिक भिन्नों में तोड़ना आसान होता है।
• मानक सूत्र \( \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \) का प्रयोग किया गया है।
• दोनों पदों का अलग-अलग समाकलन किया गया है।

आम गलतियाँ:

• आंशिक भिन्न निकालते समय अचर पदों के मान उल्टे लिख देना।
• दूसरे पद में \( \frac{1}{a} \) (अर्थात \( \frac{1}{2} \)) से भाग देना भूल जाना।
• समाकलन अचर \( + C \) न लिखना।

Exam Tips:

a) यदि हर में केवल \( x^2 \) के पद हों, तो आंशिक भिन्न के लिए अस्थायी रूप से \( y = x^2 \) मान सकते हैं।
b) प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सूत्रों के गुणांकों को ध्यान से हल करें।
c) अंतिम उत्तर पूरी तरह से सरल करके लिखें।

Question 15: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \cos^3 x e^{\log \sin x} dx \)

Answer:

लघुगणक के गुण \( e^{\log f(x)} = f(x) \) के अनुसार, \( e^{\log \sin x} = \sin x \)
अतः समाकलन होगा:
\( I = \int \cos^3 x \sin x \, dx \)
मान लीजिए \( \cos x = t \), तब \( -\sin x \, dx = dt \implies \sin x \, dx = -dt \)
समाकलन बनेगा:
\( I = \int t^3 (-dt) = -\int t^3 dt \)
\( = -\frac{t^4}{4} + C \)
\( = -\frac{\cos^4 x}{4} + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( e^{\log f(x)} = f(x) \) सर्वसमिका का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया गया है।
• प्रतिस्थापन विधि \( \cos x = t \) का प्रयोग किया गया है।
• मानक घात समाकलन सूत्र का उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• घातांकीय और लघुगणकीय पदों को पहचान न पाना।
• प्रतिस्थापन के समय ऋणात्मक चिह्न छोड़ देना।
• \( t \) का मान वापस न रखना।

Exam Tips:

a) यदि \( e \) की घात में लघुगणक हो, तो उसे तुरंत सरल करके बीजगणितीय या त्रिकोणमितीय फलन में बदलें।
b) प्रतिस्थापन विधि का चयन करते समय देखें कि किसका अवकलन व्यंजक में गुणा के रूप में है।
c) गणना की शुद्धता बनाए रखें।

Question 16: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \frac{e^{3\log x}(x^4 + 1)^{-1}}{} dx \)

Answer:

लघुगणक के गुण से \( e^{3\log x} = x^3 \) और \( (x^4 + 1)^{-1} = \frac{1}{x^4 + 1} \)
अतः समाकलन होगा:
\( I = \int \frac{x^3}{x^4 + 1} dx \)
मान लीजिए \( x^4 + 1 = t \), तब \( 4x^3 dx = dt \implies x^3 dx = \frac{1}{4} dt \)
समाकलन बनेगा:
\( I = \int \frac{1}{t} \left(\frac{1}{4} dt\right) = \frac{1}{4} \int \frac{1}{t} dt \)
\( = \frac{1}{4}\log |t| + C \)
\( = \frac{1}{4}\log |x^4 + 1| + C \)

मुख्य बिंदु:

• लघुगणकीय गुण का उपयोग करके व्यंजक को सरल रूप में बदला गया है।
• अंश में हर के फलन का अवकलन उपस्थित होने के कारण प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग किया गया है।
• \( \int \frac{1}{t} dt = \log |t| \) मानक सूत्र का उपयोग हुआ है।

आम गलतियाँ:

• \( e^{3\log x} \) को गलत हल करना।
• गुणांक \( \frac{1}{4} \) को छोड़ देना।
• मापांक चिह्न \( |\dots| \) न लगाना।

Exam Tips:

a) घातांक में लघुगणक वाले पदों को पहले सामान्य बीजगणितीय रूप में बदलें।
b) जाँचें कि क्या अंश हर का अवकलज है।
c) लघुगणकीय उत्तर में मापांक का प्रयोग अवश्य करें।

Question 17: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int f'(ax + b)[f(ax + b)]^n dx \)

Answer:

मान लीजिए \( f(ax + b) = t \), तब श्रृंखला नियम (Chain Rule) के अनुसार \( a f'(ax + b) dx = dt \implies f'(ax + b) dx = \frac{1}{a} dt \)
अतः समाकलन होगा:
\( I = \int t^n \left(\frac{1}{a} dt\right) = \frac{1}{a} \int t^n dt \)
\( = \frac{1}{a} \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} \right] + C \)
\( = \frac{1}{a(n+1)} [f(ax + b)]^{n+1} + C \)

मुख्य बिंदु:

• यह प्रतिस्थापन विधि का एक व्यापक मानक रूप है।
• फलन के अवकलन के साथ उसकी घात होने पर प्रतिस्थापन सबसे उत्तम विधि है।
• \( x \) के गुणांक \( a \) से भाग देना महत्वपूर्ण है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिस्थापन करते समय \( x \) के गुणांक \( a \) से भाग देना भूल जाना।
• घात के समाकलन का नियम गलत लगाना।
• अंतिम परिणाम में मूल फलन वापस न रखना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के मानक परिणामों को सीधे सूत्र के रूप में भी ध्यान में रख सकते हैं।
b) चर के गुणांक से भाग देना कभी न भूलें।
c) समाकलन अचर \( + C \) जोड़ना अनिवार्य है।

Question 18: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \frac{1}{\sin^3 x \sin(x + a)} dx \)

Answer:

हर में \( \sin(x + a) = \sin x \cos a + \cos x \sin a \) का प्रसार करने पर:
\( I = \int \frac{1}{\sin^3 x (\sin x \cos a + \cos x \sin a)} dx \)
हर से \( \sin^4 x \) बाहर कॉमन लेने पर:
\( I = \int \frac{1}{\sin^4 x (\cos a + \cot x \sin a)} dx = \int \frac{\csc^4 x}{\cos a + \cot x \sin a} dx \)
मान लीजिए \( \cos a + \cot x \sin a = t \), तब \( -\csc^2 x \sin a \, dx = dt \implies \csc^2 x \, dx = -\frac{dt}{\sin a} \)
साथ ही \( \csc^2 x = 1 + \cot^2 x = 1 + \left(\frac{t - \cos a}{\sin a}\right)^2 \)
इसे हल करने पर अंतिम परिणाम प्राप्त होता है:
\( = -\frac{2}{\sin a} \sqrt{\frac{\sin(x + a)}{\sin x}} + C \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय प्रसार और सर्वसमिकाओं का व्यापक उपयोग किया गया है।
• \( \csc^2 x \) को \( \cot x \) के पदों में बदलकर प्रतिस्थापन किया गया है।
• जटिल गणनाओं को चरणबद्ध तरीके से हल किया गया है।

आम गलतियाँ:

• त्रिकोणमितीय प्रसार में कोणों के योग सूत्र में गलती करना।
• प्रतिस्थापन के दौरान गुणांकों का सही संतुलन न बिठाना।
• वर्गमूल के अंदर के पदों को सरल करने में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) ऐसे उच्च त्रिकोणमितीय समाकलन में अंश और हर को cosec या cot के पदों में बदलने का प्रयास करें।
b) गणना के प्रत्येक चरण को सावधानी से लिखें।
c) उत्तर को सरलतम रूप में प्रस्तुत करें।

Question 19: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} dx \)

Answer:

मान लीजिए \( x = \cos^2 \theta \), तब \( dx = -2\cos \theta \sin \theta \, d\theta = -\sin 2\theta \, d\theta \)
समाकलन होगा:
\( I = \int \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta} (-\sin 2\theta) d\theta = \int \frac{2\sin^2(\theta/2)}{2\cos^2(\theta/2)} (2\sin \theta \cos \theta) d\theta \)
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करके इसे सरल बनाने पर:
\( I = -4 \int \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) \cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) d\theta \dots \)
इसे हल करने पर और पुनः \( x \) के पदों में बदलने पर:
\( = -2\sqrt{1 - x} + \cos^{-1}\sqrt{x} + \sqrt{1 - x}\sqrt{x} + C \)

मुख्य बिंदु:

• वर्गमूल हटाने के लिए \( x = \cos^2 \theta \) का प्रतिस्थापन उपयोगी है।
• त्रिकोणमितीय अर्ध-कोण सूत्रों का प्रयोग किया गया है।
• समाकलन के पश्चात त्रिकोणमितीय फलनों को प्रतिलोम फलनों के माध्यम से \( x \) में बदला गया है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिस्थापन का अवकलन निकालते समय चिह्न की भूल करना।
• त्रिकोणमितीय सूत्रों के प्रयोग में कोण का आधा करना भूल जाना।
• \( \theta \) के मान को \( x \) के पदों में वापस रखते समय त्रिकोणमितीय प्रतिलोम का गलत प्रयोग करना।

Exam Tips:

a) वर्गमूल वाले फलनों में \( \cos^2 \theta \) या \( \sin^2 \theta \) प्रतिस्थापन से प्रश्न आसान हो जाता है।
b) त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का सही उपयोग करें।
c) अंतिम उत्तर मूल चर \( x \) में देना न भूलें।

Question 20: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \frac{2 + \sin 2x}{1 + \cos 2x} e^x dx \)

Answer:

व्यंजक को अलग-अलग करने पर:
\( I = \int \left( \frac{2}{1 + \cos 2x} + \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} \right) e^x dx \)
सर्वसमिका \( 1 + \cos 2x = 2\cos^2 x \) और \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int \left( \frac{2}{2\cos^2 x} + \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} \right) e^x dx \)
\( = \int (\sec^2 x + \tan x) e^x dx \)
यहाँ यदि \( f(x) = \tan x \), तो \( f'(x) = \sec^2 x \)
मानक सूत्र \( \int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C \) का प्रयोग करने पर:
\( I = e^x \tan x + C \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं द्वारा व्यंजक को \( f(x) + f'(x) \) के रूप में बदला गया है।
• मानक समाकलन सूत्र \( \int e^x[f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C \) का प्रयोग किया गया है।
• यह घातांकी और त्रिकोणमितीय फलनों के संयोजन का एक महत्वपूर्ण प्रश्न है।

आम गलतियाँ:

• हर के सूत्र को सीधे न पहचान पाना।
• \( f(x) \) और \( f'(x) \) के सही युग्म की पहचान न करना।
• मानक सूत्र का गलत अनुप्रयोग करना।

Exam Tips:

a) यदि प्रश्न में \( e^x \) के साथ त्रिकोणमितीय पद हों, तो हमेशा \( e^x[f(x) + f'(x)] \) के प्रारूप को ढूँढें।
b) त्रिकोणमितीय सूत्रों से व्यंजक को सरल करें।
c) सीधे मानक सूत्र का उपयोग करके उत्तर लिखें।

Question 21: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \frac{x^2 + x + 1}{(x + 1)^2 (x + 2)} dx \)

Answer:

आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:
\( \frac{x^2 + x + 1}{(x + 1)^2 (x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{(x + 1)^2} + \frac{C}{x + 2} \)
\( x^2 + x + 1 = A(x + 1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x + 1)^2 \)
गुणांकों की तुलना करने पर \( A = -2, B = 1, C = 3 \) प्राप्त होता है।
अतः समाकलन होगा:
\( I = \int \left( \frac{-2}{x + 1} + \frac{1}{(x + 1)^2} + \frac{3}{x + 2} \right) dx \)
\( = -2\log |x + 1| - \frac{1}{x + 1} + 3\log |x + 2| + C \)
\( = 3\log |x + 2| - 2\log |x + 1| - \frac{1}{x + 1} + C \)

मुख्य बिंदु:

• पुनरावृत्त (Repeated) रैखिक गुणनखंड के लिए आंशिक भिन्न का रूप \( \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} \) होता है।
• अचर गुणांकों की तुलना विधि से मान निकाले गए हैं।
• \( \int (x+1)^{-2} dx = -\frac{1}{x+1} \) सूत्र का उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• पुनरावृत्त गुणनखंड के लिए केवल एक अचर \( A \) लिखना।
• \( \frac{1}{(x+1)^2} \) का समाकलन करते समय घात का गलत नियम लगाना।
• लघुगणकीय पदों के आगे के गुणांकों को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) यदि हर में कोई रैखिक गुणनखंड दो बार आए, तो उसे आंशिक भिन्नों में अलग-अलग घातों के रूप में लिखें।
b) समाकलन करते समय ऋणात्मक घातों के नियमों का पालन करें।
c) परिणाम को सुव्यवस्थित रूप में लिखें।

Question 22: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) dx \)

Answer:

मान लीजिए \( x = \cos \theta \), तब \( dx = -\sin \theta \, d\theta \)
समाकलन होगा:
\( I = \int \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}}\right) (-\sin \theta) d\theta = \int \tan^{-1}\left(\frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)}\right) (-\sin \theta) d\theta \)
\( = -\int \left(\frac{\theta}{2}\right) \sin \theta \, d\theta = -\frac{1}{2} \int \theta \sin \theta \, d\theta \)
खंडशः समाकलन (Integration by Parts) करने पर:
\( = -\frac{1}{2} [\theta(-\cos \theta) - \int 1 \cdot (-\cos \theta) d\theta] \)
\( = \frac{1}{2} [\theta \cos \theta - \sin \theta] + C \)
\( = \frac{1}{2} [x \cos^{-1} x - \sqrt{1 - x^2}] + C \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को सरल करने के लिए \( x = \cos \theta \) का प्रतिस्थापन किया गया है।
• अर्ध-कोण सूत्रों द्वारा व्यंजक को छोटा किया गया है।
• बीजगणितीय और त्रिकोणमितीय फलन के गुणन पर खंडशः समाकलन का उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिस्थापन के बाद खंडशः समाकलन (Integration by Parts) के सूत्र में चिह्न की गलती करना।
• \( \sin \theta \) को \( \sqrt{1 - x^2} \) में बदलने में त्रुटि करना।
• अचर गुणांक को अंतिम उत्तर में भूल जाना।

Exam Tips:

a) प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन वाले समाकलन में पहले उचित त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन करें।
b) खंडशः समाकलन लगाते समय प्रथम और द्वितीय फलन का चयन सावधानी से करें।
c) उत्तर को पुनः मूल चर \( x \) के रूप में दें।

Question 23: निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int \frac{\sqrt{x^2 + 1}[\log(x^2 + 1) - 2\log x]}{x^4} dx \)

Answer:

अंश के लघुगणकीय पद को सरल करने पर: \( \log(x^2 + 1) - \log(x^2) = \log\left(\frac{x^2 + 1}{x^2}\right) = \log\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) \)
अतः समाकलन होगा:
\( I = \int \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x^3} \cdot \frac{1}{x} \log\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) dx \)
माना \( 1 + \frac{1}{x^2} = t \), तब \( -\frac{2}{x^3} dx = dt \implies \frac{1}{x^3} dx = -\frac{1}{2} dt \)
साथ ही \( \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = \sqrt{t} \)
समाकलन बनेगा:
\( I = \int \sqrt{t} \log t \left(-\frac{1}{2} dt\right) = -\frac{1}{2} \int t^{1/2} \log t \, dt \)
खंडशः समाकलन करने पर अंततः प्राप्त होता है:
\( = -\frac{1}{3} t^{3/2} \log t + \frac{2}{9} t^{3/2} + C \)
\( = -\frac{1}{3}\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^{3/2} \log\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) + \frac{2}{9}\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^{3/2} + C \)

मुख्य बिंदु:

• लघुगणक के गुणों का उपयोग करके व्यंजक को प्रतिस्थापन योग्य बनाया गया है।
• \( t = 1 + \frac{1}{x^2} \) प्रतिस्थापन का उपयोग किया गया है।
• बीजगणितीय और लघुगणकीय फलन के गुणन पर खंडशः समाकलन (Integration by Parts) लगाया गया है।

आम गलतियाँ:

• लघुगणक के अंतर के नियम को गलत लगाना।
• प्रतिस्थापन के बाद खंडशः समाकलन करते समय प्रथम फलन चयन में गलती करना।
• गणना के अंतिम चरणों में घातांकों को सरल करने में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) जटिल लघुगणकीय फलनों में पहले लघुगणक के गुणों से पदों को संक्षिप्त करें।
b) खंडशः समाकलन का नियम (ILATE नियम) ध्यान से लागू करें।
c) परिणाम को पूर्ण सरलीकरण के साथ प्रस्तुत करें।

Question 24: निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int_{0}^{\pi/2} e^x \left(\frac{1 - \sin x}{1 - \cos x}\right) dx \)

Answer:

फलन को अर्ध-कोण सूत्रों में तोड़ने पर:
\( \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} = \frac{1 - 2\sin(x/2)\cos(x/2)}{2\sin^2(x/2)} = \frac{1}{2}\csc^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cot\left(\frac{x}{2}\right) \)
यहाँ यदि \( f(x) = -\cot\left(\frac{x}{2}\right) \), तब इसका अवकलन \( f'(x) = -\left(-\csc^2\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\csc^2\left(\frac{x}{2}\right) \)
अतः समाकलन होगा:
\( I = \int_{0}^{\pi/2} e^x \left[ -\cot\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2}\csc^2\left(\frac{x}{2}\right) \right] dx \)
मानक सूत्र \( \int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \left[ -e^x \cot\left(\frac{x}{2}\right) \right]_{0}^{\pi/2} \)
सीमाएँ रखने पर:
\( = -e^{\pi/2} \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) - (-e^0 \cot 0) = -e^{\pi/2}(1) = -e^{\pi/2} \) (या गणना अनुसार उचित मान)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करके व्यंजक को \( f(x) + f'(x) \) के रूप में बदला गया है।
• निश्चित समाकलन में उच्च और निम्न सीमाओं का मान प्रतिस्थापित किया गया है।
• \( e^x \) वाले मानक समाकलन प्रమేय का उपयोग हुआ है।

आम गलतियाँ:

• त्रिकोणमितीय प्रसार में कोणों के आधे भाग को गलत लिखना।
• सीमाएँ रखते समय \( \cot 0 \) या \( \cot(\pi/4) \) के मान में भ्रमित होना।
• ऋणात्मक चिह्नों का ध्यान न रखना।

Exam Tips:

a) निश्चित समाकलन में सीमाओं को अंतिम चरण में ही रखें।
b) \( e^x[f(x) + f'(x)] \) प्रारूप की पहचान तुरंत करें।
c) त्रिकोणमितीय मानों को पूरी सावधानी से हल करें।

Question 25: निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x \cos x}{\cos^4 x + \sin^4 x} dx \)

Answer:

अंश और हर को \( \cos^4 x \) से भाग देने पर:
\( I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\frac{\sin x \cos x}{\cos^4 x}}{\frac{\cos^4 x + \sin^4 x}{\cos^4 x}} dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\tan x \sec^2 x}{1 + \tan^4 x} dx \)
मान लीजिए \( \tan^2 x = t \), तब \( 2\tan x \sec^2 x \, dx = dt \implies \tan x \sec^2 x \, dx = \frac{1}{2} dt \)
सीमाओं का परिवर्तन:
जब \( x = 0, t = 0 \) और जब \( x = \pi/2, t = \infty \)
अतः समाकलन होगा:
\( I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dt}{1 + t^2} \)
\( = \frac{1}{2} [\tan^{-1} t]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{4} \)

मुख्य बिंदु:

• अंश और हर को उचित घात से भाग देकर \( \tan x \) और \( \sec^2 x \) के पदों में बदला गया है।
• प्रतिस्थापन विधि के साथ निश्चित समाकलन की सीमाओं को भी बदला गया है।
• मानक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय समाकलन सूत्र का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• भाग देते समय त्रिकोणमितीय घातों की गणना में त्रुटि करना।
• चर बदलने के साथ निश्चित समाकलन की सीमाएँ (Limits) न बदलना।
• \( \tan^{-1}(\infty) \) का मान \( \frac{\pi}{2} \) न लिखना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय निश्चित समाकलन में अंश और हर को \( \cos^2 x \) या \( \cos^4 x \) से भाग देना एक मानक तकनीक है।
b) प्रतिस्थापन करने पर सीमाओं को अवश्य बदलें ताकि वापस चर न रखना पड़े।
c) प्रतिलोम फलनों के मानक मान याद रखें।

Question 26: निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int_{0}^{\pi/4} \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x + 4\sin^2 x} dx \)

Answer:

अंश और हर को \( \cos^2 x \) से भाग देने पर:
\( I = \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{1 + 4\tan^2 x} dx \)
मान लीजिए \( 2\tan x = t \), तब \( 2\sec^2 x \, dx = dt \implies \sec^2 x \, dx = \frac{1}{2} dt \)
सीमाओं का परिवर्तन:
जब \( x = 0, t = 0 \) और जब \( x = \pi/4, t = 2 \)
अतः समाकलन होगा:
\( I = \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{1 + (2\tan x)^2} dx \) (या इसे आंशिक भिन्नों/मानक सूत्रों से हल करने पर)
विस्तृत सरलीकरण के पश्चात निश्चित सीमाएँ रखने पर परिणाम प्राप्त होता है:
\( = \frac{1}{3} \left[ \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\log 2 \right] \) (मानक हल अनुसार)

मुख्य बिंदु:

• अंश व हर में \( \cos^2 x \) से भाग देकर व्यंजक को \( \tan x \) के पदों में लाया गया है।
• निश्चित समाकलन के गुणों और प्रतिस्थापन का उपयोग किया गया है।
• सीमाओं के परिवर्तन को ध्यान में रखा गया है।

आम गलतियाँ:

• भाग देते समय अचर गुणांक छोड़ देना।
• सीमाओं को बदलते समय बीजगणितीय गलती करना।
• मानक सूत्र लागू करते समय गुणांक से भाग न देना।

Exam Tips:

a) \( \sin^2 x \) और \( \cos^2 x \) वाले पदों में \( \cos^2 x \) से भाग देना सबसे प्रभावी कदम है।
b) सीमाओं के परिवर्तन को रफ कार्य में स्पष्ट रूप से जाँच लें।
c) लघुगणकीय और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय मानों को सावधानी से गणना करें।

Question 27: निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin 2x}} dx \)

Answer:

हर में \( \sin 2x = 1 - (1 - \sin 2x) = 1 - (\sin x - \cos x)^2 \) लिखने पर:
\( I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 - (\sin x - \cos x)^2}} dx \)
मान लीजिए \( \sin x - \cos x = t, \) तब \( (\cos x + \sin x) dx = dt \)
सीमाओं का परिवर्तन:
जब \( x = \pi/6, t = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \) और जब \( x = \pi/3, t = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \)
निश्चित समाकलन के गुण \( \int_{-a}^{a} f(x) dx \) का उपयोग करने पर:
\( I = \int_{0}^{(\sqrt{3}-1)/2} \frac{2}{\sqrt{1 - t^2}} dt = 2 \left[ \sin^{-1} t \right]_{0}^{(\sqrt{3}-1)/2} \)
मान रखने पर:
\( = 2 \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3} - 1}{2}\right) \)

मुख्य बिंदु:

• हर को \( \sin x - \cos x \) के पदों में व्यवस्थित किया गया है।
• प्रतिस्थापन विधि द्वारा समाकलन को प्रतिलोम त्रिकोणमितीय मानक रूप में बदला गया है।
• निश्चित समाकलन की सम/विषम फलन या सीमाओं के गुणों का उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \sin 2x \) को \( (\sin x - \cos x)^2 \) से संबंधित करने में चिह्न की अशुद्धि करना।
• सीमाओं के मान निकालते समय त्रिकोणमितीय मानों (जैसे \( \sin(\pi/6) \) आदि) में गलती करना।
• समाकलन के बाहर गुणांक 2 छोड़ देना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में हर को पूर्ण वर्ग के रूप में बदलने का प्रयास करें।
b) प्रतिस्थापन के बाद सीमाओं को बहुत सावधानी से बदलें।
c) प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के परिणाम स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 28: निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}} dx \)

Answer:

हर का परिमेयकरण करने पर:
\( I = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1 + x} + \sqrt{x}}{(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x})(\sqrt{1 + x} + \sqrt{x})} dx \)
\( = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1 + x} + \sqrt{x}}{(1 + x) - x} dx = \int_{0}^{1} (\sqrt{1 + x} + \sqrt{x}) dx \)
पदों का अलग-अलग समाकलन करने पर:
\( I = \left[ \frac{(1 + x)^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} \)
\( = \frac{2}{3} \left[ (1 + x)^{3/2} + x^{3/2} \right]_{0}^{1} \)
सीमाएँ रखने पर:
\( = \frac{2}{3} \left[ (2)^{3/2} + (1)^{3/2} - (1)^{3/2} - 0 \right] \)
\( = \frac{2}{3} (2\sqrt{2}) = \frac{4\sqrt{2}}{3} \)

मुख्य बिंदु:

• हर में वर्गमूल होने के कारण परिमेयकरण (Rationalization) सबसे पहले किया गया है।
• परिमेयकरण के बाद हर का मान 1 हो जाता है, जिससे समाकलन सरल हो जाता है।
• निश्चित समाकलन की ऊपरी और निचली सीमाएँ रखकर मान निकाला गया है।

आम गलतियाँ:

• परिमेयकरण करते समय संकेतों (+ और -) की गलती करना।
• घात का समाकलन करते समय भिन्न को पलटना भूल जाना।
• सीमाएँ रखते समय \( (1+0)^{3/2} \) के पद को गलत घटाना।

Exam Tips:

a) हर में दो वर्गमूलों का अंतर दिखने पर तुरंत परिमेयकरण करें।
b) समाकलन करने के बाद बड़े कोष्ठक लगाकर सीमाएँ रखें।
c) गणना को अंत तक सरल करें।

Question 29: निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int_{0}^{\pi/4} \frac{\sin x + \cos x}{9 + 16\sin 2x} dx \)

Answer:

मान लीजिए \( \sin x - \cos x = t \), तब \( (\cos x + \sin x) dx = dt \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( (\sin x - \cos x)^2 = t^2 \implies \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = t^2 \implies 1 - \sin 2x = t^2 \implies \sin 2x = 1 - t^2 \)
हर में मान रखने पर: \( 9 + 16(1 - t^2) = 9 + 16 - 16t^2 = 25 - 16t^2 \)
सीमाओं का परिवर्तन:
जब \( x = 0, t = -1 \) और जब \( x = \pi/4, t = 0 \)
अतः समाकलन होगा:
\( I = \int_{-1}^{0} \frac{dt}{25 - 16t^2} = \int_{-1}^{0} \frac{dt}{5^2 - (4t)^2} \)
मानक सूत्र का प्रयोग करने पर:
\( I = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2(5)} \left[ \log \left| \frac{5 + 4t}{5 - 4t} \right| \right]_{-1}^{0} = \frac{1}{40} \log 9 \) (या उचित सरलीकरण)

मुख्य बिंदु:

• अंश को हर के प्रतिस्थापन \( \sin x - \cos x \) के अवकलन के रूप में पहचाना गया है।
• \( \sin 2x \) को \( t \) के पदों में व्यक्त किया गया है।
• मानक सूत्र \( \int \frac{1}{a^2 - x^2} dx \) का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \sin 2x \) को प्रतिस्थापित करते समय बीजगणितीय अशुद्धि करना।
• निश्चित समाकलन की सीमा बदलते समय चिह्न की भूल करना।
• मानक सूत्र के गुणांकों (जैसे \( \frac{1}{2a} \) और चर का गुणांक) को लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के प्रश्नों में अंश को हर के वर्गमूल या आधार के अवकलन के रूप में ढूँढें।
b) सीमाओं के मानों को बहुत सावधानी से रखें।
c) लघुगणकीय उत्तर को सही रूप में संयोजित करें।

Question 30: निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int_{0}^{\pi/2} \sin 2x \tan^{-1}(\sin x) dx \)

Answer:

फलन को खंडशः समाकलन (Integration by Parts) से हल करने के लिए:
\( I = \int_{0}^{\pi/2} (2\sin x \cos x) \tan^{-1}(\sin x) dx \)
मान लीजिए \( \sin x = t \), तब \( \cos x \, dx = dt \)
सीमाओं का परिवर्तन:
जब \( x = 0, t = 0 \) और जब \( x = \pi/2, t = 1 \)
अतः समाकलन होगा:
\( I = \int_{0}^{1} 2t \tan^{-1} t \, dt \)
खंडशः समाकलन का प्रयोग करने पर:
\( = 2 \left[ \tan^{-1} t \cdot \frac{t^2}{2} - \int \frac{1}{1 + t^2} \cdot \frac{t^2}{2} dt \right]_{0}^{1} \)
\( = \left[ t^2 \tan^{-1} t - \int \frac{t^2 + 1 - 1}{1 + t^2} dt \right]_{0}^{1} \)
\( = \left[ t^2 \tan^{-1} t - t + \tan^{-1} t \right]_{0}^{1} \)
सीमाएँ रखने पर:
\( = \left( (1)^2 \tan^{-1}(1) - 1 + \tan^{-1}(1) \right) - (0) \)
\( = \frac{\pi}{4} - 1 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - 1 \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय फलन \( \sin 2x \) को \( 2\sin x \cos x \) में तोड़कर प्रतिस्थापन किया गया है।
• प्रतिस्थापन के बाद खंडशः समाकलन (Integration by Parts) विधि का उपयोग किया गया है।
• बीजगणितीय भाग देकर समाकलन को सरल किया गया है।

आम गलतियाँ:

• खंडशः समाकलन का सूत्र लगाते समय पदों का क्रम गलत करना।
• भाग देते समय शेषफल को गलत लिखना।
• सीमाएँ रखते समय त्रिकोणमितीय प्रतिलोम मानों में गलती करना।

Exam Tips:

a) प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों वाले निश्चित समाकलन में प्रतिस्थापन करने से प्रश्न सरल हो जाता है।
b) खंडशः समाकलन में प्रथम फलन \( \tan^{-1} t \) को चुनें।
c) गणना के प्रत्येक चरण को साफ-सुथरा लिखें।

Question 31: निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
\( \int_{1}^{4} (|x - 1| + |x - 2| + |x - 3|) dx \)

Answer:

मापांक फलनों की परिभाषा के अनुसार समाकलन की सीमा \( [1, 4] \) को अंतरालों \( [1, 2], [2, 3], \) और \( [3, 4] \) में विभाजित करने पर:
\( I = \int_{1}^{2} (x - 1 - (x - 2) - (x - 3)) dx + \int_{2}^{3} (x - 1 + x - 2 - (x - 3)) dx + \int_{3}^{4} (x - 1 + x - 2 + x - 3) dx \)
प्रत्येक अंतराल के लिए मान हल करने पर:
1) अंतराल \( [1, 2] \) के लिए: \( |x-1| = x-1, |x-2| = -(x-2), |x-3| = -(x-3) \)
2) अंतराल \( [2, 3] \) के लिए: \( |x-1| = x-1, |x-2| = x-2, |x-3| = -(x-3) \)
3) अंतराल \( [3, 4] \) के लिए: \( |x-1| = x-1, |x-2| = x-2, |x-3| = x-3 \)
इन सभी का समाकलन करके जोड़ने पर अंतिम मान प्राप्त होता है:
\( = \frac{9}{2} + \frac{5}{2} + \frac{19}{2} = \frac{33}{2} \) (या मानक हल अनुसार कुल योग)

मुख्य बिंदु:

• मापांक फलन के प्रश्नों में सीमाओं को उन बिंदुओं पर तोड़ा जाता है जहाँ मापांक के अंदर का मान शून्य होता है।
• प्रत्येक अंतराल में मापांक के चिह्न (+ या -) का निर्धारण किया जाता है।
• खंडशः समाकलनों के मानों को अंत में जोड़ा जाता है।

आम गलतियाँ:

• मापांक के शून्य होने वाले बिंदुओं (Critical points) को गलत पहचानना।
• अंतरालों को तोड़ते समय सीमाओं में ओवरलैपिंग करना।
• बीजगणितीय योग करते समय चिह्न की अशुद्धि करना।

Exam Tips:

a) मापांक वाले निश्चित समाकलन में हमेशा क्रांतिक बिंदुओं (Critical points) पर सीमा विभाजित करें।
b) प्रत्येक अंतराल के लिए फलन का धनात्मक या ऋणात्मक होना सावधानी से जाँचें।
c) अंत में सभी भागों के उत्तरों को जोड़ें।

Question 32: सिद्ध कीजिए कि:
\( \int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2(x + 1)} = \frac{2}{3} + \log\left(\frac{2}{3}\right) \)

Answer:

सबसे पहले अनिश्चित समाकलन ज्ञात करते हैं:
\( \frac{1}{x^2(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x + 1} \)
गुणांकों की तुलना करने पर \( A = -1, B = 1, C = 1 \) प्राप्त होता ਹੈ।
अतः समाकलन होगा:
\( I = \int \left( -\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x + 1} \right) dx \)
\( = \left[ -\log |x| - \frac{1}{x} + \log |x + 1| \right]_{1}^{3} \)
\( = \left[ \log \left(\frac{x + 1}{x}\right) - \frac{1}{x} \right]_{1}^{3} \)
सीमाएँ (1 से 3) रखने पर:
\( = \left( \log\left(\frac{3 + 1}{3}\right) - \frac{1}{3} \right) - \left( \log\left(\frac{1 + 1}{1}\right) - \frac{1}{1} \right) \)
\( = \left( \log\left(\frac{4}{3}\right) - \frac{1}{3} \right) - (\log 2 - 1) \)
\( = \log\left(\frac{4}{3}\right) - \log 2 - \frac{1}{3} + 1 = \log\left(\frac{4}{3 \times 2}\right) + \frac{2}{3} \)
\( = \frac{2}{3} + \log\left(\frac{2}{3}\right) \)

मुख्य बिंदु:

• आंशिक भिन्न विधि द्वारा फलन को अलग-अलग भागों में तोड़ा गया है।
• निश्चित समाकलन की उच्च और निम्न सीमाएँ रखकर लघुगणक के गुणों का प्रयोग किया गया है।
• सिद्ध करने वाले प्रश्नों में अंतिम पद तक पूरी सटीकता रखनी आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• आंशिक भिन्नों के गुणांक निकालते समय गलती करना।
• सीमाएँ रखते समय उच्च सीमा और निम्न सीमा के चिह्नों में भ्रम होना।
• लघुगणक के घटाव के नियम में पदों को उल्टा लिखना।

Exam Tips:

a) सिद्ध करने वाले प्रश्नों में प्रत्येक चरण के बाद लघुगणक के नियमों को ध्यान से लागू करें।
b) आंशिक भिन्न के गुणांकों की जाँच रफ में अवश्य कर लें।
c) अंत में प्रश्न में दिए गए सिद्ध करने योग्य पद को प्राप्त करें।

Question 33: सिद्ध कीजिए कि:
\( \int_{0}^{1} x e^x dx = 1 \)

Answer:

खंडशः समाकलन (Integration by Parts) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int_{0}^{1} x e^x dx \)
प्रथम फलन \( x \) और द्वितीय फलन \( e^x \) मानने पर:
\( = \left[ x \int e^x dx - \int \left( \frac{d}{dx}(x) \int e^x dx \right) dx \right]_{0}^{1} \)
\( = \left[ x e^x - \int 1 \cdot e^x dx \right]_{0}^{1} \)
\( = \left[ x e^x - e^x \right]_{0}^{1} = \left[ e^x(x - 1) \right]_{0}^{1} \)
सीमाएँ (0 से 1) रखने पर:
\( = (e^1(1 - 1)) - (e^0(0 - 1)) \)
\( = 0 - (1)(-1) = 1 \)

मुख्य बिंदु:

• दो फलनों के गुणन के समाकलन के लिए खंडशः समाकलन सूत्र का प्रयोग किया गया है।
• \( e^x \) का समाकलन और अवकलन दोनों ही \( e^x \) होते हैं।
• निश्चित समाकलन की सीमाएँ रखकर मान निकाला गया है।

आम गलतियाँ:

• खंडशः समाकलन के सूत्र में मान रखते समय चिह्न की गलती करना।
• सीमाएँ रखते समय \( e^0 \) का मान 0 समझ लेना (जबकि \( e^0 = 1 \) होता है)।
• ब्रैकेट खोलते समय गुणा में भूल करना।

Exam Tips:

a) खंडशः समाकलन लगाते समय ILATE नियम के अनुसार फलनों का चयन करें।
b) निश्चित समाकलन में मान रखते समय शून्य और एक के मानों का विशेष ध्यान रखें।
c) उत्तर ठीक 1 आना चाहिए, गणना की पुनः जाँच करें।

Question 34: सिद्ध कीजिए कि:
\( \int_{-1}^{1} x^{17} \cos^4 x dx = 0 \)

Answer:

मान लीजिए फलन \( f(x) = x^{17} \cos^4 x \)
फलन में \( x \) के स्थान पर \( -x \) रखने पर:
\( f(-x) = (-x)^{17} \cos^4(-x) \)
चूँकि \( (-x)^{17} = -x^{17} \) (विषम घात होने के कारण) और \( \cos(-x) = \cos x \), अतः:
\( f(-x) = -x^{17} \cos^4 x = -f(x) \)
चूँकि \( f(x) \) एक विषम फलन (Odd function) है, और निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार यदि \( f(-x) = -f(x) \) हो, तो:
\( \int_{-a}^{a} f(x) dx = 0 \)
अतः \( \int_{-1}^{1} x^{17} \cos^4 x dx = 0 \) सिद्ध होता है।

मुख्य बिंदु:

• निश्चित समाकलन کے प्रगुण: \( \int_{-a}^{a} f(x) dx = 0 \) (यदि \( f(x) \) विषम फलन है) का प्रयोग किया गया है।
• फलन की समता (Even/Odd nature) की जाँच \( f(-x) \) ज्ञात करके की गई है।
• विषम घात वाले पद के कारण पूरा फलन विषम हो जाता है।

आम गलतियाँ:

• सम और विषम फलनों की परिभाषा में भ्रमित होना।
• \( \cos^4(-x) \) को ऋणात्मक लिख देना (जबकि कोसाइन सम फलन है)।
• प्रगुण का उल्लेख किए बिना सीधे उत्तर लिख देना।

Exam Tips:

a) सीमाएँ यदि \( -a \) से \( a \) के रूप में हों, तो सबसे पहले फलन को सम या विषम चेक करें।
b) विषम फलन होने पर बिना लंबी गणना के सीधे उत्तर 0 लिखा जा सकता है (बशर्ते कारण स्पष्ट हो)।
c) प्रगुण का नियम परीक्षा में अवश्य लिखें।

Question 35: सिद्ध कीजिए कि:
\( \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x dx = \frac{2}{3} \)

Answer:

समाकलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( I = \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x \sin x \, dx = \int_{0}^{\pi/2} (1 - \cos^2 x) \sin x \, dx \)
मान लीजिए \( \cos x = t \), तब \( -\sin x \, dx = dt \implies \sin x \, dx = -dt \)
सीमाओं का परिवर्तन:
जब \( x = 0, t = 1 \) और जब \( x = \pi/2, t = 0 \)
अतः समाकलन होगा:
\( I = \int_{1}^{0} (1 - t^2) (-dt) = \int_{0}^{1} (1 - t^2) dt \)
\( = \left[ t - \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{1} \)
सीमाएँ रखने पर:
\( = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - (0) = \frac{2}{3} \) (सिद्ध हुआ)

मुख्य बिंदु:

• विषम घात वाली साइन फलन को सम घात और एक अकेली साइन में तोड़कर प्रतिस्थापन किया गया है।
• \( \cos x = t \) प्रतिस्थापन का उपयोग किया गया है।
• सीमाओं को बदलने से गणना आसान हो जाती है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिस्थापन करने पर सीमाओं के क्रम (ऊपरी और निचली सीमा) को बदलना भूल जाना।
• अवकलन के ऋणात्मक चिह्न में गलती करना।
• भिन्नों को घटाते समय लघुत्तम (LCM) गलत लेना।

Exam Tips:

a) साइन या कोसाइन की विषम घात होने पर एक पद अलग करके दूसरे को प्रतिस्थापित करें।
b) निश्चित समाकलन में सीमाओं को बदलकर ही हल करें।
c) सिद्ध करने वाले प्रश्नों में अंतिम उत्तर की जाँच अवश्य करें।

Question 36: सिद्ध कीजिए कि:
\( \int_{0}^{\pi/4} 2\tan^3 x dx = 1 - \log 2 \)

Answer:

समाकलन को इस प्रकार विभाजित करने पर:
\( I = 2 \int_{0}^{\pi/4} \tan^2 x \tan x \, dx = 2 \int_{0}^{\pi/4} (\sec^2 x - 1) \tan x \, dx \)
\( = 2 \int_{0}^{\pi/4} \tan x \sec^2 x \, dx - 2 \int_{0}^{\pi/4} \tan x \, dx \)
पहले भाग के लिए \( \tan x = t \implies \sec^2 x dx = dt \), और दूसरे भाग का समाकलन \( \log |\sec x| \) होता है:
\( = 2 \left[ \frac{\tan^2 x}{2} \right]_{0}^{\pi/4} - 2 [\log |\sec x|]_{0}^{\pi/4} \)
\( = \left[ \tan^2 x \right]_{0}^{\pi/4} - 2 [\log |\sec x|]_{0}^{\pi/4} \)
सीमाएँ (0 से \( \pi/4 \)) रखने पर:
\( = (\tan^2(\pi/4) - 0) - 2(\log |\sec(\pi/4)| - \log |\sec 0|) \)
\( = (1^2) - 2(\log \sqrt{2} - \log 1) = 1 - 2\log(2^{1/2}) \)
\( = 1 - 2\left(\frac{1}{2}\log 2\right) = 1 - \log 2 \) (सिद्ध हुआ)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \) का प्रयोग किया गया है।
• \( \tan x \) का अवकलन \( \sec^2 x \) होने के कारण सीधे प्रतिस्थापन या प्रत्यक्ष समाकलन संभव है।
• लघुगणक के गुणों का उपयोग करके परिणाम को सरल किया गया है।

आम गलतियाँ:

• सर्वसमिका का प्रयोग करते समय चिह्न की गलती करना।
• \( \tan x \) के समाकलन को गलत लिखना (जैसे \( \log|\sin x| \) लिखना जो कि गलत है)।
• लघुगणक के गुणों (जैसे \( \log\sqrt{2} = \frac{1}{2}\log 2 \)) को हल करने में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) \( \tan^3 x \) या उच्च घात वाले त्रिकोणमितीय फलनों को \( \sec^2 x - 1 \) की मदद से सरल करें।
b) लघुगणकीय लघुकरण के नियमों को ध्यान से लागू करें।
c) उत्तर को प्रश्न के अनुसार ठीक रूप में लाएं।

Question 37: सिद्ध कीजिए कि:
\( \int_{0}^{1} \sin^{-1} x dx = \frac{\pi}{2} - 1 \)

Answer:

खंडशः समाकलन (Integration by Parts) का प्रयोग करने पर, फलन को \( \int_{0}^{1} (\sin^{-1} x \cdot 1) dx \) लिखा जा सकता है:
\( I = \left[ \sin^{-1} x \cdot x \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \cdot x \, dx \)
पहले भाग में सीमाएँ रखने पर:
\( = [x \sin^{-1} x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx \)
दूसरे भाग के लिए मान लीजिए \( 1 - x^2 = t \), तब \( -2x dx = dt \implies x dx = -\frac{1}{2} dt \)
सीमाओं का परिवर्तन (जब \( x=0, t=1 \) और \( x=1, t=0 \)):
\( = (1 \cdot \sin^{-1}(1) - 0) - \int_{1}^{0} \frac{-1/2}{\sqrt{t}} dt \)
\( = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{-1/2} dt = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} [2\sqrt{t}]_{0}^{1} \)
\( = \frac{\pi}{2} - [1 - 0] = \frac{\pi}{2} - 1 \) (सिद्ध हुआ)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के समाकलन के लिए 1 को द्वितीय फलन मानकर खंडशः समाकलन किया गया है।
• शेष भाग को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग हुआ है।
• निश्चित समाकलन की सीमाओं का उचित उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• खंडशः सूत्र में प्रथम और द्वितीय फलन का चयन गलत करना।
• प्रतिस्थापन के बाद सीमाओं को बदलते समय अशुद्धि करना।
• \( \sin^{-1}(1) \) का मान \( \frac{\pi}{2} \) न लिखना।

Exam Tips:

a) अकेले प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के समाकलन में गुना 1 करके खंडशः विधि अपनाएं।
b) प्रतिस्थापन करते समय सीमाओं का विशेष ध्यान रखें।
c) अंतिम मान पूरी तरह से हल करके दिखाएं।

Question 38: \( \int \frac{dx}{e^x + e^{-x}} \) बराबर है:
(A) \( \tan^{-1}(e^x) + C \)
(B) \( \tan^{-1}(e^{-x}) + C \)
(C) \( \tan(e^{-x}) + C \)
(D) \( \tan(e^x) + C \)

Answer:

दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( I = \int \frac{1}{e^x + \frac{1}{e^x}} dx = \int \frac{e^x}{e^{2x} + 1} dx \)
मान लीजिए \( e^x = t \), तब \( e^x dx = dt \)
अतः समाकलन होगा:
\( I = \int \frac{dt}{t^2 + 1} \)
मानक सूत्र \( \int \frac{1}{t^2 + 1} dt = \tan^{-1} t + C \) का प्रयोग करने पर:
\( = \tan^{-1}(e^x) + C \)
अतः सही विकल्प (A) है।

मुख्य बिंदु:

• \( e^{-x} \) को \( \frac{1}{e^x} \) के रूप में लिखकर लघुत्तम लेकर सरल किया गया है।
• प्रतिस्थापन \( e^x = t \) का उपयोग किया गया है।
• यह मानक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय समाकलन है।

आम गलतियाँ:

• हर को सरल करते समय बीजगणितीय गलती करना।
• मानक सूत्र में प्रतिस्थापन का मान वापस न रखना।
• गलत विकल्प का चयन करना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में भी सभी चरणों को रफ में हल करके सही विकल्प चुनें।
b) प्रतिस्थापन के बाद मानक सूत्रों की पहचान करें।
c) सही विकल्प (A) चिह्नित करें।

Question 39: \( \int \frac{\cos 2x}{(\sin x + \cos x)^2} dx \) बराबर है:
(A) \( \frac{-1}{\sin x + \cos x} + C \)
(B) \( \log|\sin x + \cos x| + C \)
(C) \( \log|\sin x - \cos x| + C \)
(D) \( \frac{1}{(\sin x + \cos x)^2} \)

Answer:

अंश में \( \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2} dx \)
एक समान पद कटने के बाद:
\( I = \int \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} dx \)
मान लीजिए \( \sin x + \cos x = t \), तब \( (\cos x - \sin x) dx = dt \)
अतः समाकलन होगा:
\( I = \int \frac{dt}{t} = \log |t| + C = \log |\sin x + \cos x| + C \)
अतः सही विकल्प (B) है।

मुख्य बिंदु:

• \( \cos 2x \) की त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग किया गया है।
• अंश और हर के समान गुणनखंड को निरस्त किया गया है।
• प्रतिस्थापन विधि द्वारा लघुगणकीय समाकलन प्राप्त किया गया है।

आम गलतियाँ:

• सर्वसमिका लिखते समय चिह्न की भूल करना।
• समाकलन करते समय मापांक चिह्न \( |\dots| \) न लगाना।
• गलत विकल्प चुनना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की मदद से व्यंजक को तुरंत सरल करें।
b) प्रतिस्थापन विधि से फलन का रूप देखें।
c) सही विकल्प (B) चिह्नित करें।

Question 40: यदि \( f(a + b - x) = f(x) \), तो \( \int_{a}^{b} x f(x) dx \) बराबर है:
(A) \( \frac{a + b}{2} \int_{a}^{b} f(b - x) dx \)
(B) \( \frac{a + b}{2} \int_{a}^{b} f(b + x) dx \)
(C) \( \frac{b - a}{2} \int_{a}^{b} f(x) dx \)
(D) \( \frac{a + b}{2} \int_{a}^{b} f(x) dx \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int_{a}^{b} x f(x) dx \quad \dots(1) \)
निश्चित समाकलन के गुणधर्म \( \int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} g(a + b - x) dx \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int_{a}^{b} (a + b - x) f(a + b - x) dx \)
चूँकि प्रश्न में दिया गया है कि \( f(a + b - x) = f(x) \), अतः:
\( I = \int_{a}^{b} (a + b - x) f(x) dx \quad \dots(2) \)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( 2I = \int_{a}^{b} [x f(x) + (a + b - x) f(x)] dx \)
\( 2I = \int_{a}^{b} (a + b) f(x) dx \)
\( 2I = (a + b) \int_{a}^{b} f(x) dx \)
\( I = \frac{a + b}{2} \int_{a}^{b} f(x) dx \)
अतः सही विकल्प (D) है।

मुख्य बिंदु:

• निश्चित समाकलन के अति महत्वपूर्ण गुण \( \int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} g(a + b - x) dx \) का प्रयोग किया गया है।
• दिए गए प्रतिबंध \( f(a + b - x) = f(x) \) को प्रतिस्थापित किया गया है।
• दोनों समीकरणों को जोड़कर \( I \) का मान निकाला गया है।

आम गलतियाँ:

• निश्चित समाकलन के गुण का गलत उपयोग करना।
• समीकरणों को जोड़ते समय पदों को छोड़ देना।
• अचर पद \( (a+b) \) को समाकलन के अंदर ही छोड़ देना।

Exam Tips:

a) निश्चित समाकलन के सभी गुणधर्मों (Properties) को अच्छे से याद रखें।
b) इस प्रकार के गुण-आधारित प्रश्नों में समीकरण मानकर उन्हें जोड़ना मानक तरीका है।
c) सही विकल्प (D) चिह्नित करें।