NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 07 Integrals (समाकलन) Exercise 7.9 in Hindi

Question 1: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} \, dx \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} \, dx \)
माना \( x^{2} + 1 = t \), तब \( 2x \, dx = dt \) या \( x \, dx = \frac{1}{2} \, dt \)
जब \( x = 0 \) है, तब \( t = 1 \) और जब \( x = 1 \) है, तब \( t = 2 \)
सीमाओं को बदलने पर:
\( I = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{t} \, dt \)
\( I = \frac{1}{2} [\log |t|]_{1}^{2} \)
\( I = \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1) \)
\( I = \frac{1}{2} \log 2 \) (\(\because \log 1 = 0 \))

मुख्य बिंदु:

• प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग करके निश्चित समाकलन हल करना।
• समाकलन करते समय निचلی और ऊपरी सीमाओं को नए चर के अनुसार बदलना।
• लघुगणकीय फलन के प्रगुण का उपयोग करना।

आम गलतियाँ:

• सीमा बदलते समय मानों में गलती करना।
• समाकलन करने के बाद वापस चर x के मान रखना (जबकि सीमा बदल चुकी हो)।

Exam Tips:

a) निश्चित समाकलन में जब प्रतिस्थापन करते हैं, तो सीमाओं को अवश्य बदलें।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से लिखें ताकि गलती की गुنجाइश न रहे।
c) अंतिम उत्तर को लघुगणक के गुणों का उपयोग करके सरल करें।

Question 2: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin \phi} \cos^{5} \phi \, d\phi \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin \phi} \cos^{5} \phi \, d\phi \)
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin \phi} (\cos^{2} \phi)^{2} \cos \phi \, d\phi \)
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin \phi} (1 - \sin^{2} \phi)^{2} \cos \phi \, d\phi \)
माना \( \sin \phi = t \), तब \( \cos \phi \, d\phi = dt \)
जब \( \phi = 0 \), तब \( t = 0 \) और जब \( \phi = \frac{\pi}{2} \), तब \( t = 1 \)
अतः,
\( I = \int_{0}^{1} \sqrt{t} (1 - t^{2})^{2} \, dt \)
\( I = \int_{0}^{1} t^{\frac{1}{2}} (1 - 2t^{2} + t^{4}) \, dt \)
\( I = \int_{0}^{1} (t^{\frac{1}{2}} - 2t^{\frac{5}{2}} + t^{\frac{9}{2}}) \, dt \)
समाकलन करने पर:
\( I = \left[ \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 2 \frac{t^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} + \frac{t^{\frac{11}{2}}}{\frac{11}{2}} \right]_{0}^{1} \)
\( I = \left[ \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{7} t^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{11} t^{\frac{11}{2}} \right]_{0}^{1} \)
सीमाओं के मान रखने पर:
\( I = \frac{2}{3} - \frac{4}{7} + \frac{2}{11} \)
लघुत्तम समापवर्त्य लेकर हल करने पर:
\( I = \frac{154 + 42 - 132}{231} = \frac{64}{231} \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \cos^{2}\phi = 1 - \sin^{2}\phi \) का प्रयोग।
• फलन को बीजीय बहुपदीय रूप में बदलना।
• भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य सावधानी से निकालना।

आम गलतियाँ:

• घातों को जोड़ते समय (जैसे \( \frac{1}{2} + 4 \)) गलती करना।
• समाकलन के गुणांकों को उल्टा लिखने में गलती करना।

Exam Tips:

a) विषम घात वाले त्रिकोणमितीय फलनों को इस प्रकार तोड़ें कि प्रतिस्थापन आसान हो जाए।
b) गणना के चरणों को सावधानी से जांचें।

Question 3: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{0}^{1} \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^{2}} \right) \, dx \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int_{0}^{1} \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^{2}} \right) \, dx \)
माना \( x = \tan \theta \), तब \( dx = \sec^{2} \theta \, d\theta \)
जब \( x = 0 \), तब \( \theta = 0 \) और जब \( x = 1 \), तब \( \theta = \frac{\pi}{4} \)
अतः,
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^{-1} \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^{2} \theta} \right) \sec^{2} \theta \, d\theta \)
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^{-1} (\sin 2\theta) \sec^{2} \theta \, d\theta \)
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2\theta \cdot \sec^{2} \theta \, d\theta \)
खंडशः समाकलन (Integration by Parts) का प्रयोग करने पर:
\( I = 2 \left[ \theta \int \sec^{2} \theta \, d\theta - \int \left( \frac{d}{d\theta}(\theta) \int \sec^{2} \theta \, d\theta \right) d\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \)
\( I = 2 [\theta \tan \theta - \log |\sec \theta|]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \)
मान रखने पर:
\( I = 2 \left[ \frac{\pi}{4} \tan \left(\frac{\pi}{4}\right) - \log \left|\sec \left(\frac{\pi}{4}\right)\right| - (0 - \log |\sec 0|) \right] \)
\( I = 2 \left[ \frac{\pi}{4}(1) - \log(\sqrt{2}) - 0 \right] \)
\( I = \frac{\pi}{2} - 2 \log(\sqrt{2}) = \frac{\pi}{2} - \log 2 \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिस्थापन द्वारा त्रिकोणमितीय सूत्र \( \sin^{-1}\left(\frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}\right) = 2\theta \) का प्रयोग।
• खंडशः समाकलन (Integration by Parts) सूत्र का सही उपयोग।
• लघुगणक के गुणों का उपयोग करके सरलीकरण।

आम गलतियाँ:

• \( \sec(\frac{\pi}{4}) \) के मान में भ्रमित होना।
• खंडशः समाकलन में प्रथम और द्वितीय फलन का चयन गलत करना।

Exam Tips:

a) प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन में पहले उन्हें सरल करने के लिए प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
b) खंडशः समाकलन करते समय ब्रैकेट का ध्यान रखें।

Question 4: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{0}^{2} x \sqrt{x + 2} \, dx \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int_{0}^{2} x \sqrt{x + 2} \, dx \)
माना \( x + 2 = t^{2} \), तब \( dx = 2t \, dt \)
जब \( x = 0 \), तब \( t = \sqrt{2} \) और जब \( x = 2 \), तब \( t = 2 \)
अतः,
\( I = \int_{\sqrt{2}}^{2} (t^{2} - 2) \cdot t \cdot (2t \, dt) \)
\( I = 2 \int_{\sqrt{2}}^{2} (t^{2} - 2)t^{2} \, dt \)
\( I = 2 \int_{\sqrt{2}}^{2} (t^{4} - 2t^{2}) \, dt \)
समाकलन करने पर:
\( I = 2 \left[ \frac{t^{5}}{5} - \frac{2t^{3}}{3} \right]_{\sqrt{2}}^{2} \)
मान रखने पर:
\( I = 2 \left[ \left(\frac{32}{5} - \frac{16}{3}\right) - \left(\frac{4\sqrt{2}}{5} - \frac{4\sqrt{2}}{3}\right) \right] \)
हल करने पर:
\( I = 2 \left[ \frac{96 - 80}{15} - \left(\frac{12\sqrt{2} - 20\sqrt{2}}{15}\right) \right] \)
\( I = 2 \left[ \frac{16 + 8\sqrt{2}}{15} \right] = \frac{16(2 + \sqrt{2})}{15} \) या \( \frac{16\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{15} \)

मुख्य बिंदु:

• वर्गमूल वाले फलनों के लिए \( x+2 = t^2 \) जैसा प्रतिस्थापन करना।
• सीमाओं को नए चर के अनुसार बदलना।
• बहुपदों का समाकलन करना।

आम गलतियाँ:

• सीमा मान रखते समय गणना में गलती करना।
• \( x \) के स्थान पर \( t^2 - 2 \) रखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) रूट के अंदर के पद को एकल चर के बराबर मानने से प्रश्न सरल हो जाता है।
b) लघुत्तम समापवर्त्य लेते समय सावधानी बरतें।

Question 5: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} \, dx \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} \, dx \)
माना \( \cos x = t \), तब \( -\sin x \, dx = dt \) या \( \sin x \, dx = -dt \)
जब \( x = 0 \), तब \( t = 1 \) और जब \( x = \frac{\pi}{2} \), तब \( t = 0 \)
अतः,
\( I = \int_{1}^{0} \frac{-dt}{1 + t^{2}} \)
सीमाओं के गुणों का प्रयोग करने पर (\( \int_{a}^{b} f(x)dx = -\int_{b}^{a} f(x)dx \)):
\( I = \int_{0}^{1} \frac{dt}{1 + t^{2}} \)
मानक समाकलन सूत्र का प्रयोग करने पर:
\( I = [\tan^{-1} t]_{0}^{1} \)
\( I = \tan^{-1} (1) - \tan^{-1} (0) \)
\( I = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4} \)

मुख्य बिंदु:

• \( \cos x = t \) प्रतिस्थापन का उपयोग करना।
• सीमाओं को पलटने पर ऋण चिन्ह का धनात्मक होना।
• मानक समाकलन सूत्र \( \int \frac{1}{1+t^2}dt = \tan^{-1}t \) का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• \( -\sin x \) के ऋण चिन्ह को छोड़ देना।
• सीमाओं को बदलते समय उच्च और निम्न सीमा का क्रम गलत करना।

Exam Tips:

a) प्रतिस्थापन के बाद यदि सीमा नीचे बड़ी और ऊपर छोटी हो जाए, तो माइनस चिन्ह का प्रयोग करके उसे ठीक कर लें।
b) मानक सूत्रों को याद रखें।

Question 6: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{0}^{2} \frac{dx}{x + 4 - x^{2}} \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int_{0}^{2} \frac{dx}{x + 4 - x^{2}} = \int_{0}^{2} \frac{dx}{-\left(x^{2} - x - 4\right)} \)
हर को पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( x^{2} - x - 4 = \left(x^{2} - x + \frac{1}{4}\right) - \frac{1}{4} - 4 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{17}{4} \)
अतः समाकल होगा:
\( I = \int_{0}^{2} \frac{dx}{\frac{17}{4} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2}} = \int_{0}^{2} \frac{dx}{\left(\frac{\sqrt{17}}{2}\right)^{2} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2}} \)
माना \( x - \frac{1}{2} = t \), तब \( dx = dt \)
जब \( x = 0 \), तब \( t = -\frac{1}{2} \) और जब \( x = 2 \), तब \( t = \frac{3}{2} \)
अतः,
\( I = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{dt}{\left(\frac{\sqrt{17}}{2}\right)^{2} - t^{2}} \)
मानक सूत्र \( \int \frac{1}{a^2 - t^2} dt = \frac{1}{2a} \log \left|\frac{a+t}{a-t}\right| \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \frac{1}{2\left(\frac{\sqrt{17}}{2}\right)} \left[ \log \left| \frac{\frac{\sqrt{17}}{2} + t}{\frac{\sqrt{17}}{2} - t} \right| \right]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \)
\( I = \frac{1}{\sqrt{17}} \left[ \log \left| \frac{\sqrt{17} + 2t}{\sqrt{17} - 2t} \right| \right]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \)
मान रखने पर:
\( I = \frac{1}{\sqrt{17}} \left[ \log \left| \frac{\sqrt{17} + 3}{\sqrt{17} - 3} \right| - \log \left| \frac{\sqrt{17} - 1}{\sqrt{17} + 1} \right| \right] \)
लघुगणक के नियम से सरल करने पर:
\( I = \frac{1}{\sqrt{17}} \log \left| \frac{(\sqrt{17} + 3)(\sqrt{17} + 1)}{(\sqrt{17} - 3)(\sqrt{17} - 1)} \right| = \frac{1}{\sqrt{17}} \log \left| \frac{20 + 4\sqrt{17}}{20 - 4\sqrt{17}} \right| = \frac{1}{\sqrt{17}} \log \left( \frac{5 + \sqrt{17}}{5 - \sqrt{17}} \right) \)

मुख्य बिंदु:

• द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि (Completing the square)।
• मानक समाकलन सूत्र का सही चयन।
• लघुगणક के गुणों का प्रयोग करके उत्तर को सरल करना।

आम गलतियाँ:

• पूर्ण वर्ग बनाते समय चिह्न की गलती करना।
• मानक सूत्र में \( \frac{1}{2a} \) लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) द्विघात व्यंजक वाले प्रश्नों में हर को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि का अभ्यास करें।
b) लघुगणक के घटाव नियम (\( \log a - \log b = \log \frac{a}{b} \)) का ध्यान रखें।

Question 7: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^{2} + 2x + 5} \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^{2} + 2x + 5} \)
हर को पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( x^{2} + 2x + 5 = (x^{2} + 2x + 1) + 4 = (x + 1)^{2} + 2^{2} \)
अतः,
\( I = \int_{-1}^{1} \frac{dx}{(x + 1)^{2} + 2^{2}} \)
माना \( x + 1 = t \), तब \( dx = dt \)
जब \( x = -1 \), तब \( t = 0 \) और जब \( x = 1 \), तब \( t = 2 \)
अतः,
\( I = \int_{0}^{2} \frac{dt}{t^{2} + 2^{2}} \)
मानक सूत्र \( \int \frac{1}{t^2 + a^2} dt = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{t}{a}\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \left[ \frac{1}{2} \tan^{-1} \left(\frac{t}{2}\right) \right]_{0}^{2} \)
सीमाओं के मान रखने पर:
\( I = \frac{1}{2} \left[ \tan^{-1}\left(\frac{2}{2}\right) - \tan^{-1}(0) \right] \)
\( I = \frac{1}{2} [\tan^{-1}(1) - 0] \)
\( I = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{8} \)

मुख्य बिंदु:

• हर को \( (x+a)^2 + b^2 \) के रूप में बदलना।
• निश्चित समाकलन में सीमाओं को बदलना।
• \( \tan^{-1} \) के मानक सूत्रों का उपयोग करना।

आम गलतियाँ:

• सूत्र में \( \frac{1}{a} \) का गुणा करना भूल जाना।
• \( \tan^{-1}(1) \) का मान गलत लिखना।

Exam Tips:

a) द्विघात हर वाले समाकलन में पहले पूर्ण वर्ग विधि का प्रयोग करना सबसे आसान तरीका है।
b) मान रखते समय त्रिकोणमितीय सारणी के मानों का ध्यान रखें।

Question 8: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^{2}} \right) e^{2x} \, dx \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^{2}} \right) e^{2x} \, dx \)
माना \( 2x = t \), तब \( 2 \, dx = dt \) या \( dx = \frac{1}{2} dt \)
जब \( x = 1 \), तब \( t = 2 \) और जब \( x = 2 \), तब \( t = 4 \)
चूंकि \( x = \frac{t}{2} \), अतः व्यंजक होगा:
\( I = \int_{2}^{4} \left( \frac{2}{t} - \frac{1}{2\left(\frac{t}{2}\right)^{2}} \right) e^{t} \left(\frac{1}{2} dt\right) \)
\( I = \int_{2}^{4} \left( \frac{2}{t} - \frac{2}{t^{2}} \right) e^{t} \left(\frac{1}{2} dt\right) = \int_{2}^{4} \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t^{2}} \right) e^{t} \, dt \)
हम जानते हैं कि \( \int e^{t} [f(t) + f'(t)] dt = e^{t} f(t) \), जहाँ \( f(t) = \frac{1}{t} \) और \( f'(t) = -\frac{1}{t^{2}} \)
अतः समाकलन करने पर:
\( I = \left[ e^{t} \cdot \frac{1}{t} \right]_{2}^{4} = \left[ \frac{e^{t}}{t} \right]_{2}^{4} \)
सीमाओं के मान रखने पर:
\( I = \frac{e^{4}}{4} - \frac{e^{2}}{2} = \frac{e^{4} - 2e^{2}}{4} \) या \( \frac{e^{2}(e^{2} - 2)}{4} \)

मुख्य बिंदु:

• मानक रूप \( \int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) \) का उपयोग करना।
• प्रतिस्थापन विधि से \( 2x = t \) मानकर फलन को सरल बनाना।
• निश्चित समाकलन में सीमाओं को सही ढंग से लागू करना।

आम गलतियाँ:

• \( 2x \) के प्रतिस्थापन में \( dx \) के गुणांक को छोड़ देना।
• \( f(t) \) और \( f'(t) \) की पहचान करने में गलती करना।

Exam Tips:

a) यदि प्रश्न में \( e^x \) के साथ बीजगणितीय या भिन्नात्मक पद हों, तो \( e^x[f(x) + f'(x)] \) वाले गुण की जांच अवश्य करें।
b) गणना को अंत में लघुत्तम लेकर संक्षिप्त करें।

Question 9: समाकलन \( \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{(x - x^{3})^{\frac{1}{3}}}{x^{4}} \, dx \) का मान है:
(A) 6
(B) 0
(C) 3
(D) 4

Answer:

मान लीजिए \( I = \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{(x - x^{3})^{\frac{1}{3}}}{x^{4}} \, dx \)
अंश से \( x^3 \) कॉमन लेने पर:
\( I = \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{\left(x^{3}\left(\frac{1}{x^{2}} - 1\right)\right)^{\frac{1}{3}}}{x^{4}} \, dx = \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{x \left(\frac{1}{x^{2}} - 1\right)^{\frac{1}{3}}}{x^{4}} \, dx \)
\( I = \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{\left(\frac{1}{x^{2}} - 1\right)^{\frac{1}{3}}}{x^{3}} \, dx \)
माना \( \frac{1}{x^{2}} - 1 = t \), तब \( -\frac{2}{x^{3}} \, dx = dt \) या \( \frac{1}{x^{3}} \, dx = -\frac{1}{2} dt \)
जब \( x = \frac{1}{3} \), तब \( t = \left(\frac{1}{1/3}\right)^{2} - 1 = 3^{2} - 1 = 9 - 1 = 8 \)
जब \( x = 1 \), तब \( t = \left(\frac{1}{1}\right)^{2} - 1 = 1 - 1 = 0 \)
अतः,
\( I = \int_{8}^{0} t^{\frac{1}{3}} \left(-\frac{1}{2} dt\right) = -\frac{1}{2} \int_{8}^{0} t^{\frac{1}{3}} \, dt \)
सीमाओं के गुण का प्रयोग करने पर:
\( I = \frac{1}{2} \int_{0}^{8} t^{\frac{1}{3}} \, dt \)
समाकलन करने पर:
\( I = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} \right]_{0}^{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} [t^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8} \)
\( I = \frac{3}{8} [8^{\frac{4}{3}} - 0] = \frac{3}{8} \cdot (2^{3})^{\frac{4}{3}} = \frac{3}{8} \cdot 2^{4} = \frac{3}{8} \cdot 16 = 3 \times 2 = 6 \)
अतः, विकल्प (A) सही है।

मुख्य बिंदु:

• अंश से उपयुक्त पद उभयनिष्ठ लेना।
• प्रतिस्थापन विधि से जटिल व्यंजक को सरल करना।
• निश्चित समाकलन की सीमाओं को ध्यानपूर्वक बदलना।

आम गलतियाँ:

• सीमा बदलते समय मानों की गणना में त्रुटि करना।
• \( 8^{\frac{4}{3}} \) को हल करते समय घातों के नियम गलत लगाना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में भी सभी चरणों को रफ कार्य में हल करके ही सही विकल्प चुनें।
b) \( (2^3)^{4/3} = 2^4 = 16 \) जैसी घातांकीय गणनाओं का अभ्यास करें।

Question 10: यदि \( f(x) = \int_{0}^{x} t \sin t \, dt \), तब \( f'(x) \) है:
(A) \( \cos x + x \sin x \)
(B) \( x \sin x \)
(C) \( x \cos x \)
(D) \( \sin x + x \cos x \)

Answer:

दिया गया है: \( f(x) = \int_{0}^{x} t \sin t \, dt \)
खंडशः समाकलन (Integration by Parts) का उपयोग करके समाकलन करने पर:
\( f(x) = t \int \sin t \, dt - \int \left( \frac{d}{dt}(t) \int \sin t \, dt \right) dt \)
\( f(x) = [t(-\cos t) - \int 1 \cdot (-\cos t) \, dt]_{0}^{x} \)
\( f(x) = [-t \cos t + \sin t]_{0}^{x} \)
सीमाओं के मान रखने पर:
\( f(x) = (-x \cos x + \sin x) - (0 + \sin 0) \)
\( f(x) = \sin x - x \cos x \)
अब, \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर (\( f'(x) \)):
\( f'(x) = \frac{d}{dx} (\sin x - x \cos x) \)
\( f'(x) = \cos x - \left[ x(-\sin x) + \cos x \cdot 1 \right] \)
\( f'(x) = \cos x + x \sin x - \cos x \)
\( f'(x) = x \sin x \)
अतः, विकल्प (B) सही है।

मुख्य बिंदु:

• निश्चित समाकलन के रूप में परिभाषित फलन का समाकलन करना।
• खंडशः समाकलन नियम का प्रयोग करना।
• गुणन नियम (Product Rule) का उपयोग करके अवकलन ज्ञात करना।

आम गलतियाँ:

• समाकलन के बाद सीमाएं रखते समय \( \sin 0 \) को छोड़ देना या गलत मान रखना।
• अवकलन करते समय गुणन नियम में चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में न्यूटन-लेबनिज़ प्रमेय (Leibniz Integral Rule) का भी प्रत्यक्ष रूप से उपयोग किया जा सकता है।
b) समाकलन और अवकलन के चरणों को साफ-सुथरा लिखें।