NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 07 Integrals (समाकलन) Exercise 7.8 in Hindi

Question 1: \( \int_{-1}^{1} (x + 1) \, dx \)

Answer:

दिए गए निश्चित समाकलन को हल करने के लिए सबसे पहले फलन का समाकलन ज्ञात करते हैं:
\( I = \int_{-1}^{1} (x + 1) \, dx \)
\( = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{1} \)
अब ऊपरी और निचली सीमाओं के मान प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \left( \frac{1^2}{2} + 1 \right) - \left( \frac{(-1)^2}{2} + (-1) \right) \)
\( = \left( \frac{1}{2} + 1 \right) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) \)
\( = \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} + 1 \)
\( = 2 \)

मुख्य बिंदु:

• निश्चित समाकलन में सबसे पहले अनिश्चित समाकलन ज्ञात किया जाता है।
• सीमा के मान रखते समय उच्च सीमा (Upper Limit) में से निम्न सीमा (Lower Limit) घटाई जाती है।
• बीजगणितीय फलनों का समाकलन सीधे घातांक नियम से होता है।

आम गलतियाँ:

• सीमा के मान रखते समय चिह्न की गलती करना।
• नकारात्मक संख्याओं के वर्ग में चिह्न की भूल करना।
• समाकलन करने के बाद स्थिरांक 'C' का निश्चित समाकलन में प्रयोग करना।

Exam Tips:

a) गणना को सरल बनाने के लिए कोष्ठकों का सही प्रयोग करें।
b) प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से लिखें ताकि अंक न कटें।
c) अंत में उत्तर की दोबारा जाँच अवश्य करें।

Question 2: \( \int_{2}^{3} \frac{1}{x} \, dx \)

Answer:

दिए गए समाकलन को हल करने के लिए:
\( I = \int_{2}^{3} \frac{1}{x} \, dx \)
हम जानते हैं कि \( \int \frac{1}{x} \, dx = \log |x| \) होता है:
\( = [\log |x|]_{2}^{3} \)
सीमाओं के मान रखने पर:
\( = \log |3| - \log |2| \)
लघुगणक के गुण \( \log a - \log b = \log \left(\frac{a}{b}\right) \) का उपयोग करने पर:
\( = \log \left(\frac{3}{2}\right) \)

मुख्य बिंदु:

• \( \frac{1}{x} \) का समाकलन \( \log |x| \) होता है।
• लघुगणक के गुणों का उपयोग करके उत्तर को सरल रूप में लिखा जा सकता है।
• मापांक चिह्न यह सुनिश्चित करता है कि लघुगणक के अंदर की संख्या धनात्मक रहे।

आम गलतियाँ:

• लघुगणक का आधार या मापांक चिह्न न लगाना।
• लघुगणक के भाग के नियम को गलत तरीके से लागू करना।
• सीमाओं को उल्टा रखना।

Exam Tips:

a) \( \log |x| \) लिखते समय मापांक चिह्न का विशेष ध्यान रखें।
b) लघुगणक के नियमों का सही संदर्भ दें।
c) अंतिम उत्तर को संक्षिप्त रूप में छोड़ें।

Question 3: \( \int_{1}^{2} (4x^3 - 5x^2 + 6x + 9) \, dx \)

Answer:

दिए गए बहुपद का समाकलन ज्ञात करते हैं:
\( I = \int_{1}^{2} (4x^3 - 5x^2 + 6x + 9) \, dx \)
प्रत्येक पद का अलग-अलग समाकलन करने पर:
\( = \left[ 4 \left(\frac{x^4}{4}\right) - 5 \left(\frac{x^3}{3}\right) + 6 \left(\frac{x^2}{2}\right) + 9x \right]_{1}^{2} \)
\( = [x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 3x^2 + 9x]_{1}^{2} \)
अब सीमा \( x = 2 \) और \( x = 1 \) रखने पर:
\( = \left\{ (2)^4 - \frac{5(2)^3}{3} + 3(2)^2 + 9(2) \right\} - \left\{ (1)^4 - \frac{5(1)^3}{3} + 3(1)^2 + 9(1) \right\} \)
\( = \left\{ 16 - \frac{40}{3} + 12 + 18 \right\} - \left\{ 1 - \frac{5}{3} + 3 + 9 \right\} \)
\( = \left( 46 - \frac{40}{3} \right) - \left( 13 - \frac{5}{3} \right) \)
\( = 46 - \frac{40}{3} - 13 + \frac{5}{3} \)
\( = 33 - \frac{35}{3} \)
\( = \frac{99 - 35}{3} = \frac{64}{3} \)

मुख्य बिंदु:

• बहुपद के प्रत्येक पद का समाकलन घात नियम से किया जाता है।
• उच्च सीमा और निम्न सीमा के मानों को बड़े कोष्ठक में रखकर घटाया जाता है।
• भिन्न संख्याओं का जोड़-घटाव सावधानी से करना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• गुणांकों और घातों को सरल करते समय गलती करना।
• लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालते समय त्रुटि होना।
• दोनों सीमाओं के बीच के ऋण चिह्न को भूल जाना।

Exam Tips:

a) बहुपद के प्रत्येक पद को पहले ही सरल कर लें।
b) ब्रैकेट खोलते समय अंदर के सभी पदों के चिह्न बदलें।
c) गणना के चरणों को साफ़-सुथरा लिखें।

Question 4: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin 2x \, dx \)

Answer:

त्रिकोणमितीय फलन का समाकलन करते हैं:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin 2x \, dx \)
हम जानते हैं कि \( \int \sin ax \, dx = -\frac{\cos ax}{a} \) होता है:
\( = \left[ -\frac{\cos 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \)
अचर पद को बाहर निकालकर सीमाएँ रखने पर:
\( = -\frac{1}{2} \left[ \cos 2\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos 2(0) \right] \)
\( = -\frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \cos(0) \right] \)
चूँकि \( \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \) और \( \cos(0) = 1 \):
\( = -\frac{1}{2} [0 - 1] \)
\( = -\frac{1}{2} (-1) = \frac{1}{2} \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन में कोण के गुणांक से भाग देना आवश्यक है।
• मानक कोणों पर त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान याद होने चाहिए।
• निश्चित समाकलन में अचर गुणांक को पूरे ब्रैकेट के बाहर रखा जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• कोण के गुणांक '2' से भाग देना भूल जाना।
• \( \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \) और \( \cos(0) \) के मान उल्टे रख देना।
• ऋण चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय सूत्रों को साइड में अवश्य लिखें।
b) मान रखते समय ब्रैकेट का सही उपयोग करें।
c) अंतिम चरणों में चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।

Question 5: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx \)

Answer:

दिए गए समाकलन को हल करते हैं:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx \)
\( \cos 2x \) का समाकलन करने पर:
\( = \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \)
सीमाएँ प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \frac{1}{2} \left[ \sin 2\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin 2(0) \right] \)
\( = \frac{1}{2} [\sin(\pi) - \sin(0)] \)
चूँकि \( \sin(\pi) = 0 \) और \( \sin(0) = 0 \):
\( = \frac{1}{2} [0 - 0] = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• \( \cos ax \) का समाकलन \( \frac{\sin ax}{a} \) होता है।
• \( \sin(\pi) \) और \( \sin(0) \) दोनों का मान शून्य होता है।
• निश्चित समाकलन का उत्तर शून्य भी आ सकता है।

आम गलतियाँ:

• \( \sin(\pi) \) का मान 1 समझ लेना (जो कि गलत है, इसका मान 0 होता है)।
• समाकलन करते समय ऋण चिह्न या धनात्मक चिह्न की भ्रम की स्थिति।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों के मानों की सारणी का अभ्यास करें।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।
c) उत्तर शून्य आने पर घबराएँ नहीं, अपनी गणना की जाँच करें।

Question 6: \( \int_{4}^{5} e^x \, dx \)

Answer:

घातीय फलन का समाकलन करते हैं:
\( I = \int_{4}^{5} e^x \, dx \)
हम जानते हैं कि \( \int e^x \, dx = e^x \) होता है:
\( = [e^x]_{4}^{5} \)
ऊपरी और निचली सीमाएँ रखने पर:
\( = e^5 - e^4 \)
सर्वસममिका या उभयनिष्ठ लेने पर:
\( = e^4(e - 1) \)

मुख्य बिंदु:

• चरघातांकी फलन \( e^x \) का समाकलन अपरिवर्तित रहता है।
• घातांक के नियमों का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया जा सकता है।
• \( e^5 - e^4 \) में से \( e^4 \) उभयनिष्ठ निकाला जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• \( e^x \) का समाकलन बदलते समय गलती करना।
• उभयनिष्ठ लेते समय घातों की गणना में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) घातांकी फलनों के समाकलन बहुत सरल होते हैं, अतः इनमें पूरे अंक प्राप्त करें।
b) यदि संभव हो तो व्यंजक को संक्षिप्त रूप में लिखें।
c) सीमा के मान सीधे चर की जगह रखें।

Question 7: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx \)

Answer:

स्पर्शज्या (Tangent) फलन का समाकलन करते हैं:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx \)
हम जानते हैं कि \( \int \tan x \, dx = -\log |\cos x| \) या \( \log |\sec x| \) होता है:
\( = [-\log |\cos x|]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \)
सीमाओं के मान प्रतिस्थापित करने पर:
\( = -\log \left|\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right| - (-\log |\cos(0)|) \)
\( = -\log \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \log(1) \)
चूँकि \( \log(1) = 0 \) और \( \log\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\log(\sqrt{2}) \):
\( = -(-\log(\sqrt{2})) = \log(\sqrt{2}) = \log(2^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}\log(2) \)

मुख्य बिंदु:

• \( \tan x \) का समाकलन \( -\log |\cos x| \) या \( \log |\sec x| \) होता है।
• \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \) होता है।
• लघुगणक के गुणों का उपयोग करके उत्तर को विभिन्न रूपों में लिखा जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• ऋण चिह्न लगाना भूल जाना।
• \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \) के मान में वर्गमूल का ध्यान न रखना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन सूत्र कंठस्थ रखें।
b) लघुगणक के गुणों का सही प्रयोग करें।
c) चरणों को क्रमबद्ध तरीके से हल करें।

Question 8: \( \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \csc x \, dx \)

Answer:

कौसेक (Cosecant) फलन का समाकलन करते हैं:
\( I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \csc x \, dx \)
हम जानते हैं कि \( \int \csc x \, dx = \log |\csc x - \cot x| \) होता है:
\( = [\log |\csc x - \cot x|]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \)
सीमाएँ रखने पर:
\( = \log \left|\csc\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cot\left(\frac{\pi}{4}\right)\right| - \log \left|\csc\left(\frac{\pi}{6}\right) - \cot\left(\frac{\pi}{6}\right)\right| \)
मान रखने पर (\( \csc\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}, \cot\frac{\pi}{4} = 1, \csc\frac{\pi}{6} = 2, \cot\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \)):
\( = \log |\sqrt{2} - 1| - \log |2 - \sqrt{3}| \)
लघुगणक के नियम से:
\( = \log \left( \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - \sqrt{3}} \right) \)

मुख्य बिंदु:

• \( \csc x \) का समाकलन सूत्र \( \log |\csc x - \cot x| \) है।
• विभिन्न कोणों पर cosec और cot के मानों का सही ज्ञान होना आवश्यक है।
• लघुगणक के घटाव के नियम का प्रयोग करना।

आम गलतियाँ:

• सूत्र में प्लस या माइनस चिह्न की गलती करना।
• मान रखते समय त्रिकोणमितीय अनुपातों को आपस में मिला देना।

Exam Tips:

a) मानक कोणों के त्रिकोणमितीय मानों की सूची याद रखें।
b) लघुगणक के गुण का उपयोग करके उत्तर को सरल करें।
c) गणना में सावधानी बरतें।

Question 9: \( \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} \)

Answer:

दिए गए समाकलन को हल करते हैं:
\( I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} \)
हम जानते हैं कि \( \int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \sin^{-1} x \) होता है:
\( = [\sin^{-1} x]_{0}^{1} \)
सीमाएँ प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) \)
चूँकि \( \sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} \) और \( \sin^{-1}(0) = 0 \):
\( = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} \)

मुख्य बिंदु:

• यह प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मानक समाकलन है।
• \( \sin^{-1}(1) \) का मुख्य मान \( \frac{\pi}{2} \) होता है।
• \( \sin^{-1}(0) \) का मान 0 होता है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिलोम फलनों के मानों में डिग्री और रेडियन की confusión होना।
• मानक सूत्र याद न होना।

Exam Tips:

a) प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन सूत्रों को अच्छी तरह याद कर लें।
b) मान सीधे और स्पष्ट रूप से लिखें।
c) यह एक अति महत्वपूर्ण और सरल प्रश्न है, इसमें पूरे अंक प्राप्त करें।

Question 10: \( \int_{0}^{1} \frac{dx}{1 + x^2} \)

Answer:

दिए गए समाकलन को हल करते हैं:
\( I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1 + x^2} \)
हम जानते हैं कि \( \int \frac{dx}{1 + x^2} = \tan^{-1} x \) होता है:
\( = [\tan^{-1} x]_{0}^{1} \)
सीमाएँ रखने पर:
\( = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) \)
चूँकि \( \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \) और \( \tan^{-1}(0) = 0 \):
\( = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4} \)

मुख्य बिंदु:

• \( \frac{1}{1+x^2} \) का समाकलन \( \tan^{-1} x \) होता है।
• \( \tan^{-1}(1) \) का मान \( \frac{\pi}{4} \) होता है।
• यह मानक सूत्रों पर आधारित सीधा प्रश्न है।

आम गलतियाँ:

• \( \tan^{-1}(1) \) को \( \frac{\pi}{2} \) लिख देना।
• सीमाएँ उल्टी रख देना।

Exam Tips:

a) मानक सूत्रों को बिना किसी त्रुटि के याद रखें।
b) परीक्षा में इस प्रकार के प्रश्नों को तेजी से और सही हल करें।
c) चरणों को साफ-सुथरा लिखें।

Question 11: \( \int_{2}^{3} \frac{dx}{x^2 - 1} \)

Answer:

दिए गए समाकलन को हल करने के लिए आंशिक भिन्न या मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:
\( I = \int_{2}^{3} \frac{dx}{x^2 - 1} \)
हम जानते हैं कि \( \int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x - a}{x + a} \right| \) होता है:
\( = \left[ \frac{1}{2(1)} \log \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| \right]_{2}^{3} \)
\( = \frac{1}{2} \left[ \log \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| \right]_{2}^{3} \)
सीमाएँ प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \frac{1}{2} \left[ \log \left( \frac{3 - 1}{3 + 1} \right) - \log \left( \frac{2 - 1}{2 + 1} \right) \right] \)
\( = \frac{1}{2} \left[ \log \left( \frac{2}{4} \right) - \log \left( \frac{1}{3} \right) \right] \)
\( = \frac{1}{2} \left[ \log \left( \frac{1}{2} \right) - \log \left( \frac{1}{3} \right) \right] \)
लघुगणक के नियम से:
\( = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1/2}{1/3} \right) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{3}{2} \right) \)

मुख्य बिंदु:

• \( \frac{1}{x^2 - a^2} \) के समाकलन का मानक सूत्र प्रयोग किया जाता है।
• लघुगणक के घटाव के नियम \( \log a - \log b = \log\left(\frac{a}{b}\right) \) का उपयोग होता है।
• भिन्नों को सरल करना आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• सूत्र में \( \frac{1}{2a} \) लिखना भूल जाना।
• लघुगणक के अंदर भिन्नों को पलटते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) बीजगणितीय समाकलन सूत्रों को ध्यान से याद रखें।
b) लघुगणक के गुणों का सही उपयोग करके उत्तर को संक्षिप्त करें।
c) हर चरण को सावधानी से हल करें।

Question 12: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx \)

Answer:

समाकलन को हल करने के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx \)
चूँकि \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \) होता है:
\( = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx \)
\( = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2x) \, dx \)
अब समाकलन करने पर:
\( = \frac{1}{2} \left[ x + \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \)
सीमाएँ रखने पर:
\( = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\sin(\pi)}{2} \right) - \left( 0 + \frac{\sin(0)}{2} \right) \right] \)
चूँकि \( \sin(\pi) = 0 \) और \( \sin(0) = 0 \):
\( = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) - (0 + 0) \right] \)
\( = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{4} \)

मुख्य बिंदु:

• \( \cos^2 x \) का सीधा समाकलन नहीं होता, इसे त्रिकोणमितीय सूत्र से बदला जाता है।
• \( \cos 2x \) के सूत्र का प्रयोग करके घात को हटाया जाता है।
• \( \sin(\pi) = 0 \) का मान उपयोग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( \cos^2 x \) का सीधा समाकलन \( \frac{\cos^3 x}{3} \) लिख देना (जो कि गलत है)।
• सूत्र में कोण 2x का गुणांक भूल जाना।

Exam Tips:

a) \( \sin^2 x \) और \( \cos^2 x \) वाले समाकलनों में हमेशा अर्ध-कोण (half-angle) सूत्रों का प्रयोग करें।
b) समाकलन के बाद सीमाएँ सावधानी से रखें।
c) यह बोर्ड परीक्षा का एक बहुत ही महत्वपूर्ण प्रश्न है।

Question 13: \( \int_{2}^{3} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx \)

Answer:

दिए गए समाकलन को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधि या अंश-हर समायोजन का उपयोग करते हैं:
\( I = \int_{2}^{3} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx \)
अंश में हर का अवकलज बनाने के लिए 2 से गुणा और भाग करते हैं:
\( = \frac{1}{2} \int_{2}^{3} \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx \)
चूँकि हर \( x^2 + 1 \) का अवकलज \( 2x \) है, इसलिए:
\( = \frac{1}{2} [\log |x^2 + 1|]_{2}^{3} \)
सीमाएँ प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \frac{1}{2} [\log(3^2 + 1) - \log(2^2 + 1)] \)
\( = \frac{1}{2} [\log(9 + 1) - \log(4 + 1)] \)
\( = \frac{1}{2} [\log(10) - \log(5)] \)
लघुगणक के नियम से:
\( = \frac{1}{2} \log \left(\frac{10}{5}\right) = \frac{1}{2} \log(2) \)

मुख्य बिंदु:

• यदि अंश में हर का अवकलज मौजूद हो, तो समाकलन \( \log |\text{हर}| \) होता है।
• स्थिर संख्या से गुणा और भाग करके व्यंजक को मानक रूप में बदला जा सकता है।
• लघुगणक के भाग के नियम का प्रयोग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• 2 से गुणा और भाग करना भूल जाना।
• \( x^2 + 1 \) हमेशा धनात्मक होता है इसलिए मापांक की आवश्यकता नहीं होती, फिर भी सामान्य रूप से ध्यान रखें।

Exam Tips:

a) हमेशा जाँच करें कि क्या अंश हर का अवकलज है।
b) लघुगणक के गुणों का उपयोग करके उत्तर को संक्षिप्त करें।
c) गणना के चरणों को स्पष्ट रखें।

Question 14: \( \int_{0}^{1} \frac{2x + 3}{5x^2 + 1} \, dx \)

Answer:

दिए गए समाकलन को दो अलग-अलग भागों में विभाजित करते हैं:
\( I = \int_{0}^{1} \frac{2x + 3}{5x^2 + 1} \, dx \)
इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( = \int_{0}^{1} \frac{2x}{5x^2 + 1} \, dx + \int_{0}^{1} \frac{3}{5x^2 + 1} \, dx \)
पहले भाग के लिए, \( 5x^2 + 1 = t \) मानने पर \( 10x \, dx = dt \) या \( 2x \, dx = \frac{dt}{5} \):
\( = \frac{1}{5} \int \frac{dt}{t} + 3 \int \frac{dx}{5(x^2 + \frac{1}{5})} \)
\( = \frac{1}{5} \log|5x^2 + 1| + \frac{3}{5} \int \frac{dx}{x^2 + (\frac{1}{\sqrt{5}})^2} \)
\( = \left[ \frac{1}{5} \log(5x^2 + 1) + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}}} \tan^{-1}\left(\frac{x}{\frac{1}{\sqrt{5}}}\right) \right]_{0}^{1} \)
सीमाएँ रखने पर:
\( = \left( \frac{1}{5}\log(6) + \frac{3}{\sqrt{5}}\tan^{-1}(\sqrt{5}) \right) - \left( \frac{1}{5}\log(1) + \frac{3}{\sqrt{5}}\tan^{-1}(0) \right) \)
चूँकि \( \log(1) = 0 \) और \( \tan^{-1}(0) = 0 \):
\( = \frac{1}{5}\log(6) + \frac{3}{\sqrt{5}}\tan^{-1}(\sqrt{5}) \)

मुख्य बिंदु:

• अंश में रैखिक फलन और हर में द्विघात फलन होने पर समाकलन को दो भागों में तोड़ा जाता है।
• पहले भाग में प्रतिस्थापन विधि और दूसरे भाग में मानक प्रतिलोम सूत्र \( \tan^{-1} x \) का प्रयोग होता है।
• सीमाएँ पूरे व्यंजक पर एक साथ लगाई जाती हैं।

आम गलतियाँ:

• अचर पदों और गुणांकों को व्यवस्थित करने में गलती करना।
• \( \tan^{-1} \) के सूत्र में गुणांकों का सही मान न रखना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों को हल करते समय समाकलन को अलग-अलग भागों में बाँट लें।
b) हर चरण में गणना की सावधानीपूर्वक जाँच करें।
c) अंतिम उत्तर को सुव्यवस्थित रूप में लिखें।

Question 15: \( \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx \)

Answer:

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हुए:
माना \( x^2 = t \)
दोनों पक्षों का अवकलज लेने पर:
\( 2x \, dx = dt \implies x \, dx = \frac{dt}{2} \)
सीमाओं को बदलने पर:
जब \( x = 0 \) है, तब \( t = 0^2 = 0 \)
जब \( x = 1 \) है, तब \( t = 1^2 = 1 \)
अब समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int_{0}^{1} e^t \cdot \frac{dt}{2} \)
\( = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^t \, dt \)
\( = \frac{1}{2} [e^t]_{0}^{1} \)
सीमाएँ रखने पर:
\( = \frac{1}{2} (e^1 - e^0) \)
चूँकि \( e^0 = 1 \):
\( = \frac{1}{2} (e - 1) \)

मुख्य बिंदु:

• निश्चित समाकलन में प्रतिस्थापन करने पर सीमाओं (Limits) को भी नए चर के अनुसार बदलना चाहिए।
• \( x^2 = t \) मानने पर \( x \, dx \) का पद आसानी से समायोजित हो जाता है।
• \( e^0 = 1 \) का मान याद रखें।

आम गलतियाँ:

• प्रतिस्थापन करने के बाद सीमाओं को न बदलना (जो अनिश्चित समाकलन में किया जाता है)।
• \( 2 \) से भाग देना भूल जाना।

Exam Tips:

a) सीमा बदलने की विधि का अभ्यास करें ताकि गलती न हो।
b) चरघातांकी फलनों के समाकलन बहुत स्कोरिंग होते हैं।
c) चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।

Question 16: \( \int_{1}^{2} \frac{5x^2}{x^2 + 4x + 3} \, dx \)

Answer:

यहाँ अंश की घात हर की घात के बराबर है, इसलिए अंश को हर से भाग देने पर:
\( \frac{5x^2}{x^2 + 4x + 3} = 5 - \frac{20x + 15}{x^2 + 4x + 3} \)
अतः समाकलन होगा:
\( I = \int_{1}^{2} \left( 5 - \frac{20x + 15}{x^2 + 4x + 3} \right) dx \)
\( = \int_{1}^{2} 5 \, dx - \int_{1}^{2} \frac{20x + 15}{x^2 + 4x + 3} \, dx \)
पहले भाग का समाकलन: \( [5x]_{1}^{2} = 5(2) - 5(1) = 5 \)
दूसरे भाग \( I_1 = \int_{1}^{2} \frac{20x + 15}{x^2 + 4x + 3} \, dx \) के लिए अंश को हर के अवकलज के रूप में लिखते हैं:
माना \( 20x + 15 = A\frac{d}{dx}(x^2 + 4x + 3) + B = A(2x + 4) + B \)
गुणांकों की तुलना करने पर \( 2A = 20 \implies A = 10 \) और \( 4A + B = 15 \implies 40 + B = 15 \implies B = -25 \)
अतः \( I_1 = 10 \int \frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 3} \, dx - 25 \int \frac{dx}{(x+2)^2 - 1^2} \)
हल करने पर:
\( I_1 = 10[\log|x^2 + 4x + 3|] - 25 \left[ \frac{1}{2} \log\left|\frac{x+2-1}{x+2+1}\right| \right] \)
सीमाएँ 1 से 2 रखने पर और मान हल करने पर अंत में प्राप्त होता है:
\( I = 5 - \left[ 10 \log\left(\frac{15}{8}\right) - \frac{25}{2}\log\left(\frac{3}{5}\right) \right] \)

मुख्य बिंदु:

• यदि अंश की घात हर की घात के बराबर या अधिक हो, तो पहले भाग (Long Division) किया जाता है।
• आंशिक भिन्नों या अंश-हर समायोजन का उपयोग करके जटिल समाकलन हल किए जाते हैं।
• प्रत्येक भाग को अलग-अलग हल करना आसान रहता है।

आम गलतियाँ:

• भाग देने में बीजगणितीय त्रुटि करना।
• तुलना करते समय अचर पदों की गणना में गलती होना।

Exam Tips:

a) दीर्घ विभाजन विधि को सावधानी से करें।
b) समाकलन के प्रत्येक भाग का नामकरण (जैसे \( I_1 \)) करके हल करें।
c) गणना लंबी होने पर शांत रहकर चरणबद्ध तरीके से हल करें।

Question 17: \( \int_{0}^{\pi} (2\sec^2 x + x^3 + 2) \, dx \)

Answer:

दिए गए फलन का समाकलन करते हैं:
\( I = \int_{0}^{\pi} (2\sec^2 x + x^3 + 2) \, dx \)
प्रत्येक पद का अलग-अलग समाकलन करने पर:
\( = \left[ 2\tan x + \frac{x^4}{4} + 2x \right]_{0}^{\pi} \)
सीमाएँ \( x = \pi \) और \( x = 0 \) प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \left( 2\tan(\pi) + \frac{\pi^4}{4} + 2(\pi) \right) - \left( 2\tan(0) + \frac{0^4}{4} + 2(0) \right) \)
चूँकि \( \tan(\pi) = 0 \) और \( \tan(0) = 0 \):
\( = \left( 0 + \frac{\pi^4}{4} + 2\pi \right) - (0 + 0 + 0) \)
\( = \frac{\pi^4}{4} + 2\pi \)

मुख्य बिंदु:

• \( \sec^2 x \) का समाकलन \( \tan x \) होता है।
• बहुपद पदों का समाकलन घात नियम से किया जाता है।
• \( \tan(\pi) = 0 \) और \( \tan(0) = 0 \) का मान रखा जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( \sec^2 x \) का समाकलन गलत लिख देना।
• \( \tan(\pi) \) का मान अपरिभाषित या गलत समझ लेना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय और बीजगणितीय पदों का मिश्रण होने पर सभी का अलग-अलग समाकलन करें।
b) मान रखते समय शून्य वाले पदों को सावधानी से हटाएं।
c) उत्तर को सरल रूप में छोड़ें।

Question 18: \( \int_{0}^{\pi} (\sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2}) \, dx \)

Answer:

हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका होती है:
\( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos 2\theta \)
यहाँ \( \theta = \frac{x}{2} \) है, इसलिए:
\( \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = \cos x \)
अतः दिए गए समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( I = \int_{0}^{\pi} -(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}) \, dx \)
\( = \int_{0}^{\pi} -\cos x \, dx \)
अब समाकलन करने पर:
\( = [-\sin x]_{0}^{\pi} \)
सीमाएँ रखने पर:
\( = -(\sin(\pi) - \sin(0)) \)
चूँकि \( \sin(\pi) = 0 \) और \( \sin(0) = 0 \):
\( = -(0 - 0) = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया जाता है।
• \( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos 2\theta \) का सीधा प्रयोग होता है।
• \( \sin(\pi) \) और \( \sin(0) \) दोनों का मान शून्य होता है।

आम गलतियाँ:

• सर्वसमिका में चिह्न की गलती करना।
• समाकलन करते समय ऋण चिह्न का ध्यान न रखना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय सूत्रों को पहचानकर समाकलन को आसान बनाया जा सकता है।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।
c) उत्तर शून्य आने पर भी विधि सही होनी चाहिए।

Question 19: \( \int_{0}^{2} \frac{6x + 3}{x^2 + 4} \, dx \)

Answer:

दिए गए समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
\( I = \int_{0}^{2} \frac{6x + 3}{x^2 + 4} \, dx \)
\( = \int_{0}^{2} \frac{6x}{x^2 + 4} \, dx + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^2 + 4} \, dx \)
पहले भाग में, यदि \( x^2 + 4 = t \), तो \( 2x \, dx = dt \):
\( = 3 \int \frac{2x}{x^2 + 4} \, dx + 3 \int \frac{dx}{x^2 + 2^2} \)
समाकलन करने पर:
\( = 3[\log|x^2 + 4|]_{0}^{2} + 3 \left[ \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) \right]_{0}^{2} \)
सीमाएँ प्रतिस्थापित करने पर:
\( = 3(\log(2^2 + 4) - \log(0 + 4)) + \frac{3}{2} \left( \tan^{-1}\left(\frac{2}{2}\right) - \tan^{-1}(0) \right) \)
\( = 3(\log(8) - \log(4)) + \frac{3}{2} (\tan^{-1}(1) - 0) \)
चूँकि \( \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \) और \( \log(8) - \log(4) = \log(2) \):
\( = 3\log(2) + \frac{3}{2} \left(\frac{\pi}{4}\right) \)
\( = 3\log(2) + \frac{3\pi}{8} \)

मुख्य बिंदु:

• अंश में रैखिक पद होने पर उसे लघुगणकीय और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय पदों में तोड़ा जाता है।
• \( \int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \) सूत्र का प्रयोग होता है।
• लघुगणक के गुणों का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• अचर गुणांकों (जैसे 3 और 6) को बाहर लेने में गलती करना।
• \( \tan^{-1} \) के सूत्र में \( \frac{1}{a} \) लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में अंश को दो अलग समाकलनों में बाँटना सबसे आसान तरीका है।
b) मानक सूत्रों को सही रूप में लागू करें।
c) गणना को अंत तक सावधानी से हल करें।

Question 20: \( \int_{0}^{1} \left( x e^x + \sin \frac{\pi x}{4} \right) dx \)

Answer:

दिए गए समाकलन को दो भागों में बाँटते हैं:
\( I = \int_{0}^{1} x e^x \, dx + \int_{0}^{1} \sin \left(\frac{\pi x}{4}\right) dx \)
पहले भाग के लिए खंडशः समाकलन (Integration by Parts) का प्रयोग करते हैं:
\( \int x e^x \, dx = x \int e^x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(x) \int e^x \, dx \right) dx \)
\( = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x = (x - 1)e^x \)
दूसरे भाग का समाकलन:
\( \int \sin \left(\frac{\pi x}{4}\right) dx = -\frac{\cos\left(\frac{\pi x}{4}\right)}{\frac{\pi}{4}} = -\frac{4}{\pi} \cos\left(\frac{\pi x}{4}\right) \)
अब दोनों भागों को मिलाकर संपूर्ण समाकलन प्राप्त करते हैं:
\( I = \left[ (x - 1)e^x - \frac{4}{\pi} \cos\left(\frac{\pi x}{4}\right) \right]_{0}^{1} \)
सीमाएँ \( x = 1 \) और \( x = 0 \) रखने पर:
\( = \left( (1 - 1)e^1 - \frac{4}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) - \left( (0 - 1)e^0 - \frac{4}{\pi} \cos(0) \right) \)
\( = \left( 0 - \frac{4}{\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - \left( -1 - \frac{4}{\pi} \cdot 1 \right) \)
\( = -\frac{4}{\pi\sqrt{2}} + 1 + \frac{4}{\pi} \)
\( = 1 + \frac{4}{\pi} - \frac{2\sqrt{2}}{\pi} \)

मुख्य बिंदु:

• दो फलनों के गुणनफल के समाकलन के लिए खंडशः समाकलन (ILATE नियम) का प्रयोग किया जाता है।
• त्रिकोणमितीय फलन के कोण के गुणांक से भाग दिया जाता है।
• \( e^0 = 1 \) और \( \cos(0) = 1 \) का मान रखा जाता है।

आम गलतियाँ:

• खंडशः समाकलन का सूत्र गलत लगाना।
• त्रिकोणमितीय भाग में \( \frac{\pi}{4} \) से भाग देना भूल जाना।

Exam Tips:

a) खंडशः समाकलन करते समय प्रथम और द्वितीय फलन का चयन सही (ILATE के अनुसार) करें।
b) सीमाएँ रखते समय ब्रैकेट का उचित ध्यान रखें।
c) उत्तर को सरलतम रूप में लिखें।

Question 21: \( \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1 + x^2} \) बराबर है:
(A) \( \frac{\pi}{3} \)
(B) \( \frac{2\pi}{3} \)
(C) \( \frac{\pi}{6} \)
(D) \( \frac{\pi}{12} \)

Answer:

दिए गए बहुविकल्पीय प्रश्न को हल करते हैं:
\( I = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1 + x^2} \)
हम जानते हैं कि \( \int \frac{dx}{1 + x^2} = \tan^{-1} x \) होता है:
\( = [\tan^{-1} x]_{1}^{\sqrt{3}} \)
सीमाएँ प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \tan^{-1}(\sqrt{3}) - \tan^{-1}(1) \)
चूँकि \( \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \) और \( \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \):
\( = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \)
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेकर हल करने पर:
\( = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{\pi}{12} \)
अतः विकल्प (D) सही है।

मुख्य बिंदु:

• मानक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय समाकलन का प्रयोग किया जाता है।
• \( \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \) और \( \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \) मान होते हैं।
• भिन्नों को घटाने के लिए LCM का प्रयोग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• मानों को उल्टा रख देना (जैसे \( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} \))।
• लघुत्तम निकालते समय गणना की गलती करना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में भी रफ कार्य पूरी सावधानी से करें।
b) प्रतिलोम त्रिकोणमितीय मानों को पक्का याद रखें।
c) सही विकल्प (D) को चिह्नित करें।

Question 22: \( \int_{0}^{\frac{2}{3}} \frac{dx}{4 + 9x^2} \) बराबर है:
(A) \( \frac{\pi}{6} \)
(B) \( \frac{\pi}{12} \)
(C) \( \frac{\pi}{24} \)
(D) \( \frac{\pi}{4} \)

Answer:

दिए गए समाकलन को हल करते हैं:
\( I = \int_{0}^{\frac{2}{3}} \frac{dx}{4 + 9x^2} \)
इसे मानक रूप \( \int \frac{dx}{a^2 + x^2} \) में बदलते हैं:
\( = \int_{0}^{\frac{2}{3}} \frac{dx}{2^2 + (3x)^2} \)
माना \( 3x = t \), तो \( 3 \, dx = dt \implies dx = \frac{dt}{3} \)
सीमाओं को बदलने पर:
जब \( x = 0 \), तब \( t = 0 \)
जब \( x = \frac{2}{3} \), तब \( t = 3\left(\frac{2}{3}\right) = 2 \)
अतः समाकलन होगा:
\( I = \int_{0}^{2} \frac{dt/3}{2^2 + t^2} = \frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{dt}{2^2 + t^2} \)
हम जानते हैं कि \( \int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \) होता है:
\( = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{t}{2}\right) \right]_{0}^{2} \)
\( = \frac{1}{6} \left[ \tan^{-1}\left(\frac{2}{2}\right) - \tan^{-1}(0) \right] \)
\( = \frac{1}{6} [\tan^{-1}(1) - 0] \)
चूँकि \( \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \):
\( = \frac{1}{6} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{24} \)
अतः विकल्प (C) सही है।

मुख्य बिंदु:

• इस प्रकार के प्रश्नों में \( x \) के गुणांक को प्रतिस्थापित करना महत्वपूर्ण है।
• सूत्र \( \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{t}{a}\right) \) का सही प्रयोग करें।
• निश्चित समाकलन में सीमा बदलना सबसे सुरक्षित तरीका है।

आम गलतियाँ:

• \( x \) के गुणांक 3 से भाग देना भूल जाना।
• सीमाओं को न बदलना।

Exam Tips:

a) प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग करते समय नई सीमाएँ अवश्य निकालें।
b) सूत्र में \( \frac{1}{a} \) का ध्यान रखें।
c) सही विकल्प (C) का चयन करें।