Solutions for Class 12 Mathematics: Chapter 07 समाकलन
Review structured textbook solutions for Class 12 Mathematics Chapter 07 समाकलन. Built according to NCERT guidelines for the 2026-27 academic year, these downloadable answers support daily revision and problem-solving accuracy.
Practice Class 12 Mathematics Solutions: Chapter 07 समाकलन
Navigate directly to the solved Mathematics textbook exercises using the digital viewer below. Each solution includes detailed step-by-step explanations, allowing students to instantly cross-check their work and identify areas requiring further revision.
Question 1: \( \sqrt{4 - x^2} \)
Answer:
मान लीजिए \( I = \int \sqrt{4 - x^2} \, dx \)
इसे लिखा जा सकता है:
\( I = \int \sqrt{(2)^2 - x^2} \, dx \)
मानक सूत्र \( \int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + \frac{2^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \)
\( I = \frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + 2\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \)
मुख्य बिंदु:
• फलन को मानक रूप \( \sqrt{a^2 - x^2} \) में बदलना।
• उचित समाकलन सूत्र का सीधे अनुप्रयोग करना।
• समाकलन अचर \( C \) को जोड़ना अनिवार्य है।
आम गलतियाँ:
• सूत्र में \( a^2/2 \) की जगह केवल \( a \) लिख देना।
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के अंदर कोण में \( x/a \) लिखना भूल जाना।
• अचर पद \( C \) छोड़ देना।
Exam Tips:
a) हमेशा प्रश्न की शुरुआत में समाकलन को \( I \) मानकर हल करें।
b) प्रयुक्त सूत्र को हल के बीच में स्पष्ट रूप से लिखें।
c) अंतिम उत्तर में अचर \( C \) लिखना न भूलें।
Question 2: \( \sqrt{1 - 4x^2} \)
Answer:
मान लीजिए \( I = \int \sqrt{1 - 4x^2} \, dx \)
इसे लिखा जा सकता है:
\( I = \int \sqrt{(1)^2 - (2x)^2} \, dx \)
मान लीजिए \( 2x = t \), तब \( 2 \, dx = dt \implies dx = \frac{1}{2} \, dt \)
\( I = \frac{1}{2}\int \sqrt{(1)^2 - t^2} \, dt \)
मानक सूत्र का प्रयोग करने पर:
\( I = \frac{1}{2} \left[ \frac{t}{2}\sqrt{1 - t^2} + \frac{1^2}{2}\sin^{-1}(t) \right] + C \)
\( I = \frac{t}{4}\sqrt{1 - t^2} + \frac{1}{4}\sin^{-1}(t) + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{2x}{4}\sqrt{1 - (2x)^2} + \frac{1}{4}\sin^{-1}(2x) + C \)
\( I = \frac{x}{2}\sqrt{1 - 4x^2} + \frac{1}{4}\sin^{-1}(2x) + C \)
मुख्य बिंदु:
• रैखिक फलन के गुणांक से भाग देना (यहाँ \( 2x \) के लिए \( 1/2 \))।
• प्रतिस्थापन विधि का सही उपयोग।
• अंत में चर \( x \) के पदों में उत्तर वापस लाना।
आम गलतियाँ:
• \( x \) के गुणांक \( 2 \) से भाग देना भूल जाना।
• प्रतिस्थापन के बाद पुनः चर बदलना भूल जाना।
Exam Tips:
a) यदि \( x \) का कोई गुणांक हो, तो प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करना सबसे सुरक्षित है।
b) प्रतिस्थापन के बाद सभी चरों को नए चर में बदलना सुनिश्चित करें।
c) अंतिम चरण में मूल चर \( x \) को प्रतिस्थापित करना न भूलें।
Question 3: \( \sqrt{x^2 + 4x + 6} \)
Answer:
मान लीजिए \( I = \int \sqrt{x^2 + 4x + 6} \, dx \)
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( x^2 + 4x + 6 = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 6 = (x + 2)^2 + 2 = (x + 2)^2 + (\sqrt{2})^2 \)
अतः,
\( I = \int \sqrt{(x + 2)^2 + (\sqrt{2})^2} \, dx \)
मानक सूत्र \( \int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2}\log\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \frac{(x + 2)}{2}\sqrt{(x + 2)^2 + 2} + \frac{2}{2}\log\left|(x + 2) + \sqrt{(x + 2)^2 + 2}\right| + C \)
\( I = \frac{(x + 2)}{2}\sqrt{x^2 + 4x + 6} + \log\left|(x + 2) + \sqrt{x^2 + 4x + 6}\right| + C \)
मुख्य बिंदु:
• द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग विधि से सरल करना।
• \( \sqrt{x^2 + a^2} \) के समाकलन सूत्र का प्रयोग करना।
• लघुगणकीय पद के अंदर मापांक \( |\dots| \) का प्रयोग करना।
आम गलतियाँ:
• पूर्ण वर्ग बनाते समय चिह्न की गलती करना।
• लॉग के अंदर मापांक चिह्न न लगाना।
Exam Tips:
a) द्विघात व्यंजक वाले प्रश्नों में सबसे पहले पूर्ण वर्ग विधि (Completing the square) का अभ्यास करें।
b) सूत्र में \( x \) के स्थान पर \( (x + 2) \) का सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापन करें।
c) अंत में व्यंजक को उसके मूल रूप में वापस ले आएं।
Question 4: \( \sqrt{x^2 + 4x + 1} \)
Answer:
मान लीजिए \( I = \int \sqrt{x^2 + 4x + 1} \, dx \)
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( x^2 + 4x + 1 = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 1 = (x + 2)^2 - 3 = (x + 2)^2 - (\sqrt{3})^2 \)
अतः,
\( I = \int \sqrt{(x + 2)^2 - (\sqrt{3})^2} \, dx \)
मानक सूत्र \( \int \sqrt{x^2 - a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\log\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \frac{(x + 2)}{2}\sqrt{(x + 2)^2 - 3} - \frac{3}{2}\log\left|(x + 2) + \sqrt{(x + 2)^2 - 3}\right| + C \)
\( I = \frac{(x + 2)}{2}\sqrt{x^2 + 4x + 1} - \frac{3}{2}\log\left|(x + 2) + \sqrt{x^2 + 4x + 1}\right| + C \)
मुख्य बिंदु:
• पूर्ण वर्ग विधि द्वारा \( x^2 - a^2 \) का रूप प्राप्त करना।
• \( \sqrt{x^2 - a^2} \) के सूत्र में बीच में ऋणात्मक चिह्न का ध्यान रखना।
• लघुगणकीय पद का सही विस्तार।
आम गलतियाँ:
• \( \sqrt{x^2 - a^2} \) के सूत्र में प्लस और माइनस की गड़बड़ी करना।
• अचर पद का वर्गमूल लेते समय \( \sqrt{3} \) की जगह केवल \( 3 \) लिख देना।
Exam Tips:
a) सूत्र याद रखते समय \( x^2 + a^2 \) और \( x^2 - a^2 \) के अंतर को समझें।
b) प्रत्येक चरण में कोष्ठकों का सही उपयोग करें।
c) गणना की शुद्धता की जाँच अंत में अवकलन करके भी कर सकते हैं।
Question 5: \( \sqrt{1 - 4x - x^2} \)
Answer:
मान लीजिए \( I = \int \sqrt{1 - 4x - x^2} \, dx \)
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( 1 - 4x - x^2 = 1 - (x^2 + 4x) = 1 - (x^2 + 4x + 4 - 4) = 1 - [(x + 2)^2 - 4] = 1 - (x + 2)^2 + 4 = 5 - (x + 2)^2 \)
अतः इसे लिखा जा सकता है:
\( I = \int \sqrt{(\sqrt{5})^2 - (x + 2)^2} \, dx \)
मानक सूत्र \( \int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \frac{(x + 2)}{2}\sqrt{5 - (x + 2)^2} + \frac{5}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x + 2}{\sqrt{5}}\right) + C \)
\( I = \frac{(x + 2)}{2}\sqrt{1 - 4x - x^2} + \frac{5}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x + 2}{\sqrt{5}}\right) + C \)
मुख्य बिंदु:
• ऋणात्मक चिह्न कॉमन लेकर पूर्ण वर्ग विधि लागू करना।
• ब्रैकेट खोलते समय चिह्नों का विशेष ध्यान रखना।
• \( \sqrt{a^2 - x^2} \) का मानक सूत्र लागू करना।
आम गलतियाँ:
• माइनस चिह्न कॉमन लेते समय अंदर के पदों के चिह्न न बदलना।
• \( a^2 \) के स्थान पर गलत मान रख देना।
Exam Tips:
a) जब \( x^2 \) का गुणांकऋणात्मक हो, तो पहले माइनस चिह्न बाहर निकालें।
b) ब्रैकेट के भीतर की गणना बहुत सावधानी से करें।
c) त्रिकोणमितीय प्रतिलोम वाले उत्तरों में हर का मान सही लिखें।
Question 6: \( \sqrt{x^2 + 4x - 5} \)
Answer:
मान लीजिए \( I = \int \sqrt{x^2 + 4x - 5} \, dx \)
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( x^2 + 4x - 5 = (x^2 + 4x + 4) - 4 - 5 = (x + 2)^2 - 9 = (x + 2)^2 - (3)^2 \)
अतः,
\( I = \int \sqrt{(x + 2)^2 - 3^2} \, dx \)
मानक सूत्र \( \int \sqrt{x^2 - a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\log\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \frac{(x + 2)}{2}\sqrt{(x + 2)^2 - 9} - \frac{9}{2}\log\left|(x + 2) + \sqrt{(x + 2)^2 - 9}\right| + C \)
\( I = \frac{(x + 2)}{2}\sqrt{x^2 + 4x - 5} - \frac{9}{2}\log\left|(x + 2) + \sqrt{x^2 + 4x - 5}\right| + C \)
मुख्य बिंदु:
• अचर पदों को जोड़कर पूर्ण वर्ग बनाना।
• \( \sqrt{x^2 - a^2} \) रूप का उपयोग करना।
• लघुगणकीय फलन में मापांक का प्रयोग।
आम गलतियाँ:
• \( -4 - 5 \) को जोड़ते समय चिह्न की गलती करना।
• \( a^2/2 \) में \( 9/2 \) की जगह गलत मान रखना।
Exam Tips:
a) अचर पदों की जोड़-घटाव करते समय सतर्क रहें।
b) सूत्र लिखते समय प्रत्येक पद को सही स्थान पर रखें।
c) अंत में व्यंजक को उसके सरल रूप में व्यक्त करें।
Question 7: \( \sqrt{1 + 3x - x^2} \)
Answer:
मान लीजिए \( I = \int \sqrt{1 + 3x - x^2} \, dx \)
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( 1 + 3x - x^2 = 1 - (x^2 - 3x) = 1 - \left(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}\right) = 1 - \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} = \frac{13}{4} - \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 \)
अतः,
\( I = \int \sqrt{\left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2 - \left(x - \frac{3}{2}\right)^2} \, dx \)
मानक सूत्र \( \int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \frac{\left(x - \frac{3}{2}\right)}{2}\sqrt{\frac{13}{4} - \left(x - \frac{3}{2}\right)^2} + \frac{\left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x - \frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{13}}{2}}\right) + C \)
\( I = \frac{2x - 3}{4}\sqrt{1 + 3x - x^2} + \frac{13}{8}\sin^{-1}\left(\frac{2x - 3}{\sqrt{13}}\right) + C \)
मुख्य बिंदु:
• \( x \) के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ना और घटाना (\( 9/4 \))।
• भिन्न रूप में पूर्ण वर्ग बनाना।
• \( \sqrt{a^2 - x^2} \) सूत्र का अनुप्रयोग।
आम गलतियाँ:
• अंश और हर को सरल करते समय भिन्न की जोड़ में गलती करना।
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के अंदर लघुतम (LCM) सही से न लेना।
Exam Tips:
a) भिन्नों वाले पूर्ण वर्ग प्रश्नों में रफ कार्य का उपयोग करें।
b) हर में आने वाले पदों को सावधानीपूर्वक सरल करें।
c) अंतिम उत्तर को सरलतम भिन्न रूप में लिखें।
Question 8: \( \sqrt{x^2 + 3x} \)
Answer:
मान लीजिए \( I = \int \sqrt{x^2 + 3x} \, dx \)
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( x^2 + 3x = x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} = \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 \)
अतः,
\( I = \int \sqrt{\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2} \, dx \)
मानक सूत्र \( \int \sqrt{x^2 - a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\log\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \frac{\left(x + \frac{3}{2}\right)}{2}\sqrt{\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}} - \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{2}\log\left|\left(x + \frac{3}{2}\right) + \sqrt{\left(x + 3\right)^2 - \frac{9}{4}}\right| + C \)
\( I = \frac{2x + 3}{4}\sqrt{x^2 + 3x} - \frac{9}{8}\log\left|\left(x + \frac{3}{2}\right) + \sqrt{x^2 + 3x}\right| + C \)
मुख्य बिंदु:
• द्विघात पद में अचर पद न होने पर भी पूर्ण वर्ग विधि लगाना।
• \( 3/2 \) का वर्ग \( 9/4 \) जोड़ना और घटाना।
• \( \sqrt{x^2 - a^2} \) सूत्र का उचित प्रतिस्थापन।
आम गलतियाँ:
• \( a^2/2 \) की गणना करते समय \( (9/4)/2 = 9/8 \) को गलत लिखना।
• लघुगणक के अंदर के पदों को सही से न रखना।
Exam Tips:
a) बिना अचर पद वाले द्विघात व्यंजकों में भी पूर्ण वर्ग विधि समान रूप से उपयोगी है।
b) भिन्नों के गुणा और भाग में सावधानी बरतें।
c) प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
Question 9: \( \sqrt{1 + \frac{x^2}{9}} \)
Answer:
मान लीजिए \( I = \int \sqrt{1 + \frac{x^2}{9}} \, dx \)
इसे लिखा जा सकता है:
\( I = \int \sqrt{1 + \frac{x^2}{3^2}} \, dx = \int \sqrt{\frac{9 + x^2}{9}} \, dx = \frac{1}{3}\int \sqrt{3^2 + x^2} \, dx \)
मानक सूत्र \( \int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2}\log\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \frac{1}{3} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + 9} + \frac{9}{2}\log\left|x + \sqrt{x^2 + 9}\right| \right] + C \)
\( I = \frac{x}{6}\sqrt{x^2 + 9} + \frac{9}{6}\log\left|x + \sqrt{x^2 + 9}\right| + C \)
\( I = \frac{x}{6}\sqrt{x^2 + 9} + \frac{3}{2}\log\left|x + \sqrt{x^2 + 9}\right| + C \)
मुख्य बिंदु:
• हर से \( 9 \) का वर्गमूल बाहर \( 1/3 \) के रूप में निकालना।
• \( \sqrt{x^2 + a^2} \) के मानक सूत्र का अनुप्रयोग।
• गुणांकों को अंदर गुणा करके सरल करना।
आम गलतियाँ:
• \( 1/3 \) से ब्रैकेट के अंदर के दोनों पदों को गुणा करना भूल जाना।
• \( 9/6 \) को सरल करके \( 3/2 \) न लिखना।
Exam Tips:
a) वर्गमूल के अंदर यदि भिन्न हो, तो हर को बाहर निकालकर प्रश्न को सरल करें।
b) बाहर वाले गुणांक का ब्रैकेट के प्रत्येक पद में गुणा करें।
c) भिन्नों को न्यूनतम रूप में बदलें।
Question 10: \( \int \sqrt{1 + x^2} \, dx \) बराबर है:
(A) \( \frac{x}{2}\sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2}\log\left|x + \sqrt{1 + x^2}\right| + C \)
(B) \( \frac{2}{3}(1 + x^2)^{\frac{3}{2}} + C \)
(C) \( \frac{2}{3}x(1 + x^2)^{\frac{1}{2}} + C \)
(D) \( \frac{x}{2}\sqrt{1 + x^2} + \frac{x^2}{2}\log\left|x + \sqrt{1 + x^2}\right| + C \)}
Answer:
मानक सूत्र के अनुसार:
\( \int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2}\log\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C \)
यहाँ \( a = 1 \) रखने पर:
\( \int \sqrt{1 + x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2}\log\left|x + \sqrt{1 + x^2}\right| + C \)
अतः, विकल्प (A) सही है।
मुख्य बिंदु:
• यह एक प्रत्यक्ष मानक समाकलन सूत्र पर आधारित बहुविकल्पीय प्रश्न है।
• \( a = 1 \) प्रतिस्थापित करने पर सही विकल्प प्राप्त होता है。
• विकल्पों में भ्रमित करने वाले व्यंजक भी दिए गए हैं, अतः सूत्र की पूर्ण जानकारी आवश्यक है।
आम गलतियाँ:
• \( a^2/2 \) के स्थान पर गलत गुणांक चुन लेना।
• विकल्प (D) या (B) को गलती से टिक कर देना।
Exam Tips:
a) इस प्रकार के सीधे सूत्र आधारित प्रश्नों को बिना हल किए सीधे पहचाना जा सकता है।
b) परीक्षा में सभी विकल्पों को ध्यान से पढ़कर ही सही विकल्प चुनें।
c) मानक सूत्रों की सूची को अच्छी तरह याद रखें।
Question 11: \( \int \sqrt{x^2 - 8x + 7} \, dx \) बराबर है:
(A) \( \frac{1}{2}(x - 4)\sqrt{x^2 - 8x + 7} + 9\log\left|x - 4 + \sqrt{x^2 - 8x + 7}\right| + C \)
(B) \( \frac{1}{2}(x + 4)\sqrt{x^2 - 8x + 7} + 9\log\left|x + 4 + \sqrt{x^2 - 8x + 7}\right| + C \)
(C) \( \frac{1}{2}(x - 4)\sqrt{x^2 - 8x + 7} - 3\sqrt{2}\log\left|x - 4 + \sqrt{x^2 - 8x + 7}\right| + C \)
(D) \( \frac{1}{2}(x - 4)\sqrt{x^2 - 8x + 7} - \frac{9}{2}\log\left|x - 4 + \sqrt{x^2 - 8x + 7}\right| + C \)}
Answer:
मान लीजिए \( I = \int \sqrt{x^2 - 8x + 7} \, dx \)
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( x^2 - 8x + 7 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 7 = (x - 4)^2 - 9 = (x - 4)^2 - (3)^2 \)
अतः,
\( I = \int \sqrt{(x - 4)^2 - 3^2} \, dx \)
मानक सूत्र \( \int \sqrt{x^2 - a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\log\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \frac{(x - 4)}{2}\sqrt{(x - 4)^2 - 9} - \frac{9}{2}\log\left|(x - 4) + \sqrt{(x - 4)^2 - 9}\right| + C \)
\( I = \frac{(x - 4)}{2}\sqrt{x^2 - 8x + 7} - \frac{9}{2}\log\left|x - 4 + \sqrt{x^2 - 8x + 7}\right| + C \)
अतः, विकल्प (D) सही है।
मुख्य बिंदु:
• द्विघात व्यंजक का पूर्ण वर्ग बनाकर \( \sqrt{x^2 - a^2} \) रूप प्राप्त करना।
• \( a = 3 \) होने पर \( a^2/2 = 9/2 \) होना।
• लघुगणकीय पद के साथ ऋणात्मक चिह्न का होना।
आम गलतियाँ:
• \( a^2/2 \) के गुणांक \( 9/2 \) की जगह केवल \( 9 \) लिख देना (विकल्प A चुन लेना)।
• पूर्ण वर्ग बनाते समय चिह्न की त्रुटि करना।
Exam Tips:
a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में भी यदि संदेह हो, तो पहले पूरा हल रफ में करें।
b) गुणांकों और चिह्नों की सावधानीपूर्वक मिलान करें।
c) सही विकल्प (D) को उत्तर पुस्तिका में स्पष्ट रूप से लिखें।
Free study material for Mathematics
Step-by-Step Textbook Answers: Class 12 Mathematics Chapter 07 समाकलन
Accessing Chapter 07 समाकलन Solutions
Explore reliable textbook solutions for Chapter 07 समाकलन tailored for Class 12 learners. Utilizing these complete exercise answers ensures your preparation aligns exactly with official NCERT standards for Mathematics.
Concept-Driven Answers for Class 12 Mathematics
Clear, methodical explanations accompany every challenging problem within the Class 12 Mathematics text. Engaging with these detailed answers lays a solid foundation for advanced learning and improves foundational clarity for upcoming assessments.
Maximizing Study Efficiency
Frequent review of these structured answers builds strong analytical capabilities and response efficiency. Maximize your academic readiness by combining these textbook solutions with our curated study materials and mock evaluations for Class 12 Mathematics.
FAQs
The complete and updated NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 07 Integrals (समाकलन) Exercise 7.7 in Hindi is available for free on StudiesToday.com. These solutions for Class 12 Mathematics are as per latest NCERT curriculum.
Yes, our experts have revised the NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 07 Integrals (समाकलन) Exercise 7.7 in Hindi as per 2026 exam pattern. All textbook exercises have been solved and have added explanation about how the Mathematics concepts are applied in case-study and assertion-reasoning questions.
Toppers recommend using NCERT language because NCERT marking schemes are strictly based on textbook definitions. Our NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 07 Integrals (समाकलन) Exercise 7.7 in Hindi will help students to get full marks in the theory paper.
Yes, we provide bilingual support for Class 12 Mathematics. You can access NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 07 Integrals (समाकलन) Exercise 7.7 in Hindi in both English and Hindi medium.
Yes, you can download the entire NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 07 Integrals (समाकलन) Exercise 7.7 in Hindi in printable PDF format for offline study on any device.