NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 07 Integrals (समाकलन) Exercise 7.6 in Hindi

Question 1: \( x \sin x \)

Answer:

माना \( I = \int x \sin x \, dx \)
यहाँ \( x \) और \( \sin x \) को क्रमशः प्रथम और द्वितीय फलन मानते हुए, खंडशः समाकलन (Integration by parts) का प्रयोग करने पर:
\( I = x \int \sin x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(x) \int \sin x \, dx \right) dx \)
\( = x(-\cos x) - \int 1 \cdot (-\cos x) \, dx \)
\( = -x \cos x + \int \cos x \, dx \)
\( = -x \cos x + \sin x + C \)

मुख्य बिंदु:

• खंडशः समाकलन सूत्र: \( \int f(x)g(x)dx = f(x)\int g(x)dx - \int [f'(x)\int g(x)dx]dx \)
• ILATE नियम के अनुसार बीजगणितीय फलन (\( x \)) को प्रथम फलन और त्रिकोणमिति फलन (\( \sin x \)) को द्वितीय फलन चुना गया है।
• समाकलन अचर \( C \) जोड़ना अनिवार्य है।

आम गलतियाँ:

• ILATE नियम की उपेक्षा करके फलनों का चयन गलत करना।
• ऋणात्मक चिन्हों (\( -\)) को हल करते समय गलती करना।
• अंत में समाकलन अचर \( C \) भूल जाना।

Exam Tips:

a) फलन चयन के लिए ILATE नियम का हमेशा पालन करें।
b) मध्यवर्ती चरणों में चिन्हों की सावधानीपूर्वक जाँच करें।
c) प्रत्येक अनिश्चित समाकलन के उत्तर में \( + C \) अवश्य लिखें।

Question 2: \( x \sin 3x \)

Answer:

माना \( I = \int x \sin 3x \, dx \)
खंडशः समाकलन विधि का प्रयोग करने पर:
\( I = x \int \sin 3x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(x) \int \sin 3x \, dx \right) dx \)
\( = x \left(-\frac{\cos 3x}{3}\right) - \int 1 \cdot \left(-\frac{\cos 3x}{3}\right) dx \)
\( = -\frac{x \cos 3x}{3} + \frac{1}{3} \int \cos 3x \, dx \)
\( = -\frac{x \cos 3x}{3} + \frac{1}{9} \sin 3x + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \sin ax \) का समाकलन \( -\frac{\cos ax}{a} \) होता है।
• प्रथम फलन \( x \) का अवकलन 1 होता है।
• गुणांकों (जैसे \( \frac{1}{3} \) और \( \frac{1}{9} \)) का विशेष ध्यान रखना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• \( \sin 3x \) के समाकलन में कोण के गुणांक 3 से भाग देना भूल जाना।
• कोष्ठकों के बाहर और अंदर के चिन्हों में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन में उनके कोण के गुणांक से भाग देना न भूलें।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से लिखकर दिखाएं ताकि गलती की गुंजाइश न रहे।

Question 3: \( x^2 e^x \)

Answer:

माना \( I = \int x^2 e^x \, dx \)
यहाँ \( x^2 \) और \( e^x \) को क्रमशः प्रथम एवं द्वितीय फलन लेते हुए, खंडशः समाकलन करने पर:
\( I = x^2 \int e^x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(x^2) \int e^x \, dx \right) dx \)
\( = x^2 e^x - \int 2x \cdot e^x \, dx \)
\( = x^2 e^x - 2 \int x e^x \, dx \)
पुनः खंडशः समाकलन विधि का प्रयोग करने पर:
\( = x^2 e^x - 2 \left[ x \int e^x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(x) \int e^x \, dx \right) dx \right] \)
\( = x^2 e^x - 2 [ x e^x - \int 1 \cdot e^x \, dx ] \)
\( = x^2 e^x - 2 [ x e^x - e^x ] \)
\( = x^2 e^x - 2xe^x + 2e^x + C \)
\( = e^x(x^2 - 2x + 2) + C \)

मुख्य बिंदु:

• द्विघात बीजीय फलन होने के कारण खंडशः समाकलन दो बार करना पड़ता है।
• \( e^x \) का समाकलन और अवकलन सदैव \( e^x \) ही होता है।
• अंत में सामान्य पद \( e^x \) उभयनिष्ठ (common) निकाला जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• पहली बार समाकलन करने के बाद बाहर लिखे गुणांक (-2) से अंदर के सभी पदों को गुणा करना भूल जाना।
• कोष्ठक खोलते समय चिन्ह की गलती करना।

Exam Tips:

a) जब घात दो या अधिक हो, तो प्रश्न को दो चरणों में विभाजित करके सावधानी से हल करें।
b) अंतिम उत्तर को सरल करके (common लेकर) लिखना अधिक सुंदर और सटीक माना जाता है।

Question 4: \( x \log x \)

Answer:

माना \( I = \int x \log x \, dx \)
ILATE नियम के अनुसार, लघुगणकीय फलन (\( \log x \)) को प्रथम फलन और बीजगणितीय फलन (\( x \)) को द्वितीय फलन माना जाता है।
\( I = \log x \int x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\log x) \int x \, dx \right) dx \)
\( = \log x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \left( \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} \right) dx \)
\( = \frac{x^2 \log x}{2} - \frac{1}{2} \int x \, dx \)
\( = \frac{x^2 \log x}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} \right) + C \)
\( = \frac{x^2 \log x}{2} - \frac{x^2}{4} + C \)

मुख्य बिंदु:

• लघुगणकीय फलनों (\( \log x \)) का सीधे समाकलन ज्ञात नहीं होता, इसलिए इन्हें हमेशा प्रथम फलन माना जाता है।
• \( \log x \) का अवकलज \( \frac{1}{x} \) होता है।

आम गलतियाँ:

• \( x \) को प्रथम फलन मान लेना, जिससे समाकलन और अधिक जटिल हो जाता है।
• हर में गुणा करके घातांक का सही से सरल न करना।

Exam Tips:

a) याद रखें कि अकेले आने वाले लघुगणकीय या प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को हमेशा प्रथम फलन ही मानना है।
b) समाकलन के अंत में भिन्न को सही रूप में लिखें।

Question 5: \( x \log 2x \)

Answer:

माना \( I = \int x \log 2x \, dx \)
यहाँ \( \log 2x \) को प्रथम फलन तथा \( x \) को द्वितीय फलन मानते हुए खंडशः समाकलन करने पर:
\( I = \log 2x \int x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\log 2x) \int x \, dx \right) dx \)
\( = \log 2x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \left( \frac{1}{2x} \cdot 2 \cdot \frac{x^2}{2} \right) dx \)
\( = \frac{x^2 \log 2x}{2} - \frac{1}{2} \int x \, dx \)
\( = \frac{x^2 \log 2x}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} \right) + C \)
\( = \frac{x^2 \log 2x}{2} - \frac{x^2}{4} + C \)

मुख्य बिंदु:

• श्रृंखला नियम (Chain rule) के अनुसार \( \frac{d}{dx}(\log 2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x} \) होता है।
• फलन का चयन ILATE नियम के तहत किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \log 2x \) के अवकलन में चेन रूल का प्रयोग न करना और \( \frac{1}{2x} \) ही छोड़ देना।

Exam Tips:

a) लघुगणक के अंदर यदि कोई गुणांक है, तो अवकलन करते समय श्रृंखला नियम का ध्यान रखें।

Question 6: \( x^2 \log x \)

Answer:

माना \( I = \int x^2 \log x \, dx \)
यहाँ \( \log x \) प्रथम फलन और \( x^2 \) द्वितीय फलन है:
\( I = \log x \int x^2 \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\log x) \int x^2 \, dx \right) dx \)
\( = \log x \cdot \left(\frac{x^3}{3}\right) - \int \left(\frac{1}{x} \cdot \frac{x^3}{3}\right) dx \)
\( = \frac{x^3 \log x}{3} - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx \)
\( = \frac{x^3 \log x}{3} - \frac{1}{3} \left(\frac{x^3}{3}\right) + C \)
\( = \frac{x^3 \log x}{3} - \frac{x^3}{9} + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \log x \) को प्रथम फलन चुनने से अवकलन आसान हो जाता है क्योंकि \( \frac{1}{x} \) पद \( x^2 \) के साथ कटकर सरल हो जाता है।

आम गलतियाँ:

• हर के गुणांकों को गुणा करते समय (जैसे \( 3 \times 3 = 9 \)) गलती करना।

Exam Tips:

a) गणना करते समय अंश और हर के पदों को ध्यानपूर्वक काटें।

Question 7: \( x \sin^{-1} x \)

Answer:

माना \( I = \int x \sin^{-1} x \, dx \)
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (\( \sin^{-1} x \)) को प्रथम फलन और बीजगणितीय फलन (\( x \)) को द्वितीय फलन मानते हुए:
\( I = \sin^{-1} x \int x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) \int x \, dx \right) dx \)
\( = \sin^{-1} x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \cdot \frac{x^2}{2} \, dx \)
\( = \frac{x^2 \sin^{-1} x}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{-x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \)
अंश में \( +1 \) और \( -1 \) जोड़ने और घटाने पर:
\( = \frac{x^2 \sin^{-1} x}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{1 - x^2 - 1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \)
\( = \frac{x^2 \sin^{-1} x}{2} + \frac{1}{2} \left[ \int \frac{1 - x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx - \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \right] \)
\( = \frac{x^2 \sin^{-1} x}{2} + \frac{1}{2} \left[ \int \sqrt{1 - x^2} \, dx - \sin^{-1} x \right] \)
मानक सूत्र \( \int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( = \frac{x^2 \sin^{-1} x}{2} + \frac{1}{2} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1 - x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}x - \sin^{-1}x \right] + C \)
\( = \frac{x^2 \sin^{-1} x}{2} + \frac{x}{4}\sqrt{1 - x^2} - \frac{1}{4}\sin^{-1}x + C \)
\( = \frac{1}{4} (2x^2 - 1)\sin^{-1} x + \frac{x}{4}\sqrt{1 - x^2} + C \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन हमेशा प्रथम फलन होते हैं।
• समाकलन को सरल बनाने के लिए अंश में \( 1 \) जोड़ा और घटाया गया है।
• मानक बीजगणितीय-त्रिकोणमितीय समाकलन सूत्र का उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \sin^{-1} x \) के अवकलन में रूट लगाना भूल जाना।
• मानक सूत्र में मान रखते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के प्रश्नों में अंश समायोजन (adjustment) एक महत्वपूर्ण तकनीक है, इसे अभ्यास से सीखें।

Question 8: \( x \tan^{-1} x \)

Answer:

माना \( I = \int x \tan^{-1} x \, dx \)
\( \tan^{-1} x \) को प्रथम फलन और \( x \) को द्वितीय फलन मानकर खंडशः समाकलन करने पर:
\( I = \tan^{-1} x \int x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) \int x \, dx \right) dx \)
\( = \tan^{-1} x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{1 + x^2} \cdot \frac{x^2}{2} \, dx \)
\( = \frac{x^2 \tan^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1 + x^2} \, dx \)
अंश में \( +1 \) और \( -1 \) करने पर:
\( = \frac{x^2 \tan^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^2 + 1 - 1}{1 + x^2} \, dx \)
\( = \frac{x^2 \tan^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} \left[ \int 1 \, dx - \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx \right] \)
\( = \frac{x^2 \tan^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} [x - \tan^{-1} x] + C \)
\( = \frac{x^2 \tan^{-1} x}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\tan^{-1} x + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \tan^{-1} x \) का अवकलज \( \frac{1}{1 + x^2} \) होता है।
• परिमेय फलन को हल करने के लिए अंश में \( +1 \) व \( -1 \) जोड़ना और घटाना पड़ता है।

आम गलतियाँ:

• बाहर के ऋणात्मक चिन्ह (\( -\)) को अंदर के पदों से गुणा करते समय चिन्ह की गलती करना।

Exam Tips:

a) अंश और हर की घात समान होने पर भाग दें या उचित पद जोड़ें-घटाएं।

Question 9: \( x \cos^{-1} x \)

Answer:

माना \( I = \int x \cos^{-1} x \, dx \)
\( \cos^{-1} x \) को प्रथम फलन तथा \( x \) को द्वितीय फलन मानते हुए:
\( I = \cos^{-1} x \int x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x) \int x \, dx \right) dx \)
\( = \cos^{-1} x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \left( \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} \cdot \frac{x^2}{2} \right) dx \)
\( = \frac{x^2 \cos^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{-x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \)
\( = \frac{x^2 \cos^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{1 - x^2 - 1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \)
\( = \frac{x^2 \cos^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} \left[ \int \sqrt{1 - x^2} \, dx - \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \right] \)
\( = \frac{x^2 \cos^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1 - x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}x - \sin^{-1}x \right] + C \)
\( = \frac{x^2 \cos^{-1} x}{2} - \frac{x}{4}\sqrt{1 - x^2} - \frac{1}{4}\cos^{-1}x + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \cos^{-1} x \) का अवकलन \( \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} \) होता है।
• प्रक्रिया प्रश्न 7 के समान ही होती है।

आम गलतियाँ:

• \( \cos^{-1} x \) के अवकलन में माइनस चिन्ह छोड़ देना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय प्रतिलोम फलनों के अवकलन के चिन्हों (+/-) का विशेष ध्यान रखें।

Question 10: \( (\sin^{-1} x)^2 \)

Answer:

माना \( I = \int (\sin^{-1} x)^2 \cdot 1 \, dx \)
यहाँ \( (\sin^{-1} x)^2 \) प्रथम फलन और \( 1 \) द्वितीय फलन है:
\( I = (\sin^{-1} x)^2 \int 1 \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)^2 \int 1 \, dx \right) dx \)
\( = x(\sin^{-1} x)^2 - \int \frac{2 \sin^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} \cdot x \, dx \)
\( = x(\sin^{-1} x)^2 - \int \sin^{-1} x \left( \frac{-2x}{\sqrt{1 - x^2}} \right) dx \)
अब पुनः खंडशः समाकलन करने पर, जहाँ \( \sin^{-1} x \) प्रथम फलन है:
\( = x(\sin^{-1} x)^2 - \left[ \sin^{-1} x \int \frac{-2x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) \int \frac{-2x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \right) dx \right] \)
\( = x(\sin^{-1} x)^2 - \left[ \sin^{-1} x \cdot 2\sqrt{1 - x^2} - \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \cdot 2\sqrt{1 - x^2} \, dx \right] \)
\( = x(\sin^{-1} x)^2 - 2\sqrt{1 - x^2}\sin^{-1} x + \int 2 \, dx \)
\( = x(\sin^{-1} x)^2 + 2\sqrt{1 - x^2}\sin^{-1} x - 2x + C \)

मुख्य बिंदु:

• ऐसे प्रश्नों में दूसरे फलन के रूप में '1' को शामिल किया जाता है।
• श्रृंखला नियम से \( (\sin^{-1} x)^2 \) का अवकलज \( \frac{2\sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}} \) होता है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिस्थापन विधि या दूसरे खंडशः समाकलन में सही फलन युग्म न चुनना।

Exam Tips:

• एकल प्रतिलोम फलनों के वर्ग वाले समाकलन में '1' को दूसरा फलन मानकर ही हल करें।

Question 11: \( \frac{x \cos^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} \)

Answer:

माना \( I = \int \frac{x \cos^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \)
इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( I = \int \left( \frac{\cos^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} \right) \cdot x \, dx \)
या प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग करें: माना \( \cos^{-1} x = t \implies x = \cos t \implies dx = -\sin t \, dt \)
\( I = \int \frac{\cos t \cdot t}{\sin t} (-\sin t) \, dt = -\int t \cos t \, dt \)
खंडशः समाकलन करने पर:
\( = -\left[ t \int \cos t \, dt - \int \left( \frac{d}{dt}(t) \int \cos t \, dt \right) dt \right] \)
\( = -\left[ t \sin t - \int 1 \cdot \sin t \, dt \right] \)
\( = -(t \sin t + \cos t) + C \)
चूंकि \( t = \cos^{-1} x \) और \( \sin t = \sqrt{1 - x^2} \):
\( = -\left( \cos^{-1} x \cdot \sqrt{1 - x^2} + x \right) + C \)
\( = -\sqrt{1 - x^2} \cos^{-1} x - x + C \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिस्थापन (Substitution) और खंडशः समाकलन (Integration by parts) दोनों का संयुक्त प्रयोग।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \sin t = \sqrt{1 - \cos^2 t} \) का उपयोग।

आम गलतियाँ:

• प्रतिस्थापन के बाद सीमाएं या मान वापस रखते समय त्रिकोणमितीय अनुपातों में गलती करना।

Exam Tips:

a) यदि प्रश्न जटिल लगे, तो उचित प्रतिस्थापन (substitution) से उसे सरल बना लें।

Question 12: \( x \sec^2 x \)

Answer:

माना \( I = \int x \sec^2 x \, dx \)
\( x \) प्रथम फलन तथा \( \sec^2 x \) द्वितीय फलन है:
\( I = x \int \sec^2 x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(x) \int \sec^2 x \, dx \right) dx \)
\( = x \tan x - \int 1 \cdot \tan x \, dx \)
\( = x \tan x - \log|\sec x| + C \) (या \( x \tan x + \log|\cos x| + C \))

मुख्य बिंदु:

• \( \sec^2 x \) का समाकलन \( \tan x \) होता है।
• \( \tan x \) का समाकलन \( -\log|\cos x| \) या \( \log|\sec x| \) होता है।

आम गलतियाँ:

• \( \sec^2 x \) के समाकलन को गलत लिखना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों के मानक समाकलन सूत्र अच्छी तरह याद रखें।

Question 13: \( \tan^{-1} x \)

Answer:

माना \( I = \int \tan^{-1} x \cdot 1 \, dx \)
\( \tan^{-1} x \) प्रथम फलन और \( 1 \) द्वितीय फलन है:
\( I = \tan^{-1} x \int 1 \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) \int 1 \, dx \right) dx \)
\( = x \tan^{-1} x - \int \frac{1}{1 + x^2} \cdot x \, dx \)
हर के अवकलन को अंश में लाने के लिए 2 से गुणा और भाग करने पर:
\( = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1 + x^2} \, dx \)
\( = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log|1 + x^2| + C \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिलोम फलन अकेले होने पर '1' को दूसरा फलन माना जाता है।
• \( \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log|f(x)| \) का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{2x}{1+x^2} \) के समाकलन में \( \frac{1}{2} \) लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) अंश हर का अवकलज हो, तो सीधे लॉग वाला मानक सूत्र लगाएं।

Question 14: \( x (\log x)^2 \)

Answer:

माना \( I = \int x (\log x)^2 \, dx \)
\( (\log x)^2 \) प्रथम फलन और \( x \) द्वितीय फलन है:
\( I = (\log x)^2 \int x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\log x)^2 \int x \, dx \right) dx \)
\( = (\log x)^2 \cdot \frac{x^2}{2} - \int \left( 2 \log x \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} \right) dx \)
\( = \frac{x^2 (\log x)^2}{2} - \int x \log x \, dx \)
पुनः \( x \log x \) का खंडशः समाकलन करने पर:
\( = \frac{x^2 (\log x)^2}{2} - \left[ \log x \int x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\log x) \int x \, dx \right) dx \right] \)
\( = \frac{x^2 (\log x)^2}{2} - \left[ \frac{x^2 \log x}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} \, dx \right] \)
\( = \frac{x^2 (\log x)^2}{2} - \frac{x^2 \log x}{2} + \frac{1}{2} \int x \, dx \)
\( = \frac{x^2 (\log x)^2}{2} - \frac{x^2 \log x}{2} + \frac{x^2}{4} + C \)

मुख्य बिंदु:

• इस प्रश्न में खंडशः समाकलन दो बार करना होता है।
• श्रृंखला नियम से \( \frac{d}{dx}(\log x)^2 = 2 \log x \cdot \frac{1}{x} \) होता है।

आम गलतियाँ:

• दूसरे चरण में बाहर लगे ऋणात्मक चिन्ह का अंदर के पदों पर प्रभाव न देखना।

Exam Tips:

a) बहुघात वाले लघुगणक प्रश्नों में धैर्यपूर्वक चरण-दर-चरण हल करें।

Question 15: \( (x^2 + 1) \log x \)

Answer:

माना \( I = \int (x^2 + 1) \log x \, dx = \int x^2 \log x \, dx + \int \log x \, dx \)
माना \( I = I_1 + I_2 \)
जहाँ \( I_1 = \int x^2 \log x \, dx \) और \( I_2 = \int \log x \, dx \)
\( I_1 \) को हल करने पर:
\( I_1 = \log x \int x^2 dx - \int \left(\frac{1}{x} \cdot \frac{x^3}{3}\right) dx = \frac{x^3 \log x}{3} - \frac{1}{3}\int x^2 dx = \frac{x^3 \log x}{3} - \frac{x^3}{9} \)
\( I_2 \) को हल करने पर (1 को द्वितीय फलन मानकर):
\( I_2 = \log x \int 1 dx - \int \left(\frac{1}{x} \cdot x\right) dx = x \log x - \int 1 dx = x \log x - x \)
अतः \( I = I_1 + I_2 + C \):
\( I = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + x \log x - x + C \)

मुख्य बिंदु:

• फलन को दो भागों में विभाजित करके हल करना आसान होता है।
• \( \int \log x \, dx = x \log x - x \) एक मानक परिणाम है जिसे याद रखा जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• दोनों भागों के समाकलन अचर को आपस में मिलाते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) बड़े व्यंजकों को अलग-अलग \( I_1 \) और \( I_2 \) मानकर हल करना परीक्षा में भ्रम से बचाता है।

Question 16: \( e^x (\sin x + \cos x) \)

Answer:

माना \( I = \int e^x (\sin x + \cos x) \, dx \)
माना \( f(x) = \sin x \), तब इसका अवकलज \( f'(x) = \cos x \) है।
हम मानक सूत्र जानते हैं: \( \int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C \)
अतः दिए गए समाकलन का मान होगा:
\( I = e^x \sin x + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \int e^x [f(x) + f'(x)]dx = e^x f(x) + C \) एक अति महत्वपूर्ण मानक परिणाम है।
• पहचानना होता है कि कौन सा फलन \( f(x) \) है और कौन सा उसका अवकलज \( f'(x) \) है।

आम गलतियाँ:

• सीधे खंडशः समाकलन विधि से लम्बी गणना करना जबकि मानक सूत्र उपलब्ध है।

Exam Tips:

a) \( e^x \) के साथ ब्रैकेट में दो पद होने पर हमेशा जांचें कि क्या एक पद दूसरे का अवकलन है।

Question 17: \( \frac{x e^x}{(1 + x)^2} \)

Answer:

माना \( I = \int \frac{x e^x}{(1 + x)^2} \, dx \)
अंश में \( 1 \) जोड़ने और घटाने पर:
\( I = \int e^x \left[ \frac{x + 1 - 1}{(1 + x)^2} \right] dx = \int e^x \left[ \frac{x + 1}{(1 + x)^2} - \frac{1}{(1 + x)^2} \right] dx \)
\( = \int e^x \left[ \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{(1 + x)^2} \right] dx \)
यहाँ यदि \( f(x) = \frac{1}{1 + x} \), तब \( f'(x) = -\frac{1}{(1 + x)^2} \)
मानक सूत्र \( \int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C \) का प्रयोग करने पर:
\( I = e^x \left( \frac{1}{1 + x} \right) + C = \frac{x e^x}{1 + x} + C \) (या \( \frac{e^x}{1 + x} + C \))

मुख्य बिंदु:

• अंश में समायोजन (adjustment) करके इसे \( e^x[f(x) + f'(x)] \) के रूप में बदला गया है।

आम गलतियाँ:

• अंश और हर को अलग करते समय ऋणात्मक चिन्ह की त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के प्रश्नों में \( e^x \) देखकर तुरंत \( f(x) + f'(x) \) का रूप बनाने का प्रयास करें।

Question 18: \( e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \right) \)

Answer:

माना \( I = \int e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \right) dx \)
त्रिकोणमितीय सूत्रों \( \sin x = 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} \) और \( 1 + \cos x = 2 \cos^2\frac{x}{2} \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int e^x \left( \frac{1 + 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}}{2 \cos^2\frac{x}{2}} \right) dx \)
\( = \int e^x \left( \frac{1}{2 \cos^2\frac{x}{2}} + \frac{2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}}{2 \cos^2\frac{x}{2}} \right) dx \)
\( = \int e^x \left( \frac{1}{2} \sec^2\frac{x}{2} + \tan\frac{x}{2} \right) dx \)
यहाँ यदि \( f(x) = \tan\frac{x}{2} \), तब \( f'(x) = \frac{1}{2} \sec^2\frac{x}{2} \)
मानक सूत्र का प्रयोग करने पर:
\( I = e^x \tan\frac{x}{2} + C \)

मुख्य बिंदु:

• अर्ध-कोण (Half-angle) त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया गया है।

आम गलतियाँ:

• त्रिकोणमितीय सूत्रों को गलत लगाना या कोण के आधे भाग (\( \frac{x}{2} \)) को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) \( e^x \) के साथ त्रिकोणमितीय पद होने पर पहले उन्हें सरल करके \( f(x) + f'(x) \) के रूप में लाएं।

Question 19: \( e^x \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \right) \)

Answer:

माना \( I = \int e^x \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \right) dx \)
यहाँ \( f(x) = \frac{1}{x} \) लेने पर, इसका अवकलन \( f'(x) = -\frac{1}{x^2} \) प्राप्त होता है।
मानक सूत्र \( \int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C \) के अनुसार:
\( I = e^x \left( \frac{1}{x} \right) + C = \frac{e^x}{x} + C \)

मुख्य बिंदु:

• यह सीधे मानक रूप \( e^x[f(x) + f'(x)] \) पर आधारित है।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{1}{x} \) के अवकलन में चिन्ह की भूल करना।

Exam Tips:

• यदि सीधे मानक रूप दिख रहा हो, तो विस्तृत खंडशः समाकलन करने की आवश्यकता नहीं है, सीधा सूत्र लिख सकते हैं।

Question 20: \( \frac{(x - 3) e^x}{(x - 1)^3} \)

Answer:

माना \( I = \int \frac{(x - 3) e^x}{(x - 1)^3} \, dx \)
अंश में \( -3 \) को \( -1 - 2 \) लिखने पर:
\( I = \int e^x \left[ \frac{x - 1 - 2}{(x - 1)^3} \right] dx = \int e^x \left[ \frac{x - 1}{(x - 1)^3} - \frac{2}{(x - 1)^3} \right] dx \)
\( = \int e^x \left[ \frac{1}{(x - 1)^2} - \frac{2}{(x - 1)^3} \right] dx \)
यहाँ \( f(x) = \frac{1}{(x - 1)^2} \), तब \( f'(x) = -\frac{2}{(x - 1)^3} \)
मानक सूत्र का प्रयोग करने पर:
\( I = e^x \left( \frac{1}{(x - 1)^2} \right) + C = \frac{e^x}{(x - 1)^2} + C \)

मुख्य बिंदु:

• अंश को हर के पदों में वियोजित करना इस प्रकार के प्रश्नों की मुख्य कुंजी है।

आम गलतियाँ:

• भिन्न को अलग करते समय घातांक (power) में गलती करना।

Exam Tips:

a) हर की घात के अनुसार अंश में पद सेट करें ताकि \( f(x) \) और \( f'(x) \) स्पष्ट रूप से बन सकें।

Question 21: \( e^{2x} \sin x \)

Answer:

माना \( I = \int e^{2x} \sin x \, dx \)
प्रथम और द्वितीय फलन मानकर खंडशः समाकलन करने पर:
\( I = \sin x \int e^{2x} \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\sin x) \int e^{2x} \, dx \right) dx \)
\( = \sin x \left( \frac{e^{2x}}{2} \right) - \int \cos x \cdot \frac{e^{2x}}{2} \, dx \)
\( = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2x} \cos x \, dx \)
पुनः खंडशः समाकलन करने पर:
\( = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{1}{2} \left[ \cos x \int e^{2x} \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\cos x) \int e^{2x} \, dx \right) dx \right] \)
\( = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{1}{2} \left[ \cos x \cdot \frac{e^{2x}}{2} - \int (-\sin x) \cdot \frac{e^{2x}}{2} \, dx \right] \)
\( = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{e^{2x} \cos x}{4} - \frac{1}{4} \int e^{2x} \sin x \, dx \)
चूँकि अंतिम समाकलन वही मूल समाकलन \( I \) है:
\( I = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{e^{2x} \cos x}{4} - \frac{1}{4} I \)
पक्षांतर करने पर:
\( I + \frac{1}{4} I = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{e^{2x} \cos x}{4} \)
\( \frac{5}{4} I = \frac{e^{2x} (2\sin x - \cos x)}{4} \)
\( I = \frac{e^{2x}}{5} (2\sin x - \cos x) + C \)

मुख्य बिंदु:

• यह चक्रीय (Cyclic) समाकलन है जहाँ दो बार खंडशः करने पर पुनः मूल समाकलन प्राप्त होता है।
• \( I \) को एक तरफ पक्षांतर करके हल किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• कोष्ठक खोलते समय बाहर के \( -\frac{1}{4} \) चिन्ह का ध्यान न रखना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में जहाँ समाकलन अपने आप को दोहराता है, \( I \) मानकर समीकरण हल करें।

Question 22: \( \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) \)

Answer:

माना \( I = \int \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) dx \)
प्रतिस्थापन: माना \( x = \tan \theta \implies dx = \sec^2 \theta \, d\theta \)
त्रिकोणमितीय सूत्र से \( \sin^{-1} \left( \frac{2\tan\theta}{1 + \tan^2\theta} \right) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta \)
अतः समाकलन होगा:
\( I = \int 2\theta \cdot \sec^2 \theta \, d\theta = 2 \int \theta \sec^2 \theta \, d\theta \)
खंडशः समाकलन करने पर:
\( = 2 \left[ \theta \int \sec^2 \theta \, d\theta - \int \left( \frac{d}{d\theta}(\theta) \int \sec^2 \theta \, d\theta \right) d\theta \right] \)
\( = 2 \left[ \theta \tan \theta - \int 1 \cdot \tan \theta \, d\theta \right] \)
\( = 2 [\theta \tan \theta - \log|\sec \theta|] + C \)
चूंकि \( \theta = \tan^{-1} x \) और \( \sec \theta = \sqrt{1 + x^2} \):
\( = 2 \left[ x \tan^{-1} x - \log\sqrt{1 + x^2} \right] + C \)
\( = 2x \tan^{-1} x - \log(1 + x^2) + C \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को सरल करने के लिए उपयुक्त त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का प्रयोग करें।
• \( \log(1+x^2)^{1/2} = \frac{1}{2}\log(1+x^2) \) गुणधर्म का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• \( \sin^{-1}(\sin 2\theta) \) को सीधे \( 2\theta \) लिखते समय क्षेत्र (domain) की अनदेखी करना।

Exam Tips:

a) प्रतिस्थापन के बाद चरों को वापस \( x \) के पदों में बदलना न भूलें।

Question 23: \( \int x^2 e^{x^3} dx \) बराबर है:
(A) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \)
(B) \( \frac{1}{2} e^{x^3} + C \)
(C) \( \frac{1}{3} e^{x^2} + C \)
(D) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \)

Answer:

माना \( I = \int x^2 e^{x^3} dx \)
प्रतिस्थापन: माना \( x^3 = t \implies 3x^2 dx = dt \implies x^2 dx = \frac{dt}{3} \)
अतः समाकलन होगा:
\( I = \int e^t \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int e^t dt = \frac{1}{3} e^t + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{1}{3} e^{x^3} + C \)
अतः सही विकल्प (A) है।

मुख्य बिंदु:

• यह एक सीधी प्रतिस्थापन (substitution) विधि का प्रश्न है।
• \( e^t \) का समाकलन स्वयं \( e^t \) होता है।

आम गलतियाँ:

• गुणांक \( \frac{1}{3} \) को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में त्वरित प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें।

Question 24: \( \int e^x \sec x (1 + \tan x) dx \) बराबर है:
(A) \( e^x \cos x + C \)
(B) \( e^x \sec x + C \)
(C) \( e^x \sin x + C \)
(D) \( e^x \tan x + C \)

Answer:

माना \( I = \int e^x \sec x (1 + \tan x) dx = \int e^x (\sec x + \sec x \tan x) dx \)
यहाँ यदि \( f(x) = \sec x \), तब इसका अवकलज \( f'(x) = \sec x \tan x \) होता है।
मानक सूत्र \( \int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C \) के अनुसार:
\( I = e^x \sec x + C \)
अतः सही विकल्प (B) है।

मुख्य बिंदु:

• व्यंजक को अंदर गुणा करके \( f(x) + f'(x) \) के मानक रूप में बदला गया है।
• \( \sec x \) का अवकलज \( \sec x \tan x \) होता है।

आम गलतियाँ:

• फलन और उसके अवकलज की पहचान करने में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) \( e^x \) वाले बहुविकल्पीय प्रश्नों में हमेशा मानक परिणाम \( e^x f(x) \) की खोज करें।