NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 07 Integrals (समाकलन) Exercise 7.5 in Hindi

Question 1: \( \frac{x}{(x + 1)(x + 2)} \)

Answer:

मान लीजिए कि आंशिक भिन्न रूप में:
\( \frac{x}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2} \)
\( \Rightarrow x = A(x + 2) + B(x + 1) \)
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
\( A + B = 1 \)
और \( 2A + B = 0 \)
इन समीकरणों को हल करने पर हमें प्राप्त होता है:
\( A = -1 \) और \( B = 2 \)
अतः:
\( \frac{x}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{-1}{x + 1} + \frac{2}{x + 2} \)
समाकलन करने पर:
\( I = \int \frac{x}{(x + 1)(x + 2)} \, dx = \int \left( \frac{-1}{x + 1} + \frac{2}{x + 2} \right) dx \)
\( I = -\log|x + 1| + 2\log|x + 2| + C \)
\( I = \log(x + 2)^2 - \log|x + 1| + \log C = \log \frac{(x + 2)^2}{x + 1} + C \)

मुख्य बिंदु:

• आंशिक भिन्नों में वियोजन का प्रयोग किया गया है।
• अज्ञात गुणांकों \( A \) और \( B \) के मान ज्ञात किए गए हैं।
• लघुगणकीय समाकलन के सूत्रों का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( A \) और \( B \) के मान निकालते समय चिन्ह की गलती करना।
• समाकलन करते समय मापांक (modulus) चिन्ह भूल जाना।
• लघुगणक के गुणों का गलत संयोजन करना।

Exam Tips:

a) आंशिक भिन्न विधि लागू करने से पहले अंश की घात हर की घात से कम होनी चाहिए।
b) मान निकालते समय उचित लघुगणक गुणधर्मों का प्रयोग करें।
c) अंत में समाकलन अचर \( C \) अवश्य लिखें।

Question 2: \( \frac{1}{x^2 - 9} \)

Answer:

हर के गुणनखंड करने पर:
\( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \)
मान लीजिए:
\( \frac{1}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x - 3} \)
\( \Rightarrow 1 = A(x - 3) + B(x + 3) \)
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
\( A + B = 0 \)
और \( -3A + 3B = 1 \)
इन समीकरणों को हल करने पर:
\( A = -\frac{1}{6} \) और \( B = \frac{1}{6} \)
अतः:
\( I = \int \frac{1}{x^2 - 9} \, dx = \int \left( \frac{-1/6}{x + 3} + \frac{1/6}{x - 3} \right) dx \)
\( I = -\frac{1}{6}\log|x + 3| + \frac{1}{6}\log|x - 3| + C \)
\( I = \frac{1}{6}\log\left| \frac{x - 3}{x + 3} \right| + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( x^2 - a^2 \) प्रकार के व्यंजकों के लिए आंशिक भिन्न का उपयोग।
• गुणांकों की तुलना करके स्थिरांक ज्ञात करना।
• लघुगणक के नियम \( \log a - \log b = \log(a/b) \) का उपयोग।

आम गलतियाँ:

• \( A \) और \( B \) के मानों में व्युत्क्रम की गलती करना।
• लघुगणक के घटाव को भाग में बदलते समय पदों का क्रम उलटना।

Exam Tips:

a) आप इसे सीधे मानक सूत्र \( \int \frac{1}{x^2 - a^2} dx \) से भी हल कर सकते हैं, लेकिन आंशिक भिन्न विधि से भी अभ्यास करें।
b) अंतिम उत्तर को लघुगणक के एकल पद के रूप में संक्षिप्त करें।
c) मापांक चिन्ह का सही ध्यान रखें।

Question 3: \( \frac{3x - 1}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)} \)

Answer:

मान लीजिए:
\( \frac{3x - 1}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 3} \)
\( \Rightarrow 3x - 1 = A(x - 2)(x - 3) + B(x - 1)(x - 3) + C(x - 1)(x - 2) \) ... (1)
विभिन्न मान रखने पर या गुणांकों की तुलना करने पर:
\( A = 1, \, B = -5, \, C = 4 \)
अतः समाकलन:
\( I = \int \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{5}{x - 2} + \frac{4}{x - 3} \right) dx \)
\( I = \log|x - 1| - 5\log|x - 2| + 4\log|x - 3| + C \)

मुख्य बिंदु:

• तीन रैखिक गुणनखंडों वाले भिन्नों का आंशिक भिन्नों में वियोजन।
• सीधे शून्य करके मान निकालने की विधि (Cover-up rule) का उपयोग।
• प्रत्येक पद का पृथक समाकलन।

आम गलतियाँ:

• गुणांक निकालते समय किसी गुणनखंड को छोड़ देना।
• लघुगणक के गुणांकों को उनकी घात के रूप में न लिखना (या लिखना भूल जाना)।

Exam Tips:

a) त्रिघात हर वाले प्रश्नों में \( x = 1, 2, 3 \) सीधे समीकरण (1) में रखकर \( A, B, C \) आसानी से निकाले जा सकते हैं।
b) गणना की शुաղता की जाँच अवश्य करें।
c) प्रत्येक पद में मापांक लगाना न भूलें।

Question 4: \( \frac{x}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)} \)

Answer:

मान लीजिए:
\( \frac{x}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 3} \)
\( \Rightarrow x = A(x - 2)(x - 3) + B(x - 1)(x - 3) + C(x - 1)(x - 2) \) ... (1)
समीकरण (1) में \( x = 1, 2, 3 \) रखने पर:
\( x = 1 \) रखने पर: \( 1 = A(1 - 2)(1 - 3) \Rightarrow 2A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2} \)
\( x = 2 \) रखने पर: \( 2 = B(2 - 1)(2 - 3) \Rightarrow -B = 2 \Rightarrow B = -2 \)
\( x = 3 \) रखने पर: \( 3 = C(3 - 1)(3 - 2) \Rightarrow 2C = 3 \Rightarrow C = \frac{3}{2} \)
अतः समाकलन:
\( I = \int \left( \frac{1/2}{x - 1} - \frac{2}{x - 2} + \frac{3/2}{x - 3} \right) dx \)
\( I = \frac{1}{2}\log|x - 1| - 2\log|x - 2| + \frac{3}{2}\log|x - 3| + C \)

मुख्य बिंदु:

• तीन भिन्न रैखिक गुणनखंडों का आंशिक वियोजन।
• उपयुक्त मान प्रतिस्थापित करके \( A, B, C \) का मान ज्ञात करना।
• मानक लघुगणकीय समाकलन का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• भिन्नों के मान निकालते समय चिन्ह की चूक।
• समाकलन गुणांकों को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) \( x \) के मान क्रमशः \( 1, 2, 3 \) रखने की शॉर्टकट विधि का उपयोग करें।
b) भिन्न रूप में आए गुणांकों को समाकलन के बाहर रखें।
c) अंतिम उत्तर को साफ-सुथरा लिखें।

Question 5: \( \frac{2x}{x^2 + 3x + 2} \)

Answer:

हर के गुणनखंड करने पर:
\( x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) \)
मान लीजिए:
\( \frac{2x}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2} \)
\( \Rightarrow 2x = A(x + 2) + B(x + 1) \)
तुलना करने पर या मान रखने पर:
\( A = -2, \, B = 4 \)
अतः:
\( I = \int \left( \frac{-2}{x + 1} + \frac{4}{x + 2} \right) dx \)
\( I = -2\log|x + 1| + 4\log|x + 2| + C \)
\( I = \log(x + 2)^4 - \log(x + 1)^2 + C = \log \left| \frac{(x + 2)^4}{(x + 1)^2} \right| + C \)

मुख्य बिंदु:

• द्विघात समीकरण के गुणनखंड बनाना।
• आंशिक भिन्न विधि लागू करना।
• लघुगणक के घात नियम का उपयोग करना।

आम गलतियाँ:

• गुणनखंड गलत बनाना।
• \( A \) और \( B \) के मानों की अदला-बदली करना।

Exam Tips:

a) गुणनखंड हमेशा सावधानी से करें।
b) यदि प्रश्न में हर द्विघात हो, तो पहले गुणनखंड की जाँच करें।
c) लघुगणक के गुणों से उत्तर को सरल करें।

Question 6: \( \frac{1 - x^2}{x(1 - 2x)} \)

Answer:

यहाँ अंश की घात (2) हर की घात (2) के बराबर है, इसलिए पहले भाग देने पर:
\( \frac{1 - x^2}{x(1 - 2x)} = \frac{1 - x^2}{-2x^2 + x} \)
भाग देने पर या उचित समायोजन करने पर:
\( = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 - x}{x(1 - 2x)} \)
अब आंशिक भिन्न विधि से \( \frac{2 - x}{x(1 - 2x)} \) को हल करने पर:
\( \frac{2 - x}{x(1 - 2x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1 - 2x} \)
हल करने पर \( A = 2, B = 3 \)
अतः समाकलन:
\( I = \int \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left( \frac{2}{x} + \frac{3}{1 - 2x} \right) \right) dx \)
\( I = \frac{x}{2} + \log|x| - \frac{3}{4}\log|1 - 2x| + C \)

मुख्य बिंदु:

• विषम परिमेय फलन (अंश की घात \( \geq \) हर की घात) में पहले भाग देना।
• शेष पद पर आंशिक भिन्न लगाना।
• रैखिक फलन के गुणांक से भाग देना (\( 1-2x \) में \( -2 \) से भाग)।

आम गलतियाँ:

• बिना भाग दिए सीधे आंशिक भिन्न लगाना।
• \( 1-2x \) के समाकलन में \( -2 \) से भाग देना भूल जाना।

Exam Tips:

a) हमेशा जाँचें कि अंश की घात हर से कम है या नहीं। यदि नहीं, तो भाग दें।
b) \( x \) के गुणांक से समाकलन में भाग देना न भूलें।
c) चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 7: \( \frac{x}{(x^2 + 1)(x - 1)} \)

Answer:

मान लीजिए:
\( \frac{x}{(x^2 + 1)(x - 1)} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1} + \frac{C}{x - 1} \)
\( \Rightarrow x = (Ax + B)(x - 1) + C(x^2 + 1) \)
गुणांकों की तुलना करने पर:
\( A = -\frac{1}{2}, \, B = \frac{1}{2}, \, C = \frac{1}{2} \)
अतः समाकलन:
\( I = \int \left( \frac{-x/2 + 1/2}{x^2 + 1} + \frac{1/2}{x - 1} \right) dx \)
\( I = -\frac{1}{2}\int \frac{x}{x^2 + 1} dx + \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2 + 1} dx + \frac{1}{2}\int \frac{1}{x - 1} dx \)
\( I = -\frac{1}{4}\log|x^2 + 1| + \frac{1}{2}\tan^{-1}x + \frac{1}{2}\log|x - 1| + C \)

मुख्य बिंदु:

• द्विघात गुणनखंड \( (x^2 + 1) \) के लिए अंश में \( Ax + B \) का प्रयोग।
• आंशिक भिन्नों के गुणांकों की तुलना।
• प्रतिस्थापन और मानक समाकलन सूत्रों का संयोजन।

आम गलतियाँ:

• द्विघात पद के ऊपर केवल \( A \) लिखना (जो कि गलत है, \( Ax+B \) होना चाहिए)।
• \( \int \frac{x}{x^2+1}dx \) को हल करते समय \( 2 \) से गुणा/भाग करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) अघुलनशील द्विघात गुणनखंड के लिए हमेशा रैखिक अंश \( Ax+B \) लें।
b) समाकलन को अलग-अलग भागों में विभाजित करके हल करें।
c) प्रतिस्थापन विधि का सावधानी से उपयोग करें।

Question 8: \( \frac{x}{(x - 1)^2(x + 2)} \)

Answer:

पुनरावृत्ति वाले रैखिक गुणनखंड के लिए आंशिक भिन्न:
\( \frac{x}{(x - 1)^2(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{x + 2} \)
\( \Rightarrow x = A(x - 1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x - 1)^2 \)
मान निकालने पर:
\( A = \frac{2}{9}, \, B = \frac{1}{3}, \, C = -\frac{2}{9} \)
अतः समाकलन:
\( I = \int \left( \frac{2/9}{x - 1} + \frac{1/3}{(x - 1)^2} - \frac{2/9}{x + 2} \right) dx \)
\( I = \frac{2}{9}\log|x - 1| - \frac{1}{3(x - 1)} - \frac{2}{9}\log|x + 2| + C \)
\( I = \frac{2}{9}\log\left| \frac{x - 1}{x + 2} \right| - \frac{1}{3(x - 1)} + C \)

मुख्य बिंदु:

• पुनरावृत्त रैखिक गुणनखंड \( (x-a)^2 \) के लिए \( \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2} \) का रूप लेना।
• गुणांकों की तुलना करके \( A, B, C \) ज्ञात करना।
• घात वाले पद का समाकलन \( \int (x-1)^{-2} dx \) के रूप में करना।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{1}{(x-1)^2} \) के समाकलन में लघुगणक का प्रयोग करना (जो कि गलत है, इसका समाकलन \( -\frac{1}{x-1} \) होता है)।
• आंशिक भिन्न का गलत प्रारूप मानना।

Exam Tips:

a) पुनरावृत्त गुणनखंडों के लिए रूप हमेशा सही लिखें।
b) \( (x-a)^{-2} \) का समाकलन घात नियम से करें।
c) गणना की शुद्धता की जाँच करें।

Question 9: \( \frac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1} \)

Answer:

हर के गुणनखंड करने पर:
\( x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x - 1) - 1(x - 1) = (x^2 - 1)(x - 1) = (x - 1)^2(x + 1) \)
मान लीजिए:
\( \frac{3x + 5}{(x - 1)^2(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{x + 1} \)
हल करने पर:
\( A = -\frac{1}{2}, \, B = 4, \, C = \frac{1}{2} \)
अतः समाकलन:
\( I = \int \left( \frac{-1/2}{x - 1} + \frac{4}{(x - 1)^2} + \frac{1/2}{x + 1} \right) dx \)
\( I = -\frac{1}{2}\log|x - 1| - \frac{4}{x - 1} + \frac{1}{2}\log|x + 1| + C \)
\( I = \frac{1}{2}\log\left| \frac{x + 1}{x - 1} \right| - \frac{4}{x - 1} + C \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिघात बहुपद के गुणनखंड समूहीकरण (Grouping) द्वारा करना।
• पुनरावृत्त रैखिक गुणनखंड वाली आंशिक भिन्न विधि।
• मानक सूत्रों का अनुप्रयोग।

आम गलतियाँ:

• त्रिघात बहुपद के गुणनखंड करने में गलती करना।
• \( B \) वाले पद का समाकलन गलत करना।

Exam Tips:

a) त्रिघात समीकरणों के गुणनखंड के लिए हिट-एंड-ट्रायल या समूहीकरण विधि का अभ्यास करें।
b) हर चरण में लघुगणक और बीजगणितीय पदों का ध्यान रखें।
c) अंतिम उत्तर को संक्षिप्त रूप में लिखें।

Question 10: \( \frac{2x - 3}{(x^2 - 1)(2x + 3)} \)

Answer:

हर के गुणनखंड करने पर:
\( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \)
अतः फलन है: \( \frac{2x - 3}{(x - 1)(x + 1)(2x + 3)} \)
आंशिक भिन्न मानने पर:
\( \frac{2x - 3}{(x - 1)(x + 1)(2x + 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{2x + 3} \)
मान निकालने पर:
\( A = -\frac{1}{5}, \, B = 5, \, C = -\frac{24}{5} \)
अतः समाकलन:
\( I = -\frac{1}{5}\log|x - 1| + 5\log|x + 1| - \frac{24}{5 \times 2}\log|2x + 3| + C \)
\( I = -\frac{1}{5}\log|x - 1| + 5\log|x + 1| - \frac{12}{5}\log|2x + 3| + C \)

मुख्य बिंदु:

• तीनों गुणनखंड रैखिक हैं।
• \( 2x + 3 \) के समाकलन में \( x \) के गुणांक \( 2 \) से भाग देना।
• आंशिक भिन्नों के गुणांक ज्ञात करना।

आम गलतियाँ:

• \( 2x + 3 \) के समाकलन में हर में \( 2 \) से भाग देना भूल जाना।
• \( x^2 - 1 \) के गुणनखंड न करना।

Exam Tips:

a) हर को पूरी तरह से रैखिक गुणनखंडों में तोड़ें।
b) रैखिक फलन का समाकलन करते समय उसके गुणांक का विशेष ध्यान रखें।
c) गणना की सावधानी बरतें।

Question 11: \( \frac{5x}{(x + 1)(x^2 - 4)} \)

Answer:

हर के गुणनखंड करने पर:
\( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \)
फलन बनता है: \( \frac{5x}{(x + 1)(x - 2)(x + 2)} \)
आंशिक भिन्न मानने पर:
\( \frac{5x}{(x + 1)(x - 2)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x + 2} \)
मान ज्ञात करने पर:
\( A = \frac{5}{3}, \, B = \frac{5}{6}, \, C = -\frac{5}{2} \)
अतः समाकलन:
\( I = \frac{5}{3}\log|x + 1| + \frac{5}{6}\log|x - 2| - \frac{5}{2}\log|x + 2| + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( x^2 - 4 \) को \( (x-2)(x+2) \) में बदलना।
• तीन भिन्न रैखिक गुणनखंडों के लिए आंशिक भिन्न।
• लघुगणकीय समाकलन।

आम गलतियाँ:

• \( x^2 - 4 \) के गुणनखंड गलत लिखना।
• गुणांकों के मान गलत निकालना।

Exam Tips:

a) वर्جو-अंतर सूत्र \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) का प्रयोग करें।
b) भिन्नों के गुणांकों को सरल रखें।
c) मापांक चिन्ह अवश्य लगाएं।

Question 12: \( \frac{x^3 + x + 1}{x^2 - 1} \)

Answer:

अंश की घात (3) हर की घात (2) से अधिक है, अतः पहले भाग देने पर:
\( \frac{x^3 + x + 1}{x^2 - 1} = x + \frac{2x + 1}{x^2 - 1} \)
अब शेष पद के आंशिक भिन्न बनाने पर:
\( \frac{2x + 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} \)
हल करने पर \( A = \frac{3}{2}, \, B = \frac{1}{2} \) (या इसके अनुसार मानक रूप में हल करें):
\( I = \int \left( x + \frac{3/2}{x - 1} + \frac{1/2}{x + 1} \right) dx \)
\( I = \frac{x^2}{2} + \frac{3}{2}\log|x - 1| + \frac{1}{2}\log|x + 1| + C \)

मुख्य बिंदु:

• विषम परिमेय फलन में बहुपदीय भाग देना।
• शेषफल को आंशिक भिन्नों में वियोजित करना।
• प्रत्येक पद का अलग समाकलन।

आम गलतियाँ:

• भाग दिए बिना सीधे आंशिक भिन्न लगाना।
• बहुपद \( x \) का समाकलन भूल जाना।

Exam Tips:

a) अंश की घात बड़ी होने पर सबसे पहले लंबी भाग प्रक्रिया (Long division) करें।
b) प्राप्त बहुपद का समाकलन अलग से करें।
c) सभी चरणों को स्पष्ट लिखें।

Question 13: \( \frac{2}{(1 - x)(1 + x^2)} \)

Answer:

मान लीजिए:
\( \frac{2}{(1 - x)(1 + x^2)} = \frac{A}{1 - x} + \frac{Bx + C}{1 + x^2} \)
\( \Rightarrow 2 = A(1 + x^2) + (Bx + C)(1 - x) \)
गुणांकों की तुलना करने पर:
\( A = 1, \, B = 1, \, C = 1 \)
अतः समाकलन:
\( I = \int \left( \frac{1}{1 - x} + \frac{x + 1}{1 + x^2} \right) dx \)
\( I = -\log|1 - x| + \frac{1}{2}\log|1 + x^2| + \tan^{-1}x + C \)

मुख्य बिंदु:

• द्विघात गुणनखंड \( 1 + x^2 \) के लिए \( Bx + C \) का प्रयोग।
• रैखिक और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का समाकलन।
• \( 1-x \) के समाकलन में ऋणात्मक चिन्ह का ध्यान रखना।

आम गलतियाँ:

• \( 1-x \) के समाकलन में ऋण चिन्ह छोड़ देना।
• द्विघात अंश में केवल \( B \) मानना।

Exam Tips:

a) \( 1-x \) का समाकलन करते समय \( x \) के गुणांक \( -1 \) के कारण ऋण चिन्ह आता है।
b) \( \int \frac{1}{1+x^2} dx \) का मान \( \tan^{-1}x \) होता है।
c) चरणों को ध्यान से हल करें।

Question 14: \( \frac{3x - 1}{(x + 2)^2} \)

Answer:

मान लीजिए:
\( \frac{3x - 1}{(x + 2)^2} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{(x + 2)^2} \)
\( \Rightarrow 3x - 1 = A(x + 2) + B \)
\( \Rightarrow 3x - 1 = Ax + (2A + B) \)
गुणांकों की तुलना करने पर:
\( A = 3 \)
\( 2A + B = -1 \Rightarrow 2(3) + B = -1 \Rightarrow B = -7 \)
अतः समाकलन:
\( I = \int \left( \frac{3}{x + 2} - \frac{7}{(x + 2)^2} \right) dx \)
\( I = 3\log|x + 2| - 7 \left( -\frac{1}{x + 2} \right) + C \)
\( I = 3\log|x + 2| + \frac{7}{x + 2} + C \)

मुख्य बिंदु:

• पुनरावृत्त रैखिक गुणनखंड के लिए आंशिक भिन्न।
• गुणांकों की तुलना से \( A \) और \( B \) ज्ञात करना।
• \( \frac{1}{(x+a)^2} \) का मानक समाकलन।

आम गलतियाँ:

• \( B \) वाले पद का समाकलन लघुगणक के रूप में लिखना।
• \( 2A + B \) की तुलना में गलती करना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के प्रश्नों में आंशिक भिन्न बहुत सरल होती है।
b) घात वाले पद का समाकलन घातांक नियम से करें।
c) उत्तर में चिन्ह का विशेष ध्यान रखें।

Question 15: \( \frac{1}{x^4 - 1} \)

Answer:

हर के गुणनखंड करने पर:
\( x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) \)
आंशिक भिन्न मानने पर:
\( \frac{1}{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{Cx + D}{x^2 + 1} \)
मान ज्ञात करने पर:
\( A = \frac{1}{4}, \, B = -\frac{1}{4}, \, C = 0, \, D = -\frac{1}{2} \)
अतः समाकलन:
\( I = \int \left( \frac{1/4}{x - 1} - \frac{1/4}{x + 1} - \frac{1/2}{x^2 + 1} \right) dx \)
\( I = \frac{1}{4}\log|x - 1| - \frac{1}{4}\log|x + 1| - \frac{1}{2}\tan^{-1}x + C \)
\( I = \frac{1}{4}\log\left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| - \frac{1}{2}\tan^{-1}x + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( x^4 - 1 \) को पूर्ण रूप से गुणनखंडित करना।
• द्विघात गुणनखंड के लिए \( Cx + D \) का प्रयोग।
• लघुगणक और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का संयोजन।

आम गलतियाँ:

• \( x^2 + 1 \) के अंश में केवल \( C \) मानना।
• लघुगणक के गुणों को गलत तरीके से लगाना।

Exam Tips:

a) चतुर्थ घात वाले व्यंजक को पहले दो बार वर्गांतर सूत्र से तोड़ें।
b) सभी गुणांकों को सावधानी से हल करें।
c) अंतिम परिणाम को संक्षिप्त रूप में प्रस्तुत करें।

Question 16: \( \frac{1}{x(x^n + 1)} \) [संकेत: अंश व हर को \( x^{n-1} \) से गुणा कीजिए और \( x^n = t \) रखिए।]

Answer:

अंश व हर को \( x^{n-1} \) से गुणा करने पर:
\( I = \int \frac{x^{n-1}}{x^n(x^n + 1)} dx \)
अब \( x^n = t \) रखने पर, \( nx^{n-1}dx = dt \implies x^{n-1}dx = \frac{dt}{n} \)
अतः समाकलन बनता है:
\( I = \frac{1}{n} \int \frac{1}{t(t + 1)} dt \)
आंशिक भिन्न से: \( \frac{1}{t(t + 1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1} \)
अतः:
\( I = \frac{1}{n} \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1} \right) dt = \frac{1}{n} (\log|t| - \log|t + 1|) + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{1}{n}\log\left| \frac{x^n}{x^n + 1} \right| + C \)

मुख्य बिंदु:

• उचित प्रतिस्थापन \( x^n = t \) का प्रयोग।
• अंश और हर में विशिष्ट पद से गुणा करना।
• आंशिक भिन्न द्वारा समाकलन।

आम गलतियाँ:

• \( n \) के गुणांक को समाकलन में छोड़ देना।
• प्रतिस्थापन वापस रखते समय \( t \) का मान भूल जाना।

Exam Tips:

a) यह एक महत्वपूर्ण मानक प्रतिस्थापन प्रश्न है, इसे अभ्यास में रखें।
b) संकेत का पालन करते हुए अंश और हर दोनों में \( x^{n-1} \) से गुणा करें।
c) अंत में \( t \) का मान प्रतिस्थापित करना न भूलें।

Question 17: \( \frac{\cos x}{(1 - \sin x)(2 - \sin x)} \) [संकेत: \( \sin x = t \) रखिए।]

Answer:

\( \sin x = t \) रखने पर, \( \cos x \, dx = dt \)
अतः समाकलन बनता है:
\( I = \int \frac{dt}{(1 - t)(2 - t)} \)
आंशिक भिन्न मानने पर:
\( \frac{1}{(1 - t)(2 - t)} = \frac{A}{1 - t} + \frac{B}{2 - t} \)
हल करने पर \( A = 1, \, B = -1 \)
अतः:
\( I = \int \left( \frac{1}{1 - t} - \frac{1}{2 - t} \right) dt \)
\( I = -\log|1 - t| - (-\log|2 - t|) + C = \log|2 - t| - \log|1 - t| + C \)
\( t = \sin x \) रखने पर:
\( I = \log\left| \frac{2 - \sin x}{1 - \sin x} \right| + C \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय फलनों के लिए बीजगणितीय प्रतिस्थापन।
• \( \sin x = t \) प्रतिस्थापित करने पर व्यंजक का आंशिक भिन्न में बदलना।
• लघुगणक के गुणों का उपयोग।

आम गलतियाँ:

• \( 1-t \) के समाकलन में \( -1 \) से भाग देना भूल जाना।
• प्रतिस्थापन वापस न रखना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन से प्रश्न सरल बीजगणितीय रूप में बदल जाता है।
b) समाकलन के बाद पुनः \( \sin x \) का मान रखें।
c) मापांक और लघुगणक के नियमों का सही प्रयोग करें।

Question 18: \( \frac{(x^2 + 1)(x^2 + 2)}{(x^2 + 3)(x^2 + 4)} \)

Answer:

दिए गए फलन को लिख सकते हैं:
\( \frac{(x^2 + 1)(x^2 + 2)}{(x^2 + 3)(x^2 + 4)} = \frac{x^4 + 3x^2 + 2}{x^4 + 7x^2 + 12} \)
चूँकि अंश और हर दोनों में घात समान (4) है, भाग देने पर या \( x^2 = y \) मानकर आंशिक भिन्न लगाने पर:
मान लीजिए \( x^2 = t \):
\( \frac{(t + 1)(t + 2)}{(t + 3)(t + 4)} = 1 - \frac{4t + 10}{(t + 3)(t + 4)} \)
आंशिक भिन्न से: \( \frac{4t + 10}{(t + 3)(t + 4)} = \frac{2}{t + 3} + \frac{2}{t + 4} \)
अतः:
\( I = \int \left( 1 - \frac{2}{x^2 + 3} - \frac{2}{x^2 + 4} \right) dx \)
\( I = x - \frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) - \frac{2}{2}\tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \)
\( I = x - \frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( x^2 = t \) प्रतिस्थापित करके फलन को सरल बनाना।
• अंश व हर की घात समान होने पर भाग देना।
• मानक सूत्र \( \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \) का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• बिना भाग दिए सीधे आंशिक भिन्न लगाना।
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सूत्र में \( \frac{1}{a} \) लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में \( x^2 = t \) मानना गणना को बहुत आसान कर देता है।
b) मानक सूत्रों को सावधानी से लागू करें।
c) अंत में \( x \) के पदों में उत्तर दें।

Question 19: \( \frac{2x}{(x^2 + 1)(x^2 + 3)} \)

Answer:

\( x^2 = t \) रखने पर, \( 2x \, dx = dt \)
अतः समाकलन बनता है:
\( I = \int \frac{dt}{(t + 1)(t + 3)} \)
आंशिक भिन्न मानने पर:
\( \frac{1}{(t + 1)(t + 3)} = \frac{A}{t + 1} + \frac{B}{t + 3} \)
मान निकालने पर \( A = \frac{1}{2}, \, B = -\frac{1}{2} \)
अतः:
\( I = \int \left( \frac{1/2}{t + 1} - \frac{1/2}{t + 3} \right) dt \)
\( I = \frac{1}{2}\log|t + 1| - \frac{1}{2}\log|t + 3| + C \)
\( t = x^2 \) रखने पर:
\( I = \frac{1}{2}\log|x^2 + 1| - \frac{1}{2}\log|x^2 + 3| + C = \frac{1}{2}\log\left| \frac{x^2 + 1}{x^2 + 3} \right| + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( x^2 = t \) प्रतिस्थापन का उपयोग।
• सरल रैखिक आंशिक भिन्नों में वियोजन।
• लघुगणक के गुणों का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• प्रतिस्थापन वापस रखते समय \( x^2 \) की जगह केवल \( x \) लिखना।
• गुणांकों में गलती करना।

Exam Tips:

a) \( 2x \, dx \) अंश में होने के कारण \( x^2 = t \) प्रतिस्थापन तुरंत पहचानें।
b) लघुगणक के नियम से उत्तर को संक्षिप्त करें।
c) मापांक चिन्ह का प्रयोग करें।

Question 20: \( \frac{1}{x(x^4 - 1)} \)

Answer:

अंश और हर को \( x^3 \) से गुणा करने पर:
\( I = \int \frac{x^3}{x^4(x^4 - 1)} dx \)
अब \( x^4 = t \) रखने पर, \( 4x^3 \, dx = dt \implies x^3 \, dx = \frac{dt}{4} \)
अतः समाकलन:
\( I = \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t(t - 1)} \)
आंशिक भिन्न से: \( \frac{1}{t(t - 1)} = \frac{-1}{t} + \frac{1}{t - 1} \)
अतः:
\( I = \frac{1}{4} \int \left( \frac{-1}{t} + \frac{1}{t - 1} \right) dt = \frac{1}{4}(-\log|t| + \log|t - 1|) + C \)
\( t = x^4 \) रखने पर:
\( I = \frac{1}{4}\log\left| \frac{x^4 - 1}{x^4} \right| + C \)

मुख्य बिंदु:

• अंश और हर को \( x^3 \) से गुणा करना।
• \( x^4 = t \) प्रतिस्थापन का प्रयोग।
• आंशिक भिन्न विधि से समाकलन।

आम गलतियाँ:

• गुणांक \( \frac{1}{4} \) को छोड़ देना।
• लघुगणक के घटाव को गलत क्रम में लिखना।

Exam Tips:

a) यह प्रश्न प्रश्न 16 के समान ही एक विशिष्ट पैटर्न पर आधारित है।
b) प्रतिस्थापन के बाद समाकलन सरल हो जाता है।
c) अंत में \( x^4 \) का मान प्रतिस्थापित करना न भूलें।

Question 21: \( \frac{1}{(e^x - 1)} \) [संकेत: \( e^x = t \) रखिए।]

Answer:

\( e^x = t \) रखने पर, \( e^x \, dx = dt \implies dx = \frac{dt}{t} \)
अतः समाकलन बनता है:
\( I = \int \frac{1}{(t - 1)} \frac{dt}{t} = \int \frac{dt}{t(t - 1)} \)
आंशिक भिन्न से: \( \frac{1}{t(t - 1)} = \frac{-1}{t} + \frac{1}{t - 1} \)
अतः:
\( I = \int \left( \frac{-1}{t} + \frac{1}{t - 1} \right) dt = -\log|t| + \log|t - 1| + C \)
\( t = e^x \) रखने पर:
\( I = \log|e^x - 1| - \log|e^x| + C = \log|e^x - 1| - x + C \)

मुख्य बिंदु:

• घातांकीय फलन के लिए \( e^x = t \) प्रतिस्थापन।
• आंशिक भिन्नों का उपयोग।
• \( \log(e^x) = x \) गुणधर्म का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• \( dx = \frac{dt}{t} \) रखना भूल जाना।
• \( \log(e^x) \) को सरल न करना।

Exam Tips:

a) प्रतिस्थापन करते समय \( dx \) का मान सावधानी से निकालें।
b) लघुगणक के गुणों का उपयोग करके उत्तर को सरलतम रूप दें।
c) अचर \( C \) जोड़ना न भूलें।

Question 22: \( \int \frac{x \, dx}{(x - 1)(x - 2)} \) बराबर है:
(A) \( \log\left| \frac{(x - 1)^2}{x - 2} \right| + C \)
(B) \( \log\left| \frac{(x - 2)^2}{x - 1} \right| + C \)
(C) \( \log\left| \left(\frac{x - 1}{x - 2}\right)^2 \right| + C \)
(D) \( \log|(x - 1)(x - 2)| + C \)

Answer:

मान लीजिए:
\( \frac{x}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} \)
\( \Rightarrow x = A(x - 2) + B(x - 1) \)
मान निकालने पर \( A = -1, \, B = 2 \)
अतः समाकलन:
\( I = \int \left( \frac{-1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2} \right) dx \)
\( I = -\log|x - 1| + 2\log|x - 2| + C \)
\( I = \log(x - 2)^2 - \log|x - 1| + C = \log\left| \frac{(x - 2)^2}{x - 1} \right| + C \)
अतः विकल्प (B) सही है।

मुख्य बिंदु:

• बहुविकल्पीय प्रश्न में आंशिक भिन्न विधि का प्रयोग।
• लघुगणक के गुणों का उपयोग करके विकल्पों से मिलान करना।
• सही विकल्प (B) का चयन।

आम गलतियाँ:

• \( A \) और \( B \) के मानों को आपस में बदलना।
• लघुगणक की घात को सही ढंग से व्यवस्थित न करना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में उत्तर को विकल्पों के अनुरूप ढालना पड़ता है।
b) सभी गणनाएँ रफ में तेजी से और सही करें।
c) सही विकल्प (B) को चिह्नित करें।

Question 23: \( \int \frac{dx}{x(x^2 + 1)} \) बराबर है:
(A) \( \log|x| - \frac{1}{2}\log(x^2 + 1) + C \)
(B) \( \log|x| + \frac{1}{2}\log(x^2 + 1) + C \)
(C) \( -\log|x| + \frac{1}{2}\log(x^2 + 1) + C \)
(D) \( \frac{1}{2}\log|x| + \log(x^2 + 1) + C \)

Answer:

मान लीजिए:
\( \frac{1}{x(x^2 + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1} \)
\( \Rightarrow 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x \)
गुणांकों की तुलना करने पर:
\( A = 1, \, B = -1, \, C = 0 \)
अतः समाकलन:
\( I = \int \left( \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2 + 1} \right) dx \)
\( I = \log|x| - \frac{1}{2}\log|x^2 + 1| + C \)
अतः विकल्प (A) सही है।

मुख्य बिंदु:

• द्विघात गुणनखंड के लिए आंशिक भिन्न का मानक रूप।
• गुणांकों की तुलना से \( A = 1, B = -1, C = 0 \) प्राप्त करना।
• लघुगणकीय समाकलन का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• \( x^2+1 \) के अंश में केवल \( B \) लिखना।
• \( \int \frac{x}{x^2+1}dx \) में \( \frac{1}{2} \) से गुणा करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) आंशिक भिन्न के प्रारूप को हमेशा सही लिखें।
b) समाकलन के बाद लघुगणक के गुणों की जाँच करें।
c) सही विकल्प (A) चुनें।