NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 07 Integrals (समाकलन) Exercise 7.4 in Hindi

Question 1: \( \frac{3x^2}{x^6 + 1} \)

Answer:

माना \( x^3 = t \)
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
\( 3x^2 dx = dt \)
दिए गए समाकल को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( I = \int \frac{3x^2}{x^6 + 1} dx \)
\( I = \int \frac{dt}{t^2 + 1} \)
मानक समाकलन सूत्र \( \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \tan^{-1} t + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \tan^{-1}(x^3) + C \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिस्थापन विधि का उचित चयन किया गया है।
• \( x^3 = t \) प्रतिस्थापित करने पर अंश में \( 3x^2 dx \) प्राप्त होता है।
• मानक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( x^6 \) को \( (x^3)^2 \) के रूप में न लिखना।
• प्रतिस्थापन के समय \( dx \) को भूल जाना।
• समाकलन स्थिरांक \( + C \) न लगाना।

Exam Tips:

a) हमेशा जाँच लें कि प्रतिस्थापन करने पर व्यंजक सरल हो रहा है या नहीं।
b) मानक सूत्रों को स्पष्ट रूप से लिखें।
c) अंतिम उत्तर में मूल चर \( x \) को अवश्य प्रतिस्थापित करें।

Question 2: \( \frac{1}{\sqrt{1 + 4x^2}} \)

Answer:

माना \( 2x = t \)
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
\( 2 dx = dt \implies dx = \frac{1}{2} dt \)
दिए गए समाकल में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{1}{\sqrt{1 + 4x^2}} dx \)
\( I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} dt \)
मानक सूत्र \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \log |x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \frac{1}{2} \log |t + \sqrt{t^2 + 1}| + C \)
\( t = 2x \) का मान रखने पर:
\( I = \frac{1}{2} \log |2x + \sqrt{4x^2 + 1}| + C \)

मुख्य बिंदु:

• रैखिक फलन के गुणांक से भाग देना आवश्यक है।
• वर्गमूल वाले मानक समाकलन सूत्रों का सही अनुप्रयोग किया गया है।
• लॉगरिथम के गुणों का ध्यान रखना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• \( 2x \) का अवकलन करने पर प्राप्त गुणांक \( \frac{1}{2} \) से भाग देना भूल जाना।
• मापांक चिह्न \( | | \) का प्रयोग न करना।

Exam Tips:

a) चरों के गुणांक को हमेशा समाकलन के बाहर गुणा या भाग के रूप में ठीक से व्यवस्थित करें।
b) सूत्र लिखते समय सटीकता बरतें।
c) मापांक चिह्नों का प्रयोग न भूलें।

Question 3: \( \frac{1}{\sqrt{(2 - x)^2 + 1}} \)

Answer:

माना \( 2 - x = t \)
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
\( -dx = dt \implies dx = -dt \)
दिए गए समाकल में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{1}{\sqrt{(2 - x)^2 + 1}} dx \)
\( I = -\int \frac{1}{\sqrt{t^2 + 1}} dt \)
मानक सूत्र का प्रयोग करने पर:
\( I = -\log |t + \sqrt{t^2 + 1}| + C \)
\( t = 2 - x \) का मान रखने पर:
\( I = -\log |2 - x + \sqrt{(2 - x)^2 + 1}| + C \)
\( I = \log \left| \frac{1}{2 - x + \sqrt{x^2 - 4x + 5}} \right| + C \)

मुख्य बिंदु:

• ऋणात्मक चिह्न का सही प्रबंधन किया गया है।
• व्यंजक को मानक रूप में बदला गया है।
• लघुगणक के गुणों का उपयोग करके उत्तर को सरल किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( dx = -dt \) में ऋणात्मक चिह्न को छोड़ देना।
• कोष्ठकों और मापांक को गलत लगाना।

Exam Tips:

a) प्रतिस्थापन के दौरान ऋणात्मक चिन्हों का विशेष ध्यान रखें।
b) लघुगणक के नियम \( -\log x = \log(x^{-1}) \) का अभ्यास करें।
c) अंतिम चरण की गणना साफ-सुथरी होनी चाहिए।

Question 4: \( \frac{1}{\sqrt{9 - 25x^2}} \)

Answer:

माना \( 5x = t \)
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
\( 5 dx = dt \implies dx = \frac{1}{5} dt \)
दिए गए समाकल में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{1}{\sqrt{9 - 25x^2}} dx \)
\( I = \frac{1}{5} \int \frac{1}{\sqrt{3^2 - t^2}} dt \)
मानक सूत्र \( \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \frac{1}{5} \sin^{-1}\left(\frac{t}{3}\right) + C \)
\( t = 5x \) का मान रखने पर:
\( I = \frac{1}{5} \sin^{-1}\left(\frac{5x}{3}\right) + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( 9 \) को \( 3^2 \) और \( 25x^2 \) को \( (5x)^2 \) लिखा गया है।
• प्रतिस्थापन के बाद \( \sin^{-1} \) का मानक सूत्र लगाया गया है।
• \( x \) के गुणांक \( 5 \) से भाग दिया गया है।

आम गलतियाँ:

• अचल राशि \( 9 \) का वर्गमूल ठीक से न पहचानना।
• \( \frac{1}{5} \) से गुणा करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) अचर पद और चर पद दोनों को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें।
b) \( \sin^{-1} \) और \( \tan^{-1} \) वाले सूत्रों में भ्रमित न हों।
c) प्रत्येक चरण को क्रमिक रूप से हल करें।

Question 5: \( \frac{3x}{1 + 2x^4} \)

Answer:

माना \( \sqrt{2}x^2 = t \)
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
\( 2\sqrt{2}x dx = dt \implies x dx = \frac{1}{2\sqrt{2}} dt \)
दिए गए समाकल में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{3x}{1 + 2x^4} dx \)
\( I = \frac{3}{2\sqrt{2}} \int \frac{1}{1 + t^2} dt \)
मानक सूत्र का प्रयोग करने पर:
\( I = \frac{3}{2\sqrt{2}} \tan^{-1}(t) + C \)
\( t = \sqrt{2}x^2 \) का मान रखने पर:
\( I = \frac{3}{2\sqrt{2}} \tan^{-1}(\sqrt{2}x^2) + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( 2x^4 \) को \( (\sqrt{2}x^2)^2 \) के रूप में व्यक्त किया गया है।
• अंश में \( x \) होने के कारण उपयुक्त प्रतिस्थापन किया गया है।
• \( \tan^{-1} \) का मानक सूत्र प्रयोग हुआ है।

आम गलतियाँ:

• \( 2x^4 \) का सीधा प्रतिस्थापन \( t = x^2 \) की बजाय गलत करना।
• अचर गुणांक को बाहर निकालने में गलती करना।

Exam Tips:

a) हर में दी गई घात को देखकर अंश का अवकलन पहचानें।
b) वर्गमूल और स्थिरांक की गणना सावधानी से करें।
c) उत्तर को सरलतम रूप में छोड़ें।

Question 6: \( \frac{x^2}{1 - x^6} \)

Answer:

माना \( x^3 = t \)
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
\( 3x^2 dx = dt \implies x^2 dx = \frac{1}{3} dt \)
दिए गए समाकल में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{x^2}{1 - x^6} dx \)
\( I = \frac{1}{3} \int \frac{1}{1 - t^2} dt \)
आंशिक भिन्न या मानक सूत्र \( \int \frac{1}{a^2 - x^2} dx = \frac{1}{2a} \log\left|\frac{a+x}{a-x}\right| \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2} \log\left|\frac{1+t}{1-t}\right| \right] + C \)
\( I = \frac{1}{6} \log\left|\frac{1+t}{1-t}\right| + C \)
\( t = x^3 \) का मान रखने पर:
\( I = \frac{1}{6} \log\left|\frac{1+x^3}{1-x^3}\right| + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( x^6 \) को \( (x^3)^2 \) लिखा गया है।
• मानक समाकलन सूत्र \( \int \frac{1}{a^2 - x^2} dx \) का उपयोग किया गया है।
• गुणांक \( \frac{1}{6} \) को सही से प्राप्त किया गया है।

आम गलतियाँ:

• सूत्र में \( a^2 - x^2 \) के स्थान पर \( x^2 - a^2 \) का सूत्र लगा देना।
• \( \frac{1}{2a} \) वाले पद को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) हर के चरों के क्रम (जैसे \( 1 - t^2 \) और \( t^2 - 1 \)) पर विशेष ध्यान दें।
b) लघुगणकीय समाकलन सूत्रों को अच्छी तरह याद रखें।
c) अंतिम चरण में प्रतिस्थापन वापस रखना न भूलें।

Question 7: \( \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 1}} \)

Answer:

दिए गए व्यंजक को अलग-अलग करने पर:
\( I = \int \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 1}} dx \)
\( I = \int \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} dx - \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} dx \quad \text{--- (1)} \)
प्रथम भाग के लिए, माना \( x^2 - 1 = t \)
अवकलन करने पर: \( 2x dx = dt \implies x dx = \frac{1}{2} dt \)
\( \int \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} [2\sqrt{t}] = \sqrt{t} = \sqrt{x^2 - 1 \)
समीकरण (1) में मान रखने पर:
\( I = \sqrt{x^2 - 1} - \log |x + \sqrt{x^2 - 1}| + C \)

मुख्य बिंदु:

• अंश को दो अलग-अलग समाकलनों में विभाजित किया गया है।
• पहले भाग के लिए प्रतिस्थापन और दूसरे भाग के लिए प्रत्यक्ष मानक सूत्र का प्रयोग हुआ है।
• दोनों भागों के परिणामों को संयोजित किया गया है।

आम गलतियाँ:

• दोनों पदों के साथ हर को अलग न करना।
• मानक सूत्र का गलत चयन करना।

Exam Tips:

a) जब अंश में द्विपद हो और हर में एकपद या वर्गमूल हो, तो अंश को अलग-अलग करके हल करना आसान होता है।
b) प्रत्येक समाकलन को अलग से हल करके अंत में जोड़ें।
c) संपूर्ण उत्तर के लिए एक ही बार स्थिरांक \( C \) जोड़ें।

Question 8: \( \frac{x^2}{\sqrt{x^6 + a^6}} \)

Answer:

माना \( x^3 = t \)
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
\( 3x^2 dx = dt \implies x^2 dx = \frac{1}{3} dt \)
दिए गए समाकल में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{x^2}{\sqrt{x^6 + a^6}} dx \)
\( I = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{t^2 + (a^3)^2}} dt \)
मानक सूत्र \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \log |x + \sqrt{x^2 + a^2}| \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \frac{1}{3} \log |t + \sqrt{t^2 + (a^3)^2}| + C \)
\( t = x^3 \) का मान रखने पर:
\( I = \frac{1}{3} \log |x^3 + \sqrt{x^6 + a^6}| + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( x^6 \) को \( (x^3)^2 \) और \( a^6 \) को \( (a^3)^2 \) लिखा गया है।
• प्रतिस्थापन विधि से व्यंजक को मानक रूप में बदला गया है।
• लघुगणकीय समाकलन सूत्र का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( a^6 \) को अचर मानते समय उसकी घात का सही वर्गमूल रूप न लिखना।
• \( \frac{1}{3} \) गुणांक को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) अचर पदों को भी चर की घात के रूप में व्यवस्थित करें।
b) लघुगणक के भीतर के पदों को सावधानीपूर्वक उतारें।
c) परीक्षा में सभी चरण स्पष्ट लिखें।

Question 9: \( \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan^2 x + 4}} \)

Answer:

माना \( \tan x = t \)
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
\( \sec^2 x dx = dt \)
दिए गए समाकल में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan^2 x + 4}} dx \)
\( I = \int \frac{1}{\sqrt{t^2 + 2^2}} dt \)
मानक सूत्र का प्रयोग करने पर:
\( I = \log |t + \sqrt{t^2 + 2^2}| + C \)
\( t = \tan x \) का मान रखने पर:
\( I = \log |\tan x + \sqrt{\tan^2 x + 4}| + C \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय फलनों के लिए उचित प्रतिस्थापन \( \tan x = t \) किया गया है।
• \( \sec^2 x dx \) का प्रतिस्थापन \( dt \) से हो जाता है।
• मानक सूत्र का सीधा प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \tan x \) के अवकलन को गलत लिखना।
• \( 4 \) को \( 2^2 \) के रूप में न समझना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय समाकलन में पहले देखें कि किस फलन का अवकलन मौजूद है।
b) त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का आवश्यकतानुसार उपयोग करें।
c) अंतिम उत्तर को त्रिकोणमितीय पदों में ही छोड़ें।

Question 10: \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 4}} \)

Answer:

हर को पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( x^2 + 2x + 4 = (x^2 + 2x + 1) + 3 = (x + 1)^2 + (\sqrt{3})^2 \)
दिए गए समाकल को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( I = \int \frac{1}{\sqrt{(x + 1)^2 + 3}} dx \)
माना \( x + 1 = t \implies dx = dt \)
\( I = \int \frac{1}{\sqrt{t^2 + (\sqrt{3})^2}} dt \)
मानक सूत्र का प्रयोग करने पर:
\( I = \log |t + \sqrt{t^2 + 3}| + C \)
\( t = x + 1 \) का मान रखने पर:
\( I = \log |(x + 1) + \sqrt{x^2 + 2x + 4}| + C \)

मुख्य बिंदु:

• द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग विधि (Completing the square) द्वारा हल किया गया है।
• रैखिक पद के परिवर्तन के लिए प्रतिस्थापन का उपयोग हुआ है।
• मानक लघुगणकीय सूत्र का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• पूर्ण वर्ग बनाते समय अचर पद को जोड़ने और घटाने में गलती करना।
• \( \sqrt{3} \) के स्थान पर सीधे \( 3 \) लिख देना।

Exam Tips:

a) द्विघात व्यंजक वाले प्रश्नों में पूर्ण वर्ग विधि का अभ्यास बार-बार करें।
b) मध्य पद के आधे का वर्ग जोड़ें और घटाएं।
c) अंतिम उत्तर में मूल व्यंजक को वापस प्रतिस्थापित करना न भूलें।

Question 11: \( \frac{1}{9x^2 + 6x + 5} \)

Answer:

हर को पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( 9x^2 + 6x + 5 = (3x + 1)^2 + 4 = (3x + 1)^2 + 2^2 \)
दिए गए समाकल में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{1}{(3x + 1)^2 + 2^2} dx \)
माना \( 3x + 1 = t \implies 3dx = dt \implies dx = \frac{1}{3} dt \)
\( I = \frac{1}{3} \int \frac{1}{t^2 + 2^2} dt \)
मानक सूत्र \( \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{t}{2}\right) \right] + C \)
\( I = \frac{1}{6} \tan^{-1}\left(\frac{3x + 1}{2}\right) + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( 9x^2 + 6x + 5 \) को \( (3x+1)^2 + 2^2 \) के रूप में बदला गया है।
• \( x \) के गुणांक \( 3 \) से भाग दिया गया है।
• प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangent) का सूत्र उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( 3x \) के गुणांक से भाग देना भूल जाना।
• पूर्ण वर्ग बनाते समय अचर पद की गणना में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) जब \( x^2 \) का गुणांक 1 न हो, तो उसे पूर्ण वर्ग बनाते समय सावधानी बरतें।
b) प्रतिस्थापन के बाद गुणांकों को बाहर लिखना न भूलें।
c) सूत्रों के अचर मानों (जैसे \( a = 2 \)) को सही से पहचानें।

Question 12: \( \frac{1}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} \)

Answer:

हर के द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( 7 - 6x - x^2 = 7 - (x^2 + 6x + 9 - 9) = 7 - ((x + 3)^2 - 9) = 16 - (x + 3)^2 = 4^2 - (x + 3)^2 \)
दिए गए समाकल में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{1}{\sqrt{4^2 - (x + 3)^2}} dx \)
माना \( x + 3 = t \implies dx = dt \)
\( I = \int \frac{1}{\sqrt{4^2 - t^2}} dt \)
मानक सूत्र \( \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \sin^{-1}\left(\frac{t}{4}\right) + C \)
\( t = x + 3 \) का मान रखने पर:
\( I = \sin^{-1}\left(\frac{x + 3}{4}\right) + C \)

मुख्य बिंदु:

• ऋणात्मक \( x^2 \) वाले व्यंजक में माइनस चिह्न बाहर लेकर पूर्ण वर्ग बनाया गया है।
• \( 16 - (x+3)^2 \) रूप प्राप्त किया गया है।
• \( \sin^{-1} \) का मानक सूत्र लगाया गया है।

आम गलतियाँ:

• कोष्ठک खोलते समय चिह्न की गलती करना।
• अचर पद का वर्गमूल सही न लिखना।

Exam Tips:

a) जब \( x^2 \) का गुणांक ऋणात्मक हो, तो कोष्ठक के अंदर के चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।
b) मानक सूत्र \( \sin^{-1} \) का प्रयोग करते समय हर में \( a \) को न भूलें।
c) गणना को क्रمबद्ध तरीके से हल करें।

Question 13: \( \frac{1}{\sqrt{(x - 1)(x - 2)}} \)

Answer:

दिए गए व्यंजक के गुणनखंडों को गुणा करने पर:
\( (x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2 \)
इसे पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( x^2 - 3x + 2 = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} + 2 = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)
दिए गए समाकल में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{1}{\sqrt{\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}} dx \)
माना \( x - \frac{3}{2} = t \implies dx = dt \)
\( I = \int \frac{1}{\sqrt{t^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}} dt \)
मानक सूत्र का प्रयोग करने पर:
\( I = \log \left| t + \sqrt{t^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} \right| + C \)
\( t = x - \frac{3}{2} \) का मान रखने पर:
\( I = \log \left| \left(x - \frac{3}{2}\right) + \sqrt{x^2 - 3x + 2} \right| + C \)

मुख्य बिंदु:

• दो गुणनखंडों के गुणनफल को द्विघात समीकरण में बदला गया है।
• भिन्नात्मक पदों के साथ पूर्ण वर्ग विधि का प्रयोग किया गया है।
• लघुगणकीय मानक सूत्र का उपयोग हुआ है।

आम गलतियाँ:

• भिन्नों के वर्ग (जैसे \( \frac{9}{4} \) और \( \frac{1}{4} \)) को हल करने में गलती करना।
• कोष्ठकों के भीतर सही मान न रखना।

Exam Tips:

a) अंश और हर के बीजगणितीय व्यंजकों को पहले सरल करें।
b) भिन्नों की जोड़-घटाव में सावधानी बरतें।
c) अंतिम उत्तर को मूल चरों के रूप में सुव्यवस्थित करें।

Question 14: \( \frac{1}{\sqrt{8 + 3x - x^2}} \)

Answer:

हर के व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( 8 + 3x - x^2 = 8 - (x^2 - 3x) = 8 - \left(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}\right) \)
\( = 8 + \frac{9}{4} - \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{41}{4} - \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{41}}{2}\right)^2 - \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 \)
दिए गए समाकल में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{41}}{2}\right)^2 - \left(x - \frac{3}{2}\right)^2}} dx \)
माना \( x - \frac{3}{2} = t \implies dx = dt \)
\( I = \int \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{41}}{2}\right)^2 - t^2}} dt \)
मानक सूत्र का प्रयोग करने पर:
\( I = \sin^{-1}\left(\frac{t}{\frac{\sqrt{41}}{2}}\right) + C \)
\( t = x - \frac{3}{2} \) का मान रखने पर:
\( I = \sin^{-1}\left(\frac{2x - 3}{\sqrt{41}}\right) + C \)

मुख्य बिंदु:

• द्विघात व्यंजक में \( x^2 \) का गुणांक ऋणात्मक होने पर कोष्ठક का सही प्रयोग किया गया है।
• अचर पद \( \frac{41}{4} \) को \( \left(\frac{\sqrt{41}}{2}\right)^2 \) लिखा गया है।
• \( \sin^{-1} \) का मानक सूत्र लगाया गया है।

आम गलतियाँ:

• लघुतम समापवर्त्य (LCM) लेते समय अशुद्धि करना।
• \( \sin^{-1} \) के अंदर भिन्नों को सरल करते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) वर्गमूल के अंदर की भिन्नों को हल करते समय शांत चित्त रहें।
b) प्रतिस्थापन के बाद चरों के मान स्पष्ट रखें।
c) अंतिम भिन्न को अंश और हर में समायोजित करें।

Question 15: \( \frac{1}{\sqrt{(x - a)(x - b)}} \)

Answer:

दिए गए व्यंजक को गुणा करने पर:
\( (x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab \)
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( x^2 - (a + b)x + ab = \left(x - \frac{a + b}{2}\right)^2 - \frac{(a + b)^2}{4} + ab \)
\( = \left(x - \frac{a + b}{2}\right)^2 - \frac{(a - b)^2}{4} = \left(x - \frac{a + b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 \)
दिए गए समाकल में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{1}{\sqrt{\left(x - \frac{a + b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2}} dx \)
माना \( x - \frac{a + b}{2} = t \implies dx = dt \)
\( I = \int \frac{1}{\sqrt{t^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2}} dt \)
मानक सूत्र का प्रयोग करने पर:
\( I = \log \left| t + \sqrt{t^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2} \right| + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \log \left| \left(x - \frac{a + b}{2}\right) + \sqrt{(x - a)(x - b)} \right| + C \)

मुख्य बिंदु:

• अचर चरों \( a \) और \( b \) के पदों में पूर्ण वर्ग विधि का व्यापक रूप प्रयोग किया गया है।
• \( \frac{(a+b)^2}{4} - ab = \frac{(a-b)^2}{4} \) बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग हुआ है।
• लघुगणकीय मानक सूत्र लागू किया गया है।

आम गलतियाँ:

• बीजगणितीय पदों के विस्तार में चिह्न की भूल करना।
• लघुगणक के अंदर के व्यंजक को सरल न करना।

Exam Tips:

a) ऐसे व्यापक (general) प्रश्नों को प्रतीकों के साथ हल करने का अभ्यास करें।
b) चरणों के बीच बीजगणितीय पहचानों (identities) का सही उल्लेख करें।
c) अंत में मूल रूप में उत्तर व्यक्त करें।

Question 16: \( \frac{4x + 1}{\sqrt{2x^2 + x - 3}} \)

Answer:

माना अंश = \( A \times \frac{d}{dx}(\text{हर}) + B \)
\( 4x + 1 = A \frac{d}{dx}(2x^2 + x - 3) + B \)
\( 4x + 1 = A(4x + 1) + B \implies 4x + 1 = 4Ax + A + B \)
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
\( 4A = 4 \implies A = 1 \)
\( A + B = 1 \implies 1 + B = 1 \implies B = 0 \) अतः \( 4x + 1 = 1(4x + 1) + 0 \)
दिए गए समाकल को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( I = \int \frac{4x + 1}{\sqrt{2x^2 + x - 3}} dx \)
माना \( 2x^2 + x - 3 = t \implies (4x + 1)dx = dt \)
\( I = \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = \int t^{-1/2} dt = \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{t} + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = 2\sqrt{2x^2 + x - 3} + C \)

मुख्य बिंदु:

• अंश को हर के अवकलन के रूप में व्यक्त करने की विधि (Linear over Quadratic form) का प्रयोग किया गया है।
• गुणांकों की तुलना करके \( A \) और \( B \) के मान निकाले गए हैं।
• प्रतिस्थापन विधि से समाकलन आसान हो गया है।

आम गलतियाँ:

• अवकलन निकालते समय पदों को छोड़ देना।
• \( A \) और \( B \) के मान गलत तुलना करके निकालना।

Exam Tips:

a) जब अंश रैखिक और हर वर्गमूल के अंदर द्विघात हो, तो हमेशा इस विशेष विधि का प्रयोग करें।
b) गुणांकों की तुलना सावधानी से करें।
c) समाकलन के पश्चात मूल फलन प्रतिस्थापित करना न भूलें।

Question 17: \( \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 - 1}} \)

Answer:

अंश को हर के अवकलन के रूप में लिखने पर:
\( x + 2 = A \frac{d}{dx}(x^2 - 1) + B \)
\( x + 2 = A(2x) + B \implies x + 2 = 2Ax + B \)
गुणांकों की तुलना करने पर:
\( 2A = 1 \implies A = \frac{1}{2} \)
\( B = 2 \)
अतः \( x + 2 = \frac{1}{2}(2x) + 2 \)
दिए गए समाकल को दो भागों में विभाजित करने पर:
\( I = \int \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 - 1}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{\sqrt{x^2 - 1}} dx + 2 \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} dx \)
प्रथम भाग के लिए \( x^2 - 1 = t \) मानने पर \( 2x dx = dt \):
\( I_1 = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} [2\sqrt{t}] = \sqrt{x^2 - 1} \)
द्वितीय भाग के लिए मानक सूत्र का प्रयोग करने पर:
\( I_2 = 2 \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} dx = 2 \log |x + \sqrt{x^2 - 1}| \)
अतः कुल समाकल:
\( I = \sqrt{x^2 - 1} + 2 \log |x + \sqrt{x^2 - 1}| + C \)

मुख्य बिंदु:

• अंश को \( A(\text{Derivative}) + B \) के रूप में तोड़ा गया है।
• समाकल को दो अलग-अलग भागों में विभाजित किया गया है।
• एक भाग में प्रतिस्थापन और दूसरे में मानक सूत्र का प्रयोग हुआ है।

आम गलतियाँ:

• \( A \) और \( B \) के मान ज्ञात करने में गलती करना।
• दोनों भागों के परिणामों को जोड़ते समय गुणांक छोड़ देना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में सबसे पहले अंश को हर के अवकलन के पदों में तोड़ें।
b) दोनों समाकलनों को अलग-अलग हल करके अंत में जोड़ें।
c) प्रत्येक पद के गुणांकों का विशेष ध्यान रखें।

Question 18: \( \frac{5x - 2}{1 + 2x + 3x^2} \)

Answer:

अंश को हर के अवकलन के रूप में लिखने पर:
\( 5x - 2 = A \frac{d}{dx}(1 + 2x + 3x^2) + B \)
\( 5x - 2 = A(2 + 6x) + B \implies 5x - 2 = 6Ax + (2A + B) \)
गुणांकों की तुलना करने पर:
\( 6A = 5 \implies A = \frac{5}{6} \)
\( 2A + B = -2 \implies 2\left(\frac{5}{6}\right) + B = -2 \implies \frac{5}{3} + B = -2 \implies B = -2 - \frac{5}{3} = -\frac{11}{3} \)
अतः व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( I = \int \frac{5x - 2}{1 + 2x + 3x^2} dx = \frac{5}{6} \int \frac{2 + 6x}{1 + 2x + 3x^2} dx - \frac{11}{3} \int \frac{1}{1 + 2x + 3x^2} dx \)
प्रथम समाकल \( I_1 = \frac{5}{6} \log |1 + 2x + 3x^2| \)
द्वितीय समाकल \( I_2 \) के लिए हर को पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( 1 + 2x + 3x^2 = 3\left(x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}\right) = 3\left[\left(x + \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{2}{9}\right] = 3\left[\left(x + \frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2\right] \)
इसे हल करने पर:
\( I_2 = \frac{11}{3 \times 3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{x + 1/3}{\sqrt{2}/3}\right) = \frac{11}{3\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{3x + 1}{\sqrt{2}}\right) \)
अतः पूर्ण हल:
\( I = \frac{5}{6} \log |1 + 2x + 3x^2| - \frac{11}{3\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{3x + 1}{\sqrt{2}}\right) + C \)

मुख्य बिंदु:

• अंश को हर के अवकलन और अचर पद के योग के रूप में व्यवस्थित किया गया है।
• हर के द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाया गया है।
• लघुगणक और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय दोनों सूत्रों का उपयोग हुआ है।

आम गलतियाँ:

• \( A \) और \( B \) के भिन्नात्मक मान निकालते समय कैलकुलेशन की गलती करना।
• पूर्ण वर्ग बनाते समय \( 3 \) को बाहर लेना भूल जाना।

Exam Tips:

a) दीर्घ उत्तरीय प्रश्नों में प्रत्येक चरण को बहुत सावधानी से हल करें।
b) लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) की गणना में गलती न करें।
c) दोनों भागों के समाकलन को अंत में एक साथ लिखें।

Question 19: \( \frac{6x + 7}{\sqrt{(x - 5)(x - 4)}} \)

Answer:

हर के व्यंजक को गुणा करने पर:
\( (x - 5)(x - 4) = x^2 - 9x + 20 \)
अंश को हर के अवकलन के रूप में लिखने पर:
\( 6x + 7 = A \frac{d}{dx}(x^2 - 9x + 20) + B \)
\( 6x + 7 = A(2x - 9) + B \implies 6x + 7 = 2Ax + (-9A + B) \)
गुणांकों की तुलना करने पर:
\( 2A = 6 \implies A = 3 \)
\( -9A + B = 7 \implies -9(3) + B = 7 \implies -27 + B = 7 \implies B = 34 \)
अतः व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( I = \int \frac{6x + 7}{\sqrt{x^2 - 9x + 20}} dx = 3 \int \frac{2x - 9}{\sqrt{x^2 - 9x + 20}} dx + 34 \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9x + 20}} dx \)
प्रथम समाकल \( I_1 = 3 \times 2\sqrt{x^2 - 9x + 20} = 6\sqrt{x^2 - 9x + 20} \)
द्वितीय समाकल \( I_2 \) के लिए हर को पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( x^2 - 9x + 20 = \left(x - \frac{9}{2}\right)^2 - \frac{81}{4} + 20 = \left(x - \frac{9}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} = \left(x - \frac{9}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)
अतः द्वितीय समाकल:
\( I_2 = 34 \log \left| \left(x - \frac{9}{2}\right) + \sqrt{x^2 - 9x + 20} \right| \)
कुल हल:
\( I = 6\sqrt{x^2 - 9x + 20} + 34 \log \left| x - \frac{9}{2} + \sqrt{x^2 - 9x + 20} \right| + C \)

मुख्य बिंदु:

• गुणनखंडों को गुणा करके द्विघात समीकरण बनाई गई है।
• अंश को हर के अवकलन के रूप में विभाजित किया गया है।
• वर्गमूल वाले द्विघात व्यंजक के लिए पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग हुआ है।

आम गलतियाँ:

• \( A \) और \( B \) के मान निकालते समय ऋणात्मक चिह्नों में भ्रमित होना।
• पूर्ण वर्ग विधि में भिन्नों की गणना में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) ऐसे बड़े प्रश्नों को भागों (\( I_1 \) और \( I_2 \)) में बांटकर हल करना अधिक सुरक्षित है।
b) हर चरण में बराबर के चिह्नों को नई पंक्ति में लिखकर स्पष्टता बनाए रखें।
c) अंत में दोनों भागों के उत्तर को संयोजित करें।

Question 20: \( \frac{x + 2}{\sqrt{4x - x^2}} \)

Answer:

अंश को हर के अवकलन के रूप में लिखने पर:
\( x + 2 = A \frac{d}{dx}(4x - x^2) + B \)
\( x + 2 = A(4 - 2x) + B \implies x + 2 = -2Ax + (4A + B) \)
गुणांकों की तुलना करने पर:
\( -2A = 1 \implies A = -\frac{1}{2} \)
\( 4A + B = 2 \implies 4\left(-\frac{1}{2}\right) + B = 2 \implies -2 + B = 2 \implies B = 4 \)
अतः व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( I = \int \frac{x + 2}{\sqrt{4x - x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{4 - 2x}{\sqrt{4x - x^2}} dx + 4 \int \frac{1}{\sqrt{4x - x^2}} dx \)
प्रथम समाकल:
\( I_1 = -\frac{1}{2} \times 2\sqrt{4x - x^2} = -\sqrt{4x - x^2} \)
द्वितीय समाकल के लिए हर को पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( 4x - x^2 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) = 4 - (x - 2)^2 = 2^2 - (x - 2)^2 \)
अतः द्वितीय समाकल:
\( I_2 = 4 \int \frac{1}{\sqrt{2^2 - (x - 2)^2}} dx = 4 \sin^{-1}\left(\frac{x - 2}{2}\right) \)
कुल हल:
\( I = -\sqrt{4x - x^2} + 4 \sin^{-1}\left(\frac{x - 2}{2}\right) + C \)

मुख्य बिंदु:

• अंश को हर के अवकलन के रूप में तोड़ा गया है जहाँ \( A \) का मान ऋणात्मक है।
• वर्गमूल के अंदर \( x^2 \) का गुणांक ऋ होने के कारण पूर्ण वर्ग विधि में विशेष सावधानी बरती गई है।
• \( \sin^{-1} \) मानक सूत्र का प्रयोग हुआ है।

आम गलतियाँ:

• अवकलन करते समय \( -x^2 \) का अवकलन \( -2x \) न लिखकर \( 2x \) लिख देना।
• पूर्ण वर्ग बनाते समय अचर पद जोड़ना/घटाना भूल जाना।

Exam Tips:

a) ऋणात्मक अवकलन वाले पदों में चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।
b) प्रत्येक भाग को अलग से हल करके स्पष्ट रूप से दिखाएं।
c) अंतिम उत्तर में सभी गुणांकों को सही रूप में व्यवस्थित करें।

Question 21: \( \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \)

Answer:

अंश को हर के अवकलन के रूप में लिखने पर:
\( x + 2 = A \frac{d}{dx}(x^2 + 2x + 3) + B \)
\( x + 2 = A(2x + 2) + B \implies x + 2 = 2Ax + (2A + B) \)
गुणांकों की तुलना करने पर:
\( 2A = 1 \implies A = \frac{1}{2} \)
\( 2A + B = 2 \implies 2\left(\frac{1}{2}\right) + B = 2 \implies 1 + B = 2 \implies B = 1 \)
अतः समाकल को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( I = \int \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x + 2}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} dx \)
प्रथम समाकल:
\( I_1 = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{x^2 + 2x + 3} = \sqrt{x^2 + 2x + 3} \)
द्वितीय समाकल के लिए हर को पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2 = (x + 1)^2 + (\sqrt{2})^2 \)
अतः द्वितीय समाकल:
\( I_2 = \int \frac{1}{\sqrt{(x + 1)^2 + (\sqrt{2})^2}} dx = \log \left| (x + 1) + \sqrt{x^2 + 2x + 3} \right| \)
कुल हल:
\( I = \sqrt{x^2 + 2x + 3} + \log \left| (x + 1) + \sqrt{x^2 + 2x + 3} \right| + C \)

मुख्य बिंदु:

• अंश को \( A(\text{Derivative}) + B \) के रूप में विभाजित किया गया है।
• प्रथम भाग का समाकल सीधे \( 2\sqrt{\text{हर}} \) प्राप्त होता है।
• द्वितीय भाग में लघुगणकीय मानक सूत्र का प्रयोग हुआ है।

आम गलतियाँ:

• गुणांकों की तुलना में छोटी-मोटी गणना त्रुटि करना।
• पूर्ण वर्ग बनाते समय \( \sqrt{2} \) के स्थान पर \( 2 \) लिख देना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के रैखिक बटे वर्गमूल द्विघात वाले प्रश्न बोर्ड परीक्षा में अक्सर आते हैं, अतः इनका अभ्यास पक्का करें।
b) प्रत्येक चरण को साफ-सुथरा लिखें।
c) अंत में स्थिरांक \( + C \) जोड़ना न भूलें।

Question 22: \( \frac{x + 3}{x^2 - 2x - 5} \)

Answer:

अंश को हर के अवकलन के रूप में लिखने पर:
\( x + 3 = A \frac{d}{dx}(x^2 - 2x - 5) + B \)
\( x + 3 = A(2x - 2) + B \implies x + 3 = 2Ax + (-2A + B) \)
गुणांकों की तुलना करने पर:
\( 2A = 1 \implies A = \frac{1}{2} \)
\( -2A + B = 3 \implies -2\left(\frac{1}{2}\right) + B = 3 \implies -1 + B = 3 \implies B = 4 \)
अतः समाकल को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( I = \int \frac{x + 3}{x^2 - 2x - 5} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x - 2}{x^2 - 2x - 5} dx + 4 \int \frac{1}{x^2 - 2x - 5} dx \)
प्रथम समाकल:
\( I_1 = \frac{1}{2} \log |x^2 - 2x - 5| \)
द्वितीय समाकल के लिए हर को पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( x^2 - 2x - 5 = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 5 = (x - 1)^2 - 6 = (x - 1)^2 - (\sqrt{6})^2 \)
अतः द्वितीय समाकल:
\( I_2 = 4 \int \frac{1}{(x - 1)^2 - (\sqrt{6})^2} dx = 4 \times \frac{1}{2\sqrt{6}} \log \left| \frac{x - 1 - \sqrt{6}}{x - 1 + \sqrt{6}} \right| = \frac{2}{\sqrt{6}} \log \left| \frac{x - 1 - \sqrt{6}}{x - 1 + \sqrt{6}} \right| \)
कुल हल:
\( I = \frac{1}{2} \log |x^2 - 2x - 5| + \frac{2}{\sqrt{6}} \log \left| \frac{x - 1 - \sqrt{6}}{x - 1 + \sqrt{6}} \right| + C \)

मुख्य बिंदु:

• इस प्रश्न में हर वर्गमूल के बिना (केवल द्विघात) है, इसलिए इसमें लॉगरिथ्म के मानक सूत्र \( \int \frac{1}{x^2 - a^2} dx \) का प्रयोग हुआ है।
• अंश को हर के अवकलन के रूप में तोड़ा गया है।
• पूर्ण वर्ग विधि का सटीक अनुप्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• बिना वर्गमूल वाले और वर्गमूल वाले सूत्रों में भ्रमित होना।
• \( \frac{1}{2a} \) गुणांक को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) हर में वर्गमूल न होने पर \( \frac{1}{x^2 - a^2} \) का सूत्र प्रयोग होता है, इसे याद रखें।
b) हर चरण की गणना सावधानी से करें।
c) लघुगणक के गुणों का सही उपयोग करें।

Question 23: \( \frac{5x + 3}{\sqrt{x^2 + 4x + 10}} \)

Answer:

अंश को हर के अवकलन के रूप में लिखने पर:
\( 5x + 3 = A \frac{d}{dx}(x^2 + 4x + 10) + B \)
\( 5x + 3 = A(2x + 4) + B \implies 5x + 3 = 2Ax + (4A + B) \)
गुणांकों की तुलना करने पर:
\( 2A = 5 \implies A = \frac{5}{2} \)
\( 4A + B = 3 \implies 4\left(\frac{5}{2}\right) + B = 3 \implies 10 + B = 3 \implies B = -7 \)
अतः समाकल को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( I = \int \frac{5x + 3}{\sqrt{x^2 + 4x + 10}} dx = \frac{5}{2} \int \frac{2x + 4}{\sqrt{x^2 + 4x + 10}} dx - 7 \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 10}} dx \)
प्रथम समाकल:
\( I_1 = \frac{5}{2} \times 2\sqrt{x^2 + 4x + 10} = 5\sqrt{x^2 + 4x + 10} \)
द्वितीय समाकल के लिए हर को पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( x^2 + 4x + 10 = (x^2 + 4x + 4) + 6 = (x + 2)^2 + (\sqrt{6})^2 \)
अतः द्वितीय समाकल:
\( I_2 = -7 \int \frac{1}{\sqrt{(x + 2)^2 + (\sqrt{6})^2}} dx = -7 \log \left| (x + 2) + \sqrt{x^2 + 4x + 10} \right| \)
कुल हल:
\( I = 5\sqrt{x^2 + 4x + 10} - 7 \log \left| (x + 2) + \sqrt{x^2 + 4x + 10} \right| + C \)

मुख्य बिंदु:

• रैखिक बटे वर्गमूल द्विघात व्यंजक को हल करने की मानक विधि अपनाई गई है।
• \( A \) और \( B \) के भिन्नात्मक मानों को सही से निकाला गया है।
• वर्गमूल वाले व्यंजक के लिए लघुगणकीय मानक सूत्र का प्रयोग हुआ है।

आम गलतियाँ:

• गुणांकों की तुलना में \( 4A + B = 3 \) को हल करते समय चिह्न की गलती करना।
• पूर्ण वर्ग बनाते समय अचर पद जोड़ना भूल जाना।

Exam Tips:

a) ऐसे बड़े व्यंजकों वाले प्रश्नों में प्रत्येक भाग को अलग-अलग नाम (\( I_1, I_2 \)) देकर हल करना सरल होता है।
b) लघुगणक के अंदर के पदों को सही रूप में रखें।
c) अंत में दोनों भागों को एक साथ लिखकर उत्तर दें।

Question 24: \( \int \frac{dx}{x^2 + 2x + 2} \) बराबर है:
(A) \( \tan^{-1}(x + 1) + C \)
(B) \( \tan^{-1}(x) + C \)
(C) \( (x + 1)\tan^{-1} x + C \)
(D) \( \tan^{-1} x + C \)

Answer:

हर के द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाने पर:
\( x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x + 1)^2 + 1^2 \)
दिए गए समाकल में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{dx}{(x + 1)^2 + 1^2} \)
माना \( x + 1 = t \implies dx = dt \)
\( I = \int \frac{dt}{t^2 + 1^2} \)
मानक सूत्र \( \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \tan^{-1}(t) + C \)
\( t = x + 1 \) का मान रखने पर:
\( I = \tan^{-1}(x + 1) + C \)
अतः विकल्प (A) सही है।

मुख्य बिंदु:

• यह एक बहुविकल्पीय (MCQ) प्रश्न है जिसमें सीधे मानक सूत्र का प्रयोग होता है।
• हर को पूर्ण वर्ग रूप में बदला गया है।
• सही विकल्प (A) प्राप्त हुआ है।

आम गलतियाँ:

• बिना हल किए केवल प्रत्यक्ष अनुमान लगाकर गलत विकल्प चुनना।
• \( (x+1) \) के स्थान पर केवल \( x \) मान लेना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों को भी पूरी प्रक्रिया से हल करके सही विकल्प चुनें।
b) मानक सूत्रों को अच्छी तरह याद रखें ताकि परीक्षा में समय बचे।
c) विकल्पों के संकेतों से भ्रमित न हों।

Question 25: \( \int \frac{dx}{\sqrt{9x - 4x^2}} \) बराबर है:
(A) \( \frac{1}{9} \sin^{-1}\left(\frac{9x - 8}{8}\right) + C \)
(B) \( \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{8x - 9}{9}\right) + C \)
(C) \( \frac{1}{3} \sin^{-1}\left(\frac{9x - 8}{8}\right) + C \)
(D) \( \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{9x - 8}{9}\right) + C \)

Answer:

दिए गए समाकल को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( I = \int \frac{dx}{\sqrt{9x - 4x^2}} \)
रूट के अंदर से \( 4 \) कॉमन लेने पर या \( x^2 \) का गुणांक \( 1 \) बनाने पर:
\( 9x - 4x^2 = -4\left(x^2 - \frac{9}{4}x\right) = -4\left[x^2 - \frac{9}{4}x + \left(\frac{9}{8}\right)^2 - \left(\frac{9}{8}\right)^2\right] \)
\( = -4\left[\left(x - \frac{9}{8}\right)^2 - \frac{81}{64}\right] = 4\left[\left(\frac{9}{8}\right)^2 - \left(x - \frac{9}{8}\right)^2\right] \)
वर्गमूल के बाहर लेने पर:
\( \sqrt{9x - 4x^2} = 2 \sqrt{\left(\frac{9}{8}\right)^2 - \left(x - \frac{9}{8}\right)^2} \)
अतः समाकल:
\( I = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{\left(\frac{9}{8}\right)^2 - \left(x - \frac{9}{8}\right)^2}} \)
मानक सूत्र \( \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{x - 9/8}{9/8}\right) + C = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{8x - 9}{9}\right) + C \)
अतः विकल्प (B) सही है।

मुख्य बिंदु:

• \( x^2 \) के गुणांक को कॉमन लेकर पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग किया गया है।
• \( \sin^{-1} \) के मानक सूत्र का प्रयोग हुआ है।
• भिन्नों को सरल करके सही विकल्प (B) प्राप्त किया गया है।

आम गलतियाँ:

• वर्गमूल के बाहर अचर पद निकालते समय गलती करना (जैसे \( 4 \) का वर्गमूल \( 2 \) लिखना भूल जाना)।
• अंश और हर के भिन्नों को सरल करने में भूल करना।

Exam Tips:

a) वर्गमूल के अंदर द्विघात पद का गुणांक ऋणात्मक होने पर विशेष सावधानी बरतें।
b) बहुविकल्पीय प्रश्नों में गणना को रफ कार्य में तेजी से और सही करें।
c) सही विकल्प को स्पष्ट रूप से चिह्नित करें।