NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 07 Integrals (समाकलन) Exercise 7.3 in Hindi

Question 1: \( \sin^2(2x + 5) \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \sin^2(2x + 5) \, dx \)
हम जानते हैं कि \( \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta \), जिससे \( \sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \) होता है।
अतः, \( I = \int \frac{1 - \cos(2(2x + 5))}{2} \, dx \)
\( I = \int \frac{1 - \cos(4x + 10)}{2} \, dx \)
\( I = \frac{1}{2} \int 1 \, dx - \frac{1}{2} \int \cos(4x + 10) \, dx \)
\( I = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \left( \frac{\sin(4x + 10)}{4} \right) + C \)
\( I = \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}\sin(4x + 10) + C \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय पहचान \( \sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \) का उपयोग किया गया है।
• रैखिक फलन के समाकलन में x के गुणांक से भाग दिया जाता है।
• समाकलन अचर \( C \) जोड़ना अनिवार्य है।

आम गलतियाँ:

• कोण \( 2x + 5 \) का दो गुना करना भूल जाना।
• समाकलन के दौरान \( 4x + 10 \) के गुणांक \( 4 \) से भाग देना भूल जाना।
• अचर पद \( C \) न लिखना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों की घात को कम करने के सूत्रों का अभ्यास करें।
b) प्रतिस्थापन और रैखिक रूपांतरण स्पष्ट रूप से दिखाएं।
c) अंतिम उत्तर में समाकलन अचर \( C \) अवश्य लिखें।

Question 2: \( \sin 3x \cos 4x \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \sin 3x \cos 4x \, dx \)
त्रिकोणमितीय सूत्र \( \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)] \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int \frac{1}{2}[\sin(3x + 4x) + \sin(3x - 4x)] \, dx \)
\( I = \frac{1}{2} \int [\sin 7x + \sin(-x)] \, dx \)
\( I = \frac{1}{2} \int \sin 7x \, dx - \frac{1}{2} \int \sin x \, dx \)
\( I = \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos 7x}{7} \right) - \frac{1}{2}(-\cos x) + C \)
\( I = -\frac{\cos 7x}{14} + \frac{\cos x}{2} + C \)

मुख्य बिंदु:

• गुणन को योग में बदलने वाले सूत्रों का उपयोग किया गया है।
• \( \sin(-x) = -\sin x \) गुण का प्रयोग किया गया है।
• प्रत्येक पद का अलग-अलग समाकलन किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \sin(-x) \) के चिह्न को धनात्मक मान लेना।
• \( \sin A \cos B \) के सूत्र में \( \frac{1}{2} \) छोड़ देना।
• हर में गुणांक (जैसे 7) से भाग देना भूल जाना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में गुणन-से-योग सूत्र याद होने चाहिए।
b) ऋणात्मक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों का ध्यान रखें।
c) गणना के चरणों को साफ-सुथरा लिखें।

Question 3: \( \cos 2x \cos 4x \cos 6x \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \cos 2x \cos 4x \cos 6x \, dx \)
सूत्र \( \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)] \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int \cos 2x \left\{ \frac{1}{2}[\cos(4x + 6x) + \cos(4x - 6x)] \right\} \, dx \)
\( I = \frac{1}{2} \int \cos 2x [\cos 10x + \cos(-2x)] \, dx \)
\( I = \frac{1}{2} \int (\cos 2x \cos 10x + \cos^2 2x) \, dx \)
\( I = \frac{1}{2} \int \left[ \frac{1}{2}(\cos 12x + \cos 8x) + \frac{1 + \cos 4x}{2} \right] \, dx \)
\( I = \frac{1}{4} \int (\cos 12x + \cos 8x + 1 + \cos 4x) \, dx \)
\( I = \frac{1}{4} \left( \frac{\sin 12x}{12} + \frac{\sin 8x}{8} + x + \frac{\sin 4x}{4} \right) + C \)
\( I = \frac{1}{48}\sin 12x + \frac{1}{32}\sin 8x + \frac{1}{4}x + \frac{1}{16}\sin 4x + C \)

मुख्य बिंदु:

• तीन पदों के गुणन में पहले किन्हीं दो पदों पर सूत्र लगाया जाता है।
• \( \cos(-2x) = \cos 2x \) का उपयोग किया गया है।
• \( \cos^2 2x \) को \( \frac{1 + \cos 4x}{2} \) में बदला गया है।

आम गलतियाँ:

• एक साथ तीनों पदों पर सूत्र लगाने की कोशिश करना जो गलत है।
• \( \cos(-2x) \) को ऋणात्मक लिख देना।
• \( \frac{1}{4} \) बाहर के गुणांक को अंदर गुणा करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) तीन त्रिकोणमितीय फलनों के गुणन में पहले दो को साथ लें।
b) कोणों के योग और अंतर के सूत्रों का सावधानी से प्रयोग करें।
कोष्ठकों के बाहर के स्थिरांक का ध्यान रखें।

Question 4: \( \sin^3(2x + 1) \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \sin^3(2x + 1) \, dx \)
\( I = \int \sin^2(2x + 1) \cdot \sin(2x + 1) \, dx \)
\( I = \int [1 - \cos^2(2x + 1)] \sin(2x + 1) \, dx \)
मान लीजिए \( \cos(2x + 1) = t \)
अतः \( -2\sin(2x + 1) \, dx = dt \implies \sin(2x + 1) \, dx = -\frac{dt}{2} \)
\( I = \int (1 - t^2) \left(-\frac{dt}{2}\right) \)
\( I = -\frac{1}{2} \int (1 - t^2) \, dt \)
\( I = -\frac{1}{2} \left( t - \frac{t^3}{3} \right) + C \)
\( I = -\frac{1}{2}\cos(2x + 1) + \frac{1}{6}\cos^3(2x + 1) + C \)

मुख्य बिंदु:

• विषम घात वाले त्रिकोणमितीय फलन में एक पद अलग कर बाकी को सर्वसमिका से बदलते हैं।
• प्रतिस्थापन विधि (\( t \) मानना) का उपयोग किया गया है।
• समाकलन के बाद पुनः मूल चर के रूप में उत्तर लिखा जाता है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिस्थापन करते समय अचर गुणांक (-2) से भाग देना भूल जाना।
• \( \sin^2\theta \) को \( 1 + \cos^2\theta \) लिख देना।
• अंतिम उत्तर में \( t \) का मान वापस न रखना।

Exam Tips:

a) विषम घात होने पर एक घात अलग करके शेष को दूसरी त्रिकोणमितीय फलन में बदलें।
b) अवकलन के गुणांक को प्रतिस्थापन में ध्यान से रखें।
चरण-दर-चरण प्रतिस्थापन दिखाएं।

Question 5: \( \sin^3 x \cos^3 x \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \sin^3 x \cos^3 x \, dx \)
\( I = \int \sin^3 x \cos^2 x \cdot \sin x \, dx \)
\( I = \int \sin^3 x (1 - \sin^2 x) \sin x \, dx \)
मान लीजिए \( \sin x = t \implies \cos x \, dx = dt \) (या \( \cos x = t \) मान सकते हैं)
यहाँ हम \( \cos x = t \implies -\sin x \, dx = dt \) का प्रयोग करते हैं:
\( I = \int (1 - t^2) \cdot t^3 (-\frac{dt}{...}) \) (दूसरे तरीके से):
यदि \( \sin x = t \implies \cos x \, dx = dt \):
\( I = \int t^3 (1 - t^2) \, dt = \int (t^3 - t^5) \, dt \)
\( I = \frac{t^4}{4} - \frac{t^6}{6} + C \)
\( I = \frac{\sin^4 x}{4} - \frac{\sin^6 x}{6} + C \)

मुख्य बिंदु:

• जब sin और cos दोनों की घात विषम हों, तो किसी एक को \( t \) मान सकते हैं।
• \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) सर्वसमिका का प्रयोग किया गया है।
• बहुपद का समाकलन घात नियम से किया गया है।

आम गलतियाँ:

• गलत पद को प्रतिस्थापित करना जिससे फलन सरल न हो।
• घातों के संयोजन में गलती करना।
• समाकलन के बाद अचर \( C \) न लिखना।

Exam Tips:

a) दोनों की घात विषम होने पर किसी भी एक पद को \( t \) मान सकते हैं।
b) गणना को सरल रखने के लिए सही सर्वसमिका चुनें।
अंतिम उत्तर को मानक रूप में दें।

Question 6: \( \sin x \sin 2x \sin 3x \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \sin x \sin 2x \sin 3x \, dx \)
पहले किन्हीं दो पदों पर \( 2\sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B) \) का प्रयोग करते हैं:
\( I = \frac{1}{2} \int (\sin x \cdot 2\sin 2x \sin 3x) \, dx \)
\( I = \frac{1}{2} \int \sin x [\cos(2x - 3x) - \cos(2x + 3x)] \, dx \)
\( I = \frac{1}{2} \int \sin x [\cos(-x) - \cos 5x] \, dx \)
क्योंकि \( \cos(-x) = \cos x \), अतः:
\( I = \frac{1}{2} \int (\sin x \cos x - \sin x \cos 5x) \, dx \)
\( I = \frac{1}{2} \int \frac{\sin 2x}{2} \, dx - \frac{1}{2} \int \sin x \cos 5x \, dx \)
इसे हल करने पर:
\( I = -\frac{\cos 6x}{24} - \frac{\cos 4x}{16} + \frac{\cos 2x}{8} + C \) (मानक रूप)

मुख्य बिंदु:

• गुणन को योग/अंतर में बदलने के सूत्रों का उपयोग।
• \( \cos(-x) = \cos x \) का प्रयोग।
• प्रत्येक पद का समाकलन मानक सूत्रों से।

आम गलतियाँ:

• सूत्र में \( \frac{1}{2} \) छोड़ देना।
• \( \sin x \cos 5x \) पर पुनः सूत्र लगाना भूल जाना।
• धनात्मक और ऋणात्मक चिह्नों की गलती।

Exam Tips:

a) तीन त्रिकोणमितीय फलनों के गुणन में दो-दो के जोड़े बनाएं।
b) त्रिकोणमितीय सूत्रों को सटीकता से याद रखें।
हर चरण में गुणांकों का हिसाब रखें।

Question 7: \( \sin 4x \sin 8x \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \sin 4x \sin 8x \, dx \)
सूत्र \( 2\sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B) \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int \frac{1}{2} [2\sin 4x \sin 8x] \, dx \)
\( I = \frac{1}{2} \int [\cos(4x - 8x) - \cos(4x + 8x)] \, dx \)
\( I = \frac{1}{2} \int [\cos(-4x) - \cos 12x] \, dx \)
चूँकि \( \cos(-4x) = \cos 4x \):
\( I = \frac{1}{2} \int (\cos 4x - \cos 12x) \, dx \)
\( I = \frac{1}{2} \left( \frac{\sin 4x}{4} - \frac{\sin 12x}{12} \right) + C \)
\( I = \frac{\sin 4x}{8} - \frac{\sin 12x}{24} + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( 2\sin A \sin B \) सर्वसमिका का अनुप्रयोग।
• \( \cos(-x) = \cos x \) गुणधर्म का उपयोग।
• रैखिक गुणांक से समाकलन में भाग देना।

आम गलतियाँ:

• \( \cos(4x - 8x) = \cos(-4x) \) को ऋणात्मक लिखना।
• हर में 4 और 12 से भाग देना भूल जाना।
• \( \frac{1}{2} \) को अंदर गुणा न करना।

Exam Tips:

a) दो साइन फलनों के गुणन के लिए उपयुक्त सूत्र चुनें।
b) कोण की ऋणात्मकता का कोसाइन पर प्रभाव समझें।
अंतिम परिणाम को सरल रूप में लिखें।

Question 8: \( \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \, dx \)
हम जानते हैं कि \( 1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2} \) और \( 1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} \)
अतः \( I = \int \frac{2\sin^2(x/2)}{2\cos^2(x/2)} \, dx \)
\( I = \int \tan^2\frac{x}{2} \, dx \)
\( I = \int \left( \sec^2\frac{x}{2} - 1 \right) \, dx \)
\( I = \frac{\tan(x/2)}{1/2} - x + C \)
\( I = 2\tan\frac{x}{2} - x + C \)

मुख्य बिंदु:

• अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया गया है।
• \( \tan^2\theta = \sec^2\theta - 1 \) सर्वसमिका का प्रयोग।
• \( x/2 \) के गुणांक \( 1/2 \) से भाग दिया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \tan^2\frac{x}{2} \) का समाकलन सीधा \( \tan \) लिख देना।
• \( 1/2 \) से भाग देना भूल जाना।
• त्रिकोणमितीय सूत्रों में चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) अंश और हर में \( 1 \pm \cos x \) होने पर अर्ध-कोण सूत्र सर्वश्रेठ हैं।
b) समाकलन करते समय कोण के गुणांक से भाग देना न भूलें।
चरण स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 9: \( \frac{\cos x}{1 + \cos x} \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \frac{\cos x}{1 + \cos x} \, dx \)
अंश में \( 1 \) जोड़ने और घटाने पर:
\( I = \int \frac{1 + \cos x - 1}{1 + \cos x} \, dx \)
\( I = \int \left( \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} - \frac{1}{1 + \cos x} \right) \, dx \)
\( I = \int \left( 1 - \frac{1}{2\cos^2(x/2)} \right) \, dx \)
\( I = \int \left( 1 - \frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2} \right) \, dx \)
\( I = x - \frac{1}{2} \left( \frac{\tan(x/2)}{1/2} \right) + C \)
\( I = x - \tan\frac{x}{2} + C \)

मुख्य बिंदु:

• अंश में समायोजन (जोड़ना और घटाना) विधि का प्रयोग।
• \( 1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} \) का उपयोग।
• \( \frac{1}{\cos^2\theta} = \sec^2\theta \) का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• समायोजन विधि न अपनाकर सीधे कठिन विधि का प्रयोग करना।
• \( \sec^2(x/2) \) के समाकलन में \( 1/2 \) से भाग न देना।
• अचर \( C \) भूल जाना।

Exam Tips:

a) ऐसे भिन्नात्मक फलनों में अंश में पद जोड़कर या घटाकर अलग करें।
b) अर्ध-कोण सूत्रों का सही उपयोग करें।
अंतिम उत्तर को सरलतम रूप में दें।

Question 10: \( \sin^4 x \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \sin^4 x \, dx \)
\( I = \int (\sin^2 x)^2 \, dx \)
हम जानते हैं कि \( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \)
अतः \( I = \int \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)^2 \, dx \)
\( I = \frac{1}{4} \int (1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x) \, dx \)
\( \cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2} \) रखने पर:
\( I = \frac{1}{4} \int \left( 1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2} \right) \, dx \)
\( I = \frac{1}{4} \int \left( \frac{3}{2} - 2\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 4x \right) \, dx \)
\( I = \frac{1}{4} \left( \frac{3}{2}x - 2\frac{\sin 2x}{2} + \frac{1}{2}\frac{\sin 4x}{4} \right) + C \)
\( I = \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x + C \)

मुख्य बिंदु:

• उच्च घात (\( \sin^4 x \)) को कम करने के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का क्रमिक प्रयोग।
• \( (a - b)^2 \) का विस्तार।
• प्रत्येक पद का अलग-अलग समाकलन।

आम गलतियाँ:

• \( \cos^2 2x \) को पुनः सर्वसमिका से न बदलना।
• विस्तार करते समय 2 का गुणा भूल जाना।
• हर के गुणांकों में गलती करना।

Exam Tips:

a) सम घातों (जैसे 4) को वर्ग के रूप में लिखकर हल करें।
b) प्रत्येक चरण में कोष्ठक और अचर पदों का ध्यान रखें।
लंबे प्रश्नों में गणना की बार-बार जाँच करें।

Question 11: \( \cos^4 2x \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \cos^4 2x \, dx \)
\( I = \int (\cos^2 2x)^2 \, dx \)
चूँकि \( \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \), अतः \( \cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2} \)
\( I = \int \left( \frac{1 + \cos 4x}{2} \right)^2 \, dx \)
\( I = \frac{1}{4} \int (1 + 2\cos 4x + \cos^2 4x) \, dx \)
पुनः \( \cos^2 4x = \frac{1 + \cos 8x}{2} \) रखने पर:
\( I = \frac{1}{4} \int \left( 1 + 2\cos 4x + \frac{1 + \cos 8x}{2} \right) \, dx \)
\( I = \frac{1}{4} \int \left( \frac{3}{2} + 2\cos 4x + \frac{1}{2}\cos 8x \right) \, dx \)
\( I = \frac{1}{4} \left( \frac{3}{2}x + 2\frac{\sin 4x}{4} + \frac{1}{2}\frac{\sin 8x}{8} \right) + C \)
\( I = \frac{3}{8}x + \frac{1}{8}\sin 4x + \frac{1}{64}\sin 8x + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \cos^4 2x \) को \( (\cos^2 2x)^2 \) के रूप में लिखा गया है।
• दो बार अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग किया गया है।
• समाकलन के मानक सूत्रों का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• कोण \( 2x \) का दो गुना \( 4x \) और फिर \( 8x \) करने में त्रुटि।
• \( \frac{1}{4} \) बाहर के गुणांक को अंदर जोड़ते समय भूल जाना।
• समाकलन अचर \( C \) छोड़ देना।

Exam Tips:

a) उच्च घात वाले कोसाइन फलनों के लिए भी समान प्रक्रिया अपनाएं।
b) प्रत्येक पद के गुणांक को अंत में बाहर के गुणांक से गुणा करें।
हस्ताक्षर और चिह्न की शुद्धता जांचें।

Question 12: \( \frac{\sin^2 x}{1 + \cos x} \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \frac{\sin^2 x}{1 + \cos x} \, dx \)
चूँकि \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x) \)
अतः \( I = \int \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{1 + \cos x} \, dx \)
\( I = \int (1 - \cos x) \, dx \)
\( I = x - \sin x + C \)

मुख्य बिंदु:

• अंश में \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) सर्वसमिका का प्रयोग।
• गुणनखंड बनाकर हर के पद को काटना।
• सरल फलन का सीधा समाकलन।

आम गलतियाँ:

• गुणनखंड बनाए बिना कठिन प्रतिस्थापन विधि अपनाना।
• \( 1 - \cos^2 x \) को \( (1 - \cos x)^2 \) लिख देना।
• अचर \( C \) न लिखना।

Exam Tips:

a) यदि हर से पद कट सकता है, तो गुणनखंड विधि प्राथमिकता दें।
b) बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का सही उपयोग करें।
यह एक छोटा और सरल प्रश्न है, इसे तेजी से हल करें।

Question 13: \( \frac{\cos 2x - \cos 2\alpha}{\cos x - \cos \alpha} \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \frac{\cos 2x - \cos 2\alpha}{\cos x - \cos \alpha} \, dx \)
त्रिकोणमितीय सूत्र \( \cos C - \cos D = -2\sin\left(\frac{C+D}{2}\right)\sin\left(\frac{C-D}{2}\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int \frac{-2\sin\left(\frac{2x+2\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{2x-2\alpha}{2}\right)}{-2\sin\left(\frac{x+\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{x-\alpha}{2}\right)} \, dx \)
\( I = \int \frac{\sin(x+\alpha)\sin(x-\alpha)}{\sin\left(\frac{x+\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{x-\alpha}{2}\right)} \, dx \)
यहाँ अर्ध-कोण सूत्र \( \sin \theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int \frac{[2\sin\left(\frac{x+\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{x+\alpha}{2}\right)][2\sin\left(\frac{x-\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{x-\alpha}{2}\right)]}{\sin\left(\frac{x+\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{x-\alpha}{2}\right)} \, dx \)
\( I = \int 4 \cos\left(\frac{x+\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{x-\alpha}{2}\right) \, dx \)
सूत्र \( 2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B) \) से:
\( I = 2 \int \left[ \cos\left(\frac{x+\alpha+x-\alpha}{2}\right) + \cos\left(\frac{x+\alpha-x+\alpha}{2}\right) \right] \, dx \)
\( I = 2 \int (\cos x + \cos \alpha) \, dx \)
\( I = 2(\sin x + x \cos \alpha) + C \)

मुख्य बिंदु:

• अंश में योग-अंतर सूत्र और अर्ध-कोण सूत्र का क्रमिक प्रयोग।
• हर के पदों को काटना।
• \( \alpha \) को अचर मानकर समाकलन करना।

आम गलतियाँ:

• \( \alpha \) को चर मानकर उसके सापेक्ष समाकलन कर देना।
• त्रिकोणमितीय सूत्रों के चिह्नों में भ्रमित होना।
• अंश और हर के कोणों का मिलान न करना।

Exam Tips:

a) \( \cos C - \cos D \) सूत्र का ध्यानपूर्वक प्रयोग करें।
b) ध्यान रखें कि यहाँ चर \( x \) है और \( \alpha \) अचर है।
चरणों को स्पष्ट लिखकर दिखाएं।

Question 14: \( \frac{\cos x - \sin x}{1 + \sin 2x} \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \frac{\cos x - \sin x}{1 + \sin 2x} \, dx \)
चूँकि \( 1 = \sin^2 x + \cos^2 x \) और \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \):
अतः हर = \( \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2 \)
\( I = \int \frac{\cos x - \sin x}{(\sin x + \cos x)^2} \, dx \)
मान लीजिए \( \sin x + \cos x = t \)
अतः \( (\cos x - \sin x) \, dx = dt \)
\( I = \int \frac{dt}{t^2} = \int t^{-2} \, dt \)
\( I = \frac{t^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{t} + C \)
\( I = -\frac{1}{\sin x + \cos x} + C \)

मुख्य बिंदु:

• हर को पूर्ण वर्ग \( (\sin x + \cos x)^2 \) में बदला गया है।
• प्रतिस्थापन विधि (\( t \) मानना) का प्रयोग किया गया है।
• \( \int t^{-2} dt \) का समाकलन किया गया है।

आम गलतियाँ:

• हर को पूर्ण वर्ग बनाने में \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) का ध्यान न रखना।
• प्रतिस्थापन के बाद अवकलन के चिह्न की गलती करना।
• अंतिम उत्तर में \( t \) का मान वापस न रखना।

Exam Tips:

a) \( 1 \pm \sin 2x \) दिखने पर उसे \( (\sin x \pm \cos x)^2 \) में बदलें।
b) प्रतिस्थापन विधि से प्रश्न बहुत सरल हो जाते हैं।
अंतिम उत्तर में अचर \( C \) अवश्य जोड़ें।

Question 15: \( \tan^3 2x \sec 2x \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \tan^3 2x \sec 2x \, dx \)
\( I = \int \tan^2 2x (\tan 2x \sec 2x) \, dx \)
\( I = \int (\sec^2 2x - 1) (\tan 2x \sec 2x) \, dx \)
मान लीजिए \( \sec 2x = t \)
अतः \( 2\sec 2x \tan 2x \, dx = dt \implies \sec 2x \tan 2x \, dx = \frac{dt}{2} \)
\( I = \int (t^2 - 1) \frac{dt}{2} \)
\( I = \frac{1}{2} \left( \frac{t^3}{3} - t \right) + C \)
\( I = \frac{1}{6}\sec^3 2x - \frac{1}{2}\sec 2x + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \tan^3 2x \) को \( \tan^2 2x \cdot (\tan 2x \sec 2x) \) में तोड़ा गया है।
• सर्वसमिका \( \tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 \) का प्रयोग किया गया है।
• \( \sec 2x = t \) प्रतिस्थापन का उपयोग।

आम गलतियाँ:

• \( \sec 2x \) के अवकलन में कोण \( 2x \) के गुणांक \( 2 \) को छोड़ देना।
• गलत सर्वसमिका का प्रयोग करना।
• प्रतिस्थापन के बाद गुणांक \( 1/2 \) से गुणा करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) sec और tan के ऐसे फलनों में प्रतिस्थापन के लिए \( \sec x \) को \( t \) मानें।
b) कोण के गुणांक का भाग देना हमेशा याद रखें।
चरणों को स्पष्ट रखें।

Question 16: \( \tan^4 x \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \tan^4 x \, dx \)
\( I = \int \tan^2 x \cdot \tan^2 x \, dx \)
\( I = \int \tan^2 x (\sec^2 x - 1) \, dx \)
\( I = \int (\tan^2 x \sec^2 x - \tan^2 x) \, dx \)
\( I = \int \tan^2 x \sec^2 x \, dx - \int (\sec^2 x - 1) \, dx \)
प्रथम भाग के लिए मान लीजिए \( \tan x = t \implies \sec^2 x \, dx = dt \):
\( I_1 = \int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3} = \frac{\tan^3 x}{3} \)
अतः कुल समाकलन:
\( I = \frac{\tan^3 x}{3} - \tan x + x + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \tan^4 x \) को \( \tan^2 x \cdot \sec^2 x - \tan^2 x \) में बदला गया है।
• प्रथम पद में प्रतिस्थापन और द्वितीय पद में सीधी सर्वसमिका लगाई गई है।
• \( \int \sec^2 x \, dx = \tan x \) होता है।

आम गलतियाँ:

• \( \tan^2 x \) का समाकलन सीधे करना (जो सीधे संभव नहीं है, इसे \( \sec^2 x - 1 \) बदलना पड़ता है)।
• ऋणात्मक चिह्न की गलती करना।
• अचर \( C \) भूल जाना।

Exam Tips:

a) \( \tan^4 x \) के समाकलन के लिए उसे \( \tan^2 x(\sec^2 x - 1) \) में तोड़ें।
b) प्रत्येक समाकलन के भाग को अलग से हल करके जोड़ सकते हैं।
अंतिम उत्तर में सभी पद लिखें।

Question 17: \( \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \, dx \)
पदों को अलग-अलग करने पर:
\( I = \int \left( \frac{\sin^3 x}{\sin^2 x \cos^2 x} + \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \right) \, dx \)
\( I = \int \left( \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \frac{\cos x}{\sin^2 x} \right) \, dx \)
\( I = \int (\tan x \sec x + \cot x cosec x) \, dx \)
हम जानते हैं कि \( \int \tan x \sec x \, dx = \sec x \) और \( \int \cot x cosec x \, dx = -cosec x \)
अतः \( I = \sec x - cosec x + C \)

मुख्य बिंदु:

• अंश के दोनों पदों के नीचे हर को अलग-अलग लिखा गया है।
• त्रिकोणमितीय अनुपातों को सरल करके मानक रूप (\( \sec x \tan x \) आदि) में बदला गया है।
• मानक समाकलन सूत्रों का सीधा प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• पदों को अलग न करके पूरे व्यंजक का एक साथ समाकलन करने का प्रयास करना।
• \( \frac{\cos x}{\sin^2 x} \) को \( \cot x cosec x \) न पहचान पाना।
• \( cosec x \) के समाकलन का चिह्न गलत लगाना।

Exam Tips:

a) हर एकपदीय (single term denominator) होने पर अंश के हर पद के नीचे हर को अलग करें।
b) मानक समाकलन सूत्रों को अच्छी तरह याद रखें।
चिह्नों की विशेष सावधानी रखें।

Question 18: \( \frac{\cos 2x + 2\sin^2 x}{\cos^2 x} \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \frac{\cos 2x + 2\sin^2 x}{\cos^2 x} \, dx \)
चूँकि \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \), अतः:
अंश = \( 1 - 2\sin^2 x + 2\sin^2 x = 1 \)
\( I = \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx \)
\( I = \int \sec^2 x \, dx \)
\( I = \tan x + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \cos 2x \) के सूत्र का उपयोग करके व्यंजक को अत्यंत सरल किया गया है।
• \( 2\sin^2 x \) आपस में कट जाते हैं।
• \( \int \sec^2 x \, dx = \tan x \) मानक सूत्र का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• \( \cos 2x \) का गलत सूत्र रख देना।
• पदों को बिना जोड़े सीधे समाकलन करना।
• अचर \( C \) न लिखना।

Exam Tips:

a) हमेशा पहले व्यंजक को जितना संभव हो सके सरल (simplify) करें।
b) त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं समाकलन को बहुत आसान बना देती हैं।
यह एक छोटा प्रश्न है, इसे तेजी से हल करें।

Question 19: \( \frac{1}{\sin x \cos^3 x} \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \frac{1}{\sin x \cos^3 x} \, dx \)
अंश में \( 1 = \sin^2 x + \cos^2 x \) रखने पर:
\( I = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos^3 x} \, dx \)
\( I = \int \left( \frac{\sin^2 x}{\sin x \cos^3 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin x \cos^3 x} \right) \, dx \)
\( I = \int \left( \frac{\sin x}{\cos^3 x} + \frac{1}{\sin x \cos x} \right) \, dx \)
\( I = \int (\tan x \sec^2 x + \frac{1}{\sin x \cos x}) \, dx \)
दूसरे पद के अंश व हर में \( \cos^2 x \) से भाग देने पर या \( 2 \) से गुणा करने पर:
\( I = \int (\tan x \sec^2 x + \frac{\sec^2 x}{\tan x}) \, dx \)
प्रथम भाग में \( \tan x = t \implies \sec^2 x \, dx = dt \):
\( I = \int t \, dt + \int \frac{dt}{t} = \frac{t^2}{2} + \log|t| + C \)
\( I = \frac{1}{2}\tan^2 x + \log|\tan x| + C \)

मुख्य बिंदु:

• अंश में \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) का प्रतिस्थापन।
• भिन्नों को अलग करके मानक रूप बनाना।
• प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• \( 1 \) की जगह गलत सर्वसमिका रखना।
• \( \log|\tan x| \) के मापांक चिह्न को भूल जाना।
• समाकलन अचर \( C \) न लिखना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में अंश में \( \sin^2 x + \cos^2 x \) लिखकर अलग करना प्रभावी है।
b) प्रतिस्थापन विधि का सावधानी से प्रयोग करें।
लॉगरिथम वाले पदों में मोड \( | | \) अवश्य लगाएं।

Question 20: \( \frac{\cos 2x}{(\cos x + \sin x)^2} \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \frac{\cos 2x}{(\cos x + \sin x)^2} \, dx \)
चूँकि \( \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) \)
अतः \( I = \int \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x + \sin x)^2} \, dx \)
\( I = \int \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} \, dx \)
मान लीजिए \( \cos x + \sin x = t \)
अतः \( (-\sin x + \cos x) \, dx = dt \implies (\cos x - \sin x) \, dx = dt \)
\( I = \int \frac{dt}{t} \)
\( I = \log|t| + C \)
\( I = \log|\cos x + \sin x| + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \cos 2x \) के बीजगणितीय गुणनखंड किए गए हैं।
• अंश और हर के समान पद को काटा गया है।
• \( \int \frac{1}{t} dt = \log|t| \) का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• \( \cos 2x \) का गलत सूत्र उपयोग करना।
• प्रतिस्थापन के दौरान चिह्न की गलती करना।
• लॉगरिथम में मापांक चिह्न न लगाना।

Exam Tips:

a) अंश में \( \cos 2x \) के गुणनखंड बनाने का प्रयास करें।
b) प्रतिस्थापन विधि से हर का अवकलन अंश में मिलने पर सीधा सूत्र लगाएं।
अंतिम उत्तर में मापांक \( | | \) का प्रयोग करें।

Question 21: \( \sin^{-1}(\cos x) \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \sin^{-1}(\cos x) \, dx \)
हम जानते हैं कि \( \cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \)
अतः \( I = \int \sin^{-1}\left( \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \right) \, dx \)
\( I = \int \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \, dx \)
\( I = \frac{\pi}{2} \int 1 \, dx - \int x \, dx \)
\( I = \frac{\pi}{2}x - \frac{x^2}{2} + C \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के गुणधर्म \( \sin^{-1}(\sin \theta) = \theta \) का प्रयोग।
• \( \cos x \) को साइन के पदों में बदलना।
• बहुपद का साधारण समाकलन।

आम गलतियाँ:

• सीधे \( \sin^{-1}(\cos x) \) का अवकलन या समाकलन करने की कोशिश करना।
• कोण बदलने में चतुर्थांश (quadrant) की गलती करना।
• समाकलन अचर \( C \) भूल जाना।

Exam Tips:

a) प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों वाले समाकलन में पहले उन्हें सरल करें।
b) पूरक कोण सूत्रों का सही उपयोग करें।
चरणों को साफ-सुथरा लिखें।

Question 22: \( \frac{1}{\cos(x - a) \cos(x - b)} \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \frac{1}{\cos(x - a) \cos(x - b)} \, dx \)
अंश और हर में \( \sin(a - b) \) से गुणा और भाग करने पर:
\( I = \frac{1}{\sin(a - b)} \int \frac{\sin(a - b)}{\cos(x - a) \cos(x - b)} \, dx \)
अंश में \( a - b = (x - b) - (x - a) \) लिखने पर:
\( I = \frac{1}{\sin(a - b)} \int \frac{\sin[(x - b) - (x - a)]}{\cos(x - a) \cos(x - b)} \, dx \)
सूत्र \( \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \) से:
\( I = \frac{1}{\sin(a - b)} \int \frac{\sin(x - b)\cos(x - a) - \cos(x - b)\sin(x - a)}{\cos(x - a) \cos(x - b)} \, dx \)
पदों को अलग करने पर:
\( I = \frac{1}{\sin(a - b)} \int [\tan(x - b) - \tan(x - a)] \, dx \)
\( I = \frac{1}{\sin(a - b)} [-\log|\cos(x - b)| + \log|\cos(x - a)|] + C \)
\( I = \frac{1}{\sin(a - b)} \log\left| \frac{\cos(x - a)}{\cos(x - b)} \right| + C \)

मुख्य बिंदु:

• इस विशेष प्रकार के समाकलन में \( \sin(a - b) \) से गुणा और भाग किया जाता है।
• अंश को \( (x - b) - (x - a) \) के रूप में व्यवस्थित किया जाता है।
• \( \tan \theta \) का समाकलन \( -\log|\cos \theta| \) होता है।

आम गलतियाँ:

• \( \sin(a - b) \) से गुणा/भाग करना भूल जाना।
• कोणों के समायोजन में चिह्न की गलती करना।
• लॉगरिथम के गुणों (जैसे अंतर का भाग होना) का सही प्रयोग न करना।

Exam Tips:

a) हर में दोनों कोसाइन पद \( \cos(x-a)\cos(x-b) \) होने पर \( \sin(a-b) \) का समायोजन करें।
b) यह एक महत्वपूर्ण मानक प्रतिस्थापन/विधि है, इसे अभ्यास करें।
अंतिम उत्तर को लघुगणक के गुणधर्म से संक्षिप्त करें।

Question 23: \( \int \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \, dx \) बराबर है:
(A) \( \tan x + \cot x + C \)
(B) \( \tan x + cosec x + C \)
(C) \( -\tan x + cot x + C \)
(D) \( \tan x - sec x + C \)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \, dx \)
पदों को अलग-अलग करने पर:
\( I = \int \left( \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \right) \, dx \)
\( I = \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} \right) \, dx \)
\( I = \int (\sec^2 x - cosec^2 x) \, dx \)
\( I = \tan x - (-\cot x) + C \)
\( I = \tan x + \cot x + C \)
अतः विकल्प (A) सही है।

मुख्य बिंदु:

• हर को दोनों अंश पदों के नीचे अलग-अलग लिखा गया है।
• \( \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \) और \( \frac{1}{\sin^2 x} = cosec^2 x \) का प्रयोग।
• मानक समाकलन सूत्र \( \int \sec^2 x \, dx = \tan x \) और \( \int cosec^2 x \, dx = -\cot x \).

आम गलतियाँ:

• \( cosec^2 x \) के समाकलन का चिह्न गलत (+ cot x की जगह - cot x) लिखना।
• पदों को न काटकर सीधे भाग देने की कोशिश करना।
• सही विकल्प चुनने में जल्दबाजी करना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में पहले व्यंजक को न्यूनतम रूप में हल करें।
b) सूत्रों के ऋणात्मक चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।
सही विकल्प (A) को चिह्नित करें।

Question 24: \( \int \frac{e^x(1 + x)}{\cos^2(e^x x)} \, dx \) बराबर है: (प्रश्न में फलन \( \cos^2(e^x x) \) या \( \cos^2(e^{ex}) \) आदि के रूप में है, मानक NCERT अनुसार \( \frac{e^x(1+x)}{\cos^2(e^x x)} \) या \( \frac{e^x(1+x)}{\cos^2(xe^x)} \))
(A) \( -\cot(e^{ex}) + C \)
(B) \( \tan(e^x x) + C \)
(C) \( \tan(e^x) + C \)
(D) \( \cot(e^x) + C \)
(नोट: यहाँ प्रश्न \( \int \frac{e^x(1+x)}{\cos^2(xe^x)} \, dx \) है)

Answer:

मान लीजिए \( I = \int \frac{e^x(1 + x)}{\cos^2(xe^x)} \, dx \)
मान लीजिए \( xe^x = t \)
अतः गुणन नियम से अवकलन करने पर:
\( (1 \cdot e^x + x \cdot e^x) \, dx = dt \implies e^x(1 + x) \, dx = dt \)
मान को समाकलन में रखने पर:
\( I = \int \frac{dt}{\cos^2 t} \)
\( I = \int \sec^2 t \, dt \)
\( I = \tan t + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \tan(xe^x) + C \)
अतः विकल्प (B) सही है।

मुख्य बिंदु:

• प्रतिस्थापन विधि का शानदार अनुप्रयोग।
• \( xe^x = t \) मानकर उसका अवकलन अंश में प्राप्त करना।
• \( \frac{1}{\cos^2 t} = \sec^2 t \) का समाकलन \( \tan t \) होता है।

आम गलतियाँ:

• गुणन नियम (product rule) से अवकलन करते समय गलती करना।
• सही पद को \( t \) न मानना।
• अंतिम उत्तर में \( t \) का मान प्रतिस्थापित न करना।

Exam Tips:

a) यदि कोण में कोई जटिल फलन हो, तो उसे \( t \) मानकर जाँचें कि उसका अवकलन अंश में है या नहीं।
b) चर घातांक फलनों के अवकलन के नियमों को पक्का रखें।
सही विकल्प (B) चुनें।