NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 07 Integrals (समाकलन) Exercise 7.2 in Hindi

Question 1: \( \frac{2x}{1 + x^2} \)

Answer:

मान लीजिए \( 1 + x^2 = t \)
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
\( 2x \, dx = dt \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{2x}{1 + x^2} \, dx \)
\( I = \int \frac{1}{t} \, dt \)
\( I = \log|t| + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \log|1 + x^2| + C \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिस्थापन विधि (Substitution method) का प्रयोग किया गया है।
• हर के फलन का अवकलन अंश में सीधे मौजूद है।
• समाकलन का मानक सूत्र \( \int \frac{1}{t} dt = \log|t| + C \) लगाया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( dx \) का मान निकालते समय अचर पदों की गलती करना।
• मापांक चिह्न \( | \dots | \) लगाना भूल जाना।
• समाकलन स्थिरांक \( + C \) न लिखना।

Exam Tips:

a) प्रतिस्थापन करते समय हमेशा जाँच लें कि फलन का अवकलन व्यंजक में उपस्थित है या नहीं।
b) लघुगणकीय फलनों के उत्तर में मापांक चिह्न का प्रयोग अवश्य करें।
c) अंतिम उत्तर में \( C \) जोड़ना न भूलें।

Question 2: \( \frac{(\log x)^2}{x} \)

Answer:

मान लीजिए \( \log x = t \)
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{x} \, dx = dt \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{(\log x)^2}{x} \, dx \)
\( I = \int t^2 \, dt \)
\( I = \frac{t^3}{3} + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{(\log x)^3}{3} + C \)

मुख्य बिंदु:

• यहाँ \( \log x \) का अवकलन \( \frac{1}{x} \) फलन में दिया गया है।
• बीजीय फलन के समाकलन के सूत्र \( \int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} \) का उपयोग किया गया है।
• प्रतिस्थापन के बाद सीधे मानक रूप प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{1}{x} \) को प्रतिस्थापित करते समय छोड़ देना।
• घात नियम लगाते समय घातांक में गलती करना।
• प्रतिस्थापन के बाद चर को \( x \) से \( t \) में पूरी तरह न बदलना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में पहचानें कि किस लघुगणकीय या त्रिकोणमितीय पद का अवकलन प्रश्न में मौजूद है।
b) घात वाले फलनों को \( t \) मानकर घातांक नियम आसानी से लगाया जा सकता है।
c) चरणों को स्पष्ट रूप से लिखकर दिखाएं।

Question 3: \( \frac{1}{x + x \log x} \)

Answer:

दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( \frac{1}{x + x \log x} = \frac{1}{x(1 + \log x)} \)
अब मान लीजिए \( 1 + \log x = t \)
अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{x} \, dx = dt \)
समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{1}{x(1 + \log x)} \, dx \)
\( I = \int \frac{1}{t} \, dt \)
\( I = \log|t| + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \log|1 + \log x| + C \)

मुख्य बिंदु:

• हर में से \( x \) को उभयनिष्ठ (common) निकाला गया है।
• \( (1 + \log x) \) को \( t \) माना गया है।
• परिणामी समाकलन मानक लघुगणकीय रूप में है।

आम गलतियाँ:

• हर से \( x \) कॉमन न निकालकर सीधे आगे बढ़ना।
• प्रतिस्थापन के बाद \( dx/x \) को \( dt \) से प्रतिस्थापित न करना।
• उत्तर में अंतिम फलन ठीक से न लिखना।

Exam Tips:

a) यदि हर में कोई पद कॉमन आ रहा हो, तो उसे पहले सरल करें।
b) ब्रैकेट के अंदर के पद का अवकलन यदि बाहर गुणक में हो, तो उसे प्रतिस्थापित करें।
c) अंतिम चरण में मापांक का उपयोग सावधानी से करें।

Question 4: \( \sin x \cdot \sin(\cos x) \)

Answer:

मान लीजिए \( \cos x = t \)
अवकलन करने पर:
\( -\sin x \, dx = dt \implies \sin x \, dx = -dt \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \sin x \cdot \sin(\cos x) \, dx \)
\( I = \int \sin(t) (-dt) = -\int \sin t \, dt \)
\( I = -(-\cos t) + C = \cos t + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \cos(\cos x) + C \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय फलन के अंदर के कोण \( \cos x \) को \( t \) माना गया है।
• ऋणात्मक चिह्न का सावधानीपूर्वक ध्यान रखा गया है।
• \( \sin t \) का समाकलन \( -\cos t \) होता है।

आम गलतियाँ:

• \( \cos x \) के अवकलन का ऋणात्मक चिह्न छोड़ देना।
• त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन के सूत्रों में भ्रमित होना।
• कोण के स्थान पर केवल चर लिखना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों के कोणों में यदि कोई दूसरा फलन हो, तो सामान्यतः उसे ही \( t \) माना जाता है।
b) अवकलन के ऋणात्मक चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।
c) अंतिम उत्तर में मूल चर \( x \) को पुनः स्थापित करें।

Question 5: \( \sin(ax + b) \cos(ax + b) \)

Answer:

हम जानते हैं कि \( \sin 2\theta = 2 \sin\theta \cos\theta \), अतः दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( \sin(ax + b) \cos(ax + b) = \frac{2 \sin(ax + b) \cos(ax + b)}{2} = \frac{\sin 2(ax + b)}{2} \)
अब मान लीजिए \( 2(ax + b) = t \implies 2a \, dx = dt \implies dx = \frac{dt}{2a} \)
समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{\sin(2ax + 2b)}{2} \, dx \)
\( I = \int \frac{\sin t}{2} \cdot \frac{dt}{2a} = \frac{1}{4a} \int \sin t \, dt \)
\( I = \frac{1}{4a} (-\cos t) + C = -\frac{1}{4a} \cos(2ax + 2b) + C \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta \) का प्रयोग किया गया है।
• रैखिक संयोजन को प्रतिस्थापित किया गया है।
• गुणांकों का सही समायोजन किया गया है।

आम गलतियाँ:

• सर्वसमिका का प्रयोग किए बिना सीधे समाकलन करने का प्रयास करना।
• अचर गुणांक \( 2a \) से भाग देना भूल जाना।
• चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) गुणनफल के रूप में त्रिकोणमितीय फलन होने पर पहले उन्हें योग या गुणक सर्वसमिका से सरल करें।
b) प्रतिस्थापन के दौरान गुणांकों को बाहर लिखना न भूलें।
c) गणना को साफ-सुथरा रखें।

Question 6: \( \sqrt{ax + b} \)

Answer:

मान लीजिए \( ax + b = t \)
अवकलन करने पर:
\( a \, dx = dt \implies dx = \frac{1}{a} \, dt \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \sqrt{ax + b} \, dx = \int t^{1/2} \cdot \frac{1}{a} \, dt \)
\( I = \frac{1}{a} \int t^{1/2} \, dt = \frac{1}{a} \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} \right) + C \)
\( I = \frac{2}{3a} t^{3/2} + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{2}{3a} (ax + b)^{3/2} + C \)

मुख्य बिंदु:

• मूल राशि को घात \( 1/2 \) के रूप में लिखा गया है।
• रैखिक फलन के प्रतिस्थापन का मानक तरीका उपयोग किया गया है।
• समाकलन का घात नियम \( \int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} \) लगाया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{1}{a} \) गुणांक से गुणा करना भूल जाना।
• घातांक को हल करते समय भिन्न की जोड़ में गलती करना।
• \( + C \) न लिखना।

Exam Tips:

a) रैखिक व्यंजक की घात होने पर उसे सीधे \( t^{1/2} \) मानकर हल किया जा सकता है।
b) \( x \) के गुणांक \( a \) से भाग देना हमेशा याद रखें।
c) भिन्नात्मक घातों को सावधानी से सरल करें।

Question 7: \( x\sqrt{x + 2} \)

Answer:

मान लीजिए \( x + 2 = t \implies x = t - 2 \)
अवकलन करने पर:
\( dx = dt \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int x\sqrt{x + 2} \, dx = \int (t - 2)\sqrt{t} \, dt \)
\( I = \int (t - 2)t^{1/2} \, dt = \int (t^{3/2} - 2t^{1/2}) \, dt \)
\( I = \int t^{3/2} \, dt - 2 \int t^{1/2} \, dt \)
\( I = \frac{t^{5/2}}{5/2} - 2 \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} \right) + C \)
\( I = \frac{2}{5} t^{5/2} - \frac{4}{3} t^{3/2} + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{2}{5}(x + 2)^{5/2} - \frac{4}{3}(x + 2)^{3/2} + C \)

मुख्य बिंदु:

• वर्गमूल के अंदर के पद को \( t \) माना गया है और \( x \) का मान \( t \) के पदों में निकाला गया है।
• पद को अंदर गुणा करके अलग-अलग समाकलनों में तोड़ा गया है।
• प्रत्येक पद पर घात नियम लागू किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( x \) के स्थान पर \( t - 2 \) प्रतिस्थापित करना भूल जाना।
• गुणा करते समय घातों को गलत जोड़ना।
• भिन्नात्मक पदों को पलटते समय त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) जब बाहर \( x \) और अंदर रैखिक व्यंजक हो, तो इस प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग करें।
b) पदों का विस्तार करते समय सावधानी बरतें।
c) अंतिम उत्तर को सरल रूप में प्रस्तुत करें।

Question 8: \( x\sqrt{1 + 2x^2} \)

Answer:

मान लीजिए \( 1 + 2x^2 = t \)
अवकलन करने पर:
\( 4x \, dx = dt \implies x \, dx = \frac{dt}{4} \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int x\sqrt{1 + 2x^2} \, dx \)
\( I = \int \sqrt{t} \cdot \frac{dt}{4} = \frac{1}{4} \int t^{1/2} \, dt \)
\( I = \frac{1}{4} \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} \right) + C \)
\( I = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{1}{6} t^{3/2} + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{1}{6}(1 + 2x^2)^{3/2} + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( 1 + 2x^2 \) का अवकलन \( 4x \) होता है, जिसमें \( x \) अंश में मौजूद है।
• \( x \, dx \) को \( \frac{dt}{4} \) से प्रतिस्थापित किया गया है।
• घात नियम का प्रयोग करके हल किया गया है।

आम गलतियाँ:

• अचर गुणांक 4 से भाग देना भूल जाना।
• घात का योग गलत करना।
• \( + C \) न लिखना।

Exam Tips:

a) जाँच करें कि क्या बाहरी \( x \) पद अंदर के फलन के अवकलन का हिस्सा है।
b) अचरों को समाकलन चिह्न से बाहर रखना न भूलें।
c) गणना को संक्षिप्त और स्पष्ट रखें।

Question 9: \( (4x + 2)\sqrt{x^2 + x + 1} \)

Answer:

दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( I = \int (4x + 2)\sqrt{x^2 + x + 1} \, dx = \int 2(2x + 1)\sqrt{x^2 + x + 1} \, dx \)
मान लीजिए \( x^2 + x + 1 = t \)
अवकलन करने पर:
\( (2x + 1) \, dx = dt \)
समाकलन में मान रखने पर:
\( I = 2 \int \sqrt{t} \, dt = 2 \int t^{1/2} \, dt \)
\( I = 2 \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} \right) + C = \frac{4}{3} t^{3/2} + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{4}{3}(x^2 + x + 1)^{3/2} + C \)

मुख्य बिंदु:

• वर्गमूल के अंदर के द्विघात बहुपद का अवकलन बाहर \( (4x+2) \) के रूप में दिया गया है, जिसमें से 2 उभयनिष्ठ है।
• प्रतिस्थापन विधि का सीधा अनुप्रयोग किया गया है।
• मानक समाकलन सूत्र का प्रयोग हुआ है।

आम गलतियाँ:

• 2 को उभयनिष्ठ निकालना भूल जाना।
• प्रतिस्थापन के बाद अचर गुणांक छोड़ देना।
• मूल फलन को अंत में वापस न रखना।

Exam Tips:

a) हमेशा देखें कि क्या ब्रैकेट के बाहर का पद अंदर के पद का अवकलन है (या उसका कोई गुणज है)।
b) उभयनिष्ठ पदों को बाहर लेकर समाकलन को सरल बनाएं।
c) अंतिम उत्तर में \( C \) जोड़ना अनिवार्य है।

Question 10: \( \frac{1}{x - \sqrt{x}} \)

Answer:

हर को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( x - \sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) \)
अतः समाकलन है:
\( I = \int \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} \, dx \)
मान लीजिए \( \sqrt{x} - 1 = t \)
अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = dt \implies \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \, dt \)
समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{1}{t} (2 \, dt) = 2 \int \frac{1}{t} \, dt \)
\( I = 2 \log|t| + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = 2 \log|\sqrt{x} - 1| + C \)

मुख्य बिंदु:

• हर में से \( \sqrt{x} \) को उभयनिष्ठ निकाला गया है।
• \( (\sqrt{x} - 1) \) को \( t \) माना गया है।
• परिणामी समाकलन \( 2 \int \frac{1}{t} dt \) के रूप में प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• हर का गुणनखंड करने में गलती करना।
• \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) के \( 2 \) को गुणा करना भूल जाना।
• मापांक चिह्न का प्रयोग न करना।

Exam Tips:

a) ऐसे बीजगणितीय व्यंजकों में \( \sqrt{x} \) को कॉमन लेना एक प्रभावी तकनीक है।
b) प्रतिस्थापन के पश्चात अचर गुणक को समाकलन से बाहर रखें।
c) लघुगणकीय उत्तर में मापांक का ध्यान रखें।

Question 11: \( \frac{x}{\sqrt{x + 4}}, x > 0 \)

Answer:

मान लीजिए \( x + 4 = t \implies x = t - 4 \)
अवकलन करने पर:
\( dx = dt \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{t - 4}{\sqrt{t}} \, dt = \int \left( \frac{t}{\sqrt{t}} - \frac{4}{\sqrt{t}} \right) dt \)
\( I = \int (t^{1/2} - 4t^{-1/2}) \, dt \)
\( I = \frac{t^{3/2}}{3/2} - 4 \left( \frac{t^{1/2}}{1/2} \right) + C \)
\( I = \frac{2}{3} t^{3/2} - 8t^{1/2} + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{2}{3}(x + 4)^{3/2} - 8(x + 4)^{1/2} + C = \frac{2}{3}(x + 4)(x + 4)^{1/2} - 8(x + 4)^{1/2} + C \)
इसे और सरल करने पर:
\( I = \left(x + 4 - 12\right) \frac{2}{3}\sqrt{x + 4} \dots \) या \( \frac{2}{3}(x - 8)\sqrt{x + 4} + C \)

मुख्य बिंदु:

• अंश में \( x \) को \( t - 4 \) से प्रतिस्थापित किया गया है।
• भिन्नों को अलग-अलग करके घातों के रूप में लिखा गया है।
• समाकलन के घात नियम का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• पदों को अलग करते समय चिह्न की गलती करना।
• ऋणात्मक घात \( t^{-1/2} \) का समाकलन गलत करना।
• उत्तर को सरल न करना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के प्रश्नों में अंश को हर के पदों में व्यक्त करना सबसे आसान तरीका है।
b) समाकलन के बाद उभयनिष्ठ पद लेकर उत्तर को संक्षिप्त करें।
c) गणना के चरणों को सावधानी से जांचें।

Question 12: \( (x^3 - 1)^{1/3} x^5 \)

Answer:

दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( I = \int (x^3 - 1)^{1/3} x^5 \, dx = \int (x^3 - 1)^{1/3} x^3 \cdot x^2 \, dx \)
मान लीजिए \( x^3 - 1 = t \implies x^3 = t + 1 \)
अवकलन करने पर:
\( 3x^2 \, dx = dt \implies x^2 \, dx = \frac{dt}{3} \)
समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int t^{1/3} (t + 1) \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int (t^{4/3} + t^{1/3}) \, dt \)
\( I = \frac{1}{3} \left( \frac{t^{7/2}}{7/2} \dots \right) \text{अर्थात } \frac{1}{3} \left( \frac{t^{7/3}}{7/3} + \frac{t^{4/3}}{4/3} \right) + C \)
\( I = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} t^{7/3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} t^{4/3} + C = \frac{1}{7} t^{7/3} + \frac{1}{4} t^{4/3} + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{1}{7}(x^3 - 1)^{7/3} + \frac{1}{4}(x^3 - 1)^{4/3} + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( x^5 \) को \( x^3 \cdot x^2 \) में तोड़ा गया है ताकि \( x^2 dx \) अवकलन का हिस्सा बन सके।
• \( x^3 = t + 1 \) प्रतिस्थापित किया गया है।
• बहुपदों को गुणा करके घात नियम लगाया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( x^5 \) को तोड़ने में असफलता।
• भिन्नात्मक घातों का समाकलन करते समय गुणांक पलटने में गलती।
• \( + C \) छोड़ देना।

Exam Tips:

a) जब घात के अंदर बहुपद हो और बाहर उच्च घात हो, तो उसे इस प्रकार समायोजित करें कि अवकलन मिल जाए।
b) ब्रैकेट खोलने के बाद प्रत्येक पद का अलग समाकलन करें।
c) अंतिम भिन्नों को सरल करें।

Question 13: \( \frac{x^2}{(2 + 3x^3)^3} \)

Answer:

मान लीजिए \( 2 + 3x^3 = t \)
अवकलन करने पर:
\( 9x^2 \, dx = dt \implies x^2 \, dx = \frac{dt}{9} \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{x^2}{(2 + 3x^3)^3} \, dx \)
\( I = \int \frac{1}{t^3} \cdot \frac{dt}{9} = \frac{1}{9} \int t^{-3} \, dt \)
\( I = \frac{1}{9} \left( \frac{t^{-2}}{-2} \right) + C = -\frac{1}{18t^2} + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = -\frac{1}{18(2 + 3x^3)^2} + C \)

मुख्य बिंदु:

• हर के फलन के अंदर के पद का अवकलन अंश में \( x^2 \) के रूप में मौजूद है।
• \( t^{-3} \) के रूप में लिखकर मानक घात नियम लगाया गया है।
• ऋणात्मक चिह्न का सही प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• 9 से भाग देना भूल जाना।
• ऋणात्मक घात का समाकलन करते समय चिह्न की गलती करना।
• हर में घात को गलत लिखना।

Exam Tips:

a) यदि अंश में चर की घात हर के अवकलन से मेल खाती है, तो प्रतिस्थापन सबसे तेज़ विधि है।
b) ऋणात्मक घातों के समाकलन में चिह्न का विशेष ध्यान रखें।
c) उत्तर को धनात्मक घात के रूप में हर में लिखें।

Question 14: \( \frac{1}{x(\log x)^m}, x > 0 \)

Answer:

मान लीजिए \( \log x = t \)
अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{x} \, dx = dt \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{1}{x(\log x)^m} \, dx = \int \frac{1}{t^m} \, dt = \int t^{-m} \, dt \)
घातांक नियम लागू करने पर (जब \( m \neq 1 \)):
\( I = \frac{t^{-m+1}}{-m+1} + C = \frac{t^{1-m}}{1-m} + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{(\log x)^{1-m}}{1-m} + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \log x \) को \( t \) माना गया है जिसका अवकलन \( \frac{1}{x} dx \) है।
• इसे \( t^{-m} \) के रूप में बदलकर मानक समाकलन सूत्र लगाया गया है।
• \( m \neq 1 \) की शर्त निहित है।

आम गलतियाँ:

• \( m = 1 \) और \( m \neq 1 \) की स्थिति में भ्रमित होना।
• घात नियम लगाते समय \( 1-m \) को हर में गलत लिखना।
• \( + C \) छोड़ देना।

Exam Tips:

a) लघुगणकीय फलनों वाले भिन्नात्मक समाकलन में प्रतिस्थापन का हमेशा प्रयास करें।
b) अचरों और चरों के क्रम को स्पष्ट रखें।
c) अंतिम उत्तर मानक रूप में दें।

Question 15: \( \frac{x}{9 - 4x^2} \)

Answer:

मान लीजिए \( 9 - 4x^2 = t \)
अवकलन करने पर:
\( -8x \, dx = dt \implies x \, dx = -\frac{dt}{8} \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{x}{9 - 4x^2} \, dx = \int \frac{1}{t} \left(-\frac{dt}{8}\right) \)
\( I = -\frac{1}{8} \int \frac{1}{t} \, dt = -\frac{1}{8} \log|t| + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = -\frac{1}{8} \log|9 - 4x^2| + C \)

मुख्य बिंदु:

• हर के व्यंजक का अवकलन अंश में \( x \) के रूप में उपलब्ध है।
• \( -8 \) के गुणांक से भाग दिया गया है।
• मानक सूत्र \( \int \frac{1}{t} dt = \log|t| \) का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• अवकलन का ऋणात्मक चिह्न छोड़ देना।
• 8 से भाग देना भूल जाना।
• मापांक चिह्न न लगाना।

Exam Tips:

a) जब अंश में केवल \( x \) हो और हर में द्विघात पद हो, तो प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग करें।
b) ऋणात्मक चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।
c) अंतिम उत्तर में मापांक आवश्यक है।

Question 16: \( e^{2x + 3} \)

Answer:

मान लीजिए \( 2x + 3 = t \)
अवकलन करने पर:
\( 2 \, dx = dt \implies dx = \frac{dt}{2} \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int e^{2x + 3} \, dx = \int e^t \cdot \frac{dt}{2} \)
\( I = \frac{1}{2} \int e^t \, dt = \frac{1}{2} e^t + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{1}{2} e^{2x + 3} + C \)

मुख्य बिंदु:

• घातीय फलन की घात में रैखिक व्यंजक होने पर उसे प्रतिस्थापित किया जाता है।
• \( e^t \) का समाकलन स्वयं \( e^t \) होता है।
• \( x \) के गुणांक 2 से भाग दिया गया है।

आम गलतियाँ:

• गुणांक 2 से भाग देना भूल जाना।
• घातीय फलन का अवकलन और समाकलन में भ्रमित होना।
• \( + C \) न लिखना।

Exam Tips:

a) चर घातीय फलनों \( e^{ax+b} \) का समाकलन सीधा \( \frac{1}{a}e^{ax+b} + C \) होता है।
b) परीक्षा में सीधे सूत्र या प्रतिस्थापन दोनों से कर सकते हैं।
c) चरणों को स्पष्ट लिखें।

Question 17: \( \frac{x}{e^{x^2}} \)

Answer:

दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( I = \int \frac{x}{e^{x^2}} \, dx = \int x e^{-x^2} \, dx \)
मान लीजिए \( x^2 = t \)
अवकलन करने पर:
\( 2x \, dx = dt \implies x \, dx = \frac{dt}{2} \)
समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int e^{-t} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int e^{-t} \, dt \)
\( I = \frac{1}{2} \left( \frac{e^{-t}}{-1} \right) + C = -\frac{1}{2} e^{-t} + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C = -\frac{1}{2e^{x^2}} + C \)

मुख्य बिंदु:

• हर से घातीय पद को अंश में लाकर ऋणात्मक घात बनाई गई है।
• घात \( x^2 \) को \( t \) माना गया है।
• \( e^{-t} \) का समाकलन \( -e^{-t} \) होता है।

आम गलतियाँ:

• \( e^{-t} \) का समाकलन करते समय ऋणात्मक चिह्न छोड़ देना।
• 2 से भाग देना भूल जाना।
• पदों को ठीक से व्यवस्थित न करना।

Exam Tips:

a) घातीय फलन को अंश में ले जाकर प्रश्न को सरल किया जा सकता है।
b) समाकलन के दौरान गुणांकों और चिह्नों का ध्यान रखें।
c) उत्तर को मानक रूप में प्रस्तुत करें।

Question 18: \( \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1 + x^2} \)

Answer:

मान लीजिए \( \tan^{-1} x = t \)
अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{1 + x^2} \, dx = dt \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1 + x^2} \, dx = \int e^t \, dt \)
\( I = e^t + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = e^{\tan^{-1} x} + C \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन \( \tan^{-1} x \) को \( t \) माना गया है।
• इसका अवकलन \( \frac{1}{1+x^2} \) सीधे व्यंजक में उपस्थित है।
• \( e^t \) का समाकलन \( e^t \) होता है।

आम गलतियाँ:

• अवकलन के मानक सूत्रों को भूल जाना।
• प्रतिस्थापन के पश्चात फलन को गलत लिखना।
• \( + C \) न जोड़ना।

Exam Tips:

a) प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलन के सूत्र अच्छी तरह याद रखें।
b) यदि अवकलन फलन में मौजूद है, तो प्रतिस्थापन सबसे आसान विधि है।
c) अंतिम उत्तर में मूल चर लौटाएं।

Question 19: \( \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} \)

Answer:

अंश और हर दोनों को \( e^x \) से भाग देने पर:
\( \frac{\frac{e^{2x} - 1}{e^x}}{\frac{e^{2x} + 1}{e^x}} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \)
अब मान लीजिए \( e^x + e^{-x} = t \)
अवकलन करने पर:
\( (e^x - e^{-x}) \, dx = dt \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \, dx = \int \frac{1}{t} \, dt \)
\( I = \log|t| + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \log|e^x + e^{-x}| + C \)

मुख्य बिंदु:

• अंश और हर को \( e^x \) से विभाजित करके उपयुक्त रूप बनाया गया है।
• हर के फलन \( (e^x + e^{-x}) \) का अवकलन ठीक अंश में प्राप्त होता है।
• लघुगणकीय समाकलन का सूत्र प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( e^x \) से भाग देने के बजाय सीधे प्रतिस्थापन का प्रयास करना जो असफल होता है।
• \( e^{-x} \) के अवकलन का ऋणात्मक चिह्न भूल जाना।
• मापांक चिह्न न लगाना।

Exam Tips:

a) घातीय भिन्नों वाले ऐसे विशेष प्रश्नों में \( e^x \) से भाग देने की तकनीक याद रखें।
b) हर को \( t \) मानने पर अंश स्वतः अवकलन के रूप में आ जाता है।
c) उत्तर में मापांक का प्रयोग करें।

Question 20: \( \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{e^{2x} + e^{-2x}} \)

Answer:

मान लीजिए \( e^{2x} + e^{-2x} = t \)
अवकलन करने पर:
\( (2e^{2x} - 2e^{-2x}) \, dx = dt \implies 2(e^{2x} - e^{-2x}) \, dx = dt \implies (e^{2x} - e^{-2x}) \, dx = \frac{dt}{2} \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{e^{2x} + e^{-2x}} \, dx \)
\( I = \int \frac{1}{t} \left(\frac{dt}{2}\right) = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \, dt \)
\( I = \frac{1}{2} \log|t| + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{1}{2} \log|e^{2x} + e^{-2x}| + C \)

मुख्य बिंदु:

• हर के फलन को सीधा \( t \) माना गया है।
• अवकलन करने पर 2 उभयनिष्ठ आता है जिससे \( \frac{dt}{2} \) प्राप्त होता है।
• मानक लघुगणकीय समाकलन का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• अचर गुणक 2 से भाग देना भूल जाना।
• \( e^{-2x} \) के अवकलन में \( -2 \) के गुणन की अनदेखी करना।
• मापांक चिह्न छोड़ देना।

Exam Tips:

a) यदि हर का अवकलन अंश में अचर गुणक के अंतर से मौजूद हो, तो सीधे प्रतिस्थापन करें।
b) अचरों को बाहर रखना न भूलें।
c) अंतिम उत्तर को सुव्यवस्थित रूप में लिखें।

Question 21: \( \tan^2(2x - 3) \)

Answer:

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 \) का प्रयोग करने पर:
\( \tan^2(2x - 3) = \sec^2(2x - 3) - 1 \)
दिए गए समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( I = \int \tan^2(2x - 3) \, dx = \int [\sec^2(2x - 3) - 1] \, dx \)
\( I = \int \sec^2(2x - 3) \, dx - \int 1 \, dx \)
मान लीजिए \( 2x - 3 = t \implies 2 \, dx = dt \implies dx = \frac{dt}{2} \)
अतः:
\( I = \frac{1}{2} \int \sec^2 t \, dt - x \)
\( I = \frac{1}{2} \tan t - x + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{1}{2} \tan(2x - 3) - x + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \tan^2 x \) का सीधा समाकलन नहीं होता, इसलिए सर्वसमिका द्वारा इसे \( \sec^2 x - 1 \) में बदला गया है।
• \( \sec^2 x \) का समाकलन \( \tan x \) होता है।
• \( x \) के गुणांक 2 से भाग दिया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \tan^2 x \) का प्रत्यक्ष समाकलन करने की कोशिश करना।
• गुणांक 2 से भाग देना भूल जाना।
• \( - x \) पद को लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) \( \tan^2 x \) और \( \cot^2 x \) दिखने पर हमेशा सर्वसमिकाओं का प्रयोग करें।
b) रैखिक कोण के गुणांक से भाग देना न भूलें।
c) प्रत्येक पद का अलग समाकलन करें।

Question 22: \( \sec^2(7 - 4x) \)

Answer:

मान लीजिए \( 7 - 4x = t \)
अवकलन करने पर:
\( -4 \, dx = dt \implies dx = -\frac{dt}{4} \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \sec^2(7 - 4x) \, dx = \int \sec^2 t \left(-\frac{dt}{4}\right) \)
\( I = -\frac{1}{4} \int \sec^2 t \, dt = -\frac{1}{4} \tan t + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = -\frac{1}{4} \tan(7 - 4x) + C \)

मुख्य बिंदु:

• मानक समाकलन सूत्र \( \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C \) का प्रयोग किया गया है।
• कोण में रैखिक व्यوندक होने के कारण \( x \) के गुणांक \( -4 \) से भाग दिया गया है।
• ऋणात्मक चिह्न को ठीक से व्यवस्थित किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( -4 \) के कारण आने वाले ऋणात्मक चिह्न को छोड़ देना।
• \( \sec^2 \) का समाकलन गलत त्रिकोणमितीय फलन लिखना।
• \( + C \) न लिखना।

Exam Tips:

a) \( \sec^2(ax+b) \) प्रकार के फलनों का समाकलन सीधे \( \frac{1}{a}\tan(ax+b) + C \) होता है।
b) चिह्नों की सावधानी रखें।
c) चरणबद्ध तरीके से हल दिखाएं।

Question 23: \( \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} \)

Answer:

मान लीजिए \( \sin^{-1} x = t \)
अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = dt \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \int t \, dt \)
\( I = \frac{t^2}{2} + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{(\sin^{-1} x)^2}{2} + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \sin^{-1} x \) का अवकलन \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) व्यंजक में उपस्थित है।
• बीजगणितीय घात नियम \( \int t \, dt = \frac{t^2}{2} \) का प्रयोग किया गया है।
• प्रतिस्थापन के बाद फलन अत्यंत सरल हो जाता है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिलोम फलनों के अवकलन सूत्रों में भ्रम होना।
• घात नियम लगाते समय गलती करना।
• उत्तर में वर्ग लगाना भूल जाना।

Exam Tips:

a) प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों वाले प्रश्नों में अक्सर वे स्वयं या उनके अवकलन व्यंजक में होते हैं।
b) प्रतिस्थापन विधि का चुनाव सावधानी से करें।
c) उत्तर को मानक रूप में दें।

Question 24: \( \frac{2\cos x - 3\sin x}{6\cos x + 4\sin x} \)

Answer:

हर में से 2 उभयनिष्ठ लेने पर:
\( I = \int \frac{2\cos x - 3\sin x}{2(3\cos x + 2\sin x)} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{2\cos x - 3\sin x}{3\cos x + 2\sin x} \, dx \)
मान लीजिए \( 3\cos x + 2\sin x = t \)
अवकलन करने पर:
\( (-3\sin x + 2\cos x) \, dx = dt \implies (2\cos x - 3\sin x) \, dx = dt \)
समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{2} \log|t| + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{1}{2} \log|3\cos x + 2\sin x| + C \)

मुख्य बिंदु:

• हर से 2 कॉमन निकालकर अंश और हर के पदों को अवकलन के रूप में मिलाया गया है।
• हर के फलन का अवकलन ठीक अंश के बराबर प्राप्त होता है।
• मानक लघुगणकीय सूत्र का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• हर से 2 कॉमन निकालना भूल जाना।
• त्रिकोणमितीय अवकलन में ऋणात्मक चिह्नों की गलती करना।
• मापांक चिह्न छोड़ देना।

Exam Tips:

a) ऐसे अनुपातों में हर का अवकलन करके देखें कि अंश प्राप्त होता है या नहीं।
b) उभयनिष्ठ अचरों को समाकलन से बाहर रखें।
c) उत्तर में मापांक का प्रयोग अवश्य करें।

Question 25: \( \frac{1}{\cos^2 x(1 - \tan x)^2} \)

Answer:

व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( I = \int \frac{1}{\cos^2 x(1 - \tan x)^2} \, dx = \int \frac{\sec^2 x}{(1 - \tan x)^2} \, dx \)
मान लीजिए \( 1 - \tan x = t \)
अवकलन करने पर:
\( -\sec^2 x \, dx = dt \implies \sec^2 x \, dx = -dt \)
समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{1}{t^2} (-dt) = -\int t^{-2} \, dt \)
\( I = -\left( \frac{t^{-1}}{-1} \right) + C = \frac{1}{t} + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{1}{1 - \tan x} + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \frac{1}{\cos^2 x} \) को \( \sec^2 x \) में बदला गया है।
• \( (1 - \tan x) \) को \( t \) मानने पर इसका अवकलन \( -\sec^2 x \) अंश में मिलता है।
• ऋणात्मक घात के समाकलन का उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \sec^2 x \) और \( \tan x \) के संबंधों को पहचानने में भूल करना।
• ऋणात्मक चिह्न का सही समायोजन न करना।
• उत्तर में हर की घात गलत लिखना।

Exam Tips:

a) \( \sec^2 x \) और \( \tan x \) वाले फलनों में \( \tan x \) को \( t \) मानना सबसे उपयोगी होता है।
b) चिह्नों की त्रुटियों से बचें।
c) अंतिम उत्तर को सरल रूप में छोड़ें।

Question 26: \( \frac{\cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \)

Answer:

मान लीजिए \( \sqrt{x} = t \)
अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = dt \implies \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \, dt \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{\cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx = \int \cos t (2 \, dt) \)
\( I = 2 \int \cos t \, dt = 2 \sin t + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = 2 \sin\sqrt{x} + C \)

मुख्य बिंदु:

• कोण में \( \sqrt{x} \) होने के कारण उसे \( t \) माना गया है।
• \( \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx \) का मान \( 2\,dt \) प्राप्त हुआ है।
• \( \cos t \) का समाकलन \( \sin t \) होता है।

आम गलतियाँ:

• \( 2 \) के गुणक को गुणा करना भूल जाना।
• \( \cos x \) का समाकलन ऋणात्मक लिखना (जो कि गलत है, \( \cos \) का समाकलन धनात्मक \( \sin \) होता है)।
• \( + C \) न लिखना।

Exam Tips:

a) वर्गमूल वाले कोणों को प्रतिस्थापित करने से समाकलन मानक रूप में बदल जाता है।
b) अचर गुणक को बाहर लिखकर गणना करें।
c) त्रिकोणमितीय समाकलन के सूत्र सटीक याद रखें।

Question 27: \( \sqrt{\sin 2x} \cos 2x \)

Answer:

मान लीजिए \( \sin 2x = t \)
अवकलन करने पर:
\( 2\cos 2x \, dx = dt \implies \cos 2x \, dx = \frac{dt}{2} \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \sqrt{\sin 2x} \cos 2x \, dx = \int t^{1/2} \cdot \frac{dt}{2} \)
\( I = \frac{1}{2} \int t^{1/2} \, dt = \frac{1}{2} \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} \right) + C \)
\( I = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{1}{3} t^{3/2} + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{1}{3}(\sin 2x)^{3/2} + C \)

मुख्य बिंदु:

• वर्गमूल के अंदर के त्रिकोणमितीय फलन \( \sin 2x \) को \( t \) माना गया है।
• \( \cos 2x \, dx \) का मान \( \frac{dt}{2} \) प्रतिस्थापित किया गया है।
• घात नियम का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( 2x \) के गुणांक 2 के कारण \( \frac{1}{2} \) से भाग देना भूल जाना।
• भिन्नात्मक घात का योग गलत करना।
• मूल फलन को वापस न रखना।

Exam Tips:

a) जब त्रिकोणमितीय फलन की घात हो और उसका अवकलन पास में हो, तो प्रतिस्थापन का प्रयोग करें।
b) कोण के गुणांक का भाग देना हमेशा याद रखें।
c) अंतिम उत्तर साफ-सुथरा लिखें।

Question 28: \( \frac{\cos x}{\sqrt{1 + \sin x}} \)

Answer:

मान लीजिए \( 1 + \sin x = t \)
अवकलन करने पर:
\( \cos x \, dx = dt \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{\cos x}{\sqrt{1 + \sin x}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt = \int t^{-1/2} \, dt \)
समाकलन करने पर:
\( I = \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 2t^{1/2} + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = 2\sqrt{1 + \sin x} + C \)

मुख्य बिंदु:

• हर के वर्गमूल के अंदर के पद \( 1 + \sin x \) का अवकलन अंश \( \cos x \) में मौजूद है।
• \( t^{-1/2} \) के रूप में लिखकर घात नियम लगाया गया है।
• सीधा और सरल प्रतिस्थापन है।

आम गलतियाँ:

• \( t^{-1/2} \) का समाकलन करते समय घात नियम में गलती करना।
• \( 2 \) के गुणक को छोड़ देना।
• \( + C \) न लिखना।

Exam Tips:

a) वर्गमूल के अंदर रैखिक या त्रिकोणमितीय योग होने पर पूरे पद को \( t \) मान लें।
b) भिन्नात्मक घातों के समाकलन के सूत्र पक्के करें।
c) उत्तर को वर्गमूल के रूप में ही वापस लिखें।

Question 29: \( \cot x \log(\sin x) \)

Answer:

मान लीजिए \( \log(\sin x) = t \)
अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x \, dx = dt \implies \cot x \, dx = dt \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \cot x \log(\sin x) \, dx = \int t \, dt \)
\( I = \frac{t^2}{2} + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{(\log(\sin x))^2}{2} + C \)

मुख्य बिंदु:

• श्रृंखला नियम (Chain rule) द्वारा \( \log(\sin x) \) का अवकलन \( \cot x \) प्राप्त होता है।
• \( t \) के रूप में प्रतिस्थापित करने पर यह सरल बीजगणितीय समाकलन बन जाता है।
• घात नियम का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \log(\sin x) \) का अवकलन करते समय श्रृंखला नियम भूल जाना।
• \( \cot x \) को \( \frac{\cos x}{\sin x} \) के रूप में न देखना।
• उत्तर में वर्ग लगाना भूल जाना।

Exam Tips:

a) लघुगणकीय त्रिकोणमितीय फलनों में लॉगम के अंदर के फलन को \( t \) मानकर चेक करें।
b) त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं और अवकलनों का सही संयोजन करें।
c) उत्तर स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करें।

Question 30: \( \frac{\sin x}{1 + \cos x} \)

Answer:

मान लीजिए \( 1 + \cos x = t \)
अवकलन करने पर:
\( -\sin x \, dx = dt \implies \sin x \, dx = -dt \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} \, dx = \int \frac{1}{t} (-dt) = -\int \frac{1}{t} \, dt \)
\( I = -\log|t| + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = -\log|1 + \cos x| + C \)

मुख्य बिंदु:

• हर के फलन का अवकलन अंश में ऋणात्मक चिह्न के साथ मौजूद है।
• मानक लघुगणकीय समाकलन सूत्र का प्रयोग किया गया है।
• ऋणात्मक चिह्न को समाकलन के बाहर रखा गया है।

आम गलतियाँ:

• अवकलन का ऋणात्मक चिह्न छोड़ देना।
• मापांक चिह्न न लगाना।
• लघुगणक के गुणों का गलत प्रयोग करना।

Exam Tips:

a) जब अंश हर का अवकलन हो, तो उत्तर हमेशा लघुगणक के रूप में आता है।
b) ऋणात्मक चिह्नों पर विशेष ध्यान दें।
c) अंतिम उत्तर में \( C \) जोड़ना न भूलें।

Question 31: \( \frac{\sin x}{(1 + \cos x)^2} \)

Answer:

मान लीजिए \( 1 + \cos x = t \)
अवकलन करने पर:
\( -\sin x \, dx = dt \implies \sin x \, dx = -dt \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{\sin x}{(1 + \cos x)^2} \, dx = \int \frac{1}{t^2} (-dt) = -\int t^{-2} \, dt \)
समाकलन करने पर:
\( I = -\left( \frac{t^{-1}}{-1} \right) + C = \frac{1}{t} + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{1}{1 + \cos x} + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( 1 + \cos x = t \) प्रतिस्थापित करने पर अंश \( -dt \) बनता है।
• \( t^{-2} \) का समाकलन \( -t^{-1} \) होता है।
• ऋणात्मक चिह्नों के गुणा से धनात्मक परिणाम प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• ऋणात्मक घात का समाकलन करते समय चिह्न की गलती करना।
• \( t^2 \) को अंश में ले जाकर घात का चिह्न न बदलना।
• \( + C \) छोड़ देना।

Exam Tips:

a) घात वाले हर के फलनों में उन्हें अंश में लाकर ऋणात्मक घात के रूप में हल करें।
b) चिह्नों की सावधानी रखें।
c) उत्तर को मानक रूप में प्रस्तुत करें।

Question 32: \( \frac{1}{1 + \cot x} \)

Answer:

cot x को sin और cos में बदलने पर:
\( \frac{1}{1 + \cot x} = \frac{1}{1 + \frac{\cos x}{\sin x}} = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \)
अब समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( I = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx \)
अंश और हर को समायोजित करने के लिए 2 से गुणा और भाग करने पर:
\( I = \frac{1}{2} \int \frac{2\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{(\sin x + \cos x) + (\sin x - \cos x)}{\sin x + \cos x} \, dx \)
पदों को अलग करने पर:
\( I = \frac{1}{2} \int \left( 1 + \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} \right) dx = \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} \, dx \)
दूसरे भाग के लिए मान लीजिए \( \sin x + \cos x = t \implies (\cos x - \sin x)dx = dt \implies (\sin x - \cos x)dx = -dt \)
अतः:
\( I = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \int \frac{-1}{t} \, dt = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \log|t| + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \log|\sin x + \cos x| + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \cot x \) को \( \frac{\cos x}{\sin x} \) में बदलकर सरल किया गया है।
• अंश में \( 2\sin x \) को \( (\sin x + \cos x) + (\sin x - \cos x) \) के रूप में तोड़ा गया है।
• मानक प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• अंश को समायोजित करने में गलती करना।
• समाकलन के दोनों भागों को अलग-अलग हल करना भूल जाना।
• मापांक चिह्न न लगाना।

Exam Tips:

a) \( \frac{1}{1 + \tan x} \) या \( \frac{1}{1 + \cot x} \) प्रकार के प्रश्न बहुत महत्वपूर्ण हैं, इन्हें विशेष रूप से तैयार करें।
b) अंश को हर के अवकलन और योग के रूप में तोड़ने की तकनीक याद रखें।
c) चरणों को स्पष्ट लिखें।

Question 33: \( \frac{1}{1 - \tan x} \)

Answer:

\( \tan x \) को sin और cos में बदलने पर:
\( \frac{1}{1 - \tan x} = \frac{1}{1 - \frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\cos x}{\cos x - \sin x} \)
अंश और हर में 2 से गुणा और भाग करने पर:
\( I = \frac{1}{2} \int \frac{2\cos x}{\cos x - \sin x} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{(\cos x - \sin x) + (\cos x + \sin x)}{\cos x - \sin x} \, dx \)
पदों को अलग करने पर:
\( I = \frac{1}{2} \int \left( 1 + \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} \right) dx = \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} \, dx \)
दूसरे भाग के लिए मान लीजिए \( \cos x - \sin x = t \implies (-\sin x - \cos x)dx = dt \implies (\cos x + \sin x)dx = -dt \)
अतः:
\( I = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{-1}{t} \, dt = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \log|t| + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \log|\cos x - \sin x| + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \tan x \) को साइन-कोसाइन में बदलकर लघुत्तम लिया गया है।
• अंश को हर के योग और अवकलन के रूप में समायोजित किया गया है।
• लघुगणकीय समाकलन का प्रयोग हुआ है।

आम गलतियाँ:

• अंश को तोड़ते समय चिह्नों की गलती करना।
• \( \frac{1}{2} \) से गुणा करना भूल जाना।
• मापांक चिह्न न लगाना।

Exam Tips:

a) यह प्रश्न पिछले प्रश्न के समान ही पद्धति पर आधारित है।
b) त्रिकोणमितीय समायोजन के चरणों को अभ्यास से पक्का करें।
c) उत्तर में स्थिरांक \( C \) जोड़ना न भूलें।

Question 34: \( \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} \)

Answer:

अंश और हर को इस प्रकार व्यवस्थित कर सकते हैं:
\( I = \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} \, dx \)
हर में \( \cos x \) से गुणा और भाग करने पर:
\( I = \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\frac{\sin x \cos x}{\cos x} \cdot \cos x} \, dx = \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\tan x \cdot \cos^2 x} \, dx \)
चूँकि \( \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \) और \( \frac{\sqrt{\tan x}}{\tan x} = \frac{1}{\sqrt{\tan x}} \), अतः:
\( I = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} \, dx \)
अब मान लीजिए \( \tan x = t \implies \sec^2 x \, dx = dt \)
मान रखने पर:
\( I = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt = \int t^{-1/2} \, dt = 2t^{1/2} + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = 2\sqrt{\tan x} + C \)

मुख्य बिंदु:

• हर में \( \cos^2 x \) बनाकर \( \sec^2 x \) में परिवर्तित किया गया है।
• व्यंजक को \( \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} \) के मानक रूप में लाया गया है।
• प्रतिस्थापन विधि से हल किया गया है।

आम गलतियाँ:

• हर को व्यवस्थित करने में बीजगणितीय भ्रम होना।
• \( \sec^2 x \) और \( \tan x \) के संयोजन को न पहचान पाना।
• उत्तर में वर्गमूल चिह्न छोड़ देना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों के ऐसे जटिल रूपों में \( \sec^2 x \) बनाने का प्रयास करें।
b) \( \tan x \) को \( t \) मानने से फलन बहुत सरल हो जाता है।
c) चरणों को साफ-सुथरा लिखें।

Question 35: \( \frac{(1 + \log x)^2}{x} \)

Answer:

मान लीजिए \( 1 + \log x = t \)
अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{x} \, dx = dt \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{(1 + \log x)^2}{x} \, dx = \int t^2 \, dt \)
समाकलन करने पर:
\( I = \frac{t^3}{3} + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{(1 + \log x)^3}{3} + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( 1 + \log x \) को \( t \) माना गया है जिसका अवकलन \( \frac{1}{x} dx \) है।
• बीजगणितीय घात नियम का सीधा प्रयोग किया गया है।
• यह एक बहुत ही सरल प्रतिस्थापन का प्रश्न है।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{1}{x} \) को प्रतिस्थापित करना भूल जाना।
• घात नियम में 3 के स्थान पर अन्य संख्या लिखना।
• \( + C \) न जोड़ना।

Exam Tips:

a) ब्रैकेट के अंदर के व्यंजक का अवकलन बाहर होने पर तुरंत प्रतिस्थापन करें।
b) गणना सरल होने पर भी सभी चरण लिखें।
c) उत्तर में अचर \( C \) अवश्य लगाएं।

Question 36: \( \frac{(x + 1)(x + \log x)^2}{x} \)

Answer:

व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( I = \int \frac{(x + 1)(x + \log x)^2}{x} \, dx = \int \left( \frac{x + 1}{x} \right) (x + \log x)^2 \, dx \)
\( I = \int \left( 1 + \frac{1}{x} \right) (x + \log x)^2 \, dx \)
अब मान लीजिए \( x + \log x = t \)
अवकलन करने पर:
\( \left( 1 + \frac{1}{x} \right) dx = dt \)
समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3} + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \frac{(x + \log x)^3}{3} + C \)

मुख्य बिंदु:

• अंश के पदों को अलग करके \( \left(1 + \frac{1}{x}\right) \) बनाया गया है।
• \( (x + \log x) \) को \( t \) मानने पर इसका अवकलन ठीक बाहर मिल जाता है।
• घात नियम का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• भिन्नों को अलग करने में भूल करना।
• \( x + \log x \) के अवकलन को पहचानने में गलती करना।
• अंतिम फलन को गलत लिखना।

Exam Tips:

a) बड़े व्यंजकों को अलग-अलग भागों में विभाजित करके देखें कि अवकलन बनता है या नहीं।
b) प्रतिस्थापन विधि का सही चुनाव करें।
c) उत्तर को मानक रूप में दें।

Question 37: \( \frac{x^3 \sin(\tan^{-1}(x^4))}{1 + x^8} \)

Answer:

मान लीजिए \( x^4 = t \)
अवकलन करने पर:
\( 4x^3 \, dx = dt \implies x^3 \, dx = \frac{dt}{4} \)
समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{x^3 \sin(\tan^{-1}(x^4))}{1 + x^8} \, dx = \int \frac{\sin(\tan^{-1} t)}{1 + t^2} \cdot \frac{dt}{4} = \frac{1}{4} \int \frac{\sin(\tan^{-1} t)}{1 + t^2} \, dt \)
अब पुनः मान लीजिए \( \tan^{-1} t = u \)
अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{1 + t^2} \, dt = du \)
मान रखने पर:
\( I = \frac{1}{4} \int \sin u \, du = \frac{1}{4} (-\cos u) + C = -\frac{1}{4} \cos u + C \)
\( u \) और \( t \) के मान वापस रखने पर:
\( I = -\frac{1}{4} \cos(\tan^{-1}(x^4)) + C \)

मुख्य बिंदु:

• इसमें दो बार प्रतिस्थापन (Double substitution) का प्रयोग किया गया है।
• पहले \( x^4 = t \) माना गया और फिर \( \tan^{-1} t = u \) माना गया है।
• \( \sin u \) का समाकलन \( -\cos u \) होता है।

आम गलतियाँ:

• दो बार प्रतिस्थापन करते समय गुणांकों और चरों में भ्रमित होना।
• \( 1 + x^8 \) को \( 1 + (x^4)^2 \) के रूप में न देखना।
• ऋणात्मक चिह्न छोड़ देना।

Exam Tips:

a) जटिल प्रतिलोम फलनों वाले प्रश्नों में दो बार प्रतिस्थापन आवश्यक हो सकता है।
b) प्रत्येक चरण में चर परिवर्तन को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) अंतिम उत्तर में मूल चर \( x \) को पुनः स्थापित करें।

Question 38: \( \int \frac{10x^9 + 10^x \log_e 10}{x^{10} + 10^x} \, dx \) बराबर है:
(A) \( 10^x - x^{10} + C \)
(B) \( 10^x + x^{10} + C \)
(C) \( (10^x - x^{10})^{-1} + C \)
(D) \( \log(10^x + x^{10}) + C \)

Answer:

मान लीजिए हर का फलन \( x^{10} + 10^x = t \)
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
\( (10x^9 + 10^x \log_e 10) \, dx = dt \)
दिए गए समाकलन में मान रखने पर:
\( I = \int \frac{10x^9 + 10^x \log_e 10}{x^{10} + 10^x} \, dx = \int \frac{1}{t} \, dt \)
\( I = \log|t| + C \)
\( t \) का मान वापस रखने पर:
\( I = \log(x^{10} + 10^x) + C \)
अतः विकल्प (D) सही है।

मुख्य बिंदु:

• यह एक बहुविकल्पीय प्रश्न है जिसमें हर का अवकलन सीधे अंश में उपस्थित है।
• \( 10^x \) का अवकलन \( 10^x \log_e 10 \) होता है।
• मानक लघुगणकीय समाकलन का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( 10^x \) के अवकलन के सूत्र में \( \log_e 10 \) लिखना भूल जाना।
• गलत विकल्प का चयन करना।
• मापांक या कोष्ठक की अशुद्धि।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में भी पहले रफ कार्य करके सही हल निकालें।
b) चर घातीय फलनों के अवकलन के सूत्र पक्के रखें।
c) सही विकल्प (D) को चिह्नित करें।

Question 39: \( \int \frac{dx}{\sin^2 x \cos^2 x} \) बराबर है:
(A) \( \tan x + \cot x + C \)
(B) \( \tan x - \cot x + C \)
(C) \( \tan x \cdot \cot x + C \)
(D) \( \tan x \cot 2x + C \)

Answer:

हम जानते हैं कि \( 1 = \sin^2 x + \cos^2 x \), अतः व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( I = \int \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} \, dx = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \, dx \)
पदों को अलग करने पर:
\( I = \int \left( \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \right) dx \)
\( I = \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} \right) dx = \int (\sec^2 x + \csc^2 x) \, dx \)
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
\( I = \tan x - \cot x + C \)
अतः विकल्प (B) सही है।

मुख्य बिंदु:

• अंश में सर्वसमिका \( 1 = \sin^2 x + \cos^2 x \) का प्रयोग किया गया है।
• भिन्नों को अलग करके \( \sec^2 x \) और \( \csc^2 x \) प्राप्त किया गया है।
• \( \csc^2 x \) का समाकलन \( -\cot x \) होता है।

आम गलतियाँ:

• \( \csc^2 x \) के समाकलन का चिह्न धनात्मक लिख देना।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग न करना।
• गलत विकल्प चुनना।

Exam Tips:

a) ऐसे त्रिकोणमितीय व्यंजकों को अलग-अलग पदों में तोड़कर मानक समाकलनों में बदला जाता है।
b) \( \csc^2 x \) के समाकलन का ऋणात्मक चिह्न सावधानी से याद रखें।
c) सही विकल्प (B) का चयन करें।