NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 07 Integrals (समाकलन) Exercise 7.10 in Hindi

Question 1: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx \)

Answer:

मान लेते हैं कि दिया गया समाकल \( I \) है:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx \) ...(1)
निश्चित समाकलन के गुणधर्म \( \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \left(\frac{\pi}{2} - x\right) dx \)
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx \) ...(2)
समीकरण (1) और समीकरण (2) को जोड़ने पर:
\( 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 x + \cos^2 x) \, dx \)
\( 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx \)
\( 2I = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \)
\( 2I = \frac{\pi}{2} \)
\( I = \frac{\pi}{4} \)

मुख्य बिंदु:

• निश्चित समाकलन के गुणधर्म \( \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx \) का उपयोग किया गया है।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) का प्रयोग किया गया है।
• दोनों समीकरणों को जोड़कर समाकलन को सरल बनाया गया है।

आम गलतियाँ:

• गुणधर्म लागू करते समय सीमा (limits) बदलना भूल जाना।
• जोड़ने के बाद समाकलन करना भूल जाना।
• अंत में 2 से भाग देना भूल जाना क्योंकि बाएँ पक्ष में \( 2I \) होता है।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के प्रश्नों में गुणधर्म का उपयोग करने से कठिन समाकलन सरल हो जाते हैं।
b) प्रत्येक चरण में समीकरण संख्या अवश्य लिखें।
c) गणना को साफ-सुथरा रखें ताकि कोई चिह्न की गलती न हो।

Question 2: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} \, dx \)

Answer:

मान लेते हैं कि दिया गया समाकल \( I \) है:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} \, dx \) ...(1)
गुणधर्म \( \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}}{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)} + \sqrt{\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}} \, dx \)
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}} \, dx \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} \, dx \)
\( 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx \)
\( 2I = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \)
\( 2I = \frac{\pi}{2} \)
\( I = \frac{\pi}{4} \)

मुख्य बिंदु:

• \( \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos x \) और \( \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin x \) का प्रयोग।
• अंश और हर के समान होने पर फलन का मान 1 हो जाता है।
• निश्चित समाकलन के मानक गुणधर्म का प्रभावी अनुप्रयोग।

आम गलतियाँ:

• हर (denominator) में पदों का क्रम बदलते समय चिह्न की गलती करना।
• \( 2I \) के स्थान पर सीधे \( I \) का मान आधा करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) यह बोर्ड परीक्षा के लिए एक अति महत्वपूर्ण प्रश्न है।
b) हर चरण में त्रिकोणमितीय परिवर्तनों को स्पष्ट दिखाएँ।
c) अंत में उत्तर की इकाई और सीमा का सही मान रखें।

Question 3: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x + \cos^{\frac{3}{2}} x} \, dx \)

Answer:

मान लेते हैं कि दिया गया समाकल \( I \) है:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x + \cos^{\frac{3}{2}} x} \, dx \) ...(1)
गुणधर्म \( \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{3}{2}}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}{\sin^{\frac{3}{2}}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \cos^{\frac{3}{2}}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)} \, dx \)
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{\frac{3}{2}} x}{\cos^{\frac{3}{2}} x + \sin^{\frac{3}{2}} x} \, dx \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x + \cos^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x + \cos^{\frac{3}{2}} x} \, dx \)
\( 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx \)
\( 2I = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \)
\( 2I = \frac{\pi}{2} \)
\( I = \frac{\pi}{4} \)

मुख्य बिंदु:

• घातांक चाहे जो भी हो (यहाँ \( \frac{3}{2} \)), यह विधि समान रूप से कार्य करती है।
• गुणधर्म के प्रयोग से हर अपरिवर्तित रहता है।
• सरल योग के पश्चात समाकलन करना आसान हो जाता है।

आम गलतियाँ:

• घाتاंक को लिखते समय जल्दबाजी में गलती करना।
• सीमा के मानों को प्रतिस्थापित करते समय त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के सभी प्रश्नों का उत्तर सामान्यतः \( \frac{\pi}{4} \) आता है।
b) अपनी गणना की जाँच करने के लिए इस पैटर्न को याद रखें।
c) परीक्षा में सभी चरणों को विस्तार से लिखें।

Question 4: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^5 x}{\sin^5 x + \cos^5 x} \, dx \)

Answer:

मान लेते हैं कि दिया गया समाकल \( I \) है:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^5 x}{\sin^5 x + \cos^5 x} \, dx \) ...(1)
गुणधर्म \( \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^5\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}{\sin^5\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \cos^5\left(\frac{\pi}{2} - x\right)} \, dx \)
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^5 x}{\cos^5 x + \sin^5 x} \, dx \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^5 x + \sin^5 x}{\sin^5 x + \cos^5 x} \, dx \)
\( 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx \)
\( 2I = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \)
\( 2I = \frac{\pi}{2} \)
\( I = \frac{\pi}{4} \)

मुख्य बिंदु:

• \( \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin x \) और \( \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos x \) का उपयोग।
• समीकरणों को जोड़ने पर अंश और हर एक-दूसरे को काट देते हैं।
• निश्चित समाकलन के गुणधर्म का मानक अनुप्रयोग।

आम गलतियाँ:

• घात 5 को ठीक से न लिख पाना।
• जोड़ते समय हर के पदों का क्रम न समझना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में गुणधर्म ही सबसे प्रभावी हथियार है।
b) अंतिम चरण में सीमा का मान प्रतिस्थापित करना न भूलें।
c) चरण-दर-चरण समाधान प्रस्तुत करें।

Question 5: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{-5}^{5} |x + 2| \, dx \)

Answer:

मान लेते हैं कि दिया गया समाकल \( I \) है:
\( I = \int_{-5}^{5} |x + 2| \, dx \)
यहाँ, \( x + 2 < 0 \) जब \( x < -2 \) और \( x + 2 > 0 \) जब \( x > -2 \), इसलिए समाकल को दो भागों में विभाजित करने पर:
\( I = \int_{-5}^{-2} -(x + 2) \, dx + \int_{-2}^{5} (x + 2) \, dx \)
\( I = -\left[\frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-5}^{-2} + \left[\frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-2}^{5} \)
सीमाओं को रखने पर:
\( I = -\left[\left(\frac{(-2)^2}{2} + 2(-2)\right) - \left(\frac{(-5)^2}{2} + 2(-5)\right)\right] + \left[\left(\frac{(5)^2}{2} + 2(5)\right) - \left(\frac{(-2)^2}{2} + 2(-2)\right)\right] \)
\( I = -\left[2 - 4 - \frac{25}{2} + 10\right] + \left[\frac{25}{2} + 10 - 2 + 4\right] \)
\( I = -2 + 4 + \frac{25}{2} - 10 + \frac{25}{2} + 10 - 2 + 4 \)
\( I = 29 \)

मुख्य बिंदु:

• मापांक (modulus) फलन के लिए सीमा को उस बिंदु पर तोड़ते हैं जहाँ फलन का मान शून्य होता है (\( x = -2 \))।
• \( x < -2 \) के लिए मापांक ऋनात्मक और \( x > -2 \) के लिए धनात्मक होता है।
• निश्चित समाकलन के गुणधर्म \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx \) का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• मापांक फलन को तोड़े बिना सीधे समाकलन कर देना।
• ऋनात्मक चिह्न (minus sign) को अंदर गुणा करते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) मापांक वाले प्रश्नों में क्रिटिकल पॉइंट (critical point) अवश्य निकालें।
b) ब्रैकेट के बाहर और अंदर के चिह्नों पर विशेष ध्यान दें।
c) गणना को अंत तक सावधानी से हल करें।

Question 6: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{2}^{8} |x - 5| \, dx \)

Answer:

मान लेते हैं कि दिया गया समाकल \( I \) है:
\( I = \int_{2}^{8} |x - 5| \, dx \)
यहाँ, \( x - 5 < 0 \) जब \( x < 5 \) और \( x - 5 > 0 \) जब \( x > 5 \), इसलिए समाकल को विभाजित करने पर:
\( I = \int_{2}^{5} -(x - 5) \, dx + \int_{5}^{8} (x - 5) \, dx \)
\( I = -\left[\frac{x^2}{2} - 5x\right]_{2}^{5} + \left[\frac{x^2}{2} - 5x\right]_{5}^{8} \)
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
\( I = -\left[\left(\frac{5^2}{2} - 5(5)\right) - \left(\frac{2^2}{2} - 5(2)\right)\right] + \left[\left(\frac{8^2}{2} - 5(8)\right) - \left(\frac{5^2}{2} - 5(5)\right)\right] \)
\( I = -\left[\frac{25}{2} - 25 - 2 + 10\right] + \left[32 - 40 - \frac{25}{2} + 25\right] \)
\( I = -\frac{25}{2} + 25 + 2 - 10 - 8 - \frac{25}{2} + 25 \)
सर्वप्रथम पदों को सरल करने पर:
\( I = -\frac{25}{2} - \frac{25}{2} + 25 + 2 - 10 - 8 + 25 \)
\( I = -25 + 34 = 9 \)

मुख्य बिंदु:

• \( x = 5 \) पर फलन \( |x-5| \) का मान शून्य होता है, अतः सीमा को 2 से 5 और 5 से 8 में विभाजित किया गया है।
• सीमा के अंतरालों पर फलन के चिह्न का निर्धारण किया जाता है।
• बीजगणितीय गणनाओं को सावधानी से हल करना आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• मापांक फलन के कारण लगने वाले ऋनात्मक चिह्न को छोड़ देना।
• उच्च और निम्न सीमाओं के मान रखते समय घटाने में गलती करना।

Exam Tips:

a) रेखाखंड और मापांक के प्रश्नों में अंतराल की जाँच पहले रफ़ कार्य में कर लें।
b) भिन्नों के जोड़-घटाव में लघुत्तम (LCM) का सही प्रयोग करें।
c) प्रत्येक पद को कोष्ठक में रखकर हल करें ताकि चिह्न की गलती न हो।

Question 7: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{0}^{1} x(1 - x)^n \, dx \)

Answer:

मान लेते हैं कि दिया गया समाकल \( I \) है:
\( I = \int_{0}^{1} x(1 - x)^n \, dx \)
निश्चित समाकलन के गुणधर्म \( \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int_{0}^{1} (1 - x)(1 - (1 - x))^n \, dx \)
\( I = \int_{0}^{1} (1 - x)(x)^n \, dx \)
\( I = \int_{0}^{1} (x^n - x^{n+1}) \, dx \)
समाकलन करने पर:
\( I = \left[\frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{x^{n+2}}{n+2}\right]_{0}^{1} \)
सीमाओं को रखने पर:
\( I = \left(\frac{1^{n+1}}{n+1} - \frac{1^{n+2}}{n+2}\right) - (0) \)
\( I = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \)
लघुत्तम लेकर हल करने पर:
\( I = \frac{(n+2) - (n+1)}{(n+1)(n+2)} \)
\( I = \frac{1}{(n+1)(n+2)} \)

मुख्य बिंदु:

• गुणधर्म \( \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx \) का उपयोग यहाँ व्यंजक को सरल बनाने के लिए किया गया है।
• \( (1-x) \) को \( x \) के पदों में बदलना आसान हो जाता है।
• मानक समाकलन सूत्र \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \) का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( (1 - (1 - x)) \) को हल करते समय चिह्न की गलती करना।
• लघुत्तम लेते समय अंश में कोष्ठक न लगाना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के प्रश्नों में \( x \) को हटाने के लिए गुणधर्म सबसे अच्छा तरीका है।
b) उत्तर को सरलतम रूप में (factorized form) छोड़ें।
c) परीक्षा में प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।

Question 8: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log(1 + \tan x) \, dx \)

Answer:

मान लेते हैं कि दिया गया समाकल \( I \) है:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log(1 + \tan x) \, dx \) ...(1)
गुणधर्म \( \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log\left(1 + \tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right)\right) dx \)
हम जानते हैं कि \( \tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \), अतः:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log\left(1 + \frac{\tan\frac{\pi}{4} - \tan x}{1 + \tan\frac{\pi}{4} \tan x}\right) dx \)
क्योंकि \( \tan\frac{\pi}{4} = 1 \), इसलिए:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log\left(1 + \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}\right) dx \)
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log\left(\frac{1 + \tan x + 1 - \tan x}{1 + \tan x}\right) dx \)
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log\left(\frac{2}{1 + \tan x}\right) dx \)
लॉग के गुणधर्म \( \log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\log 2 - \log(1 + \tan x)) \, dx \)
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log 2 \, dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log(1 + \tan x) \, dx \)
समीकरण (1) से मान रखने पर:
\( I = \log 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 \, dx - I \)
\( I + I = \log 2 [x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \)
\( 2I = \log 2 \left(\frac{\pi}{4} - 0\right) \)
\( 2I = \frac{\pi}{4} \log 2 \)
\( I = \frac{\pi}{8} \log 2 \)

मुख्य बिंदु:

• \( \tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right) \) के सूत्र का उपयोग किया गया है।
• लघुगणक (logarithm) के गुणों \( \log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b \) का प्रयोग किया गया है।
• प्रारंभिक समाकल \( I \) को दाईं ओर से बाईं ओर लाकर \( 2I \) बनाया गया है।

आम गलतियाँ:

• लघुगणक के गुणों को गलत तरीके से लागू करना।
• \( -I \) को बाएँ पक्ष में लाते समय चिह्न की भूल करना।

Exam Tips:

a) यह बोर्ड परीक्षा का एक अतिप्रसिद्ध और बार-बार पूछा जाने वाला प्रश्न है।
b) त्रिकोणमितीय और लघुगणकीय दोनों गुणों का अभ्यास अच्छी तरह करें।
c) अंतिम उत्तर में \( \frac{\pi}{8} \log 2 \) प्राप्त करना सुनिश्चित करें।

Question 9: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{0}^{2} x\sqrt{2 - x} \, dx \)

Answer:

मान लेते हैं कि दिया गया समाकल \( I \) है:
\( I = \int_{0}^{2} x\sqrt{2 - x} \, dx \)
निश्चित समाकलन के गुणधर्म \( \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int_{0}^{2} (2 - x)\sqrt{2 - (2 - x)} \, dx \)
\( I = \int_{0}^{2} (2 - x)\sqrt{x} \, dx \)
\( I = \int_{0}^{2} (2\sqrt{x} - x\sqrt{x}) \, dx \)
घातों को जोड़कर लिखने पर (\( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \) और \( x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}} \)):
\( I = \int_{0}^{2} \left(2x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}}\right) dx \)
समाकलन करने पर:
\( I = \left[2 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right]_{0}^{2} \)
\( I = \left[\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}\right]_{0}^{2} \)
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
\( I = \left(\frac{4}{3}(2)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5}(2)^{\frac{5}{2}}\right) - (0) \)
चूँकि \( 2^{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{2} \) और \( 2^{\frac{5}{2}} = 4\sqrt{2} \):
\( I = \frac{4}{3}(2\sqrt{2}) - \frac{2}{5}(4\sqrt{2}) \)
\( I = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{8\sqrt{2}}{5} \)
लघुत्तम लेकर हल करने पर:
\( I = 8\sqrt{2} \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) \)
\( I = 8\sqrt{2} \left(\frac{5 - 3}{15}\right) \)
\( I = 8\sqrt{2} \left(\frac{2}{15}\right) = \frac{16\sqrt{2}}{15} \)

मुख्य बिंदु:

• गुणधर्म के प्रयोग से \( (2-x) \) को बाहर रखकर व्यंजक को सरल किया गया है।
• करणी (surds) और घातांक के नियमों का सही उपयोग किया गया है।
• भिन्नों के घटाव और सरलीकरण की प्रक्रिया अपनाई गई है।

आम गलतियाँ:

• \( 2^{\frac{3}{2}} \) के मान को हल करते समय करणी का गलत रूप लिखना।
• समाकलन करते समय गुणांकों (coefficients) में गलती करना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में प्रतिस्थापन विधि का भी प्रयोग किया जा सकता है, परंतु गुणधर्म अधिक सरल पड़ता है।
b) घातीय पदों के मान को ध्यानपूर्वक निकालें।
c) अंतिम उत्तर में उभयवैध (common) पद बाहर लेकर सरल करें।

Question 10: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2 \log \sin x - \log \sin 2x) \, dx \)

Answer:

मान लेते हैं कि दिया गया समाकल \( I \) है:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2 \log \sin x - \log \sin 2x) \, dx \)
हम जानते हैं कि \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \), अतः:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2 \log \sin x - \log(2 \sin x \cos x)) \, dx \)
लॉग के गुण \( \log(abc) = \log a + \log b + \log c \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2 \log \sin x - (\log 2 + \log \sin x + \log \cos x)) \, dx \)
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2 \log \sin x - \log 2 - \log \sin x - \log \cos x) \, dx \)
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\log \sin x - \log \cos x - \log 2) \, dx \) ...(1)
निश्चित समाकलन के गुणधर्म \( \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\log \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) - \log \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) - \log 2\right) dx \)
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\log \cos x - \log \sin x - \log 2) \, dx \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (-2 \log 2) \, dx \)
\( 2I = -2 \log 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx \)
\( 2I = -2 \log 2 [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \)
\( 2I = -2 \log 2 \left(\frac{\pi}{2}\right) \)
\( 2I = -\pi \log 2 \)
\( I = -\frac{\pi}{2} \log 2 \)

मुख्य बिंदु:

• \( \sin 2x \) का त्रिकोणमितीय सूत्र और लघुगणक के गुणों का उपयोग किया गया है।
• समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर \( \log \sin x \) और \( \log \cos x \) के पद आपस में कट जाते हैं।
• अंत में एक अचर पद का समाकलन किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• लघुगणक के ब्रैकेट को खोलते समय अंदर के सभी चिह्नों को न बदलना।
• गुणधर्म लगाते समय \( \log \sin x \) और \( \log \cos x \) के स्थानों का ध्यान न रखना।

Exam Tips:

a) लघुगणक वाले निश्चित समाकलन के प्रश्नों में लॉग के गुण सबसे पहले लगाएँ।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से समीकरण (1) और (2) के रूप में अंकित करें।
c) गणना में ऋनात्मक चिह्न का विशेष ध्यान रखें।

Question 11: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx \)

Answer:

मान लेते हैं कि दिया गया समाकल \( I \) है:
\( I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx \)
यहाँ फलन \( f(x) = \cos^2 x \) है। जाँच करने पर:
\( f(-x) = \cos^2(-x) = (\cos(-x))^2 = (\cos x)^2 = \cos^2 x = f(x) \)
अतः \( \cos^2 x \) एक सम फलन (even function) है।
हम जानते हैं कि यदि \( f(x) \) एक सम फलन हो, तो गुणधर्म होता है:
\( \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx \)
इसलिए, इस गुणधर्म का प्रयोग करने पर:
\( I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx \)
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \) का प्रयोग करने पर:
\( I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right) dx \)
\( I = 2 \times \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2x) \, dx \)
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2x) \, dx \)
समाकलन करने पर:
\( I = \left[x + \frac{\sin 2x}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \)
सीमाओं को रखने पर:
\( I = \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin\left(2 \times \frac{\pi}{2}\right)}{2}\right) - (0 + 0) \)
\( I = \frac{\pi}{2} + \frac{\sin \pi}{2} \)
चूँकि \( \sin \pi = 0 \):
\( I = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2} \)

मुख्य बिंदु:

• सम और विषम फलन के गुणधर्म \( \int_{-a}^{a} f(x) \, dx \) का उपयोग किया गया है।
• \( \cos(-x) = \cos x \) होने के कारण यह सम फलन है।
• \( \cos^2 x \) को अर्ध-कोण सूत्र द्वारा सरल किया गया है।

आम गलतियाँ:

• फलन को सम या विषम जाँच किए बिना सीधे हल करना।
• सूत्र में आगे आने वाले गुणांक (2) को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) जब भी सीमा \( -a \) से \( a \) हो, सबसे पहले सम/विषम फलन की जाँच अवश्य करें।
b) सम फलन होने पर सीमा आधी होकर आगे 2 आ जाता है, जिससे गणना आसान होती है।
c) \( \sin \pi \) और अन्य त्रिकोणमितीय मानों को सही से रखें।

Question 12: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{0}^{\pi} \frac{x}{1 + \sin x} \, dx \)

Answer:

मान लेते हैं कि दिया गया समाकल \( I \) है:
\( I = \int_{0}^{\pi} \frac{x}{1 + \sin x} \, dx \) ...(1)
निश्चित समाकलन के गुणधर्म \( \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi - x}{1 + \sin(\pi - x)} \, dx \)
चूँकि \( \sin(\pi - x) = \sin x \), इसलिए:
\( I = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi - x}{1 + \sin x} \, dx \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( 2I = \int_{0}^{\pi} \left(\frac{x}{1 + \sin x} + \frac{\pi - x}{1 + \sin x}\right) dx \)
\( 2I = \int_{0}^{\pi} \frac{x + \pi - x}{1 + \sin x} \, dx \)
\( 2I = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi}{1 + \sin x} \, dx \)
\( 2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1 + \sin x} \, dx \)
हर का परिमेयीकरण (rationalization) करने पर:
\( 2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \sin x}{(1 + \sin x)(1 - \sin x)} \, dx \)
\( 2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \sin x}{1 - \sin^2 x} \, dx \)
\( 2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} \, dx \)
\( 2I = \pi \int_{0}^{\pi} \left(\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos^2 x}\right) dx \)
\( 2I = \pi \int_{0}^{\pi} (\sec^2 x - \tan x \sec x) \, dx \)
समाकलन करने पर:
\( 2I = \pi [\tan x - \sec x]_{0}^{\pi} \)
सीमाओं को रखने पर:
\( 2I = \pi [(\tan \pi - \sec \pi) - (\tan 0 - \sec 0)] \)
चूँकि \( \tan \pi = 0, \sec \pi = -1, \tan 0 = 0, \sec 0 = 1 \):
\( 2I = \pi [(0 - (-1)) - (0 - 1)] \)
\( 2I = \pi [1 - (-1)] = \pi [1 + 1] = 2\pi \)
\( 2I = 2\pi \implies I = \pi \)

मुख्य बिंदु:

• \( \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx \) गुणधर्म से अंश का \( x \) हटाया गया है।
• त्रिकोणमितीय परिमेयीकरण द्वारा फलन को मानक रूपों में बदला गया है।
• \( \sec^2 x \) और \( \sec x \tan x \) के मानक समाकलन का उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• परिमेयीकरण करते समय चिह्न की गलती करना।
• \( \sec \pi \) का मान \( -1 \) रखने में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) यह बोर्ड परीक्षा का एक अति महत्वपूर्ण दीर्घ उत्तरीय प्रश्न है।
b) परिमेयीकरण के बाद पदों को अलग-अलग अवश्य लिखें।
c) त्रिकोणमितीय मानों को बहुत सावधानी से प्रतिस्थापित करें।

Question 13: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 x \, dx \)

Answer:

मान लेते हैं कि दिया गया समाकल \( I \) है:
\( I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 x \, dx \) ...(1)
यहाँ फलन \( f(x) = \sin^7 x \) है। जाँच करने पर:
\( f(-x) = \sin^7(-x) = (\sin(-x))^7 = (-\sin x)^7 = -\sin^7 x = -f(x) \)
अतः \( \sin^7 x \) एक विषम फलन (odd function) है।
हम जानते हैं कि यदि \( f(x) \) एक विषम फलन हो, तो निश्चित समाकलन का गुणधर्म होता है:
\( \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0 \)
इसलिए, इस गुणधर्म का सीधे प्रयोग करने पर:
\( I = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• सम और विषम फलन के गुण का उपयोग किया गया है।
• \( \sin(-x) = -\sin x \) होने के कारण यह विषम फलन है।
• विषम फलन का \( -a \) से \( a \) तक का निश्चित समाकल हमेशा शून्य होता है।

आम गलतियाँ:

• विषम फलन होने के बावजूद पूरा समाकलन हल करना शुरू कर देना।
• विषम फलन की परिभाषा में घात के प्रभाव को गलत समझना।

Exam Tips:

a) ऐसे वस्तुनिष्ठ या लघु उत्तरीय प्रश्नों में गुणधर्म का पहचान करना समय बचाता है।
b) परीक्षा की उत्तर पुस्तिका में कारण सहित लिखें कि फलन विषम क्यों है।
c) उत्तर सीधे 0 लिखा जा सकता है।

Question 14: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{0}^{2\pi} \cos^5 x \, dx \)

Answer:

मान लेते हैं कि दिया गया समाकल \( I \) है:
\( I = \int_{0}^{2\pi} \cos^5 x \, dx \) ...(1)
हम निश्चित समाकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हैं:
\( \int_{0}^{2a} f(x) \, dx = \begin{cases} 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx, & \text{यदि } f(2a-x) = f(x) \\ 0, & \text{यदि } f(2a-x) = -f(x) \end{cases} \)
यहाँ \( f(x) = \cos^5 x \) है और सीमा \( 2a = 2\pi \) यानी \( a = \pi \) है। अब \( f(2\pi - x) \) की जाँच करते हैं:
\( \cos^5(2\pi - x) = (\cos(2\pi - x))^5 = (\cos x)^5 = \cos^5 x = f(x) \)
चूँकि \( f(2\pi - x) = f(x) \) है, इसलिए गुणधर्म के अनुसार:
\( I = 2 \int_{0}^{\pi} \cos^5 x \, dx \)
पुनः, \( \pi \) सीमा के लिए गुणधर्म की जाँच करते हैं कि क्या \( f(\pi - x) = -f(x) \) है:
\( \cos^5(\pi - x) = (\cos(\pi - x))^5 = (-\cos x)^5 = -\cos^5 x = -f(x) \)
चूँकि \( \cos^5(\pi - x) = -\cos^5 x \) है, इसलिए \( \int_{0}^{\pi} \cos^5 x \, dx = 0 \) होता है।
अतः:
\( I = 2 \times 0 = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• \( \int_{0}^{2a} f(x) \, dx \) वाले विशेष गुणधर्म का प्रयोग किया गया है।
• \( \cos(2\pi - x) = \cos x \) और \( \cos(\pi - x) = -\cos x \) का उपयोग किया गया है।
• गुणधर्म के द्वितीय भाग के अनुसार मान शून्य प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• गुणधर्म की शर्तों को ठीक से बिना समझे सीधे मान लिख देना।
• \( \cos(\pi - x) \) के चिह्न को धनात्मक मान लेना।

Exam Tips:

a) इस गुणधर्म के दोनों चरणों को स्पष्ट रूप से लिखकर दिखाएँ।
b) चरण दर चरण यह सिद्ध करें कि समाकलन का मान शून्य क्यों होगा।
c) त्रिकोणमितीय चतुर्थांश (quadrants) के नियमों का ध्यान रखें।

Question 15: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x - \cos x}{1 + \sin x \cos x} \, dx \)

Answer:

मान लेते हैं कि दिया गया समाकल \( I \) है:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x - \cos x}{1 + \sin x \cos x} \, dx \) ...(1)
निश्चित समाकलन के गुणधर्म \( \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}{1 + \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)} \, dx \)
चूँकि \( \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos x \) और \( \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin x \), इसलिए:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x - \sin x}{1 + \cos x \sin x} \, dx \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{\sin x - \cos x}{1 + \sin x \cos x} + \frac{\cos x - \sin x}{1 + \sin x \cos x}\right) dx \)
\( 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x - \cos x + \cos x - \sin x}{1 + \sin x \cos x} \, dx \)
\( 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{0}{1 + \sin x \cos x} \, dx \)
\( 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 0 \, dx \)
\( 2I = 0 \implies I = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• गुणधर्म के प्रयोग से अंश के पद परस्पर विपरीत चिह्न के हो जाते हैं।
• जोड़ने पर अंश का कुल मान शून्य हो जाता है।
• शून्य का निश्चित समाकलन शून्य होता है।

आम गलतियाँ:

• गुणधर्म लगाते समय अंश के पदों को आपस में न बदलना।
• जोड़ने के बाद लघुत्तम या हर को हल करने की अनावश्यक कोशिश करना।

Exam Tips:

a) यदि गुणधर्म लगाने पर अंश के पद आपस में कटकर शून्य दें, तो सीधे उत्तर 0 होता है।
b) इस प्रकार के प्रश्नों में गणना बहुत लंबी नहीं होती, बस गुणधर्म सही लगाना होता है।
c) अपने उत्तर को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।

Question 16: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{0}^{\pi} \log(1 + \cos x) \, dx \)

Answer:

मान लेते हैं कि दिया गया समाकल \( I \) है:
\( I = \int_{0}^{\pi} \log(1 + \cos x) \, dx \) ...(1)
निश्चित समाकलन के गुणधर्म \( \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int_{0}^{\pi} \log(1 + \cos(\pi - x)) \, dx \)
चूँकि \( \cos(\pi - x) = -\cos x \), इसलिए:
\( I = \int_{0}^{\pi} \log(1 - \cos x) \, dx \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( 2I = \int_{0}^{\pi} (\log(1 + \cos x) + \log(1 - \cos x)) \, dx \)
लग के गुण \( \log a + \log b = \log(ab) \) का प्रयोग करने पर:
\( 2I = \int_{0}^{\pi} \log((1 + \cos x)(1 - \cos x)) \, dx \)
\( 2I = \int_{0}^{\pi} \log(1 - \cos^2 x) \, dx \)
चूँकि \( 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \):
\( 2I = \int_{0}^{\pi} \log(\sin^2 x) \, dx \)
लग के गुण \( \log(a^n) = n \log a \) से:
\( 2I = \int_{0}^{\pi} 2 \log(\sin x) \, dx \)
दोनों पक्षों से 2 हटाने पर:
\( I = \int_{0}^{\pi} \log(\sin x) \, dx \) ...(3)
अब गुणधर्म \( \int_{0}^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx \) (यदि \( f(2a-x) = f(x) \)) का प्रयोग करने पर, यहाँ \( 2a = \pi \) यानी \( a = \frac{\pi}{2} \) है:
\( I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin x) \, dx \) ...(4)
हम जानते हैं कि \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin x) \, dx = -\frac{\pi}{2} \log 2 \) होता है, अतः:
\( I = 2 \left(-\frac{\pi}{2} \log 2\right) = -\pi \log 2 \)

मुख्य बिंदु:

• \( \cos(\pi - x) = -\cos x \) का प्रयोग करके समीकरण (2) प्राप्त की गई है।
• लघुगणक के गुणों द्वारा बीजगणितीय सर्वसमिका \( (1+\cos x)(1-\cos x) = 1-\cos^2 x \) का उपयोग किया गया है।
• सीमा को आधा करने वाले गुणधर्म का प्रयोग करके मानक परिणाम का उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \cos(\pi - x) \) में ऋनात्मक चिह्न छोड़ देना।
• मानक परिणाम \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin x) \, dx = -\frac{\pi}{2} \log 2 \) को सीधे याद न रखना।

Exam Tips:

a) यह बोर्ड परीक्षा का एक महत्वपूर्ण और लंबा प्रश्न है, इसका अभ्यास लिखकर करें।
b) लघुगणक के गुणों को चरणबद्ध तरीके से लागू करें।
c) मानक समाकल परिणाम का प्रत्यक्ष उपयोग किया जा सकता है।

Question 17: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{0}^{a} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{a - x}} \, dx \)

Answer:

मान लेते हैं कि दिया गया समाकल \( I \) है:
\( I = \int_{0}^{a} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{a - x}} \, dx \) ...(1)
निश्चित समाकलन के गुणधर्म \( \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int_{0}^{a} \frac{\sqrt{a - x}}{\sqrt{a - x} + \sqrt{a - (a - x)}} \, dx \)
\( I = \int_{0}^{a} \frac{\sqrt{a - x}}{\sqrt{a - x} + \sqrt{x}} \, dx \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( 2I = \int_{0}^{a} \left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{a - x}} + \frac{\sqrt{a - x}}{\sqrt{a - x} + \sqrt{x}}\right) dx \)
\( 2I = \int_{0}^{a} \frac{\sqrt{x} + \sqrt{a - x}}{\sqrt{x} + \sqrt{a - x}} \, dx \)
\( 2I = \int_{0}^{a} 1 \, dx \)
\( 2I = [x]_{0}^{a} \)
\( 2I = a - 0 = a \)
\( I = \frac{a}{2} \)

मुख्य बिंदु:

• निश्चित समाकलन के सबसे महत्वपूर्ण गुणधर्म \( \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx \) का प्रत्यक्ष अनुप्रयोग।
• हर समान होने के कारण अंश और हर आपस में कट जाते हैं।
• अंत में अचर सीमा का समाकलन किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( a - (a - x) \) को सरल करते समय चिह्न की गलती करना।
• अंतिम उत्तर में 2 से भाग देना भूल जाना।

Exam Tips:

a) यह प्रश्न निश्चित समाकलन के मूलरूप पर आधारित है और बहुविकल्पीय या अति लघु उत्तरीय प्रश्नों में अक्सर पूछा जाता है।
b) इस प्रकार के प्रश्नों का मानक उत्तर हमेशा सीमा का आधा यानी \( \frac{a}{2} \) होता है।
c) सभी चरणों को साफ-सुथरा लिखें।

Question 18: मान ज्ञात कीजिए: \( \int_{0}^{4} |x - 1| \, dx \)

Answer:

मान लेते हैं कि दिया गया समाकल \( I \) है:
\( I = \int_{0}^{4} |x - 1| \, dx \)
यहाँ, \( x - 1 < 0 \) जब \( x < 1 \) और \( x - 1 > 0 \) जब \( x > 1 \), अतः अंतराल को \( x = 1 \) पर विभाजित करने पर:
\( I = \int_{0}^{1} -(x - 1) \, dx + \int_{1}^{4} (x - 1) \, dx \)
समाकलन करने पर:
\( I = -\left[\frac{x^2}{2} - x\right]_{0}^{1} + \left[\frac{x^2}{2} - x\right]_{1}^{4} \)
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
\( I = -\left[\left(\frac{1^2}{2} - 1\right) - (0)\right] + \left[\left(\frac{4^2}{2} - 4\right) - \left(\frac{1^2}{2} - 1\right)\right] \)
\( I = -\left[\frac{1}{2} - 1\right] + \left[(8 - 4) - \left(\frac{1}{2} - 1\right)\right] \)
\( I = -\left[-\frac{1}{2}\right] + \left[4 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right] \)
\( I = \frac{1}{2} + 4 + \frac{1}{2} \)
\( I = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + 4 = 1 + 4 = 5 \)

मुख्य बिंदु:

• मापांक फलन के क्रिटिकल पॉइंट (\( x = 1 \)) पर सीमा को विभाजित किया गया है।
• \( x < 1 \) के लिए मापांक ऋनात्मक और \( x > 1 \) के लिए धनात्मक होता है।
• भिन्नों और पूर्णांकों को जोड़कर सरल किया गया है।

आम गलतियाँ:

• सीमा का विभाजन गलत बिंदु पर करना।
• कोष्ठک के बाहर ऋनात्मक चिह्न होने पर अंदर के पदों के चिह्न न बदलना।

Exam Tips:

a) मापांक समाकलन के प्रश्नों में सबसे पहले शून्य होने वाले बिंदु की जाँच करें।
b) प्रत्येक भाग के समाकलन को अलग-अलग कोष्ठक में रखें।
c) गणना को अंत तक सरल करें ताकि गलती की गुंजाइश न रहे।

Question 19: दर्शाइए कि \( \int_{0}^{a} f(x)g(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx \), यदि \( f و g \) को \( f(x) = f(a-x) \) एवं \( g(x) + g(a-x) = 4 \) के रूप में परिभाषित किया गया है।

Answer:

मान लेते हैं कि दिया गया समाकल \( I \) है:
\( I = \int_{0}^{a} f(x)g(x) \, dx \) ...(1)
निश्चित समाकलन के गुणधर्म \( \int_{0}^{a} F(x) \, dx = \int_{0}^{a} F(a-x) \, dx \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int_{0}^{a} f(a-x)g(a-x) \, dx \)
दिया गया है कि \( f(a-x) = f(x) \), इसलिए:
\( I = \int_{0}^{a} f(x)g(a-x) \, dx \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( 2I = \int_{0}^{a} (f(x)g(x) + f(x)g(a-x)) \, dx \)
\( 2I = \int_{0}^{a} f(x)(g(x) + g(a-x)) \, dx \)
दिया गया है कि \( g(x) + g(a-x) = 4 \), अतः मान रखने पर:
\( 2I = \int_{0}^{a} f(x)(4) \, dx \)
\( 2I = 4 \int_{0}^{a} f(x) \, dx \)
दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर:
\( I = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx \)
अतः सिद्ध हुआ कि \( \int_{0}^{a} f(x)g(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx \)

मुख्य बिंदु:

• निश्चित समाकलन के मानक गुणधर्म का उपयोग किया गया है।
• दिए गए प्रतिबंधों \( f(a-x) = f(x) \) और \( g(x)+g(a-x) = 4 \) का प्रतिस्थापन किया गया है।
• दोनों समीकरणों को जोड़कर उभयनिष्ठ (common) पद बाहर निकाला गया है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिबंधों को गलत समीकरण में प्रतिस्थापित करना।
• जोड़ते समय फलन के गुणांकों को गलत लिखना।

Exam Tips:

a) यह एक महत्वपूर्ण सिद्ध करने वाला (proof type) प्रश्न है।
b) प्रत्येक चरण में दिए गए मानों का हवाला (reference) कोष्ठक में अवश्य दें।
c) अंत में परिणाम को स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 20: \( \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (x^3 + x \cos x + \tan^5 x + 1) \, dx \) का मान है:
(A) 0
(B) 2
(C) \( \pi \)
(D) 1

Answer:

मान लेते हैं कि दिया गया समाकल \( I \) है:
\( I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (x^3 + x \cos x + \tan^5 x + 1) \, dx \)
इसे अलग-अलग समाकल के रूप में विभाजित करने पर:
\( I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^3 \, dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \tan^5 x \, dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx \)
हम जानते हैं कि:
1) \( x^3 \) एक विषम फलन है, अतः \( \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^3 \, dx = 0 \)
2) \( x \cos x \) एक विषम फलन है क्योंकि \((-x)\cos(-x) = -x\cos x\), अतः \( \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, dx = 0 \)
3) \( \tan^5 x \) एक विषम फलन है क्योंकि \( \tan^5(-x) = (-\tan x)^5 = -\tan^5 x \), अतः \( \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \tan^5 x \, dx = 0 \)
4) 1 एक सम फलन है, अतः \( \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx \)
इसलिए समाकल का मान होगा:
\( I = 0 + 0 + 0 + 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx \)
\( I = 2 [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \)
\( I = 2 \left(\frac{\pi}{2} - 0\right) = \pi \)
अतः विकल्प (C) सही है।

मुख्य बिंदु:

• फलन के योग में प्रत्येक पद की समता (even/odd nature) की अलग से जाँच की गई है।
• विषम फलनों का \( -a \) से \( a \) तक समाकलन शून्य होता है।
• अचर पद (जैसे 1) सम फलन होता है।

आम गलतियाँ:

• \( x \cos x \) को सम फलन समझ लेना, जबकि यह विषम फलन है।
• सभी पदों को एक साथ हल करने की कोशिश करना जिससे गणना जटिल हो जाती है।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में सम और विषम फलनों के गुणधर्म का प्रयोग सबसे पहले करें।
b) विषम फलनों के समाकल को सीधे शून्य लिखकर समय बचाएं।
c) सही विकल्प (C) पर टिक करें।

Question 21: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{4 + 3 \sin x}{4 + 3 \cos x}\right) \, dx \) का मान है:
(A) 2
(B) \( \frac{3}{4} \)
(C) 0
(D) -2

Answer:

मान लेते हैं कि दिया गया समाकल \( I \) है:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{4 + 3 \sin x}{4 + 3 \cos x}\right) dx \) ...(1)
निश्चित समाकलन के गुणधर्म \( \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx \) का प्रयोग करने पर:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{4 + 3 \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}{4 + 3 \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}\right) dx \)
चूँकि \( \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos x \) और \( \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin x \), इसलिए:
\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{4 + 3 \cos x}{4 + 3 \sin x}\right) dx \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\log \left(\frac{4 + 3 \sin x}{4 + 3 \cos x}\right) + \log \left(\frac{4 + 3 \cos x}{4 + 3 \sin x}\right)\right) dx \)
लॉग के गुण \( \log a + \log b = \log(ab) \) का प्रयोग करने पर:
\( 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{4 + 3 \sin x}{4 + 3 \cos x} \times \frac{4 + 3 \cos x}{4 + 3 \sin x}\right) dx \)
अंश और हर आपस में कट जाते हैं:
\( 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log(1) \, dx \)
चूँकि \( \log 1 = 0 \):
\( 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 0 \, dx \)
\( 2I = 0 \implies I = 0 \)
अतः विकल्प (C) सही है।

मुख्य बिंदु:

• गुणधर्म के प्रयोग से व्यंजक का व्युत्क्रम (reciprocal) बन जाता है।
• लघुगणक के योग के गुण से दोनों पद गुना होकर 1 बन जाते हैं।
• \( \log 1 = 0 \) होने के कारण समाकल का मान शून्य हो जाता है।

आम गलतियाँ:

• लघुगणक के अंदर भिन्नों को गुणा करते समय पदों को न काटना।
• \( \log 1 \) का मान 1 समझ लेना, जबकि यह 0 होता है।

Exam Tips:

a) ऐसे लघुगणकीय समाकलन जिनमें गुणधर्म लगाने पर पद व्युत्क्रम हो जाते हैं, उनका उत्तर हमेशा 0 आता है।
b) यह प्रतियोगी परीक्षाओं और बोर्ड दोनों के लिए महत्वपूर्ण है।
c) सही विकल्प (C) का चयन करें।