NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 07 Integrals (समाकलन) Exercise 7.1 in Hindi

Question 1: \( \sin 2x \)

Answer:

हमें ऐसे फलन की खोज करना है जिसका अवकलज \( \sin 2x \) है। हम जानते हैं कि
\( \frac{d}{dx}(\cos 2x) = -2 \sin x \)
\( \Rightarrow \sin 2x = -\frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\cos 2x) \)
\( \therefore \sin 2x = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) \)
अतः, \( \sin 2x \) का प्रतिअवकलज \( -\frac{1}{2}\cos 2x \) है।

मुख्य बिंदु:

• प्रतिअवकलज (एंटीडेरिवेटिव) अवकलन की विपरीत प्रक्रिया है।
• त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलन के सूत्रों का प्रयोग किया गया है।
• अचर गुणांक को समाकलन या अवकलन चिन्ह के बाहर रखा जाता है।

आम गलतियाँ:

• ऋणात्मक चिन्ह (- का ध्यान न रखना।
• फलन के गुणांक (यहाँ 2) से भाग देना भूल जाना।
• इसे निश्चित समाकलन समझ लेना।

Exam Tips:

a) अवकलन करके अपने उत्तर की जाँच अवश्य करें।
b) त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलन के चिन्हों पर विशेष ध्यान दें।
c) चरणों को स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 2: \( \cos 3x \)

Answer:

हम ऐसे फलन की खोज करना चाहते हैं जिसका अवकलज \( \cos 3x \) है। हम जानते हैं कि
\( \frac{d}{dx}(\sin 3x) = 3\cos 3x \)
\( \Rightarrow \cos 3x = \frac{1}{3}\frac{d}{dx}(\sin 3x) \)
\( \therefore \cos 3x = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}\sin 3x\right) \)
अतः, \( \cos 3x \) का प्रतिअवकलज \( \frac{1}{3}\sin 3x \) है।

मुख्य बिंदु:

• \( \cos(ax) \) का प्रतिअवकलज \( \frac{1}{a}\sin(ax) \) होता है।
• यह निरीक्षण विधि पर आधारित प्रश्न है।
• इसमें मनमाने अचर को अंत में जोड़ा जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• \( 3 \) से गुणा कर देना जबकि भाग देना होता है।
• \( \sin \) के स्थान पर \( \cos \) लिख देना।
• \( dx \) का प्रयोग सही जगह न करना।

Exam Tips:

a) मानक सूत्रों को याद रखें।
b) प्रतिअवकलज निकालते समय कोण के गुणांक से भाग देना न भूलें।
c) उत्तर को संक्षिप्त और स्पष्ट रखें।

Question 3: \( e^{2x} \)

Answer:

हम ऐसे फलन की खोज करना चाहते हैं जिसका अवकलज \( e^{2x} \) है। हम जानते हैं कि
\( \frac{d}{dx}(e^{2x}) = 2e^{2x} \)
\( \Rightarrow e^{2x} = \frac{1}{2}\frac{d}{dx}(e^{2x}) \)
\( \therefore e^{2x} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}e^{2x}\right) \)
अतः, \( e^{2x} \) का प्रतिअवकलज \( \frac{1}{2}e^{2x} \) है।

मुख्य बिंदु:

• चरघातांकी फलन का अवकलज और समाकलन समान प्रकृति का होता है।
• \( e^{ax} \) का समाकलन \( \frac{1}{a}e^{ax} \) होता है।
• निरीक्षण विधि में व्युत्क्रम विधि का प्रयोग करते हैं।

आम गलतियाँ:

• \( 2 \) को अंश में गुणा कर देना।
• \( e^{2x} \) के स्थान पर अन्य फलन लिख देना।
• चरणों की अदलाबदल करना।

Exam Tips:

a) चरघातांकी फलनों के लिए यह नियम हमेशा याद रखें।
b) जाँच के लिए उत्तर का अवकलन करें।
c) साफ-सुथरा हल प्रस्तुत करें।

Question 4: \( (ax + b)^2 \)

Answer:

हम ऐसे फलन की खोज करना चाहते हैं जिसका अवकलज \( (ax + b)^2 \) है। हम जानते हैं कि
\( \frac{d}{dx}(ax + b)^3 = 3a(ax + b)^2 \)
\( \Rightarrow (ax + b)^2 = \frac{1}{3a}\frac{d}{dx}(ax + b)^3 \)
\( \therefore (ax + b)^2 = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3a}(ax + b)^3\right) \)
अतः, \( (ax + b)^2 \) का प्रतिअवकलज \( \frac{1}{3a}(ax + b)^3 \) है।

मुख्य बिंदु:

• बहुपद फलनों की घात का नियम यहाँ लागू होता है।
• \( x \) के गुणांक \( a \) से भाग देना आवश्यक है।
• संपूर्ण व्यंजक की घात में एक की वृद्धि होती है।

आम गलतियाँ:

• गुणांक \( a \) से भाग देना भूल जाना।
• घात \( 3 \) के स्थान पर अन्य घात लिखना।
• श्रृंखला नियम (Chain Rule) के अवकलन को गलत समझना।

Exam Tips:

a) घात नियम \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \) को ध्यान में रखें।
b) ब्रैकेट के अंदर के रैखिक पद के गुणांक से भाग देना न भूलें।
c) प्रत्येक पद को ध्यान से हल करें।

Question 5: \( \sin 2x - 4e^{3x} \)

Answer:

हम एक ऐसे फलन की खोज करना चाहते हैं जिसका अवकलज \( \sin 2x - 4e^{3x} \) है। हम जानते हैं कि
\( \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}\cos 2x - \frac{4}{3}e^{3x}\right) = \sin 2x - 4e^{3x} \)
अतः, \( (\sin 2x - 4e^{3x}) \) का प्रतिअवकलज \( \left(-\frac{1}{2}\cos 2x - \frac{4}{3}e^{3x}\right) \) है।

मुख्य बिंदु:

• योग और अंतर के नियम का पालन किया जाता है।
• प्रत्येक पद का अलग-अलग प्रतिअवकलज निकाला जाता है।
• त्रिकोणमितीय और चरघातांकी दोनों फलनों का संयोजन है।

आम गलतियाँ:

• किसी एक पद का प्रतिअवकलज निकालना भूल जाना।
• चिन्हों में गलती करना।
• गुणांकों का सही उपयोग न करना।

Exam Tips:

a) संयुक्त फलनों को अलग-अलग तोड़कर हल करें।
b) अपने उत्तर का अवकलन करके उसकी सत्यता जाँच लें।
c) सभी चरणों को क्रमित रूप से लिखें।

Question 6: \( \int (4e^{3x} + 1) dx \)

Answer:

\( \int (4e^{3x} + 1) dx = 4 \int e^{3x} dx + \int 1 dx \)
\( = 4 \left(\frac{e^{3x}}{3}\right) + x + C \)
\( = \frac{4}{3}e^{3x} + x + C \)

मुख्य बिंदु:

• समाकलन के रैखिकता गुण का उपयोग किया गया है।
• अचर पद \( 1 \) का समाकलन \( x \) होता है।
• समाकलन अचर \( C \) जोड़ना अनिवार्य है।

आम गलतियाँ:

• उत्तर में समाकलन अचर \( C \) छोड़ देना।
• \( e^{3x} \) के गुणांक \( 3 \) से गुणा करना या भाग देना भूल जाना।
• अचर का समाकलन गलत करना।

Exam Tips:

a) अनिश्चित समाकलन के अंत में हमेशा \( + C \) लिखें।
b) समाकलन के योग नियम को स्पष्ट दिखाएं।
c) उत्तर को सरलतम रूप में लिखें।

Question 7: \( \int x^2 \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) dx \)

Answer:

\( \int x^2 \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) dx = \int (x^2 - 1) dx \)
\( = \int x^2 dx - \int 1 dx \)
\( = \frac{x^3}{3} - x + C \)

मुख्य बिंदु:

• सबसे पहले व्यंजक को सरल किया जाता है।
• \( x^2 \) को अंदर गुणा करने पर \( x^2 - 1 \) प्राप्त होता है।
• मानक बीजगणितीय समाकलन सूत्र का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• बिना गुणा किए सीधे समाकलन करने का प्रयास करना।
• \( 1 \) का समाकलन \( x \) न लिखना।
• \( C \) लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) समाकलन करने से पहले बीजगणितीय फलनों का विस्तार करें।
b) प्रत्येक पद का समाकलन अलग-अलग करें।
c) अंतिम उत्तर में \( + C \) अवश्य लगाएं।

Question 8: \( \int (ax^2 + bx + c) dx \)

Answer:

\( \int (ax^2 + bx + c) dx = a \int x^2 dx + b \int x dx + c \int 1 dx \)
\( = a \left(\frac{x^3}{3}\right) + b \left(\frac{x^2}{2}\right) + cx + C \)
\( = \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2} + cx + C \)

मुख्य बिंदु:

• अचर पदों को समाकलन चिन्ह से बाहर निकाला जाता है।
• बहुपद के प्रत्येक पद पर घात नियम लागू होता है।
• \( c \) एक अचर है जिसके साथ \( x \) गुना हो जाता है।

आम गलतियाँ:

• अचर \( a, b, c \) को समाकलन चर मान लेना।
• \( c \) का समाकलन गलत करना।
• एक ही समाकलन अचर \( C \) का प्रयोग करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) अचरों को बाहर लेकर चरणों को सरल बनाएं।
b) मानक सूत्र \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \) का प्रयोग सावधानी से करें।
c) उत्तर को सुव्यवस्थित रूप में लिखें।

Question 9: \( \int (2x^2 + e^x) dx \)

Answer:

\( \int (2x^2 + e^x) dx = 2 \int x^2 dx + \int e^x dx \)
\( = 2 \left(\frac{x^3}{3}\right) + e^x + C \)
\( = \frac{2}{3}x^3 + e^x + C \)

मुख्य बिंदु:

• दो अलग-अलग प्रकार के फलनों का योग है।
• \( e^x \) का समाकलन स्वयं \( e^x \) होता है।
• बीजगणितीय फलन पर घात नियम लगाया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( e^x \) का समाकलन बदलते समय गलती करना।
• गुणांक \( 2 \) को छोड़ देना।
• समाकलन अचर \( C \) न लिखना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक पद को अलग करके समाकलित करें।
b) मानक फलनों के समाकलन याद रखें।
c) उत्तर को मानक रूप में प्रस्तुत करें।

Question 10: \( \int \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 dx \)

Answer:

\( \int \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 dx = \int \left(x + \frac{1}{x} - 2\right) dx \)
\( = \int x dx + \int \frac{1}{x} dx - 2 \int 1 dx \)
\( = \frac{x^2}{2} + \log|x| - 2x + C \)

मुख्य बिंदु:

• पहले पूर्ण वर्ग के सूत्र \( (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) का विस्तार किया गया है।
• \( \frac{1}{x} \) का समाकलन \( \log|x| \) होता है।
• प्रत्येक पद का स्वतंत्र रूप से समाकलन किया गया है।

आम गलतियाँ:

• वर्ग खोलते समय मध्य पद \( -2ab \) भूल जाना।
• \( \frac{1}{x} \) का समाकलन \( \log x \) की जगह अन्य फलन लिखना।
• मापांक चिह्न \( |x| \) का प्रयोग न करना।

Exam Tips:

a) बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके पहले सरल बनाएं।
b) याद रखें कि \( \int \frac{1}{x} dx = \log|x| + C \) होता है।
c) सभी पदों के बीच के चिन्हों का ध्यान रखें।

Question 11: \( \int \frac{x^3 + 5x^2 - 4}{x^2} dx \)

Answer:

\( \int \frac{x^3 + 5x^2 - 4}{x^2} dx = \int \left(x + 5 - 4x^{-2}\right) dx \)
\( = \int x dx + 5 \int 1 dx - 4 \int x^{-2} dx \)
\( = \frac{x^2}{2} + 5x - 4 \left(\frac{x^{-1}}{-1}\right) + C \)
\( = \frac{x^2}{2} + 5x + \frac{4}{x} + C \)

मुख्य बिंदु:

• अंश के प्रत्येक पद को हर \( x^2 \) से अलग-अलग विभाजित किया गया है।
• ऋणात्मक घात वाले पद पर घात नियम लागू किया गया है।
• ऋणात्मक चिन्हों को हल करके सरल बनाया गया है।

आम गलतियाँ:

• हर से भाग देते समय पदों को छोड़ देना।
• \( x^{-2} \) के समाकलन में घात के नियम में चिन्ह की गलती करना।
• अंतिम पद में \( x \) को अंश में गलत लिखना।

Exam Tips:

a) बहुपदों के विभाजन विधि का सही प्रयोग करें।
b) ऋणात्मक घातों को सावधानी से समाकलित करें।
c) उत्तर को धनात्मक घातों के रूप में बदलें।

Question 12: \( \int \frac{x^3 + 3x + 4}{\sqrt{x}} dx \)

Answer:

\( \int \frac{x^3 + 3x + 4}{\sqrt{x}} dx = \int \left(x^{3 - \frac{1}{2}} + 3x^{1 - \frac{1}{2}} + 4x^{-\frac{1}{2}}\right) dx \)
\( = \int \left(x^{\frac{5}{2}} + 3x^{\frac{1}{2}} + 4x^{-\frac{1}{2}}\right) dx \)
\( = \frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} + 3 \left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right) + 4 \left(\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\right) + C \)
\( = \frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}} + 2x^{\frac{3}{2}} + 8\sqrt{x} + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \sqrt{x} \) को \( x^{1/2} \) के रूप में लिखकर घातांक नियमों का प्रयोग किया गया है।
• प्रत्येक पद को अलग-अलग समाकलित किया गया है।
• भिन्नात्मक घातों के लिए \( \frac{x^{n+1}}{n+1} \) का उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• घातांक घटाने में गलती करना।
• भिन्नों के जोड़ने में त्रुटि करना।
• हर की संख्या को अंश में गुणा करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) घातांक के नियमों \( (x^m / x^n = x^{m-n}) \) का अभ्यास करें।
b) भिन्नात्मक समाकलन करते समय पलटकर गुणा करना याद रखें।
c) चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 13: \( \int \frac{x^3 - x^2 + x - 1}{x - 1} dx \)

Answer:

\( \int \frac{x^3 - x^2 + x - 1}{x - 1} dx \)
अंश के गुणनखंड करने पर:
\( = \int \frac{x^2(x - 1) + 1(x - 1)}{x - 1} dx \)
\( = \int \frac{(x^2 + 1)(x - 1)}{x - 1} dx \)
\( = \int (x^2 + 1) dx \)
\( = \int x^2 dx + \int 1 dx \)
\( = \frac{x^3}{3} + x + C \)

मुख्य बिंदु:

• गुणनखंड विधि द्वारा अंश को सरल किया गया है।
• उभयनिष्ठ पद \( (x-1) \) को अंश और हर से काटा गया है।
• शेष बचे सरल बहुपद का समाकलन किया गया है।

आम गलतियाँ:

• सीधे भाग देने में भूल करना।
• गुणनखंड बनाते समय चिन्हों की गलती।
• \( 1 \) का समाकलन भूल जाना।

Exam Tips:

a) बीजगणितीय व्यंजकों के गुणनखंड पहले अवश्य देखें।
b) उभयनिष्ठ पदों को निरस्त करके फलन को सरल बनाएं।
c) मानक सूत्रों का उपयोग करके हल समाप्त करें।

Question 14: \( \int (1 - x)\sqrt{x} dx \)

Answer:

\( \int (1 - x)\sqrt{x} dx = \int \left(\sqrt{x} - x\sqrt{x}\right) dx \)
\( = \int \left(x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}}\right) dx \)
\( = \int x^{\frac{1}{2}} dx - \int x^{\frac{3}{2}} dx \)
\( = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C \)
\( = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \sqrt{x} \) को अंदर गुणा करके घातांकों को जोड़ा गया है।
• \( x \cdot x^{1/2} = x^{3/2} \) होता है।
• घात नियम का प्रयोग करके समाकलन किया गया है।

आम गलतियाँ:

• गुणा करते समय घातांकों को जोड़ने में गलती करना।
• समाकलन के बाद भिन्नों को उल्टा करने में भूल।
• \( + C \) लिखना छोड़ देना।

Exam Tips:

a) कोष्ठक खोलने के लिए वितरण नियम का प्रयोग करें।
b) घातांक के नियमों का सही उपयोग करें।
c) अपने उत्तर को सरल रूप में लिखें।

Question 15: \( \int \sqrt{x}(3x^2 + 2x + 3) dx \)

Answer:

\( \int \sqrt{x}(3x^2 + 2x + 3) dx = \int \left(3x^{2 + \frac{1}{2}} + 2x^{1 + \frac{1}{2}} + 3x^{\frac{1}{2}}\right) dx \)
\( = \int \left(3x^{\frac{5}{2}} + 2x^{\frac{3}{2}} + 3x^{\frac{1}{2}}\right) dx \)
\( = 3 \int x^{\frac{5}{2}} dx + 2 \int x^{\frac{3}{2}} dx + 3 \int x^{\frac{1}{2}} dx \)
\( = 3 \left(\frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}}\right) + 2 \left(\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right) + 3 \left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right) + C \)
\( = \frac{6}{7}x^{\frac{7}{2}} + \frac{4}{5}x^{\frac{5}{2}} + 2x^{\frac{3}{2}} + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \sqrt{x} \) को प्रत्येक पद से गुणा किया गया है।
• घातांक नियम \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \) का प्रयोग हुआ है।
• प्रत्येक पद का समाकलन अलग से किया गया है।

आम गलतियाँ:

• भिन्नों को जोड़ने में गलती करना (जैसे \( 2 + 1/2 = 5/2 \))।
• अचर गुणांकों को गुणा करना भूल जाना।
• समाकलन अचर छोड़ देना।

Exam Tips:

a) गुणा करते समय रफ कार्य में घातांक अवश्य जोड़ लें।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से लिखकर गलती की संभावना कम करें।
c) अंतिम उत्तर में भिन्नों को भली-भांति सरल करें।

Question 16: \( \int (2x - 3\cos x + e^x) dx \)

Answer:

\( \int (2x - 3\cos x + e^x) dx = 2 \int x dx - 3 \int \cos x dx + \int e^x dx \)
\( = 2 \left(\frac{x^2}{2}\right) - 3(\sin x) + e^x + C \)
\( = x^2 - 3\sin x + e^x + C \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय फलन \( \cos x \) का समाकलन \( \sin x \) होता है।
• चरघातांकी फलन का समाकलन अपरिवर्तित रहता है।
• बीजगणितीय पद पर घात नियम लागू किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \cos x \) के समाकलन में चिन्ह की गलती करना (ऋणात्मक समझ लेना)।
• गुणांकों को छोड़ देना।
• \( C \) न लिखना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय समाकलन के सूत्र और उनके चिन्ह याद रखें।
b) प्रत्येक पद का समाकलन क्रमबद्ध तरीके से करें।
c) उत्तर को अंतिम रूप देने से पहले दो बार जाँच लें।

Question 17: \( \int (2x^2 - 3\sin x + 5\sqrt{x}) dx \)

Answer:

\( \int (2x^2 - 3\sin x + 5\sqrt{x}) dx = 2 \int x^2 dx - 3 \int \sin x dx + 5 \int x^{\frac{1}{2}} dx \)
\( = 2 \left(\frac{x^3}{3}\right) - 3(-\cos x) + 5 \left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right) + C \)
\( = \frac{2}{3}x^3 + 3\cos x + \frac{10}{3}x^{\frac{3}{2}} + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \sin x \) का समाकलन \( -\cos x \) होता है।
• \( \sqrt{x} \) को \( x^{1/2} \) लिखकर समाकलन किया गया है।
• सभी अचरों को उनके पदों के साथ व्यवस्थित किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \sin x \) के समाकलन का चिन्ह धनात्मक लिख देना।
• \( \sqrt{x} \) के समाकलन में हर में प्राप्त भिन्न को न पलटना।
• समाकलन अचर \( C \) भूल जाना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय सूत्रों के चिन्हों को लेकर सावधान रहें।
b) रूट वाले पदों को घातांक रूप में बदलकर हल करें।
c) हर चरण में समाकलन चिन्ह का सही उपयोग करें।

Question 18: \( \int \sec x(\sec x + \tan x) dx \)

Answer:

\( \int \sec x(\sec x + \tan x) dx = \int (\sec^2 x + \sec x \tan x) dx \)
\( = \int \sec^2 x dx + \int \sec x \tan x dx \)
\( = \tan x + \sec x + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \sec x \) को अंदर गुणा करके मानक त्रिकोणमितीय समाकलन रूप बनाए गए हैं।
• \( \int \sec^2 x dx = \tan x \) होता है।
• \( \int \sec x \tan x dx = \sec x \) होता है।

आम गलतियाँ:

• मानक सूत्रों को आपस में मिला देना।
• गुणा करना भूल जाना और सीधे समाकलन का प्रयास करना।
• उत्तर में \( + C \) न लिखना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय समाकलन के सभी मानक सूत्र अच्छी तरह याद रखें।
b) पहले फलन का विस्तार करके उसे मानक रूपों में बदलें।
c) क्रम से दोनों पदों का समाकलन करें।

Question 19: \( \int \frac{\sec^2 x}{\csc^2 x} dx \)

Answer:

\( \int \frac{\sec^2 x}{\csc^2 x} dx = \int \frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{1}{\sin^2 x}} dx \)
\( = \int \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} dx \)
\( = \int \tan^2 x dx \)
\( = \int (\sec^2 x - 1) dx \)
\( = \int \sec^2 x dx - \int 1 dx \)
\( = \tan x - x + C \)

मुख्य बिंदु:

• \( \sec x \) और \( \csc x \) को \( \cos x \) और \( \sin x \) में बदला गया है।
• \( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x \) सर्वसमिका का प्रयोग किया गया है।
• \( \tan^2 x \) को \( \sec^2 x - 1 \) में बदलकर समाकलन किया गया है।

आम गलतियाँ:

• सीधे \( \tan^2 x \) का समाकलन न पता होने के कारण अटक जाना।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( 1 + \tan^2 x = \sec^2 x \) का उपयोग न करना।
• \( -1 \) का समाकलन \( -x \) लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय अनुपातों को साइन और कोसाइन में बदलकर सरल करें।
b) \( \tan^2 x \) के समाकलन के लिए सर्वसमिका का प्रयोग अनिवार्य है।
c) चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 20: \( \int \frac{2 - 3\sin x}{\cos^2 x} dx \)

Answer:

\( \int \frac{2 - 3\sin x}{\cos^2 x} dx = \int \left(\frac{2}{\cos^2 x} - \frac{3\sin x}{\cos^2 x}\right) dx \)
\( = \int \left(2\sec^2 x - 3\tan x \sec x\right) dx \)
\( = 2 \int \sec^2 x dx - 3 \int \sec x \tan x dx \)
\( = 2\tan x - 3\sec x + C \)

मुख्य बिंदु:

• हर को अलग-अलग अंश के पदों के नीचे विभाजित किया गया है।
• \( \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \) और \( \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \tan x \sec x \) में बदला गया है।
• मानक समाकलन सूत्रों का सीधा प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• हर का वितरण सही ढंग से न करना।
• त्रिकोणमितीय पदों को पहचान न पाना।
• गुणांकों को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में हर को अलग-अलग बांटना सबसे अच्छा तरीका है।
b) त्रिकोणमितीय पहचानों का अभ्यास करें।
c) उत्तर के अंत में अचर \( + C \) अवश्य लगाएं।

Question 21: \( \left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \) का प्रतिअवकलज है:
(A) \( \frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}} + C \)
(B) \( \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}} + C \)
(C) \( \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}} + C \)
(D) \( \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}} + C \)

Answer:

\( \int \left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) dx = \int \left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right) dx \)
\( = \int x^{\frac{1}{2}} dx + \int x^{-\frac{1}{2}} dx \)
\( = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C \)
\( = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}} + C \)
अतः, विकल्प (C) सही है।

मुख्य बिंदु:

• प्रतिअवकलज का अर्थ समाकलन ज्ञात करना है।
• \( \sqrt{x} \) और \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) दोनों को घात रूप में लिखा गया है।
• घात नियम का सटीक प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) का समाकलन गलत करना।
• भिन्नों को हल करते समय पलटने में गलती।
• सही विकल्प चुनने में जल्दबाजी करना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में भी पूरे हल को रफ में हल करके देखें।
b) सभी विकल्पों से अपने उत्तर का मिलान सावधानी से करें।
c) घातांक के नियमों का सही प्रयोग करें।

Question 22: यदि \( \frac{d}{dx}f(x) = 4x^3 - \frac{3}{x^4} \) जिसमें \( f(2) = 0 \), तो \( f(x) \) है:
(A) \( x^4 + \frac{1}{x^3} - \frac{129}{8} \)
(B) \( x^3 + \frac{1}{x^4} + \frac{129}{8} \)
(C) \( x^4 + \frac{1}{x^3} + \frac{129}{8} \)
(D) \( x^3 + \frac{1}{x^4} - \frac{129}{8} \)

Answer:

दिया है, \( \frac{d}{dx}f(x) = 4x^3 - \frac{3}{x^4} \)
इसलिए, \( 4x^3 - \frac{3}{x^4} \) का प्रतिअवकलज \( = f(x) \)
\( \therefore f(x) = \int \left(4x^3 - \frac{3}{x^4}\right) dx = 4 \int x^3 dx - 3 \int (x^{-4}) dx \)
\( = 4 \left(\frac{x^4}{4}\right) - 3 \left(\frac{x^{-3}}{-3}\right) + C \)
\( = x^4 + \frac{1}{x^3} + C \)
तथा, \( f(2) = 0 \), अतः \( f(2) = (2)^4 + \frac{1}{(2)^3} + C = 0 \)
\( \Rightarrow 16 + \frac{1}{8} + C = 0 \)
\( \Rightarrow C = -\left(16 + \frac{1}{8}\right) \)
\( \Rightarrow C = -\frac{129}{8} \)
\( \therefore f(x) = x^4 + \frac{1}{x^3} - \frac{129}{8} \)
अतः, विकल्प (A) सही है।

मुख्य बिंदु:

• अवकलज दिया होने पर समाकलन करके फलन ज्ञात किया जाता है।
• समाकलन अचर \( C \) का मान ज्ञात करने के लिए दी गई शर्त \( f(2) = 0 \) का उपयोग किया जाता है।
• ऋणात्मक घातों को धनात्मक रूप में बदला गया है।

आम गलतियाँ:

• \( C \) का मान निकाले बिना उत्तर छोड़ देना।
• \( f(2) \) का मान रखते समय कैलकुलेशन में गलती करना।
• चिन्हों की असावधानी बरतना।

Exam Tips:

a) ऐसी शर्तों वाले प्रश्नों में \( C \) का मान अवश्य ज्ञात करें।
b) गणना को बहुत सावधानी से हल करें।
c) अंत में सही विकल्प पर टिक लगाएं।