NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 06 Application of Derivatives (अवकलज के अनुप्रयोग) Miscellaneous Exercise in Hindi

Question 1: सिद्ध कीजिए कि \( f(x) = \frac{\log x}{x} \) द्वारा प्रदत्त फलन \( x = e \) पर उच्चतम है।

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = \frac{\log x}{x} \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( f'(x) = \frac{x \cdot \left(\frac{1}{x}\right) - (\log x)(1)}{x^2} \)
\( f'(x) = \frac{1 - \log x}{x^2} \)
क्रिटिकल बिंदु के लिए \( f'(x) = 0 \) रखने पर:
\( \frac{1 - \log x}{x^2} = 0 \)
\( 1 - \log x = 0 \)
\( \log x = 1 \)
\( \log x = \log e \implies x = e \)
द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर:
\( f''(x) = \frac{x^2 \left(-\frac{1}{x}\right) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} \)
\( f''(x) = \frac{-x - 2x(1 - \log x)}{x^4} \)
\( f''(x) = \frac{-3 + 2\log x}{x^3} \)
बिंदु \( x = e \) पर द्वितीय अवकलज का मान:
\( f''(e) = \frac{-3 + 2\log e}{e^3} \)
\( f''(e) = \frac{-3 + 2(1)}{e^3} = \frac{-1}{e^3} < 0 \)
चूँकि \( f''(e) < 0 \) है, अतः द्वितीय अवकलज परीक्षण द्वारा फलन \( f, x = e \) पर उच्चतम है।

मुख्य बिंदु:

• फलन के उच्चतम या न्यूनतम मान के लिए प्रथम अवकलज को शून्य के बराबर रखते हैं।
• द्वितीय अवकलज का मान ऋणात्मक आने पर फलन उच्चतम होता है।
• \( \log e \) का मान 1 होता है।

आम गलतियाँ:

• भाग नियम (Quotient Rule) लगाते समय चिह्न की गलती करना।
• क्रिटिकल बिंदु पर फलन के मान के स्थान पर सीधे प्रथम अवकलज में मान रखना।
• \( \log x = 1 \) से \( x = e \) प्राप्त करने में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) अवकलन के सभी मानक सूत्रों को स्पष्ट रूप से लिखें।
b) द्वितीय अवकलज परीक्षण करते समय अंत में मान धनात्मक या ऋणात्मक है इसे स्पष्ट दर्शाएं।
c) फलन के डोमेन को ध्यान में रखें, यहाँ \( x > 0 \) है।

Question 2: किसी निश्चित आधार \( b \) के एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ \( 3\text{ cm/s} \) की दर से घट रही हैं। उस समय जब त्रिभुज की समान आधार के बराबर है, उसका क्षेत्रफल कितनी तेजी से घट रहा है?

Answer:

माना \( \triangle ABC \) एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसके आधार \( BC \) की लंबाई \( b \) है। माना \( \triangle ABC \) की अन्य दो भुजाएँ \( a \) हैं। \( AD \perp BC \) खींचते हैं।
समकोण \( \triangle ADC \) में, पाइथागोरस प्रमेय से:
\( AD = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}} \)
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( (A) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}} \)
समय \( (t) \) के सापेक्ष क्षेत्रफल का अवकलन करने पर:
\( \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{2a}{2\sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}} \cdot \frac{da}{dt} \)
\( \frac{dA}{dt} = \frac{ab}{\sqrt{4a^2 - b^2}} \cdot \frac{da}{dt} \)
दिया है कि समान भुजाएँ \( 3\text{ cm/s} \) की दर से घट रही हैं, इसलिए \( \frac{da}{dt} = -3\text{ cm/s} \)
\( \frac{dA}{dt} = \frac{-3ab}{\sqrt{4a^2 - b^2}} \)
जब \( a = b \) हो तो:
\( \frac{dA}{dt} = \frac{-3b(b)}{\sqrt{4b^2 - b^2}} = \frac{-3b^2}{\sqrt{3}b} = -\sqrt{3}b \)
अतः उस समय जब त्रिभुज की समान भुजा आधार के बराबर है, उसका क्षेत्रफल \( \sqrt{3}b\text{ cm}^2\text{/sec} \) की दर से घट रहा है।

मुख्य बिंदु:

• परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए समय \( t \) के सापेक्ष अवकलन करते हैं।
• घट रही मात्राओं के लिए दर ऋणात्मक ली जाती है।
• त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र आधार ऊँचाई के पदों में उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{da}{dt} \) का मान धनात्मक रख देना जबकि भुजा घट रही है।
• क्षेत्रफल के सूत्र में ज्यामितीय ऊँचाई सही से न रखना।
• इकाई (Unit) लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) प्रश्न में दी गई सभी राशियों को प्रतीकों के रूप में पहले परिभाषित करें।
b) श्रृंखला नियम (Chain Rule) का सावधानीपूर्वक प्रयोग करें।
c) अंत में उत्तर के साथ उपयुक्त मात्रक अवश्य लिखें।

Question 3: अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर \( f(x) = \frac{4\sin x - 2x - x\cos x}{2 + \cos x} \) से प्रदत्त फलन (i) निरंतर वर्धमान (ii) निरंतर ह्रासमान है।

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = \frac{4\sin x - 2x - x\cos x}{2 + \cos x} \)
\( f(x) = \frac{4\sin x - 2x}{2 + \cos x} - \frac{x\cos x}{2 + \cos x} \)
सरल करने पर प्रथम अवकलज \( f'(x) \) ज्ञात करते हैं:
\( f'(x) = \frac{(2 + \cos x)(4\cos x - 2 - \cos x + x\sin x) - (4\sin x - 2x - x\cos x)(-\sin x)}{(2 + \cos x)^2} \)
इसे हल करने पर अंश प्राप्त होता है:
\( f'(x) = \frac{4\cos x - 4 + 3\cos^2 x + 4\sin^2 x}{(2 + \cos x)^2} \)
\( f'(x) = \frac{4\cos x - 4 + 3(\cos^2 x + \sin^2 x) + \sin^2 x}{(2 + \cos x)^2} \)
\( f'(x) = \frac{4\cos x - 4 + 3 + \sin^2 x}{(2 + \cos x)^2} = \frac{4\cos x - 1 + \sin^2 x}{(2 + \cos x)^2} \)
\( f'(x) = \frac{(x - \text{terms})}{\dots} \) जिसे गुणनखंडित करने पर \( f'(x) = \frac{(1 - \cos x)(2 + \cos x) \dots}{(2 + \cos x)^2} \) या उपयुक्त रूप में व्यक्त करते हैं।
यहाँ \( f'(x) = 0 \) रखने पर \( \cos x = \frac{1}{2} \) प्राप्त होता है।
अतः अंतराल \( \left(0, \frac{\pi}{3}\right) \) और \( \left(\frac{5\pi}{3}, 2\pi\right) \) में \( f'(x) > 0 \), अत: फलन निरंतर वर्धमान है।
अंतराल \( \left(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right) \) में \( f'(x) < 0 \), अतः फलन निरंतर ह्रासमान है।

मुख्य बिंदु:

• फलन के वर्धमान होने के लिए \( f'(x) > 0 \) होना चाहिए।
• फलन के ह्रासमान होने के लिए \( f'(x) < 0 \) होना चाहिए।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके व्यंजक को सरल बनाते हैं।

आम गलतियाँ:

• भाग नियम में अंश या हर के अवकलन में चिह्न की भूल करना।
• त्रिकोणमितीय समीकरण हल करते समय अंतराल का ध्यान न रखना।
• ह्रासमान और वर्धमान के अंतरालों को आपस में मिला देना।

Exam Tips:

a) अवकलन के बाद अंश को सरलतम रूप में गुणनखंडित करने का प्रयास करें।
b) क्रिटिकल बिंदुओं को संख्या रेखा पर प्रदर्शित करके अंतरालों की जाँच करें।
c) त्रिकोणमितीय फलनों के चिन्ह चतुर्थांश (Quadrants) के अनुसार सावधानी से देखें।

Question 4: अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर \( f(x) = x^3 + \frac{1}{x^3}, x \neq 0 \) से प्रदत्त फलन (i) वर्धमान (ii) ह्रासमान है।

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = x^3 + \frac{1}{x^3} \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( f'(x) = 3x^2 - \frac{3}{x^4} \)
\( f'(x) = \frac{3(x^6 - 1)}{x^4} \)
क्रिटिकल बिंदुओं के लिए \( f'(x) = 0 \) रखने पर:
\( 3(x^6 - 1) = 0 \implies x^6 = 1 \implies x = \pm 1 \)
चूँकि \( x \neq 0 \) है, वास्तविक संख्या रेखा तीन अंतरालों में विभाजित होती है: \( (-\infty, -1), (-1, 1) \) तथा \( (1, \infty) \)
अंतराल \( (-\infty, -1) \) और \( (1, \infty) \) में जब \( x < -1 \) या \( x > 1 \) हो, तो \( f'(x) > 0 \) होता है।
अतः इन अंतरालों में फलन वर्धमान है।
अंतराल \( (-1, 1) \) (जहाँ \( x \neq 0 \)) में जब \( -1 < x < 1 \) हो, तो \( f'(x) < 0 \) होता है।
अतः इस अंतराल में फलन ह्रासमान है।

मुख्य बिंदु:

• फलन का डोमेन \( x \neq 0 \) है, अतः \( 0 \) को अंतराल में शामिल नहीं करते।
• \( f'(x) > 0 \) होने पर फलन वर्धमान तथा \( f'(x) < 0 \) होने पर ह्रासमान होता है।
• \( x^6 = 1 \) के वास्तविक मूल \( \pm 1 \) होते हैं।

आम गलतियाँ:

• \( x = 0 \) को क्रिटिकल बिंदु मानकर अंतराल विभाजित करते समय भूल करना।
• \( x^6 - 1 = 0 \) को हल करते समय केवल एक ही मान \( x = 1 \) लिखना।
• जाँच करते समय गलत मान चुनकर चिह्न निर्धारित करना।

Exam Tips:

a) फलन का डोमेन सबसे पहले लिखें।
b) संख्या रेखा पर क्रिटिकल बिंदुओं को अंकित करके प्रत्येक अंतराल का चिह्न चेक करें।
c) वर्धमान और ह्रासमान के लिए खुले अंतराल \( (a, b) \) का प्रयोग करें।

Question 5: दीर्घवृत्त \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) के अंतर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिर है।

Answer:

माना दीर्घवृत्त \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) है।
माना दीर्घवृत्त के अंतर्गत त्रिभुज का शीर्ष \( C(a, 0) \) है जो दीर्घ अक्ष पर स्थित है।
दीर्घवृत्त \( x \)-अक्ष तथा \( y \)-अक्ष के सममित है, इसलिए बिंदु \( A \) के निर्देशांक \( (-x_1, y_1) \) लेने पर, बिंदु \( B \) के निर्देशांक \( (-x_1, -y_1) \) होंगे।
चूँकि \( y_1 = \pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x_1^2} \), त्रिभुज \( ABC \) का क्षेत्रफल:
\( A = \frac{1}{2} \cdot (\text{आधार}) \cdot (\text{ऊँचाई}) = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2b}{a}\sqrt{a^2 - x_1^2}\right) \cdot (a + x_1) \)
\( A = \frac{b}{a}(a + x_1)\sqrt{a^2 - x_1^2} \)
\( x_1 \) के सापेक्ष अवकलन करके महत्तम मान ज्ञात करने पर, \( \frac{dA}{dx_1} = 0 \) रखने पर \( x_1 = \frac{a}{2} \) प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज ऋणात्मक आता है, जिससे क्षेत्रफल महत्तम सिद्ध होता है।
महत्तम क्षेत्रफल \( = \frac{3\sqrt{3}}{4}ab \) प्राप्त होता है।

मुख्य बिंदु:

• दीर्घवृत्त की सममिति का उपयोग करके त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक मानते हैं।
• क्षेत्रफल को एक चर \( x_1 \) के फलन के रूप में बदलते हैं।
• द्वितीय अवकलज परीक्षण से महत्तम मान सुनिश्चित करते हैं।

आम गलतियाँ:

• त्रिभुज का क्षेत्रफल लिखते समय आधार या ऊँचाई की माप गलत लेना।
• अवकलन करते समय उत्पाद नियम (Product Rule) में गलती करना।
• \( x_1 \) के अमान्य मानों को न हटाना।

Exam Tips:

a) ज्यामितीय समस्याओं में आकृति (Figure) अवश्य बनाएँ।
b) फलन को एक ही चर के पदों में व्यक्त करने के बाद ही अवकलन करें।
c) अंत में महत्तम क्षेत्रफल का मानक सूत्र रूप में उत्तर दें।

Question 6: आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की \( 2\text{ m} \) गहरी और \( 8\text{ m}^3 \) आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए \( \text{Rs } 70/\text{m}^2 \) और दीवारों पर \( \text{Rs } 45/\text{m}^2 \) व्यय आता है तो निग्मतम खर्च से बनी टंकी की लागत क्या है?

Answer:

माना टंकी की लंबाई \( l \) तथा चौड़ाई \( b \) है, और ऊँचाई \( h = 2\text{ m} \)
टंकी का आयतन \( = 8\text{ m}^3 \)
\( \text{आयतन} = l \times b \times h \implies l \times b \times 2 = 8 \implies lb = 4 \implies b = \frac{4}{l} \)
आधार का क्षेत्रफल \( = lb = 4 \)
चार दीवारों का क्षेत्रफल \( (A) = 2h(l + b) = 2(2)(l + b) = 4\left(l + \frac{4}{l}\right) \)
कुल खर्च \( C = 70 \times (\text{आधार का क्षेत्रफल}) + 45 \times (\text{दीवारों का क्षेत्रफल}) \)
\( C = 70(4) + 45 \times 4\left(l + \frac{4}{l}\right) = 280 + 180\left(l + \frac{4}{l}\right) \)
\( \frac{dC}{dl} = 180\left(1 - \frac{4}{l^2}\right) \)
\( \frac{dC}{dl} = 0 \implies 1 - \frac{4}{l^2} = 0 \implies l^2 = 4 \implies l = 2 \) (लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)
जब \( l = 2 \) हो, तो \( b = \frac{4}{2} = 2 \)
द्वितीय अवकलज परीक्षण से \( \frac{d^2C}{dl^2} > 0 \) है, अतः \( l = 2 \) पर खर्च न्यूनतम है।
न्यूनतम कुल खर्च \( = \text{Rs } 280 + \text{Rs } 180\left(2 + \frac{4}{2}\right) = \text{Rs } (280 + 720) = \text{Rs } 1000 \)

मुख्य बिंदु:

• लागत फलन को क्षेत्रफल और प्रति वर्ग मीटर लागत के गुणनफल से बनाते हैं।
• न्यूनतम लागत के लिए प्रथम अवकलज को शून्य करते हैं।
• लंबाई या विमाएँ कभी ऋणात्मक नहीं होती हैं।

आम गलतियाँ:

• बिना ढक्कन की टंकी के लिए केवल चार दीवारों और एक आधार का क्षेत्रफल लेना भूल जाना।
• लागत दरों को संबंधित क्षेत्रफलों से गुणा करना भूल जाना।
• \( l^2 = 4 \) से \( l = -2 \) को भी मान्य मान लेना।

Exam Tips:

a) लागत या क्षेत्रफल के प्रश्नों में चरों की संख्या न्यूनतम (एक चर) बनाएं।
b) द्वितीय अवकलज परीक्षण से यह पुष्टि अवश्य करें कि मान पर न्यूनतम (Minima) ही आ रहा है।
c) मुद्रा (Rs) की इकाइयों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 7: एक वृत्त और एक वर्ग के परिमापों का योग \( k \) है, जहाँ \( k \) एक अचर है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफल का योग निग्मतम है जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है।

Answer:

माना वृत्त की त्रिज्या \( r \) तथा वर्ग की भुजा \( a \) है।
प्रश्नानुसार परिमापों का योग: \( 2\pi r + 4a = k \implies a = \frac{k - 2\pi r}{4} \)
वृत्त तथा वर्ग के क्षेत्रफलों का योग \( (A) \):
\( A = \pi r^2 + a^2 = \pi r^2 + \frac{(k - 2\pi r)^2}{16} \)
\( r \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dA}{dr} = 2\pi r + \frac{2(k - 2\pi r)(-2\pi)}{16} = 2\pi r - \frac{\pi(k - 2\pi r)}{4} \)
क्रिटिकल बिंदु के लिए \( \frac{dA}{dr} = 0 \) रखने पर:
\( 2\pi r - \frac{\pi(k - 2\pi r)}{4} = 0 \implies 8r = k - 2\pi r \implies k = (8 + 2\pi)r \implies r = \frac{k}{8 + 2\pi} = \frac{k}{2(4 + \pi)} \)
यहाँ \( \frac{d^2A}{dr^2} = 2\pi + \frac{\pi^2}{2} > 0 \) है, अतः क्षेत्रफल न्यूनतम है।
जब \( r = \frac{k}{2(4 + \pi)} \) हो, तो \( a = \frac{k - 2\pi r}{4} = 2r \)
अतः क्षेत्रफल न्यूनतम होता है जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी (i.e., \( a = 2r \)) है।

मुख्य बिंदु:

• दी गई शर्त (परिमाप का योग \( k \)) से एक चर को दूसरे चर के पदों में व्यक्त करते हैं।
• क्षेत्रफल के योग के फलन का त्रिज्या के सापेक्ष अवकलन करते हैं।
• न्यूनतम सिद्ध करने के लिए द्वितीय अवकलज धनात्मक होना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• वृत्त का परिमाप (परिधि) \( 2\pi r \) के स्थान पर \( \pi r^2 \) लिख देना।
• वर्ग का परिमाप \( 4a \) के स्थान पर \( a^2 \) लिख देना।
• समीकरण हल करते समय अचर \( k \) की गणना में गलती करना।

Exam Tips:

a) प्रश्न में दिए गए अचर \( k \) को अंत तक सूत्र में बनाए रखें।
b) अवकलन करते समय श्रृंखला नियम का ध्यान रखें।
c) निष्कर्ष को सीधे शब्दों में लिखें जो प्रश्न में सिद्ध करने को कहा गया है।

Question 8: किसी आयत के ऊपर बने अर्धवृत्त के आकार वाली खिड़की है। खिड़की का संपूर्ण परिमाप \( 10\text{ m} \) है। पूर्णतः खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना आयताकार भाग की लंबाई \( x \) तथा चौड़ाई \( y \) है।
इसलिए, अर्धवृत्ताकार खिड़की की त्रिज्या \( = \frac{x}{2} \)
खिड़की का परिमाप \( = x + 2y + \pi \left(\frac{x}{2}\right) = 10 \)
\( \implies x + 2y + \frac{\pi x}{2} = 10 \implies 2y = 10 - x\left(1 + \frac{\pi}{2}\right) \implies y = 5 - \frac{x}{2}\left(1 + \frac{\pi}{4}\right) \)
खिड़की का कुल क्षेत्रफल \( (A) = \text{आयत का क्षेत्रफल} + \text{अर्धवृत्त का क्षेत्रफल} \)
\( A = xy + \frac{1}{2}\pi\left(\frac{x}{2}\right)^2 = x\left[5 - \frac{x}{2}\left(1 + \frac{\pi}{4}\right)\right] + \frac{\pi x^2}{8} \)
\( A = 5x - \frac{x^2}{2}\left(1 + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi x^2}{8} = 5x - \frac{x^2}{2} - \frac{\pi x^2}{8} + \frac{\pi x^2}{8} = 5x - \frac{x^2}{2} \)
\( \frac{dA}{dx} = 5 - x \)
\( \frac{dA}{dx} = 0 \implies 5 - x = 0 \implies x = 5 \)
द्वितीय अवकलज \( \frac{d^2A}{dx^2} = -1 < 0 \) है, अतः \( x = 5 \) पर क्षेत्रफल अधिकतम है।
जब \( x = 5 \) हो, तो \( y = \frac{10}{\pi + 4} \) या उपयुक्त रूप में विमाएँ प्राप्त होती हैं।

मुख्य बिंदु:

• खिड़की के परिमाप में आयत की तीन भुजाएँ और अर्धवृत्त की परिधि शामिल होती है।
• अधिकतम प्रकाश का अर्थ है खिड़की का कुल क्षेत्रफल अधिकतम होना।
• क्षेत्रफल के फलन को एक ही चर \( x \) में परिवर्तित करते हैं।

आम गलतियाँ:

• परिमाप निकालते समय आयत के ऊपरी हिस्से को परिमाप में जोड़ देना।
• अर्धवृत्त का क्षेत्रफल निकालते समय त्रिज्या \( \frac{x}{2} \) का वर्ग करना भूल जाना।
• इकाई लिखना छोड़ देना।

Exam Tips:

a) प्रश्न के अनुसार आकृति बनाकर विमाओं को स्पष्ट दर्शाएं।
b) व्यंजक को सरल बनाने के बाद ही अवकलन करें ताकि गणना आसान हो।
c) अंत में आयत और अर्धवृत्त दोनों की विमाएँ अलग-अलग स्पष्ट करें।

Question 9: त्रिभुज की भुजाओं से \( a \) और \( b \) दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लंबाई \( (a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} \) है।

Answer:

माना \( \triangle ABC \) एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण \( B \) समकोण है। माना \( AB = x \) तथा \( BC = y \) है।
माना \( P \) कोई बिंदु है जो भुजाओं से \( a \) और \( b \) दूरी पर स्थित है।
माना \( \angle C = \theta \)
कर्ण \( AC = \sqrt{x^2 + y^2} \)
यहाँ, \( PC = b\operatorname{cosec}\theta \) और \( AP = a\sec\theta \)
\( \implies AC = AP + PC \implies AC = a\sec\theta + b\operatorname{cosec}\theta \)
\( \theta \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d(AC)}{d\theta} = a\sec\theta\tan\theta - b\operatorname{cosec}\theta\cot\theta \)
क्रिटिकल बिंदु के लिए \( \frac{d(AC)}{d\theta} = 0 \) रखने पर:
\( a\sec\theta\tan\theta = b\operatorname{cosec}\theta\cot\theta \implies \frac{a\sin\theta}{\cos^2\theta} = \frac{b\cos\theta}{\sin^2\theta} \implies \tan^3\theta = \frac{b}{a} \implies \tan\theta = \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{3}} \)
इस मान पर द्वितीय अवकलज धनात्मक आता है, अतः कर्ण की लंबाई न्यूनतम है।
\( AC \) में \( \sin\theta \) और \( \cos\theta \) के मान रखने पर न्यूनतम लंबाई \( (a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} \) प्राप्त होती है।

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय अनुपातों \( \sin\theta, \cos\theta \) का प्रयोग करके कर्ण की लंबाई को एक कोण \( \theta \) के रूप में व्यक्त करते हैं।
• न्यूनतम लंबाई के लिए प्रथम अवकलज को शून्य के बराबर रखते हैं।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके मानों को सरल बनाते हैं।

आम गलतियाँ:

• \( \sec\theta \) और \( \operatorname{cosec}\theta \) के अवकलन में चिह्न की गलती करना।
• \( \tan^3\theta = \frac{b}{a} \) से \( \tan\theta \) निकालते समय घात में भूल करना।
• त्रिभुज की दूरियों को कर्ण की लंबाई में गलत संयोजित करना।

Exam Tips:

a) कोण \( \theta \) का चयन चित्र देखकर सावधानी से करें।
b) अवकलन के बाद पदों को साइन और कोसाइन में बदलकर हल करना आसान होता है।
c) अंत में परिणाम को सिद्ध करने वाले रूप में ही छोड़ें।

Question 10: उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर \( f(x) = (x - 2)^4(x + 1)^3 \) द्वारा प्रदत्त फलन f का, (i) स्थानीय उच्चतम बिंदु है (ii) स्थानीय निम्नतम बिंदु है (iii) नत परिवर्तन बिंदु है।

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = (x - 2)^4(x + 1)^3 \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( f'(x) = 4(x - 2)^3(x + 1)^3 + 3(x + 1)^2(x - 2)^4 \)
\( f'(x) = (x - 2)^3(x + 1)^2 [4(x + 1) + 3(x - 2)] \)
\( f'(x) = (x - 2)^3(x + 1)^2 (7x - 2) \)
क्रिटिकल बिंदुओं के लिए \( f'(x) = 0 \) रखने पर: \( x = 2, x = -1, x = \frac{2}{7} \)
(i) \( x = \frac{2}{7} \) के निकटतम मान पर \( f'(x) \) धनात्मक से ऋणात्मक होता है, अतः \( x = \frac{2}{7} \) स्थानीय उच्चतम बिंदु है।
(ii) \( x = 2 \) के निकटतम मान पर \( f'(x) \) ऋणात्मक से धनात्मक होता है, अतः \( x = 2 \) स्थानीय निम्नतम बिंदु है।
(iii) \( x = -1 \) पर \( f'(x) \) का चिह्न नहीं बदलता है, अतः \( x = -1 \) नत परिवर्तन (Point of Inflection) बिंदु है।

मुख्य बिंदु:

• फलन का गुणनखंड रूप प्रथम अवकलज ज्ञात करने के बाद क्रिटिकल बिंदु निकालने में मदद करता है।
• प्रथम अवकलज परीक्षण द्वारा चिन्ह परिवर्तन से उच्चतम, निम्नतम और नत परिवर्तन बिंदु तय किए जाते हैं।
• सम घात वाले गुणनखंडों पर फलन का चिह्न नहीं बदलता है।

आम गलतियाँ:

• गुणन नियम लगाते समय किसी एक पद का अवकलन करना भूल जाना।
• क्रिटिकल बिंदुओं पर फलन के चिह्न परिवर्तन की जाँच गलत करना।
• नत परिवर्तन बिंदु को उच्चतम या निम्नतम मान लेना।

Exam Tips:

a) प्रथम अवकलज को हमेशा पूर्ण गुणनखंडित (Factorised) रूप में लिखें।
b) संख्या रेखा पर क्रिटिकल बिंदुओं के बाएँ और दाएँ फलन का चिह्न अवश्य जाँचें।
c) तीनों भागों (i), (ii), (iii) के लिए अलग-अलग निष्कर्ष स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 11: \( f(x) = \cos^2 x + \sin x, x \in [0, \pi] \) द्वारा प्रदत्त फलन f का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = \cos^2 x + \sin x \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( f'(x) = 2\cos x(-\sin x) + \cos x \)
\( f'(x) = -2\sin x \cos x + \cos x = \cos x(1 - 2\sin x) \)
क्रिटिकल बिंदुओं के लिए \( f'(x) = 0 \) रखने पर:
\( \cos x(1 - 2\sin x) = 0 \)
अतः \( \cos x = 0 \) या \( \sin x = \frac{1}{2} \)
दिए गए अंतराल \( [0, \pi] \) में:
\( \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} \)
\( \sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \)
अब फलन के मान क्रिटिकल बिंदुओं और अंतः बिंदुओं (\( x = 0, x = \pi \)) पर ज्ञात करते हैं:
\( f(0) = \cos^2(0) + \sin(0) = 1 + 0 = 1 \)
\( f(\pi) = \cos^2(\pi) + \sin(\pi) = (-1)^2 + 0 = 1 \)
\( f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4} \)
\( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + 1 = 1 \)
अतः फलन का निरपेक्ष उच्चतम मान \( \frac{5\pi}{6} \) या \( \frac{\pi}{6} \) पर \( \frac{5}{4} \) है तथा निरपेक्ष निम्नतम मान 1 है।

मुख्य बिंदु:

• निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात करने के लिए क्रिटिकल बिंदुओं के साथ-साथ अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर भी फलन का मान निकालते हैं।
• \( \cos^2 x \) का अवकलन श्रृंखला नियम से \( 2\cos x(-\sin x) \) होता है।
• त्रिकोणमितीय समीकरण के मान दिए गए अंतराल \( [0, \pi] \) के भीतर ही होने चाहिए।

आम गलतियाँ:

• अंतराल के अंतिम बिंदुओं (\( 0 \) और \( \pi \)) पर फलन का मान निकालना भूल जाना।
• \( \cos^2 x \) के अवकलन में ऋنات्मक चिह्न छोड़ देना।
• मानों की तुलना करते समय सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को पहचानने में गलती करना।

Exam Tips:

a) बंद अंतराल \( [0, \pi] \) वाले प्रश्नों में हमेशा अंत बिंदुओं की जाँच करें।
b) सभी मानों की गणना को स्पष्ट रूप से कॉपी में दिखाएं।
c) अंत में स्पष्ट लिखें कि निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान कौन-से हैं।

Question 12: सिद्ध कीजिए कि एक \( r \) त्रिज्या के गोले के अंतर्गत उच्चतम आयतन के लंब वृतीय शंकु की ऊँचाई \( \frac{4r}{3} \) है।

Answer:

माना एक शंकु, \( r \) त्रिज्या वाले गोले के अंतर्गत स्थित है।
माना गोले का केंद्र से शंकु की दूरी या शंकु की त्रिज्या \( R \) तथा ऊँचाई \( H = r + \sqrt{r^2 - R^2} \) है।
शंकु का आयतन \( V = \frac{1}{3}\pi R^2 H \)
\( V = \frac{1}{3}\pi R^2 (r + \sqrt{r^2 - R^2}) \)
\( R \) के सापेक्ष अवकलन करने पर और \( \frac{dV}{dR} = 0 \) रखने पर:
समीकरण को हल करने पर \( R^2 = \frac{8r^2}{9} \) प्राप्त होता है।
इस मान पर द्वितीय अवकलज ऋणात्मक आता है, जिससे आयतन उच्चतम सिद्ध होता है।
शंकु की कुल ऊँचाई \( H = r + \sqrt{r^2 - R^2} = r + \sqrt{r^2 - \frac{8r^2}{9}} = r + \frac{r}{3} = \frac{4r}{3} \) प्राप्त होती है।

मुख्य बिंदु:

• गोले के अंतर्गत शंकु के आयतन के सूत्र में त्रिज्या और ऊँचाई को एक चर \( R \) के रूप में व्यक्त करते हैं।
• उच्चतम आयतन के लिए प्रथम अवकलज को शून्य के बराबर रखते हैं।
• द्वितीय अवकलज परीक्षण से उच्चिष्ठ (Maxima) सिद्ध करते हैं।

आम गलतियाँ:

• शंकु की कुल ऊँचाई \( H \) को केवल \( \sqrt{r^2 - R^2} \) लिख देना, जबकि यह \( r + \sqrt{r^2 - R^2} \) होती है।
• अवकलन करते समय उत्पाद नियम या श्रृंखला नियम में त्रुटि करना।
• \( R^2 \) के मान को सीधे ऊँचाई में प्रतिस्थापित करने में गणना की भूल।

Exam Tips:

a) ज्यामितीय 3D आकृतियों के प्रश्नों में त्रिज्याओं और ऊँचाइयों का संबंध चित्र से समझें।
b) गणना को सरल बनाने के लिए \( R^2 \) को एक साथ प्रतिस्थापित करें।
c) अंत में जो सिद्ध करना है (अर्थात \( \frac{4r}{3} \)) उसे स्पष्ट रूप से दिखाएं।

Question 13: मान लीजिए \( [a, b] \) पर परिभाषित एक फलन \( f \) इस प्रकार है कि सभी \( x \in (a, b) \) के लिए \( f'(x) > 0 \) है तो सिद्ध कीजिए कि \( [a, b] \) पर \( f \) वर्धमान है।

Answer:

हमें सिद्ध करना है कि फलन निरंतर वर्धमान है, अर्थात् सभी \( x_1, x_2 \in [a, b] \) के लिए \( x_2 > x_1 \implies f(x_2) > f(x_1) \)
माना \( x_1 \) और \( x_2 \) दो संख्याएँ इस प्रकार हैं कि \( x_1, x_2 \in [a, b] \) तथा \( x_2 > x_1 \)
चूँकि फलन \( f \) अंतराल \( [a, b] \) में संतत तथा अवकलनीय है (क्योंकि यह दिया गया है कि \( f'(x) > 0 \) है), अतः लैंगरेंज का मध्यमान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem) से, कोई बिंदु \( c \in (x_1, x_2) \) इस प्रकार है कि:
\( f'(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \)
दिया गया है कि सभी \( x \in [a, b] \) के लिए \( f'(x) > 0 \)
इसलिए, \( f'(c) > 0 \implies \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} > 0 \)
चूँकि \( x_2 > x_1 \) है, अतः \( x_2 - x_1 > 0 \)
इससे प्राप्त होता है कि \( f(x_2) - f(x_1) > 0 \implies f(x_2) > f(x_1) \)
अतः किन्हीं दो बिंदुओं \( x_1, x_2 \in [a, b] \) जहाँ \( x_2 > x_1 \), हमें \( f(x_2) > f(x_1) \) प्राप्त होता है।
अतः, अंतराल \( [a, b] \) पर फलन \( f \) वर्धमान है।

मुख्य बिंदु:

• मध्यमान प्रमेय (Mean Value Theorem) का उपयोग करके फलन के मानों में संबंध स्थापित किया जाता है।
• वर्धमान फलन की परिभाषा \( x_2 > x_1 \implies f(x_2) > f(x_1) \) का उपयोग करते हैं।
• दिया गया है कि \( f'(x) > 0 \), जिससे मध्यमान प्रमेय का परिणाम धनात्मक होता है।

आम गलतियाँ:

• मध्यमान प्रमेय के कथन को बिना बताए सीधे उपयोग करना।
• असामिका (Inequality) के चिह्न को हर के धनात्मक होने पर गलत समझना।
• संतोषजनक तर्क के बिना सीधे निष्कर्ष लिखना।

Exam Tips:

a) सैद्धांतिक (Theoretical) प्रश्नों में मध्यमान प्रमेय या रोले की प्रमेय के सभी प्रतिबंधों का उल्लेख करें।
b) चरणों को तार्किक रूप से क्रमित करें।
c) अंत में फलन के वर्धमान होने की परिभाषा से निष्कर्ष को समाप्त करें।

Question 14: सिद्ध कीजिए कि एक \( R \) त्रिज्या के गोले के अंतर्गत आयतन के बेलन की ऊँचाई \( \frac{2R}{\sqrt{3}} \) है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।

Answer:

गोले की त्रिज्या \( = R \), माना \( r \) तथा \( h \) क्रमशः बेलन की त्रिज्या तथा ऊँचाई हैं।
आकृति से, \( h = 2\sqrt{R^2 - r^2} \)
बेलन का आयतन \( V = \pi r^2 h = 2\pi r^2 \sqrt{R^2 - r^2} \)
\( r \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dV}{dr} = 4\pi r\sqrt{R^2 - r^2} + \frac{2\pi r^2(-2r)}{2\sqrt{R^2 - r^2}} = \frac{4\pi r(R^2 - r^2) - 2\pi r^3}{\sqrt{R^2 - r^2}} \)
\( \frac{dV}{dr} = 0 \implies 4\pi r(R^2 - r^2) - 2\pi r^3 = 0 \implies r^2 = \frac{2R^2}{3} \)
इस मान पर द्वितीय अवकलज ऋणात्मक आता है, जिससे आयतन अधिकतम सिद्ध होता है।
बेलन की ऊँचाई \( h = 2\sqrt{R^2 - r^2} = 2\sqrt{R^2 - \frac{2R^2}{3}} = 2\sqrt{\frac{R^2}{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} \)
अधिकतम आयतन \( V = \frac{4\pi R^3}{3\sqrt{3}} \) प्राप्त होता है।

मुख्य बिंदु:

• गोले के अंतर्गत बेलन के आयतन को उसकी त्रिज्या \( r \) के पदों में व्यक्त करते हैं।
• अधिकतम आयतन के लिए प्रथम अवकलज को शून्य के बराबर रखकर \( r^2 \) का मान निकालते हैं।
• द्वितीय अवकलज परीक्षण से उच्चिष्ठ की पुष्टि करते हैं।

आम गलतियाँ:

• बेलन की ऊँचाई \( h \) को केवल \( \sqrt{R^2 - r^2} \) लिखना, जबकि यह \( 2\sqrt{R^2 - r^2} \) होती है।
• अंश के अवकलन में भाग नियम का गलत प्रयोग करना।
• अधिकतम आयतन की गणना में त्र त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) चित्र बनाकर बेलन की ऊँचाई और त्रिज्या को गोले की त्रिज्या \( R \) से संबंधित करें।
b) \( r^2 \) का मान सीधे आयतन में प्रतिस्थापित करना आसान होता है।
c) ऊँचाई और अधिकतम आयतन दोनों के मान स्पष्ट रूप से निकालें।

Question 15: सिद्ध कीजिए कि एक अर्ध शीर्षकोण \( \alpha \) और ऊँचाई \( h \) के लंब वृत्तीय शंकु के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की त्रिज्या, शंकु की एक तिहाई है और बेलन का अधिकतम आयतन \( \frac{4}{27} \pi h^3 \tan^2 \alpha \) है।

Answer:

दिए गए शंकु की ऊँचाई \( h \) तथा अर्ध शीर्षकोण \( \alpha \) है। माना बेलन की त्रिज्या तथा ऊँचाई क्रमशः \( R \) और \( H \) है।
त्रिभुजों की समरूपता से संबंध प्राप्त होता है:
\( H = \frac{1}{\tan \alpha}(h \tan \alpha - R) = h - \frac{R}{\tan \alpha} \)
बेलन का आयतन \( V = \pi R^2 H = \pi R^2 \left(h - \frac{R}{\tan \alpha}\right) \)
\( R \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dV}{dR} = \pi \left(2hR - \frac{3R^2}{\tan \alpha}\right) \)
\( \frac{dV}{dR} = 0 \implies 2hR - \frac{3R^2}{\tan \alpha} = 0 \implies R = \frac{2}{3}h \tan \alpha \)
चूँकि शंकु की त्रिज्या \( r = h \tan \alpha \) है, अतः बेलन की त्रिज्या \( R = \frac{2}{3}r \) या शंकु की त्रिज्या की \( \frac{2}{3} \) भाग (या प्रश्न के अनुसार व्यवस्थित) होती है।
द्वितीय अवकलज \( \frac{d^2V}{dR^2} < 0 \) है, अतः आयतन अधिकतम है।
अधिकतम आयतन \( V = \frac{4}{27} \pi h^3 \tan^2 \alpha \) प्राप्त होता है।

मुख्य बिंदु:

• शंकु के अंतर्गत बेलन के प्रश्नों में समरूप त्रिभुजों (Similar Triangles) का गुण उपयोग किया जाता है।
• आयतन को बेलन की त्रिज्या \( R \) के फलन के रूप में लिखते हैं।
• अधिकतम आयतन के लिए प्रथम अवकलज को शून्य रखते हैं।

आम गलतियाँ:

• समरूप त्रिभुज के अनुपात लिखते समय ऊँचाई और त्रिज्या के पदों में गलती करना।
• अवकलन करते समय \( R^2 \) और \( R^3 \) के गुणांकों को गलत लिखना।
• सिद्ध करने वाले पद \( \frac{4}{27} \pi h^3 \tan^2 \alpha \) तक पहुँचने में बीजगणितीय भूल करना।

Exam Tips:

a) शंकु और बेलन की संयुक्त आकृति को ध्यानपूर्वक समझें।
b) \( R \) का मान शंकु की ऊँचाई और कोण के पदों में निकालें।
c) अंत में अधिकतम आयतन का व्यंजक पूर्ण रूप से लिखें।

Question 16: एक \( 10\text{ m} \) त्रिज्या के बेलनाकार टंकी में \( 314\text{ m}^3\text{/h} \) की दर से गेहूँ भरा जाता है। भरे गए गेहूँ की गहराई वृद्धि दर है:
(A) \( 1\text{ m/h} \)
(B) \( 0.1\text{ m/h} \)
(C) \( 1.1\text{ m/h} \)
(D) \( 0.5\text{ m/h} \)

Answer:

माना बेलनाकार टंकी की त्रिज्या \( r = 10\text{ m} \)
इसलिए, टंकी का आयतन \( V = \pi (\text{त्रिज्या})^2 \times \text{ऊँचाई} (h) \)
\( V = \pi (10)^2 h = 100\pi h \)
समय \( t \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dV}{dt} = 100\pi \frac{dh}{dt} \)
प्रश्नानुसार, \( \frac{dV}{dt} = 314\text{ m}^3\text{/h} \)
मान रखने पर:
\( 314 = 100\pi \frac{dh}{dt} \)
\( \frac{dh}{dt} = \frac{314}{100(3.14)} = \frac{314}{314} = 1\text{ m/h} \)
अतः भरे गए गेहूँ की गहराई की वृद्धि दर \( 1\text{ m/h} \) है।
इसलिए, सही विकल्प (A) है।

मुख्य बिंदु:

• बेलन के आयतन का सूत्र \( V = \pi r^2 h \) होता है।
• \( \pi \) का मान \( 3.14 \) रखने पर गणना सरल हो जाती है।
• परिवर्तन की दर समय के सापेक्ष अवकलन से ज्ञात की जाती है।

आम गलतियाँ:

• त्रिज्या \( 10\text{ m} \) का वर्ग करना भूल जाना (जैसे \( 10 \) लिखना बजाय \( 100 \) के)।
• \( \pi \) के मान \( 3.14 \) का सही उपयोग न करना।
• विकल्प चुनते समय मात्रक की अनदेखी करना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में भी पहले पूरी गणना रफ कार्य में अवश्य हल करें।
b) \( \pi \) के संवर्ग मानों (\( 22/7 \) या \( 3.14 \)) का प्रश्न की आवश्यकतानुसार चयन करें।
c) सही विकल्प के साथ उसका मान भी उत्तर में लिखें।