NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 06 Application of Derivatives (अवकलज के अनुप्रयोग) Exercise 6.3 in Hindi

Question 1: निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हों, ज्ञात कीजिए:
(i) \( f(x) = (2x - 1)^2 + 3 \)
(ii) \( f(x) = 9x^2 + 12x + 2 \)
(iii) \( f(x) = -(x - 1)^2 + 10 \)
(iv) \( g(x) = x^3 + 1 \)

Answer:

(i) दिया गया फलन है: \( f(x) = (2x - 1)^2 + 3 \)
यहाँ, सभी वास्तविक संख्याओं \( x \) के लिए \( (2x - 1)^2 \geq 0 \)
अतः \( f(x) \geq 3 \)
\( 2x - 1 = 0 \) अर्थात \( x = \frac{1}{2} \) पर फलन का मान 3 होगा, जो कि इसका न्यूनतम मान है। इस फलन का कोई उच्चतम मान नहीं है।

(ii) दिया गया फलन है: \( f(x) = 9x^2 + 12x + 2 = (3x + 2)^2 - 2 \)
सभी \( x \) के लिए \( (3x + 2)^2 \geq 0 \)
अतः \( f(x) \geq -2 \)
\( 3x + 2 = 0 \) अर्थात \( x = -\frac{2}{3} \) पर फलन का न्यूनतम मान \( -2 \) है। इसका कोई उच्चतम मान नहीं है।

(iii) दिया गया फलन है: \( f(x) = -(x - 1)^2 + 10 \)
सभी \( x \) के लिए \( (x - 1)^2 \geq 0 \Rightarrow -(x - 1)^2 \leq 0 \)
अतः \( f(x) \leq 10 \)
\( x - 1 = 0 \) अर्थात \( x = 1 \) पर फलन का उच्चतम मान 10 है। इसका कोई न्यूनतम मान नहीं है।

(iv) दिया गया फलन है: \( g(x) = x^3 + 1 \)
जब \( x > 0 \) तब \( x^3 > 0 \) और जब \( x < 0 \) तब \( x^3 < 0 \)
अतः फलन \( g \) का न तो कोई उच्चतम मान है और न ही कोई न्यूनतम मान।

मुख्य बिंदु:

• पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करके न्यूनतम या उच्चतम मान सरलता से ज्ञात किया जा सकता है।
• फलन के परिसर (Range) को देखकर उच्चतम या न्यूनतम अस्तित्व का पता चलता है।
• यदि मान किसी निश्चित सीमा में न बंधा हो, तो उच्चतम या न्यूनतम मान का अस्तित्व नहीं होता।

आम गलतियाँ:

• वर्ग पदों के साथ ऋणात्मक चिन्ह होने पर असमिका की दिशा न बदलना।
• उच्चतम और न्यूनतम मान की पहचान में भ्रमित होना।
• क्रांतिक बिंदुओं को सही से न निकालना।

Exam Tips:

a) फलन को पूर्ण वर्ग के रूप में व्यक्त करना सबसे आसान तरीका है।
b) तर्क स्पष्ट रूप से लिखें कि वर्ग पद हमेशा धनात्मक होता है।
c) उत्तर लिखते समय न्यूनतम/उच्चतम मान के साथ संबंधित बिंदु \( x \) का मान भी अवश्य लिखें।

Question 2: निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हों, ज्ञात कीजिए:
(i) \( f(x) = |x + 2| - 1 \)
(ii) \( g(x) = -|x + 1| + 3 \)
(iii) \( h(x) = \sin 2x + 5 \)
(iv) \( f(x) = |\sin 4x + 3|\)
(v) \( h(x) = x + 1, x \in (-1, 1) \)

Answer:

(i) दिया गया फलन है: \( f(x) = |x + 2| - 1 \)
हम जानते हैं कि मापांक फलन हमेशा \( \geq 0 \) होता है, अतः \( |x + 2| \geq 0 \)
\( f(x) \geq -1 \)
\( x + 2 = 0 \implies x = -2 \) पर फलन का न्यूनतम मान \( -1 \) है। इसका कोई उच्चतम मान नहीं है।

(ii) दिया गया फलन है: \( g(x) = -|x + 1| + 3 \)
चूँकि \( |x + 1| \geq 0 \), इसलिए \( -|x + 1| \leq 0 \)
\( g(x) \leq 3 \)
\( x + 1 = 0 \implies x = -1 \) पर फलन का उच्चतम मान 3 है। इसका कोई न्यूनतम मान नहीं है।

(iii) दिया गया फलन है: \( h(x) = \sin 2x + 5 \)
हम जानते हैं कि \( -1 \leq \sin 2x \leq 1 \)
संपूर्ण असमिका में 5 जोड़ने पर: \( -1 + 5 \leq \sin 2x + 5 \leq 1 + 5 \)
\( 4 \leq h(x) \leq 6 \)
अतः फलन का उच्चतम मान 6 और न्यूनतम मान 4 है।

(iv) दिया गया फलन है: \( f(x) = |\sin 4x + 3| \)
हम जानते हैं कि \( -1 \leq \sin 4x \leq 1 \)
3 जोड़ने पर: \( 2 \leq \sin 4x + 3 \leq 4 \)
अतः \( 2 \leq |\sin 4x + 3| \leq 4 \)
फलन का उच्चतम मान 4 तथा न्यूनतम मान 2 है।

(v) दिया गया फलन है: \( h(x) = x + 1, x \in (-1, 1) \)
विवृत अंतराल \( (-1, 1) \) के लिए \( -1 < x < 1 \)
0 जोड़ने पर: \( 0 < x + 1 < 2 \)
चूँकि अंतराल विवृत (open) है, इसलिए फलन का न तो कोई उच्चतम मान होगा और न ही न्यूनतम मान।

मुख्य बिंदु:

• मापांक फलनों का न्यूनतम मान शून्य या उसके बाद की अचर संख्या होती है।
• त्रिकोणमितीय फलनों (\( \sin x, \cos x \)) का परिसर \( [-1, 1] \) होता है।
• विवृत अंतरालों पर चरम मान (extreme values) का अस्तित्व आमतौर पर नहीं होता।

आम गलतियाँ:

• विवृत अंतराल में सीमांत बिंदुओं को सम्मिलित मान लेना।
• मापांक के बाहर ऋणात्मक चिन्ह होने पर असमिका की दिशा न बदलना।
• त्रिकोणमितीय फलनों के परिसर की सीमा भूल जाना।

Exam Tips:

a) मापांक फलन के प्रश्नों में \( |x| \geq 0 \) गुणधर्म का प्रयोग करें। b) त्रिकोणमितीय फलनों के लिए मानक असमिका \( -1 \leq \sin x \leq 1 \) का प्रयोग करें। c) विवृत अंतराल और संवृत्त अंतराल के अंतर को ध्यान में रखें।

Question 3: निम्नलिखित फलनों के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम व स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए:
(i) \( f(x) = x^2 \)
(ii) \( g(x) = x^3 - 3x \)
(iii) \( h(x) = \sin x + \cos x, 0 < x < \frac{\pi}{2} \)
(iv) \( f(x) = \sin x - cos x, 0 < x < 2\pi \)
(v) \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15 \)
(vi) \( g(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}, x > 0 \)
(vii) \( g(x) = \frac{1}{x^2 + 2} \)
(viii) \( f(x) = x\sqrt{1 - x}, 0 < x < 1 \)

Answer:

(i) दिया गया फलन है: \( f(x) = x^2 \)
प्रथम अवकलज: \( f'(x) = 2x \)
\( f'(x) = 0 \implies 2x = 0 \implies x = 0 \)
द्वितीय अवकलज: \( f''(x) = 2 \)
\( f''(0) = 2 > 0 \)
अतः द्वितीय अवकलज परीक्षण द्वारा, \( x = 0 \) स्थानीय निम्नतम बिंदु है और स्थानीय निम्नतम मान \( f(0) = 0 \) है।

(ii) दिया गया फलन है: \( g(x) = x^3 - 3x \)
\( g'(x) = 3x^2 - 3 \)
\( g'(x) = 0 \implies 3x^2 - 3 = 0 \implies x = \pm 1 \)
\( g''(x) = 6x \)
\( x = 1 \) पर, \( g''(1) = 6(1) = 6 > 0 \), अतः \( x = 1 \) स्थानीय निम्नतम बिंदु है तथा न्यूनतम मान \( g(1) = 1^3 - 3(1) = -2 \) है।
\( x = -1 \) पर, \( g''(-1) = 6(-1) = -6 < 0 \), अतः \( x = -1 \) स्थानीय उच्चतम बिंदु है तथा उच्चतम मान \( g(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 2 \) है।

(iii) दिया गया फलन है: \( h(x) = \sin x + \cos x, 0 < x < \frac{\pi}{2} \)
\( h'(x) = \cos x - \sin x \)
\( h'(x) = 0 \implies \cos x - \sin x = 0 \implies \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} \)
\( h''(x) = -\sin x - \cos x \)
\( x = \frac{\pi}{4} \) पर, \( h''\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} < 0 \)
अतः \( x = \frac{\pi}{4} \) स्थानीय उच्चतम बिंदु है और उच्चतम मान \( h\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \) है।

(iv) दिया गया फलन है: \( f(x) = \sin x - \cos x, 0 < x < 2\pi \)
\( f'(x) = \cos x + \sin x \)
\( f'(x) = 0 \implies \tan x = -1 \implies x = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \)
\( f''(x) = -\sin x + \cos x \)
\( x = \frac{3\pi}{4} \) पर \( f''\left(\frac{3\pi}{4}\right) < 0 \) (उच्चतम बिंदु) और \( x = \frac{7\pi}{4} \) पर \( f''\left(\frac{7\pi}{4}\right) > 0 \) (निम्नतम बिंदु)।

(v) दिया गया फलन है: \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15 \)
\( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) \)
\( f'(x) = 0 \implies x = 1, 3 \)
\( f''(x) = 6x - 12 \)
\( x = 1 \) पर \( f''(1) = -6 < 0 \) (उच्चतम बिंदु, मान = 19) तथा \( x = 3 \) पर \( f''(3) = 6 > 0 \) (निम्नतम बिंदु, मान = 15)।

(vi) दिया गया फलन है: \( g(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}, x > 0 \)
\( g'(x) = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} \)
\( g'(x) = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \) (चूँकि \( x > 0 \))
\( g''(x) = \frac{4}{x^3} \)
\( x = 2 \) पर \( g''(2) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} > 0 \), अतः \( x = 2 \) स्थानीय निम्नतम बिंदु है और मान \( g(2) = 2 \) है।

(vii) दिया गया फलन है: \( g(x) = \frac{1}{x^2 + 2} \)
\( g'(x) = \frac{-2x}{(x^2 + 2)^2} \)
\( g'(x) = 0 \implies x = 0 \)
द्वितीय अवकलज परीक्षण से \( x = 0 \) पर \( g''(0) < 0 \), अतः यह स्थानीय उच्चतम बिंदु है और उच्चतम मान \( \frac{1}{2} \) है।

(viii) दिया गया फलन है: \( f(x) = x\sqrt{1 - x}, 0 < x < 1 \)
अवकलन करने और हल करने पर \( x = \frac{2}{3} \) क्रांतिक बिंदु प्राप्त होता है जिस पर फलन का स्थानीय उच्चतम मान प्राप्त होता है।

मुख्य बिंदु:

• द्वितीय अवकलज परीक्षण में यदि \( f''(c) > 0 \) हो तो बिंदु निम्नतम होता है।
• यदि \( f''(c) < 0 \) हो तो बिंदु उच्चतम होता है।
• क्रांतिक बिंदु वे बिंदु होते हैं जहाँ प्रथम अवकलज शून्य या अपरिभाषित होता है।

आम गलतियाँ:

• \( f'(x) = 0 \) से प्राप्त सभी बिंदुओं की जाँच \( f''(x) \) में न करना।
• त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय अंतराल की अनदेखी करना।
• कैलकुलेशन (ගणना) में चिन्हों की गलती करना।

Exam Tips:

a) हमेशा प्रथम अवकलज ज्ञात करके उसे शून्य के बराबर रखकर क्रांतिक बिंदु निकालें।
b) द्वितीय अवकलज परीक्षण का स्पष्ट रूप से उल्लेख करें।
c) मान निकालते समय फलन के मूल समीकरण का प्रयोग करें, न कि अवकलज का।

Question 4: सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलनों का उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान नहीं है:
(i) \( f(x) = e^x \)
(ii) \( g(x) = \log x \)
(iii) \( h(x) = x^3 + x^2 + x + 1 \)

Answer:

(i) दिया गया फलन है: \( f(x) = e^x \)
प्रथम अवकलज: \( f'(x) = e^x \)
उच्चतम या न्यूनतम के लिए, \( f'(x) = 0 \implies e^x = 0 \)
चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या \( x \) के लिए \( e^x \neq 0 \) होता है, अतः ऐसा कोई बिंदु \( c \) विद्यमान नहीं है जिसके लिए \( f'(c) = 0 \) । इसलिए फलन का कोई उच्चतम या न्यूनतम मान नहीं है।

(ii) दिया गया फलन है: \( g(x) = \log x \)
प्रथम अवकलज: \( g'(x) = \frac{1}{x} \)
\( g'(x) = 0 \implies \frac{1}{x} = 0 \)
यह समीकरण किसी भी वास्तविक मान के लिए सत्य नहीं हो सकता क्योंकि \( \frac{1}{x} \) कभी शून्य नहीं होता। अतः इस फलन का भी कोई चरम मान नहीं है।

(iii) दिया गया फलन है: \( h(x) = x^3 + x^2 + x + 1 \)
प्रथम अवकलज: \( h'(x) = 3x^2 + 2x + 1 \)
\( h'(x) = 0 \implies 3x^2 + 2x + 1 = 0 \)
इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (Discriminant) \( D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8 < 0 \) है।
चूँकि \( D < 0 \), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। अतः ऐसा कोई वास्तविक मान \( c \) नहीं है जिसके लिए \( h'(c) = 0 \) । इसलिए इस फलन का भी कोई उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• चरम मानों के अस्तित्व के लिए आवश्यक है कि \( f'(c) = 0 \) या फलन उस बिंदु पर अवकलनीय न हो।
• घातांकीय और लघुगणकीय फलन अपने डोमेन में एकदिष्ट (strictly monotonic) होते हैं।
• द्विघात समीकरण में यदि \( D < 0 \) हो तो वास्तविक क्रांतिक बिंदु नहीं मिलते।

आम गलतियाँ:

• \( e^x = 0 \) को हल करने का प्रयास करना।
• द्विघात समीकरण के मूल निकालते समय विविक्तकर की जाँच न करना।
• केवल अवकलज निकालकर छोड़ देना, कारण स्पष्ट न करना।

Exam Tips:

a) स्पष्ट रूप से दर्शाइए कि \( f'(x) \) कभी भी शून्य नहीं हो सकता।
b) द्विघात समीकरण के मामले में विविक्तकर \( (b^2 - 4ac) \) का प्रयोग करके दिखाएं कि मूल काल्पनिक हैं।
c) 'कोई वास्तविक मान विद्यमान नहीं है' वाक्य को उत्तर में अवश्य लिखें।

Question 5: प्रदत्त अंतरालों में निम्नलिखित फलनों के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए:
(i) \( f(x) = x^3, x \in [-2, 2] \)
(ii) \( f(x) = \sin x + \cos x, x \in [0, \pi] \)
(iii) \( f(x) = 4x - \frac{1}{2}x^2, x \in [-2, \frac{9}{2}] \)
(iv) \( f(x) = (x - 1)^2 + 3, x \in [-3, 1] \)

Answer:

(i) दिया गया फलन है: \( f(x) = x^3, x \in [-2, 2] \)
\( f'(x) = 3x^2 \)
\( f'(x) = 0 \implies 3x^2 = 0 \implies x = 0 \)
अब क्रांतिक बिंदु \( x = 0 \) तथा अंतराल के अंतः बिंदुओं \( x = -2 \) और \( x = 2 \) पर फलन के मान ज्ञात करते हैं:
\( f(-2) = (-2)^3 = -8 \)
\( f(0) = (0)^3 = 0 \)
\( f(2) = (2)^3 = 8 \)
अतः निरपेक्ष उच्चतम मान 8 (बिंदु \( x = 2 \) पर) तथा निरपेक्ष निम्नतम मान \( -8 \) (बिंदु \( x = -2 \) पर) है।

(ii) दिया गया फलन है: \( f(x) = \sin x + \cos x, x \in [0, \pi] \)
\( f'(x) = \cos x - \sin x \)
\( f'(x) = 0 \implies \cos x = \sin x \implies \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} \)
अंतराल के बिंदु \( x = 0, \frac{\pi}{4}, \pi \) पर मान:
\( f(0) = \sin 0 + \cos 0 = 1 \)
\( f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \)
\( f(\pi) = \sin \pi + \cos \pi = -1 \)
अतः निरपेक्ष उच्चतम मान \( \sqrt{2} \) और निरपेक्ष निम्नतम मान \( -1 \) है।

(iii) दिया गया फलन है: \( f(x) = 4x - \frac{1}{2}x^2, x \in [-2, \frac{9}{2}] \)
\( f'(x) = 4 - x \)
\( f'(x) = 0 \implies x = 4 \)
बिंदुओं \( x = -2, 4, \frac{9}{2} \) पर मान निकालने पर:
\( f(-2) = 4(-2) - \frac{1}{2}(-2)^2 = -8 - 2 = -10 \)
\( f(4) = 4(4) - \frac{1}{2}(4)^2 = 16 - 8 = 8 \)
\( f\left(\frac{9}{2}\right) = 4\left(\frac{9}{2}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{9}{2}\right)^2 = 18 - \frac{81}{8} = 7.875 \)
अतः निरपेक्ष उच्चतम मान 8 तथा निरपेक्ष निम्नतम मान \( -10 \) है।

(iv) दिया गया फलन है: \( f(x) = (x - 1)^2 + 3, x \in [-3, 1] \)
\( f'(x) = 2(x - 1) \)
\( f'(x) = 0 \implies x = 1 \)
बिंदुओं \( x = -3, 1 \) पर मान:
\( f(-3) = (-3 - 1)^2 + 3 = 16 + 3 = 19 \)
\( f(1) = (1 - 1)^2 + 3 = 3 \)
अतः निरपेक्ष उच्चतम मान 19 और निरपेक्ष निम्नतम मान 3 है।

मुख्य बिंदु:

• संवृत्त अंतराल \( [a, b] \) में निरपेक्ष अधिकतम/न्यूनतम ज्ञात करने के लिए क्रांतिक बिंदुओं और अंतः बिंदुओं दोनों की जाँच करनी होती है।
• फलन का अवकलज शून्य रखकर क्रांतिक बिंदु प्राप्त किए जाते हैं।
• सभी प्राप्त मानों में से सबसे बड़ा मान निरपेक्ष उच्चतम और सबसे छोटा मान निरपेक्ष निम्नतम होता है।

आम गलतियाँ:

• केवल क्रांतिक बिंदुओं पर मान निकालकर अंतः बिंदुओं (Endpoints) की उपेक्षा करना।
• त्रिकोणमितीय मानों की गणना में भिन्न का परिमेयकरण न करना।
• अवकलन करते समय श्रृंखला नियम (Chain Rule) की भूल होना।

Exam Tips:

a) अंतराल के अंतः बिंदुओं और क्रांतिक बिंदुओं की एक सूची बनाएं और सभी पर फलन का मान निकालें।
b) मानों की तुलना करके स्पष्ट रूप से लिखें कि कौन सा निरपेक्ष उच्चतम है और कौन सा निम्नतम।
c) त्रिकोणमितीय अनुपातों के सटीक मान \( \left(\text{जैसे } \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \) का प्रयोग करें।

Question 6: यदि लाभ फलन \( p(x) = 41 - 72x - 18x^2 \) से प्रदत्त है तो किसी कंपनी द्वारा अर्जित उच्चतम लाभ ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया लाभ फलन है: \( p(x) = 41 - 72x - 18x^2 \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( p'(x) = -72 - 36x \)
उच्चतम लाभ के लिए \( p'(x) = 0 \):
\( -72 - 36x = 0 \implies 36x = -72 \implies x = -2 \)
द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर:
\( p''(x) = -36 \)
चूँकि \( p''(-2) = -36 < 0 \), द्वितीय अवकलज परीक्षण द्वारा \( x = -2 \) स्थानीय उच्चतम बिंदु है।
अतः उच्चतम लाभ \( x = -2 \) पर होगा:
\( p(-2) = 41 - 72(-2) - 18(-2)^2 \)
\( = 41 + 144 - 18(4) \)
\( = 185 - 72 = 113 \)
अतः कंपनी द्वारा अर्जित उच्चतम लाभ 31 है (दिए गए समीकरण के अनुसार मान गणना: \( 41 + 144 - 72 = 31 \))।

मुख्य बिंदु:

• व्यावहारिक समस्याओं में अधिकतम लाभ ज्ञात करने के लिए द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग किया जाता है।
• \( p'(x) = 0 \) से क्रांतिक बिंदु निकाला जाता है।
• यदि \( p''(c) < 0 \) हो, तो वह बिंदु उच्चिष्ठ (उच्चतम) लाभ देता है।

आम गलतियाँ:

• अवकलन करते समय ऋण चिन्हों (Negative signs) की गड़बड़ी करना।
• मान रखते समय कोष्ठक (Brackets) का सही उपयोग न करना।
• इकाई या संदर्भ की अनदेखी करना।

Exam Tips:

a) प्रश्न में दिए गए फलन का सीधे अवकलन करें।
b) द्वितीय अवकलज का ऋणात्मक आना यह सुनिश्चित करता है कि लाभ अधिकतम है।
c) गणना को सावधानीपूर्वक स्टेप-बाय-स्टेप हल करें।

Question 7: अंतराल \( [0, 3] \) पर \( 3x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 48x + 25 \) के उच्चतम मान और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना फलन है: \( f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 48x + 25, x \in [0, 3] \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( f'(x) = 12x^3 - 24x^2 + 24x - 48 \)
\( f'(x) = 12(x^3 - 2x^2 + 2x - 4) = 12[x^2(x - 2) + 2(x - 2)] = 12(x^2 + 2)(x - 2) \)
क्रांतिक बिंदुओं के लिए \( f'(x) = 0 \):
\( 12(x^2 + 2)(x - 2) = 0 \implies x = 2 \) (चूँकि \( x^2 + 2 \neq 0 \))
अतः क्रांतिक बिंदु \( x = 2 \) है। अंतराल के अंतः बिंदु \( x = 0 \) और \( x = 3 \) हैं।
अब इन सभी बिंदुओं पर फलन के मान ज्ञात करते हैं:
\( f(0) = 3(0)^4 - 8(0)^3 + 12(0)^2 - 48(0) + 25 = 25 \)
\( f(2) = 3(2)^4 - 8(2)^3 + 12(2)^2 - 48(2) + 25 \)
\( = 3(16) - 8(8) + 12(4) - 96 + 25 \)
\( = 48 - 64 + 48 - 96 + 25 = -39 \)
\( f(3) = 3(3)^4 - 8(3)^3 + 12(3)^2 - 48(3) + 25 \)
\( = 3(81) - 8(27) + 12(9) - 144 + 25 \)
\( = 243 - 216 + 108 - 144 + 25 = 16 \)
अतः अंतराल \( [0, 3] \) पर फलन का उच्चतम मान 25 (बिंदु \( x = 0 \) पर) तथा निम्नतम मान \( -39 \) (बिंदु \( x = 2 \) पर) है।

मुख्य बिंदु:

• बहुपदीय फलनों (Polynomial functions) के गुणनखंड विधि से क्रांतिक बिंदु सरलता से निकाले जा सकते हैं।
• संवृत्त अंतराल में अधिकतम और न्यूनतम मान के लिए अंतः बिंदुओं और क्रांतिक बिंदुओं दोनों के मानों की तुलना की जाती है।
• बड़ी संख्याओं की गणना में सावधानी बरतें।

आम गलतियाँ:

• गुणनखंड बनाते समय चिन्हों की गलती करना।
• \( x^2 + 2 = 0 \) से काल्पनिक मूलों को वास्तविक मान मान लेना।
• फलन में मान रखते समय घातों की गणना गलत करना।

Exam Tips:

a) अवकलज को गुणनखंड रूप में तोड़ना सबसे अच्छा तरीका है।
b) सभी संभव बिंदुओं (\( x = 0, 2, 3 \)) पर मान निकालकर स्पष्ट तालिका या मान सूची बनाएं।
c) अंतिम उत्तर में उच्चतम और निम्नतम दोनों मानों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 8: अंतराल \( [0, 2\pi] \) के किन बिंदुओं पर \( \sin 2x \) फलन अपना उच्चतम मान प्राप्त करता है?

Answer:

माना फलन है: \( f(x) = \sin 2x \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( f'(x) = 2 \cos 2x \)
उच्चतम या निम्नतम मान के लिए \( f'(x) = 0 \):
\( 2 \cos 2x = 0 \implies \cos 2x = 0 \)
दिए गए अंतराल \( 0 \leq x \leq 2\pi \) के लिए, \( 0 \leq 2x \leq 4\pi \)
अतः \( 2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2} \)
जिससे \( x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \) प्राप्त होते हैं।
अब क्रांतिक बिंदुओं तथा अंतः बिंदुओं (\( 0, 2\pi \)) पर फलन के मान ज्ञात करते हैं:
\( f(0) = \sin(0) = 0 \)
\( f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \)
\( f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 \)
\( f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = 1 \)
\( f\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{7\pi}{2}\right) = -1 \)
\( f(2\pi) = \sin(4\pi) = 0 \)
अतः फलन \( x = \frac{\pi}{4} \) और \( x = \frac{5\pi}{4} \) पर अपना उच्चतम मान (1) प्राप्त करता है।

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय फलनों के अंतराल बड़े होने पर कोणों का परिसर (Range) भी तदनुसार बढ़ाना पड़ता है।
• \( \cos \theta = 0 \) होने पर \( \theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots \) होता है।
• उच्चतम मान प्राप्त करने वाले बिंदुओं को अंतः और क्रांतिक बिंदुओं की तुलना से छाँटा जाता है।

आम गलतियाँ:

• अंतराल \( 0 \leq x \leq 2\pi \) को \( 2x \) के अंतराल में बदलना भूल जाना।
• कुछ ही क्रांतिक बिंदुओं को निकालकर बाकी छोड़ देना।
• चतुर्थांशों के अनुसार साइन (Sin) के मानों में चिन्ह की गलती करना।

Exam Tips:

a) अंतराल \( x \) के लिए दिया हो तो \( 2x \) का अंतराल स्वतः निर्धारित कर लें।
b) सभी संभावित कोणों पर फलन के मान लिखकर दिखाएं।
c) प्रश्न में पूछा गया है कि "किन बिंदुओं पर", इसलिए केवल \( x \) के मान उत्तर में प्रमुखता से दें।

Question 9: फलन \( \sin x + \cos x \) का उच्चतम मान क्या है?

Answer:

माना फलन है: \( f(x) = \sin x + \cos x \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( f'(x) = \cos x - \sin x \)
उच्चतम या निम्नतम मान के लिए \( f'(x) = 0 \):
\( \cos x - \sin x = 0 \implies \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \dots \)
द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर:
\( f''(x) = -\sin x - \cos x \)
\( x = \frac{\pi}{4} \) पर:
\( f''\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} < 0 \)
चूँकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है, अतः \( x = \frac{\pi}{4} \) पर फलन का उच्चतम मान होगा।
उच्चतम मान \( f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \)
अतः फलन का उच्चतम मान \( \sqrt{2} \) है।

मुख्य बिंदु:

• \( a\sin x + b\cos x \) प्रकार के फलनों का उच्चतम मान सदैव \( \sqrt{a^2 + b^2} \) होता है।
• द्वितीय अवकलज परीक्षण यह सुनिश्चित करता है कि क्रांतिक बिंदु पर मान उच्चतम है या निम्नतम।
• त्रिकोणमितीय मानो को सरल करके \( \sqrt{2} \) प्राप्त किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( \tan x = 1 \) से केवल धनात्मक मान \( \frac{\pi}{4} \) लेना, जबकि तीसरे चतुर्थांश में भी मान होता है (यद्यपि उच्चतम के लिए \( \frac{\pi}{4} \) पर्याप्त है)।
• \( \frac{2}{\sqrt{2}} \) को परिमेयकृत (Rationalize) न करना।
• द्वितीय अवकलज का चिन्ह गलत पहचानना।

Exam Tips:

• आप प्रत्यक्ष सूत्र विधि \( \sqrt{a^2 + b^2} \) का उपयोग करके उत्तर की जाँच कर सकते हैं।
• परीक्षा में अवकलन विधि (Derivative test) का ही पूर्ण विवरण दें क्योंकि यह दीर्घ उत्तरीय या लघु उत्तरीय प्रश्नों में अपेक्षित है।
• अंत में मान को पूरी तरह हल करके लिखें।

Question 10: अंतराल \( [1, 3] \) में \( 2x^3 - 24x + 107 \) का महत्तम मान ज्ञात कीजिए। इसी फलन का अंतराल \( [-3, -1] \) में भी महत्तम मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना फलन है: \( f(x) = 2x^3 - 24x + 107 \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( f'(x) = 6x^2 - 24 \)
क्रांतिक बिंदुओं के लिए \( f'(x) = 0 \):
\( 6x^2 - 24 = 0 \implies 6(x^2 - 4) = 0 \implies x = \pm 2 \)

स्थिति 1: अंतराल \( [1, 3] \) के लिए:
यहाँ क्रांतिक बिंदु \( x = 2 \) इस अंतराल में स्थित है (चूँकि \( 2 \in [1, 3] \))। अंतः बिंदु \( x = 1 \) और \( x = 3 \) हैं।
इन बिंदुओं पर फलन के मान:
\( f(1) = 2(1)^3 - 24(1) + 107 = 2 - 24 + 107 = 85 \)
\( f(2) = 2(2)^3 - 24(2) + 107 = 16 - 48 + 107 = 75 \)
\( f(3) = 2(3)^3 - 24(3) + 107 = 54 - 72 + 107 = 89 \)
अतः अंतराल \( [1, 3] \) में फलन का महत्तम मान 89 है।

स्थिति 2: अंतराल \( [-3, -1] \) के लिए:
यहाँ क्रांतिक बिंदु \( x = -2 \) इस अंतराल में स्थित है (\( -2 \in [-3, -1] \))। अंतः बिंदु \( x = -3 \) और \( x = -1 \) हैं।
इन बिंदुओं पर फलन के मान:
\( f(-1) = 2(-1)^3 - 24(-1) + 107 = -2 + 24 + 107 = 129 \)
\( f(-2) = 2(-2)^3 - 24(-2) + 107 = -16 + 48 + 107 = 139 \)
\( f(-3) = 2(-3)^3 - 24(-3) + 107 = -54 + 72 + 107 = 125 \)
अतः अंतराल \( [-3, -1] \) में फलन का महत्तम मान 139 है।

मुख्य बिंदु:

• विभिन्न अंतरालों के लिए क्रांतिक बिंदुओं की वैधता (Validity) की जाँच अवश्य करनी चाहिए।
• संवृत्त अंतराल में महत्तम या न्यूनतम मान हमेशा अंतः बिंदुओं या अंतराल के भीतर के क्रांतिक बिंदुओं पर ही प्राप्त होते हैं।
• गणना करते समय धनात्मक और ऋणात्मक चिन्हों का विशेष ध्यान रखें।

आम गलतियाँ:

• ऐसे क्रांतिक बिंदु को अंतराल में शामिल कर लेना जो उस अंतराल के बाहर है।
• ऋणात्मक संख्याओं के घन (Cube) निकालते समय चिन्ह की गलती करना।
• दोनों अंतरालों के लिए अलग-अलग गणना न करना।

Exam Tips:

a) दोनों अंतरालों को स्पष्ट रूप से अलग-अलग खंडों में हल करें।
b) प्रत्येक अंतराल के लिए केवल उसी में आने वाले क्रांतिक बिंदुओं और अंतः बिंदुओं के मान निकालें।
c) अंतिम निष्कर्ष में दोनों अंतरालों के महत्तम मान स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 11: यदि दिया है कि अंतराल \( [0, 2] \) में \( x^4 - 62x^2 + ax + 9 \) उच्चतम मान प्राप्त करता है तो \( a \) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना फलन है: \( f(x) = x^4 - 62x^2 + ax + 9 \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( f'(x) = 4x^3 - 124x + a \)
प्रश्नुसार, फलन अंतराल \( [0, 2] \) में \( x = 1 \) पर उच्चतम मान प्राप्त करता है।
अतः \( x = 1 \) पर फलन का प्रथम अवकलज शून्य होगा (\( f'(1) = 0 \))।
\( 4(1)^3 - 124(1) + a = 0 \)
\( 4 - 124 + a = 0 \)
\( -120 + a = 0 \)
\( a = 120 \)
अतः \( a \) का मान 120 है।

मुख्य बिंदु:

• यदि कोई फलन किसी आंतरिक बिंदु पर उच्चतम या न्यूनतम मान प्राप्त करता है, तो उस बिंदु पर प्रथम अवकलज का मान शून्य होता है (\( f'(c) = 0 \))।
• अज्ञात राशि का मान ज्ञात करने के लिए इस आवश्यक प्रतिबंध (Necessary condition) का उपयोग किया जाता है।
• दिया गया बिंदु अंतराल के अंदर होना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• द्वितीय अवकलज की जाँच करने लगना जबकि प्रश्न में केवल \( a \) का मान पूछा है और बिंदु पहले से दिया है।
• समीकरण हल करते समय पक्षांतर में चिन्ह की गलती करना।
• \( f(x) \) में मान रख देना जबकि अवकलज \( f'(x) \) में मान रखना होता है।

Exam Tips:

a) सिद्धांत स्पष्ट रखें कि चरम बिंदु पर \( f'(x) = 0 \) होता है।
b) \( x = 1 \) को सीधे \( f'(x) \) में प्रतिस्थापित करें।
c) गणना को संक्षिप्त और स्पष्ट रखें।

Question 12: \( [0, 2\pi] \) पर \( x + \sin 2x \) का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना फलन है: \( f(x) = x + \sin 2x, x \in [0, 2\pi] \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( f'(x) = 1 + 2\cos 2x \)
क्रांतिक बिंदुओं के लिए \( f'(x) = 0 \):
\( 1 + 2\cos 2x = 0 \implies \cos 2x = -\frac{1}{2} \)
चूँकि \( 0 \leq x \leq 2\pi \), इसलिए \( 0 \leq 2x \leq 4\pi \)
अतः \( 2x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3} \dots \)
जिससे \( x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \) प्राप्त होते हैं।
अब अंतः बिंदुओं (\( 0, 2\pi \)) और इन क्रांतिक बिंदुओं पर फलन के मान ज्ञात करते हैं:
\( f(0) = 0 + \sin(0) = 0 \)
\( f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} + \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3} + \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( f\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{3} + \sin\left(\frac{8\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( f\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{5\pi}{3} + \sin\left(\frac{10\pi}{3}\right) = \frac{5\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( f(2\pi) = 2\pi + \sin(4\pi) = 2\pi \)
अतः \( x = 2\pi \) पर फलन का उच्चतम मान \( 2\pi \) है तथा \( x = 0 \) पर फलन का निम्नतम मान 0 है।

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय दिए गए अंतराल की सीमा का विशेष ध्यान रखें।
• संवृत्त अंतराल में उच्चतम और निम्नतम मान सभी क्रांतिक और अंतः बिंदुओं के मानों की तुलना से मिलते हैं।
• त्रिकोणमितीय अनुपातों के सटीक मानों का प्रयोग करें।

आम गलतियाँ:

• अंतराल \( 2x \) के सभी संभव मानों को \( x \) में बदलते समय कुछ मान छोड़ देना।
• अंतः बिंदुओं \( 0 \) और \( 2\pi \) पर मान निकालना भूल जाना।
• त्रिकोणमितीय चिन्हों (चतुर्थांश नियम) में गलती करना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय समीकरण \( \cos 2x = -\frac{1}{2} \) को सावधानीपूर्वक हल करें।
b) सभी बिंदुओं पर फलन के मानों की सूची बनाकर स्पष्ट रूप से तुलना करें।
c) अंतिम उत्तर में उच्चतम और निम्नतम मानों को उनके बिंदुओं के साथ दर्शाएं।

Question 13: ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 24 है और जिनका गुणनफल उच्चतम हो।

Answer:

माना पहली संख्या \( x \) है, तब दूसरी संख्या \( 24 - x \) होगी।
प्रश्नुसार, दोनों संख्याओं का गुणनफल \( P \) है:
\( P = x(24 - x) = 24x - x^2 \) ...(1)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( P'(x) = 24 - 2x \)
उच्चतम गुणनफल के लिए \( P'(x) = 0 \):
\( 24 - 2x = 0 \implies 2x = 24 \implies x = 12 \)
द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर:
\( P''(x) = -2 \)
चूँकि \( P''(12) = -2 < 0 \), द्वितीय अवकलज परीक्षण द्वारा \( x = 12 \) पर गुणनफल उच्चतम है।
समीकरण (1) से दूसरी संख्या:
\( 24 - 12 = 12 \)
अतः वे दो संख्याएँ 12 और 12 हैं।

मुख्य बिंदु:

• इबारती प्रश्नों (Word problems) में चरों को मानकर एक चर में फलन बनाना महत्वपूर्ण है।
• उच्चतम या निम्नतम सिद्ध करने के लिए द्वितीय अवकलज का ऋणात्मक या धनात्मक होना आवश्यक है।
• समस्या को गणितीय समीकरण में बदलना सबसे पहला चरण है।

आम गलतियाँ:

• दो चर (जैसे \( x \) और \( y \)) मानकर बिना एक चर में बदले अवकलन करने का प्रयास करना।
• द्वितीय अवकलज की जाँच किए बिना सीधे उत्तर लिख देना।
• गुणनफल का फलन गलत बनाना।

Exam Tips:

a) संख्याओं को \( x \) और \( (S - x) \) के रूप में मानें जहाँ \( S \) उनका योग है।
b) फलन बनाकर उसका प्रथम और द्वितीय अवकलज स्पष्ट रूप से निकालें।
c) अंत में दोनों संख्याएँ स्पष्ट रूप से लिखकर दिखाएं।

Question 14: ऐसी दो धनात्मक संख्याएँ \( x \) और \( y \) ज्ञात कीजिए ताकि \( x + y = 60 \) और \( xy^3 \) उच्चतम हो।

Answer:

प्रश्नुसार, \( x + y = 60 \implies y = 60 - x \) ...(1)
हमें फलन \( P = xy^3 \) को उच्चतम करना है।
समीकरण (1) से \( y \) का मान रखने पर:
\( P = x(60 - x)^3 \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर (गुणन नियम द्वारा):
\( P'(x) = 1 \cdot (60 - x)^3 + x \cdot 3(60 - x)^2(-1) \)
\( P'(x) = (60 - x)^2 [60 - x - 3x] = (60 - x)^2 (60 - 4x) \)
उच्चतम मान के लिए \( P'(x) = 0 \):
\( (60 - x)^2 (60 - 4x) = 0 \implies x = 60 \text{ या } 4x = 60 \implies x = 15 \)
(चूँकि \( x \neq 60 \), क्योंकि यदि \( x = 60 \) तो \( y = 0 \), जो धनात्मक संख्या नहीं है)
अतः \( x = 15 \)
द्वितीय अवकलज परीक्षण से जाँच करने पर \( x = 15 \) पर \( P''(15) < 0 \) प्राप्त होता है, अतः \( x = 15 \) पर फलन उच्चतम है।
समीकरण (1) से \( y = 60 - 15 = 45 \)
अतः संख्याएँ 15 और 45 हैं।

मुख्य बिंदु:

• गुणन नियम (Product rule) का प्रयोग करके अवकलन को सरल बनाया जा सकता है।
• उभयनिष्ठ (Common) पदों को बाहर निकालकर गुणनखंड बनाना अवकलज को शून्य के बराबर रखने में मदद करता है।
• दी गई शर्तों (जैसे धनात्मक संख्याएँ) का ध्यान रखना आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• श्रृंखला नियम (Chain Rule) लगाते समय अंदर के पद \( (60-x) \) के अवकलज का \( -1 \) छोड़ देना।
• सीमांत मानों (जैसे \( x = 60 \)) को अस्वीकार न करना।
• गुणनफल के फलन को सही से न फैलाना।

Exam Tips:

a) फलन का अवकलन करने के बाद गुणनखंड रूप में ही रखें ताकि \( = 0 \) रखने में आसानी हो।
b) अमान्य मानों को तर्क के साथ हटाएं।
c) अंत में दोनों संख्याएँ स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 15: ऐसी दो धनात्मक संख्याएँ \( x \) और \( y \) ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 हो और गुणनफल \( x^2 y^5 \) उच्चतम हो।

Answer:

प्रश्नुसार, \( x + y = 35 \implies y = 35 - x \) ...(1)
हमें फलन \( P = x^2 y^5 \) को उच्चतम करना है।
समीकरण (1) से \( y \) का मान रखने पर:
\( P = x^2 (35 - x)^5 \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( P'(x) = 2x(35 - x)^5 + x^2 \cdot 5(35 - x)^4(-1) \)
\( P'(x) = x(35 - x)^4 [2(35 - x) - 5x] \)
\( P'(x) = x(35 - x)^4 (70 - 2x - 5x) = x(35 - x)^4 (70 - 7x) = 7x(35 - x)^4 (10 - x) \)
उच्चतम मान के लिए \( P'(x) = 0 \):
\( 7x(35 - x)^4 (10 - x) = 0 \implies x = 0, 35, 10 \)
चूँकि संख्याएँ धनात्मक हैं, इसलिए \( x \neq 0 \) और \( x \neq 35 \) (क्योंकि यदि \( x = 35 \), तो \( y = 0 \))।
अतः \( x = 10 \)
द्वितीय अवकलज परीक्षण द्वारा \( x = 10 \) पर \( P''(10) < 0 \) प्राप्त होता है, अतः \( x = 10 \) पर फलन उच्चतम है।
समीकरण (1) से \( y = 35 - 10 = 25 \)
अतः वे संख्याएँ 10 और 25 हैं।

मुख्य बिंदु:

• बड़े व्यंजकों का अवकलन करते समय कॉमन (Common) पदों को बाहर निकालना गणना को बहुत आसान कर देता है।
• धनात्मक संख्याओं की शर्त के कारण शून्य या सीमांत मानों को हटाना पड़ता है।
• गुणन और श्रृंखला नियम का सही संयोजन आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• \( (35-x)^4 \) के अवकलज में श्रृंखला नियम के कारण \( -1 \) गुणा करना भूल जाना।
• क्रांतिक बिंदुओं में से अमान्य मानों को न पहचान पाना।
• फलन को एक चर में बदलने में गलती करना।

Exam Tips:

a) अवकलन के बाद जितना संभव हो सके गुणनखंड (Factorize) करें।
b) प्रत्येक क्रांतिक बिंदु के लिए यह जाँच करें कि क्या वह प्रश्न की शर्तों (धनात्मक संख्या) को संतुष्ट करता है।
c) अंत में दोनों संख्याएँ \( x \) और \( y \) के मान के रूप में स्पष्ट लिखें।

Question 16: ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 16 हो और जिनके घनों का योग निम्नतम हो।

Answer:

माना संख्याएँ \( x \) और \( y \) हैं।
प्रश्नुसार, \( x + y = 16 \implies y = 16 - x \) ...(1)
घनों का योग \( S = x^3 + y^3 \)
समीकरण (1) से \( y \) का मान रखने पर:
\( S = x^3 + (16 - x)^3 \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( S'(x) = 3x^2 + 3(16 - x)^2(-1) = 3x^2 - 3(16 - x)^2 \)
निम्नतम मान के लिए \( S'(x) = 0 \):
\( 3x^2 - 3(16 - x)^2 = 0 \implies x^2 = (16 - x)^2 \)
\( x = 16 - x \implies 2x = 16 \implies x = 8 \)
द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर:
\( S''(x) = 6x - 3 \cdot 2(16 - x)(-1) = 6x + 6(16 - x) \)
\( x = 8 \) पर:
\( S''(8) = 6(8) + 6(16 - 8) = 48 + 48 = 96 > 0 \)
चूँकि \( S''(8) > 0 \), द्वितीय अवकलज परीक्षण द्वारा \( x = 8 \) पर घनों का योग निम्नतम है।
समीकरण (1) से \( y = 16 - 8 = 8 \)
अतः वे दोनों संख्याएँ 8 और 8 हैं।

मुख्य बिंदु:

• घनों के योग या किसी अन्य फलन को न्यूनतम करने के लिए भी अवकलज विधि का ही प्रयोग किया जाता है।
• \( S''(c) > 0 \) होना यह सिद्ध करता है कि मान निम्नतम (Minimum) है।
• समीकरणों को सरल बनाने के लिए वर्गमूल या बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करें।

आम गलतियाँ:

• \( (16-x)^3 \) के अवकलज में अंदर के पद का अवकलज \( (-1) \) छोड़ देना।
• \( x^2 = (16-x)^2 \) को हल करते समय केवल एक ही मूल निकालना।
• द्वितीय अवकलज की जाँच करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) फलन को एक चर में बदलकर ही अवकलन करें।
b) \( S''(x) \) धनात्मक आने पर स्पष्ट रूप से लिखें कि फलन निम्नतम है।
c) दोनों संख्याओं के मान स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 17: \( 18\text{ cm} \) भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो?

Answer:

माना कोने पर काटे गए वर्ग की भुजा \( x\text{ cm} \) है।
टिन की मूल भुजा \( = 18\text{ cm} \)
मोड़ने के बाद संदूक की लंबाई \( = 18 - 2x \)
संदूक की चौड़ाई \( = 18 - 2x \)
संदूक की ऊँचाई \( = x \)
संदूक का आयतन \( V = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} \)
\( V = x(18 - 2x)(18 - 2x) = x(18 - 2x)^2 \) ...(1)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( V'(x) = 1 \cdot (18 - 2x)^2 + x \cdot 2(18 - 2x)(-2) \)
\( V'(x) = (18 - 2x)[18 - 2x - 4x] = (18 - 2x)(18 - 6x) = 6(18 - 2x)(3 - x) \)
उच्चतम आयतन के लिए \( V'(x) = 0 \):
\( 6(18 - 2x)(3 - x) = 0 \implies x = 9 \text{ या } x = 3 \)
यदि \( x = 9 \), तो लंबाई \( 18 - 2(9) = 0 \) हो जाएगी, जो कि संभव नहीं है। अतः \( x = 9 \) अमान्य है।
इसलिए \( x = 3 \)
द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर:
\( V''(x) = -2(18 - 6x) - 6(18 - 2x) \)
\( x = 3 \) पर \( V''(3) = -2(18 - 18) - 6(18 - 6) = 0 - 6(12) = -72 < 0 \)
चूँकि \( V''(3) < 0 \), द्वितीय अवकलज परीक्षण द्वारा \( x = 3 \) पर आयतन उच्चतम है।
अतः काटे जाने वाले वर्ग की भुजा \( 3\text{ cm} \) होनी चाहिए।

मुख्य बिंदु:

• संदूक की विमाएँ निकालते समय मूल लंबाई में से दोनों सिरों से \( 2x \) घटाया जाता है।
• आयतन \( V = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} \) सूत्र का उपयोग होता है।
• अव्यवहारिक मानों (जैसे \( x = 9 \)) को तुरंत अस्वीकार कर देना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• दोनों तरफ से वर्ग काटने के कारण केवल \( x \) घटाना जबकि \( 2x \) घटाना चाहिए।
• सीमांत या असंभव मानों को उत्तर में शामिल कर लेना।
• गुणन नियम के अवकलन में गलती करना।

Exam Tips:

a) चित्र की कल्पना करें या रफ चित्र बनाकर विमाओं को समझें।
b) संदूक की ऊँचाई को \( x \) और बची हुई भुजाओं को \( (18-2x) \) स्पष्ट लिखें।
c) \( x = 9 \) अमान्य क्यों है, इसका कारण संक्षिप्त में अवश्य लिखें।

Question 18: \( 45\text{ cm} \times 24\text{ cm} \) की टिन की आयताकार चादर के कोनों पर वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो?

Answer:

माना कोने पर काटे गए वर्ग की भुजा \( x\text{ cm} \) है।
चादर की लंबाई \( = 45\text{ cm} \), चौड़ाई \( = 24\text{ cm} \)
संदूक की लंबाई \( = 45 - 2x \)
संदूक की चौड़ाई \( = 24 - 2x \)
संदूक की ऊँचाई \( = x \)
आयतन \( V = x(45 - 2x)(24 - 2x) = x(1080 - 90x - 48x + 4x^2) = 4x^3 - 138x^2 + 1080x \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( V'(x) = 12x^2 - 276x + 1080 \)
उच्चतम आयतन के लिए \( V'(x) = 0 \):
\( 12(x^2 - 23x + 90) = 0 \implies x^2 - 23x + 90 = 0 \)
गुणनखंड बनाने पर: \( (x - 18)(x - 5) = 0 \implies x = 18 \text{ या } x = 5 \)
यदि \( x = 18 \), तो चौड़ाई \( 24 - 2(18) = -12 \) हो जाएगी, जो कि संभव नहीं है। अतः \( x = 18 \) अमान्य है।
इसलिए \( x = 5 \)
द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर:
\( V''(x) = 24x - 276 \)
\( x = 5 \) पर \( V''(5) = 24(5) - 276 = 120 - 276 = -156 < 0 \)
चूँकि \( V''(5) < 0 \), द्वितीय अवकलज परीक्षण द्वारा \( x = 5 \) पर आयतन उच्चतम है।
अतः काटे जाने वाले वर्ग की भुजा \( 5\text{ cm} \) होगी।

मुख्य बिंदु:

• आयताकार चादर के लिए लंबाई और चौड़ाई दोनों में से \( 2x \) घटाया जाता है।
• द्विघात समीकरण के गुणनखंड करके क्रांतिक बिंदु निकाले जाते हैं।
• ऋणात्मक विमाएँ संभव न होने के कारण बड़े मान को अमान्य किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• चौड़ाई में से \( 2x \) घटाते समय चादर की छोटी भुजा (24) से बड़ा मान (जैसे 18) स्वीकार कर लेना।
• द्विघात समीकरण हल करते समय गुणनखंड में गलती करना।
• द्वितीय अवकलज की जाँच न करना।

Exam Tips:

a) चादर के आयामों के अनुसार संदूक की लंबाई और चौड़ाई सही रूप में लिखें।
b) गुणनखंड विधि से \( x \) के मान आसानी से निकालें।
c) स्पष्ट करें कि \( x = 18 \) क्यों अस्वीकार्य है (क्योंकि चौड़ाई ऋणात्मक हो जाएगी)।

Question 19: सिद्ध कीजिए कि एक दिए वृत्त के अंतर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है।

Answer:

माना वृत्त की त्रिज्या \( r \) है और इसके अंतर्गत एक आयत ABCD है जिसकी लंबाई \( x \) तथा चौड़ाई \( y \) है।
समकोण त्रिभुज में, विकर्ण वृत्त का व्यास \( 2r \) होगा।
पाइथागोरस प्रमेय से: \( x^2 + y^2 = (2r)^2 \implies x^2 + y^2 = 4r^2 \implies y = \sqrt{4r^2 - x^2} \)
आयत का क्षेत्रफल \( A = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = xy = x\sqrt{4r^2 - x^2} \)
गणना को सरल बनाने के लिए \( A^2 = x^2(4r^2 - x^2) = 4r^2x^2 - x^4 \) मान लेते हैं। माना \( Z = A^2 \) ।
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( \frac{dZ}{dx} = 8r^2x - 4x^3 = 4x(2r^2 - x^2) \)
उच्चतम क्षेत्रफल के लिए \( \frac{dZ}{dx} = 0 \):
\( 4x(2r^2 - x^2) = 0 \implies x^2 = 2r^2 \implies x = \sqrt{2}r \) (चूँकि \( x > 0 \))
द्वितीय अवकलज से जाँच करने पर \( x = \sqrt{2}r \) पर \( \frac{d^2Z}{dx^2} < 0 \) प्राप्त होता है, अतः क्षेत्रफल उच्चतम है।
जब \( x = \sqrt{2}r \), तब \( y = \sqrt{4r^2 - 2r^2} = \sqrt{2}r \)
चूँकि \( x = y \), अतः आयत एक वर्ग है।

मुख्य बिंदु:

• क्षेत्रफल वाले फलनों में वर्ग रूप (\( A^2 \)) मानकर हल करने से वर्गमूल के कठिन अवकलन से बचा जा सकता है।
• वृत्त के अंतर्गत आयत के विकर्ण वृत्त का व्यास होते हैं।
• \( x = y \) सिद्ध करना यह साबित करता है कि आयत एक वर्ग है।

आम गलतियाँ:

• वर्गमूल वाले फलन का सीधा अवकलन करके गणना को जटिल बना लेना।
• वृत्त के व्यास को त्रिज्या मान लेना।
• अंत में यह सिद्ध करना भूल जाना कि लंबाई और चौड़ाई बराबर हैं।

Exam Tips:

a) \( A^2 \) को नया फलन मानकर अवकलन करना परीक्षा में सबसे आसान और प्रभावी तरीका है।
b) पाइथागोरस प्रमेय का सही उपयोग करके \( y \) का मान निकालें।
c) अंत में \( x = y \) लिखकर निष्कर्ष दें कि यह एक वर्ग है।

Question 20: सिद्ध कीजिए कि प्रदत्त पृष्ठ एवं महत्तम आयतन के बेलन की ऊँचाई आधार के व्यास के बराबर होती है।

Answer:

माना बेलन की त्रिज्या \( r \) और ऊँचाई \( h \) है।
बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( S = 2\pi r^2 + 2\pi rh \)
यहाँ से \( h \) का मान निकालते हैं:
\( 2\pi rh = S - 2\pi r^2 \implies h = \frac{S - 2\pi r^2}{2\pi r} \) ...(1)
बेलन का आयतन \( V = \pi r^2 h \)
समीकरण (1) से \( h \) का मान रखने पर:
\( V = \pi r^2 \left(\frac{S - 2\pi r^2}{2\pi r}\right) = \frac{r}{2}(S - 2\pi r^2) = \frac{Sr}{2} - \pi r^3 \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर (पृष्ठीय क्षेत्रफल \( S \) को अचर मानते हुए):
\( \frac{dV}{dr} = \frac{S}{2} - 3\pi r^2 \)
महत्तम आयतन के लिए \( \frac{dV}{dr} = 0 \):
\( \frac{S}{2} - 3\pi r^2 = 0 \implies \frac{S}{2} = 3\pi r^2 \implies S = 6\pi r^2 \)
अब समीकरण (1) में \( S = 6\pi r^2 \) रखने पर:
\( h = \frac{6\pi r^2 - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{4\pi r^2}{2\pi r} = 2r \)
चूँकि \( h = 2r \) (जो कि व्यास के बराबर है) और द्वितीय अवकलज \( \frac{d^2V}{dr^2} = -6\pi r < 0 \) है, अतः आयतन महत्तम है जब ऊँचाई व्यास के बराबर हो।

मुख्य बिंदु:

• ऐसे प्रश्नों में पृष्ठीय क्षेत्रफल को अचर मानकर अवकलन किया जाता है।
• व्यास \( d = 2r \) होता है, इसलिए \( h = 2r \) सिद्ध करना आवश्यक है।
• आयतन के सूत्र में \( h \) का मान प्रतिस्थापित करके फलन को केवल त्रिज्या \( r \) का फलन बनाया जाता है.

आम गलतियाँ:

• \( S \) को चर मानकर उसका भी अवकलन कर देना, जबकि \( S \) यहाँ अचर (Constant) है।
• बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में भ्रमित होना (यहाँ कुल पृष्ठ माना गया है)।
• द्वितीय अवकलज की जाँच न करना।

Exam Tips:

a) बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र \( S = 2\pi r^2 + 2\pi rh \) याद रखें।
b) \( h \) का मान निकालकर आयतन \( V \) को केवल \( r \) के पदों में व्यक्त करें।
c) अंत में \( h = 2r \) लिखकर स्पष्ट करें कि ऊँचाई = व्यास है।

Question 21: \( 100\text{ cm}^3 \) आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार (लंब वृत्तीय) डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना बेलन की त्रिज्या \( r \) और ऊँचाई \( h \) है।
प्रश्नुसार, आयतन \( V = \pi r^2 h = 100\text{ cm}^3 \implies h = \frac{100}{\pi r^2} \) ...(1)
संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( S = 2\pi r^2 + 2\pi rh \)
समीकरण (1) से \( h \) का मान रखने पर:
\( S = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{100}{\pi r^2}\right) = 2\pi r^2 + \frac{200}{r} \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( \frac{dS}{dr} = 4\pi r - \frac{200}{r^2} \)
न्यूनतम क्षेत्रफल के लिए \( \frac{dS}{dr} = 0 \):
\( 4\pi r = \frac{200}{r^2} \implies 4\pi r^3 = 200 \implies r^3 = \frac{50}{\pi} \implies r = \left(\frac{50}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}} \)
द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर:
\( \frac{d^2S}{dr^2} = 4\pi + \frac{400}{r^3} \)
चूँकि \( r > 0 \) के लिए \( \frac{d^2S}{dr^2} > 0 \) है, अतः इस त्रिज्या पर पृष्ठ क्षेत्रफल न्यूनतम है।
अब ऊँचाई \( h \) ज्ञात करने के लिए समीकरण (1) में मान रखते हैं:
\( h = \frac{100}{\pi r^2} = \frac{100}{\pi \left(\frac{50}{\pi}\right)^{\frac{2}{3}}} = 2\left(\frac{50}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}} = 2r \)
अतः न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल के लिए विमाएँ \( r = \left(\frac{50}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}} \) और \( h = 2\left(\frac{50}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}} \) हैं।

मुख्य बिंदु:

• आयतन को अचर मानकर क्षेत्रफल को न्यूनतम करना इस प्रश्न का मुख्य उद्देश्य है।
• \( h \) का मान क्षेत्रफल के समीकरण में रखकर उसे एक चर (\( r \)) का फलन बनाया जाता है।
• न्यूनतम क्षेत्रफल के लिए \( \frac{d^2S}{dr^2} > 0 \) होना आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• क्षेत्रफल के सूत्र में वक्र पृष्ठ जोड़ना भूल जाना।
• अवकलन करते समय घातांक के नियमों में गलती करना।
• अंत में \( h = 2r \) संबंध को स्पष्ट रूप से न लिखना।

Exam Tips:

a) आयतन के दिए गए मान से \( h \) को \( r \) के पदों में व्यक्त करें।
b) क्षेत्रफल के फलन का अवकलन सावधानी से करें।
c) अंत में त्रिज्या और ऊँचाई दोनों के मान स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 22: एक \( 28\text{ cm} \) लंबे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे से वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लंबाई कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग तथा वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?

Answer:

माना वर्ग की भुजा \( x \) है तथा वृत्त की त्रिज्या \( r \) है।
तार की कुल लंबाई 28 cm है, अतः \( 4x + 2\pi r = 28 \implies 2x + \pi r = 14 \implies x = \frac{14 - \pi r}{2} \) ...(1)
सम्मिलित क्षेत्रफल \( A = \text{वर्ग का क्षेत्रफल} + \text{वृत्त का क्षेत्रफल} = x^2 + \pi r^2 \)
समीकरण (1) से \( x \) का मान रखने पर:
\( A = \left(\frac{14 - \pi r}{2}\right)^2 + \pi r^2 = \frac{(14 - \pi r)^2}{4} + \pi r^2 \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( \frac{dA}{dr} = \frac{2(14 - \pi r)(-\pi)}{4} + 2\pi r = -\frac{\pi}{2}(14 - \pi r) + 2\pi r \)
न्यूनतम क्षेत्रफल के लिए \( \frac{dA}{dr} = 0 \):
\( -\frac{14\pi}{2} + \frac{\pi^2 r}{2} + 2\pi r = 0 \implies -7\pi + r\left(\frac{\pi^2 + 4\pi}{2}\right) = 0 \implies r = \frac{14}{\pi + 4} \)
द्वितीय अवकलजी परीक्षण से \( \frac{d^2A}{dr^2} > 0 \) प्राप्त होता है, अतः क्षेत्रफल न्यूनतम है।
वर्ग की भुजा \( x = \frac{14 - \pi\left(\frac{14}{\pi + 4}\right)}{2} = \frac{14(\pi + 4) - 14\pi}{2(\pi + 4)} = \frac{56}{2(\pi + 4)} = \frac{28}{\pi + 4} \)
अतः दोनों टुकड़ों की लंबाईयाँ \( 4x = \frac{112}{\pi + 4} \) (वर्ग के लिए) और \( 2\pi r = \frac{28\pi}{\pi + 4} \) (वृत्त के लिए) होंगी।

मुख्य बिंदु:

• तार की कुल लंबाई से वर्ग के परिमाप (\( 4x \)) और वृत्त की परिधि (\( 2\pi r \)) का संबंध बनाया जाता है।
• सम्मिलित क्षेत्रफल दोनों आकृतियों के क्षेत्रफलों का योग होता है।
• न्यूनतम क्षेत्रफल के लिए द्वितीय अवकलज धनात्मक होना चाहिए।

आम गलतियाँ:

• वर्ग के परिमाप को केवल \( x \) मान लेना जबकि यह \( 4x \) होता है।
• वृत्त की परिधि को क्षेत्रफल समझ लेना।
• सरलीकरण में बीजगणितीय भूल करना।

Exam Tips:

a) चर राशियों का चयन सावधानी से करें (\( x \) वर्ग की भुजा और \( r \) वृत्त की त्रिज्या)।
b) अवकलन के बाद समीकरण को हल करते समय उभयनिष्ठ (Common) पदों का ध्यान रखें।
c) अंत में दोनों टुकड़ों की कुल लंबाईयाँ (\( 4x \) और \( 2\pi r \)) स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 23: सिद्ध कीजिए कि \( R \) त्रिज्या के गोले के अंतर्गत विशालतम शंकु का आयतन, गोले का \( \frac{8}{27} \) आयतन होता है।

Answer:

माना गोले की त्रिज्या \( R \) (अचर) है और इसके अंतर्गत बने शंकु की ऊँचाई \( h \) तथा आधार की त्रिज्या \( r \) है।
त्रिभुज OAM में, पाइथागोरस प्रमेय से: \( OA^2 = OM^2 + AM^2 \implies R^2 = (h - R)^2 + r^2 \implies r^2 = R^2 - (h - R)^2 = 2Rh - h^2 \)
शंकु का आयतन \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \)
\( r^2 \) का मान रखने पर: \( V = \frac{1}{3}\pi (2Rh - h^2)h = \frac{1}{3}\pi (2Rh^2 - h^3) \) ...(1)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( \frac{dV}{dh} = \frac{1}{3}\pi (4Rh - 3h^2) \)
महत्तम आयतन के लिए \( \frac{dV}{dh} = 0 \):
\( \frac{1}{3}\pi (4Rh - 3h^2) = 0 \implies h(4R - 3h) = 0 \implies h = \frac{4R}{3} \) (चूँकि \( h \neq 0 \))
द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर:
\( \frac{d^2V}{dh^2} = \frac{1}{3}\pi (4R - 6h) \)
जब \( h = \frac{4R}{3} \) रखा जाता है, तो \( \frac{d^2V}{dh^2} = \frac{1}{3}\pi \left(4R - 6\left(\frac{4R}{3}\right)\right) = \frac{1}{3}\pi (4R - 8R) = -\frac{4\pi R}{3} < 0 \)
अतः \( h = \frac{4R}{3} \) पर शंकु का आयतन महत्तम है।
अब समीकरण (1) में \( h = \frac{4R}{3} \) रखने पर:
\( V = \frac{1}{3}\pi \left(2R\left(\frac{4R}{3}\right)^2 - \left(\frac{4R}{3}\right)^3\right) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{32R^3}{9} - \frac{64R^3}{27}\right) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{96 - 64}{27}\right)R^3 = \frac{8}{27} \left(\frac{4}{3}\pi R^3\right) \)
चूँकि \( \frac{4}{3}\pi R^3 \) गोले का आयतन है, अतः शंकु का आयतन \( = \frac{8}{27} \times (\text{गोले का आयतन}) \) ।

मुख्य बिंदु:

• गोले के अंतर्गत शंकु के प्रश्नों में केंद्र से दूरी का संबंध बनाकर पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया जाता है।
• शंकु की ऊँचाई \( h \) और गोले की त्रिज्या \( R \) के बीच संबंध स्थापित करना मुख्य चरण है।
• अंत में सिद्ध करना होता है कि \( V_{\text{शंकु}} = \frac{8}{27} V_{\text{गोला}} \) ।

आम गलतियाँ:

• शंकु की ऊँचाई को सीधे \( R \) या \( 2R \) मान लेना।
• अवकलन करते समय बीजगणितीय गणना में भिन्न (Fractions) की गलती करना।
• गोले के आयतन के सूत्र से अंतिम निष्कर्ष न निकालना।

Exam Tips:

a) ज्यामितीय चित्र बनाकर त्रिज्या और ऊँचाई के अंतसंबंध को स्पष्ट समझें।
b) \( r^2 \) का मान सीधे आयतन के सूत्र में प्रतिस्थापित करें।
c) अंत में गोले के आयतन का पद अलग से कोष्ठक में दर्शाकर उत्तर पूर्ण करें।

Question 24: सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ का दिए आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, आधार की त्रिज्या की \( \sqrt{2} \) गुनी होती है।

Answer:

माना शंकु की ऊँचाई \( h \), त्रिज्या \( r \) तथा आयतन \( V \) (अचर) है।
शंकु का आयतन \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \implies h = \frac{3V}{\pi r^2} \) ...(1)
शंकु की तिर्यक ऊँचाई \( l = \sqrt{r^2 + h^2} \)
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( S = \pi r l = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} \)
गणना को सरल करने के लिए \( S^2 = \pi^2 r^2 (r^2 + h^2) = \pi^2 r^4 + \pi^2 r^2 h^2 \) मान लेते हैं।
समीकरण (1) से \( h^2 \) का मान रखने पर:
\( S^2 = \pi^2 r^4 + \pi^2 r^2 \left(\frac{9V^2}{\pi^2 r^4}\right) = \pi^2 r^4 + \frac{9V^2}{r^2} \) (मान लीजिए यह \( Z \) है)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( \frac{dZ}{dr} = 4\pi^2 r^3 - \frac{18V^2}{r^3} \)
न्यूनतम क्षेत्रफल के लिए \( \frac{dZ}{dr} = 0 \):
\( 4\pi^2 r^3 = \frac{18V^2}{r^3} \implies r^6 = \frac{18V^2}{4\pi^2} = \frac{9V^2}{2\pi^2} \)
यहाँ से \( V^2 = \frac{2\pi^2 r^6}{9} \)
अब इस \( V^2 \) के मान को \( h \) के सूत्र में रखने पर:
\( h^2 = \frac{9V^2}{\pi^2 r^4} = \frac{9}{\pi^2 r^4} \left(\frac{2\pi^2 r^6}{9}\right) = 2r^2 \implies h = \sqrt{2}r \)
द्वितीय अवकलजी परीक्षण से यह सिद्ध होता है कि इस स्थिति में पृष्ठ क्षेत्रफल न्यूनतम है। अतः \( h = \sqrt{2}r \) ।

मुख्य बिंदु:

• क्षेत्रफल के वर्ग \( S^2 \) का उपयोग करने से वर्गमूल के कठिन अवकलन से बचा जा सकता है।
• आयतन \( V \) को अचर मानकर क्षेत्रफल को न्यूनतम करना है।
• अंत में \( h = \sqrt{2}r \) संबंध स्थापित करना है।

आम गलतियाँ:

• शंकु के संपूर्ण पृष्ठ और वक्र पृष्ठ में भ्रमित होना (यहाँ वक्र पृष्ठ या संपूर्ण पृष्ठ दोनों से सिद्ध किया जा सकता है, सामान्यतः वक्र पृष्ठ लिया जाता है)।
• बीजगणितीय प्रतिस्थापन में घातों की गलती करना।
• द्वितीय अवकलज की जाँच छोड़ देना।

Exam Tips:

a) \( S^2 \) को फलन मानकर गणना करना सबसे आसान तरीका है।
b) \( V \) के पदों को प्रतिस्थापित करते समय कोष्ठक और घातों का ध्यान रखें।
c) अंतिम चरण में \( h^2 = 2r^2 \implies h = \sqrt{2}r \) स्पष्ट रूप से दिखाएं।

Question 25: सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्द्ध शीर्ष कोण \( \tan^{-1}\sqrt{2} \) होता है।

Answer:

माना दिए गए शंकु की तिर्यक ऊँचाई \( l \) (अचर), ऊँचाई \( h \), त्रिज्या \( r \) तथा अर्द्ध शीर्ष कोण \( \alpha \) है।
पाइथागोरस प्रमेय से: \( r^2 + h^2 = l^2 \implies r^2 = l^2 - h^2 \) ...(1)
शंकु का आयतन \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \)
समीकरण (1) से \( r^2 \) का मान रखने पर:
\( V = \frac{1}{3}\pi (l^2 - h^2)h = \frac{1}{3}\pi (l^2h - h^3) \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर (\( l \) को अचर मानते हुए):
\( \frac{dV}{dh} = \frac{1}{3}\pi (l^2 - 3h^2) \)
महत्तम आयतन के लिए \( \frac{dV}{dh} = 0 \):
\( l^2 - 3h^2 = 0 \implies 3h^2 = l^2 \implies h^2 = \frac{l^2}{3} \implies h = \frac{l}{\sqrt{3}} \)
द्वितीय अवकलज \( \frac{d^2V}{dh^2} = \frac{1}{3}\pi (-6h) < 0 \) है, अतः आयतन महत्तम है।
अब समीकरण (1) से \( r^2 \) का मान ज्ञात करते हैं:
\( r^2 = l^2 - \left(\frac{l}{\sqrt{3}}\right)^2 = l^2 - \frac{l^2}{3} = \frac{2l^2}{3} \implies r = \sqrt{\frac{2}{3}}l \)
त्रिभुज से अर्द्ध शीर्ष कोण \( \alpha \) के लिए:
\( \tan \alpha = \frac{r}{h} = \frac{\sqrt{\frac{2}{3}}l}{\frac{l}{\sqrt{3}}} = \sqrt{2} \)
अतः \( \alpha = \tan^{-1}\sqrt{2} \) ।

मुख्य बिंदु:

• तिर्यक ऊँचाई \( l \) को अचर मानकर फलन को ऊँचाई \( h \) के पदों में व्यक्त किया जाता है।
• \( \tan \alpha = \frac{r}{h} \) त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करके कोण निकाला जाता है।
• महत्तम आयतन के लिए \( \frac{d^2V}{dh^2} < 0 \) होना आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• \( l \) को चर मानकर उसका अवकलन कर देना, जबकि \( l \) अचर (Constant) है।
• \( \tan \alpha \) के सूत्र में \( r \) और \( h \) का अनुपात उल्टा लिख देना।
• वर्गमूल निकालते समय चिन्ह की त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) शंकु की ज्यामिति से \( r^2 = l^2 - h^2 \) का संबंध तुरंत स्थापित करें।
b) \( h \) का मान निकालने के बाद \( r \) का मान भी उसी रूप में ज्ञात करें।
c) अंत में \( \tan \alpha = \sqrt{2} \implies \alpha = \tan^{-1}\sqrt{2} \) स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 26: सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ और महत्तम आयतन वाले लंब वृत्तीय शंकु का अर्द्ध शीर्ष कोण \( \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \) होता है।

Answer:

माना शंकु की ऊँचाई \( h \), त्रिज्या \( r \), तिर्यक ऊँचाई \( l \), कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \( S \) (अचर) तथा अर्द्ध शीर्ष कोण \( \alpha \) है।
शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \( S = \pi r l + \pi r^2 \implies \pi r l = S - \pi r^2 \implies l = \frac{S - \pi r^2}{\pi r} \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: \( l^2 = \frac{(S - \pi r^2)^2}{\pi^2 r^2} \)
हम जानते हैं कि \( l^2 = r^2 + h^2 \), अतः:
\( r^2 + h^2 = \frac{(S - \pi r^2)^2}{\pi^2 r^2} \implies h^2 = \frac{(S - \pi r^2)^2 - \pi^2 r^4}{\pi^2 r^2} = \frac{S^2 - 2S\pi r^2}{\pi^2 r^2} = \frac{S^2 - 2\pi S r^2}{\pi^2 r^2} \) (संक्षिप्त रूप में \( h^2 = \frac{S^2 - 2\pi S r^2}{\pi^2 r^2} \))
आयतन के वर्ग \( V^2 = \frac{1}{9}\pi^2 r^4 h^2 \) को महत्तम करना है।
\( V^2 = \frac{1}{9}\pi^2 r^4 \left(\frac{S^2 - 2\pi S r^2}{\pi^2 r^2}\right) = \frac{1}{9} r^2 (S^2 - 2\pi S r^2) = \frac{1}{9} (S^2 r^2 - 2\pi S r^4) \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( \frac{d(V^2)}{dr} = \frac{1}{9} (2S^2 r - 8\pi S r^3) \)
महत्तम आयतन के लिए अवकलज को शून्य रखने पर:
\( 2S^2 r - 8\pi S r^3 = 0 \implies 2S^2 = 8\pi S r^2 \implies S = 4\pi r^2 \)
इस मान को कुल पृष्ठ के समीकरण में रखने पर: \( S = \pi r l + \pi r^2 \implies 4\pi r^2 = \pi r l + \pi r^2 \implies 3\pi r^2 = \pi r l \implies 3r = l \)
शंकु में \( \sin \alpha = \frac{r}{l} \), अतः \( \sin \alpha = \frac{r}{3r} = \frac{1}{3} \implies \alpha = \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \) ।

मुख्य बिंदु:

• इस प्रश्न में आयतन के वर्ग \( V^2 \) और पृष्ठीय क्षेत्रफल \( S \) के संबंध का उपयोग किया जाता है।
• \( S = 4\pi r^2 \) संबंध आने पर उसे कुल पृष्ठ के सूत्र में रखकर \( l = 3r \) प्राप्त किया जाता है।
• अर्द्ध शीर्ष कोण के लिए \( \sin \alpha = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \frac{r}{l} \) का प्रयोग होता है।

आम गलतियाँ:

• कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में वक्र पृष्ठ और आधार का क्षेत्रफल दोनों न जोड़ना।
• बीजगणितीय प्रतिस्थापन में गणना की लंबी प्रक्रिया में गलती करना।
• \( \sin \alpha \) और \( \tan \alpha \) के अनुपातों में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) \( V^2 \) को अधिकतम करने की विधि का प्रयोग करें क्योंकि इससे वर्गमूल हट जाता है।
b) \( S = 4\pi r^2 \) का परिणाम याद रखना परीक्षा में जाँच के लिए उपयोगी है।
c) अंत में \( \sin \alpha = \frac{1}{3} \) दर्शाकर कोण को प्रतिलोम त्रिकोणमितीय रूप में लिखें।

Question 27: वक्र \( x^2 = 2y \) पर \((0, 5)\) से न्यूनतम दूरी पर स्थित बिंदु है:
(A) \( (2\sqrt{2}, 4) \)
(B) \( (2\sqrt{2}, 0) \)
(C) \( (0, 0) \)
(D) \( (2, 2) \)

Answer:

दिया गया वक्र है: \( x^2 = 2y \implies y = \frac{x^2}{2} \)
माना वक्र पर कोई बिंदु \( \left(x, \frac{x^2}{2}\right) \) है।
बिंदु \( (0, 5) \) से इस बिंदु की दूरी \( D \) का वर्ग लेते हैं ताकि गणना सरल हो:
\( D^2 = (x - 0)^2 + \left(\frac{x^2}{2} - 5\right)^2 = x^2 + \frac{x^4}{4} - 5x^2 + 25 = \frac{x^4}{4} - 4x^2 + 25 \)
माना \( Z = D^2 \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( \frac{dZ}{dx} = \frac{4x^3}{4} - 8x = x^3 - 8x = x(x^2 - 8) \)
न्यूनतम दूरी के लिए \( \frac{dZ}{dx} = 0 \):
\( x(x^2 - 8) = 0 \implies x = 0 \text{ या } x^2 = 8 \implies x = 0, \pm 2\sqrt{2} \)
द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर:
\( \frac{d^2Z}{dx^2} = 3x^2 - 8 \)
- \( x = 0 \) पर \( \frac{d^2Z}{dx^2} = -8 < 0 \) (उच्चतम)
- \( x = \pm 2\sqrt{2} \) पर \( \frac{d^2Z}{dx^2} = 3(8) - 8 = 16 > 0 \) (न्यूनतम)
अतः \( x = \pm 2\sqrt{2} \) पर दूरी न्यूनतम है।
जब \( x = \pm 2\sqrt{2} \), तब \( y = \frac{(\pm 2\sqrt{2})^2}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
अतः न्यूनतम दूरी पर स्थित बिंदु \( (2\sqrt{2}, 4) \) और \( (-2\sqrt{2}, 4) \) हैं। विकल्पों के अनुसार विकल्प (A) सही है।

मुख्य बिंदु:

• दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र में वर्ग \( (D^2) \) का उपयोग करने से वर्गमूल की कठिनाਾਈ समाप्त हो जाती है।
• \( \frac{dZ}{dx} = 0 \) से क्रांतिक बिंदु निकाले जाते हैं।
• द्वितीय अवकलज के धनात्मक आने पर दूरी न्यूनतम होती है।

आम गलतियाँ:

• \( x^2 = 2y \) से \( y \) का मान दूरी के सूत्र में गलत प्रतिस्थापित करना।
• केवल एक ही क्रांतिक बिंदु (\( x = 0 \)) निकालकर छोड़ देना।
• \( y \) के संगत मान की गणना में भूल करना।

Exam Tips:

a) दूरी के सूत्र में \( D^2 \) को फलन मानकर हल करना सबसे तेज़ तरीका है।
b) सभी क्रांतिक बिंदुओं पर द्वितीय अवकलज की जाँच करें।
c) सही विकल्प (A) का चयन करें।

Question 28: \( x \) के सभी वास्तविक मानों के लिए \( \frac{1 - x + x^2}{1 + x + x^2} \) का न्यूनतम मान है:
(A) 0
(B) 1
(C) 3
(D) \( \frac{1}{3} \)

Answer:

माना फलन है: \( A = \frac{1 - x + x^2}{1 + x + x^2} \)
भागफल नियम (Quotient Rule) द्वारा प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर:
\( A' = \frac{(1 + x + x^2)(-1 + 2x) - (1 - x + x^2)(1 + 2x)}{(1 + x + x^2)^2} \)
इसे हल करने पर अंश में प्राप्त होता है:
\( A' = \frac{2x^2 - 2}{(1 + x + x^2)^2} \)
न्यूनतम या उच्चतम मान के लिए \( A' = 0 \):
\( \frac{2x^2 - 2}{(1 + x + x^2)^2} = 0 \implies 2x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \)
- \( x = -1 \) पर, द्वितीय अवकलज परीक्षण द्वारा \( A''(-1) < 0 \) (उच्चतम)
- \( x = 1 \) पर, द्वितीय अवकलज परीक्षण द्वारा \( A''(1) > 0 \) (न्यूनतम)
अतः \( x = 1 \) पर फलन का न्यूनतम मान प्राप्त होगा।
\( A(1) = \frac{1 - 1 + 1^2}{1 + 1 + 1^2} = \frac{1}{3} \)
अतः सही विकल्प (D) है।

मुख्य बिंदु:

• परिमेय फलनों के उच्चतम या न्यूनतम मान के लिए भागफल नियम (Quotient Rule) का प्रयोग किया जाता है।
• अवकलज को शून्य के बराबर रखकर क्रांतिक बिंदु निकाले जाते हैं।
• न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए क्रांतिक बिंदु को मूल फलन में रखा जाता है।

आम गलतियाँ:

• भागफल नियम का विस्तार करते समय चिन्हों की गलती करना।
• \( x = \pm 1 \) दोनों पर न्यूनतम मान मान लेना।
• हर (Denominator) के पद को शून्य के बराबर रख देना।

Exam Tips:

a) भागफल नियम लगाते समय अंश और हर का सावधानीपूर्वक अवकलन करें।
b) \( x = 1 \) और \( x = -1 \) दोनों की प्रकृति की जाँच द्वितीय अवकलज से करें।
c) सही विकल्प (D) \( \frac{1}{3} \) चिह्नित करें।

Question 29: \( [x(x - 1) + 1]^{\frac{1}{3}}, 0 \leq x \leq 1 \) उच्चतम मान है:
(A) \( \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}} \)
(B) \( \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \)
(C) 1
(D) 0

Answer:

माना फलन है: \( A(x) = [x(x - 1) + 1]^{\frac{1}{3}} = [x^2 - x + 1]^{\frac{1}{3}}, x \in [0, 1] \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर (शृंखला नियम द्वारा):
\( A'(x) = \frac{1}{3}(x^2 - x + 1)^{-\frac{2}{3}} \cdot (2x - 1) = \frac{2x - 1}{3(x^2 - x + 1)^{\frac{2}{3}}} \)
क्रांतिक बिंदुओं के लिए \( A'(x) = 0 \):
\( \frac{2x - 1}{3(x^2 - x + 1)^{\frac{2}{3}}} = 0 \implies 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \)
अब अंतराल के अंतः बिंदुओं (\( x = 0, x = 1 \)) तथा क्रांतिक बिंदु (\( x = \frac{1}{2} \)) पर फलन के मान ज्ञात करते हैं:
\( A(0) = [(0)(0 - 1) + 1]^{\frac{1}{3}} = (1)^{\frac{1}{3}} = 1 \)
\( A\left(\frac{1}{2}\right) = \left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - 1\right) + 1\right]^{\frac{1}{3}} = \left[-\frac{1}{4} + 1\right]^{\frac{1}{3}} = \left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{1}{3}} \)
\( A(1) = [(1)(1 - 1) + 1]^{\frac{1}{3}} = (1)^{\frac{1}{3}} = 1 \)
इन सभी मानों (1, \( (\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}} \), 1) में से सबसे बड़ा मान 1 है।
अतः फलन का उच्चतम मान 1 है। सही विकल्प (C) है।

मुख्य बिंदु:

• संवृत्त अंतराल में फलन के उच्चतम मान के लिए क्रांतिक बिंदु और अंतः बिंदु दोनों पर मान निकाले जाते हैं।
• शृंखला नियम (Chain Rule) का प्रयोग करके घात वाले फलनों का अवकलन किया जाता है।
• सभी प्राप्त मानों में से अधिकतम मान ही निरपेक्ष उच्चतम मान होता है।

आम गलतियाँ:

• केवल क्रांतिक बिंदु पर मान निकालकर अंतः बिंदुओं (\( x = 0, 1 \)) की उपेक्षा करना।
• शृंखला नियम लगाते समय अंदर के पद के अवकलज को छोड़ देना।
• भिन्नों की घातों की तुलना करने में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) संवृत्त अंतराल के प्रश्नों में हमेशा अंतः बिंदुओं (\( x = a, b \)) और क्रांतिक बिंदुओं दोनों पर मान निकालें।
b) तुलना करके सबसे बड़े मान को उच्चतम मान घोषित करें।
c) सही विकल्प (C) चुनें।