NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 06 Application of Derivatives (अवकलज के अनुप्रयोग) Exercise 6.2 in Hindi

Question 1: सिद्ध कीजिए कि \( R \) पर \( f(x) = 3x + 17 \) से प्रदत्त फलन निरंतर वर्धमान है।

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = 3x + 17 \)
फलन का अवकलन करने पर:
\( f'(x) = 3 \)
चूँकि सभी \( x \in R \) के लिए \( f'(x) > 0 \) है,
इसलिए फलन \( R \) पर निरंतर वर्धमान है।

मुख्य बिंदु:

• फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए \( f'(x) > 0 \) होना आवश्यक है।
• यहाँ अवकलन \( 3 \) है जो कि एक धनात्मक अचर है।
• यह सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सत्य है।

आम गलतियाँ:

• फलन का अवकलन करते समय अचर पद \( 17 \) का गलत अवकलन करना।
• \( f'(x) \) का मान शून्य या ऋणात्मक मान लेना।
• अंतराल \( R \) की परिभाषा को न समझना।

Exam Tips:

a) हमेशा पहले फलन का प्रथम अवकलज \( f'(x) \) निकालें।
b) स्पष्ट रूप से लिखें कि \( f'(x) \) किस अंतराल में धनात्मक है।
c) अंत में निष्कर्ष अवश्य लिखें कि फलन निरंतर वर्धमान है।

Question 2: सिद्ध कीजिए कि \( R \) पर \( f(x) = e^{2x} \) से प्रदत्त फलन निरंतर वर्धमान है।

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = e^{2x} \)
फलन का अवकलन करने पर:
\( f'(x) = 2e^{2x} \)
चूँकि सभी \( x \in R \) के लिए \( e^{2x} > 0 \) होता है, इसलिए:
\( f'(x) = 2e^{2x} > 0 \) सभी \( x \in R \) के लिए
अतः फलन \( R \) पर निरंतर वर्धमान है।

मुख्य बिंदु:

• चरघातांकी फलन (Exponential function) का अवकलन \( e^{ax} \) का \( ae^{ax} \) होता है।
• \( e^{2x} \) का मान हमेशा धनात्मक होता है।
• यह वास्तविक संख्या रेखा के प्रत्येक बिंदु पर लागू होता है।

आम गलतियाँ:

• अवकलन में \( 2 \) से गुणा करना भूल जाना।
• चरघातांकी फलन को ऋणात्मक मान लेना।
• शर्तो को ठीक से न लिखना।

Exam Tips:

a) चरघातांकी फलनों के अवकलन का सूत्र ठीक से याद रखें।
b) यह दर्शाएं कि \( f'(x) \) कभी भी शून्य नहीं हो सकता।
c) पूर्ण वाक्य में निष्कर्ष लिखें।

Question 3: सिद्ध कीजिए कि \( f(x) = \sin x \) से प्रदत्त फलन:
(a) \( \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \) में निरंतर वर्धमान है।
(b) \( \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \) में निरंतर ह्रासमान है।
(c) \( (0, \pi) \) में न तो वर्धमान और न ही ह्रासमान है।

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = \sin x \)
फलन का अवकलन करने पर:
\( f'(x) = \cos x \)
(a) अंतराल \( \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \) के लिए:
\( f'(x) = \cos x > 0 \)
अतः फलन इस अंतराल में निरंतर वर्धमान है।
(b) अंतराल \( \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \) के लिए:
\( f'(x) = \cos x < 0 \)
अतः फलन इस अंतराल में निरंतर ह्रासमान है।
(c) अंतराल \( (0, \pi) \) के लिए:
चूँकि \( x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \) में \( f'(x) > 0 \) तथा \( x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \) में \( f'(x) < 0 \) है,
अतः फलन \( (0, \pi) \) में न तो वर्धमान और न ही ह्रासमान है।

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय फलनों के चिन्ह विभिन्न चतुर्थांशों (quadrants) में भिन्न होते हैं।
• प्रथम चतुर्थांश में कोसाइन धनात्मक होता है।
• द्वितीय चतुर्थांश में कोसाइन ऋणात्मक होता है।

आम गलतियाँ:

• त्रिकोणमितीय सारणी के चिन्हों में भ्रमित होना।
• संयुक्त अंतराल \( (0, \pi) \) के लिए गलत निष्कर्ष निकालना।
• अवकलन गलत करना (\( \sin x \) का अवकलन \( -\cos x \) लिख देना)।

Exam Tips:

a) चतुर्थांश के अनुसार त्रिकोणमितीय अनुपातों के चिन्हों का ध्यान रखें।
b) प्रत्येक भाग (a, b, c) को अलग-अलग हल करें।
c) संयुक्त अंतराल के लिए दोनों भागों के निष्कर्षों को संयोजित करें।

Question 4: अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें \( f(x) = 2x^2 - 3x \) से प्रदत्त फलन:
(a) निरंतर वर्धमान है
(b) निरंतर ह्रासमान है

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = 2x^2 - 3x \)
फलन का अवकलन करने पर:
\( f'(x) = 4x - 3 \)
अंतराल ज्ञात करने के लिए, \( f'(x) = 0 \) रखिए:
\( 4x - 3 = 0 \)
\( \Rightarrow x = \frac{3}{4} \)
बिंदु \( x = \frac{3}{4} \) वास्तविक संख्या रेखा को दो अंतरालों \( \left(-\infty, \frac{3}{4}\right) \) और \( \left(\frac{3}{4}, \infty\right) \) में विभक्त करता है।
(a) निरंतर वर्धमान के लिए, \( f'(x) > 0 \):
\( 4x - 3 > 0 \)
\( \Rightarrow x \in \left(\frac{3}{4}, \infty\right) \)
अतः फलन अंतराल \( \left(\frac{3}{4}, \infty\right) \) में निरंतर वर्धमान है।
(b) निरंतर ह्रासमान के लिए, \( f'(x) < 0 \):
\( 4x - 3 < 0 \)
\( \Rightarrow x \in \left(-\infty, \frac{3}{4}\right) \)
अतः फलन अंतराल \( \left(-\infty, \frac{3}{4}\right) \) में निरंतर ह्रासमान है।

मुख्य बिंदु:

• критиकल पॉइंट (Critical point) निकालने के लिए \( f'(x) = 0 \) करना पड़ता है।
• क्रांतिक बिंदु संख्या रेखा को अंतरालों में विभाजित करता है।
• असामान्यता (inequality) को हल करके अंतराल प्राप्त किए जाते हैं।

आम गलतियाँ:

• \( f'(x) = 0 \) को हल करने में गलती करना।
• अंतरालों के खुले और बंद ब्रैकेट (brackets) का गलत प्रयोग करना।
• वर्धमान और ह्रासमान के अंतरालों को आपस में बदल देना।

Exam Tips:

a) संख्या रेखा बनाकर अंतरालों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
b) असमिकाओं (inequalities) को सावधानी से हल करें।
c) उत्तर को अंतराल के रूप में ही लिखें।

Question 5: अंतराल ज्ञात कीजिए जिसमें \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 7 \) से प्रदत्त फलन:
(a) निरंतर वर्धमान है
(b) निरंतर ह्रासमान है

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 7 \)
फलन का अवकलन करने पर:
\( f'(x) = 6x^2 - 6x - 36 \)
\( f'(x) = 6(x^2 - x - 6) \)
गुणनखंड करने पर:
\( f'(x) = 6(x - 3)(x + 2) \)
क्रिटिकल पॉइंट के लिए \( f'(x) = 0 \):
\( 6(x - 3)(x + 2) = 0 \)
\( \Rightarrow x = -2, 3 \)
बिंदु \( x = -2 \) और \( x = 3 \) वास्तविक संख्या रेखा को तीन अंतरालों \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 3) \) और \( (3, \infty) \) में विभक्त करते हैं।
अब विभिन्न अंतरालों में \( f'(x) \) का चिन्ह:
- अंतराल \( (-\infty, -2) \) में: \( f'(x) = 6(-)(-v) > 0 \) (निरंतर वर्धमान)
- अंतराल \( (-2, 3) \) में: \( f'(x) = 6(+)(-v) < 0 \) (निरंतर ह्रासमान)
- अंतराल \( (3, \infty) \) में: \( f'(x) = 6(+)(+) > 0 \) (निरंतर वर्धमान)
अतः:
(a) निरंतर वर्धमान अंतराल: \( (-\infty, -2) \cup (3, \infty) \)
(b) निरंतर ह्रासमान अंतराल: \( (-2, 3) \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिघात फलन के अवकलन से द्विघात समीकरण प्राप्त होती है।
• द्विघात समीकरण के गुणनखंड करके दो क्रांतिक बिंदु मिलते हैं।
• तीन अंतरालों में फलन के चिन्ह की जाँच की जाती है।

आम गलतियाँ:

• गुणनखंड करते समय चिन्ह की गलती करना।
• संख्या रेखा पर बिंदुओं का क्रम गलत लिखना।
• अंतरालों का मिलन (union) सही से न दर्शाना।

Exam Tips:

a) सारणी बनाकर विभिन्न अंतरालों में चिन्हों की जांच करें।
b) गुणनखंड विधि का सावधानी से प्रयोग करें।
c) अंतिम उत्तर को स्पष्ट अंतरालों के रूप में लिखें।

Question 6: अंतराल ज्ञात कीजिए जिसमें निम्नलिखित फलन निरंतर वर्धमान या ह्रासमान हैं:
(a) \( x^2 + 2x + 5 \)
(b) \( 10 - 6x - 2x^2 \)
(c) \( -2x^3 - 9x^2 - 12x + 1 \)
(d) \( 6 - 9x - x^2 \)
(e) \( (x + 1)^3 (x - 3)^3 \)

Answer:

(a) दिया है: \( f(x) = x^2 + 2x + 5 \)
\( f'(x) = 2x + 2 = 2(x + 1) \)
\( f'(x) = 0 \implies 2(x + 1) = 0 \implies x = -1 \)
अंतराल \( (-\infty, -1) \) में \( f'(x) < 0 \) (निरंतर ह्रासमान)
अंतराल \( (-1, \infty) \) में \( f'(x) > 0 \) (निरंतर वर्धमान)

(b) दिया है: \( f(x) = 10 - 6x - 2x^2 \)
\( f'(x) = -6 - 4x = -2(2x + 3) \)
\( f'(x) = 0 \implies x = -\frac{3}{2} \)
अंतराल \( \left(-\infty, -\frac{3}{2}\right) \) में \( f'(x) > 0 \) (निरंतर वर्धमान)
अंतराल \( \left(-\frac{3}{2}, \infty\right) \) में \( f'(x) < 0 \) (निरंतर ह्रासमान)

(c) दिया है: \( f(x) = -2x^3 - 9x^2 - 12x + 1 \)
\( f'(x) = -6x^2 - 18x - 12 = -6(x^2 + 3x + 2) = -6(x + 2)(x + 1) \)
\( f'(x) = 0 \implies x = -2, -1 \)
अंतराल \( (-\infty, -2) \) और \( (-1, \infty) \) में \( f'(x) < 0 \) (निरंतर ह्रासमान)
अंतराल \( (-2, -1) \) में \( f'(x) > 0 \) (निरंतर वर्धमान)

(d) दिया है: \( f(x) = 6 - 9x - x^2 \)
\( f'(x) = -9 - 2x = -(9 + 2x) \)
\( f'(x) = 0 \implies x = -\frac{9}{2} \)
अंतराल \( \left(-\infty, -\frac{9}{2}\right) \) में \( f'(x) > 0 \) (निरंतर वर्धमान)
अंतराल \( \left(-\frac{9}{2}, \infty\right) \) में \( f'(x) < 0 \) (निरंतर ह्रासमान)

(e) दिया है: \( f(x) = (x + 1)^3 (x - 3)^3 \)
\( f'(x) = 3(x + 1)^2 (x - 3)^3 + (x + 1)^3 \cdot 3(x - 3)^2 \)
\( f'(x) = 3(x + 1)^2 (x - 3)^2 [(x - 3) + (x + 1)] \)
\( f'(x) = 3(x + 1)^2 (x - 3)^2 (2x - 2) = 6(x + 1)^2 (x - 3)^2 (x - 1) \)
\( f'(x) = 0 \implies x = -1, 1, 3 \)
अंतराल \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 1) \) में \( f'(x) < 0 \) (निरंतर ह्रासमान)
अंतराल \( (1, 3) \), \( (3, \infty) \) में \( f'(x) > 0 \) (निरंतर वर्धमान)

मुख्य बिंदु:

• विभिन्न प्रकार के फलनों (द्विघात, त्रिघात, गुणनफल) के अवकलन के नियम।
• गुणनफल नियम (Product rule) का उपयोग करके जटिल फलनों का अवकलन।
• प्रत्येक भाग के लिए क्रांतिक बिंदुओं की गणना।

आम गलतियाँ:

• भाग (e) में गुणनफल नियम लगाते समय घातों की गणना में भूल करना।
• ऋणात्मक चिन्हों के साथ असमिका हल करते समय चिन्ह न बदलना।
• अंतरालों का सही विभाजन न करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक प्रश्न को चरणबद्ध तरीके से हल करें।
b) उभयनिष्ठ (common) गुणनखंड लेकर सरल बनाएं।
c) परीक्षा में सभी भागों को साफ़-सुथरा हल करें।

Question 7: सिद्ध कीजिए कि \( y = \log(1 + x) - \frac{2x}{2 + x}, x > -1 \), अपने संपूर्ण प्रांत में एक वर्धमान फलन है।

Answer:

दिया गया फलन है: \( y = \log(1 + x) - \frac{2x}{2 + x} \), जहाँ \( x > -1 \)
फलन का अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x} - \frac{(2 + x)(2) - 2x(1)}{(2 + x)^2} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x} - \frac{4 + 2x - 2x}{(2 + x)^2} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x} - \frac{4}{(2 + x)^2} \)
लघुत्तम लेने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{(2 + x)^2 - 4(1 + x)}{(1 + x)(2 + x)^2} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4 + 4x + x^2 - 4 - 4x}{(1 + x)(2 + x)^2} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{(1 + x)(2 + x)^2} \)
चूँकि \( x > -1 \) के लिए \( x^2 > 0 \), \((2 + x)^2 > 0\) और \(1 + x > 0\) हैं,
अतः \( \frac{dy}{dx} > 0 \) (संपूर्ण प्रांत में)
इसलिए फलन अपने संपूर्ण प्रांत में वर्धमान है।

मुख्य बिंदु:

• लघुगणकीय और परिमेय फलनों के अवकलन का संयोजन।
• भागफल नियम (Quotient rule) का प्रयोग करना।
• प्रांत की शर्त \( x > -1 \) का उपयोग करके यह सिद्ध करना कि हर और अंश दोनों धनात्मक हैं।

आम गलतियाँ:

• भागफल नियम में ऋणात्मक चिन्ह की गलती करना।
• अंश को सरल बनाते समय पदों को न काटना।
• प्रांत की शर्त को नजर انداز करना।

Exam Tips:

a) भिन्नों को जोड़ते समय लघुत्तम (LCM) सावधानी से लें।
b) बीजगणितीय सरलतीकरण (simplification) सही से करें।
c) अंत में स्पष्ट करें कि सभी पद धनात्मक क्यों हैं।

Question 8: \( x \) के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए \( y = [x(x - 2)]^2 \) एक वर्धमान फलन है।

Answer:

दिया गया फलन है: \( y = [x(x - 2)]^2 = (x^2 - 2x)^2 \)
फलन का अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = 2(x^2 - 2x) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 2x) \)
\( \frac{dy}{dx} = 2(x^2 - 2x)(2x - 2) \)
\( \frac{dy}{dx} = 4x(x - 2)(x - 1) \)
फलन के वर्धमान होने के लिए, \( \frac{dy}{dx} > 0 \):
\( 4x(x - 1)(x - 2) > 0 \)
क्रिटिकल पॉइंट: \( x = 0, 1, 2 \)
ये बिंदु संख्या रेखा को अंतरालों \( (-\infty, 0), (0, 1), (1, 2), (2, \infty) \) में विभाजित करते हैं।
विभिन्न अंतरालों में चिन्हों की जाँच करने पर:
- अंतराल \( (0, 1) \) में \( \frac{dy}{dx} > 0 \)
- अंतराल \( (2, \infty) \) में \( \frac{dy}{dx} > 0 \)
अतः फलन अंतराल \( (0, 1) \) तथा \( (2, \infty) \) में वर्धमान है।

मुख्य बिंदु:

• श्रृंखला नियम (Chain rule) का उपयोग करके घात वाले फलन का अवकलन।
• तीन गुणनखंडों वाली असमिका को हल करना।
• संख्या रेखा विधि (Wavy curve method) का उपयोग करना।

आम गलतियाँ:

• आंतरिक फलन का अवकलन करना भूल जाना।
• क्रांतिक बिंदुओं को गलत निकालना।
• वर्धमान और ह्रासमान के अंतरालों में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) फलन को विस्तार करके या सीधे श्रृंखला नियम से हल करें।
b) संख्या रेखा पर चिन्ह परीक्षण सावधानी से करें।
c) उत्तर को संयुक्त अंतरालों के रूप में लिखें।

Question 9: सिद्ध कीजिए कि \( \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \) में \( y = \frac{4\sin \theta}{2 + \cos \theta} - \theta \), \( \theta \) का एक वर्धमान फलन है।

Answer:

दिया गया फलन है: \( y = \frac{4\sin \theta}{2 + \cos \theta} - \theta \)
\( \theta \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{d\theta} = \frac{(2 + \cos \theta)(4\cos \theta) - 4\sin \theta(-\sin \theta)}{(2 + \cos \theta)^2} - 1 \)
\( \frac{dy}{d\theta} = \frac{8\cos \theta + 4\cos^2 \theta + 4\sin^2 \theta}{(2 + \cos \theta)^2} - 1 \)
\( \frac{dy}{d\theta} = \frac{8\cos \theta + 4(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}{(2 + \cos \theta)^2} - 1 \)
\( \frac{dy}{d\theta} = \frac{8\cos \theta + 4}{(2 + \cos \theta)^2} - 1 \)
लघुत्तम लेने पर:
\( \frac{dy}{d\theta} = \frac{8\cos \theta + 4 - (2 + \cos \theta)^2}{(2 + \cos \theta)^2} \)
\( \frac{dy}{d\theta} = \frac{8\cos \theta + 4 - (4 + 4\cos \theta + \cos^2 \theta)}{(2 + \cos \theta)^2} \)
\( \frac{dy}{d\theta} = \frac{4\cos \theta - \cos^2 \theta}{(2 + \cos \theta)^2} = \frac{\cos \theta(4 - \cos \theta)}{(2 + \cos \theta)^2} \)
चूँकि \( \theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \) के लिए \( \cos \theta > 0 \), \( 4 - \cos \theta > 0 \) तथा हर हमेशा धनात्मक है,
अतः \( \frac{dy}{d\theta} > 0 \)
अतः यह एक वर्धमान फलन है।

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का प्रयोग।
• भागफल नियम का सही अनुप्रयोग।
• दिए गए अंतराल \( \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \) में पदों के चिन्हों का विश्लेषण।

आम गलतियाँ:

• अंश को सरल बनाते समय बीजगणितीय विस्तार में गलती करना।
• \( \theta \) के अवकलन \( 1 \) को छोड़ देना।
• अंतराल के अंत बिंदुओं पर चिन्ह की गलत व्याख्या करना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय पदों को सरल बनाते समय सर्वसमिकाओं का ध्यान रखें।
b) हर के पूर्ण वर्ग होने का लाभ उठाएं।
c) प्रत्येक चरण को साफ-सुथरा लिखें।

Question 10: सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन \( (0, \infty) \) में निरंतर वर्धमान फलन है।

Answer:

माना फलन है: \( f(x) = \log x \)
फलन का अवकलन करने पर:
\( f'(x) = \frac{1}{x} \)
चूँकि अंतराल \( (0, \infty) \) में सभी \( x > 0 \) के लिए:
\( f'(x) = \frac{1}{x} > 0 \)
अतः दिया गया लघुगणकीय फलन \( (0, \infty) \) में निरंतर वर्धमान है।

मुख्य बिंदु:

• लघुगणकीय फलन \( \log x \) का प्रांत \( (0, \infty) \) होता है।
• इसका अवकलन \( \frac{1}{x} \) होता है।
• धनात्मक वास्तविक संख्याओं का व्युत्क्रम हमेशा धनात्मक होता है।

आम गलतियाँ:

• प्रांत की शर्त \( x > 0 \) को ध्यान में न रखना।
• अवकलन गलत लिखना।
• निष्कर्ष स्पष्ट रूप से न लिखना।

Exam Tips:

a) यह एक सीधा सैद्धांतिक प्रश्न है, इसे संक्षिप्त और स्पष्ट रखें।
b) फलन का प्रांत अवश्य लिखें।
c) दिखाएं कि \( f'(x) > 0 \) क्यों है।

Question 11: सिद्ध कीजिए कि \( (-1, 1) \) में \( f(x) = x^2 - x + 1 \) से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान और न ही ह्रासमान है।

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = x^2 - x + 1 \)
फलन का अवकलन करने पर:
\( f'(x) = 2x - 1 \)
\( f'(x) = 0 \) रखने पर:
\( 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \)
बिंदु \( x = \frac{1}{2} \) अंतराल \( (-1, 1) \) को दो भागों \( \left(-1, \frac{1}{2}\right) \) और \( \left(\frac{1}{2}, 1\right) \) में विभाजित करता है।
- अंतराल \( \left(-1, \frac{1}{2}\right) \) में, यदि हम \( x = 0 \) लें तो \( f'(0) = -1 < 0 \) (फलन ह्रासमान है)।
- अंतराल \( \left(\frac{1}{2}, 1\right) \) में, यदि हम \( x = 0.75 \) लें तो \( f'(x) > 0 \) (फलन वर्धमान है)।
चूँकि अंतराल \( (-1, 1) \) के एक भाग में फलन ह्रासमान है और दूसरे भाग में वर्धमान है,
अतः फलन \( (-1, 1) \) में न तो वर्धमान और न ही ह्रासमान है।

मुख्य बिंदु:

• द्विघात फलन का अवकलन एक रैखिक फलन होता है।
• क्रांतिक बिंदु अंतराल के अंदर स्थित होता है।
• यदि किसी अंतराल में फलन वर्धमान और ह्रासमान दोनों गुण प्रदर्शित करे, तो वह न तो वर्धमान और न ही ह्रासमान होता है।

आम गलतियाँ:

• केवल एक बिंदु पर मान निकालकर निष्कर्ष निकालना।
• अंतराल के उप-अंतरालों की जाँच न करना।
• प्रश्न की मूल शर्त को गलत समझना।

Exam Tips:

a) अंतराल के अंदर मान लेकर दोनों स्थितियों (वर्धमान/ह्रासमान) को साबित करें।
b) स्पष्ट रूप से बताएं कि फलन किस उप-अंतराल में क्या है।
c) अंतिम निष्कर्ष को तार्किक रूप से लिखें।

Question 12: निम्नलिखित में से कौन से फलन \( \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \) में निरंतर ह्रासमान हैं?
(A) \( \cos x \)
(B) \( \cos 2x \)
(C) \( \cos 3x \)
(D) \( \tan x \)}

Answer:

दिए गए विकल्पों की जाँच करने के लिए प्रत्येक का अवकलन करते हैं:
(A) यदि \( f(x) = \cos x \), तब \( f'(x) = -\sin x \)
चूँकि \( x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \) के लिए \( \sin x > 0 \), अतः \( f'(x) < 0 \)
इसलिए यह निरंतर ह्रासमान है।
(B) यदि \( f(x) = \cos 2x \), तब \( f'(x) = -2\sin 2x \)
यहाँ \( x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \implies 2x \in (0, \pi) \)
इस अंतराल में \( \sin 2x > 0 \), अतः \( f'(x) < 0 \)
इसलिए यह भी निरंतर ह्रासमान है।
(C) यदि \( f(x) = \cos 3x \), तब \( f'(x) = -3\sin 3x \)
यहाँ \( x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \implies 3x \in \left(0, \frac{3\pi}{2}\right) \)
इस अंतराल के कुछ भाग में \( \sin 3x > 0 \) और कुछ में \( < 0 \) होता है, अतः यह केवल ह्रासमान नहीं है।
(D) यदि \( f(x) = \tan x \), तब \( f'(x) = \sec^2 x > 0 \) (निरंतर वर्धमान है)।
अतः विकल्प (A) और (B) सही हैं।

मुख्य बिंदु:

• बहुविकल्पीय प्रश्न में सभी विकल्पों की अलग-अलग जाँच करनी होती है।
• संयुक्त कोणों (composite angles) के लिए अंतराल बदल जाता है।
• \( \sin x \) का चिन्ह विभिन्न चतुर्थांशों में देखा जाता है।

आम गलतियाँ:

• केवल एक विकल्प को देखकर उत्तर टिक कर देना।
• \( \cos 2x \) के लिए अंतराल \( (0, \pi) \) बनाना भूल जाना।
• बहुविकल्पीय प्रश्न में एकाधिक सही विकल्प होने पर ध्यान न देना।

Exam Tips:

a) सभी विकल्पों को हल करके देखें।
b) कोण के परिवर्तन (scaling) का ध्यान रखें।
c) सही विकल्पों का संयोजन (A और B) लिखें।

Question 13: निम्नलिखित अंतरालों में से किस अंतराल में \( f(x) = x^{100} + \sin x - 1 \) द्वारा प्रदत्त फलन निरंतर ह्रासमान है?
(A) \( (0, 1) \)
(B) \( \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \)
(C) \( \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \)
(D) इनमें से कोई नहीं

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = x^{100} + \sin x - 1 \)
फलन का अवकलन करने पर:
\( f'(x) = 100x^{99} + \cos x \)
(A) अंतराल \( (0, 1) \) में: \( x > 0 \implies 100x^{99} > 0 \) और \( \cos x > 0 \), अतः \( f'(x) > 0 \) (वर्धमान)
(B) अंतराल \( \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \) में: \( x > 0 \implies 100x^{99} > 0 \) और \( \cos x < 0 \), लेकिन \( 100x^{99} \) का मान बहुत बड़ा होता है जिससे \( f'(x) > 0 \)
(C) अंतराल \( \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \) में: \( 100x^{99} > 0 \) तथा \( \cos x > 0 \), अतः \( f'(x) > 0 \) (वर्धमान)
अतः फलन किसी भी दिए गए अंतराल में निरंतर ह्रासमान नहीं है।
सही विकल्प (D) है।

मुख्य बिंदु:

• उच्च घात वाले बहुपदीय फलन और त्रिकोणमितीय फलन का योग।
• दिए गए अंतरालों में फलनों के मानों की तुलना करना।
• यह पहचानना कि फलन कहाँ धनात्मक है।

आम गलतियाँ:

• \( x^{100} \) के मान के प्रभाव को अनदेखा करना।
• केवल \( \cos x \) को देखकर उत्तर चुनना।
• विकल्पों की सही जाँच न करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक अंतराल के लिए दोनों पदों के चिन्हों का योग देखें।
b) यदि कोई भी विकल्प सही न हो तो 'इनमें से कोई नहीं' चुनें।
c) अपने उत्तर की पुष्टि तार्किक रूप से करें।

Question 14: \( a \) का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल \( [1, 2] \) में \( f(x) = x^2 + ax + 1 \) से प्रदत्त फलन निरंतर वर्धमान है।

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = x^2 + ax + 1 \)
फलन का अवकलन करने पर:
\( f'(x) = 2x + a \)
फलन अंतराल \( [1, 2] \) में निरंतर वर्धमान है, इसलिए इस अंतराल में:
\( f'(x) > 0 \)
\( \Rightarrow 2x + a > 0 \)
\( \Rightarrow a > -2x \)
चूँकि \( x \in [1, 2] \) के लिए \( x \) का अधिकतम मान \( 2 \) है, इसलिए \( -2x \) का न्यूनतम मान \( -2(2) = -4 \) होगा।
अतः \( a \) का न्यूनतम मान \( -2 \) होगा (जब \( x = 1 \) हो, तो \( 2(1) + a > 0 \implies a > -2 \))।
अधिक सटीक रूप से, अंतराल \( (1, 2) \) में वर्धमान होने के लिए \( 2(1) + a \geq 0 \implies a \geq -2 \) ।
अतः \( a \) का न्यूनतम मान \( -2 \) है।

मुख्य बिंदु:

• अंतराल में फलन के वर्धमान होने के लिए अवकलज का मान धनात्मक होना चाहिए।
• चर के सीमांत मानों (boundary values) का उपयोग करना।
• न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए अंतराल के छोटे मान को रखना।

आम गलतियाँ:

• \( x \) के अधिकतम और न्यूनतम मान का गलत चयन करना।
• असमिका को हल करते समय चिन्ह की गलती करना।
• न्यूनतम मान के स्थान पर अधिकतम मान निकाल देना।

Exam Tips:

a) अंतराल के प्रारंभिक बिंदु को अवकलन में प्रतिस्थापित करें।
b) अचर \( a \) के लिए प्रतिबंध स्थापित करें।
c) स्पष्ट रूप से न्यूनतम मान लिखें।

Question 15: मान लीजिए कि \( [-1, 1] \) से असंयुक्त एक अंतराल है। तो सिद्ध कीजिए कि \( I \) में \( f(x) = x + \frac{1}{x} \) से प्रदत्त फलन \( f \), निरंतर वर्धमान है।

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = x + \frac{1}{x} \)
फलन का अवकलन करने पर:
\( f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x^2} \)
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए \( f'(x) > 0 \):
\( \frac{(x - 1)(x + 1)}{x^2} > 0 \)
चूँकि \( x^2 > 0 \) हमेशा सत्य है (जब \( x \neq 0 \)), इसलिए अंश का धनात्मक होना आवश्यक है:
\( (x - 1)(x + 1) > 0 \)
यह असमिका \( x < -1 \) या \( x > 1 \) के लिए सत्य है।
दिया गया अंतराल \( I = (--\infty, -1) \cup (1, \infty) \) है जो \( [-1, 1] \) से असंयुक्त है।
अतः इस अंतराल में फलन निरंतर वर्धमान है।

मुख्य बिंदु:

• परिमेय फलन का अवकलन और लघुत्तम लेना।
• असंयुक्त अंतराल (disjoint interval) की अवधारणा समझना।
• हर हमेशा धनात्मक होने के कारण केवल अंश के चिन्ह पर विचार करना।

आम गलतियाँ:

• \( x^2 \) के चिन्ह को नजरअंदाज करना।
• अंतराल को गलत तरीके से परिभाषित करना।
• गुणनखंडों को हल करने में गलती करना।

Exam Tips:

a) अवकलन को सरल रूप में (गुणनखंड के रूप में) बदलें।
b) स्पष्ट करें कि अंतराल \( [-1, 1] \) को क्यों हटाया गया है।
c) निष्कर्ष को तार्किक रूप से समाप्त करें।

Question 16: सिद्ध कीजिए कि फलन \( f(x) = \log(\sin x) \), \( \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \) में निरंतर वर्धमान और \( \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \) में निरंतर ह्रासमान है।

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = \log(\sin x) \)
फलन का अवकलन करने पर:
\( f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x \)
(a) अंतराल \( \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \) के लिए:
इस प्रथम चतुर्थांश में \( \cot x > 0 \), अतः \( f'(x) > 0 \)
इसलिए फलन इस अंतराल में निरंतर वर्धमान है।
(b) अंतराल \( \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \) के लिए:
इस द्वितीय चतुर्थांश में \( \cot x < 0 \), अतः \( f'(x) < 0 \)
इसलिए फलन इस अंतराल में निरंतर ह्रासमान है।

मुख्य बिंदु:

• लघुगणकीय और त्रिकोणमितीय फलनों का संयुक्त अवकलन (chain rule)।
• \( \log(\sin x) \) का अवकलन \( \cot x \) होता है।
• विभिन्न चतुर्थांशों में कोटिस्पर्शज्या (cotangent) का चिन्ह।

आम गलतियाँ:

• श्रृंखला नियम लगाते समय \( \sin x \) का अवकलन भूल जाना।
• \( \cot x \) के चिन्ह चतुर्थांश के अनुसार गलत पहचानना।
• अंतरालों को मिला देना।

Exam Tips:

a) याद रखें कि \( \log(\sin x) \) का अवकलन \( \cot x \) होता है।
b) दोनों अंतरालों को अलग-अलग सिद्ध करें।
c) चतुर्थांश के नियमों का स्पष्ट उल्लेख करें।

Question 17: सिद्ध कीजिए कि फलन \( f(x) = \log(|\cos x|) \), \( \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \) में निरंतर ह्रासमान और \( \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \) में निरंतर वर्धमान है।

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = \log(|\cos x|) \)
फलन का अवकलन करने पर:
\( f'(x) = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x \)
(a) अंतराल \( \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \) के लिए:
इस प्रथम चतुर्थांश में \( \tan x > 0 \), जिससे \( f'(x) = -\tan x < 0 \)
अतः फलन इस अंतराल में निरंतर ह्रासमान है।
(b) अंतराल \( \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \) के लिए:
इस द्वितीय चतुर्थांश में \( \tan x < 0 \), जिससे \( f'(x) = -\tan x > 0 \)
अतः फलन इस अंतराल में निरंतर वर्धमान है।

मुख्य बिंदु:

• मापांक (modulus) वाले लघुगणकीय फलन का अवकलन।
• \( \log(\cos x) \) का अवकलन \( -\tan x \) होता है।
• ऋणात्मक चिन्ह के कारण वर्धमान और ह्रासमान के नियम उलट जाते हैं।

आम गलतियाँ:

• अवकलन में ऋणात्मक चिन्ह लगाना भूल जाना।
• मापांक के प्रभाव को न समझना।
• चतुर्थांश के चिन्हों में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) अवकलन के बाद प्राप्त ऋणात्मक चिन्ह पर विशेष ध्यान दें।
b) प्रत्येक अंतराल के लिए \( \tan x \) का चिन्ह ज्ञात करें।
c) उत्तर को प्रश्न की मांग के अनुसार व्यवस्थित करें।

Question 18: सिद्ध कीजिए कि \( R \) में दिया गया फलन \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 100 \) वर्धमान है।

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 100 \)
फलन का अवकलन करने पर:
\( f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 \)
\( f'(x) = 3(x^2 - 2x + 1) \)
\( f'(x) = 3(x - 1)^2 \)
चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, अतः सभी \( x \in R \) के लिए:
\( (x - 1)^2 \geq 0 \)
इसलिए \( f'(x) = 3(x - 1)^2 \geq 0 \) सभी \( x \in R \) के लिए
अतः फलन \( R \) पर वर्धमान है।

मुख्य बिंदु:

• त्रिघात फलन का अवकलन एक पूर्ण वर्ग (perfect square) द्विघात व्यंजक बनता है।
• पूर्ण वर्ग का मान हमेशा \( \geq 0 \) होता है।
• यह फलन पूरे वास्तविक संख्या रेखा पर वर्धमान है।

आम गलतियाँ:

• द्विघात व्यंजक के गुणनखंड न कर पाना।
• पूर्ण वर्ग की पहचान न कर पाना।
• 'निरंतर वर्धमान' और 'वर्धमान' में अंतर न समझना (यहाँ यह केवल वर्धमान है क्योंकि \( f'(x) = 0 \) हो सकता है जहाँ \( x = 1 \))。

Exam Tips:

a) अवकलन को हमेशा पूर्ण वर्ग के रूप में बदलने का प्रयास करें।
b) स्पष्ट करें कि वर्ग राशि हमेशा धनात्मक या शून्य होती है।
c) 'वर्धमान' शब्द का सही प्रयोग करें।

Question 19: निम्नलिखित में से किस अंतराल में \( y = x^2 e^{-x} \) वर्धमान है?
(A) \( (-\infty, \infty) \)
(B) \( (-2, 0) \)
(C) \( (2, \infty) \)
(D) \( (0, 2) \)}

Answer:

दिया गया फलन है: \( y = x^2 e^{-x} \)
फलन का अवकलन करने पर (गुणनफल नियम से):
\( \frac{dy}{dx} = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) \)
\( \frac{dy}{dx} = xe^{-x}(2 - x) \)
फलन के वर्धमान होने के लिए, \( \frac{dy}{dx} > 0 \):
\( xe^{-x}(2 - x) > 0 \)
चूँकि \( e^{-x} > 0 \) हमेशा सत्य है, इसलिए असमिका बन जाती है:
\( x(2 - x) > 0 \)
या \( x(x - 2) < 0 \)
इसे हल करने पर क्रांतिक बिंदु \( x = 0, 2 \) मिलते हैं, और अंतराल \( (0, 2) \) प्राप्त होता है।
अतः फलन अंतराल \( (0, 2) \) में वर्धमान है।
सही विकल्प (D) है।

मुख्य बिंदु:

• गुणनफल नियम और चरघातांकी फलन के अवकलन का संयोजन।
• उभयनिष्ठ पद \( xe^{-x} \) को बाहर निकालना।
• असमिका को हल करके सही अंतराल प्राप्त करना।

आम गलतियाँ:

• गुणनफल नियम में चिन्ह की गलती करना।
• \( e^{-x} \) को हटाते समय असमिका के चिन्ह को न संभालना।
• गलत विकल्प चुनना।

Exam Tips:

a) अवकलन को सरल रूप में गुणनखंडित करें।
b) चरघातांकी पद हमेशा धनात्मक होता है, इसे तुरंत हटा सकते हैं।
c) सही विकल्प (D) को चिन्हित करें।