NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 06 Application of Derivatives (अवकलज के अनुप्रयोग) Exercise 6.1 in Hindi

Question 1: वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या \( r \) के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि
(a) \( r = 3\text{ cm} \) है।
(b) \( r = 4\text{ cm} \) है।

Answer:

त्रिज्या \( r \) वाले वृत्त का क्षेत्रफल \( A = \pi r^2 \) होता है।
त्रिज्या \( r \) के सापेक्ष क्षेत्रफल \( A \) के परिवर्तन की दर \( \frac{dA}{dr} = 2\pi r \) होगी।
(a) जब \( r = 3\text{ cm} \) है, तब:
\( \frac{dA}{dr} = 2\pi(3) \)
\( = 6\pi\text{ cm}^2/\text{cm} \)
अतः वृत्त का क्षेत्रफल \( 6\pi\text{ cm}^2/\text{cm} \) की दर से बदल रहा है।
(b) जब \( r = 4\text{ cm} \) है, तब:
\( \frac{dA}{dr} = 2\pi(4) \)
\( = 8\pi\text{ cm}^2/\text{cm} \)
अतः वृत्त का क्षेत्रफल \( 8\pi\text{ cm}^2/\text{cm} \) की दर से बदल रहा है।

मुख्य बिंदु:

• वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र \( A = \pi r^2 \) होता है।
• परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए त्रिज्या के सापेक्ष अवकलन किया जाता है।
• क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर का मात्रक \( \text{cm}^2/\text{cm} \) होता है।

आम गलतियाँ:

• त्रिज्या के स्थान पर क्षेत्रफल का मान सीधे प्रतिस्थापित करना।
• अवकलन करते समय घात नियम का सही उपयोग न करना।
• उत्तर में सही मात्रक न लिखना।

Exam Tips:

a) प्रश्न में दिए गए मान को अवकलन करने के बाद ही प्रतिस्थापित करें।
b) क्षेत्रफल और आयतन के सभी मूलभूत सूत्र याद रखें।
c) अंतिम उत्तर के साथ उपयुक्त मात्रक अवश्य लिखें।

Question 2: एक घन का आयतन \( 8\text{ cm}^3/\text{s} \) की दर से बढ़ रहा है। पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि इसके किनारे की लंबाई \( 12\text{ cm} \) है।

Answer:

माना घन के किनारे की लंबाई \( x\text{ cm} \) है।
घन का आयतन \( V = x^3 \) है।
समय \( t \) के सापेक्ष आयतन \( V \) के परिवर्तन की दर \( \frac{dV}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt} \) है।
दिया है: घन का आयतन \( \frac{dV}{dt} = 8\text{ cm}^3/\text{s} \) है।
इसलिए, \( 8 = 3x^2 \frac{dx}{dt} \)
\( \Rightarrow \frac{dx}{dt} = \frac{8}{3x^2} \) ... (1)
घन का पृष्ठ क्षेत्रफल \( S = 6x^2 \) है।
समय \( t \) के सापेक्ष पृष्ठ क्षेत्रफल \( S \) के परिवर्तन की दर \( \frac{dS}{dt} = 12x \frac{dx}{dt} \) है।
समीकरण (1) से \( \frac{dx}{dt} \) का मान रखने पर:
\( \frac{dS}{dt} = 12x \left(\frac{8}{3x^2}\right) = \frac{32}{x} \)
जब \( x = 12\text{ cm} \) है, तब:
\( \frac{dS}{dt} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}\text{ cm}^2/\text{s} \)
अतः घन का पृष्ठ क्षेत्रफल \( \frac{8}{3}\text{ cm}^2/\text{s} \) की दर से बढ़ रहा है।

मुख्य बिंदु:

• घन का आयतन \( V = x^3 \) और पृष्ठ क्षेत्रफल \( S = 6x^2 \) होता है।
• श्रृंखला नियम (Chain Rule) का उपयोग करके समय के सापेक्ष अवकलन किया जाता है।
• समीकरणों को हल करके अज्ञात दर ज्ञात की जाती है।

आम गलतियाँ:

• समय \( t \) के सापेक्ष अवकलन करते समय \( \frac{dx}{dt} \) लिखना भूल जाना।
• मानों को अंत में रखने के बजाय शुरुआत में रख देना।
• गणना में भिन्न (fraction) को सरल करते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) सभी संबंधित च रों को समय \( t \) के फलन के रूप में मानें।
b) श्रृंखला नियम का सावधानीपूर्वक प्रयोग करें।
c) अंत में मात्रक \( \text{cm}^2/\text{s} \) स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 3: एक वृत्त की त्रिज्या समान रूप से \( 3\text{ cm/s} \) की दर से बढ़ रही है। ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या \( 10\text{ cm} \) है।

Answer:

माना वृत्त की त्रिज्या \( = r\text{ cm} \) है।
त्रिज्या \( r \) वाले वृत्त का क्षेत्रफल \( A = \pi r^2 \) है।
समय \( t \) के सापेक्ष क्षेत्रफल \( A \) के परिवर्तन की दर:
\( \frac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt} = 2\pi r \cdot 3 = 6\pi r \)
जब \( r = 10\text{ cm} \) है, तब:
\( \frac{dA}{dt} = 6\pi(10) = 60\pi\text{ cm}^2/\text{s} \)
अतः वृत्त का क्षेत्रफल \( 60\pi\text{ cm}^2/\text{s} \) की दर से बदल रहा है।

मुख्य बिंदु:

• त्रिज्या परिवर्तन की दर \( \frac{dr}{dt} = 3\text{ cm/s} \) दी गई है।
• क्षेत्रफल के सूत्र का समय के सापेक्ष अवकलन किया जाता है।
• त्रिज्या \( r = 10\text{ cm} \) को अंतिम चरण में प्रतिस्थापित किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{dr}{dt} \) से गुणा करना भूल जाना।
• \( \pi \) का गलत उपयोग करना या उसे छोड़ देना।
• क्षेत्रफल और परिधि के सूत्रों में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) प्रश्न में दी गई सभी दरों को \( \frac{dr}{dt} \) या \( \frac{dV}{dt} \) के रूप में स्पष्ट लिखें।
b) त्रिज्या के मान को अंत में ही रखें।
c) उत्तर को \( \pi \) के पदों में ही छोड़ना सबसे अच्छा रहता है।

Question 4: एक परिवर्तनशील घन का किनारा \( 3\text{ cm/s} \) की दर से बढ़ रहा है। घन का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि किनारा \( 10\text{ cm} \) लंबा है?

Answer:

माना घन के किनारे की लंबाई \( = x\text{ cm} \) है, इसलिए घन का आयतन \( V = x^3 \) है।
समय \( t \) के सापेक्ष आयतन \( V \) के परिवर्तन की दर \( \frac{dV}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt} \) है।
दिया है: घन का किनारा \( 3\text{ cm/s} \) की दर से बढ़ रहा है। इसलिए, \( \frac{dx}{dt} = 3\text{ cm/s} \)
जब \( x = 10\text{ cm} \) है, तब:
\( \frac{dV}{dt} = 3(10)^2 (3) = 9(100) = 900\text{ cm}^3/\text{s} \)
अतः घन का आयतन \( 900\text{ cm}^3/\text{s} \) की दर से बढ़ रहा है।

मुख्य बिंदु:

• घन के आयतन का सूत्र \( V = x^3 \) होता है।
• किनारे की वृद्धि की दर \( \frac{dx}{dt} = 3\text{ cm/s} \) दी गई है।
• आयतन के परिवर्तन की दर सीधे मान रखकर निकाली जाती है।

आम गलतियाँ:

• \( x^2 \) का अवकलन करते समय 2 से गुणा न करना या घात नियम गलत लगाना।
• मात्रक \( \text{cm}^3/\text{s} \) के स्थान पर \( \text{cm}^2/\text{s} \) लिख देना।
• गणना में अंकों का वर्ग करते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) आयतन के लिए हमेशा घन इकाई (\( \text{cm}^3 \)) का प्रयोग करें।
b) अवकलन के बाद ही दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें।
c) सभी दी गई राशियों को उनके प्रतीकों के साथ लिखें।

Question 5: एक स्थिर झील में एक पत्थर डाला जाता है और तरंगें वृत्त में \( 5\text{ cm/s} \) की गति से चलती हैं। जब वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या \( 8\text{ cm} \) है तो उस क्षण, घिरा हुआ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है?

Answer:

माना, वृत्त की त्रिज्या \( = r\text{ cm} \), इसलिए त्रिज्या \( r \) वाले वृत्त का क्षेत्रफल \( A = \pi r^2 \) है।
समय \( t \) के सापेक्ष क्षेत्रफल \( A \) के परिवर्तन की दर:
\( \frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt} = 2\pi r \cdot 5 = 10\pi r \)
जब \( r = 8\text{ cm} \) है, तब:
\( \frac{dA}{dt} = 10\pi \cdot (8) = 80\pi\text{ cm}^2/\text{s} \)
अतः, घिरा हुआ क्षेत्रफल \( 80\pi\text{ cm}^2/\text{s} \) की दर से बदल रहा है।

मुख्य बिंदु:

• तरंग की गति का अर्थ त्रिज्या परिवर्तन की दर \( \frac{dr}{dt} = 5\text{ cm/s} \) है।
• वृत्त के क्षेत्रफल का अवकलन समय के सापेक्ष किया जाता है।
• त्रिज्या \( r = 8\text{ cm} \) पर मान ज्ञात किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• तरंग की गति को क्षेत्रफल की गति मान लेना।
• \( \frac{dr}{dt} \) का मान गुणा करना भूल जाना।
• क्षेत्रफल के मात्रक को समय के साथ न जोड़ना।

Exam Tips:

a) भाषा को ध्यान से पढ़ें और पहचानें कि कौन सी दर (\( \frac{dr}{dt} \) या \( \frac{dA}{dt} \)) दी गई है।
b) सूत्र लिखते समय पूर्ण स्पष्टता रखें।
c) उत्तर में पाई (\( \pi \)) का मान न रखकर उसी रूप में छोड़ें जब तक आवश्यक न हो।

Question 6: एक वृत्त की त्रिज्या \( 0.7\text{ cm/s} \) की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि की दर क्या है जब \( r = 4.9\text{ cm} \) है?

Answer:

माना, वृत्त की त्रिज्या \( = r\text{ cm} \), त्रिज्या \( r \) वाले वृत्त की परिधि \( C = 2\pi r \) है।
समय \( t \) के सापेक्ष परिधि \( C \) के परिवर्तन की दर:
\( \frac{dC}{dt} = 2\pi \frac{dr}{dt} = 2\pi \cdot (0.7) = 1.4\pi \)
जब \( r = 4.9\text{ cm} \) है, तब:
\( \frac{dC}{dt} = 1.4\pi = 1.4 \times \frac{22}{7} = 4.4\text{ cm/s} \)
अतः, वृत्त की परिधि की वृद्धि की दर \( 4.4\text{ cm/s} \) है।

मुख्य बिंदु:

• वृत्त की परिधि का सूत्र \( C = 2\pi r \) होता है।
• त्रिज्या \( r \) पर परिधि के परिवर्तन की दर त्रिज्या के मान पर निर्भर नहीं करती क्योंकि \( \frac{dC}{dt} \) में \( r \) नहीं आता।
• \( \frac{dr}{dt} = 0.7\text{ cm/s} \) दिया गया है।

आम गलतियाँ:

• क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग परिधि के स्थान पर करना।
• यह सोचना कि \( r = 4.9\text{ cm} \) का उपयोग गणना में होगा (चूंकि \( \frac{dC}{dt} \) अचर है)।
• दशमलव की गणना में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) ध्यान दें कि वृत्त की परिधि की वृद्धि की दर त्रिज्या पर निर्भर नहीं करती है।
b) \( \pi \) का मान \( \frac{22}{7} \) रखकर सरलता से हल करें।
c) परिधि का मात्रक केवल लंबाई का होता है (\( \text{cm/s} \))।

Question 7: एक आयत की लंबाई \( x, 5\text{ cm/min} \) की दर से घट रही है और चौड़ाई \( y, 4\text{ cm/min} \) की दर से बढ़ रही है। जब \( x = 8\text{ cm} \) और \( y = 6\text{ cm} \) है तब आयत के (a) परिमाप (b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।

Answer:

आयत की लंबाई \( = x\text{ cm} \) और चौड़ाई \( = y\text{ cm} \)
दिया है: \( \frac{dx}{dt} = -5\text{ cm/min} \) और \( \frac{dy}{dt} = 4\text{ cm/min} \)
(a) आयत का परिमाप \( P = 2(x + y) \)
इसलिए, समय \( t \) के सापेक्ष \( P \) के परिवर्तन की दर:
\( \frac{dP}{dt} = 2\left(\frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt}\right) = 2(-5 + 4) = -2\text{ cm/min} \)
जब \( x = 8\text{ cm} \) और \( y = 6\text{ cm} \) है, तो \( \frac{dP}{dt} = -2\text{ cm/min} \)
अतः, आयत का परिमाप \( 2\text{ cm/min} \) की दर से घट रहा है।
(b) आयत का क्षेत्रफल \( A = xy \)
इसलिए, समय \( t \) के सापेक्ष \( A \) के परिवर्तन की दर:
\( \frac{dA}{dt} = y \frac{dx}{dt} + x \frac{dy}{dt} = -5y + 4x\text{ cm}^2/\text{min} \)
जब \( x = 8\text{ cm} \) और \( y = 6\text{ cm} \) है, तो:
\( \frac{dA}{dt} = -5(6) + 4(8) = -30 + 32 = 2\text{ cm}^2/\text{min} \)
अतः, आयत का क्षेत्रफल \( 2\text{ cm}^2/\text{min} \) की दर से बढ़ रहा है।

मुख्य बिंदु:

• घटने वाली दर को ऋणात्मक (\( -5 \)) और बढ़ने वाली दर को धनात्मक (\( +4 \)) लिया जाता है।
• गुणन नियम (Product Rule) का उपयोग क्षेत्रफल के अवकलन के लिए किया जाता है।
• परिमाप और क्षेत्रफल के सूत्र क्रमशः \( 2(x+y) \) और \( xy \) हैं।

आम गलतियाँ:

• घट रही दर को धनात्मक ले लेना।
• गुणन नियम लगाते समय चिह्न की गलती करना।
• मात्रक गलत लिखना।

Exam Tips:

a) 'घट रहा है' शब्द के लिए ऋणात्मक चिह्न का प्रयोग अनिवार्य रूप से करें।
b) दो चरों के गुणनफल का अवकलन करते समय गुणन नियम का ही प्रयोग करें।
c) दोनों भागों (a) और (b) को स्पष्ट रूप से अलग-अलग हल करें।

Question 8: एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, एक पंप द्वारा \( 900\text{ cm}^3 \) गैस प्रति सेकंड भर कर फुलाया जाता है। गुब्बारा के त्रिज्या के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या \( 15\text{ cm} \) है।

Answer:

माना, गुब्बारे की त्रिज्या \( = r\text{ cm} \), त्रिज्या \( r \) वाले गुब्बारे का आयतन \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \) है।
इसलिए, समय \( t \) के सापेक्ष \( V \) के परिवर्तन की दर:
\( \frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 \frac{dr}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} \)
\( 900 = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} \)
जब \( r = 15\text{ cm} \) है, तो \( 900 = 4\pi (15)^2 \frac{dr}{dt} \)
\( \Rightarrow \frac{dr}{dt} = \frac{900}{4\pi \times 225} = \frac{1}{\pi}\text{ cm/s} \)
अतः, गुब्बारे की त्रिज्या की वृद्धि की दर \( \frac{1}{\pi}\text{ cm/s} \) है।

मुख्य बिंदु:

• गोले के आयतन का सूत्र \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \) होता है।
• आयतन के परिवर्तन की दर \( \frac{dV}{dt} = 900\text{ cm}^3/\text{s} \) दी गई है।
• त्रिज्या \( r = 15\text{ cm} \) पर त्रिज्या के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है।

आम गलतियाँ:

• गोले के आयतन के सूत्र में \( \frac{4}{3} \) की जगह \( \frac{4}{2} \) लिख देना।
• \( (15)^2 \) का मान निकालते समय गलती करना।
• \( \pi \) को उत्तर से हटा देना।

Exam Tips:

a) आयतन का सूत्र लिखते समय सावधानी बरतें।
b) समीकरण में मान रखकर पक्षांतर करते समय सावधानी रखें।
c) त्रिज्या के परिवर्तन की दर का मात्रक \( \text{cm/s} \) होगा।

Question 9: एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, की त्रिज्या परिवर्तनशील है। त्रिज्या के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या \( 10\text{ cm} \) है।

Answer:

माना, गुब्बारे की त्रिज्या \( = r\text{ cm} \), त्रिज्या \( r \) वाले गुब्बारे का आयतन \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \) है।
इसलिए, त्रिज्या \( r \) के सापेक्ष \( V \) के परिवर्तन की दर:
\( \frac{dV}{dr} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 = 4\pi r^2 \)
जब \( r = 10\text{ cm} \) है, तो:
\( \frac{dV}{dr} = 4\pi (10)^2 = 400\pi\text{ cm}^3/\text{cm} \)
अतः, गुब्बारे के आयतन की वृद्धि की दर \( 400\pi\text{ cm}^3/\text{cm} \) है।

मुख्य बिंदु:

• यह प्रश्न समय के सापेक्ष नहीं बल्कि त्रिज्या के सापेक्ष अवकलन करने को कहता है (\( \frac{dV}{dr} \))।
• गोले के आयतन का सूत्र \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \) उपयोग होता है।
• \( r = 10\text{ cm} \) मान को सीधे अवकलज में रखा जाता है।

आम गलतियाँ:

• समय के सापेक्ष अवकलन (\( \frac{dt}{dt} \)) कर देना जबकि प्रश्न में त्रिज्या के सापेक्ष पूछा गया है।
• \( \frac{dr}{dt} \) को जबरदस्ती प्रश्न में शामिल करना।
• गणना में \( 10^2 \) को 20 लिख देना।

Exam Tips:

a) प्रश्न को ध्यान से पढ़ें कि किसके सापेक्ष अवकलन करना है (यहाँ त्रिज्या के सापेक्ष है)।
b) \( \frac{dV}{dr} \) और \( \frac{dV}{dt} \) के अंतर को समझें।
c) सही मात्रक \( \text{cm}^3/\text{cm} \) या \( \text{cm}^2 \) लिखें।

Question 10: एक \( 5\text{ cm} \) लंबी सीढ़ी दीवार के सहारे झुकी है। सीढ़ी का नीचे का सिरा, जमीन के अनुदिश, दीवार से दूर \( 2\text{ cm/s} \) की दर से खींचा जाता है। दीवार पर इसकी ऊँचाई किस दर से घट रही है जबकि सीढ़ी के नीचे का सिरा दीवार से \( 4\text{ m} \) दूर है?

Answer:

आकृति में \( AB \) दीवार है और \( AC \) सीढ़ी है। माना, \( BC = x \) और \( AB = y \)
दिया है: \( \frac{dx}{dt} = 2\text{ cm/s} \) और \( AC = 5\text{ cm} \)
त्रिभुज \( ABC \) में, पाइथागोरस प्रमेय से: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
\( \Rightarrow 25 = y^2 + x^2 \)
जब \( x = 4\text{ cm} \) है, तो \( 25 = y^2 + 16 \Rightarrow y^2 = 9 \Rightarrow y = 3\text{ cm} \)
इसलिए, समय \( t \) के सापेक्ष अवकलन करने पर: \( 0 = 2y \frac{dy}{dt} + 2x \frac{dx}{dt} \)
जब \( x = 4\text{ cm} \) और \( y = 3\text{ cm} \) है, तो: \( 0 = 2(3) \frac{dy}{dt} + 2(4)(2) \)
\( \Rightarrow 6 \frac{dy}{dt} = -16 \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dt} = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3}\text{ cm/s} \)
अतः, दीवार पर इसकी ऊँचाई \( \frac{8}{3}\text{ cm/s} \) की दर से घट रही है।

मुख्य बिंदु:

• समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय (\( x^2 + y^2 = 25 \)) का उपयोग किया जाता है।
• समय \( t \) के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन किया जाता है।
• \( y \) का मान \( x = 4 \) रखकर निकाला जाता है।

आम गलतियाँ:

• सीढ़ी की लंबाई \( 5 \) को चर मान लेना (जबकि यह अचर है)।
• अवकलन करते समय अचर (25) का अवकलन शून्य न लिखना।
• चिह्न की गलती करना जिससे घटने वाली दर धनात्मक आ जाए।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में पहले पाइथागोरस प्रमेय से सभी भुजाओं के मान निकाल लें।
b) सीढ़ी या सीढ़ी जैसी लंबाई हमेशा स्थिर रहती है।
c) ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि ऊँचाई घट रही है।

Question 11: एक कण वक्र \( 6y = x^3 + 2 \) के अनुगत गति कर रहा है। वक्र पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जबकि \( x \)-निर्देशाह्क की तुलना में \( y \)-निर्देशांक \( 8 \) गुना तीव्रता से बदल रहा है।

Answer:

दिया है: \( \frac{dy}{dt} = 8 \frac{dx}{dt} \) ... (1)
और वक्र का समीकरण: \( 6y = x^3 + 2 \) ... (2)
समय \( t \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( 6 \frac{dy}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt} \) ... (3)
समीकरण (1) और (3) को हल करने पर:
\( 6 \left(8 \frac{dx}{dt}\right) = 3x^2 \frac{dx}{dt} \)
\( \Rightarrow 48 \frac{dx}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt} \)
\( \Rightarrow 3x^2 = 48 \)
\( \Rightarrow x^2 = 16 \)
\( \Rightarrow x = \pm 4 \)
यदि \( x = 4 \), तो समीकरण (2) से: \( 6y = (4)^3 + 2 = 64 + 2 = 66 \)
\( \Rightarrow y = 11 \)
इसलिए बिंदु \( (4, 11) \) है।
यदि \( x = -4 \), तो समीकरण (2) से: \( 6y = (-4)^3 + 2 = -64 + 2 = -62 \)
\( \Rightarrow y = -\frac{62}{6} = -\frac{31}{3} \)
इसलिए बिंदु \( \left(-4, -\frac{31}{3}\right) \) है।
अतः, अभीष्ट बिंदु \( (4, 11) \) और \( \left(-4, -\frac{31}{3}\right) \) हैं।

मुख्य बिंदु:

• प्रश्न अनुसार \( \frac{dy}{dt} = 8 \frac{dx}{dt} \) संबंध का उपयोग किया जाता है।
• वक्र के समीकरण का समय के सापेक्ष अवकलन किया जाता है।
• \( x \) के मानों को वक्र के समीकरण में रखकर \( y \) के संगत मान निकाले जाते हैं।

आम गलतियाँ:

• \( x = 4 \) लेने के बाद \( x = -4 \) को छोड़ देना।
• अवकलन करते समय 6 को छोड़ देना या गुणा गलत करना।
• समीकरण हल करते समय चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) दोनों चरों के परिवर्तन की दरों के बीच के संबंध को समीकरण के रूप में पहले लिखें।
b) वर्गमूल लेते समय धनात्मक और ऋणात्मक दोनों चिह्न लें (\( x = \pm 4 \))।
c) बिंदुओं को क्रमित युग्म \( (x, y) \) के रूप में अंत में दर्शाएं।

Question 12: हवा के एक बुलबुले की त्रिज्या \( \frac{1}{2}\text{ cm/s} \) की दर से बढ़ रही है। बुलबुले का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि त्रिज्या \( 1\text{ cm} \) है?

Answer:

माना, बुलबुले की त्रिज्या \( = r\text{ cm} \), त्रिज्या \( r \) वाले बुलबुले का आयतन \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \) है।
इसलिए, समय \( t \) के सापेक्ष \( V \) के परिवर्तन की दर:
\( \frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 \frac{dr}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} \)
दिया है: \( \frac{dr}{dt} = \frac{1}{2}\text{ cm/s} \)
जब \( r = 1\text{ cm} \) है, तब:
\( \frac{dV}{dt} = 4\pi (1)^2 \left(\frac{1}{2}\right) = 2\pi\text{ cm}^3/\text{s} \)
अतः, बुलबुले के आयतन की वृद्धि की दर \( 2\pi\text{ cm}^3/\text{s} \) है।

मुख्य बिंदु:

• हवा का बुलबुला गोलाकार माना जाता है, अतः \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \text{ सूत्र का उपयोग होता है।}
\) • त्रिज्या परिवर्तन की दर \( \frac{dr}{dt} = \frac{1}{2}\text{ cm/s} \) दी गई है।
• \( r = 1\text{ cm} \) पर आयतन की वृद्धि की दर निकाली जाती है।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{dr}{dt} \) का मान रखना भूल जाना।
• गणना करते समय \( 4 \) और \( 2 \) को सही से न काटना।
• आयतन का मात्रक गलत लिखना।

Exam Tips:

a) गोले से संबंधित प्रश्नों में हमेशा \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \) का उपयोग करें।
b) मानों को प्रतिस्थापित करने से पहले अवकलन पूरा करें।
c) उत्तर को पाई (\( \pi \)) के पदों में लिखें।

Question 13: एक गुब्बारा, जो सदैव गोलाकार रहता है, का परिवर्तनशील व्यास \( \frac{3}{2}(2x + 1) \) है। \( x \) के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।

Answer:

गुब्बारे की त्रिज्या \( r = \frac{1}{2} \times \text{व्यास} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2}(2x + 1) = \frac{3}{4}(2x + 1) \)
त्रिज्या \( \frac{3}{4}(2x + 1) \) वाले गुब्बारे का आयतन \( V = \frac{4}{3}\pi \left[\frac{3}{4}(2x + 1)\right]^3 \)
\( V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{27}{64} (2x + 1)^3 = \frac{9}{16}\pi (2x + 1)^3 \)
इसलिए, \( x \) के सापेक्ष \( V \) के परिवर्तन की दर:
\( \frac{dV}{dx} = \frac{9}{16}\pi \cdot 3(2x + 1)^2 \cdot 2 = \frac{27}{8}\pi (2x + 1)^2 \)
अतः, गुब्बारे के आयतन के परिवर्तन की दर \( \frac{27}{8}\pi (2x + 1)^2 \) है।

मुख्य बिंदु:

• व्यास से त्रिज्या ज्ञात करने के लिए व्यास को 2 से भाग दिया जाता है।
• आयतन के सूत्र में त्रिज्या का मान प्रतिस्थापित किया जाता है।
• श्रृंखला नियम (Chain Rule) का उपयोग करके \( x \) के सापेक्ष अवकलन किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• व्यास को ही त्रिज्या मान लेना।
• कोष्ठक खोलते या घन (cube) निकालते समय घातांक की गलती करना।
• श्रृंखला नियम में \( (2x+1) \) का अवकलन (यानी 2) से गुणा करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) हमेशा व्यास का आधा करके त्रिज्या निकालें।
b) बड़े व्यंजकों का अवकलन करते समय श्रृंखला नियम का विशेष ध्यान रखें।
c) अचर पदों को बाहर रखकर ही अवकलन करें।

Question 14: एक पाइप से रेत \( 12\text{ cm}^3/\text{s} \) की दर से गिर रही है। गिरती रेत जमीन पर एक ऐसा शंकु बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधार की त्रिज्या का छठा भाग है। रेत से बने के शंकु की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊँचाई \( 4\text{ cm} \) है?

Answer:

माना, शंकु की त्रिज्या \( = r\text{ cm} \) और शंकु की ऊँचाई \( = h\text{ cm} \)
दिया है: आयतन \( V \) के परिवर्तन की दर \( \frac{dV}{dt} = 12\text{ cm}^3/\text{s} \) और \( h = \frac{1}{6}r \Rightarrow r = 6h \)
त्रिज्या \( r \) और ऊँचाई \( h \) वाले शंकु का आयतन \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (6h)^2 h = 12\pi h^3 \)
इसलिए, समय \( t \) के सापेक्ष \( V \) के परिवर्तन की दर:
\( \frac{dV}{dt} = 12\pi \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt} = 36\pi h^2 \frac{dh}{dt} \)
\( \Rightarrow 12 = 36\pi h^2 \frac{dh}{dt} \Rightarrow \frac{dh}{dt} = \frac{1}{3\pi h^2} \)
जब \( h = 4\text{ cm} \) है, तो:
\( \frac{dh}{dt} = \frac{1}{3\pi (4)^2} = \frac{1}{48\pi}\text{ cm/s} \)
अतः, रेत से बने के शंकु की ऊँचाई \( \frac{1}{48\pi}\text{ cm/s} \) से बढ़ रही है।

मुख्य बिंदु:

• शंकु के आयतन के सूत्र \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \) में \( r = 6h \) रखकर आयतन को केवल \( h \) के पदों में बदला जाता है।
• \( \frac{dV}{dt} = 12\text{ cm}^3/\text{s} \) का उपयोग किया जाता है।
• \( h = 4\text{ cm} \) पर ऊँचाई की वृद्धि की दर ज्ञात की जाती है।

आम गलतियाँ:

• \( r = 6h \) के बजाय \( h = 6r \) लिख देना।
• शंकु के आयतन का सूत्र गलत लिखना।
• \( (4)^2 \) का मान गणना में गलत रखना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में दो चरों (\( r \) और \( h \)) को एक ही चर में बदल लें ताकि अवकलन सरल हो जाए।
b) शंकु के आयतन का सूत्र अच्छी तरह याद रखें।
c) अंतिम उत्तर में पाई (\( \pi \)) को बट्टे में ही रहने दें।

Question 15: एक वस्तु की \( x \) इकाइयों के उत्पादन से संबंध कुल लागत \( C(x) \) (रूपये में) \( C(x) = 0.007x^3 - 0.003x^2 + 15x + 4000 \) से प्रदत्त है। सीमांत लागत ज्ञात कीजिए जबकि 17 इकाइयों का उत्पादन किया गया है।

Answer:

कुल लागत \( C(x) = 0.007x^3 - 0.003x^2 + 15x + 4000 \)
इसलिए, सीमांत लागत \( \frac{dC}{dx} = 0.021x^2 - 0.006x + 15 \)
जब \( x = 17 \) है, तो:
\( \frac{dC}{dx} = 0.021(17)^2 - 0.006(17) + 15 = 6.069 - 0.102 + 15 = 20.967 \)
अतः, जब 17 इकाइयों का उत्पादन किया गया है, तो सीमांत लागत \( ₹20.967 \) है।

मुख्य बिंदु:

• सीमांत लागत (Marginal Cost) कुल लागत फलन का उत्पादन इकाइयों \( x \) के सापेक्ष प्रथम अवकलज होती है (\( \frac{dC}{dx} \))।
• दिए गए कुल लागत फलन का \( x \) के सापेक्ष अवकलन किया जाता है।
• \( x = 17 \) मान को अवकलज में प्रतिस्थापित किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• कुल लागत को ही सीमांत लागत मान लेना (अवकलन न करना)।
• दशमलव की गणना में गुणा या घटाव की गलती करना।
• अचर पद (4000) का अवकलन शून्य न लिखना।

Exam Tips:

a) सीमांत लागत, सीमांत आय आदि के लिए हमेशा प्रथम अवकलज (\( \frac{dC}{dx} \) या \( \frac{dR}{dx} \)) निकालें।
b) दशमलव वाले गुणन को सावधानी से हल करें।
c) उत्तर के साथ मुद्रा का प्रतीक (\( ₹ \)) अवश्य लगाएं।

Question 16: किसी उत्पाद की \( x \) इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय \( R(x) \) (रूपयों में) \( R(x) = 13x^2 + 26x + 15 \) से प्रदत्त है। सीमांत आय ज्ञात कीजिए जब \( x = 7 \) है।

Answer:

कुल कुल आय \( R(x) = 13x^2 + 26x + 15 \), इसलिए सीमांत आय \( \frac{dR}{dx} = 26x + 26 \)
जब \( x = 7 \) है, तो:
\( \frac{dR}{dx} = 26(7) + 26 = 182 + 26 = 208 \)
अतः, जब \( x = 7 \) है, तो सीमांत आय \( ₹208 \) है।

मुख्य बिंदु:

• सीमांत आय (Marginal Revenue) कुल आय फलन का \( x \) के सापेक्ष अवकलज होती है (\( \frac{dR}{dx} \))।
• कुल आय फलन का \( x \) के सापेक्ष अवकलन किया जाता है।
• \( x = 7 \) को अवकलज में रखकर मान निकाला जाता है।

आम गलतियाँ:

• अवकलन किए बिना सीधे \( x = 7 \) कुल आय के समीकरण में रख देना।
• \( 26 \times 7 \) की गणना में गलती करना।
• सीमांत की परिभाषा में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) सीमांत आय का अर्थ हमेशा \( \frac{dR}{dx} \) होता है।
b) सरल बहुपदों का अवकलन सावधानी से करें।
c) अंतिम उत्तर के साथ इकाई (\( ₹ \)) लिखना न भूलें।

Question 17: एक वृत्त की त्रिज्या \( r = 6\text{ cm} \) पर \( r \) के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर है:
(A) \( 10\pi \)
(B) \( 12\pi \)
(C) \( 8\pi \)
(D) \( 11\pi \)

Answer:

त्रिज्या \( r \) वाले वृत्त का क्षेत्रफल \( A = \pi r^2 \), इसलिए \( r \) के सापेक्ष \( A \) के परिवर्तन की दर:
\( \frac{dA}{dr} = 2\pi r \)
जब \( r = 6\text{ cm} \) है, तो:
\( \frac{dA}{dr} = 2\pi(6) = 12\pi\text{ cm}^2/\text{cm} \)
अतः, विकल्प (B) सही है।

मुख्य बिंदु:

• वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र \( A = \pi r^2 \) है।
• त्रिज्या \( r \) के सापेक्ष अवकलन करने पर \( 2\pi r \) प्राप्त होता है।
• \( r = 6 \) रखने पर \( 12\pi \) प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• परिधि का सूत्र उपयोग कर लेना।
• \( 2 \) से गुणा करना भूल जाना।
• गलत विकल्प चुनना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में भी पहले रफ कार्य में पूरा हल करें।
b) सही विकल्प अक्षर के साथ लिखें।
c) गणना की जाँच अवश्य करें।

Question 18: एक उत्पाद की \( x \) इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय (रूपयों में) \( R(x) = 3x^2 + 36x + 5 \) से प्रदत्त है। जब \( x = 15 \) है तो सीमांत आय है:
(A) \( 116 \)
(B) \( 96 \)
(C) \( 90 \)
(D) \( 126 \)

Answer:

कुल कुल आय \( R(x) = 3x^2 + 36x + 5 \), इसलिए सीमांत आय:
\( \frac{dR}{dx} = 6x + 36 \)
जब \( x = 15 \) है, तो:
\( \frac{dR}{dx} = 6(15) + 36 = 90 + 36 = 126 \)
अतः, विकल्प (D) सही है।

मुख्य बिंदु:

• सीमांत आय \( \frac{dR}{dx} \) होती है।
• \( R(x) = 3x^2 + 36x + 5 \) का अवकलन \( 6x + 36 \) होता है।
• \( x = 15 \) प्रतिस्थापित करने पर \( 126 \) मान प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• फलन का अवकलन न करके सीधे मान रख देना।
• \( 6 \times 15 \) का गुणा गलत करना।
• गलत विकल्प का चयन करना।

Exam Tips:

a) सीमांत मान हमेशा अवकलन करके ही निकाले जाते हैं।
b) गुणा और जोड़ की गणना ध्यान से करें।
c) सही विकल्प (D) को स्पष्ट रूप से चिह्नित करें।