NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 05 Continuity and Differentiability (सांतत्य तथा अवकलनीयता) Miscellaneous Exercise in Hindi

Question 1: \((3x^2 - 9x + 5)^9\)

Answer:

माना \( y = (3x^2 - 9x + 5)^9 \)
चूंकि फलन एक संयुक्त फलन है, इसलिए श्रृंखला नियम (Chain Rule) का उपयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( (3x^2 - 9x + 5)^9 \right) \)
\( \frac{dy}{dx} = 9(3x^2 - 9x + 5)^8 \cdot \frac{d}{dx}(3x^2 - 9x + 5) \)
\( \frac{dy}{dx} = 9(3x^2 - 9x + 5)^8 \cdot (6x - 9) \)
\( \frac{dy}{dx} = 27(3x^2 - 9x + 5)^8 \cdot (2x - 3) \)

मुख्य बिंदु:

• श्रृंखला नियम का अनुप्रयोग किया गया है।
• घात नियम का उपयोग करके पहले घात का अवकलन किया गया।
• अंत में बीजगणितीय फलन का अवकलन किया गया।

आम गलतियाँ:

• आंतरिक फलन का अवकलन करना भूल जाना।
• गुणा करते समय सामान्य गुणनखंड को बाहर न निकालना।
• घात कम करते समय गणना में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) हमेशा श्रृंखला नियम को चरण-दर-चरण लिखें।
b) सामान्य गुणनखंड लेने से उत्तर सरल हो जाता है।
c) अंतिम परिणाम को पूरी तरह से सरल रूप में प्रस्तुत करें।

Question 2: \(\sin^3 x + \cos^6 x\)

Answer:

माना \( y = \sin^3 x + \cos^6 x \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin^3 x) + \frac{d}{dx}(\cos^6 x) \)
\( \frac{dy}{dx} = 3\sin^2 x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) + 6\cos^5 x \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) \)
\( \frac{dy}{dx} = 3\sin^2 x \cdot \cos x + 6\cos^5 x \cdot (-\sin x) \)
\( \frac{dy}{dx} = 3\sin^2 x \cos x - 6\cos^5 x \sin x \)
\( \frac{dy}{dx} = 3\sin x \cos x (\sin x - 2\cos^4 x) \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलन के सूत्रों का प्रयोग।
• योग नियम (Sum Rule) का उपयोग।
• उभयनिष्ठ (Common) पद लेकर सरल करना।

आम गलतियाँ:

• \( \cos x \) के अवकलन में ऋणात्मक चिह्न (- साइन) छोड़ देना।
• घातों का सही से अवकलन न करना।
• उभयनिष्ठ लेने में गलती करना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं और सूत्रों को याद रखें।
b) ऋणात्मक चिह्नों पर विशेष ध्यान दें।
c) उत्तर को सरलतम रूप में ही छोड़ें।

Question 3: \((5x)^{3\cos 2x}\)

Answer:

माना \( y = (5x)^{3\cos 2x} \)
चूंकि फलन की घात में भी चर है, दोनों ओर लघुगणक (Logarithm) लेने पर:
\( \log y = \log \left( (5x)^{3\cos 2x} \right) \)
\( \log y = 3\cos 2x \cdot \log(5x) \)
अब दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3\cos 2x \cdot \frac{d}{dx}(\log 5x) + \log 5x \cdot \frac{d}{dx}(3\cos 2x) \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3\cos 2x \cdot \frac{1}{5x} \cdot 5 + \log 5x \cdot (-3\sin 2x \cdot 2) \)
\( \frac{dy}{dx} = y \left[ 3\cos 2x \cdot \frac{1}{x} - 6\sin 2x \log 5x \right] \)
\( \frac{dy}{dx} = (5x)^{3\cos 2x} \left[ \frac{3\cos 2x}{x} - 6\sin 2x \log 5x \right] \)

मुख्य बिंदु:

• लघुगणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation) का प्रयोग।
• गुणन नियम (Product Rule) का उपयोग।
• श्रृंखला नियम का सही अनुप्रयोग।

आम गलतियाँ:

• \(\log(5x)\) के अवकलन में \( 5x \) का दोबारा अवकलन करना भूल जाना।
• \( y \) का मान अंत में प्रतिस्थापित न करना।
• लघुगणਕ के गुणों का गलत प्रयोग।

Exam Tips:

a) जब फलन की घात चर हो, तो हमेशा लघुगणक विधि का प्रयोग करें।
b) गुणन नियम लगाते समय कोष्ठकों का ध्यान रखें।
c) अंत में \( y \) का मान अवश्य रखें।

Question 4: \(\sin^{-1}(x\sqrt{x}), 0 \le x \le 1\)

Answer:

माना \( y = \sin^{-1}(x\sqrt{x}) \)
\( y = \sin^{-1}(x^{3/2}) \)
अब \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (x^{3/2})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(x^{3/2}) \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^3}} \cdot \frac{3}{2} x^{3/2 - 1} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^3}} \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{1 - x^3}} \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलन का सूत्र।
• घातांक के नियमों का प्रयोग करके व्यंजक को सरल करना।
• श्रृंखला नियम का अनुप्रयोग।

आम गलतियाँ:

• \( x\sqrt{x} \) को \( x^{3/2} \) में बदलने में त्रुटि करना।
• प्रतिलोम सूत्र में वर्गमूल के अंदर गलत पद लिखना।
• घात के अवकलन में गलती करना।

Exam Tips:

a) फलन को मानक रूप में बदलकर ही अवकलन करें।
b) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सूत्रों को कंठस्थ रखें।
c) गणना को साफ-सुथरा लिखें।

Question 5: \(\frac{\cos^{-1}\frac{x}{2}}{\sqrt{2x + 7}}, -2 < x < 2\)

Answer:

माना \( y = \frac{\cos^{-1}\frac{x}{2}}{\sqrt{2x + 7}} \)
भाग नियम (Quotient Rule) का उपयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{2x + 7} \cdot \frac{d}{dx}(\cos^{-1}\frac{x}{2}) - \cos^{-1}\frac{x}{2} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{2x + 7})}{(\sqrt{2x + 7})^2} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{2x + 7} \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - (x/2)^2}} \cdot \frac{1}{2} \right) - \cos^{-1}\frac{x}{2} \cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{2x + 7}} \cdot 2 \right)}{2x + 7} \)
सरल करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-\frac{\sqrt{2x + 7}}{2 \sqrt{1 - x^2/4}} - \frac{\cos^{-1}(x/2)}{\sqrt{2x + 7}}}{2x + 7} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-\frac{2x + 7}{2\sqrt{4 - x^2}} - \frac{\cos^{-1}(x/2)}{\sqrt{2x + 7}}}{2x + 7} \)
\( \frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{4 - x^2}\cos^{-1}(x/2) + 2x + 7}{(2x + 7)\sqrt{2x + 7}\sqrt{4 - x^2}} \)

मुख्य बिंदु:

• भाग नियम (Quotient Rule) का विस्तृत अनुप्रयोग।
• श्रृंखला नियम का सही उपयोग।
• लघुतम समापवर्त्य (LCM) लेकर सरलीकरण।

आम गलतियाँ:

• भाग नियम के अंश में ऋणात्मक चिह्न की गलती करना।
• वर्गमूल के अवकलन में \( 2 \) से भाग देना भूल जाना।
• भिन्नों के सरलीकरण में त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) भाग नियम का सूत्र \( \frac{u'v - uv'}{v^2} \) सावधानी से लागू करें।
b) बड़े व्यंजकों को चरणों में हल करें।
c) अंतिम उत्तर में भिन्नों का संयोजन ठीक से करें।

Question 6: \(\cot^{-1}\left( \frac{\sqrt{1+\sin x} + \sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1-\sin x}} \right), 0 < x < \frac{\pi}{2}\)

Answer:

माना \( y = \cot^{-1}\left( \frac{\sqrt{1+\sin x} + \sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1-\sin x}} \right) \)
हम जानते हैं कि \( 1 + \sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2 \) और \( 1 - \sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2 \)
इसलिए व्यंजक बनता है:
\( y = \cot^{-1}\left( \frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) + (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) - (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})} \right) \)
\( y = \cot^{-1}\left( \frac{2\cos \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}} \right) \)
\( y = \cot^{-1}\left( \cot \frac{x}{2} \right) \)
\( y = \frac{x}{2} \)
अब \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके व्यंजक को सरल करना।
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय गुणों का प्रयोग।
• अवकलन करने से पहले फलन को सरलतम रूप में लाना।

आम गलतियाँ:

• सीधे अवकलन करने बैठ जाना, जिससे प्रश्न अत्यधिक कठिन हो जाता है।
• अर्ध-कोण (Half-angle) सूत्रों में चिह्न की गलती करना।
• प्रतिलोम फलन के गुणधर्म को गलत तरीके से लागू करना।

Exam Tips:

a) प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के प्रश्नों में पहले त्रिकोणमितीय सरलीकरण करें।
b) \( 1 \pm \sin x \) के पूर्ण वर्ग रूपों को याद रखें।
c) सरल करने के बाद अवकलन बहुत आसान हो जाता है।

Question 7: \((\log x)^{\log x}, x > 1\)

Answer:

माना \( y = (\log x)^{\log x} \)
दोनों ओर लघुगणक (Logarithm) लेने पर:
\( \log y = \log \left( (\log x)^{\log x} \right) \)
\( \log y = \log x \cdot \log(\log x) \)
अब दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log x \cdot \frac{d}{dx}(\log(\log x)) + \log(\log x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x) \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} + \log(\log x) \cdot \frac{1}{x} \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{\log(\log x)}{x} \)
\( \frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{1 + \log(\log x)}{x} \right] \)
\( \frac{dy}{dx} = (\log x)^{\log x} \left[ \frac{1 + \log(\log x)}{x} \right] \)

मुख्य बिंदु:

• लघुगणकीय अवकलन विधि का प्रयोग।
• गुणन नियम (Product Rule) का उपयोग।
• संयुक्त लघुगणक का श्रृंखला नियम।

आम गलतियाँ:

• \( \log(\log x) \) के अवकलन में \( \frac{1}{x} \) लिखना भूल जाना।
• लघुगणक की घात को आगे लाने के नियम में त्रुटि।
• अंतिम उत्तर में \( y \) का मान प्रतिस्थापित न करना।

Exam Tips:

a) चर की घात चर होने पर लघुगणक लेना अनिवार्य है।
b) प्रत्येक चरण में ब्रैकेट का सही उपयोग करें।
c) लघुगणक के गुणों का अभ्यास करें।

Question 8: \(\cos(a\cos x + b\sin x)\), किन्हीं अचर \( a \) तथा \( b \) के लिए

Answer:

माना \( y = \cos(a\cos x + b\sin x) \)
श्रृंखला नियम (Chain Rule) का उपयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = -\sin(a\cos x + b\sin x) \cdot \frac{d}{dx}(a\cos x + b\sin x) \)
\( \frac{dy}{dx} = -\sin(a\cos x + b\sin x) \cdot (-a\sin x + b\cos x) \)
\( \frac{dy}{dx} = \sin(a\cos x + b\sin x) \cdot (a\sin x - b\cos x) \)

मुख्य बिंदु:

• कोसाइन फलन का अवकलन ऋणात्मक साइन होता है।
• श्रृंखला नियम के अंतर्गत आंतरिक फलन का अवकलन।
• अचर पदों (\( a \) और \( b \)) का अपने स्थान पर रहना।

आम गलतियाँ:

• \( \cos \) का अवकलन करते समय ऋणात्मक चिह्न छोड़ देना।
• \( \cos x \) के अवकलन में से माइनस चिह्न हटाना भूल जाना।
• कोष्ठकों के चिह्नों में गड़बड़ी करना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलन के चिह्न स्पष्ट रूप से याद रखें।
b) श्रृंखला नियम लगाते समय पूरी सावधानी बरतें।
c) ऋण चिह्नों को गुणा करते समय सतर्क रहें।

Question 9: \((\sin x - \cos x)^{(\sin x - \cos x)}, \frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}\)

Answer:

माना \( y = (\sin x - \cos x)^{(\sin x - \cos x)} \)
दोनों ओर लघुगणक (Logarithm) लेने पर:
\( \log y = (\sin x - \cos x) \log(\sin x - \cos x) \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (\sin x - \cos x) \cdot \frac{d}{dx}(\log(\sin x - \cos x)) + \log(\sin x - \cos x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin x - \cos x) \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (\sin x - \cos x) \cdot \frac{1}{\sin x - \cos x} \cdot (\cos x + \sin x) + \log(\sin x - \cos x) \cdot (\cos x + \sin x) \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (\cos x + \sin x) + \log(\sin x - \cos x) \cdot (\cos x + \sin x) \)
\( \frac{dy}{dx} = y (\cos x + \sin x) \left[ 1 + \log(\sin x - \cos x) \right] \)
\( \frac{dy}{dx} = (\sin x - \cos x)^{(\sin x - \cos x)} (\sin x + \cos x) \left[ 1 + \log(\sin x - \cos x) \right] \)

मुख्य बिंदु:

• लघुगणकीय अवकलन का प्रयोग।
• \( \sin x - \cos x \) का अवकलन \( \cos x + \sin x \) होना।
• उभयनिष्ठ पद बाहर निकालना।

आम गलतियाँ:

• \( -\cos x \) के अवकलन में चिह्न की गलती करना।
• लघुगणक के हर और अंश के कटने पर ध्यान न देना।
• अंतिम गुणनखंड को ठीक से न लिखना।

Exam Tips:

a) जटिल फलनों के लिए लघुगणक विधि सबसे उपयुक्त है।
b) सामान्य पदों को बाहर निकालकर उत्तर को संक्षिप्त करें।
c) त्रिकोणमितीय पदों के अवकलन के चिह्न जांच लें।

Question 10: \(x^x + x^a + a^x + a^a\), किसी नियत \( a > 0 \) तथा \( x > 0 \) के लिए

Answer:

माना \( y = x^x + x^a + a^x + a^a \)
इसे इस प्रकार मान सकते हैं: \( y = u + v + w + z \)
जहाँ \( u = x^x, v = x^a, w = a^x, z = a^a \)
अतः \( \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} + \frac{dw}{dx} + \frac{dz}{dx} \quad \text{--- (1)} \)
अब अलग-अलग अवकलन करने पर:
1) \( u = x^x \Rightarrow \log u = x \log x \)
\( \frac{1}{u}\frac{du}{dx} = x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1 = 1 + \log x \)
\( \frac{du}{dx} = x^x(1 + \log x) \)
2) \( v = x^a \Rightarrow \frac{dv}{dx} = a x^{a-1} \)
3) \( w = a^x \Rightarrow \frac{dw}{dx} = a^x \log a \)
4) \( z = a^a \Rightarrow \frac{dz}{dx} = 0 \) (चूंकि \( a^a \) एक अचर है)
सभी मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \frac{dy}{dx} = x^x(1 + \log x) + ax^{a-1} + a^x \log a \)

मुख्य बिंदु:

• फलनों के योग के अवकलन का नियम।
• \( x^x \) के लिए लघुगणकीय अवकलन का प्रयोग।
• चर की घात अचर (\( x^a \)) और अचर की घात चर (\( a^x \)) के मानक सूत्रों का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• \( a^a \) का अवकलन शून्य न मानकर कुछ और लिख देना।
• \( x^a \) और \( a^x \) के सूत्रों को आपस में मिला देना।
• सीधे लघुगणक पूरे व्यंजक पर ले लेना (जो कि गलत है क्योंकि बीच में प्लस है)।

Exam Tips:

a) जब बीच में प्लस हो, तो पदों को अलग-अलग मानकर हल करें।
b) मानक सूत्रों को अच्छी तरह याद रखें।
c) अचर राशि का अवकलन हमेशा शून्य होता है।

Question 11: \(x^{x^2 - 3} + (x - 3)^{x^2}, x > 3\) के लिए

Answer:

माना \( y = x^{x^2 - 3} + (x - 3)^{x^2} \)
माना \( u = x^{x^2 - 3} \) तथा \( v = (x - 3)^{x^2} \), इसलिए \( y = u + v \)
अतः \( \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} \quad \text{--- (1)} \)
अब \( u = x^{x^2 - 3} \) के लिए दोनों ओर लघुगणक लेने पर:
\( \log u = (x^2 - 3) \log x \)
\( \frac{1}{u} \frac{du}{dx} = (x^2 - 3) \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot (2x) \)
\( \frac{du}{dx} = x^{x^2 - 3} \left[ \frac{x^2 - 3}{x} + 2x \log x \right] \quad \text{--- (2)} \)
अब \( v = (x - 3)^{x^2} \) के लिए दोनों ओर लघुगणक लेने पर:
\( \log v = x^2 \log(x - 3) \)
\( \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = x^2 \cdot \frac{1}{x - 3} + \log(x - 3) \cdot (2x) \)
\( \frac{dv}{dx} = (x - 3)^{x^2} \left[ \frac{x^2}{x - 3} + 2x \log(x - 3) \right] \quad \text{--- (3)} \)
समीकरण (2) और (3) के मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \frac{dy}{dx} = x^{x^2 - 3} \left[ \frac{x^2 - 3}{x} + 2x \log x \right] + (x - 3)^{x^2} \left[ \frac{x^2}{x - 3} + 2x \log(x - 3) \right] \)

मुख्य बिंदु:

• फलनों को अलग-अलग मानकर लघुगणकीय अवकलन करना।
• गुणन नियम और श्रृंखला नियम का सही संयोजन।
• अंत में दोनों अवकलनों का योग करना।

आम गलतियाँ:

• एक साथ पूरे फलन पर \( \log \) लेना (जो गलत है)।
• \( u \) और \( v \) के अवकलन में गणना की भूल करना।
• अंतिम समीकरण में मान रखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) जब दो चर-घात वाले पद जुड़े हों, उन्हें अलग से \( u \) और \( v \) मानें।
b) प्रत्येक भाग को स्वतंत्र रूप से हल करें।
c) अंत में समीकरण (1) में मान रखकर स्पष्ट उत्तर दें।

Question 12: यदि \( y = 12(1 - \cos t), x = 10(t - \sin t), -\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2} \) तो \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया है: \( x = 10(t - \sin t) \) और \( y = 12(1 - \cos t) \)
\( t \) के सापेक्ष दोनों का अवकलन करने पर:
\( \frac{dx}{dt} = 10 \cdot \frac{d}{dt}(t - \sin t) = 10(1 - \cos t) \)
\( \frac{dy}{dt} = 12 \cdot \frac{d}{dt}(1 - \cos t) = 12(0 - (-\sin t)) = 12\sin t \)
अब प्राचलिक (Parametric) रूप से \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने के लिए:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{12\sin t}{10(1 - \cos t)} \)
त्रिकोणमितीय सूत्र \( \sin t = 2\sin \frac{t}{2}\cos \frac{t}{2} \) और \( 1 - \cos t = 2\sin^2 \frac{t}{2} \) का प्रयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{12 \cdot 2\sin \frac{t}{2}\cos \frac{t}{2}}{10 \cdot 2\sin^2 \frac{t}{2}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{12}{10} \cdot \frac{\cos \frac{t}{2}}{\sin \frac{t}{2}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{6}{5} \cot \frac{t}{2} \)

मुख्य बिंदु:

• प्राचलिक फलनों (Parametric Functions) का अवकलन।
• \( \frac{dy}{dt} \) और \( \frac{dx}{dt} \) को अलग-अलग ज्ञात करना।
• अर्ध-कोण सूत्रों द्वारा व्यंजक को सरल करना।

आम गलतियाँ:

• अंश और हर को उल्टा रख देना (अर्थात \( \frac{dx}{dt} \) को ऊपर लिख देना)।
• \( 1 - \cos t \) का सूत्र गलत लिखना।
• सरलतम रूप में उत्तर न छोड़ना।

Exam Tips:

a) प्राचलिक अवकलन में हमेशा \( \frac{dy}{dt} \) को \( \frac{dx}{dt} \) से भाग दें।
b) त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके उत्तर को जितना संभव हो छोटा करें।
c) गणना की सटीकता जांचें।

Question 13: यदि \( y = \sin^{-1} x + \sin^{-1}\sqrt{1 - x^2}, 0 < x < 1 \) है तो \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना \( y = \sin^{-1} x + \sin^{-1}\sqrt{1 - x^2} \)
\( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) + \frac{d}{dx}(\sin^{-1}\sqrt{1 - x^2}) \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{1 - x^2})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{1 - x^2}) \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^2)}} \cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x) \right) \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{\sqrt{x^2}} \cdot \left( \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} \right) \)
चूंकि \( 0 < x < 1 \), अतः \( \sqrt{x^2} = x \):
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{x} \cdot \left( \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} \right) \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• श्रृंखला नियम का अनुप्रयोग।
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मानक अवकलन सूत्र।
• वैकल्पिक विधि: \( \sin^{-1}\sqrt{1 - x^2} = \cos^{-1} x \) का उपयोग करके सीधे \( \sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} \) लिखना, जिससे अवकलन शून्य हो जाता है।

आम गलतियाँ:

• श्रृंखला नियम में आंतरिक फलन का अवकलन छोड़ देना।
• \( \sqrt{x^2} \) को \( x \) लिखते समय दी गई शर्त \( x > 0 \) का ध्यान न रखना।
• सीधे त्रिकोणमितीय सर्वसमिका न पहचान पाना।

Exam Tips:

a) यदि संभव हो, तो अवकलन करने से पहले सर्वसमिका (\( \sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} \)) का प्रयोग करें।
b) यह विधि प्रश्न को बहुत सरल बना देती है।
c) यदि सीधे हल करें, तो श्रृंखला नियम पूरी तरह से लिखें।

Question 14: यदि \(-1 < x < 1\) के लिए, \(x\sqrt{1 + y} + y\sqrt{1 + x} = 0\) है तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1 + x)^2}\)

Answer:

दिया गया है: \( x\sqrt{1 + y} + y\sqrt{1 + x} = 0 \)
इसे लिख सकते हैं: \( x\sqrt{1 + y} = -y\sqrt{1 + x} \)
दोनों ओर वर्ग करने पर:
\( x^2(1 + y) = y^2(1 + x) \)
\( x^2 + x^2y = y^2 + y^2x \)
पदों को एक तरफ लाने पर:
\( x^2 - y^2 + x^2y - y^2x = 0 \)
\( (x - y)(x + y) + xy(x - y) = 0 \)
\( (x - y)(x + y + xy) = 0 \)
चूंकि \( x \neq y \), इसलिए \( x + y + xy = 0 \)
\( y(1 + x) = -x \Rightarrow y = \frac{-x}{1 + x} \)
अब \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर (भाग नियम से):
\( \frac{dy}{dx} = -\frac{(1 + x)\cdot 1 - x\cdot 1}{(1 + x)^2} \)
\( \frac{dy}{dx} = -\frac{1 + x - x}{(1 + x)^2} = -\frac{1}{(1 + x)^2} \)

मुख्य बिंदु:

• बीजगणितीय सरलीकरण और गुणनखंड विधि।
• फलन को \( y = f(x) \) के रूप में स्पष्ट करना।
• भाग नियम का प्रयोग करके अवकलन करना।

आम गलतियाँ:

• वर्ग करते समय चिह्न की गलती करना।
• गुणनखंड बनाते समय उभयनिष्ठ सही से न लेना।
• सीधे अस्पष्ट फलन का अवकलन करने से गणना जटिल हो जाना।

Exam Tips:

a) यदि संभव हो तो पहले फलन को सरल करके \( y \) का मान \( x \) के पदों में निकालें।
b) गुणनखंड विधि से प्रश्नों को बहुत आसान बनाया जा सकता है।
c) अवकलन करने से पहले फलन का सरल रूप प्राप्त करना उत्तम है।

Question 15: यदि किसी \( c > 0 \) के लिए \((x - a)^2 + (y - b)^2 = c^2\) है तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{\left[ 1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \right]^{3/2}}{\frac{d^2y}{dx^2}}\), \( a \) और \( b \) से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।

Answer:

दिया गया है: \((x - a)^2 + (y - b)^2 = c^2 \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( 2(x - a) + 2(y - b)\frac{dy}{dx} = 0 \)
\( (x - a) + (y - b)\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x - a}{y - b} \)
पुनः \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर (भाग नियम से):
\( \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(y - b)\cdot 1 - (x - a)\cdot \frac{dy}{dx}}{(y - b)^2} \)
\( \frac{dy}{dx} \) का मान रखने पर:
\( \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(y - b) - (x - a)\left(-\frac{x - a}{y - b}\right)}{(y - b)^2} \)
\( \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(y - b) + \frac{(x - a)^2}{y - b}}{(y - b)^2} = -\frac{(y - b)^2 + (x - a)^2}{(y - b)^3} \)
चूंकि \((x - a)^2 + (y - b)^2 = c^2\), अतः:
\( \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{c^2}{(y - b)^3} \)
अब दिए गए व्यंजक में मान रखने पर: \( \frac{\left[ 1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \right]^{3/2}}{\frac{d^2y}{dx^2}} \)
\( 1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1 + \left(-\frac{x - a}{y - b}\right)^2 = 1 + \frac{(x - a)^2}{(y - b)^2} = \frac{(y - b)^2 + (x - a)^2}{(y - b)^2} = \frac{c^2}{(y - b)^2} \)
अतः व्यंजक का मान:
\( \frac{\left(\frac{c^2}{(y - b)^2}\right)^{3/2}}{-\frac{c^2}{(y - b)^3}} = \frac{\frac{c^3}{(y - b)^3}}{-\frac{c^2}{(y - b)^3}} = -c \)

मुख्य बिंदु:

• द्वितीय कोटि के अवकलज (Second Order Derivative) का उपयोग।
• वृत्त के समीकरण का प्रतिस्थापन।
• बीजगणितीय सरलीकरण।

आम गलतियाँ:

• द्वितीय कोटि के अवकलन में भाग नियम लगाते समय चिह्न की भूल।
• \( c^2 \) का मान प्रतिस्थापित न करना।
• घातों के सरलीकरण (\( 3/2 \) घात) में गलती करना।

Exam Tips:

a) चरणबद्ध तरीके से पहले प्रथम अवकलज और फिर द्वितीय अवकलज निकालें।
b) मूल समीकरण से मानों को प्रतिस्थापित करने का अवसर ढूंढें।
c) गणना को साफ-सुथरा रखें ताकि अचर राशि स्पष्ट दिखाई दे।

Question 16: यदि \(\cos y = x\cos(a + y)\), जहाँ \(\cos a \neq \pm 1\), तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{dy}{dx} = \frac{\cos^2(a + y)}{\sin a}\)

Answer:

दिया गया है: \(\cos y = x\cos(a + y) \Rightarrow x = \frac{\cos y}{\cos(a + y)} \)
दोनों पक्षों का \( y \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dx}{dy} = \frac{\cos(a + y) \cdot (-\sin y) - \cos y \cdot (-\sin(a + y))}{\cos^2(a + y)} \)
\( \frac{dx}{dy} = \frac{\sin(a + y)\cos y - \cos(a + y)\sin y}{\cos^2(a + y)} \)
त्रिकोणमितीय सूत्र \(\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\) का उपयोग करने पर (जहाँ \( A = a + y \) और \( B = y \)):
\( \frac{dx}{dy} = \frac{\sin((a + y) - y)}{\cos^2(a + y)} = \frac{\sin a}{\cos^2(a + y)} \)
चूंकि हमें \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात करना है:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{\cos^2(a + y)}{\sin a} \)

मुख्य बिंदु:

• \( x \) को \( y \) के फलन के रूप में लिखकर अवकलन करना (जो इसे आसान बनाता है)।
• त्रिकोणमितीय अंतर सूत्रों का अनुप्रयोग।
• व्युत्क्रम संबंध \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}\) का उपयोग।

आम गलतियाँ:

• \( x \) को अलग किए बिना सीधे \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने से जटिलता बढ़ा लेना।
• त्रिकोणमितीय सूत्र में कोणों को घटाने में गलती करना।
• व्युत्क्रम लेते समय पदों को उलटना भूल जाना।

Exam Tips:

a) यदि \( x \) को \( y \) के रूप में आसानी से लिखा जा सके, तो पहले \( \frac{dx}{dy} \) निकालें।
b) सूत्र पहचानना इस प्रकार के प्रश्नों की कुंजी है।
c) अंतिम चरण में व्युत्क्रम करना न भूलें।

Question 17: यदि \( x = a(\cos t + t\sin t) \) और \( y = a(\sin t - t\cos t) \) तो \(\frac{d^2y}{dx^2}\) ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया है: \( x = a(\cos t + t\sin t) \) और \( y = a(\sin t - t\cos t) \)
\( t \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dx}{dt} = a \left( -\sin t + (t\cos t + \sin t \cdot 1) \right) = a(t\cos t) \)
\( \frac{dy}{dt} = a \left( \cos t - (-t\sin t + \cos t \cdot 1) \right) = a(t\sin t) \)
अब प्राचलिक अवकलज \(\frac{dy}{dx}\):
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{a t \sin t}{a t \cos t} = \tan t \)
अब द्वितीय कोटि का अवकलज \(\frac{d^2y}{dx^2}\) ज्ञात करने के लिए \( t \) के सापेक्ष अवकलन करके \(\frac{dt}{dx}\) से गुणा करते हैं:
\( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\tan t) = \sec^2 t \cdot \frac{dt}{dx} \)
चूंकि \(\frac{dx}{dt} = at\cos t\), इसलिए \(\frac{dt}{dx} = \frac{1}{at\cos t}\):
\( \frac{d^2y}{dx^2} = \sec^2 t \cdot \frac{1}{at\cos t} = \frac{\sec^3 t}{at} \)

मुख्य बिंदु:

• प्राचलिक फलनों का प्रथम और द्वितीय अवकलज।
• गुणन नियम का सही उपयोग।
• श्रृंखला नियम के अंतर्गत \(\frac{dt}{dx}\) का गुणा करना।

आम गलतियाँ:

• \(\frac{d^2y}{dx^2}\) को सीधे \(\frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}\) लिख देना (जो कि बहुत बड़ी गलती है)।
• \(\frac{dt}{dx}\) से गुणा करना भूल जाना।
• गुणन नियम में चिह्न की त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) प्राचलिक फलनों के द्वितीय अवकलज में हमेशा याद रखें कि \( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx} \) होता है।
b) त्रिकोणमितीय पदों को सरल रूप में बदलें।
c) गणना को ध्यानपूर्वक हल करें।

Question 18: यदि \( f(x) = |x|^3 \), तो प्रमाणित कीजिए कि \( f''(x) \) का अस्तित्व है और इसे ज्ञात भी कीजिए।

Answer:

फलन दिया गया है: \( f(x) = |x|^3 \)
मापांक फलन की परिभाषा के अनुसार इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( f(x) = \begin{cases} x^3, & \text{यदि } x \ge 0 \\ -x^3, & \text{यदि } x < 0 \end{cases} \)
प्रथम अवकलज \( f'(x) \) ज्ञात करने पर:
यदि \( x > 0 \), तो \( f'(x) = 3x^2 \)
यदि \( x < 0 \), तो \( f'(x) = -3x^2 \)
\( x = 0 \) पर प्रथम अवकलज की जाँच (बायां और दायां अवकलज):
दायां अवकलज (\( RHD \)) = \(\lim_{h \to 0^+} \frac{0+h|^3 - 0}{h} = 0\)
बायां अवकलज (\( LHD \)) = \(\lim_{h \to 0^-} \frac{|0+h|^3 - 0}{h} = 0\)
अतः \( f'(0) = 0 \)
इसलिए, \( f'(x) = \begin{cases} 3x^2, & \text{यदि } x \ge 0 \\ -3x^2, & \text{यदि } x < 0 \end{cases} \)
अब द्वितीय अवकलज \( f''(x) \) ज्ञात करने के लिए पुनः अवकलन करने पर:
यदि \( x > 0 \), तो \( f''(x) = 6x \)
यदि \( x < 0 \), तो \( f''(x) = -6x \)
\( x = 0 \) पर द्वितीय अवकलज की सीमा देखने पर दोनों तरफ से \( 0 \) आता है।
अतः \( f''(x) = \begin{cases} 6x, & \text{यदि } x \ge 0 \\ -6x, & \text{यदि } x < 0 \end{cases} = 6|x| \)

मुख्य बिंदु:

• मापांक फलन (Modulus Function) की परिभाषा का प्रयोग।
• फलन के टुकड़ों में अवकलन करना।
• सांतत्य और अवकलनीयता की जाँच।

आम गलतियाँ:

• मापांक को बिना तोड़े सीधे अवकलन करना।
• \( x = 0 \) पर अवकलनीयता की जाँच न करना।
• अंत में इसे \( 6|x| \) के रूप में न लिखना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में पहले मापांक फलन को परिभाषित करें।
b) प्रत्येक अंतराल के लिए अलग अवकलन निकालें।
c) अंत में संयुक्त रूप में उत्तर प्रस्तुत करें।

Question 19: गणितीय आगमन के सिद्धांत के प्रयोग द्वारा, सिद्ध कीजिए कि सभी धन पूर्णांक \( n \) के लिए \(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}\) है।

Answer:

माना कथन \( P(n) \) है: \(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
चरण 1: \( n = 1 \) के लिए सत्यता की जाँच
LHS = \(\frac{d}{dx}(x^1) = 1\)
RHS = \( 1x^{1-1} = 1x^0 = 1 \)
अतः LHS = RHS, इसलिए \( P(1) \) सत्य है।
चरण 2: मान लीजिए कि \( n = k \) के लिए कथन सत्य है
अर्थात \( P(k): \frac{d}{dx}(x^k) = kx^{k-1} \) सत्य है।
चरण 3: सिद्ध करना है कि \( n = k + 1 \) के लिए भी कथन सत्य है
अर्थात \( P(k+1): \frac{d}{dx}(x^{k+1}) = (k+1)x^k \)
LHS = \(\frac{d}{dx}(x^{k+1}) = \frac{d}{dx}(x^k \cdot x^1)\)
गुणन नियम का प्रयोग करने पर:
= \( x^k \cdot \frac{d}{dx}(x) + x \cdot \frac{d}{dx}(x^k) \)
= \( x^k \cdot 1 + x \cdot (kx^{k-1}) \)
= \( x^k + kx^k = (1 + k)x^k = (k + 1)x^k \) = RHS
अतः \( P(k+1) \) सत्य है जब \( P(k) \) सत्य है।
इस प्रकार, गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सभी धन पूर्णांकों के लिए कथन सत्य है।

मुख्य बिंदु:

• गणितीय आगमन के सिद्धांत (PMI) के तीनों चरण।
• गुणन नियम का प्रयोग करके घात के नियम को सिद्ध करना।
• तार्किक चरणों का स्पष्ट प्रस्तुतीकरण।

आम गलतियाँ:

• \( n = 1 \) के लिए जाँच न करना।
• \( k+1 \) चरण में गुणन नियम का सही उपयोग न करना।
• निष्कर्ष स्पष्ट रूप से न लिखना।

Exam Tips:

a) आगमन सिद्धांत के तीनों चरणों को अलग-अलग हेडिंग के साथ लिखें।
b) बीजगणितीय सरलीकरण पर ध्यान दें।
c) भाषा स्पष्ट और मानक होनी चाहिए।

Question 20: \(\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\) का प्रयोग करते हुए अवकलन द्वारा cosines के लिए योग सूत्र ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया है: \(\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)
मान लीजिए \( A \) और \( B \) दोनों \( x \) के फलन हैं। दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}[\sin(A + B)] = \frac{d}{dx}(\sin A \cos B) + \frac{d}{dx}(\cos A \sin B) \)
श्रृंखला और गुणन नियम का उपयोग करने पर:
\( \cos(A + B) \cdot \frac{d}{dx}(A + B) = \left( \sin A \cdot \frac{d}{dx}(\cos B) + \cos B \cdot \frac{d}{dx}(\sin A) \right) + \left( \cos A \cdot \frac{d}{dx}(\sin B) + \sin B \cdot \frac{d}{dx}(\cos A) \right) \)
\( \cos(A + B) \left( \frac{dA}{dx} + \frac{dB}{dx} \right) = \sin A (-\sin B \frac{dB}{dx}) + \cos B (\cos A \frac{dA}{dx}) + \cos A (\cos B \frac{dB}{dx}) + \sin B (-\sin A \frac{dA}{dx}) \)
पदों को व्यवस्थित करने पर:
\( \cos(A + B) \left( \frac{dA}{dx} + \frac{dB}{dx} \right) = \left( \cos A \cos B - \sin A \sin B \right) \frac{dA}{dx} + \left( \cos A \cos B - \sin A \sin B \right) \frac{dB}{dx} \)
\( \cos(A + B) \left( \frac{dA}{dx} + \frac{dB}{dx} \right) = (\cos A \cos B - \sin A \sin B) \left( \frac{dA}{dx} + \frac{dB}{dx} \right) \)
दोनों पक्षों से \(\left( \frac{dA}{dx} + \frac{dB}{dx} \right)\) हटाने पर:
\( \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \)

मुख्य बिंदु:

• श्रृंखला और गुणन नियम का व्यापक अनुप्रयोग।
• समान पदों को उभयनिष्ठ निकालना।
• अवकलन विधि से त्रिकोणमितीय सर्वसमिका की व्युत्पत्ति।

आम गलतियाँ:

• अवकलन करते समय कोणों का अवकलन (\(\frac{dA}{dx}\) आदि) छोड़ देना।
• गुणन नियम लगाते समय ऋणात्मक चिह्नों की भूल।
• तुलना करते समय अंतिम चरण में गलती करना।

Exam Tips:

a) यह एक महत्वपूर्ण व्युत्पत्ति प्रश्न है, इसे अभ्यास से तैयार करें।
b) प्रत्येक चरण में नियम स्पष्ट लिखें।
c) उभयनिष्ठ लेने की प्रक्रिया ध्यान से करें।

Question 21: क्या एक ऐसे फलन का अस्तित्व है, जो प्रत्येक बिंदु पर संतत हो किंतु केवल दो बिंदुओं पर अवकलनीय न हो? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।

Answer:

हाँ, ऐसा फलन संभव है।
उदाहरण के लिए: \( f(x) = |x - 1| + |x - 3| \)
यह फलन प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए संतत (Continuous) है क्योंकि दो संतत फलनों का योग भी संतत होता है।
परंतु यह फलन बिंदु \( x = 1 \) तथा \( x = 3 \) पर अवकलनीय (Differentiable) नहीं है, क्योंकि इन बिंदुओं पर फलन के कोने (Corners/Sharp edges) बनते हैं जहाँ बायां अवकलज (\( LHD \)) और दायां अवकलज (\( RHD \)) बराबर नहीं होते हैं।

मुख्य बिंदु:

• मापांक फलनों की सांतत्यता और अवकलनीयता के गुण।
• तीखे मोड़ों (Corners) पर फलन का अवकलनीय न होना।
• उचित उदाहरण देना।

आम गलतियाँ:

• यह मान लेना कि जो फलन संतत है वह हर जगह अवकलनीय भी होगा।
• केवल हाँ या ना लिखकर औचित्य न बताना।

Exam Tips:

a) सैद्धांतिक प्रश्नों में हमेशा सटीक उदाहरण दें।
b) सांतत्य और अवकलनीयता के अंतर को समझें (हर अवकलनीय फलन संतत होता है, परंतु विलोम सदैव सत्य नहीं है)।
c) कारण स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 22: यदि \( y = \begin{vmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{vmatrix} \) तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{dy}{dx} = \begin{vmatrix} f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{vmatrix}\)

Answer:

सारणिक (Determinant) के अवकलन के नियम के अनुसार, पंक्तियों या स्तंभों का अवकलन एक-एक करके किया जाता है।
दिया गया है: \( y = \begin{vmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{vmatrix} \)
\( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \begin{vmatrix} f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \\ \frac{dl}{dx} & \frac{dm}{dx} & \frac{dn}{dx} \\ a & b & c \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \\ l & m & n \\ \frac{da}{dx} & \frac{db}{dx} & \frac{dc}{dx} \end{vmatrix} \)
चूंकि दूसरी पंक्ति (\( l, m, n \)) और तीसरी पंक्ति (\( a, b, c \)) पूर्णतः अचर (Constants) हैं, इसलिए उनके अवकलज शून्य होंगे:
\( \frac{dl}{dx} = 0, \frac{dm}{dx} = 0, \frac{dn}{dx} = 0 \) तथा \( \frac{da}{dx} = 0, \frac{db}{dx} = 0, \frac{dc}{dx} = 0 \)
अतः अंतिम दो सारणिक शून्य हो जाएंगे:
\( \frac{dy}{dx} = \begin{vmatrix} f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \\ 0 & 0 & 0 \\ a & b & c \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \\ l & m & n \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \)
\( \frac{dy}{dx} = \begin{vmatrix} f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{vmatrix} + 0 + 0 \)
\( \frac{dy}{dx} = \begin{vmatrix} f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{vmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• सारणिकों के अवकलन का गुणधर्म।
• अचर राशियों का अवकलन शून्य होना।
• पंक्ति-वार अवकलन का नियम।

आम गलतियाँ:

• सभी पंक्तियों का एक साथ अवकलन करने की भूल करना।
• अचर पंक्तियों के अवकलन को शून्य न मानना।
• सारणिक के गुणों की अनदेखी करना।

Exam Tips:

a) सारणिक के अवकलन का नियम याद रखें: एक समय में केवल एक पंक्ति या स्तंभ का अवकलन होता है।
b) अचर पंक्तियों वाले सारणिक का मान शून्य होता है।
c) चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 23: यदि \( y = e^{a\cos^{-1}x}, -1 \le x \le 1 \), तो दर्शाइए कि \((1 - x^2)\frac{d^2y}{dx^2} - x\frac{dy}{dx} - a^2y = 0\)

Answer:

दिया गया है: \( y = e^{a\cos^{-1}x} \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = e^{a\cos^{-1}x} \cdot \frac{d}{dx}(a\cos^{-1}x) \)
\( \frac{dy}{dx} = e^{a\cos^{-1}x} \cdot \left( -\frac{a}{\sqrt{1 - x^2}} \right) \)
\( \frac{dy}{dx} = -\frac{a y}{\sqrt{1 - x^2}} \)
वज्र गुणन करने पर:
\( \sqrt{1 - x^2}\frac{dy}{dx} = -ay \)
दोनों ओर वर्ग करने पर:
\( (1 - x^2)\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = a^2y^2 \)
पुनः दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( (1 - x^2) \cdot 2\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{d^2y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \cdot (-2x) = a^2 \cdot 2y \frac{dy}{dx} \)
दोनों पक्षों से \( 2\frac{dy}{dx} \) उभयनिष्ठ लेकर काटने पर:
\( (1 - x^2)\frac{d^2y}{dx^2} - x\frac{dy}{dx} = a^2y \)
अतः:
\( (1 - x^2)\frac{d^2y}{dx^2} - x\frac{dy}{dx} - a^2y = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण को सिद्ध करने के मानक चरण।
• वर्ग करके वर्गमूल हटाने की तकनीक (Calculation को आसान बनाने के लिए)।
• श्रृंखला और गुणन नियम का सही प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• वर्गमूल हटाने के लिए दोनों तरफ वर्ग न करना, जिससे गणना बहुत जटिल हो जाती है।
• द्वितीय अवकलन करते समय गुणन नियम भूल जाना।
• उभयनिष्ठ पद काटते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) ऐसे सिद्ध करने वाले प्रश्नों में वर्गमूल को हटाने की तकनीक अपनाएं।
b) यह विधि बड़ी गणनाओं से बचाती है।
c) अंतिम समीकरण को ठीक सिद्ध किए जाने वाले रूप में व्यवस्थित करें।