NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 05 Continuity and Differentiability (सांतत्य तथा अवकलनीयता) Exercise 5.7 in Hindi

Question 1: x^2 + 3x + 2

Answer:

माना \( y = x^2 + 3x + 2 \), इसलिए,
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^2 + 3x + 2) = 2x + 3 \)
\( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (2x + 3) = 2 \)

मुख्य बिंदु:

• फलन के प्रथम अवकलज को पुनः x के सापेक्ष अवकलित करने पर द्वितीय कोटि का अवकलज प्राप्त होता है।
• बहुपदों का अवकलन करने के लिए घात नियम \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \) का प्रयोग किया जाता है।
• अचर पद का अवकलन शून्य होता है।

आम गलतियाँ:

• प्रथम अवकलज निकालने के बाद पुनः अवकलन करना भूल जाना।
• गणितीय चिह्न लगाने में लापरवाही करना।
• अचर पद का अवकलन शून्य न लिखकर संख्या ही लिख देना।

Exam Tips:

a) हमेशा फलन को \( y \) के बराबर मानकर हल शुरू करें।
b) प्रत्येक चरण में प्रयुक्त सूत्र को स्पष्ट रूप से समझें।
c) अंतिम उत्तर में द्वितीय कोटि के अवकलज का संकेत \( \frac{d^2y}{dx^2} \) अवश्य लिखें।

Question 2: x^{20}

Answer:

माना \( y = x^{20} \), इसलिए,
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^{20}) = 20x^{19} \)
\( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (20x^{19}) = 20 \times 19x^{18} = 380x^{18} \)

मुख्य बिंदु:

• उच्च घात वाले फलनों के लिए उत्तरोत्तर अवकलन (Successive Differentiation) किया जाता है।
• घात नियम का प्रयोग बार-बार किया जाता है।
• गुणा करते समय संख्याओं का सही गुणनफल लिखें।

आम गलतियाँ:

• \( 20 \times 19 \) का गुणा करने में कैलकुलेशन की गलती करना।
• घात को एक कम करने के बजाय वही लिख देना।

Exam Tips:

a) बड़ी घातों के प्रश्नों में गुणा की गई संख्याओं की दोबारा जाँच करें।
b) चरणों को क्रमिक रूप से नीचे की ओर लिखें।
c) तीर के निशान (⇒) का सही उपयोग करें।

Question 3: x \cdot \cos x

Answer:

माना \( y = x \cdot \cos x \), इसलिए,
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x \cdot \cos x) = x \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) + \cos x \cdot \frac{d}{dx}(x) \)
\( = x(-\sin x) + \cos x(1) = -x \sin x + \cos x \)
अब द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात करने पर:
\( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (-x \sin x + \cos x) = -\left[ x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) + \sin x \cdot \frac{d}{dx}(x) \right] + \frac{d}{dx}(\cos x) \)
\( = -[x \cos x + \sin x(1)] - \sin x \)
\( = -x \cos x - \sin x - \sin x = -(x \cos x + 2 \sin x) \)

मुख्य बिंदु:

• दो फलनों के गुणनफल के लिए गुणन नियम (Product Rule) का उपयोग किया जाता है।
• \( \frac{d}{dx}(u \cdot v) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} \) ।
• त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज के मानक सूत्रों का प्रयोग होता है।

आम गलतियाँ:

• गुणन नियम लगाते समय बीच में धन (+) चिह्न के स्थान पर ऋण (-) चिह्न लगा देना।
• कोष्ठक खोलते समय ऋण चिन्ह के अंदर के पदों के चिह्न न बदलना।

Exam Tips:

a) गुणन नियम का प्रयोग सावधानी से करें और कोष्ठकों का सही उपयोग करें।
b) त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज के चिह्न (जैसे cos का -sin) याद रखें।
c) अंत में समान पदों को जोड़कर सरलतम रूप लिखें।

Question 4: \log x

Answer:

माना \( y = \log x \), इसलिए,
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\log x) = \frac{1}{x} \)
अब द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात करने पर:
\( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{d}{dx}(x^{-1}) \)
\( = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \)

मुख्य बिंदु:

• लघुगणकीय फलन \( \log x \) का अवकलज \( \frac{1}{x} \) होता है।
• भिन्नात्मक फलन का अवकलन करने के लिए उसे ऋणात्मक घात के रूप में बदला जा सकता है।
• भाग नियम या घात नियम दोनों से इसे हल किया जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{1}{x} \) का अवकलज निकालते समय \( \log x \) लिख देना।
• ऋण चिह्न का ध्यान न रखना।

Exam Tips:

a) \( \frac{1}{x} \) को \( x^{-1} \) मानकर घात नियम लगाना आसान होता है।
b) मानक सूत्रों को हमेशा ध्यान में रखें।
c) चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 5: x^3 \log x

Answer:

माना \( y = x^3 \log x \), इसलिए,
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^3 \log x) = x^3 \cdot \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \cdot \frac{d}{dx}(x^3) \)
\( = x^3 \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 3x^2 = x^2 + 3x^2 \log x \)
अब द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात करने पर:
\( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (x^2 + 3x^2 \log x) = \frac{d}{dx}(x^2) + 3 \frac{d}{dx}(x^2 \log x) \)
\( = 2x + 3 \left[ x^2 \cdot \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \cdot \frac{d}{dx}(x^2) \right] \)
\( = 2x + 3 \left[ x^2 \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 2x \right] \)
\( = 2x + 3(x + 2x \log x) = 2x + 3x + 6x \log x = 5x + 6x \log x = x(5 + 6 \log x) \)

मुख्य बिंदु:

• इसमें गुणन नियम का दो बार प्रयोग करना पड़ता है।
• बीजगणितीय और लघुगणकीय फलनों का संयोजन है।
• अंत में समान पदों को जोड़कर कॉमन (Common) लेना।

आम गलतियाँ:

• बाहर दी गई संख्या (जैसे 3) से अंदर के सभी पदों को गुणा करना भूल जाना।
• लघुगणक और बहुपद के अवकलन में भ्रमित होना।

Exam Tips:

बड़े व्यंजकों का अवकलन करते समय कोष्ठकों का सही प्रयोग करें।
b) अंतिम उत्तर को जितना संभव हो सके सरल (Factorised) रूप में लिखें।
c) गणना की प्रत्येक पंक्ति की सावधानी से जाँच करें।

Question 6: e^x \sin 5x

Answer:

माना \( y = e^x \sin 5x \), इसलिए,
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (e^x \sin 5x) = e^x \cdot \frac{d}{dx}(\sin 5x) + \sin 5x \cdot \frac{d}{dx}(e^x) \)
\( = e^x \cdot \cos 5x \cdot 5 + \sin 5x \cdot e^x = 5e^x \cos 5x + e^x \sin 5x \)
अब द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात करने पर:
\( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (5e^x \cos 5x + e^x \sin 5x) \)
\( = 5 \left[ e^x \cdot \frac{d}{dx}(\cos 5x) + \cos 5x \cdot \frac{d}{dx}(e^x) \right] + \left[ e^x \cdot \frac{d}{dx}(\sin 5x) + \sin 5x \cdot \frac{d}{dx}(e^x) \right] \)
\( = 5 [e^x(-\sin 5x \cdot 5) + \cos 5x \cdot e^x] + [e^x(\cos 5x \cdot 5) + \sin 5x \cdot e^x] \)
\( = 5e^x(-5 \sin 5x) + 5e^x \cos 5x + 5e^x \cos 5x + e^x \sin 5x \)
\( = -25e^x \sin 5x + 5e^x \cos 5x + 5e^x \cos 5x + e^x \sin 5x \)
\( = e^x(-25 \sin 5x + \sin 5x + 5 \cos 5x + 5 \cos 5x) = e^x(-24 \sin 5x + 10 \cos 5x) \)

मुख्य बिंदु:

• चरघातांकी (Exponential) और त्रिकोणमितीय फलनों का गुणनफल।
• श्रृंखला नियम (Chain Rule) का प्रयोग \( \sin 5x \) और \( \cos 5x \) के अवकलन में करना।
• समान पदों (Like terms) को आपस में जोड़ना या घटाना।

आम गलतियाँ:

• श्रृंखला नियम के तहत \( 5x \) का अवकलन 5 गुणा करना भूल जाना।
• बीजगणितीय सरल करने में चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) श्रृंखला नियम का ध्यान रखें, विशेषकर कोण के गुणांक का।
b) चरणों को विस्तार से लिखें ताकि गलती की गुنجाइश न रहे।
c) अंत में समान पदों को जोड़कर संक्षिप्त रूप लिखें।

Question 7: e^{6x} \cos 3x

Answer:

माना \( y = e^{6x} \cos 3x \), इसलिए,
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (e^{6x} \cos 3x) = e^{6x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos 3x) + \cos 3x \cdot \frac{d}{dx}(e^{6x}) \)
\( = e^{6x}(-\sin 3x \cdot 3) + \cos 3x \cdot e^{6x} \cdot 6 = -3e^{6x} \sin 3x + 6e^{6x} \cos 3x \)
अब द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात करने पर:
\( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (-3e^{6x} \sin 3x + 6e^{6x} \cos 3x) \)
\( = -3 \left[ e^{6x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin 3x) + \sin 3x \cdot \frac{d}{dx}(e^{6x}) \right] + 6 \left[ e^{6x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos 3x) + \cos 3x \cdot \frac{d}{dx}(e^{6x}) \right] \)
\( = -3 [e^{6x}(\cos 3x \cdot 3) + \sin 3x(e^{6x} \cdot 6)] + 6 [e^{6x}(-\sin 3x \cdot 3) + \cos 3x(e^{6x} \cdot 6)] \)
\( = -3[3e^{6x} \cos 3x + 6e^{6x} \sin 3x] + 6[-3e^{6x} \sin 3x + 6e^{6x} \cos 3x] \)
\( = -9e^{6x} \cos 3x - 18e^{6x} \sin 3x - 18e^{6x} \sin 3x + 36e^{6x} \cos 3x \)
\( = e^{6x}(-9 \cos 3x + 36 \cos 3x - 18 \sin 3x - 18 \sin 3x) \)
\( = e^{6x}(27 \cos 3x - 36 \sin 3x) = 9e^{6x}(3 \cos 3x - 4 \sin 3x) \)

मुख्य बिंदु:

• दो फलनों के गुणन और श्रृंखला नियम का संयुक्त प्रयोग।
• चरघातांकी फलन \( e^{kx} \) का अवकलन \( k \cdot e^{kx} \) होता है।
• समान पदों को जोड़कर अंतिम रूप देना।

आम गलतियाँ:

• \( e^{6x} \) और \( 3x \) के गुणांकों (6 और 3) को बाहर गुणा करने में त्रुटि करना।
• बाहर की संख्या से अंदर के दोनों पदों को गुणा करते समय चिह्न की भूल।

Exam Tips:

a) कोष्ठकों के बाहर की संख्याओं का अंदर गुणा करते समय सतर्क रहें।
b) यदि संभव हो तो अंतिम उत्तर में से उभयनिष्ठ (Common) पद बाहर निकालें।
c) त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज के चिह्न सावधानी से लगाएं।

Question 8: \tan^{-1} x

Answer:

माना \( y = \tan^{-1} x \), इसलिए,
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\tan^{-1} x) = \frac{1}{1 + x^2} \)
अब द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात करने पर:
\( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1 + x^2}\right) = \frac{d}{dx} [(1 + x^2)^{-1}] \)
\( = -1 \cdot (1 + x^2)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(1 + x^2) \)
\( = -1 \cdot (1 + x^2)^{-2} \cdot (0 + 2x) = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2} \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन \( \tan^{-1} x \) का मानक अवकलज \( \frac{1}{1 + x^2} \) होता है।
• भाग नियम या श्रृंखला नियम (Chain Rule) का उपयोग करके द्वितीय अवकलज ज्ञात किया जाता है।
• हर के पद की घात ऋणात्मक बनाकर श्रृंखला नियम लगाना आसान होता है।

आम गलतियाँ:

• \( (1 + x^2) \) का पुनः अवकलन करते समय \( 2x \) लिखना भूल जाना।
• घात के नियम में चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के सभी मानक अवकलज सूत्र याद रखें।
b) श्रृंखला नियम का प्रयोग करते समय आंतरिक फलन का अवकलन करना न भूलें।
c) उत्तर को सरल भिन्न के रूप में प्रस्तुत करें।

Question 9: \log(\log x)

Answer:

माना \( y = \log(\log x) \), इसलिए,
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\log(\log x)) = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x} \)
अब द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात करने पर:
\( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x \log x}\right) \)
भाग नियम (Quotient Rule) का प्रयोग करने पर:
\( = \frac{(x \log x) \cdot \frac{d}{dx}(1) - 1 \cdot \frac{d}{dx}(x \log x)}{(x \log x)^2} \)
\( = \frac{0 - \left[ x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \cdot \frac{d}{dx}(x) \right]}{(x \log x)^2} \)
\( = \frac{-\left[ x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1 \right]}{(x \log x)^2} = \frac{-(1 + \log x)}{(x \log x)^2} \)

मुख्य बिंदु:

• यह संयुक्त फलन (Composite function) है, जिसमें श्रृंखला नियम लगता है।
• द्वितीय अवकलज के लिए भाग नियम (Quotient Rule) का उपयोग सुविधाजनक है।
• \( \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \) ।

आम गलतियाँ:

• श्रृंखला नियम में \( \log x \) का अवकलज दोबारा गुणा करना भूल जाना।
• भाग नियम लगाते समय अंश और हर के क्रम में गलती करना।

Exam Tips:

a) फलन के अंदर फलन होने पर श्रृंखला नियम सावधानी से लगाएं।
b) भाग नियम के सूत्रों को ठीक से लिखकर मान रखें।
c) कोष्ठकों का सही प्रयोग करें ताकि ऋण चिह्न की गलती न हो।

Question 10: \sin(\log x)

Answer:

माना \( y = \sin(\log x) \), इसलिए,
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\sin(\log x)) = \cos(\log x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{\cos(\log x)}{x} \)
अब द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात करने पर:
\( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\cos(\log x)}{x} \right) \)
भाग नियम का प्रयोग करने पर:
\( = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\cos(\log x)) - \cos(\log x) \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} \)
\( = \frac{x \cdot \left[ -\sin(\log x) \cdot \frac{1}{x} \right] - \cos(\log x) \cdot 1}{x^2} \)
\( = \frac{-\sin(\log x) - \cos(\log x)}{x^2} = \frac{-[\sin(\log x) + \cos(\log x)]}{x^2} \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय और लघुगणकीय फलनों का संयोजन।
• प्रथम अवकलज में श्रृंखला नियम और द्वितीय अवकलज में भाग नियम का प्रयोग।
• अंश में x का पदों से कट जाना।

आम गलतियाँ:

• \( \cos(\log x) \) का अवकलज निकालते समय कोण \( \log x \) का अवकलज \( \frac{1}{x} \) छोड़ देना।
• भाग नियम में हर के वर्ग \( x^2 \) को लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) प्रथम अवकलज को सरल करने के बाद ही भाग नियम लगाएं।
b) श्रृंखला नियम के पदों को स्पष्ट रूप से दिखाएं।
c) ऋणात्मक चिह्नों को बाहर कॉमन लेकर सुंदर रूप में लिखें।

Question 11: यदि \( y = 5 \cos x - 3 \sin x \), है तो सिद्ध कीजिए कि \( \frac{d^2y}{dx^2} + y = 0 \)

Answer:

दिया है: \( y = 5 \cos x - 3 \sin x \), इसलिए,
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (5 \cos x - 3 \sin x) = -5 \sin x - 3 \cos x \)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (-5 \sin x - 3 \cos x) = -5 \cos x - 3(-\sin x) = -5 \cos x + 3 \sin x \)
अब बायां पक्ष (LHS) लेने पर:
\( \frac{d^2y}{dx^2} + y = (-5 \cos x + 3 \sin x) + (5 \cos x - 3 \sin x) \)
\( = -5 \cos x + 5 \cos x + 3 \sin x - 3 \sin x = 0 = \text{RHS} \)
अतः सिद्ध हुआ कि \( \frac{d^2y}{dx^2} + y = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात करके दिए गए समीकरण में मान रखना।
• \( \sin x \) का अवकलज \( \cos x \) और \( \cos x \) का अवकलज \( -\sin x \) होता है।
• विपरीत चिह्न वाले पद आपस में कटकर शून्य हो जाते हैं।

आम गलतियाँ:

• त्रिकोणमितीय अवकलन में चिह्न (+/-) की गलती करना।
• मान रखते समय y का मूल मान गलत रखना।

Exam Tips:

a) ऐसे सिद्ध करने वाले प्रश्नों में अंत में LHS = RHS स्पष्ट लिखें।
b) अवकलन के दौरान त्रिकोणमितीय सूत्रों और चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।
c) चरणों को क्रमबद्ध तरीके से हल करें।

Question 12: यदि \( y = \cos^{-1} x \), है तो \( \frac{d^2y}{dx^2} \) को केवल y के पदों में ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया है: \( y = \cos^{-1} x \implies \cos y = x \), इसलिए,
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( -\sin y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-\sin y} = -\csc y \)
अब पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (-\csc y) = -(-\csc y \cot y) \cdot \frac{dy}{dx} \)
\( = (\csc y \cot y) \cdot (-\csc y) = -\csc^2 y \cot y \)

मुख्य बिंदु:

• फलन को प्रतिलोम रूप से साधारण रूप (\( x = \cos y \)) में बदलना।
• प्राचलिक या implicit अवकलन विधि का प्रयोग करना।
• अंत में उत्तर को केवल y के पदों में व्यक्त करना।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{dy}{dx} \) का मान \( y \) के पदों में प्रतिस्थापित करना भूल जाना।
• \( \csc y \) का अवकलज लिखते समय चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) प्रश्न की मांग के अनुसार उत्तर केवल y के पदों में ही होना चाहिए, x नहीं दिखना चाहिए।
b) \( \csc y \) और \( \cot y \) के अवकलज सूत्र याद रखें।
c) श्रृंखला नियम का सही पालन करें।

Question 13: यदि \( y = 3 \cos(\log x) + 4 \sin(\log x) \) है तो दर्शाइए कि \( x^2 y_2 + x y_1 + y = 0 \)

Answer:

दिया है: \( y = 3 \cos(\log x) + 4 \sin(\log x) \), इसलिए,
\( y_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [3 \cos(\log x) + 4 \sin(\log x)] \)
\( = 3 \left( -\sin(\log x) \cdot \frac{1}{x} \right) + 4 \left( \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x} \right) \)
\( \implies x \cdot \frac{dy}{dx} = -3 \sin(\log x) + 4 \cos(\log x) \)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( x \cdot \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \cdot 1 = \frac{d}{dx} [-3 \sin(\log x) + 4 \cos(\log x)] \)
\( x y_2 + y_1 = -3 \left( \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x} \right) + 4 \left( -\sin(\log x) \cdot \frac{1}{x} \right) \)
दोनों पक्षों में x से गुणा करने पर:
\( x^2 y_2 + x y_1 = -3 \cos(\log x) - 4 \sin(\log x) \)
\( x^2 y_2 + x y_1 = -[3 \cos(\log x) + 4 \sin(\log x)] \)
\( x^2 y_2 + x y_1 = -y \)
\( \implies x^2 y_2 + x y_1 + y = 0 \)

मुख्य बिंदु:

• ऐसे प्रश्नों में हर में आए x को पक्षांतर करके हल करना सरल होता है।
• \( y_1 \) और \( y_2 \) प्रथम और द्वितीय कोटि के अवकलज के संकेतन हैं।
• मूल फलन y का मान प्रतिस्थापित करना।

आम गलतियाँ:

• प्रथम अवकलज के बाद हर वाले x को हटाने के लिए गुणा न करना।
• गुणन नियम लगाते समय पदों को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) यदि हर में x हो, तो उसे बाईं ओर ले जाकर अवकलन करना गणना को आसान बनाता है।
b) \( y_1 \) और \( y_2 \) का ही प्रयोग करें जैसा प्रश्न में दिया गया है।
c) अंत में समीकरण को सिद्ध रूप में व्यवस्थित करें।

Question 14: यदि \( y = Ae^{mx} + Be^{nx} \) है तो दर्शाइए कि \( \frac{d^2y}{dx^2} - (m + n)\frac{dy}{dx} + mny = 0 \)

Answer:

दिया है: \( y = Ae^{mx} + Be^{nx} \), इसलिए,
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (Ae^{mx} + Be^{nx}) = Am e^{mx} + Bn e^{nx} \)
\( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (Am e^{mx} + Bn e^{nx}) = Am^2 e^{mx} + Bn^2 e^{nx} \)
अब बायां पक्ष (LHS) लेने पर:
\( \text{LHS} = \frac{d^2y}{dx^2} - (m + n)\frac{dy}{dx} + mny \)
इन सभी के मान रखने पर:
\( = (Am^2 e^{mx} + Bn^2 e^{nx}) - (m + n)(Am e^{mx} + Bn e^{nx}) + mn(Ae^{mx} + Be^{nx}) \)
\( = Am^2 e^{mx} + Bn^2 e^{nx} - Am^2 e^{mx} - Amn e^{mx} - Amn e^{nx} - Bn^2 e^{nx} + Amne^{mx} + Bmne^{nx} \)
सभी विपरीत पद आपस में कट जाते हैं:
\( = 0 = \text{RHS} \)
अतः सिद्ध हुआ।

मुख्य बिंदु:

• चरघातांकी फलनों का अवकलन \( \frac{d}{dx}(e^{mx}) = m e^{mx} \) होता है।
• सिद्ध करने वाले प्रश्नों में LHS में मान रखकर RHS (शून्य) लाना सबसे आसान तरीका है।
• बीजगणितीय पदों को खोलकर गुणा करना।

आम गलतियाँ:

• कोष्ठक खोलते समय अंदर के सभी पदों के चिह्न ध्यान से न बदलना।
• अचर राशियों A और B को अवकलन में छोड़ देना।

Exam Tips:

a) मान रखते समय कोष्ठकों का सही उपयोग करें।
b) समान पदों को काटते समय उनके गुणांकों की तुलना अवश्य करें।
c) अंत में RHS लिखकर उपपत्ति समाप्त करें।

Question 15: यदि \( y = 500e^{7x} + 600e^{-7x} \) है तो दर्शाइए कि \( \frac{d^2y}{dx^2} = 49y \) है।

Answer:

दिया है: \( y = 500e^{7x} + 600e^{-7x} \), इसलिए,
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (500e^{7x} + 600e^{-7x}) = 500 \cdot 7e^{7x} + 600 \cdot (-7)e^{-7x} \)
\( = 3500e^{7x} - 4200e^{-7x} \)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (3500e^{7x} - 4200e^{-7x}) = 3500 \cdot 7e^{7x} - 4200 \cdot (-7)e^{-7x} \)
\( = 24500e^{7x} + 29400e^{-7x} \)
अब संख्या 49 को कॉमन लेने पर:
\( \frac{d^2y}{dx^2} = 49 (500e^{7x} + 600e^{-7x}) \)
چونکہ \( y = 500e^{7x} + 600e^{-7x} \), इसलिए,
\( \frac{d^2y}{dx^2} = 49y \)

मुख्य बिंदु:

• चरघातांकी फलनों का क्रमिक अवकलन।
• \( 7 \times 7 = 49 \) को बाहर निकालकर मूल फलन y के रूप में बदलना।
• ऋणात्मक घात वाले चरघातांकी का अवकलन करते समय चिह्न का ध्यान रखना।

आम गलतियाँ:

• \( e^{-7x} \) के अवकलन में ऋण चिह्न लगाना भूल जाना।
• 49 कॉमन लेते समय संख्याओं के गुणनखंड में गलती करना।

Exam Tips:

a) बड़ी संख्याओं का सीधा गुणा करने के बजाय गुणनखंड (जैसे 49 बाहर निकालना) पर ध्यान दें।
b) सिद्ध करने वाले परिणाम को ध्यान में रखते हुए ही स्टेप्स बढ़ाएं।
c) अंत में y का मान प्रतिस्थापित करना न भूलें।

Question 16: यदि \( e^y(x + 1) = 1 \) है तो दर्शाइए कि \( \frac{d^2y}{dx^2} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \)

Answer:

दिया है: \( e^y(x + 1) = 1 \), इसलिए,
\( e^y = \frac{1}{x + 1} \)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर या सीधे अवकलन करने पर:
\( e^y \cdot \frac{dy}{dx}(x + 1) + e^y \cdot 1 = 0 \)
\( e^y (x + 1) \frac{dy}{dx} + e^y = 0 \)
چونکہ \( e^y(x + 1) = 1 \), अतः:
\( 1 \cdot \frac{dy}{dx} + e^y = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -e^y \)
या \( \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x + 1} \)
अब द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात करने पर:
\( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{x + 1} \right) = -(-1)(x + 1)^{-2} = \frac{1}{(x + 1)^2} \)
दूसरी ओर, \( \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left( -\frac{1}{x + 1} \right)^2 = \frac{1}{(x + 1)^2} \)
अतः \( \frac{d^2y}{dx^2} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \)

मुख्य बिंदु:

• गुणन नियम और निहित फलन (Implicit function) का अवकलन।
• दिए गए समीकरण \( e^y(x + 1) = 1 \) का उपयोग करके प्रथम अवकलज को सरल करना।
• दोनों पक्षों (LHS और RHS) को स्वतंत्र रूप से हल करके समान दिखाना।

आम गलतियाँ:

• \( e^y \) का अवकलन करते समय \( \frac{dy}{dx} \) लिखना भूल जाना।
• वर्ग करते समय ऋण चिह्न को धनात्मक न करना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में प्रथम अवकलज को जितना संभव हो सके सरल रूप में बदल लें।
b) RHS में \( (\frac{dy}{dx})^2 \) का मान अलग से निकालकर सत्यापित करें।
c) चरणों को सुस्पष्ट लिखें।

Question 17: यदि \( y = (\tan^{-1} x)^2 \) है तो दर्शाइए कि \( (x^2 + 1)^2 y_2 + 2x(x^2 + 1)y_1 = 2 \)

Answer:

दिया है: \( y = (\tan^{-1} x)^2 \), इसलिए,
\( y_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [(\tan^{-1} x)^2] = 2 \tan^{-1} x \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = 2 \tan^{-1} x \cdot \frac{1}{1 + x^2} \)
\( (1 + x^2) \frac{dy}{dx} = 2 \tan^{-1} x \)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( (1 + x^2) \cdot \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d}{dx}(1 + x^2) = 2 \cdot \frac{1}{1 + x^2} \)
\( (1 + x^2) y_2 + y_1 (0 + 2x) = \frac{2}{1 + x^2} \)
दोनों पक्षों में \( (1 + x^2) \) से गुणा करने पर:
\( (1 + x^2)^2 y_2 + 2x(1 + x^2)y_1 = 2 \)
अतः सिद्ध हुआ कि \( (x^2 + 1)^2 y_2 + 2x(x^2 + 1)y_1 = 2 \)

मुख्य बिंदु:

• श्रृंखला नियम और घात नियम का संयुक्त प्रयोग।
• प्रथम अवकलज के बाद हर वाले पद \( (1 + x^2) \) को बाएं पक्ष में ले जाना।
• पुनः अवकलन करके समीकरण को वांछित रूप में लाना।

आम गलतियाँ:

• श्रृंखला नियम लगाते समय घात आगे लाने के बाद घात कम करना भूल जाना।
• हर के पद से दोनों पक्षों में गुणा करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) यदि हर में \( 1 + x^2 \) हो, तो क्रॉस-मल्टीप्लाई करके अवकलन करना सबसे आसान विधि है।
b) \( y_1 \) और \( y_2 \) का सही उपयोग करें।
c) अंतिम चरण में समीकरण के पदों का क्रम प्रश्न के अनुसार व्यवस्थित करें।