NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 05 Continuity and Differentiability (सांतत्य तथा अवकलनीयता) Exercise 5.6 in Hindi

Question 1: \( x = 2at^2, y = at^4 \)

Answer:

दिया गया है कि \( x = 2at^2 \) तथा \( y = at^4 \)
प्राचल \( t \) के सापेक्ष दोनों का अवकलन करने पर:
\( \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2at^2) = 2a(2t) = 4at \)
\( \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(at^4) = a(4t^3) = 4at^3 \)
अब, \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने के लिए:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4at^3}{4at} \)
\( \frac{dy}{dx} = t^2 \)

मुख्य बिंदु:

• प्राचलिक फलनों के अवकलन में दोनों समीकरणों का प्राचल के सापेक्ष अलग-अलग अवकलन किया जाता है।
• अंत में \( \frac{dy}{dt} \) को \( \frac{dx}{dt} \) से भाग दिया जाता है।
• बीजगणितीय सूत्रों और घातांक नियमों का सही प्रयोग आवश्यक है।

आम गलतियाँ:

• \( t \) के सापेक्ष अवकलन करते समय अचर \( a \) को छोड़ देना।
• भाग देते समय चरों के घातांक में गलती करना।
• प्राचलिक समीकरण की परिभाषा को न समझना।

Exam Tips:

a) हमेशा पहले दोनों फलनों का अलग-अलग अवकलन स्पष्ट रूप से लिखें।
b) अंतिम उत्तर को सरलतम रूप में लिखें।
c) गणना की जाँच अवश्य करें।

Question 2: \( x = a\cos\theta, y = b\cos\theta \)

Answer:

दिया गया है कि \( x = a\cos\theta \) तथा \( y = b\cos\theta \)
प्राचल \( \theta \) के सापेक्ष दोनों का अवकलन करने पर:
\( \frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(a\cos\theta) = -a\sin\theta \)
\( \frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(b\cos\theta) = -b\sin\theta \)
अब, \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने के लिए:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-b\sin\theta}{-a\sin\theta} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{b}{a} \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय फलन \( \cos\theta \) का अवकलन \( -\sin\theta \) होता है।
• अंश और हर दोनों के ऋण चिह्न आपस में कट जाते हैं।
• \( \sin\theta \) दोनों पदों में समान होने के कारण कट जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( \cos\theta \) के अवकलन में ऋण चिह्न लगाना भूल जाना।
• \( \frac{dx}{d\theta} \) और \( \frac{dy}{d\theta} \) के अनुपातों को उल्टा लिख देना।
• अचर पदों का गलत संयोजन करना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलन के मानक सूत्र याद रखें।
b) चरणों को क्रमिक रूप से हल करें ताकि चिह्न की गलती न हो।
c) अंतिम परिणाम को अचर के रूप में स्पष्ट दिखाएं।

Question 3: \( x = \sin t, y = \cos 2t \)

Answer:

दिया गया है कि \( x = \sin t \) तथा \( y = \cos 2t \)
प्राचल \( t \) के सापेक्ष दोनों का अवकलन करने पर:
\( \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin t) = \cos t \)
\( \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos 2t) = -\sin 2t \cdot \frac{d}{dt}(2t) = -2\sin 2t \)
अब, \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने के लिए:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-2\sin 2t}{\cos t} \)
चूँकि \( \sin 2t = 2\sin t \cos t \):
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-2(2\sin t \cos t)}{\cos t} \)
\( \frac{dy}{dx} = -4\sin t \)

मुख्य बिंदु:

• संयुक्त फलन (Chain Rule) का प्रयोग करके \( \cos 2t \) का अवकलन करना।
• \( \sin 2t \) के द्वि-कोण सूत्र का उपयोग करके व्यंजक को सरल करना।
• \( \cos t \) का अंश और हर से काटना।

आम गलतियाँ:

• \( \cos 2t \) का अवकलन करते समय \( 2 \) से गुणा करना भूल जाना।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग न करना।
• चिह्न की त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) संयुक्त फलनों के लिए हमेशा श्रृंखला नियम (Chain Rule) का प्रयोग करें।
b) यदि उत्तर को और सरल किया जा सकता है, तो त्रिकोणमितीय सूत्रों का प्रयोग करें।
c) चरणों को साफ-सुथरा लिखें।

Question 4: \( x = 4t, y = \frac{4}{t} \)

Answer:

दिया गया है कि \( x = 4t \) तथा \( y = \frac{4}{t} \)
प्राचल \( t \) के सापेक्ष दोनों का अवकलन करने पर:
\( \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4t) = 4 \)
\( \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^{-1}) = 4(-1t^{-2}) = -\frac{4}{t^2} \)
अब, \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने के लिए:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-\frac{4}{t^2}}{4} \)
\( \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{t^2} \)

मुख्य बिंदु:

• \( \frac{1}{t} \) को \( t^{-1} \) के रूप में लिखकर घात नियम का प्रयोग करना।
• \( 4 \) से \( 4 \) को विभाजित करना।
• ऋणात्मक चिह्न का सही रखरखाव।

आम गलतियाँ:

• \( \frac{4}{t} \) का अवकलन सीधे \( 4 \) लिख देना।
• भाग देते समय हर के अचर को छोड़ देना।
• घातांक नियम लागू करने में गलती करना।

Exam Tips:

a) भिन्नात्मक फलनों को अवकलन से पहले घात के रूप में बदल लें।
b) सरलतीकरण के चरणों को स्पष्ट दिखाएं।
c) अंतिम उत्तर में प्राचल \( t \) का सही पद रखें।

Question 5: \( x = \cos\theta - \cos 2\theta, y = \sin\theta - \sin 2\theta \)

Answer:

दिया गया है कि \( x = \cos\theta - \cos 2\theta \) तथा \( y = \sin\theta - \sin 2\theta \)
प्राचल \( \theta \) के सापेक्ष दोनों का अवकलन करने पर:
\( \frac{dx}{d\theta} = -\sin\theta - (-\sin 2\theta \cdot 2) = -\sin\theta + 2\sin 2\theta \)
\( \frac{dy}{d\theta} = \cos\theta - (\cos 2\theta \cdot 2) = \cos\theta - 2\cos 2\theta \)
अब, \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने के लिए:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\cos\theta - 2\cos 2\theta}{-\sin\theta + 2\sin 2\theta} \)

मुख्य बिंदु:

• \( \cos 2\theta \) और \( \sin 2\theta \) के अवकलन में श्रृंखला नियम का प्रयोग।
• \( \cos\theta \) का अवकलन \( -\sin\theta \) होता है।
• \( \sin\theta \) का अवकलन \( \cos\theta \) होता है।

आम गलतियाँ:

• \( 2\theta \) के अवकलन से आने वाले गुणांक \( 2 \) को भूल जाना।
• ऋण चिह्नों की गड़बड़ी करना।
• अंश और हर को आपस में बदल देना।

Exam Tips:

a) श्रृंखला नियम का सावधानीपूर्वक पालन करें।
b) चरों और अचरों के क्रम का ध्यान रखें।
c) अंतिम अनुपात को सही ढंग से व्यवस्थित करें।

Question 6: \( x = a(\theta - \sin\theta), y = a(1 + \cos\theta) \)

Answer:

दिया गया है कि \( x = a(\theta - \sin\theta) \) तथा \( y = a(1 + \cos\theta) \)
प्राचल \( \theta \) के सापेक्ष दोनों का अवकलन करने पर:
\( \frac{dx}{d\theta} = a(1 - \cos\theta) \)
\( \frac{dy}{d\theta} = a(0 - \sin\theta) = -a\sin\theta \)
अब, \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने के लिए:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-a\sin\theta}{a(1 - \cos\theta)} = \frac{-\sin\theta}{1 - \cos\theta} \)
त्रिकोणमितीय सूत्रों \( \sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} \) और \( 1 - \cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2} \) का प्रयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{2\sin^2\frac{\theta}{2}} \)
\( \frac{dy}{dx} = -\cot\frac{\theta}{2} \)

मुख्य बिंदु:

• \( \theta \) का अवकलन \( 1 \) होता है।
• अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करके व्यंजक को सरल करना।
• \( a \) का अंश और हर से काटना।

आम गलतियाँ:

• \( \theta \) का अवकलन शून्य मान लेना।
• त्रिकोणमितीय सूत्रों का सही रूप न रखना।
• ऋण चिह्न छोड़ देना।

Exam Tips:

a) अर्ध-कोण सूत्र कैलकुलस में उत्तर को संक्षिप्त करने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।
b) हर चरण में अचर \( a \) को सही से प्रबंधित करें।
c) \( \cot \) और \( \tan \) के रूपांतरण में सावधान रहें।

Question 7: \( x = \frac{\sin^3 t}{\sqrt{\cos 2t}}, y = \frac{\cos^3 t}{\sqrt{\cos 2t}} \)

Answer:

दिया गया है कि \( x = \frac{\sin^3 t}{\sqrt{\cos 2t}} \) तथा \( y = \frac{\cos^3 t}{\sqrt{\cos 2t}} \)
भाग नियम (Quotient Rule) का प्रयोग करके \( \frac{dx}{dt} \) ज्ञात करने पर:
\( \frac{dx}{dt} = \frac{\sqrt{\cos 2t} \cdot \frac{d}{dt}(\sin^3 t) - \sin^3 t \cdot \frac{d}{dt}(\sqrt{\cos 2t})}{(\sqrt{\cos 2t})^2} \)
\( \frac{dx}{dt} = \frac{\sqrt{\cos 2t} \cdot (3\sin^2 t \cos t) - \sin^3 t \cdot \left(\frac{1}{2\sqrt{\cos 2t}} \cdot (-2\sin 2t)\right)}{\cos 2t} \)
इसी प्रकार भाग नियम से \( \frac{dy}{dt} \) ज्ञात करने पर:
\( \frac{dy}{dt} = \frac{\sqrt{\cos 2t} \cdot \frac{d}{dt}(\cos^3 t) - \cos^3 t \cdot \frac{d}{dt}(\sqrt{\cos 2t})}{(\sqrt{\cos 2t})^2} \)
\( \frac{dy}{dt} = \frac{\sqrt{\cos 2t} \cdot (-3\cos^2 t \sin t) - \cos^3 t \cdot \left(\frac{1}{2\sqrt{\cos 2t}} \cdot (-2\sin 2t)\right)}{\cos 2t} \)
अंततः \( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \) हल करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = -\cot 3t \)

मुख्य बिंदु:

• यहाँ अंश और हर दोनों में फलन हैं, अतः भाग नियम (Quotient Rule) अनिवार्य है।
• श्रृंखला नियम का उपयोग वर्गमूल और त्रिकोणमितीय फलनों के लिए किया जाता है।
• हर का पद दोनों अवकलनों में समान होने के कारण कट जाता है।

आम गलतियाँ:

• भाग नियम में ऋण चिह्न की भूल करना।
• श्रृंखला नियम लगाते समय अंदर के फलन का अवकलन छोड़ देना।
• लंबे व्यंजक को सरल करते समय बीजगणितीय त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) ऐसे बड़े प्रश्नों में प्रत्येक पद को अलग से लिखकर हल करें।
b) भाग नियम के सूत्र \( \frac{vu' - uv'}{v^2} \) को स्पष्ट याद रखें।
c) अंत में समान पदों को सावधानी से काटें।

Question 8: \( x = a\left(\cos t + \log\tan\frac{t}{2}\right), y = a\sin t \)

Answer:

दिया गया है कि \( x = a\left(\cos t + \log\tan\frac{t}{2}\right) \) तथा \( y = a\sin t \)
प्राचल \( t \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dx}{dt} = a\left(-\sin t + \frac{1}{\tan\frac{t}{2}} \cdot \sec^2\frac{t}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \)
इसे त्रिकोणमितीय रूप में बदलने पर:
\( \frac{dx}{dt} = a\left(-\sin t + \frac{\cos(t/2)}{\sin(t/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(t/2)} \cdot \frac{1}{2}\right) = a\left(-\sin t + \frac{1}{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}\right) \)
चूँकि \( 2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2} = \sin t \):
\( \frac{dx}{dt} = a\left(-\sin t + \frac{1}{\sin t}\right) = a\left(\frac{1 - \sin^2 t}{\sin t}\right) = a\frac{\cos^2 t}{\sin t} \)
तथा \( \frac{dy}{dt} = a\cos t \)
अब, \( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{a\cos t}{a\frac{\cos^2 t}{\sin t}} = \frac{\sin t}{\cos t} = \tan t \)

मुख्य बिंदु:

• लॉगरिथम और त्रिकोणमितीय अनुपातों का संयुक्त अवकलन।
• \( \log(\tan(t/2)) \) का अवकलन श्रृंखला नियम से करना।
• \( 2\sin(t/2)\cos(t/2) = \sin t \) सर्वसमिका का प्रयोग।

आम गलतियाँ:

• लॉग के फलन का अवकलन करते समय \( \tan(t/2) \) को हर में न लिखना।
• \( \sec^2(t/2) \) और \( \frac{1}{2} \) गुणा करना भूल जाना।
• भिन्नों को सरल करते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) लघुगणक के अवकलन का सूत्र \( \frac{d}{dx}(\log f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)} \) याद रखें।
b) त्रिकोणमितीय रूपांतरणों को ध्यान से हल करें।
c) अंतिम उत्तर सरल रूप में ही प्राप्त होता है, अतः धैर्य रखें।

Question 9: \( x = a\sec\theta, y = b\tan\theta \)

Answer:

दिया गया है कि \( x = a\sec\theta \) तथा \( y = b\tan\theta \)
प्राचल \( \theta \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dx}{d\theta} = a\sec\theta\tan\theta \)
\( \frac{dy}{d\theta} = b\sec^2\theta \)
अब, \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने के लिए:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{b\sec^2\theta}{a\sec\theta\tan\theta} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{b\sec\theta}{a\tan\theta} \)
इसे साइन और कोसाइन में बदलने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{b}{a} \cdot \frac{1}{\cos\theta} \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{b}{a}\frac{1}{\sin\theta} = \frac{b}{a}\csc\theta \)

मुख्य बिंदु:

• \( \sec\theta \) का अवकलन \( \sec\theta\tan\theta \) होता है।
• \( \tan\theta \) का अवकलन \( \sec^2\theta \) होता है।
• समान पदों को काटकर सरल करना।

आम गलतियाँ:

• \( \sec\theta \) के अवकलन का सूत्र गलत लिखना।
• त्रिकोणमितीय अनुपातों को सरल रूप में न बदलना।
• अचर \( a \) और \( b \) का अनुपात गलत लिखना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों के मानक अवकलन सूत्र कंठस्थ रखें।
b) \( \sec\theta \) और \( \tan\theta \) को \( \sin\theta \) और \( \cos\theta \) में बदलकर जाँच करें।
c) चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 10: \( x = a(\cos\theta + \theta\sin\theta), y = a(\sin\theta - \theta\cos\theta) \)

Answer:

दिया गया है कि \( x = a(\cos\theta + \theta\sin\theta) \) तथा \( y = a(\sin\theta - \theta\cos\theta) \)
प्राचल \( \theta \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dx}{d\theta} = a\left(-\sin\theta + (\theta\cos\theta + \sin\theta \cdot 1)\right) \)
\( \frac{dx}{d\theta} = a(-\sin\theta + \theta\cos\theta + \sin\theta) = a\theta\cos\theta \)
तथा \( \frac{dy}{d\theta} = a\left(\cos\theta - (\theta(-\sin\theta) + \cos\theta \cdot 1)\right) \)
\( \frac{dy}{d\theta} = a(\cos\theta + \theta\sin\theta - \cos\theta) = a\theta\sin\theta \)
अब, \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने के लिए:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{a\theta\sin\theta}{a\theta\cos\theta} = \tan\theta \)

मुख्य बिंदु:

• गुणन नियम (Product Rule) का प्रयोग \( \theta\sin\theta \) और \( \theta\cos\theta \) पर करना।
• विपरीत चिह्न वाले पद आपस में कट जाते हैं।
• \( a\theta \) अंश और हर दोनों से कट जाता है।

आम गलतियाँ:

• गुणन नियम लगाते समय बीच में ऋण चिह्न की गलती करना।
• कोष्ठक खोलते समय अंदर के चिह्नों का ध्यान न रखना।
• प्राचल \( \theta \) को काटना भूल जाना।

Exam Tips:

a) गुणन नियम \( (uv)' = u'v + uv' \) का सावधानी से प्रयोग करें।
b) ऋण चिह्न बाहर होने पर अंदर के सभी पदों के चिह्न बदलें।
c) परिणाम बहुत सरल आता है, इसलिए गणना की पुनरावृत्ति करें।

Question 11: यदि \( x = \sqrt{a^{\sin^{-1} t}}, y = \sqrt{a^{\cos^{-1} t}} \), तो दर्शाइए कि \( \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} \)

Answer:

दिया गया है कि \( x = \sqrt{a^{\sin^{-1} t}} \) तथा \( y = \sqrt{a^{\cos^{-1} t}} \)
इनको इस प्रकार भी लिख सकते हैं:
\( x = (a^{\sin^{-1} t})^{\frac{1}{2}} \) और \( y = (a^{\cos^{-1} t})^{\frac{1}{2}} \)
या इनका गुणा करने पर:\br \( x \cdot y = \sqrt{a^{\sin^{-1} t}} \cdot \sqrt{a^{\cos^{-1} t}} = \sqrt{a^{\sin^{-1} t + \cos^{-1} t}} \)
हम जानते हैं कि प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका से \( \sin^{-1} t + \cos^{-1} t = \frac{\pi}{2} \) होता है। अतः:
\( x \cdot y = \sqrt{a^{\frac{\pi}{2}}} \)
चूँकि \( a \) एक अचर है और \( \frac{\pi}{2} \) भी अचर है, इसलिए दायाँ पक्ष एक अचर राशि है:
\( x \cdot y = k \) (जहाँ \( k = \sqrt{a^{\frac{\pi}{2}}} \))
अब दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( x \cdot \frac{dy}{dx} + y \cdot 1 = 0 \)
\( x \cdot \frac{dy}{dx} = -y \)
\( \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} \)
अतः सिद्ध हुआ।

मुख्य बिंदु:

• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \sin^{-1} t + \cos^{-1} t = \frac{\pi}{2} \) का प्रयोग करना प्रश्न को बहुत आसान बना देता है।
• फलन को सीधे अवकलित करने के बजाय पहले सरल करना बेहतर होता है।
• गुणनफल के रूप में अचर फलन का अवकलन शून्य होता है।

आम गलतियाँ:

• सर्वसमिका का उपयोग न करके सीधे श्रृंखला और भाग नियम में उलझ जाना।
• अचर पद का अवकलन शून्य के स्थान पर कुछ और लिख देना।
• गुणन नियम लगाते समय चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) यदि प्रश्न में सीधे अवकलन से गणना बहुत कठिन हो रही है, तो पहले त्रिकोणमितीय या बीजगणितीय सर्वसमिका की खोज करें।
b) \( \sin^{-1} t + \cos^{-1} t = \frac{\pi}{2} \) जैसी सर्वसमिकाएँ बहुत उपयोगी हैं।
c) अंतिम रूप से सिद्ध करने वाले प्रश्नों में चरणों को स्पष्ट रूप से समाप्त करें।