NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 05 Continuity and Differentiability (सांतत्य तथा अवकलनीयता) Exercise 5.5 in Hindi

Question 1: \(\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x\)

Answer:

मान लीजिए \( y = \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x \)
दोनों और लघुगणक (log) लेने पर:
\( \log y = \log(\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x) \)
\( \log y = \log(\cos x) + \log(\cos 2x) + \log(\cos 3x) \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos x} \frac{d}{dx}(\cos x) + \frac{1}{\cos 2x} \frac{d}{dx}(\cos 2x) + \frac{1}{\cos 3x} \frac{d}{dx}(\cos 3x) \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos x}(-\sin x) + \frac{1}{\cos 2x}(-\sin 2x) \cdot 2 + \frac{1}{\cos 3x}(-\sin 3x) \cdot 3 \)
\( \frac{dy}{dx} = y [-\tan x - 2\tan 2x - 3\tan 3x] \)
\( \frac{dy}{dx} = -\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x [\tan x + 2\tan 2x + 3\tan 3x] \)

मुख्य बिंदु:

• तीन या अधिक फलनों के गुणनफल के लिए सीधे अवकलन की तुलना में लघुगणक लेना आसान होता है।
• \( \log(abc) = \log a + \log b + \log c \) प्रगुण का उपयोग किया गया है।
• श्रृंखला नियम (Chain Rule) द्वारा त्रिकोणमितीय फलनों का अवकलन किया गया है।

आम गलतियाँ:

• कोणों के अवकलन (जैसे \( 2x \) का 2 और \( 3x \) का 3) से गुणा करना भूल जाना।
• ऋणात्मक चिन्हों का ध्यान न रखना।
• अंतिम चरण में \( y \) का मान वापस न रखना।

Exam Tips:

a) दो से अधिक फलनों के गुणनफल वाले प्रश्नों में हमेशा दोनों पक्षों में log लें।
b) श्रृंखला नियम लगाते समय अंदर के फलन का अवकलन करना कभी न भूलें।
c) उत्तर को सरल रूप में लिखकर ही छोड़ें।

Question 2: \( \sqrt{\frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 3)(x - 4)(x - 5)}} \)

Answer:

मान लीजिए \( y = \sqrt{\frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 3)(x - 4)(x - 5)}} \)
दोनों ओर लघुगणक लेने पर:
\( \log y = \frac{1}{2} [\log(x - 1) + \log(x - 2) - \log(x - 3) - \log(x - 4) - \log(x - 5)] \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x - 5} \right] \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 3)(x - 4)(x - 5)}} \left[ \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x - 5} \right] \)

मुख्य बिंदु:

• वर्गमूल को घात \( \frac{1}{2} \) के रूप में लिखकर log के प्रगुण का उपयोग किया गया है।
• अंश के फलनों के साथ धनात्मक और हर के फलनों के साथ ऋणात्मक चिन्ह आता है।
• जटिल भिन्नात्मक फलनों के लिए लघुगणक विधि सबसे उपयुक्त है।

आम गलतियाँ:

• हर में दी गई सभी संख्याओं के सामने ऋणात्मक चिन्ह लगाना भूल जाना।
• वर्गमूल के कारण आगे \( \frac{1}{2} \) लिखना छोड़ देना।
• लघुगणक के गुणों का गलत प्रयोग करना।

Exam Tips:

a) वर्गमूल या बड़ी घात वाले भिन्नात्मक फलनों में log लेने से गणना आसान हो जाती है।
b) ब्रैकेट का विशेष ध्यान रखें ताकि चिह्न की गलती न हो।
c) अंतिम परिणाम में \( y \) का मान प्रतिस्थापित करना न भूलें।

Question 3: \( (\log x)^{\cos x} \)

Answer:

मान लीजिए \( y = (\log x)^{\cos x} \)
दोनों और लघुगणक लेने पर:
\( \log y = \cos x \cdot \log(\log x) \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \frac{d}{dx}[\log(\log x)] + \log(\log x) \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} + \log(\log x) \cdot (-\sin x) \)
\( \frac{dy}{dx} = (\log x)^{\cos x} \left[ \frac{\cos x}{x \log x} - \sin x \log(\log x) \right] \)

मुख्य बिंदु:

• जब फलन की घात फलन हो (\( [f(x)]^{g(x)} \)), तब लघुगणक लेना अनिवार्य है।
• गुणन नियम (Product Rule) का उपयोग करके अवकलन किया गया है।
• \( \log(\log x) \) के अवकलन में श्रृंखला नियम का प्रयोग हुआ है।

आम गलतियाँ:

• \( \log(\log x) \) का अवकलन करते समय \( \frac{1}{x} \) की जगह केवल \( \frac{1}{\log x} \) लिखना।
• गुणन नियम लगाना भूल जाना।
• घात को सामने लाने के बाद log के गुणों का सही उपयोग न करना।

Exam Tips:

a) चर की घात चर वाले फलनों को हल करने के लिए log विधि का ही प्रयोग करें।
b) दो फलनों के गुणनफल का अवकलन करते समय Product Rule का ध्यान रखें।
c) हर चरण को स्पष्ट रूप से लिखें ताकि गलती की गुंजाइश न रहे।

Question 4: \( x^x - 2^{\sin x} \)

Answer:

मान लीजिए \( u = x^x \) तथा \( v = 2^{\sin x} \), इसलिए \( y = u - v \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - \frac{dv}{dx} \) ... (1)
अब, \( u = x^x \), दोनों ओर log लेने पर:
\( \log u = x \log x \)
\( \frac{1}{u} \frac{du}{dx} = x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1 = 1 + \log x \)
\( \frac{du}{dx} = x^x(1 + \log x) \) ... (2)
तथा \( v = 2^{\sin x} \), दोनों ओर log लेने पर:
\( \log v = \sin x \log 2 \)
\( \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = \log 2 \cdot \cos x \)
\( \frac{dv}{dx} = 2^{\sin x} \log 2 \cos x \) ... (3)
समीकरण (2) और (3) के मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \frac{dy}{dx} = x^x(1 + \log x) - 2^{\sin x} \cos x \log 2 \)

मुख्य बिंदु:

• जब दो या अधिक पद जोड़ या घटाव में हों और उनके ऊपर भी चर घात हो, तो उन्हें अलग-अलग मानकर हल करते हैं।
• \( a^x \) का अवकलन \( a^x \log a \) होता है।
• सीधे log लेने की गलती न करें, पहले फलनों को अलग करें।

आम गलतियाँ:

• सीधे पूरे फलन में \( \log(u - v) = \log u - \log v \) लिखना (जो कि गलत है क्योंकि \( \log(a-b) \) का ऐसा कोई प्रगुण नहीं होता)।
• \( 2^{\sin x} \) के अवकलन में \( \log 2 \) छोड़ देना।

Exam Tips:

a) \( f(x) \pm g(x) \) रूप वाले फलनों में \( u \) और \( v \) मानकर ही हल करें।
b) परीक्षा में समीकरण संख्या (1), (2), (3) स्पष्ट रूप से अंकित करें।
c) घातांकीय फलनों के सूत्रों का विशेष ध्यान रखें।

Question 5: \( (x + 3)^2 \cdot (x + 4)^3 \cdot (x + 5)^4 \)

Answer:

मान लीजिए \( y = (x + 3)^2 \cdot (x + 4)^3 \cdot (x + 5)^4 \)
दोनों और लघुगणक लेने पर:
\( \log y = 2\log(x + 3) + 3\log(x + 4) + 4\log(x + 5) \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{x + 3} + 3 \cdot \frac{1}{x + 4} + 4 \cdot \frac{1}{x + 5} \)
\( \frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{2}{x + 3} + \frac{3}{x + 4} + \frac{4}{x + 5} \right] \)
\( \frac{dy}{dx} = (x + 3)^2(x + 4)^3(x + 5)^4 \left[ \frac{2(x + 4)(x + 5) + 3(x + 3)(x + 5) + 4(x + 3)(x + 4)}{(x + 3)(x + 4)(x + 5)} \right] \)
इसे सरल करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = (x + 3)(x + 4)^2(x + 5)^3 [9x^2 + 70x + 133] \)

मुख्य बिंदु:

• घातों वाले गुणनफल को सरल करने के लिए log के गुण \( \log(a^b) = b \log a \) का उपयोग किया जाता है।
• अवकलन के बाद लघुत्तम (LCM) लेकर सरल किया जा सकता है।
• आधार समान होने पर घातांक आपस में घट जाते हैं।

आम गलतियाँ:

• घातों (2, 3, 4) को गुणा में आगे लाना भूल जाना।
• लघुत्तम लेकर सरल करते समय बीजगणितीय गुणा में गलती करना।
• अंतिम उत्तर में पदों को काटना भूल जाना।

Exam Tips:

a) जहाँ तक संभव हो, उत्तर को लघुत्तम लेकर एक संक्षिप्त रूप में बदलें।
b) लघुगणक के गुणों का सही प्रयोग करें।
c) बीजगणितीय गणनाओं को सावधानी से हल करें।

Question 6: \( \left(x + \frac{1}{x}\right)^x + x^{\left(1 + \frac{1}{x}\right)} \)

Answer:

मान लीजिए \( u = \left(x + \frac{1}{x}\right)^x \) तथा \( v = x^{\left(1 + \frac{1}{x}\right)} \), इसलिए \( y = u + v \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} \) ... (1)
अब, \( u = \left(x + \frac{1}{x}\right)^x \), दोनों ओर log लेने पर:
\( \log u = x \log\left(x + \frac{1}{x}\right) \)
\( \frac{1}{u} \frac{du}{dx} = x \cdot \frac{1}{x + \frac{1}{x}} \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) + \log\left(x + \frac{1}{x}\right) \cdot 1 \)
\( \frac{du}{dx} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^x \left[ \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} + \log\left(x + \frac{1}{x}\right) \right] \) ... (2)
तथा \( v = x^{\left(1 + \frac{1}{x}\right)} \), दोनों ओर log लेने पर:
\( \log v = \left(1 + \frac{1}{x}\right) \log x \)
\( \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = \left(1 + \frac{1}{x}\right) \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) \)
\( \frac{dv}{dx} = x^{\left(1 + \frac{1}{x}\right)} \left[ \frac{x + 1}{x^2} - \frac{\log x}{x^2} \right] \) ... (3)
समीकरण (2) और (3) के मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^x \left[ \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} + \log\left(x + \frac{1}{x}\right) \right] + x^{\left(1 + \frac{1}{x}\right)} \left[ \frac{x + 1 - \log x}{x^2} \right] \)

मुख्य बिंदु:

• दो अलग-अलग फलनों के योग के रूप में दिए जाने पर \( u \) और \( v \) मानकर हल करते हैं।
• \( \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2} \) होता है।
• श्रृंखला और गुणन नियम का संयुक्त प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \left(x + \frac{1}{x}\right) \) का अवकलन करते समय भूल से \( 1 \) लिख देना (सही अवकलन \( 1 - \frac{1}{x^2} \) है)।
• लघुगणक लेते समय घात को आगे न लाना।
• अंतिम समीकरण में मान रखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) ऐसे बड़े प्रश्नों को भागों (\( u \) और \( v \)) में बांटकर हल करना सबसे सुरक्षित तरीका है।
b) भिन्नों के अवकलन और लघुगणक के नियमों की अच्छी तरह प्रैक्टिस करें।
c) प्रत्येक पद को साफ-सुथरा लिखें।

Question 7: \( (\log x)^x + x^{\log x} \)

Answer:

मान लीजिए \( u = (\log x)^x \) तथा \( v = x^{\log x} \), इसलिए \( y = u + v \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} \) ... (1)
अब, \( u = (\log x)^x \), दोनों ओर log लेने पर:
\( \log u = x \log(\log x) \)
\( \frac{1}{u} \frac{du}{dx} = x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} + \log(\log x) \cdot 1 = \frac{1}{\log x} + \log(\log x) \)
\( \frac{du}{dx} = (\log x)^x \left[ \frac{1}{\log x} + \log(\log x) \right] \) ... (2)
तथा \( v = x^{\log x} \), दोनों ओर log लेने पर:
\( \log v = \log x \cdot \log x = (\log x)^2 \)
\( \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \)
\( \frac{dv}{dx} = x^{\log x} \left[ \frac{2 \log x}{x} \right] \) ... (3)
समीकरण (2) और (3) के मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \frac{dy}{dx} = (\log x)^x \left[ \frac{1}{\log x} + \log(\log x) \right] + x^{\log x} \left[ \frac{2 \log x}{x} \right] \)

मुख्य बिंदु:

• \( v = x^{\log x} \) में log लेने पर \( \log v = (\log x)^2 \) बनता है, जिसके अवकलन में श्रृंखला नियम लगता है।
• \( u \) और \( v \) को अलग-अलग मानकर ही अवकलन करना आवश्यक है।
• लघुगणक के गुणों का सही उपयोग परिणाम को सरल बनाता है।

आम गलतियाँ:

• \( (\log x)^2 \) का अवकलन करते समय केवल \( 2\log x \) लिखकर छोड़ देना और \( \frac{1}{x} \) से गुणा न करना।
• \( u \) और \( v \) के अवकलन को सीधे जोड़ देना बिना अलग से हल किए।

Exam Tips:

a) \( x^{\log x} \) जैसे फलनों में log लेने पर घात आगे आकर सरल हो जाती है।
b) श्रृंखला नियम (Chain Rule) का प्रयोग सावधानी से करें।
c) अंत में दोनों अवकलजों के मान समीकरण (1) में जरूर रखें।

Question 8: \( (\sin x)^x + \sin^{-1}\sqrt{x} \)

Answer:

मान लीजिए \( u = (\sin x)^x \) तथा \( v = \sin^{-1}\sqrt{x} \), इसलिए \( y = u + v \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} \) ... (1)
अब, \( u = (\sin x)^x \), दोनों ओर log लेने पर:
\( \log u = x \log(\sin x) \)
\( \frac{1}{u} \frac{du}{dx} = x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x + \log(\sin x) \cdot 1 = x \cot x + \log(\sin x) \)
\( \frac{du}{dx} = (\sin x)^x [x \cot x + \log(\sin x)] \) ... (2)
तथा \( v = \sin^{-1}\sqrt{x} \), \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dv}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) \)
\( \frac{dv}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x(1 - x)}} \) ... (3)
समीकरण (2) और (3) के मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \frac{dy}{dx} = (\sin x)^x [x \cot x + \log(\sin x)] + \frac{1}{2\sqrt{x - x^2}} \)

मुख्य बिंदु:

• प्रथम पद \( (\sin x)^x \) के लिए लघुगणक विधि का प्रयोग किया गया है।
• द्वितीय पद \( \sin^{-1}\sqrt{x} \) एक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन है, जिसे सीधे श्रृंखला नियम से हल किया जा सकता है (इसमें log की आवश्यकता नहीं है)।
• \( \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) सूत्र का उपयोग हुआ है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन में भी log लेना शुरू कर देना (जो आवश्यक नहीं है)।
• \( \sqrt{x} \) का अवकलन करते समय \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) लिखना भूल जाना।
• \( \frac{\cos x}{\sin x} \) को cot x न लिखना।

Exam Tips:

पहचानें कि किस पद में log की आवश्यकता है और किसमें नहीं। प्रतिलोम फलनों के अवकलन के सूत्र कंठस्थ रखें। चरणबद्ध तरीके से हल करने पर अंक पूरे मिलते हैं।

Question 9: \( x^{\sin x} + (\sin x)^{\cos x} \)

Answer:

मान लीजिए \( u = x^{\sin x} \) तथा \( v = (\sin x)^{\cos x} \), इसलिए \( y = u + v \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} \) ... (1)
अब, \( u = x^{\sin x} \), दोनों ओर log लेने पर:
\( \log u = \sin x \log x \)
\( \frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \sin x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \cos x \)
\( \frac{du}{dx} = x^{\sin x} \left( \frac{\sin x}{x} + \cos x \log x \right) \) ... (2)
तथा \( v = (\sin x)^{\cos x} \), दोनों ओर log लेने पर:
\( \log v = \cos x \log(\sin x) \)
\( \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = \cos x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x + \log(\sin x) \cdot (-\sin x) \)
\( \frac{dv}{dx} = (\sin x)^{\cos x} [\cot x \cos x - \sin x \log(\sin x)] \) ... (3)
समीकरण (2) और (3) के मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \frac{\sin x}{x} + \cos x \log x \right) + (\sin x)^{\cos x} [\cot x \cos x - \sin x \log(\sin x)] \)

मुख्य बिंदु:

• दोनों ही पद \( [f(x)]^{g(x)} \) के रूप में हैं, अतः दोनों के लिए लघुगणक लेना आवश्यक है।
• गुणन नियम (Product Rule) का सही प्रयोग करें।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं जैसे \( \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x \) का उपयोग करें।

आम गलतियाँ:

• \( \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \) को हल करते समय त्रिकोणमितीय अनुपात में गलती करना।
• log लेते समय घात को आगे न लाना।

Exam Tips:

a) दोनों भागों को अलग-अलग \( u \) और \( v \) मानकर ही हल करें।
b) त्रिकोणमितीय पदों के अवकलन में सावधानी बरतें।
c) अंतिम उत्तर में समीकरण (1) के अनुसार मानों को जोड़ें।

Question 10: \( x^{x \cos x} + \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \)

Answer:

मान लीजिए \( u = x^{x \cos x} \) तथा \( v = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \), इसलिए \( y = u + v \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} \) ... (1)
अब, \( u = x^{x \cos x} \), दोनों ओर log लेने पर:
\( \log u = x \cos x \cdot \log x \)
\( \frac{1}{u} \frac{du}{dx} = x \cos x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{d}{dx}(x \cos x) \)
\( = \cos x + \log x [x(-\sin x) + \cos x \cdot 1] = \cos x - x \sin x \log x + \cos x \log x \)
\( \frac{du}{dx} = x^{x \cos x} [\cos x - x \sin x \log x + \cos x \log x] \) ... (2)
तथा \( v = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \), भागफल नियम (Quotient Rule) से अवकलन करने पर:
\( \frac{dv}{dx} = \frac{(x^2 - 1)(2x) - (x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2} \)
\( = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2} \) ... (3)
समीकरण (2) और (3) के मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \frac{dy}{dx} = x^{x \cos x} [\cos x - x \sin x \log x + \cos x \log x] - \frac{4x}{(x^2 - 1)^2} \)

मुख्य बिंदु:

• पहले पद में तीन फलनों का गुणनफल बनता है, इसलिए log लेने के बाद तीन पदों का गुणन नियम लगता है।
• दूसरा पद एक परिमेय फलन (Rational Function) है, जिसे भागफल नियम (Quotient Rule) से हल किया गया है।
• दोनों विधियों का मिश्रण इस प्रश्न की मुख्य विशेषता है।

आम गलतियाँ:

• \( x \cos x \) के अवकलन में गुणन नियम लगाना भूल जाना।
• भागफल नियम में ऋणात्मक चिन्ह (minus sign) की गलती करना।

Exam Tips:

a) भागफल नियम का सूत्र \( \frac{v u' - u v'}{v^2} \) अच्छी तरह याद रखें।
b) तीन फलनों के गुणनफल का अवकलन सावधानी से करें।
c) दोनों भागों को अलग-अलग हल करके जोड़ें।

Question 11: \( (x \cos x)^x + (x \sin x)^{1/x} \)

Answer:

मान लीजिए \( u = (x \cos x)^x \) तथा \( v = (x \sin x)^{1/x} \), इसलिए \( y = u + v \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} \) ... (1)
अब, \( u = (x \cos x)^x \), दोनों ओर log लेने पर:
\( \log u = x \log(x \cos x) = x[\log x + \log(\cos x)] \)
\( \frac{1}{u} \frac{du}{dx} = x \left[\frac{1}{x} + \frac{1}{\cos x}(-\sin x)\right] + [\log x + \log(\cos x)] \cdot 1 \)
\( = 1 - x \tan x + \log(x \cos x) \)
\( \frac{du}{dx} = (x \cos x)^x [1 - x \tan x + \log(x \cos x)] \) ... (2)
तथा \( v = (x \sin x)^{1/x} \), दोनों ओर log लेने पर:
\( \log v = \frac{1}{x} \log(x \sin x) \)
\( \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x \sin x}(\sin x + x \cos x) + \log(x \sin x) \left(-\frac{1}{x^2}\right) \)
\( \frac{dv}{dx} = (x \sin x)^{1/x} \left[ \frac{x \cot x + 1 - \log(x \sin x)}{x^2} \right] \) ... (3)
समीकरण (2) और (3) के मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \frac{dy}{dx} = (x \cos x)^x [1 - x \tan x + \log(x \cos x)] + (x \sin x)^{1/x} \left[ \frac{x \cot x + 1 - \log(x \sin x)}{x^2} \right] \)

मुख्य बिंदु:

• लघुगणक के गुणों \( \log(ab) = \log a + \log b \) का उपयोग अवकलन को सरल बनाता है।
• \( \frac{1}{x} \) का अवकलन \( -\frac{1}{x^2} \) होता है।
• श्रृंखला और गुणन नियमों का एक साथ प्रयोग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( \log(x \cos x) \) को अलग करते समय ब्रैकेट की गलती करना।
• \( \frac{1}{x} \) वाले पद का अवकलन गलत करना।

Exam Tips:

a) log लेने के तुरंत बाद प्रगुण का उपयोग करके पद को अलग-अलग कर लें।
b) कैलकुलेशन लंबी होने पर धैर्य रखें और स्टेप-बाय-स्टेप हल करें।
c) अंत में \( \frac{dy}{dx} \) का पूरा व्यंजक लिखें।

Question 12: \( x^y + y^x = 1 \)

Answer:

मान लीजिए \( u = x^y \) तथा \( v = y^x \), इसलिए \( u + v = 1 \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 0 \) ... (1)
अब, \( u = x^y \), दोनों ओर log लेने पर:
\( \log u = y \log x \)
\( \frac{1}{u} \frac{du}{dx} = y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx} \)
\( \frac{du}{dx} = x^y \left( \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \right) \) ... (2)
तथा \( v = y^x \), दोनों ओर log लेने पर:
\( \log v = x \log y \)
\( \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = x \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \cdot 1 \)
\( \frac{dv}{dx} = y^x \left( \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \right) \) ... (3)
समीकरण (2) और (3) के मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( x^y \left( \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \right) + y^x \left( \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \right) = 0 \)
\( \frac{dy}{dx} \) के पदों को एक तरफ रखने पर:
\( \frac{dy}{dx} (x^y \log x + x y^{x-1}) = -(y x^{y-1} + y^x \log y) \)
\( \frac{dy}{dx} = -\frac{y x^{y-1} + y^x \log y}{x^y \log x + x y^{x-1}} \)

मुख्य बिंदु:

• यह एक अस्पष्ट फलन (Implicit Function) है जिसमें चर घात भी शामिल है।
• नियतांक (1) का अवकलन शून्य होता है।
• \( \frac{dy}{dx} \) के सभी पदों को बाईं ओर कॉमन निकालकर अलग किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• दाहिने पक्ष के 1 का अवकलन 1 लिख देना (जो कि 0 होना चाहिए)।
• \( \frac{dy}{dx} \) को कॉमन लेते समय चिन्ह की गलती करना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में सीधे समीकरण का अवकलन करने के बजाय \( u \) और \( v \) मानकर करें।
b) अंत में \( \frac{dy}{dx} \) को समीकरण के एक तरफ अकेले रखें।
c) घातांक के नियमों का सही प्रयोग करें।

Question 13: \( y^x = x^y \)

Answer:

दोनों ओर लघुगणक (log) लेने पर:
\( \log(y^x) = \log(x^y) \)
\( x \log y = y \log x \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( x \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \cdot 1 = y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx} \)
\( \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} - \log x \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \log y \)
\( \frac{dy}{dx} \left( \frac{x}{y} - \log x \right) = \frac{y}{x} - \log y \)
\( \frac{dy}{dx} \left( \frac{x - y \log x}{y} \right) = \frac{y - x \log y}{x} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{y(y - x \log y)}{x(x - y \log x)} \)

मुख्य बिंदु:

• दोनों पक्षों में चर की घात चर होने के कारण सीधे log लेने पर प्रश्न बहुत आसान हो जाता है।
• गुणन नियम (Product Rule) का उपयोग दोनों पक्षों में किया गया है।
• \( \frac{dy}{dx} \) के पदों को एक तरफ स्थानांतरित करके कॉमन निकाला गया है।

आम गलतियाँ:

• log लेने के बाद घातों को गुणा में आगे न लाना।
• अवकलन करते समय गुणन नियम भूल जाना।

Exam Tips:

a) जब दोनों पक्षों में \( [f(x)]^{g(x)} \) जैसा रूप हो, तो बिना \( u, v \) माने सीधे log ले सकते हैं।
b) लघुत्तम लेकर उत्तर को मानक रूप में बदलें।
c) चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 14: \( (\cos x)^y = (\cos y)^x \)

Answer:

दोनों ओर लघुगणक लेने पर:
\( \log((\cos x)^y) = \log((\cos y)^x) \)
\( y \log(\cos x) = x \log(\cos y) \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( y \cdot \frac{1}{\cos x}(-\sin x) + \log(\cos x) \cdot \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{1}{\cos y}(-\sin y) \frac{dy}{dx} + \log(\cos y) \cdot 1 \)
\( -y \tan x + \log(\cos x) \frac{dy}{dx} = -x \tan y \frac{dy}{dx} + \log(\cos y) \)
\( \frac{dy}{dx} [\log(\cos x) + x \tan y] = y \tan x + \log(\cos y) \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{y \tan x + \log(\cos y)}{x \tan y + \log(\cos x)} \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय फलनों के लघुगणक का अवकलन श्रृंखला नियम से किया जाता है।
• \( \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x \) का उपयोग किया गया है।
• दोनों पक्षों में log लेने से घातीय रूप सरल हो जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( \cos y \) का अवकलन करते समय \( -\sin y \cdot \frac{dy}{dx} \) लिखना भूल जाना।
• पक्षांतर करते समय चिन्हों की गलती करना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों के साथ log वाले प्रश्नों में tan पदों को ध्यान से व्यवस्थित करें।
b) \( \frac{dy}{dx} \) वाले पदों को बाईं ओर एकत्र करें।
c) अंतिम उत्तर को भिन्न के रूप में स्पष्ट लिखें।

Question 15: \( xy = e^{(x - y)} \)

Answer:

दोनों ओर लघुगणक लेने पर:
\( \log(xy) = \log(e^{x - y}) \)
\( \log x + \log y = (x - y) \log e \)
चूँकि \( \log e = 1 \), अतः:
\( \log x + \log y = x - y \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx} \)
\( \frac{dy}{dx} \left( \frac{1}{y} + 1 \right) = 1 - \frac{1}{x} \)
\( \frac{dy}{dx} \left( \frac{1 + y}{y} \right) = \frac{x - 1}{x} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{y(x - 1)}{x(y + 1)} \)

मुख्य बिंदु:

• घातांकीय फलन \( e^{x-y} \) में log लेने पर घात सामने आ जाती है और आधार \( e \) होने के कारण \( \log e = 1 \) हो जाता है।
• गुणनफल की लघुगणक गुणधर्म \( \log(xy) = \log x + \log y \) का उपयोग किया गया है।
• यह एक सरल अस्पष्ट फलन अवकलन है।

आम गलतियाँ:

• \( \log(xy) \) को \( \log x \cdot \log y \) लिख देना (जो कि गलत है, यह \( \log x + \log y \) होता है)।
• \( \log e \) को शून्य मान लेना (जबकि \( \log_e e = 1 \) होता है)।

Exam Tips:

a) आधार \( e \) वाले फलनों में log लेने पर गणना बहुत सरल हो जाती है।
b) भिन्नों को हल करते समय LCM का सही प्रयोग करें।
c) उत्तर को सरलतम रूप में दें।

Question 16: \( f(x) = (1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)(1 + x^8) \) द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार \( f'(1) \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

\( f(x) = (1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)(1 + x^8) \)
दोनों ओर log लेने पर:
\( \log f(x) = \log(1 + x) + \log(1 + x^2) + \log(1 + x^4) + \log(1 + x^8) \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{f(x)} f'(x) = \frac{1}{1 + x} + \frac{2x}{1 + x^2} + \frac{4x^3}{1 + x^4} + \frac{8x^7}{1 + x^8} \)
\( f'(x) = f(x) \left[ \frac{1}{1 + x} + \frac{2x}{1 + x^2} + \frac{4x^3}{1 + x^4} + \frac{8x^7}{1 + x^8} \right] \)
अब \( x = 1 \) रखने पर:
\( f(1) = (1 + 1)(1 + 1^2)(1 + 1^4)(1 + 1^8) = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \)
\( f'(1) = 16 \left[ \frac{1}{1 + 1} + \frac{2(1)}{1 + 1^2} + \frac{4(1)^3}{1 + 1^4} + \frac{8(1)^7}{1 + 1^8} \right] \)
\( f'(1) = 16 \left[ \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{4}{2} + \frac{8}{2} \right] \)
\( f'(1) = 16 \left[ \frac{1 + 2 + 4 + 8}{2} \right] = 16 \times \frac{15}{2} = 8 \times 15 = 120 \)

मुख्य बिंदु:

• चार पदों के गुणनफल का अवकलन log की सहायता से बहुत आसानी से हो जाता है।
• अवकलन ज्ञात करने के बाद दिए गए बिंदु (\( x = 1 \)) को प्रतिस्थापित किया जाता है।
• श्रृंखला नियम द्वारा \( x^2, x^4, x^8 \) के अवकलन क्रमशः \( 2x, 4x^3, 8x^7 \) होते हैं।

आम गलतियाँ:

• \( f(1) \) का मान निकालते समय गुणा की बजाय जोड़ देना।
• आंतरिक फलनों के अवकलन (जैसे \( x^4 \) का \( 4x^3 \)) में घात लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में पहले \( f'(x) \) ज्ञात करें, फिर मान रखें; सीधे \( x=1 \) रखकर अवकलन न करें।
b) गणनाओं को सावधानीपूर्वक करें ताकि सिलाई की गलती न हो।
c) प्रत्येक पद का मान स्पष्ट रूप से दिखाएं।

Question 17: \( (x^2 - 5x + 8)(x^3 + 7x + 9) \) का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए:
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तार द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुगणकीय अवकलन द्वारा
यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान हैं।

Answer:

मान लीजिए \( y = (x^2 - 5x + 8)(x^3 + 7x + 9) \)
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके:
\( \frac{dy}{dx} = (x^2 - 5x + 8) \frac{d}{dx}(x^3 + 7x + 9) + (x^3 + 7x + 9) \frac{d}{dx}(x^2 - 5x + 8) \)
\( = (x^2 - 5x + 8)(3x^2 + 7) + (x^3 + 7x + 9)(2x - 5) \)
\( = (3x^4 + 7x^2 - 15x^3 - 35x + 24x^2 + 56) + (2x^4 - 5x^3 + 14x^2 - 35x + 18x - 45) \)
\( = 5x^4 - 20x^3 + 45x^2 - 52x + 11 \)
(ii) गुणनफल के विस्तार द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके:
\( y = x^5 + 7x^3 + 9x^2 - 5x^4 - 35x - 45 + 8x^3 + 56x + 72 \) (विस्तार करने पर)
\( y = x^5 - 5x^4 + 15x^3 - 26x^2 + 11x + 72 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^5) - 5\frac{d}{dx}(x^4) + 15\frac{d}{dx}(x^3) - 26\frac{d}{dx}(x^2) + 11\frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(72) \)
\( = 5x^4 - 20x^3 + 45x^2 - 52x + 11 \)
(iii) लघुगणकीय अवकलन द्वारा:
दोनों ओर log लेने पर:
\( \log y = \log(x^2 - 5x + 8) + \log(x^3 + 7x + 9) \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 - 5x + 8}(2x - 5) + \frac{1}{x^3 + 7x + 9}(3x^2 + 7) \)
\( \frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{2x - 5}{x^2 - 5x + 8} + \frac{3x^2 + 7}{x^3 + 7x + 9} \right] \)
\( = (x^2 - 5x + 8)(x^3 + 7x + 9) \left[ \frac{(2x - 5)(x^3 + 7x + 9) + (3x^2 + 7)(x^2 - 5x + 8)}{(x^2 - 5x + 8)(x^3 + 7x + 9)} \right] \)
\( = 5x^4 - 20x^3 + 45x^2 - 52x + 11 \)
अतः, तीनों विधियों से प्राप्त उत्तर समान हैं।

मुख्य बिंदु:

• किसी भी फलन का अवकलन विधि बदलने पर भी परिणाम समान रहता है।
• गुणनफल नियम: \( (uv)' = u'v + uv' \)
• बहुपदों का गुणा करते समय प्रत्येक पद का ध्यान रखें।

आम गलतियाँ:

• बीजगणितीय विस्तार करते समय चिन्हों (+/-) की गलती करना।
• लघुगणकीय विधि में लघुत्तम लेते समय पदों को सही से न जोड़ना।

Exam Tips:

a) परीक्षा में यदि विशिष्ट विधि पूछी जाए, तो उसी विधि का पालन करें।
b) बहुपदों के गुणा में धैर्य रखें ताकि गलती न हो।
c) उत्तर के अंत में सत्यापन (verification) का निष्कर्ष अवश्य लिखें।

Question 18: यदि \( u, v \) तथा \( w \) \( x \) के फलन हैं, तो दो विधियों अर्थात प्रथम-गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय - लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि \( \frac{d}{dx}(u \cdot v \cdot w) = \frac{du}{dx} \cdot v \cdot w + u \cdot \frac{dv}{dx} \cdot w + u \cdot v \cdot \frac{dw}{dx} \)

Answer:

विधि 1: गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा:
मान लीजिए \( y = (u \cdot v) \cdot w \)
दो फलनों के गुणनफल नियम का प्रयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = (u \cdot v) \frac{d}{dx}(w) + w \frac{d}{dx}(u \cdot v) \)
पुनः \( u \cdot v \) पर गुणनफल नियम लगाने पर:
\( = (u \cdot v) \frac{dw}{dx} + w \left( u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} \right) \)
\( = u \cdot v \frac{dw}{dx} + u \cdot w \frac{dv}{dx} + v \cdot w \frac{du}{dx} \)
\( = \frac{du}{dx} \cdot v \cdot w + u \cdot \frac{dv}{dx} \cdot w + u \cdot v \cdot \frac{dw}{dx} \)
विधि 2: लघुगणकीय अवकलन द्वारा:
मान लीजिए \( y = u \cdot v \cdot w \)
दोनों ओर लघुगणक लेने पर:
\( \log y = \log u + \log v + \log w \)
दोनों ओर \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \frac{du}{dx} + \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} + \frac{1}{w} \frac{dw}{dx} \)
\( \frac{dy}{dx} = y \left( \frac{1}{u} \frac{du}{dx} + \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} + \frac{1}{w} \frac{dw}{dx} \right) \)
\( y \) का मान रखने पर:
\( \frac{dy}{dx} = (u \cdot v \cdot w) \left( \frac{1}{u} \frac{du}{dx} + \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} + \frac{1}{w} \frac{dw}{dx} \right) \)
\( = u \cdot v \cdot w \cdot \frac{1}{u} \frac{du}{dx} + u \cdot v \cdot w \cdot \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} + u \cdot v \cdot w \cdot \frac{1}{w} \frac{dw}{dx} \)
\( = \frac{du}{dx} \cdot v \cdot w + u \cdot \frac{dv}{dx} \cdot w + u \cdot v \cdot \frac{dw}{dx} \)

मुख्य बिंदु:

• तीन फलनों के गुणनफल का अवकलन सूत्र सिद्ध करने के लिए यह एक महत्वपूर्ण प्रश्न है।
• पहली विधि में ब्रैकेट मानकर दो फलनों के नियम को दो बार लगाया जाता है।
• दूसरी विधि में log के गुणों का उपयोग करके आसानी से सिद्ध किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• गुणन नियम लगाते समय कोष्ठक (brackets) का सही उपयोग न करना।
• लघुगणकीय विधि में मान वापस रखते समय गुना करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के व्युत्पत्ति (Derivation) वाले प्रश्नों के दोनों तरीकों को अच्छी तरह अभ्यास करें।
b) प्रत्येक चरण को तर्कसंगत और स्पष्ट लिखें।
c) अंत में "इति सिद्धम्" या "Hence Proved" लिखें।