Official NCERT Solutions for Class 12 Mathematics: Chapter 05 सांतत्य तथा अवकलनीयता
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 05 सांतत्य तथा अवकलनीयता
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Question 1: निम्नलिखित का \( x \) के सापेक्ष अवकलन कीजिए: \( \frac{e^x}{\sin x} \)
Answer:
मान लीजिए \( y = \frac{e^x}{\sin x} \), इसलिए
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{e^x}{\sin x} \right) \)
भाग नियम (Quotient Rule) का प्रयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\sin x \cdot \frac{d}{dx}(e^x) - e^x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)}{(\sin x)^2} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\sin x \cdot e^x - e^x \cdot \cos x}{\sin^2 x} \)
\( = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{\sin^2 x} \)
मुख्य बिंदु:
• यहाँ अंश और हर के रूप में फलन दिया गया है, इसलिए भाग नियम (Quotient Rule) का प्रयोग किया गया है।
• चर घातांकीय फलन \( e^x \) का अवकलन स्वयं \( e^x \) होता है।
• त्रिकोणमितीय फलन \( \sin x \) का अवकलन \( \cos x \) होता है।
आम गलतियाँ:
• भाग नियम में अंश और हर के अवकलन का क्रम गलत लिखना।
• हर के पद का वर्ग करना भूल जाना।
• \( e^x \) का अवकलन करते समय चिह्न की गलती करना।
Exam Tips:
a) हमेशा भाग नियम लिखते समय सूत्र को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
b) अंतिम उत्तर में उभयनिष्ठ (common) पदों को बाहर निकालकर सरलतम रूप में लिखें।
c) कोष्ठकों का ध्यान रखें ताकि ऋणात्मक चिह्नों की गलती न हो।
Question 2: निम्नलिखित का \( x \) के सापेक्ष अवकलन कीजिए: \( e^{\sin^{-1} x} \)
Answer:
मान लीजिए \( y = e^{\sin^{-1} x} \), इसलिए
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( e^{\sin^{-1} x} \right) \)
श्रृंखला नियम (Chain Rule) का प्रयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = e^{\sin^{-1} x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) \)
\( = e^{\sin^{-1} x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
\( = \frac{e^{\sin^{-1} x}}{\sqrt{1 - x^2}} \)
मुख्य बिंदु:
• यह संयुक्त फलन है, जिसमें श्रृंखला नियम (Chain Rule) का उपयोग आवश्यक है।
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन \( \sin^{-1} x \) का अवकलन \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) होता है।
आम गलतियाँ:
• केवल \( e^{\sin^{-1} x} \) का अवकलन करके छोड़ देना और आगे \( \sin^{-1} x \) का अवकलन न करना।
• वर्गमूल के चिह्न या हर के व्यंजक को गलत लिखना।
Exam Tips:
a) संयुक्त फलनों के अवकलन में हमेशा अंदर वाले फलन का अलग से अवकलन करना न भूलें।
b) प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मानक सूत्रों को अच्छी तरह याद रखें।
c) अंतिम परिणाम को एक सुव्यवस्थित भिन्न के रूप में लिखें।
Question 3: निम्नलिखित का \( x \) के सापेक्ष अवकलन कीजिए: \( e^{x^3} \)
Answer:
मान लीजिए \( y = e^{x^3} \), इसलिए
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (e^{x^3}) \)
श्रृंखला नियम (Chain Rule) का प्रयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = e^{x^3} \cdot \frac{d}{dx}(x^3) \)
\( = e^{x^3} \cdot 3x^2 \)
\( = 3x^2 e^{x^3} \)
मुख्य बिंदु:
• चर घातांकीय फलन के घात में बहुपद फलन दिया गया है।
• घात के फलन \( x^3 \) पर घात नियम (Power Rule) लगाया गया है।
आम गलतियाँ:
• \( e^{x^3} \) का अवकलन केवल \( e^{x^3} \) लिखकर समाप्त कर देना।
• \( x^3 \) का अवकलन करते समय घात को आगे लाने और घटाने में गलती करना।
Exam Tips:
a) बीजगणितीय पदों को चर घातांकीय पद से पहले लिखना अधिक मानक माना जाता है।
b) श्रृंखला नियम के चरणों को सीधे और स्पष्ट रूप से हल करें।
c) गणना की सटीकता की दोबारा जांच करें।
Question 4: निम्नलिखित का \( x \) के सापेक्ष अवकलन कीजिए: \( \sin(\tan^{-1} e^{-x}) \)
Answer:
मान लीजिए \( y = \sin(\tan^{-1} e^{-x}) \), इसलिए
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \sin(\tan^{-1} e^{-x}) \right) \)
श्रृंखला नियम (Chain Rule) का क्रमिक प्रयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \cos(\tan^{-1} e^{-x}) \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} e^{-x}) \)
\( = \cos(\tan^{-1} e^{-x}) \cdot \frac{1}{1 + (e^{-x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x}) \)
\( = \cos(\tan^{-1} e^{-x}) \cdot \frac{1}{1 + e^{-2x}} \cdot (-e^{-x}) \)
\( = \frac{-e^{-x} \cos(\tan^{-1} e^{-x})}{1 + e^{-2x}} \)
मुख्य बिंदु:
• इसमें तीन फलनों का संयोजन है, इसलिए श्रृंखला नियम तीन बार लगाना होगा।
• \( \sin \) का अवकलन \( \cos \), \( \tan^{-1} \) का अवकलन और \( e^{-x} \) का अवकलन क्रमशः किया गया है।
आम गलतियाँ:
• श्रृंखला नियम के किसी एक चरण (जैसे \( e^{-x} \) के अवकलन का ऋणात्मक चिह्न) को छोड़ देना।
• \( (e^{-x})^2 \) को गलत तरीके से हल करना।
Exam Tips:
a) बहु-स्तरीय फलनों के प्रश्नों में हर एक फलन का अवकलन अलग चरण में करें।
b) ऋणात्मक चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।
c) उत्तर को एक सरल अंश के रूप में व्यवस्थित करें।
Question 5: निम्नलिखित का \( x \) के सापेक्ष अवकलन कीजिए: \( \log(\cos e^x) \)
Answer:
मान लीजिए \( y = \log(\cos e^x) \), इसलिए
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\log(\cos e^x)) \)
श्रृंखला नियम (Chain Rule) का प्रयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos e^x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos e^x) \)
\( = \frac{1}{\cos e^x} \cdot (-\sin e^x) \cdot \frac{d}{dx}(e^x) \)
\( = \frac{-\sin e^x}{\cos e^x} \cdot e^x \)
\( = -\tan e^x \cdot e^x \)
मुख्य बिंदु:
• लघुगणकीय फलन \( \log x \) का अवकलन \( \frac{1}{x} \) होता है।
• \( \frac{\sin x}{\cos x} \) को त्रिकोणमितीय सर्वसमिका से \( \tan x \) लिखा जा सकता है।
आम गलतियाँ:
• \( \cos e^x \) का अवकलन करते समय केवल \( -\sin x \) लिख देना और \( e^x \) को छोड़ देना।
• \( \frac{-\sin e^x}{\cos e^x} \) को \( -\tan e^x \) में बदलने में चूक करना।
Exam Tips:
a) त्रिकोणमितीय अनुपातों के अनुपात को सरल करके tan या cot के रूप में लिखें।
b) श्रृंखला नियम लगाते समय अंदर के प्रत्येक फलन के अवकलन की जांच करें।
c) चरणों को स्पष्ट रूप से लिखकर दिखाएं।
Question 6: निम्नलिखित का \( x \) के सापेक्ष अवकलन कीजिए: \( e^x + e^{x^2} + \dots + e^{x^5} \)
Answer:
मान लीजिए \( y = e^x + e^{x^2} + e^{x^3} + e^{x^4} + e^{x^5} \), इसलिए
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x + e^{x^2} + e^{x^3} + e^{x^4} + e^{x^5}) \)
योग नियम (Sum Rule) का प्रयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x) + \frac{d}{dx}(e^{x^2}) + \frac{d}{dx}(e^{x^3}) + \frac{d}{dx}(e^{x^4}) + \frac{d}{dx}(e^{x^5}) \)
प्रत्येक पद का अलग से अवकलन करने पर:
\( = e^x + e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + e^{x^3} \cdot \frac{d}{dx}(x^3) + e^{x^4} \cdot \frac{d}{dx}(x^4) + e^{x^5} \cdot \frac{d}{dx}(x^5) \)
\( = e^x + e^{x^2} \cdot 2x + e^{x^3} \cdot 3x^2 + e^{x^4} \cdot 4x^3 + e^{x^5} \cdot 5x^4 \)
\( = e^x + 2xe^{x^2} + 3x^2e^{x^3} + 4x^3e^{x^4} + 5x^4e^{x^5} \)
मुख्य बिंदु:
• यहाँ कई फलनों का योग दिया गया है, इसलिए योग नियम के तहत प्रत्येक पद का अलग अवकलन किया जाता है।
• प्रत्येक पद में श्रृंखला नियम का उपयोग किया गया है।
आम गलतियाँ:
• श्रृंखला नियम लगाते समय किसी पद की घात का अवकलन करना भूल जाना।
• गुणांकों (coefficients) को गलत लिखना।
Exam Tips:
a) श्रृंखला वाले पदों में गुणांकों को चर घातांकीय पद के आगे लिखें।
b) सभी पदों को क्रमित रूप से हल करें ताकि कोई पद छूटे नहीं।
c) लंबे व्यंजकों में चिह्न और संकेतों की शुद्धता बनाए रखें।
Question 7: निम्नलिखित का \( x \) के सापेक्ष अवकलन कीजिए: \( \sqrt{e^{\sqrt{x}}}, x > 0 \)
Answer:
मान लीजिए \( y = \sqrt{e^{\sqrt{x}}} \), इसलिए
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( (e^{\sqrt{x}})^{1/2} \right) \)
श्रृंखला नियम (Chain Rule) का प्रयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{e^{\sqrt{x}}}} \cdot \frac{d}{dx}(e^{\sqrt{x}}) \)
\( = \frac{1}{2\sqrt{e^{\sqrt{x}}}} \cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) \)
\( = \frac{1}{2\sqrt{e^{\sqrt{x}}}} \cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( = \frac{e^{\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}\sqrt{e^{\sqrt{x}}}} \)
मुख्य बिंदु:
• वर्गमूल फलन का अवकलन \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) होता है।
• इसमें तीन स्तरों (वर्गमूल, चर घातांकीय, और आंतरिक वर्गमूल) पर श्रृंखला नियम लगाया गया है।
आम गलतियाँ:
• हर में 2 को बाहर वाले वर्गमूल और अंदर वाले वर्गमूल दोनों के साथ गुणा करना भूल जाना।
• \( \sqrt{x} \) के अवकलन में गलती करना।
Exam Tips:
a) वर्गमूल वाले फलनों को घात \( \frac{1}{2} \) मानकर करना आसान होता है।
b) हर के सभी पदों को सावधानी से गुणा करें।
c) प्रश्न में दी गई शर्त \( x > 0 \) को ध्यान में रखें।
Question 8: निम्नलिखित का \( x \) के सापेक्ष अवकलन कीजिए: \( \log(\log x), x > 1 \)
Answer:
मान लीजिए \( y = \log(\log x) \), इसलिए
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\log(\log x)) \)
श्रृंखला नियम (Chain Rule) का प्रयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{dx}(\log x) \)
\( = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} \)
\( = \frac{1}{x \log x} \)
मुख्य बिंदु:
• यह संयुक्त लघुगणकीय फलन है।
• बाहरी \( \log \) का अवकलन करने पर हर में \( \log x \) आता है और आंतरिक \( \log x \) का अवकलन \( \frac{1}{x} \) होता है।
आम गलतियाँ:
• \( \log(\log x) \) का अवकलन सीधे \( \frac{1}{x} \) लिख देना।
• हर में गुणा के पदों को सही ढंग से व्यवस्थित न करना।
Exam Tips:
a) लघुगणकीय फलनों के संयोजन में आधार और फलनों की स्थिति स्पष्ट रखें।
b) हर में \( x \log x \) लिखना मानक रूप है।
c) शर्त \( x > 1 \) यह सुनिश्चित करती है कि \( \log x \) परिभाषित और धनात्मक है।
Question 9: निम्नलिखित का \( x \) के सापेक्ष अवकलन कीजिए: \( \frac{\cos x}{\log x}, x > 0 \)
Answer:
मान लीजिए \( y = \frac{\cos x}{\log x} \), इसलिए
भाग नियम (Quotient Rule) का प्रयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\log x \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) - \cos x \cdot \frac{d}{dx}(\log x)}{(\log x)^2} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\log x \cdot (-\sin x) - \cos x \cdot \frac{1}{x}}{(\log x)^2} \)
अंश का लघुत्तम (LCM) लेने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-x \log x \sin x - \cos x}{x(\log x)^2} \)
\( = \frac{-(x \log x \sin x + \cos x)}{x(\log x)^2} \)
मुख्य बिंदु:
• अंश में त्रिकोणमितीय फलन और हर में लघुगणकीय फलन होने के कारण भाग नियम लगाया गया है।
• अंश को सरल करने के लिए \( x \) का लघुत्तम लेना आवश्यक होता है।
आम गलतियाँ:
• भाग नियम में ऋण चिह्न की गलती करना।
• लघुत्तम लेने के बाद हर में \( x \) को भूल जाना।
Exam Tips:
a) अंश में भिन्न आने पर उसे एक ही भिन्न के रूप में सरल करें।
b) त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलन के ऋणात्मक चिह्नों का ध्यान रखें।
c) हर के पद \( (\log x)^2 \) कोष्ठक के साथ लिखें।
Question 10: निम्नलिखित का \( x \) के सापेक्ष अवकलन कीजिए: \( \cos(\log x + e^x) \)
Answer:
मान लीजिए \( y = \cos(\log x + e^x) \), इसलिए
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\cos(\log x + e^x)) \)
श्रृंखला नियम (Chain Rule) का प्रयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = -\sin(\log x + e^x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x + e^x) \)
योग नियम का प्रयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = -\sin(\log x + e^x) \cdot \left( \frac{1}{x} + e^x \right) \)
\( = -\left( \frac{1}{x} + e^x \right) \sin(\log x + e^x) \)
मुख्य बिंदु:
• यहाँ त्रिकोणमितीय फलन के अंदर एक बीजगणितीय, लघुगणकीय और चर घातांकीय फलन का योग है।
• \( \cos \) का अवकलन \( -\sin \) होता है।
आम गलतियाँ:
• \( (\log x + e^x) \) के अवकलन में किसी एक पद का अवकलन करना भूल जाना।
• कोष्ठक न लगाने के कारण गुणन चिह्न की त्रुटि करना।
Exam Tips:
a) योग वाले पदों के अवकलन को कोष्ठक में ही रखें ताकि गुणा में गलती न हो।
b) त्रिकोणमितीय पदों के बाहर के ऋणात्मक चिह्न को आगे लिखें।
c) अंतिम उत्तर को पूरी तरह से कोष्ठकबद्ध करके प्रस्तुत करें।
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