NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 05 Continuity and Differentiability (सांतत्य तथा अवकलनीयता) Exercise 5.3 in Hindi

Question 1: \( 2x + 3y = \sin x \)

Answer:

दिया गया समीकरण है:
\( 2x + 3y = \sin x \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(3y) = \frac{d}{dx}(\sin x) \)
\( \Rightarrow 2 + 3\frac{dy}{dx} = \cos x \)
\( \Rightarrow 3\frac{dy}{dx} = \cos x - 2 \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x - 2}{3} \)

मुख्य बिंदु:

• अस्पष्ट फलनों (implicit functions) का अवकलन दोनों पक्षों में सीधे किया जाता है।
• \( y \) के पदों का अवकलन करते समय श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके \( \frac{dy}{dx} \) लिखा जाता है।
• त्रिकोणमितीय फलनों के मानक अवकलन सूत्रों का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• \( 3y \) का अवकलन केवल \( 3 \) लिखना और \( \frac{dy}{dx} \) छोड़ देना।
• दोनों पक्षों के बजाय केवल एक पक्ष का अवकलन करना।
• पक्षांतर करते समय चिह्नों में गलती करना।

Exam Tips:

a) अवकलन करते समय प्रत्येक पद के आगे \( \frac{d}{dx} \) स्पष्ट रूप से लिखें।
b) अंतिम उत्तर में हमेशा \( \frac{dy}{dx} \) को एक पक्ष में अकेला रखें।
c) परीक्षा में चरणों के अंक होते हैं, इसलिए हर एक चरण को अलग पंक्ति में लिखें।

Question 2: \( 2x + 3y = \sin y \)

Answer:

दिया गया समीकरण है:
\( 2x + 3y = \sin y \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(3y) = \frac{d}{dx}(\sin y) \)
\( \Rightarrow 2 + 3\frac{dy}{dx} = \cos y \cdot \frac{dy}{dx} \)
\( \Rightarrow 2 = \cos y \frac{dy}{dx} - 3\frac{dy}{dx} \)
\( \Rightarrow 2 = \frac{dy}{dx}(\cos y - 3) \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2}{\cos y - 3} \)

मुख्य बिंदु:

• \( \sin y \) का अवकलन \( \cos y \cdot \frac{dy}{dx} \) होता है (श्रृंखला नियम द्वारा)।
• \( \frac{dy}{dx} \) वाले सभी पदों को एक तरफ एकत्र किया जाता है।
• सामान्य गुणनखंड \( \frac{dy}{dx} \) को बाहर निकालकर मान ज्ञात किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( \sin y \) का अवकलन केवल \( \cos y \) लिखना और \( \frac{dy}{dx} \) भूल जाना।
• पक्षांतर के दौरान पदों के चिह्न बदलना भूल जाना।

Exam Tips:

a) फलनों के अंदर आने वाले चरों (जैसे \( y \)) के अवकलन पर विशेष ध्यान दें।
b) समीकरण को सरल बनाते समय कोष्ठकों का सही प्रयोग करें।
c) अंतिम चरण में हर का मान शून्य नहीं होना चाहिए, इस बात का ध्यान रखें।

Question 3: \( ax + by^2 = \cos y \)

Answer:

दिया गया समीकरण है:
\( ax + by^2 = \cos y \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}(ax) + \frac{d}{dx}(by^2) = \frac{d}{dx}(\cos y) \)
\( \Rightarrow a + 2by \frac{dy}{dx} = -\sin y \frac{dy}{dx} \)
\( \Rightarrow 2by \frac{dy}{dx} + \sin y \frac{dy}{dx} = -a \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx}(2by + \sin y) = -a \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-a}{2by + \sin y} \)

मुख्य बिंदु:

• घात नियम का प्रयोग करके \( y^2 \) का अवकलन \( 2y \frac{dy}{dx} \) होता है।
• \( \cos y \) का अवकलन \( -\sin y \frac{dy}{dx} \) होता है।
• \( \frac{dy}{dx} \) युक्त पदों को बाईं ओर लाना सुविधाजनक होता है।

आम गलतियाँ:

• \( \cos y \) के अवकलन में ऋणात्मक चिह्न लगाना भूल जाना।
• स्थिरांक \( a \) का अवकलन शून्य के स्थान पर \( a \) ही लिख देना।

Exam Tips:

a) प्रश्नों को हल करते समय बीजगणितीय नियमों का सावधानी से पालन करें।
b) ऋणात्मक चिह्नों को अंश या हर में व्यवस्थित रूप से लिखें।
c) प्रत्येक पंक्ति में समीकरण के दोनों पक्षों को संतुलित रखें।

Question 4: \( xy + y^2 = \tan x + y \)

Answer:

दिया गया समीकरण है:
\( xy + y^2 = \tan x + y \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\tan x) + \frac{d}{dx}(y) \)
\( \Rightarrow \left(x \frac{dy}{dx} + y \cdot 1\right) + 2y \frac{dy}{dx} = \sec^2 x + \frac{dy}{dx} \)
\( \Rightarrow x \frac{dy}{dx} + y + 2y \frac{dy}{dx} = \sec^2 x + \frac{dy}{dx} \)
\( \Rightarrow x \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \sec^2 x - y \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx}(x + 2y - 1) = \sec^2 x - y \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{\sec^2 x - y}{x + 2y - 1} \)

मुख्य बिंदु:

• गुणनफल नियम (Product Rule): \( \frac{d}{dx}(xy) = x\frac{dy}{dx} + y \) का उपयोग किया गया है।
• \( \tan x \) का अवकलन \( \sec^2 x \) होता है।
• \( \frac{dy}{dx} \) वाले पदों को एक तरफ और शेष पदों को दूसरी तरफ स्थानांतरित किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• गुणनफल नियम लगाते समय एक पद का अवकलन करना और दूसरे को भूल जाना।
• दाईं ओर स्थित \( y \) के अवकलन \( \frac{dy}{dx} \) को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) जहाँ दो फलनों का गुणन हो, वहाँ हमेशा गुणनफल नियम का ही प्रयोग करें।
b) चरणों को स्पष्ट रूप से लिखकर पक्षांतर करें ताकि चिह्न की गलती न हो।
c) अंतिम परिणाम को सरलतम रूप में प्रस्तुत करें।

Question 5: \( x^2 + xy + y^2 = 100 \)

Answer:

दिया गया समीकरण है:
\( x^2 + xy + y^2 = 100 \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(100) \)
\( \Rightarrow 2x + \left(x \frac{dy}{dx} + y \cdot 1\right) + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \Rightarrow 2x + y + x \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx}(x + 2y) = -(2x + y) \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y} \)

मुख्य बिंदु:

• अचर संख्या \( 100 \) का अवकलन शून्य होता है।
• \( xy \) पद पर गुणनफल नियम लगाया गया है।
• \( \frac{dy}{dx} \) के पदों को एक तरफ रखकर बाकी पदों को दाईं ओर भेजा गया है।

आम गलतियाँ:

• अचर पद \( 100 \) का अवकलन \( 100 \) ही लिख देना।
• \( x^2 \) का अवकलन \( 2x \) के बजाय केवल \( x \) लिखना।

Exam Tips:

a) किसी भी अचर राशि का अवकलन हमेशा शून्य होता है, इसे याद रखें।
b) ब्रैकेट का ध्यान रखें ताकि पक्षांतर करते समय चिह्न की गलती न हो।
c) उत्तर को मानक रूप में ही छोड़ें।

Question 6: \( x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 81 \)

Answer:

दिया गया समीकरण है:
\( x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 81 \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(x^2y) + \frac{d}{dx}(xy^2) + \frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(81) \)
\( \Rightarrow 3x^2 + \left(x^2 \frac{dy}{dx} + y \cdot 2x\right) + \left(x \cdot 2y \frac{dy}{dx} + y^2 \cdot 1\right) + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \Rightarrow 3x^2 + x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy + 2xy \frac{dy}{dx} + y^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx}(x^2 + 2xy + 3y^2) = -(3x^2 + 2xy + y^2) \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + 2xy + y^2}{x^2 + 2xy + 3y^2} \)

मुख्य बिंदु:

• \( x^2y \) और \( xy^2 \) दोनों पर गुणनफल नियम का प्रयोग किया गया है।
• \( y^3 \) का अवकलन \( 3y^2 \frac{dy}{dx} \) होता है।
• सभी \( \frac{dy}{dx} \) पदों को एक साथ समूहीकृत किया गया है।

आम गलतियाँ:

• गुणनफल नियम लगाते समय घातों या गुणांकों की गलती करना।
• किसी पद का अवकलन करना छूट जाना।

Exam Tips:

a) लंबे व्यंजकों के अवकलन में प्रत्येक पद को अलग-अलग कोष्ठक में हल करें।
b) समान पदों (like terms) को ध्यान से जोड़ें या घटाएं।
c) परीक्षा में समय बचाने के लिए गणना स्पष्ट और साफ सुथरी करें।

Question 7: \( \sin^2 y + \cos xy = k \)

Answer:

दिया गया समीकरण है:
\( \sin^2 y + \cos xy = k \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}(\sin^2 y) + \frac{d}{dx}(\cos xy) = \frac{d}{dx}(k) \)
\( \Rightarrow 2\sin y \cdot \cos y \frac{dy}{dx} - \sin(xy) \left(x \frac{dy}{dx} + y \cdot 1\right) = 0 \)
\( \Rightarrow \sin(2y) \frac{dy}{dx} - x\sin(xy) \frac{dy}{dx} - y\sin(xy) = 0 \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx}(\sin(2y) - x\sin(xy)) = y\sin(xy) \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y\sin(xy)}{\sin(2y) - x\sin(xy)} \)

मुख्य बिंदु:

• \( \sin^2 y \) का अवकलन श्रृंखला नियम से \( 2\sin y \cos y \frac{dy}{dx} \) यानी \( \sin(2y) \frac{dy}{dx} \) होता है।
• \( \cos xy \) का अवकलन \( -\sin(xy) \cdot \frac{d}{dx}(xy) \) होता है।
• \( k \) एक अचर है, इसलिए इसका अवकलन शून्य होगा।

आम गलतियाँ:

• \( \sin^2 y \) का अवकलन केवल \( 2\sin y \) लिखना।
• \( \cos xy \) का अवकलन करते समय कोण \( xy \) का दोबारा अवकलन करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) संयुक्त फलनों (composite functions) में श्रृंखला नियम का क्रम न भूलें।
b) त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं (जैसे \( 2\sin y \cos y = \sin 2y \)) का प्रयोग करके उत्तर को संक्षिप्त करें।
c) अचर \( k \) के स्थान पर जल्दबाजी में कोई चर न समझ बैठे।

Question 8: \( \sin^2 x + \cos^2 y = 1 \)

Answer:

दिया गया समीकरण है:
\( \sin^2 x + \cos^2 y = 1 \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}(\sin^2 x) + \frac{d}{dx}(\cos^2 y) = \frac{d}{dx}(1) \)
\( \Rightarrow 2\sin x \cos x + 2\cos y(-\sin y) \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \Rightarrow \sin 2x - \sin 2y \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \Rightarrow \sin 2x = \sin 2y \frac{dy}{dx} \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{\sin 2x}{\sin 2y} \)

मुख्य बिंदु:

• \( \sin^2 x \) का अवकलन \( 2\sin x \cos x \) होता है।
• \( \cos^2 y \) का अवकलन \( 2\cos y(-\sin y) \frac{dy}{dx} \) होता है।
• \( 2\sin x \cos x = \sin 2x \) और \( 2\sin y \cos y = \sin 2y \) सर्वसमिका का उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• ऋणात्मक चिह्न का ध्यान न रखना।
• \( \frac{dy}{dx} \) को लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करने से उत्तर अधिक स्पष्ट और छोटा बनता है।
b) अवकलन के बाद पदों को पक्षांतर करते समय चिह्नों की जाँच अवश्य करें।
c) परीक्षा में सभी मध्यवर्ती चरणों को प्रदर्शित करें।

Question 9: \( y = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1 + x^2}\right) \)

Answer:

दिया गया फलन है:
\( y = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1 + x^2}\right) \)
माना \( x = \tan \theta \), तब \( \theta = \tan^{-1}x \)
फलन में मान रखने पर:
\( y = \sin^{-1}\left(\frac{2\tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}\right) \)
\( \Rightarrow y = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta \)
\( \Rightarrow y = 2\tan^{-1}x \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1 + x^2} \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2}{1 + x^2} \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन (Trigonometric substitution) द्वारा फलन को सरल किया गया है।
• \( \sin 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \) सूत्र का प्रयोग किया गया है।
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के मानक अवकलन \( \frac{d}{dx}(\tan^{-1}x) = \frac{1}{1+x^2} \) का उपयोग हुआ है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिस्थापन के बाद प्रतिलोम फलन को गलत तरीके से हटाना।
• \( \theta \) के मान को वापस \( x \) के पदों में बदलना भूल जाना।

Exam Tips:

a) प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के प्रश्नों में सीधे अवकलन करने के बजाय उचित प्रतिस्थापन का चयन करें।
b) मानक सूत्रों को हमेशा उत्तर पुस्तिका के कोने में या साइड में लिखकर रखें।
c) चरणों को क्रमबद्ध तरीके से हल करें।

Question 10: \( y = \tan^{-1}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right), -\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}} \)

Answer:

दिया गया फलन है:
\( y = \tan^{-1}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right) \)
माना \( x = \tan \theta \), तब \( \theta = \tan^{-1}x \)
फलन में मान रखने पर:
\( y = \tan^{-1}\left(\frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta}\right) \)
\( \Rightarrow y = \tan^{-1}(\tan 3\theta) = 3\theta \)
\( \Rightarrow y = 3\tan^{-1}x \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{1}{1 + x^2} \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3}{1 + x^2} \)

मुख्य बिंदु:

• \( \tan 3\theta = \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta} \) त्रिकोणमितीय सूत्र का प्रयोग किया गया है।
• फलन को सरल करने के बाद ही अवकलन करना आसान होता है।
• \( \tan^{-1}x \) का अवकलन \( \frac{1}{1+x^2} \) होता है।

आम गलतियाँ:

• त्रिकोणमितीय सूत्र में गुणांकों या संकेतों की गलती करना।
• प्रतिस्थापन के बिना सीधे श्रृंखला नियम लगाने का प्रयास करना, जिससे गणना बहुत जटिल हो जाती है।

Exam Tips:

a) ऐसे प्रश्नों में त्रिकोणमितीय सूत्रों का ज्ञान होना अत्यंत आवश्यक है।
b) परिसर (range) की शर्त दी गई हो तो उसका सम्मान करें, यद्यपि अवकलन में इसका सीधा उपयोग गणना को प्रभावित नहीं करता।
c) अंतिम उत्तर को पूरी तरह से सरल करके लिखें।

Question 11: \( y = \cos^{-1}\left(\frac{1 - x^2}{1 + x^2}\right), 0 < x < 1 \)

Answer:

दिया गया फलन है:
\( y = \cos^{-1}\left(\frac{1 - x^2}{1 + x^2}\right) \)
माना \( x = \tan \theta \), तब \( \theta = \tan^{-1}x \)
फलन में मान रखने पर:
\( y = \cos^{-1}\left(\frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}\right) \)
\( \Rightarrow y = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta \)
\( \Rightarrow y = 2\tan^{-1}x \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1 + x^2} \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2}{1 + x^2} \)

मुख्य बिंदु:

• \( \cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \) सूत्र का उपयोग किया गया है।
• \( \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta \) क्योंकि \( 0 < x < 1 \) दिया गया है।
• सरल करने के बाद अवकलन करना अत्यंत सरल हो जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( \cos^{-1} \) के अंदर के व्यंजक को बिना पहचाने सीधे अवकलन करना।
• \( \theta \) के मान को प्रतिस्थापित करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) प्रतिस्थापन विधि का अभ्यास करें ताकि सही सूत्र तुरंत याद आ जाए।
b) त्रिकोणमितीय सूत्रों की सूची हमेशा तैयार रखें।
c) परीक्षा में सभी चरणों को साफ-सुथरा लिखें।

Question 12: \( y = \sin^{-1}\left(\frac{1 - x^2}{1 + x^2}\right), 0 < x < 1 \)

Answer:

दिया गया फलन है:
\( y = \sin^{-1}\left(\frac{1 - x^2}{1 + x^2}\right) \)
माना \( x = \tan \theta \), तब \( \theta = \tan^{-1}x \)
फलन में मान रखने पर:
\( y = \sin^{-1}\left(\frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}\right) \)
\( \Rightarrow y = \sin^{-1}(\cos 2\theta) \)
पूरक कोण सूत्र \( \cos 2\theta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( y = \sin^{-1}\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right)\right) \)
\( \Rightarrow y = \frac{\pi}{2} - 2\theta = \frac{\pi}{2} - 2\tan^{-1}x \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = 0 - 2 \cdot \frac{1}{1 + x^2} \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{2}{1 + x^2} \)

मुख्य बिंदु:

• यहाँ अंदर \( \cos 2\theta \) है, जिसे \( \sin \) के पदों में बदलने के लिए पूरक कोण सूत्र का प्रयोग किया गया है।
• \( \frac{\pi}{2} \) एक अचर है, जिसका अवकलन शून्य होता है।
• श्रृंखला नियम और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय गुणों का सही संयोजन किया गया है।

आम गलतियाँ:

• सीधे \( \sin^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta \) लिख देना (जो कि गलत है क्योंकि फलन भिन्न हैं)।
• अचर पद का अवकलन गलत करना।

Exam Tips:

a) बाहर और अंदर के त्रिकोणमितीय फलनों के प्रकार (sin और cos) का मिलान अवश्य करें।
b) यदि दोनों फलन अलग हों, तो पूरक कोण (complementary angles) का उपयोग करें।
c) चिह्नों की सावधानीपूर्वक जाँच करें।

Question 13: \( y = \cos^{-1}\left(\frac{2x}{1 + x^2}\right), -1 < x < 1 \)

Answer:

दिया गया फलन है:
\( y = \cos^{-1}\left(\frac{2x}{1 + x^2}\right) \)
माना \( x = \tan \theta \), तब \( \theta = \tan^{-1}x \)
फलन में मान रखने पर:
\( y = \cos^{-1}\left(\frac{2\tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}\right) \)
\( \Rightarrow y = \cos^{-1}(\sin 2\theta) \)
पूरक कोण सूत्र \( \sin 2\theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right) \) का प्रयोग करने पर:
\( y = \cos^{-1}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right)\right) \)
\( \Rightarrow y = \frac{\pi}{2} - 2\theta = \frac{\pi}{2} - 2\tan^{-1}x \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = 0 - 2 \cdot \frac{1}{1 + x^2} \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{2}{1 + x^2} \)

मुख्य बिंदु:

• \( \frac{2\tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \sin 2\theta \) होता है।
• \( \cos^{-1} \) को हटाने के लिए अंदर के पद को \( \cos \) के रूप में बदला गया है।
• अचर \( \frac{\pi}{2} \) का अवकलन शून्य होता है।

आम गलतियाँ:

• \( \cos^{-1}(\sin 2\theta) \) को सीधे \( 2\theta \) लिख देना।
• ऋणात्मक चिह्न को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के रूपांतरण के सभी सूत्रों को अच्छी तरह याद रखें।
b) प्रत्येक चरण में कारण स्पष्ट रूप से लिखें।
c) उत्तर की सत्यता की जाँच करने के लिए वैकल्पिक विधि का भी ध्यान रखें।

Question 14: \( y = \sin^{-1}\left(2x\sqrt{1 - x^2}\right), -\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Answer:

दिया गया फलन है:
\( y = \sin^{-1}\left(2x\sqrt{1 - x^2}\right) \)
माना \( x = \sin \theta \), तब \( \theta = \sin^{-1}x \)
फलन में मान रखने पर:
\( y = \sin^{-1}\left(2\sin \theta \sqrt{1 - \sin^2 \theta}\right) \)
\( \Rightarrow y = \sin^{-1}(2\sin \theta \cos \theta) \)
\( \Rightarrow y = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta \)
\( \Rightarrow y = 2\sin^{-1}x \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{1 - x^2}} \)

मुख्य बिंदु:

• \( x = \sin \theta \) प्रतिस्थापन का उपयोग किया गया है क्योंकि \( \sqrt{1-x^2} \) दिया गया है।
• \( 2\sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta \) त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग हुआ है।
• \( \sin^{-1}x \) का अवकलन \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) होता है।

आम गलतियाँ:

• \( x = \cos \theta \) मानने पर भी प्रश्न हल हो सकता है, परंतु यदि \( x = \sin \theta \) माना जाए तो गणना अधिक सीधी होती है।
• सूत्र पहचान में गलती करना।

Exam Tips:

a) वर्गमूल वाले व्यंजकों (जैसे \( \sqrt{1-x^2} \)) के लिए \( \sin \theta \) या \( \cos \theta \) प्रतिस्थापन सबसे उपयुक्त होता है।
b) मानक अवकलन सूत्रों को सही रूप में प्रयोग करें।
c) परीक्षा में सभी चरणों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 15: \( y = \sec^{-1}\left(\frac{1}{2x^2 - 1}\right), 0 < x < \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Answer:

दिया गया फलन है:
\( y = \sec^{-1}\left(\frac{1}{2x^2 - 1}\right) \)
हम जानते हैं कि \( \sec^{-1}\left(\frac{1}{A}\right) = \cos^{-1}(A) \) होता है, इसलिए:
\( y = \cos^{-1}(2x^2 - 1) \)
माना \( x = \cos \theta \), तब \( \theta = \cos^{-1}x \)
फलन में मान रखने पर:
\( y = \cos^{-1}(2\cos^2 \theta - 1) \)
\( \Rightarrow y = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta \)
\( \Rightarrow y = 2\cos^{-1}x \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = 2 \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) \)
\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{2}{\sqrt{1 - x^2}} \)

मुख्य बिंदु:

• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय गुणधर्म \( \sec^{-1}\left(\frac{1}{t}\right) = \cos^{-1}(t) \) का उपयोग किया गया है।
• \( 2\cos^2 \theta - 1 = \cos 2\theta \) त्रिकोणमितीय सूत्र का प्रयोग हुआ है।
• \( \cos^{-1}x \) का अवकलन \( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) होता है।

आम गलतियाँ:

• सीधे \( \sec^{-1} \) का अवकलन करने का प्रयास करना जिससे प्रश्न अत्यधिक जटिल हो जाता है।
• ऋणात्मक चिह्न को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) जटिल प्रतिलोम फलनों को सरल करने के लिए व्युत्क्रम (reciprocal) गुणों का पहले प्रयोग करें।
b) सही त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन चुनें।
c) अंतिम परिणाम में ऋणात्मक चिह्न का विशेष ध्यान रखें।