Download NCERT Solutions for Class 12 Mathematics Chapter 05 सांतत्य तथा अवकलनीयता
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Question 1: \(\sin(x^2 + 5)\)
Answer:
मान लीजिए \( y = \sin(x^2 + 5) \) है।
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\sin(x^2 + 5)] \)
श्रृंखला नियम (Chain Rule) का उपयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \cos(x^2 + 5) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 5) \)
\( \frac{dy}{dx} = \cos(x^2 + 5) \cdot 2x \)
\( \frac{dy}{dx} = 2x \cos(x^2 + 5) \)
मुख्य बिंदु:
• फलन के भीतर के फलन का पुनः अवकलन करना श्रृंखला नियम कहलाता है।
• \( \sin x \) का अवकलन \( \cos x \) होता है।
• बीजगणितीय फलन \( x^n \) के लिए घात नियम का प्रयोग किया जाता है।
आम गलतियाँ:
• केवल त्रिकोणमितीय फलन का अवकलन करके अंदर वाले पद को छोड़ देना।
• श्रृंखला नियम लागू करते समय गुणा का चिह्न न लगाना।
• चरों और स्थिरांकों के अवकलन में भ्रमित होना।
Exam Tips:
a) संयुक्त फलनों के अवकलन में हमेशा श्रृंखला नियम का प्रयोग चरणबद्ध तरीके से करें।
b) अंतिम उत्तर में मानक रूप (बीजगणितीय पद को आगे) में लिखें।
c) प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से दर्शाएं ताकि अंक न कटें।
Question 2: \(\cos(\sin x)\)
Answer:
मान लीजिए \( y = \cos(\sin x) \) है।
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\cos(\sin x)] \)
श्रृंखला नियम लागू करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = -\sin(\sin x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) \)
\( \frac{dy}{dx} = -\sin(\sin x) \cdot \cos x \)
\( \frac{dy}{dx} = -\cos x \sin(\sin x) \)
मुख्य बिंदु:
• \( \cos x \) का अवकलन \( -\sin x \) होता है।
• यहाँ फलन के अंदर फलन (Function of a function) है।
• श्रृंखला नियम के प्रयोग से दोनों अवकलनों का गुणनफल प्राप्त होता है।
आम गलतियाँ:
• \( \cos(\sin x) \) के अवकलन में ऋणात्मक चिह्न (-) भूल जाना।
• अंदर वाले फलन \( \sin x \) का अवकलन न करना।
• कोष्ठकों के सही प्रयोग में गलती करना।
Exam Tips:
a) त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलन के सूत्र अच्छी तरह याद रखें।
b) ऋणात्मक चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।
c) चरणों को तोड़कर हल करने से गलती की संभावना कम हो जाती है।
Question 3: \(\sin(ax + b)\)
Answer:
मान लीजिए \( y = \sin(ax + b) \) है।
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\sin(ax + b)] \)
श्रृंखला नियम का प्रयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \cos(ax + b) \cdot \frac{d}{dx}(ax + b) \)
\( \frac{dy}{dx} = \cos(ax + b) \cdot (a \cdot 1 + 0) \)
\( \frac{dy}{dx} = a \cos(ax + b) \)
मुख्य बिंदु:
• रैखिक फलन \( ax + b \) का अवकलन केवल \( a \) होता है।
• \( \sin(\text{angle}) \) का अवकलन \( \cos(\text{angle}) \cdot \frac{d}{dx}(\text{angle}) \) होता है।
• अचर पद \( b \) का अवकलन शून्य होता है।
आम गलतियाँ:
• \( ax + b \) के अवकलन में केवल \( x \) का गुणांक लिखना भूल जाना।
• अचर \( b \) का अवकलन भी चर के रूप में लिख देना।
• कोष्ठक लगाना भूल जाना जिससे गुणा में गलती हो।
Exam Tips:
a) रैखिक व्यंजकों के अवकलन का सीधा परिणाम याद रखें।
b) गुणांक को हमेशा त्रिकोणमितीय पद के आगे लिखें।
c) परीक्षा में सभी मध्यवर्ती चरणों को लिखें।
Question 4: \(\sec(\tan(\sqrt{x}))\)
Answer:
मान लीजिए \( y = \sec(\tan(\sqrt{x})) \) है।
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\sec(\tan(\sqrt{x}))] \)
श्रृंखला नियम का क्रमिक उपयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \sec(\tan(\sqrt{x})) \cdot \tan(\tan(\sqrt{x})) \cdot \frac{d}{dx}[\tan(\sqrt{x})] \)
पुनः श्रृंखला नियम से:
\( \frac{dy}{dx} = \sec(\tan(\sqrt{x})) \cdot \tan(\tan(\sqrt{x})) \cdot \sec^2(\sqrt{x}) \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) \)
चूँकि \( \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) है, अतः:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\sec(\tan(\sqrt{x})) \cdot \tan(\tan(\sqrt{x})) \cdot \sec^2(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \)
मुख्य बिंदु:
• \( \sec x \) का अवकलन \( \sec x \tan x \) होता है।
• \( \tan x \) का अवकलन \( \sec^2 x \) होता है।
• इसमें तीन फलनों का संयोजन है, इसलिए श्रृंखला नियम तीन बार लगेगा।
आम गलतियाँ:
• एक या अधिक फलनों के अवकलन को छोड़ देना।
• \( \sqrt{x} \) के अवकलन को गलत लिखना।
• लंबे व्यंजक को लिखने में कोष्ठक की अशुद्धि करना।
Exam Tips:
a) जटिल फलनों के लिए बाहर से अंदर की ओर (Outside to Inside) नियम लगाएं।
b) प्रत्येक फलन के अवकलन के बाद गुणा का चिह्न स्पष्ट लगाएं।
c) भिन्न के रूप में अंतिम उत्तर को व्यवस्थित करें।
Question 5: \(\frac{\sin(ax + b)}{\cos(cx + d)}\)
Answer:
मान लीजिए \( y = \frac{\sin(ax + b)}{\cos(cx + d)} \) है।
भागफल नियम (Quotient Rule) का उपयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\cos(cx + d) \cdot \frac{d}{dx}[\sin(ax + b)] - \sin(ax + b) \cdot \frac{d}{dx}[\cos(cx + d)]}{[\cos(cx + d)]^2} \)
अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\cos(cx + d) \cdot \cos(ax + b) \cdot a - \sin(ax + b) \cdot [-\sin(cx + d)] \cdot c}{\cos^2(cx + d)} \)
सरल करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{a \cos(cx + d) \cos(ax + b) + c \sin(ax + b) \sin(cx + d)}{\cos^2(cx + d)} \)
मुख्य बिंदु:
• भागफल नियम: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{v u' - u v'}{v^2} \) ।
• अंश और हर दोनों के अवकलन में श्रृंखला नियम का प्रयोग।
• ऋणात्मक चिह्नों का सावधानीपूर्वक गुणन।
आम गलतियाँ:
• भागफल नियम के सूत्र में अंश और हर के पदों का क्रम बदलना।
• ऋणात्मक चिह्न का ध्यान न रखना।
• हर के वर्ग \( \cos^2(cx + d) \) को भूल जाना।
Exam Tips:
a) भागफल नियम का सूत्र लिखकर मान रखें।
b) मध्यवर्ती चरणों में कोष्ठक का सही उपयोग करें।
c) ऋणात्मक चिह्नों के गुणा में सतर्क रहें।
Question 6: \(\cos(x^3) \cdot \sin^2(x^5)\)
Answer:
मान लीजिए \( y = \cos(x^3) \cdot \sin^2(x^5) \) है।
गुणनफल नियम (Product Rule) का उपयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \cos(x^3) \cdot \frac{d}{dx}[\sin^2(x^5)] + \sin^2(x^5) \cdot \frac{d}{dx}[\cos(x^3)] \)
अब श्रृंखला नियम से अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \cos(x^3) \cdot 2\sin(x^5) \cdot \frac{d}{dx}[\sin(x^5)] + \sin^2(x^5) \cdot (-\sin(x^3)) \cdot \frac{d}{dx}(x^3) \)
पुनः श्रृंखला नियम लागू करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \cos(x^3) \cdot 2\sin(x^5) \cdot \cos(x^5) \cdot \frac{d}{dx}(x^5) + \sin^2(x^5) \cdot (-\sin(x^3)) \cdot 3x^2 \)
मान रखने और हल करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \cos(x^3) \cdot 2\sin(x^5)\cos(x^5) \cdot 5x^4 - 3x^2 \sin^2(x^5) \sin(x^3) \)
\( \frac{dy}{dx} = 5x^4 \cos(x^3) \sin(2x^5) - 3x^2 \sin^2(x^5) \sin(x^3) \)
मुख्य बिंदु:
• गुणनफल नियम: \( (uv)' = u'v + uv' \) ।
• घात वाले त्रिकोणमितीय फलन के लिए पहले घात नियम फिर श्रृंखला नियम का प्रयोग।
• \( 2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta) \) त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग।
आम गलतियाँ:
• \( \sin^2(x^5) \) का अवकलन सीधे \( \cos^2(x^5) \) लिख देना (जो कि गलत है)।
• गुणनफल नियम में बीच में ऋण चिह्न लगा देना।
• श्रृंखला नियम के चरणों को बीच में छोड़ देना।
Exam Tips:
a) पहले गुणनफल नियम लगाएं, फिर प्रत्येक पद का अलग से श्रृंखला नियम से अवकलन करें।
b) घात वाले पदों का अवकलन करते समय घात नियम \( (x^n)' = nx^{n-1} \) का ध्यान रखें।
c) उत्तर को सरलतम रूप में लिखें।
Question 7: \(2\sqrt{\cot(x^2)}\)
Answer:
मान लीजिए \( y = 2\sqrt{\cot(x^2)} \) है।
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{d}{dx}[\sqrt{\cot(x^2)}] \)
श्रृंखला नियम का प्रयोग करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{\cot(x^2)}} \cdot \frac{d}{dx}[\cot(x^2)] \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{\cot(x^2)}} \cdot (-\csc^2(x^2)) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{\cot(x^2)}} \cdot (-\csc^2(x^2)) \cdot 2x \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-2x \csc^2(x^2)}{\sqrt{\cot(x^2)}} \)
मुख्य बिंदु:
• \( \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) ।
• \( \cot x \) का अवकलन \( -\csc^2 x \) होता है।
• कोण \( x^2 \) का पुनः अवकलन करके \( 2x \) प्राप्त होता है।
आम गलतियाँ:
• वर्गमूल के अवकलन में हर का 2 भूल जाना।
• \( \cot x \) के अवकलन में ऋणात्मक चिह्न न लगाना।
• अंतिम पद \( 2x \) का गुणा करना भूल जाना।
Exam Tips:
a) रूट वाले फलनों के लिए \( \frac{1}{2\sqrt{f(x)}} \) का मानक रूप याद रखें।
b) प्रत्येक चरण में त्रिकोणमितीय सूत्रों का सही प्रयोग करें।
c) अचर पद को बाहर रखकर सरलता से हल करें।
Question 8: \(\cos(\sqrt{x})\)
Answer:
मान लीजिए \( y = \cos(\sqrt{x}) \) है।
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\cos(\sqrt{x})] \)
श्रृंखला नियम लागू करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = -\sin(\sqrt{x}) \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) \)
चूँकि \( \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) है, अतः:
\( \frac{dy}{dx} = -\sin(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-\sin(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \)
मुख्य बिंदु:
• \( \cos x \) का अवकलन \( -\sin x \) होता है।
• श्रृंखला नियम के अनुसार कोण \( \sqrt{x} \) का अवकलन गुणा में आता है।
• \( \sqrt{x} \) को \( x^{1/2} \) मानकर भी अवकलन किया जा सकता है।
आम गलतियाँ:
• \( \cos \) का अवकलन करते समय ऋणात्मक चिह्न छोड़ देना।
• \( \sqrt{x} \) के अवकलन में \( 2\sqrt{x} \) को अंश में लिख देना।
• कोष्ठक और हर के पदों में गड़बड़ी करना।
Exam Tips:
a) यह एक अपेक्षाकृत सरल प्रश्न है, इसमें चरणबद्ध तरीके से पूरे अंक प्राप्त किए जा सकते हैं।
b) मानक अवकलन सूत्रों को हमेशा ध्यान में रखें।
c) हर के पद को स्पष्ट रूप से नीचे लिखें।
Question 9: सिद्ध कीजिए कि फलन \( f(x) = |x - 1|, x \in \mathbb{R}, x = 1 \) पर अवकलित नहीं है।
Answer:
फलन \( f(x) = |x - 1| \) दिया गया है। हमें \( x = 1 \) पर अवकलनीयता की जाँच करनी है।
बायें हाथ का अवकलज (LHD) \( x = 1 \) पर:
\( \text{LHD} = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 - h) - f(1)}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{|(1 - h) - 1| - |1 - 1|}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{|-h| - 0}{-h} \)
चूँकि \( h > 0 \) के लिए \( |-h| = h \) है, अतः:
\( = \lim_{h \to 0} \frac{h}{-h} = \lim_{h \to 0} (-1) = -1 \)
दाहें हाथ का अवकलज (RHD) \( x = 1 \) पर:
\( \text{RHD} = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{|(1 + h) - 1| - |1 - 1|}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{|h| - 0}{h} \)
चूँकि \( h > 0 \) के लिए \( |h| = h \) है, अतः:
\( = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = \lim_{h \to 0} (1) = 1 \)
यहाँ, \( \text{LHD} \neq \text{RHD} \) (\(-1 \neq 1\)) है।
अतः, फलन \( f(x) = |x - 1| \) बिंदु \( x = 1 \) पर अवकलनीय नहीं है।
मुख्य बिंदु:
• किसी बिंदु पर अवकलनीयता के लिए \( \text{LHD} = \text{RHD} \) होना आवश्यक है।
• \( \text{LHD} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a-h) - f(a)}{-h} \)
• \( \text{RHD} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)
आम गलतियाँ:
• LHD के सूत्र में हर में \( -h \) के स्थान पर \( h \) लिख देना।
• मापांक फलन (Modulus function) के गुणों को सीमा निकालते समय गलत समझना।
• निष्कर्ष लिखना भूल जाना।
Exam Tips:
a) अवकलनीयता की जाँच के लिए हमेशा LHD और RHD के मानक सूत्रों का प्रयोग करें।
b) सीमाओं (Limits) को हल करते समय \( h \to 0 \) का स्पष्ट उल्लेख करें।
c) अंत में स्पष्ट रूप से लिखें कि LHD और RHD बराबर नहीं हैं, इसलिए फलन अवकलनीय नहीं है।
Question 10: सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णांक फलन \( f(x) = [x], 0 < x < 3, x = 1 \) तथा \( x = 2 \) पर अवकलित नहीं है।
Answer:
महत्तम पूर्णांक फलन \( f(x) = [x] \) दिया गया है।
स्थिति 1: \( x = 1 \) पर
बायें हाथ का अवकलज (LHD):
\( \text{LHD} = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 - h) - f(1)}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{[1 - h] - [1]}{-h} \)
चूँकि \( 1 - h \) (जहाँ \( h > 0 \) बहुत छोटा है) का महत्तम पूर्णांक 0 है और \( [1] = 1 \) है, अतः:
\( = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 1}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} = \infty \)
दाहें हाथ का अवकलज (RHD):
\( \text{RHD} = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{[1 + h] - [1]}{h} \)
चूँकि \( [1 + h] = 1 \) और \( [1] = 1 \) है, अतः:
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0 \)
यहाँ, \( \text{LHD} \neq \text{RHD} \) (\(\infty \neq 0\)) है। अतः \( x = 1 \) पर फलन अवकलनीय नहीं है।
स्थिति 2: \( x = 2 \) पर
बायें हाथ का अवकलज (LHD):
\( \text{LHD} = \lim_{h \to 0} \frac{f(2 - h) - f(2)}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{[2 - h] - [2]}{-h} \)
चूँकि \( [2 - h] = 1 \) और \( [2] = 2 \) है, अतः:
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1 - 2}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} = \infty \)
दाहें हाथ का अवकलज (RHD):
\( \text{RHD} = \lim_{h \to 0} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{[2 + h] - [2]}{h} \)
चूँकि \( [2 + h] = 2 \) और \( [2] = 2 \) है, अतः:
\( = \lim_{h \to 0} \frac{2 - 2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0 \)
यहाँ, \( \text{LHD} \neq \text{RHD} \) (\(\infty \neq 0\)) है। अतः \( x = 2 \) पर फलन अवकलनीय नहीं है।
मुख्य बिंदु:
• महत्तम पूर्णांक फलन \( [x] \) पूर्णांक बिंदुओं पर discontinuous और non-differentiable होता है।
• \( [1-h] = 0 \) जबकि \( [1+h] = 1 \) ।
• \( [2-h] = 1 \) जबकि \( [2+h] = 2 \)。
आम गलतियाँ:
• महत्तम पूर्णांक फलन के मानों को गलत लेना (जैसे \( [1-h] \) को 1 लिख देना)।
• सीमा के मान निकालते समय अनंत (\(\infty\)) को परिभाषित संख्या मान लेना।
• दोनों बिंदुओं (\(x=1\) और \(x=2\)) को अलग-अलग हल न करना।
Exam Tips:
a) महत्तम पूर्णांक फलन से जुड़े प्रश्नों में \( h > 0 \) के मान के लिए \( [a-h] \) और \( [a+h] \) के मानों का विशेष ध्यान रखें।
b) प्रत्येक बिंदु के लिए LHD और RHD की गणना अलग-अलग स्पष्ट रूप से दिखाएं।
c) अंत में निष्कर्ष अवश्य लिखें।
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