NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 05 Continuity and Differentiability (सांतत्य तथा अवकलनीयता) Exercise 5.1 in Hindi

Question 1: सिद्ध कीजिए कि फलन \( f(x) = 5x - 3 \), \( x = 0 \), \( x = -3 \) तथा \( x = 5 \) पर संतत है।

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = 5x - 3 \)
बिंदु \( x = 0 \) पर, \( f(0) = 5(0) - 3 = -3 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (5x - 3) = -3 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (5x - 3) = -3 \)
यहाँ, \( x = 0 \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f(0) = -3 \)
अतः, \( x = 0 \) पर, फलन \( f \) संतत है।
बिंदु \( x = -3 \) पर, \( f(-3) = 5(-3) - 3 = -18 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^-} (5x - 3) = -18 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to -3^+} f(x) = \lim_{x \to -3^+} (5x - 3) = -18 \)
यहाँ, \( x = -3 \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f(-3) = -18 \)
अतः, \( x = -3 \) पर, फलन \( f \) संतत है।
बिंदु \( x = 5 \) पर, \( f(5) = 5(5) - 3 = 22 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^-} (5x - 3) = 22 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 5^+} f(x) = \lim_{x \to 5^+} (5x - 3) = 22 \)
यहाँ, \( x = 5 \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f(5) = 22 \)
अतः, \( x = 5 \) पर, फलन \( f \) संतत है।

मुख्य बिंदु:

• किसी बिंदु पर फलन के सांतत्य के लिए फलन का मान, बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा बराबर होनी चाहिए।
• बहुपद फलन अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर संतत होते हैं।
• यहाँ फलन एक रैखिक बहुपद है।

आम गलतियाँ:

• सीमा निकालते समय फलन के मान को प्रतिस्थापित न करना।
• बाएँ और दाएँ पक्ष की सीमाओं के चिह्नों में भ्रमित होना।
• गणना में छोटी-मोटी गलतियाँ करना।

Exam Tips:

a) हमेशा फलन का मान, बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा को अलग-अलग स्पष्ट रूप से दिखाएं।
b) सीमा के संकेतों (जैसे \( x \to 0^- \)) का सही प्रयोग करें।
c) अंतिम निष्कर्ष स्पष्ट रूप से लिखें कि फलन संतत है या नहीं।

Question 2: \( x = 3 \) पर फलन \( f(x) = 2x^2 - 1 \) के सांतत्य की जाँच कीजिए।

Answer:

दिया गया फलन है: \( f(x) = 2x^2 - 1 \)
बिंदु \( x = 3 \) पर, \( f(3) = 2(3)^2 - 1 = 17 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (2x^2 - 1) = 17 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (2x^2 - 1) = 17 \)
यहाँ, \( x = 3 \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f(3) = 17 \)
अतः, \( x = 3 \) पर, फलन \( f \) संतत है।

मुख्य बिंदु:

• द्विघात फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत होते हैं।
• सीमा ज्ञात करने के लिए सीधे \( x = 3 \) प्रतिस्थापित किया जा सकता है क्योंकि यह एक अनिर्धारित रूप नहीं बनाता।
• सांतत्य की परिभाषा के तीनों प्रतिबंधों को संतुष्ट किया गया है।

आम गलतियाँ:

• घात (square) निकालते समय चिह्न या संख्या की गलती करना।
• सीमा और फलन के मान की तुलना न करना।
• भाषा का अपूर्ण उपयोग करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक चरण को सुव्यवस्थित तरीके से लिखें।
b) वर्ग निकालते समय सावधानी बरतें।
c) अंत में सांतत्य का निष्कर्ष अवश्य दें।

Question 3: निम्नलिखित फलनों के सांतत्य की जाँच कीजिए:
(a) \( f(x) = x - 5 \)
(b) \( f(x) = \frac{1}{x - 5}, x \neq 5 \)
(c) \( f(x) = \frac{x^2 - 25}{x + 5}, x \neq -5 \)
(d) \( f(x) = |x - 5| \)

Answer:

(a) दिया गया फलन \( f(x) = x - 5 \)
माना \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। \( x = k \) पर, \( f(k) = k - 5 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to k^-} f(x) = \lim_{x \to k^-} (x - 5) = k - 5 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to k^+} f(x) = \lim_{x \to k^+} (x - 5) = k - 5 \)
यहाँ, \( x = k \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f(k) = k - 5 \)
अतः, फलन \( f \) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
(b) दिया गया फलन \( f(x) = \frac{1}{x - 5}, x \neq 5 \)
माना, \( k \) (\( k \neq 5 \)) कोई वास्तविक संख्या है।
\( x = k \) पर, \( f(k) = \frac{1}{k - 5} \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to k^-} f(x) = \lim_{x \to k^-} \left(\frac{1}{x - 5}\right) = \frac{1}{k - 5} \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to k^+} f(x) = \lim_{x \to k^+} \left(\frac{1}{x - 5}\right) = \frac{1}{k - 5} \)
यहाँ, \( x = k \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f(k) = \frac{1}{k - 5} \)
अतः, फलन \( f \) सभी वास्तविक संख्याओं (\( 5 \) के अतिरिक्त) के लिए संतत है।
(c) दिया गया फलन \( f(x) = \frac{x^2 - 25}{x + 5}, x \neq -5 \)
माना, \( k \) (\( k \neq -5 \)) कोई वास्तविक संख्या है।
\( x = k \) पर, \( f(k) = \frac{k^2 - 25}{k + 5} = \frac{(k + 5)(k - 5)}{k + 5} = (k - 5) \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to k^-} f(x) = \lim_{x \to k^-} \left(\frac{x^2 - 25}{x + 5}\right) = \lim_{x \to k^-} \frac{(x + 5)(x - 5)}{x + 5} = k - 5 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to k^+} f(x) = \lim_{x \to k^+} \left(\frac{x^2 - 25}{x + 5}\right) = \lim_{x \to k^+} \frac{(x + 5)(x - 5)}{x + 5} = k - 5 \)
यहाँ, \( x = k \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f(k) = k - 5 \)
अतः, फलन \( f \) सभी वास्तविक संख्याओं (\( -5 \) के अतिरिक्त) के लिए संतत है।
(d) दिया गया फलन \( f(x) = |x - 5| = \begin{cases} -(x - 5), & x < 5 \\ x - 5, & x \geq 5 \end{cases} \)
माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। प्रश्ानुसार \( k < 5 \) या \( k = 5 \) या \( k > 5 \)
पहली स्थिति: यदि, \( k < 5 \),
\( f(k) = 5 - k \) तथा \( \lim_{x \to k^-} f(x) = \lim_{x \to k^-} (5 - x) = 5 - k \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( 5 \) से छोटी सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
दूसरी स्थिति: यदि, \( k = 5 \),
\( f(k) = k - 5 = 5 - 5 = 0 \) तथा \( \lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^-} (5 - x) = 0 \)
तथा \( \lim_{x \to 5^+} f(x) = \lim_{x \to 5^+} (x - 5) = 0 \)
यहाँ, बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f(5) = 0 \)
अतः, फलन \( f \), \( x = 5 \) पर संतत है।
तीसरी स्थिति: यदि, \( k > 5 \),
\( f(k) = k - 5 \) तथा \( \lim_{x \to k^-} f(x) = \lim_{x \to k^-} (x - 5) = k - 5 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( 5 \) से बड़ी सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
अतः, फलन \( f \) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।

मुख्य बिंदु:

• परिमेय फलन अपने प्रांत में संतत होते हैं जहाँ हर शून्य न हो।
• मापांक फलन हर जगह संतत होते हैं।
• गुणनखंड विधि का उपयोग करके अनिर्धारित रूपों को सरल किया जा सकता है।

आम गलतियाँ:

• \( x = -5 \) पर अपरिभाषित स्थिति को नजरअंदाज करना।
• मापांक फलन को अलग-अलग अंतरालों में न तोड़ना।
• गुणनखंड करते समय बीजगणितीय त्रुटियाँ करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक उप-प्रश्न को एक स्वच्छ चर \( k \) मानकर हल करें।
b) भाग (c) में हर के पद को काटने से पहले शर्त \( x \neq -5 \) का ध्यान रखें।
c) मापांक फलन के लिए अलग-अलग मामलों (cases) की स्पष्ट व्याख्या करें।

Question 4: सिद्ध कीजिए कि फलन \( f(x) = x^n \), \( x = n \) पर संतत है, जहाँ \( n \) एक धन पूर्णांक है।

Answer:

दिया गया फलन \( f(x) = x^n \)
\( x = n \) पर, \( f(n) = n^n \)
\( \lim_{x \to n} f(x) = \lim_{x \to n} (x^n) = n^n \)
यहाँ, \( x = n \) पर, \( \lim_{x \to n} f(x) = f(n) = n^n \)
अतः, \( x = n \) पर, जहाँ \( n \) एक धन पूर्णांक है, फलन \( f \) संतत है।

मुख्य बिंदु:

• घात वाले फलनों की सीमा सीधे मान प्रतिस्थापित करके निकाली जा सकती है।
• धन पूर्णांकों के लिए यह फलन सर्वत्र परिभाषित और संतत होता है।
• सांतत्य की मानक परिभाषा का प्रत्यक्ष अनुप्रयोग।

आम गलतियाँ:

• सामान्य संकेतन में गलती करना।
• सीमा और फलन के मान को अलग न दिखाना।

Exam Tips:

a) सीधे मानक सीमा प्रमेय का उपयोग करें।
b) चरणों को संक्षिप्त और स्पष्ट रखें।
c) निष्कर्ष को अंतिम पंक्ति में अवश्य लिखें।

Question 5: क्या फलन \( f(x) = \begin{cases} x, & x \leq 1 \\ 5, & x > 1 \end{cases} \) द्वारा परिभाषित फलन \( f \), \( x = 0, x = 1 \) तथा \( x = 2 \) पर संतत है?

Answer:

दिया गया फलन \( f(x) = \begin{cases} x, & x \leq 1 \\ 5, & x > 1 \end{cases} \)
\( x = 0 \) पर, \( f(0) = 0 \)
\( \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (x) = 0 \)
यहाँ, \( x = 0 \) पर, \( \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0 \)
अतः, \( x = 0 \) पर, फलन \( f \) संतत है।
\( x = 1 \) पर, \( f(1) = 1 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x) = 1 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (5) = 5 \)
यहाँ, \( x = 1 \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा \( \neq \) दाएँ पक्ष की सीमा
अतः, \( x = 1 \) पर, फलन \( f \) संतत नहीं है।
\( x = 2 \) पर, \( f(2) = 5 \)
\( \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (5) = 5 \)
यहाँ, \( x = 2 \) पर, \( \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 5 \)
अतः, \( x = 2 \) पर, फलन \( f \) संतत है।

मुख्य बिंदु:

• फलन की परिभाषा बिंदु \( x = 1 \) पर बदलती है, इसलिए उस बिंदु पर विशेष ध्यान देना आवश्यक है।
• \( x = 0 \) और \( x = 2 \) पर फलन का नियम एक ही रहता है।
• बाएँ और दाएँ सीमा का असमान होना असांतत्य को दर्शाता है।

आम गलतियाँ:

• \( x = 1 \) पर दोनों तरफ एक ही फलन ले लेना।
• सीमा की गणना में गलती करना।

Exam Tips:

a) क्रांतिक बिंदु (critical point) पर हमेशा बाएँ और दाएँ सीमा अलग से निकालें।
b) अन्य बिंदुओं पर सीधे सीमा ज्ञात कर सकते हैं।
c) कारण स्पष्ट रूप से लिखें कि फलन क्यों संतत नहीं है।

Question 6: \( f \) के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि \( f \) निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है: \( f(x) = \begin{cases} 2x + 3, & \text{यदि } x \leq 2 \\ 2x - 3, & \text{यदि } x > 2 \end{cases} \)

Answer:

माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। प्रश्ानुसार \( k < 2 \) या \( k = 2 \) या \( k > 2 \)
पहिले स्थिति: यदि, \( k < 2 \),
\( f(k) = 2k + 3 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (2x + 3) = 2k + 3 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( 2 \) से छोटी सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
दूसरी स्थिति: यदि, \( k = 2 \),
\( f(k) = 2(2) + 3 = 7 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (2x + 3) = 2(2) + 3 = 7 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x - 3) = 2(2) - 3 = 1 \)
यहाँ, \( x = 2 \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा \( \neq \) दाएँ पक्ष की सीमा
अतः, \( x = 2 \) पर, फलन \( f \) संतत नहीं है।
तीसरी स्थिति: यदि, \( k > 2 \),
\( f(k) = 2k - 3 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (2x - 3) = 2k - 3 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( 2 \) से बड़ी सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
अतः, फलन \( f \), \( x = 2 \) पर असांतत है।

मुख्य बिंदु:

• फलन का क्रांतिक बिंदु \( x = 2 \) है।
• \( x < 2 \) और \( x > 2 \) के लिए फलन बहुपद हैं, अतः वे संतत हैं।
• केवल \( x = 2 \) पर ही सीमाएं भिन्न आती हैं।

आम गलतियाँ:

• सीमा निकालते समय गलत फलन का चयन करना।
• असांतत्य के बिंदु को स्पष्ट रूप से निष्कर्ष में न लिखना।

Exam Tips:

a) सभी अंतरालों को केस बनाकर हल करें।
b) सीमा के मानों की तुलना स्पष्ट रूप से दिखाएं।
c) अंतिम उत्तर में असांतत्य का बिंदु जरूर बताएं।

Question 7: \( f(x) = \begin{cases} |x| + 3, & \text{यदि } x \leq -3 \\ -2x, & \text{यदि } -3 < x < 3 \\ 6x + 2, & \text{यदि } x \geq 3 \end{cases} \)

Answer:

माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। प्रश्ानुसार
\( k < -3 \) या \( k = -3 \) या \( -3 < k < 3 \) या \( k = 3 \) या \( k > 3 \)
पहली स्थिति: यदि, \( k < -3 \),
\( f(k) = -k + 3 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (-x + 3) = -k + 3 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( -3 \) से छोटी सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
दूसरी स्थिति: यदि, \( k = -3 \), फलन \( f(-3) = |-3| + 3 = 6 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^-} (-x + 3) = -(-3) + 3 = 6 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to -3^+} f(x) = \lim_{x \to -3^+} (-2x) = -2(-3) = 6 \), यहाँ, \( \lim_{x \to -3} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( x = -3 \) पर संतत है।
तीसरी स्थिति: यदि, \( -3 < k < 3 \),
\( f(k) = -2k \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (-2x) = -2k \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( -3 < x < 3 \) के लिए संतत है।
चौथी स्थिति: यदि, \( k = 3 \),
\( f(k) = 6k + 2 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (6x + 2) = 6k + 2 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (-2x) = -2(3) = -6 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (6x + 2) = 6(3) + 2 = 20 \)
यहाँ, \( x = 3 \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा \( \neq \) दाएँ पक्ष की सीमा
अतः, \( x = 3 \) पर, फलन \( f \) संतत नहीं है।
पाँचवीं स्थिति: यदि, \( k > 3 \),
\( f(k) = 6k + 2 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (6x + 2) = 6k + 2 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( 3 \) से बड़ी सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
इस प्रकार, फलन \( f \), केवल \( x = 3 \) पर असांतत है।

मुख्य बिंदु:

• इस फलन में दो क्रांतिक बिंदु हैं: \( x = -3 \) और \( x = 3 \) ।
• मापांक फलन \( |x| \) को ऋणात्मक अंतरालों में \( -x \) लिखा जाता है।
• प्रत्येक अंतराल की अलग से जाँच करनी होगी।

आम गलतियाँ:

• \( x = -3 \) पर मापांक के कारण फलन के चिह्न को गलत लेना।
• किसी एक अंतराल को छोड़ देना।
• सीमा और मान की गणना में गलती करना।

Exam Tips:

a) सभी संभावित अंतरालों और बिंदुओं को क्रमबद्ध तरीके से हल करें।
b) मापांक फलन को सरल करते समय सतर्क रहें।
c) अंत में स्पष्ट रूप से लिखें कि फलन कहाँ-कहाँ संतत या असांतत है।

Question 8: \( f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \end{cases} \)

Answer:

इस फलन \( f \) को पुनः व्यवस्थित करने पर,
\( f(x) = \begin{cases} -1, & \text{यदि } x < 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \\ 1, & \text{यदि } x > 0 \end{cases} \)
माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। प्रश्ानुसार \( k < 0 \) या \( k = 0 \) या \( k > 0 \)
पहली स्थिति: यदि, \( k < 0 \),
\( f(k) = -1 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (-1) = -1 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( 0 \) से छोटी सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
दूसरी स्थिति: यदि, \( k = 0 \) पर, \( f(0) = 0 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \left(-\frac{x}{x}\right) = -1 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x}\right) = 1 \)
यहाँ, \( x = 0 \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा \( \neq \) दाएँ पक्ष की सीमा
अतः, \( x = 0 \) पर, फलन \( f \) संतत नहीं है।
तीसरी स्थिति: यदि, \( k > 0 \),
\( f(k) = 1 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (1) = 1 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f, x > 0 \), के लिए संतत है।
इस प्रकार, फलन \( f \), केवल \( x = 0 \) पर असांतत है।

मुख्य बिंदु:

• Signum फलन का यह रूप \( x = 0 \) पर असांतत होता है।
• \( x < 0 \) और \( x > 0 \) के लिए फलन अचर (constant) है, अतः संतत है।
• बाएँ और दाएँ सीमाएँ भिन्न (-1 और 1) आती हैं।

आम गलतियाँ:

• \( |x| \) को सीधे बिना शर्त के हटाने की भूल करना।
• \( x = 0 \) पर फलन के मान और सीमा की समानता की उपेक्षा करना।

Exam Tips:

a) फलन को सरल रूप में पुनः परिभाषित करना हमेशा मददगार होता है।
b) बाएँ और दाएँ पक्षों की सीमाओं को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
c) असांतत्य के बिंदु को रेखांकित करें।

Question 9: \( f(x) = \begin{cases} \frac{x}{|x|}, & \text{यदि } x < 0 \\ -1, & \text{यदि } x \geq 0 \end{cases} \)

Answer:

इस फलन \( f \) को पुनः व्यवस्थित करने पर,
\( f(x) = \begin{cases} -1, & \text{यदि } x < 0 \\ -1, & \text{यदि } x \geq 0 \end{cases} \)
यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) = -1 \), जहाँ \( k \) कोई वास्तविक संख्या है।
इस प्रकार, फलन \( f \), सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।

मुख्य बिंदु:

• फलन को सरल करने पर यह एक अचर फलन बन जाता है।
• अचर फलन सदैव संतत होते हैं।
• मापांक की परिभाषा का सही उपयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• फलन को बिना सरल किए सीधे निष्कर्ष पर पहुँचना।
• \( x < 0 \) के लिए मान को गलत समझना।

Exam Tips:

a) पहले फलन को सरल करें ताकि असमंजस न रहे।
b) संक्षिप्त और सटीक तर्क दें।

Question 10: \( f(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{यदि } x \geq 1 \\ x^2 + 1, & \text{यदि } x < 1 \end{cases} \)

Answer:

माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। प्रश्ानुसार \( k < 1 \) या \( k = 1 \) या \( k > 1 \)
पहली स्थिति: यदि, \( k < 1 \),
\( f(k) = k^2 + 1 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (x^2 + 1) = k^2 + 1 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( 1 \) से छोटी सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
दूसरी स्थिति: यदि, \( k = 1 \) पर, \( f(1) = 1 + 1 = 2 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 1 + 1 = 2 \)
यहाँ, \( x = 1 \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f(1) \)
अतः, \( x = 1 \) पर, फलन \( f \) संतत है।
तीसरी स्थिति: यदि, \( k > 1 \),
\( f(k) = k + 1 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (x + 1) = k + 1 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( x > 1 \), के लिए संतत है।
इस प्रकार, फलन \( f \), सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।

मुख्य बिंदु:

• क्रांतिक बिंदु \( x = 1 \) पर सीमा और फलन का मान समान (2) आता है।
• अन्य सभी अंतरालों में यह बहुपद फलन है।
• फलन सर्वत्र संतत है।

आम गलतियाँ:

• सीमा और मान निकालते समय फलनों के नियमों को आपस में बदल देना।
• निष्कर्ष गलत लिखना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक चरण को क्रमबद्ध रूप से लिखें।
b) जाँच करें कि क्या सीमाएँ और फलन का मान संपाती हैं।

Question 11: \( f(x) = \begin{cases} x^3 - 3, & \text{यदि } x \leq 2 \\ x^2 + 1, & \text{यदि } x > 2 \end{cases} \)

Answer:

माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। प्रश्ानुसार \( k < 2 \) या \( k = 2 \) या \( k > 2 \)
पहिले स्थिति: यदि, \( k < 2 \),
\( f(k) = k^3 - 3 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (x^3 - 3) = k^3 - 3 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( 2 \) से छोटी सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
दूसरी स्थिति: यदि, \( k = 2 \) पर, \( f(2) = 2^3 - 3 = 5 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^3 - 3) = 2^3 - 3 = 5 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 + 1) = 2^2 + 1 = 5 \)
यहाँ, \( x = 2 \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f(2) \)
अतः, \( x = 2 \) पर, फलन \( f \) संतत है।
तीसरी स्थिति: यदि, \( k > 2 \),
\( f(k) = k^2 + 1 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (x^2 + 1) = k^2 + 1 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f, x > 2 \), के लिए संतत है। इसप्रकार, फलन \( f \), सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।

मुख्य बिंदु:

• बिंदु \( x = 2 \) पर बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा दोनों 5 के बराबर हैं।
• फलन का मान भी 5 है।
• संपूर्ण डोमेन में फलन संतत है।

आम गलतियाँ:

• क्यूब (cube) या वर्ग निकालते समय गणना की त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) गणना को ध्यानपूर्वक हल करें।
b) सभी स्थितियों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 12: \( f(x) = \begin{cases} x^{10} - 1, & \text{यदि } x \leq 1 \\ x^2, & \text{यदि } x > 1 \end{cases} \)

Answer:

माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। प्रश्ानुसार \( k < 1 \) या \( k = 1 \) या \( k > 1 \)
पहली स्थिति: यदि, \( k < 1 \),
\( f(k) = k^{10} - 1 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (x^{10} - 1) = k^{10} - 1 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( 1 \) से छोटी सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
दूसरी स्थिति: यदि, \( k = 1 \) पर, \( f(1) = 1^{10} - 1 = 0 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^{10} - 1) = 0 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2) = 1 \)
यहाँ, \( x = 1 \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा \( \neq \) दाएँ पक्ष की सीमा
अतः, \( x = 1 \) पर, फलन \( f \) संतत नहीं है।
तीसरी स्थिति: यदि, \( k > 1 \),
\( f(k) = k^2 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (x^2) = k^2 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f, x > 1 \), के लिए संतत है।
इस प्रकार, फलन \( f \), केवल \( x = 1 \) पर असांतत है।

मुख्य बिंदु:

• \( x = 1 \) पर बाएँ सीमा (0) और दाएँ सीमा (1) असमान हैं।
• फलन \( x = 1 \) को छोड़कर बाकी सभी वास्तविक संख्याओं पर संतत है।

आम गलतियाँ:

• उच्च घातों (\( x^{10} \)) को हल करते समय भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) \( x = 1 \) पर विशेष रूप से बाएँ और दाएँ सीमा की तुलना करें।
b) निष्कर्ष स्पष्ट रूप से दें।

Question 13: क्या फलन \( f(x) = \begin{cases} x + 5, & \text{यदि } x \leq 1 \\ x - 5, & \text{यदि } x > 1 \end{cases} \) द्वारा परिभाषित फलन, एक संतत फलन है?

Answer:

माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। प्रश्ानुसार \( k < 1 \) या \( k = 1 \) या \( k > 1 \)
पहली स्थिति: यदि, \( k < 1 \),
\( f(k) = k + 5 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (x + 5) = k + 5 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( 1 \) से छोटी सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
दूसरी स्थिति: यदि, \( k = 1 \) पर, \( f(1) = 1 + 5 = 6 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 5) = 6 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x - 5) = -4 \)
यहाँ, \( x = 1 \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा \( \neq \) दाएँ पक्ष की सीमा
अतः, \( x = 1 \) पर, फलन \( f \) संतत नहीं है।
तीसरी स्थिति: यदि, \( k > 1 \),
\( f(k) = k - 5 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (x - 5) = k - 5 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f, x > 1 \), के लिए संतत है।
इस प्रकार, फलन \( f \), केवल \( x = 1 \) पर असांतत है। फलन \( f \), के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ \( f \) निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:

मुख्य बिंदु:

• \( x = 1 \) पर बाएँ और दाएँ सीमाएँ क्रमशः 6 और -4 हैं।
• फलन सर्वत्र संतत नहीं है क्योंकि यह \( x = 1 \) पर टूटता है।

आम गलतियाँ:

• ऋण चिह्न की उपेक्षा करना।

Exam Tips:

a) प्रश्न में पूछे गए अनुसार निष्कर्ष दें कि फलन संतत नहीं है।
b) सभी चरणों को सुव्यवस्थित लिखें।

Question 14: \( f(x) = \begin{cases} 3, & \text{यदि } 0 \leq x \leq 1 \\ 4, & \text{यदि } 1 < x < 3 \\ 5, & \text{यदि } 3 \leq x \leq 10 \end{cases} \)

Answer:

माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है प्रश्ानुसार \( 0 \leq k \leq 1 \) या \( 1 < k < 3 \) या \( 3 \leq k \leq 10 \)
पहली स्थिति: यदि, \( 0 \leq k \leq 1 \),
\( f(k) = 3 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (3) = 3 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( 0 \leq x \leq 1 \) के लिए संतत है।
दूसरी स्थिति: यदि, \( k = 1 \) पर, \( f(1) = 3 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (3) = 3 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (4) = 4 \)
यहाँ, \( x = 1 \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा \( \neq \) दाएँ पक्ष की सीमा
अतः, \( x = 1 \) पर, फलन \( f \) संतत नहीं है।
तीसरी स्थिति: यदि, \( 1 < k < 3 \),
\( f(k) = 4 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (4) = 4 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( 1 < x < 3 \) के लिए संतत है।
चौथी स्थिति: यदि, \( k = 3 \) पर,
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (4) = 4 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (5) = 5 \)
यहाँ, \( x = 3 \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा \( \neq \) दाएँ पक्ष की सीमा
अतः, \( x = 3 \) पर, फलन \( f \) संतत नहीं है।
पाँचवीं स्थिति: यदि, \( 3 \leq k \leq 10 \),
\( f(k) = 5 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (5) = 5 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( 3 \leq x \leq 10 \) के लिए संतत है।
इस प्रकार, फलन \( f \), केवल \( x = 1 \) तथा \( x = 3 \) पर असांतत है।

मुख्य बिंदु:

• अचर फलन अपने परिभाषित अंतरालों में संतत होते हैं।
• क्रांतिक बिंदुओं \( x = 1 \) और \( x = 3 \) पर असांतत्य है।

आम गलतियाँ:

• कई अंतरालों वाले फलनों में किसी एक सीमा की जाँच छोड़ देना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक सीमा बिंदु पर बाएँ और दाएँ मानों की तुलना करें।
b) सभी अंतरालों को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।

Question 15: \( f(x) = \begin{cases} 2x, & \text{यदि } x < 0 \\ 0, & \text{यदि } 0 \leq x \leq 1 \\ 4x, & \text{यदि } x > 1 \end{cases} \)

Answer:

माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। प्रश्ानुसार \( k < 0 \) या \( k = 0 \) या \( 0 \leq k \leq 1 \) या \( k = 1 \) या \( k > 1 \)
पहली स्थिति: यदि, \( k < 0 \),
\( f(k) = 2k \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (2x) = 2k \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( x < 0 \) के लिए संतत है।
दूसरी स्थिति: यदि, \( k = 0 \) पर, \( f(0) = 0 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (2x) = 0 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (0) = 0 \), यहाँ, \( \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \)
अतः, फलन \( f, x = 0 \) के लिए संतत है।
तीसरी स्थिति: यदि, \( 0 \leq k \leq 1 \),
\( f(k) = 0 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (0) = 0 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( 0 \leq x \leq 1 \), के लिए संतत है।
चौथी स्थिति: यदि, \( k = 1 \) पर,
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (0) = 0 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (4x) = 4 \)
यहाँ, \( x = 1 \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा \( \neq \) दाएँ पक्ष की सीमा
अतः, \( x = 1 \) पर, फलन \( f \) संतत नहीं है।
पाँचवीं स्थिति: यदि, \( k > 1 \),
\( f(k) = 4k \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (4x) = 4k \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( x > 1 \) के लिए संतत है।
इसप्रकार, फलन \( f \), केवल \( x = 1 \) पर असांतत है।

मुख्य बिंदु:

• \( x = 0 \) पर फलन संतत है क्योंकि बाएँ और दाएँ सीमा दोनों शून्य हैं।
• \( x = 1 \) पर फलन असांतत है।

आम गलतियाँ:

• \( x = 0 \) पर गलत फलन नियम चुनना।

Exam Tips:

a) सभी मामलों को सिलसिलेवार हल करें।
b) हर महत्वपूर्ण बिंदु पर सांतत्य की जाँच करें।

Question 16: \( f(x) = \begin{cases} -2, & \text{यदि } x \leq -1 \\ 2x, & \text{यदि } -1 < x \leq 1 \\ 2, & \text{यदि } x > 1 \end{cases} \)

Answer:

माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है।
प्रश्ानुसार \( k < -1 \) या \( k = -1 \) या \( -1 < k \leq 1 \) या \( k = 1 \) या \( k > 1 \)
पहली स्थिति: यदि, \( k < -1 \),
\( f(k) = -2 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (-2) = -2 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( x < -1 \) के लिए संतत है।
दूसरी स्थिति: यदि, \( k = -1 \) पर, \( f(-1) = -2 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (-2) = -2 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (2x) = -2 \), यहाँ, \( \lim_{x \to -1} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( x = -1 \) के लिए संतत है।
तीसरी स्थिति: यदि, \( -1 < x \leq 1 \),
\( f(k) = 2k \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (2x) = 2k \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), स्पष्टतः संतत है।
चौथी स्थिति: \( k = 1 \) पर,
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x) = 2 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2) = 2 \), यहाँ, \( \lim_{x \to 1} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( x = 1 \) के लिए संतत है।
पाँचवीं स्थिति: यदि, \( k > 1 \),
\( f(k) = 2 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (2) = 2 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( x > 1 \) के लिए संतत है।
इसप्रकार, फलन \( f \), सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।

मुख्य बिंदु:

• \( x = -1 \) और \( x = 1 \) दोनों क्रांतिक बिंदुओं पर फलन संतत है।
• यह फलन हर जगह संतत है।

आम गलतियाँ:

• सीमा मानों की गणना में चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) सभी चरणों को ध्यान से लिखें।
b) दिखाएं कि हर बिंदु पर सीमा और मान बराबर हैं।

Question 17: \( a \) और \( b \) के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिसके लिए \( f(x) = \begin{cases} ax + 1, & \text{यदि } x \leq 3 \\ bx + 3, & \text{यदि } x > 3 \end{cases} \) द्वारा परिभाषित फलन \( x = 3 \) पर संतत है।

Answer:

दिया है: फलन \( x = 3 \) पर संतत है। इसलिए, बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f(3) \)
\( \Rightarrow \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) \)
\( \Rightarrow \lim_{x \to 3^-} ax + 1 = \lim_{x \to 3^+} bx + 3 = f(3) \)
\( \Rightarrow 3a + 1 = 3b + 3 = 3a + 1 \)
\( \Rightarrow 3a + 1 = 3b + 3 \)
\( \Rightarrow 3a = 3b + 2 \)
\( \Rightarrow a = b + \frac{2}{3} \)

मुख्य बिंदु:

• यदि फलन संतत है, तो किसी भी बिंदु पर बाएँ और दाएँ सीमाएं समान होती हैं।
• \( a \) और \( b \) में एक रैखिक समीकरण प्राप्त होता है।

आम गलतियाँ:

• सीमा के मानों में \( x \) का मान प्रतिस्थापित न करना।

Exam Tips:

a) सांतत्य की शर्त का सीधे उपयोग करें।
b) समीकरण को सरल रूप में व्यक्त करें।

Question 18: \( \lambda \) के किस मान के लिए \( f(x) = \begin{cases} \lambda(x^2 - 2x), & \text{यदि } x \leq 0 \\ 4x + 1, & \text{यदि } x > 0 \end{cases} \) द्वारा परिभाषित फलन \( x = 0 \) पर संतत है? \( x = 1 \) पर इसके सांतत्य पर विचार कीजिए।

Answer:

दिया है: फलन \( x = 0 \) पर संतत है। इसलिए, बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f(0) \)
\( \Rightarrow \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) \)
\( \Rightarrow \lim_{x \to 0^-} \lambda(x^2 - 2x) = \lim_{x \to 0^+} (4x + 1) \)
\( \Rightarrow \lambda[(0)^2 - 2(0)] = 4(0) + 1 = \lambda(0) \)
\( \Rightarrow 0 \cdot \lambda = 1 \)
\( \Rightarrow \lambda = \frac{1}{0} \) (अपरिभाषित)
अतः, \( \lambda \) का कोई वास्तविक मान ऐसा नहीं है जिसपर फलन संतत हो।
यदि, \( x = 1 \),
\( f(1) = 4(1) + 1 = 5 \) तथा \( \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (4x + 1) = 5 \), यहाँ, \( \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \)
अतः, फलन \( f \), \( \lambda \) के सभी मानों के लिए संतत है।

मुख्य बिंदु:

• \( x = 0 \) पर समीकरण संतुष्ट नहीं होती क्योंकि \( 0 = 1 \) आ जाता है।
• \( x = 1 \) पर फलन \( 4x + 1 \) है जो हमेशा संतत होता है।

आम गलतियाँ:

• \( 0 \cdot \lambda = 1 \) से \( \lambda \) का गलत मान निकाल लेना।

Exam Tips:

a) ध्यान रखें कि \( 0 \cdot \lambda = 1 \) का कोई हल नहीं होता।
b) \( x = 1 \) के लिए अलग से जाँच करें।

Question 19: दर्शाइए कि \( g(x) = x - [x] \) द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णांक बिंदुओं पर असंतत है। यहाँ \( [x] \) एक महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है, जो \( x \) के बराबर या \( x \) से कम है।

Answer:

माना, \( k \) कोई पूर्णांक संख्या है।
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to k^-} g(x) = \lim_{x \to k^-} (x - [x]) = k - (k - 1) = 1 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to k^+} g(x) = \lim_{x \to k^+} (x - [x]) = k - k = 0 \)
यहाँ, \( x = k \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा \( \neq \) दाएँ पक्ष की सीमा
अतः, समस्त पूर्णांक बिंदुओं पर, फलन \( f \) संतत नहीं है।

मुख्य बिंदु:

• महत्तम पूर्णांक फलन पूर्णांक बिंदुओं पर कूद (jump) प्रदर्शित करता है।
• बाएँ और दाएँ सीमाएं भिन्न होती हैं।

आम गलतियाँ:

• महत्तम पूर्णांक फलन के गुणों को समझने में भूल करना।

Exam Tips:

a) \( [x] \) के मान \( k-1 \) और \( k \) को स्पष्ट रूप से समझें।
b) तर्क को संक्षिप्त रखें।

Question 20: क्या \( f(x) = x^2 - \sin x + 5 \) द्वारा परिभाषित फलन \( x = \pi \) पर संतत है?

Answer:

दिया गया फलन \( f(x) = x^2 - \sin x + 5 \)
\( x = \pi \) पर, \( f(\pi) = \pi^2 - \sin \pi + 5 = \pi^2 - 0 + 5 = \pi^2 + 5 \)
\( \lim_{x \to \pi} f(x) = \lim_{x \to \pi} (x^2 - \sin x + 5) = \pi^2 - \sin \pi + 5 = \pi^2 - 0 + 5 = \pi^2 + 5 \)
यहाँ, \( x = \pi \) पर, \( \lim_{x \to \pi} f(x) = f(\pi) = \pi^2 + 5 \)
अतः, \( x = \pi \) पर, फलन \( f \) संतत है।

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय और बीजगणितीय फलनों का योग भी संतत होता है।
• \( \sin \pi = 0 \) होता है।

आम गलतियाँ:

• \( \sin \pi \) का मान गलत लिख देना।

Exam Tips:

a) सीधे मान प्रतिस्थापित करके दिखाएं।
b) त्रिकोणमितीय मानों का सही उपयोग करें।

Question 21: निम्नलिखित फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए:
(a) \( f(x) = \sin x + \cos x \)
(b) \( f(x) = \sin x - \cos x \)
(c) \( f(x) = \sin x \cdot \cos x \)}

Answer:

(a) माना, फलन \( g(x) = \sin x \)
माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। \( x = k \) पर, \( g(k) = \sin k \)
बाएँ पक्ष की सीमा:
\( \lim_{g(x)} = \lim_{x \to k} \sin x = \lim_{h \to 0} \sin(k - h) = \lim_{h \to 0} \sin k \cos h - \cos k \sin h = \sin k \)
दाएँ पक्ष की सीमा:
\( \lim_{g(x)} = \lim_{x \to k^+} \sin x = \lim_{h \to 0} \sin(k + h) = \lim_{h \to 0} \sin k \cos h + \cos k \sin h = \sin k \)
यहाँ, \( x = k \) पर, फलन \( g \) के बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( g(k) \)
अतः, फलन \( g \), समस्त वास्तविक बिंदुओं के लिए संतत है।
माना, फलन \( h(x) = \cos x \)
माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। \( x = k \) पर, \( h(k) = \cos k \)
बाएँ पक्ष की सीमा:
\( \lim_{h(x)} = \lim_{x \to k^-} \cos x = \lim_{h \to 0} \cos(k - h) = \lim_{h \to 0} \cos k \cos h + \sin k \sin h = \cos k \)
दाएँ पक्ष की सीमा:
\( \lim_{h(x)} = \lim_{x \to k^+} \cos x = \lim_{h \to 0} \cos(k + h) = \lim_{h \to 0} \cos k \cos h - \sin k \sin h = \cos k \)
यहाँ, \( x = k \) पर, फलन \( h \) के बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( h(k) \)
अतः, फलन \( h \), समस्त वास्तविक बिंदुओं के लिए संतत है।
हम जानते हैं कि यदि \( g \) और \( h \) दो संतत फलन हैं, तो \( g + h \), \( g - h \) और \( gh \) भी संतत फलन होंगे।
अतः, (a) \( f(x) = \sin x + \cos x \) (b) \( f(x) = \sin x - \cos x \) और (c) \( f(x) = \sin x \cdot \cos x \) संतत फलन हैं।

मुख्य बिंदु:

• \( \sin x \) और \( \cos x \) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत होते हैं।
• संतत फलनों का योग, अंतर और गुणनफल भी संतत होता है।

आम गलतियाँ:

• त्रिकोणमितीय योग सूत्रों में चिह्न की भूल करना।

Exam Tips:

a) व्यक्तिगत रूप से \( \sin x \) और \( \cos x \) का सांतत्य सिद्ध करें।
b) बीजगणितीय प्रमेयों का हवाला दें।

Question 22: cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए।

Answer:

माना, फलन \( g(x) = \sin x \)
माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। \( x = k \) पर, \( g(k) = \sin k \)
बाएँ पक्ष की सीमा:
\( \lim_{g(x)} = \lim_{x \to k^-} \sin x = \lim_{h \to 0} \sin(k - h) = \lim_{h \to 0} \sin k \cos h - \cos k \sin h = \sin k \)
दाएँ पक्ष की सीमा:
\( \lim_{g(x)} = \lim_{x \to k^+} \sin x = \lim_{h \to 0} \sin(k + h) = \lim_{h \to 0} \sin k \cos h + \cos k \sin h = \sin k \)
यहाँ, \( x = k \) पर, फलन \( g \) के बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( g(k) \)
अतः, फलन \( g \), समस्त वास्तविक बिंदुओं के लिए संतत है।
माना, फलन \( h(x) = \cos x \)
माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। \( x = k \) पर, \( h(k) = \cos k \)
बाएँ पक्ष की सीमा:
\( \lim_{h(x)} = \lim_{x \to k^-} \cos x = \lim_{h \to 0} \cos(k - h) = \lim_{h \to 0} \cos k \cos h + \sin k \sin h = \cos k \)
दाएँ पक्ष की सीमा:
\( \lim_{h(x)} = \lim_{x \to k^+} \cos x = \lim_{h \to 0} \cos(k + h) = \lim_{h \to 0} \cos k \cos h - \sin k \sin h = \cos k \)
यहाँ, \( x = k \) पर, फलन \( h \) के बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( h(k) \)
अतः, फलन \( h \), समस्त वास्तविक बिंदुओं के लिए संतत है।
हम जानते हैं कि यदि \( g \) और \( h \) दो संतत फलन हैं, तो \( \frac{g}{h}, h \neq 0 \) भी संतत है।
इसलिए, \( \text{cosec } x = \frac{1}{\sin x}, \sin x \neq 0 \), संतत है।
\( \Rightarrow x \neq n\pi \) (\( n \in \mathbb{Z} \)), संतत है।
अतः, \( \text{cosec } x \), \( x = n\pi \) (\( n \in \mathbb{Z} \)) के अतिरिक्त सभी बिंदुओं पर संतत है।
\( \sec x = \frac{1}{\cos x}, \cos x \neq 0 \), संतत है।
\( \Rightarrow x \neq \frac{(2n + 1)\pi}{2} \) (\( n \in \mathbb{Z} \)), संतत है।
अतः, \( \sec x \), \( x = \frac{(2n + 1)\pi}{2} \) (\( n \in \mathbb{Z} \)) के अतिरिक्त सभी बिंदुओं पर संतत है।
\( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}, \sin x \neq 0 \), संतत है। \( \Rightarrow x \neq n\pi \) (\( n \in \mathbb{Z} \)), संतत है।
अतः, \( \cot x \), \( x = n\pi \) (\( n \in \mathbb{Z} \)) के अतिरिक्त सभी बिंदुओं पर संतत है।

मुख्य बिंदु:

• \( \sin x \) और \( \cos x \) सर्वत्र संतत हैं।
• व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन वहीं असांतत होते हैं जहाँ हर शून्य होता है।

आम गलतियाँ:

• डोमेन के अपवर्जित बिंदुओं (excluded points) को लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) \( n \in \mathbb{Z} \) लिखना न भूलें।
b) प्रत्येक फलन के लिए हर के शून्य होने की शर्त स्पष्ट करें।

Question 23: \( f \) के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ \( f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & \text{यदि } x < 0 \\ x + 1, & \text{यदि } x \geq 0 \end{cases} \)

Answer:

माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। प्रश्ानुसार \( k < 0 \) या \( k = 0 \) या \( k > 0 \)
पहली स्थिति: यदि, \( k < 0 \),
\( f(k) = \frac{\sin k}{k} \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} \left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{\sin k}{k} \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f \), \( 0 \) से छोटी सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
दूसरी स्थिति: यदि, \( k = 0 \) पर, \( f(0) = 0 + 1 = 1 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \left(\frac{\sin x}{x}\right) = 1 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 0 + 1 = 1 \)
यहाँ, \( x = 0 \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f(0) \)
अतः, \( x = 0 \) पर, फलन \( f \) संतत है।
तीसरी स्थिति: यदि, \( k > 0 \),
\( f(k) = k + 1 \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (x + 1) = k + 1 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f, x > 0 \), के लिए संतत है।
इसप्रकार, फलन \( f \), सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।

मुख्य बिंदु:

• मानक सीमा \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \) का प्रयोग किया गया है।
• \( x = 0 \) पर बाएँ और दाएँ सीमाएं समान हैं।

आम गलतियाँ:

• सीमा प्रमेय का गलत मान याद रखना।

Exam Tips:

a) \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \) का स्पष्ट उल्लेख करें।
b) संपूर्ण उत्तर को चरणबद्ध लिखें।

Question 24: निर्धारित कीजिए कि फलन \( f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right), & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \end{cases} \) द्वारा परिभाषित एक संतत फलन है?

Answer:

माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। प्रश्ानुसार \( k \neq 0 \) या \( k = 0 \)
पहली स्थिति: यदि, \( k \neq 0 \),
\( f(k) = k^2 \sin \frac{1}{k} \) तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} \left(x^2 \sin \frac{1}{x}\right) = k^2 \sin \frac{1}{k} \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, फलन \( f, k \neq 0 \) के लिए संतत है।
दूसरी स्थिति: यदि, \( k = 0 \) पर, \( f(0) = 0 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \left(x^2 \sin \frac{1}{x}\right) \)
हम जानते हैं कि, \(-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1, x \neq 0 \)
\( \Rightarrow -x^2 \leq x^2 \sin \frac{1}{x} \leq x^2 \)
\( \Rightarrow \lim_{x \to 0} (-x^2) \leq \lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} \leq \lim_{x \to 0} x^2 \)
\( \Rightarrow 0 \leq \lim_{x \to 0} f(x) \leq 0 \)
\( \Rightarrow \lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0 \)
इसी प्रकार, दाएँ पक्ष की सीमा = \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(x^2 \sin \frac{1}{x}\right) = 0 \)
यहाँ, \( x = 0 \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f(0) \)
अतः, \( x = 0 \) पर, फलन \( f \) संतत है। इसप्रकार, फलन \( f \), सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।

मुख्य बिंदु:

• सैंडविच प्रमेय (Squeeze Theorem) का प्रयोग किया गया है।
• \( \sin \left(\frac{1}{x}\right) \) परिबद्ध फलन है।

आम गलतियाँ:

• सीधे सीमा का मान न निकाल पाना और सैंडविच प्रमेय का उपयोग न करना।

Exam Tips:

a) असमिकाओं का सही प्रयोग करें।
b) स्पष्ट करें कि फलन हर जगह संतत है।

Question 25: \( f \) के सांतत्य की जाँच कीजिए, जहाँ \( f \) निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है: \( f(x) = \begin{cases} \sin x - \cos x, & \text{यदि } x \neq 0 \\ -1, & \text{यदि } x = 0 \end{cases} \)

Answer:

माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। प्रश्ानुसार \( k \neq 0 \) या \( k = 0 \)
पहली स्थिति: यदि, \( k \neq 0 \) पर, \( f(0) = 0 - 1 = -1 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (\sin x - \cos x) = 0 - 1 = -1 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (\sin x - \cos x) = 0 - 1 = -1 \)
यहाँ, \( x \neq 0 \) पर, फलन \( f \) के बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f(x) \)
अतः, फलन \( f, x \neq 0 \) पर संतत है।
दूसरी स्थिति: यदि, \( k = 0, f(k) = -1 \)
तथा \( \lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (-1) = -1 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} f(x) = f(k) \)
अतः, \( x = 0 \) पर, फलन \( f \), संतत है। इसप्रकार, फलन \( f \), सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।

मुख्य बिंदु:

• \( x = 0 \) पर फलन का मान और सीमा दोनों -1 हैं।
• फलन सर्वत्र संतत है।

आम गलतियाँ:

• \( \sin 0 \) और \( \cos 0 \) के मान गलत रखना।

Exam Tips:

a) दोनों स्थितियों को स्पष्ट रूप से हल करें।
b) त्रिकोणमितीय मानों को ध्यान से रखें।

Question 26 से 29 में \( k \) के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:

Answer:

दी गई निर्देशिका के अनुसार प्रश्न 26 से 29 तक \( k \) के मान ज्ञात करने हैं।

मुख्य बिंदु:

• सांतत्य की शर्त का प्रयोग करके अज्ञात राशि \( k \) निकाली जाती है।
• सीमा और फलन के मान को बराबर रखा जाता है।

आम गलतियाँ:

• सीमा हल करते समय त्रिकोणमितीय सीमाओं के मानक रूपों का उपयोग न करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक उप-प्रश्न को समीकरण बनाकर हल करें।
b) सीमा के चरणों को स्पष्ट लिखें।

Question 26: \( f(x) = \begin{cases} \frac{k \cos x}{\pi - 2x}, & \text{यदि } x \neq \frac{\pi}{2} \\ 3, & \text{यदि } x = \frac{\pi}{2} \end{cases} \) द्वारा परिभाषित फलन \( x = \frac{\pi}{2} \) पर संतत है।

Answer:

दिया है: फलन \( x = \frac{\pi}{2} \) पर संतत है। इसलिए, बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) \)
\( \Rightarrow \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f\left(\frac{\pi}{2}\right) \)
\( \Rightarrow \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{k \cos x}{\pi - 2x} = 3 \)
\( \Rightarrow \lim_{h \to 0} \frac{k \cos\left(\frac{\pi}{2} - h\right)}{\pi - 2\left(\frac{\pi}{2} - h\right)} = 3 \)
\( \Rightarrow \lim_{h \to 0} \frac{k \sin h}{\pi - \pi + 2h} = 3 \)
\( \Rightarrow \lim_{h \to 0} \frac{k \sin h}{2h} = 3 \)
\( \Rightarrow \frac{k}{2} \lim_{h \to 0} \left[\frac{\sin h}{h}\right] = 3 \)
\( \Rightarrow \frac{k}{2} = 3 \)
\( \Rightarrow k = 6 \)

मुख्य बिंदु:

• \( x = \frac{\pi}{2} - h \) प्रतिस्थापन का उपयोग करके सीमा को सरल किया गया है।
• \( \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1 \) का प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• प्रतिस्थापन में कोणों के परिवर्तन की भूल करना।

Exam Tips:

a) \( x = \frac{\pi}{2} - h \) का प्रतिस्थापन सही ढंग से करें।
b) अंत में \( k \) का मान स्पष्ट निकालें।

Question 27: \( f(x) = \begin{cases} kx^2, & \text{यदि } x \leq 2 \\ 3, & \text{यदि } x > 2 \end{cases} \) द्वारा परिभाषित फलन \( x = 2 \) पर संतत है।

Answer:

दिया है: फलन \( x = 2 \) पर संतत है। इसलिए, बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f(2) \)
\( \Rightarrow \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) \)
\( \Rightarrow \lim_{x \to 2^-} kx^2 = \lim_{x \to 2^+} 3 = f(2) \)
\( \Rightarrow \lim_{x \to 2^-} kx^2 = 3 \)
\( \Rightarrow k(2)^2 = 3 \Rightarrow 4k = 3 \Rightarrow k = \frac{3}{4} \)

मुख्य बिंदु:

• सीमा को फलन के मान के बराबर रखकर समीकरण हल की जाती है।

आम गलतियाँ:

• वर्ग निकालते समय गलती करना।

Exam Tips:

a) दोनों तरफ की सीमाओं को बराबर रखें।
b) सरल गणना करें।

Question 28: \( f(x) = \begin{cases} kx + 1, & \text{यदि } x \leq \pi \\ \cos x, & \text{यदि } x > \pi \end{cases} \) द्वारा परिभाषित फलन \( x = \pi \) पर संतत है।

Answer:

दिया है: फलन \( x = \pi \) पर संतत है। इसलिए, बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f(\pi) \)
\( \Rightarrow \lim_{x \to \pi^-} f(x) = \lim_{x \to \pi^+} f(x) = f(\pi) \)
\( \Rightarrow \lim_{x \to \pi^-} kx + 1 = \lim_{x \to \pi^+} \cos x = f(\pi) \)
\( \Rightarrow \lim_{x \to \pi^-} kx + 1 = \lim_{x \to \pi^+} \cos x = k(\pi) + 1 \)
\( \Rightarrow k(\pi) + 1 = \cos \pi = k\pi + 1 \)
\( \Rightarrow k\pi + 1 = -1 \Rightarrow k\pi = -1 - 1 \Rightarrow k\pi = -2 \Rightarrow k = -\frac{2}{\pi} \)

मुख्य बिंदु:

• \( \cos \pi = -1 \) का मान रखा गया है।

आम गलतियाँ:

• \( \cos \pi \) का मान +1 लिख देना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय मानों को सटीकता से रखें।
b) \( k \) का मान पद के रूप में निकालें।

Question 29: \( f(x) = \begin{cases} kx + 1, & \text{यदि } x \leq 5 \\ 3x - 5, & \text{यदि } x > 5 \end{cases} \) द्वारा परिभाषित फलन \( x = 5 \) पर संतत है।

Answer:

दिया है: फलन \( x = 5 \) पर संतत है। इसलिए, बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f(5) \)
\( \Rightarrow \lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^+} f(x) = f(5) \)
\( \Rightarrow \lim_{x \to 5^-} kx + 1 = \lim_{x \to 5^+} 3x - 5 = f(5) \)
\( \Rightarrow \lim_{x \to 5^-} kx + 1 = \lim_{x \to 5^+} 3x - 5 \)
\( \Rightarrow 5k + 1 = 3(5) - 5 = 5k + 1 \)
\( \Rightarrow 5k + 1 = 15 - 5 \Rightarrow 5k + 1 = 10 \Rightarrow 5k = 9 \Rightarrow k = \frac{9}{5} \)

मुख्य बिंदु:

• \( x = 5 \) पर दोनों फलनों के मानों को बराबर किया गया है।

आम गलतियाँ:

• गुणा या घटाव में अंकगणितीय त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) समीकरण को ध्यानपूर्वक हल करें।
b) अंतिम उत्तर भिन्न के रूप में दें।

Question 30: \( a \) तथा \( b \) के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि \( f(x) = \begin{cases} 5, & \text{यदि } x \leq 2 \\ ax + b, & \text{यदि } 2 < x < 10 \\ 21, & \text{यदि } x \geq 10 \end{cases} \) द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन हो।

Answer:

दिया है: फलन \( x = 2 \) पर संतत है। इसलिए, बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f(2) \)
\( \Rightarrow \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) \)
\( \Rightarrow \lim_{x \to 2} 5 = \lim_{x \to 2^+} ax + b = f(2) \)
\( \Rightarrow 5 = \lim_{x \to 2^+} ax + b = 2a + b \Rightarrow 2a + b = 5 \dots (1) \)
फलन \( x = 10 \) पर संतत है। इसलिए, बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( f(10) \)
\( \Rightarrow \lim_{x \to 10^-} f(x) = \lim_{x \to 10^+} f(x) = f(10) \)
\( \Rightarrow \lim_{x \to 10^-} ax + b = \lim_{x \to 10^+} 21 = f(10) \)
\( \Rightarrow 10a + b = 21 \dots (2) \)
समीकरण (1) और (2) को हल करने पर
\( a = 2 \quad b = 1 \)

मुख्य बिंदु:

• यहाँ दो अज्ञात राशियाँ \( a \) और \( b \) हैं, इसलिए दो समीकरणों (\( x = 2 \) और \( x = 10 \) पर सांतत्य से) की आवश्यकता है।
• रैखिक समीकरण युग्म को विलोपन या प्रतिस्थापन विधि से हल किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• केवल एक बिंदु की जाँच करना और दूसरी समीकरण न बनाना।

Exam Tips:

a) दोनों क्रांतिक बिंदुओं (\( x = 2 \) और \( x = 10 \)) पर अलग-अलग समीकरण बनाएं।
b) समीकरणों को हल करके \( a \) और \( b \) के मान स्पष्ट निकालें।

Question 31: दर्शाइए कि \( f(x) = \cos(x^2) \) द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।

Answer:

दिए गए फलन को प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित मानते हुए, फलन \( f \) को दो फलनों \( g \) और \( h \) के संयोजन में लिख सकते हैं (\( f = g \circ h \)) जहाँ, \( g(x) = \cos x \) और \( h(x) = x^2 \) है। यदि \( g \) और \( h \) दोनों ही संतत फलन हैं, तो \( f \) भी एक संतत फलन होगा। [\( \because goh(x) = g(h(x)) = g(x^2) = \cos(x^2) \)]
फलन \( g(x) = \cos x \)
माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। \( x = k \) पर, \( g(k) = \cos k \)
\( \lim_{x \to k} g(x) = \lim_{x \to k} \cos x = \lim_{h \to 0} \cos(k + h) = \lim_{h \to 0} \cos k \cos h - \sin k \sin h = \cos k \)
यहाँ, \( \lim_{x \to k} g(x) = g(k) \), अतः फलन \( g \), सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
फलन \( h(x) = x^2 \)
माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। \( x = k \) पर, \( h(k) = k^2 \)
\( \lim_{x \to k} h(x) = \lim_{x \to k} x^2 = k^2 \)
यहाँ, \( \lim_{x \to k} h(x) = h(k) \), अतः फलन \( h, \), सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
इसप्रकार, \( g \) और \( h \) दोनों ही संतत फलन हैं, अतः \( f \) भी एक संतत फलन होगा।

मुख्य बिंदु:

• संयुक्त फलन (composite function) का सांतत्य प्रमेयों का उपयोग।
• घटक फलन \( \cos x \) और \( x^2 \) दोनों संतत हैं।

आम गलतियाँ:

• संयुक्त फलन के सिद्धांत को बिना बताए सीधे लिख देना।

Exam Tips:

a) फलन को दो भागों में तोड़कर दिखाएं।
b) सिद्ध करें कि दोनों घटक संतत हैं।

Question 32: दर्शाइए कि \( f(x) = |\cos x| \) द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।

Answer:

दिए गए फलन को प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित मानते हुए, फलन \( f \) को दो फलनों \( g \) और \( h \) के संयोजन में लिख सकते हैं (\( f = g \circ h \)) जहाँ, \( g(x) = |x| \) और \( h(x) = \cos x \) है। यदि \( g \) और \( h \) दोनों ही संतत फलन हैं, तो \( f \) भी एक संतत फलन होगा। [\( \because goh(x) = g(h(x)) = g(\cos x) = |\cos x| \)]
फलन \( g(x) = |x| \)
इस फलन \( g \) को पुनः व्यवस्थित करने पर,
\( g(x) = \begin{cases} -x, & \text{यदि } x < 0 \\ x, & \text{यदि } x \geq 0 \end{cases} \)
माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। प्रश्ानुसार \( k < 0 \) या \( k = 0 \) या \( k > 0 \)
पहली स्थिति: यदि, \( k < 0 \),
\( g(k) = 0 \) तथा \( \lim_{x \to k} g(x) = \lim_{x \to k} (-x) = 0 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} g(x) = g(k) \)
अतः, फलन \( g \), \( 0 \) से छोटी सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
दूसरी स्थिति: यदि, \( k = 0 \) पर, \( g(0) = 0 + 1 = 1 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0 \) और दाएँ पक्ष की सीमा = \( \lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} (x) = 0 \),
यहाँ, \( x = 0 \) पर, फलन \( g \) के बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( g(0) \), अतः, \( x = 0 \) पर, फलन \( g \) संतत है।
तीसरी स्थिति: यदि, \( k > 0 \),
\( g(k) = 0 \) तथा \( \lim_{x \to k} g(x) = \lim_{x \to k} (x) = 0 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} g(x) = g(k) \)
अतः, फलन \( g, x > 0 \), के लिए संतत है। इसप्रकार, फलन \( g \), सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
फलन \( h(x) = \cos x \)
माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। \( x = k \) पर, \( h(k) = \cos k \)
\( \lim_{x \to k} h(x) = \lim_{x \to k} \cos x = \cos k \)
यहाँ, \( \lim_{x \to k} h(x) = h(k) \), अतः फलन \( h \), सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
इसप्रकार, \( g \) और \( h \) दोनों ही संतत फलन हैं, अतः \( f \) भी एक संतत फलन होगा।

मुख्य बिंदु:

• \( |x| \) और \( \cos x \) के संयुक्त फलन के रूप में सांतत्य की जाँच।
• मापांक फलन और कोसाइन फलन दोनों अलग-अलग संतत हैं।

आम गलतियाँ:

• मापांक फलन के सांतत्य को अलग से न दिखाना।

Exam Tips:

a) दोनों फलनों को अलग-अलग परिभाषित करके संतत सिद्ध करें।
b) संयुक्त फलन के नियम का उल्लेख करें।

Question 33: जाँचिए कि क्या \( \sin |x| \) एक संतत फलन है।

Answer:

दिए गए फलन को प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित मानते हुए, फलन \( f \) को दो फलनों \( h \) और \( g \) के संयोजन में लिख सकते हैं (\( f = hog \)) जहाँ, \( h(x) = \sin x \) और \( g(x) = |x| \) है। यदि \( h \) और \( g \) दोनों ही संतत फलन हैं, तो \( f \) भी एक संतत फलन होगा। [\( \because hog(x) = h(g(x)) = h(|x|) = \sin |x| \)]
फलन \( h(x) = \sin x \)
माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। \( x = k \) पर, \( h(k) = \sin k \)
\( \lim_{x \to k} h(x) = \lim_{x \to k} \sin x = \sin k \)
यहाँ, \( \lim_{x \to k} h(x) = h(k) \), अतः, फलन \( h \), समस्त वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
फलन \( g(x) = |x| \)
इस फलन \( g \) को पुनः व्यवस्थित करने पर,
\( g(x) = \begin{cases} -x, & \text{यदि } x < 0 \\ x, & \text{यदि } x \geq 0 \end{cases} \)
माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। प्रश्ानुसार \( k < 0 \) या \( k = 0 \) या \( k > 0 \)
पहली स्थिति: यदि, \( k < 0 \),
\( g(k) = 0 \) तथा \( \lim_{x \to k} g(x) = \lim_{x \to k} (-x) = 0 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} g(x) = g(k) \)
अतः, फलन \( g \), \( 0 \) से छोटी सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
दूसरी स्थिति: यदि, \( k = 0 \) पर, \( g(0) = 0 + 1 = 1 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} (x) = 0 \)
यहाँ, \( x = 0 \) पर, फलन \( g \) के बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( g(0) \), अतः, \( x = 0 \) पर, फलन \( g \) संतत है।
तीसरी स्थिति: यदि, \( k > 0 \),
\( g(k) = 0 \) तथा \( \lim_{x \to k} g(x) = \lim_{x \to k} (x) = 0 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} g(x) = g(k) \)
अतः, फलन \( g, x > 0 \), के लिए संतत है।
इसप्रकार, \( g \) और \( h \) दोनों ही संतत फलन हैं, अतः \( f \) भी एक संतत फलन होगा।

मुख्य बिंदु:

• \( \sin x \) और \( |x| \) के संयोजन से बना फलन भी संतत होता है।
• प्रत्येक घटक फलन संतत है।

आम गलतियाँ:

• संयुक्त फलन के क्रम को गलत लिखना।

Exam Tips:

a) स्पष्ट रूप से दिखाएं कि \( f(x) = h(g(x)) \) है।
b) निष्कर्ष रूप में लिखें कि यह संतत है।

Question 34: \( f(x) = |x| - |x + 1| \) द्वारा परिभाषित फलन \( f \) के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिए गए फलन को प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित मानते हुए, फलन \( f \) को दो फलनों \( h \) और \( g \) के संयोजन में लिख सकते हैं (\( f = g - h \)) जहाँ, \( g(x) = |x| \) और \( h(x) = |x + 1| \) है। यदि \( h \) और \( g \) दोनों ही संतत फलन हैं, तो \( f \) भी एक संतत फलन होगा।
फलन \( g(x) = |x| \)
इस फलन \( g \) को पुनः व्यवस्थित करने पर,
\( g(x) = \begin{cases} -x, & \text{यदि } x < 0 \\ x, & \text{यदि } x \geq 0 \end{cases} \)
माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। प्रश्ानुसार \( k < 0 \) या \( k = 0 \) या \( k > 0 \)
पहली स्थिति: यदि, \( k < 0 \),
\( g(k) = 0 \) तथा \( \lim_{x \to k} g(x) = \lim_{x \to k} (-x) = 0 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} g(x) = g(k) \)
अतः, फलन \( g \), \( 0 \) से छोटी सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
दूसरी स्थिति: यदि, \( k = 0 \) पर, \( g(0) = 0 + 1 = 1 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} (x) = 0 \)
यहाँ, \( x = 0 \) पर, फलन \( g \) के बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( g(0) \), अतः, \( x = 0 \) पर, फलन \( g \) संतत है।
तीसरी स्थिति: यदि, \( k > 0 \),
\( g(k) = 0 \) तथा \( \lim_{x \to k} g(x) = \lim_{x \to k} (x) = 0 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} g(x) = g(k) \)
अतः, फलन \( g, x > 0 \), के लिए संतत है। इसप्रकार, फलन \( g \), सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
फलन \( h(x) = |x + 1| \)
इस फलन \( h \) को पुनः व्यवस्थित करने पर,
\( h(x) = \begin{cases} -(x + 1), & \text{यदि } x < -1 \\ x + 1, & \text{यदि } x \geq -1 \end{cases} \)
माना, \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। प्रश्ानुसार \( k < -1 \) या \( k = -1 \) या \( k > -1 \)
पहली स्थिति: यदि, \( k < -1 \),
\( h(k) = -(k + 1) \) तथा \( \lim_{x \to k} h(x) = \lim_{x \to k} -(k + 1) = -(k + 1) \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} h(x) = h(k) \)
अतः, फलन \( h \), \( -1 \) से छोटी सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
दूसरी स्थिति: यदि, \( k = -1 \) पर, \( h(-1) = -1 + 1 = 0 \)
बाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to -1^-} h(x) = \lim_{x \to -1^-} (-(x + 1)) = 0 \)
दाएँ पक्ष की सीमा: \( \lim_{x \to -1^+} h(x) = \lim_{x \to -1^+} (x + 1) = 0 \)
यहाँ, \( x = -1 \) पर, फलन \( h \) के बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = \( h(-1) \)
अतः, \( x = -1 \) पर, फलन \( h \) संतत है।
तीसरी स्थिति: यदि, \( k > -1 \),
\( h(k) = k + 1 \) तथा \( \lim_{x \to k} h(x) = \lim_{x \to k} (k + 1) = k + 1 \), यहाँ, \( \lim_{x \to k} h(x) = h(k) \)
अतः, फलन \( h, x > -1 \), के लिए संतत है। इसप्रकार, फलन \( h \), सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
इसप्रकार, \( g \) और \( h \) दोनों ही संतत फलन हैं, अतः \( f \) भी एक संतत फलन होगा।

मुख्य बिंदु:

• दो संतत फलनों का अंतर भी संतत होता है।
• इस फलन का कोई असांतत्य बिंदु नहीं है।

आम गलतियाँ:

• मापांक फलनों के क्रांतिक बिंदुओं (\( x = 0 \) और \( x = -1 \)) पर गलती करना।

Exam Tips:

a) दोनों मापांक फलनों के सांतत्य को अलग-अलग सिद्ध करें।
b) निष्कर्ष दें कि फलन सर्वत्र संतत है।