NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 04 Determinants (सारणिक) Exercise 4.5 in Hindi

Question 1: x + 2y = 2
2x + 3y = 3

Answer:

दी गई समीकरण निकाय है:
\( x + 2y = 2 \)
\( 2x + 3y = 3 \)
समीकरण निकाय को \( AX = B \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)
\( |A| = 3 - 4 = -1 \neq 0 \)
चूँकि \( |A| \neq 0 \), अतः आव्यूह \( A \) व्युत्क्रमणीय है, इसलिए \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
इसलिए, दी गई समीकरण निकाय संगत है।

मुख्य बिंदु:

• समीकरण निकाय को \( AX = B \) रूप में बदलना।
• सारणिक \( |A| \) का मान ज्ञात करना।
• यदि \( |A| \neq 0 \) हो, तो निकाय संगत होता है।

आम गलतियाँ:

• आव्यूह \( A \) बनाते समय गुणांकों के चिह्न गलत लिखना।
• सारणिक हल करते समय गलती करना।
• संगत और असंगत की परिभाषा में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) हमेशा जाँच करें कि आव्यूह \( A \) व्युत्क्रमणीय है या नहीं।
b) चिह्न सावधानीपूर्वक लिखें।
c) अंत में स्पष्ट रूप से लिखें कि निकाय संगत है या असंगत।

Question 2: 2x - y = 5
x + y = 4

Answer:

दी गई समीकरण निकाय है:
\( 2x - y = 5 \)
\( x + y = 4 \)
समीकरण निकाय को \( AX = B \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ
\( A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix} \)
\( |A| = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 \neq 0 \)
चूँकि \( |A| \neq 0 \), अतः आव्यूह \( A \) व्युत्क्रमणीय है, इसलिए \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
इसलिए, दी गई समीकरण निकाय संगत है।

मुख्य बिंदु:

• 2x2 क्रम के आव्यूह का सारणिक निकालना।
• निकाय के संगत होने की शर्त की पुष्टि करना।
• \( AX = B \) रूप का सही निरूपण।

आम गलतियाँ:

• ऋणात्मक चिह्न (जैसे -y में -1) को छोड़ देना।
• सारणिक के प्रसार में गलती करना।

Exam Tips:

a) मध्यवर्ती चरणों को साफ-सुथरा लिखें।
b) प्रत्येक चरण में चिह्न की जाँच करें।
c) व्युत्क्रमणीयता की शर्त स्पष्ट करें।

Question 3: x + 3y = 5
2x + 6y = 8

Answer:

दी गई समीकरण निकाय है:
\( x + 3y = 5 \)
\( 2x + 6y = 8 \)
समीकरण निकाय को \( AX = B \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} \)
\( |A| = 6 - 6 = 0 \)
चूँकि \( |A| = 0 \), अतः आव्यूह \( A \) व्युत्क्रमणीय नहीं है, इसलिए \( A^{-1} \) का अस्तित्व नहीं है।
अब, \( \text{adj } A = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \)
\( (\text{adj } A)B = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 30 - 24 \\ -10 + 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -2 \end{bmatrix} \neq 0 \)
चूँकि \( (\text{adj } A)B \neq 0 \), इसलिए दी गई समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।
अतः, दी गई समीकरण निकाय असंगत है।

मुख्य बिंदु:

• जब \( |A| = 0 \) हो, तो \( (\text{adj } A)B \) ज्ञात करना।
• यदि \( (\text{adj } A)B \neq 0 \) हो, तो निकाय असंगत होता है।
• असंगत निकाय का कोई हल नहीं होता।

आम गलतियाँ:

• \( |A| = 0 \) आने के बाद आगे की जाँच (adj A)B न करना।
• सहखंड आव्यूह (adj A) निकालने में गलती करना।

Exam Tips:

a) \( |A| = 0 \) होने पर तुरंत \( (\text{adj } A)B \) की गणना करें।
b) आव्यूह गुणन सावधानी से करें।
c) निष्कर्ष स्पष्ट रूप से लिखें कि निकाय असंगत है।

Question 4: x + y + z = 1
2x + 3y + 2z = 2
ax + ay + 2az = 4

Answer:

दी गई समीकरण निकाय है:
\( x + y + z = 1 \)
\( 2x + 3y + 2z = 2 \)
\( ax + ay + 2az = 4 \)
समीकरण निकाय को \( AX = B \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ a & a & 2a \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix} \)
\( |A| = 1(6a - 2a) - 1(4a - 2a) + 1(2a - 3a) = a \neq 0 \)
चूँकि \( |A| \neq 0 \), अतः आव्यूह \( A \) व्युत्क्रमणीय है, इसलिए \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अतः, दी गई समीकरण निकाय संगत है।

मुख्य बिंदु:

• 3x3 सारणिक का प्रसार करना।
• अचर 'a' के पदों में सारणिक का मान निकालना।
• संगतता की शर्त लागू करना।

आम गलतियाँ:

• 3x3 सारणिक के प्रसार में चिह्न संबंधी त्रुटि करना।
• 'a' के पदों का गुणन गलत करना।

Exam Tips:

a) पहली पंक्ति के सापेक्ष प्रसार करना सबसे आसान होता है।
b) प्रत्येक चरण में कोष्ठकों का सही उपयोग करें।
c) अंतिम परिणाम को सरल रूप में लिखें।

Question 5: 3x - y - 2z = 2
2y - z = -1
3x - 5y = 3

Answer:

दी गई समीकरण निकाय है:
\( 3x - y - 2z = 2 \)
\( 2y - z = -1 \)
\( 3x - 5y = 3 \)
समीकरण निकाय को \( AX = B \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ
\( A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 0 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} \)
\( |A| = 3(0 - 5) + 1(0 + 3) - 2(0 - 6) = -15 + 3 + 12 = 0 \)
चूँकि \( |A| = 0 \), अतः आव्यूह \( A \) व्युत्क्रमणीय नहीं है, इसलिए \( A^{-1} \) का अस्तित्व नहीं है। अब,
\( A_{11} = -5, A_{12} = -3, A_{13} = -6 \)
\( A_{21} = 10, A_{22} = 6, A_{23} = 12 \)
\( A_{31} = 5, A_{32} = 3, A_{33} = 6 \)
\( \text{adj } A = \begin{bmatrix} -5 & 10 & 5 \\ -3 & 6 & 3 \\ -6 & 12 & 6 \end{bmatrix} \)
\( (\text{adj } A)B = \begin{bmatrix} -5 & 10 & 5 \\ -3 & 6 & 3 \\ -6 & 12 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 - 10 + 15 \\ -6 - 6 + 9 \\ -12 - 12 + 18 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ -3 \\ -6 \end{bmatrix} \neq 0 \)
इसलिए, दी गई समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।
अतः, दी गई समीकरण निकाय असंगत है।

मुख्य बिंदु:

• लुप्त पदों के गुणांक शून्य (0) रखना (जैसे दूसरे समीकरण में x का गुणांक)।
• सभी सहखंड (Cofactors) सावधानी से निकालना।
• \( (\text{adj } A)B \) ज्ञात करके निकाय की संगतता जाँच करना।

आम गलतियाँ:

• शून्य गुणांक वाले पदों को भूल जाना।
• सहखंडों के चिह्न तय करते समय (-1)^{i+j} नियम भूलना।

Exam Tips:

a) सहखंड निकालते समय प्रत्येक अवบव के उपसारणिक का चिह्न ध्यान से देखें।
b) आव्यूह गुणन की बार-बार जाँच करें।
c) चरणबद्ध तरीके से पूरा हल लिखें।

Question 6: 5x - y + 4z = 5
2x + 3y + 5z = 2
5x - 2y + 6z = -1

Answer:

दी गई समीकरण निकाय है:
\( 5x - y + 4z = 5 \)
\( 2x + 3y + 5z = 2 \)
\( 5x - 2y + 6z = -1 \)
समीकरण निकाय को \( AX = B \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ
\( A = \begin{bmatrix} 5 & -1 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 5 & -2 & 6 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} \)
\( |A| = 5(18 + 10) + 1(12 - 25) + 4(-4 - 15) = 140 - 13 - 76 = 51 \neq 0 \)
चूँकि \( |A| \neq 0 \), अतः आव्यूह \( A \) व्युत्क्रमणीय है। इसलिए, \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अतः, दी गई समीकरण निकाय संगत है।

मुख्य बिंदु:

• 3x3 आव्यूह का सारणिक ज्ञात करना।
• व्युत्क्रमणीयता की शर्त से संगतता सिद्ध करना।
• सभी अवयवों के गुणांकों को सही रूप में रखना।

आम गलतियाँ:

• ऋणात्मक चिह्नों के साथ गणना करते समय गलती करना।
• सारणिक के विस्तार में गुणन की गलती।

Exam Tips:

a) गणना को दो बार सत्यापित करें।
b) सभी चरणों को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करें।
c) अंतिम निष्कर्ष को शब्दों में लिखें।

Question 7: 5x + 2y = 4
7x + 3y = 5

Answer:

दी गई समीकरण निकाय है:
\( 5x + 2y = 4 \)
\( 7x + 3y = 5 \)
समीकरण निकाय को \( AX = B \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ
\( A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} \)
\( |A| = 15 - 14 = 1 \neq 0 \)
चूँकि \( |A| \neq 0 \), अतः आव्यूह \( A \) व्युत्क्रमणीय है और \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अतः, दी गई समीकरण निकाय संगत है।
\( A_{11} = 3, A_{12} = -7, A_{21} = -2, A_{22} = 5 \)
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix} \)
\( X = A^{-1}B \)
\( \implies \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 - 10 \\ -28 + 25 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} \)
अतः \( x = 2, y = -3 \) ।

मुख्य बिंदु:

• आव्यूह विधि से समीकरण हल करने के लिए सूत्र \( X = A^{-1}B \) का उपयोग करना।
• 2x2 आव्यूह का सहखंडज (Adjoint) सीधे विकर्ण बदलकर और अन्य के चिह्न बदलकर निकालना।
• आव्यूह गुणन के बाद संगत अवयवों की तुलना करना।

आम गलतियाँ:

• \( A^{-1} \) निकालते समय सारणिक से भाग देना भूल जाना।
• आव्यूह गुणन में जोड़-घटाव की गलती।

Exam Tips:

a) अपने उत्तर की जाँच समीकरण में मान रखकर करें।
b) प्रत्येक चरण को सुव्यवस्थित लिखें।
c) अंतिम उत्तर को अलग से हाइलाइट करें।

Question 8: 2x - y = -2
3x + 4y = 3

Answer:

दी गई समीकरण निकाय है:
\( 2x - y = -2 \)
\( 3x + 4y = 3 \)
समीकरण निकाय को \( AX = B \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ
\( A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix} \)
\( |A| = 8 + 3 = 11 \neq 0 \)
चूँकि \( |A| \neq 0 \), अतः आव्यूह \( A \) व्युत्क्रमणीय है और \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अतः, दी गई समीकरण निकाय संगत है।
\( A_{11} = 4, A_{12} = -3, A_{21} = 1, A_{22} = 2 \)
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \)
\( X = A^{-1}B \)
\( \implies \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -8 + 3 \\ 6 + 6 \end{bmatrix} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -5 \\ 12 \end{bmatrix} \)
\( \implies x = -\frac{5}{11}, y = \frac{12}{11} \) ।

मुख्य बिंदु:

• \( A^{-1} \) ज्ञात करने के लिए सहखंड आव्यूह निकालना।
• अदिश गुणा (Scalar multiplication) अंत में करना।
• भिन्नात्मक उत्तरों से घबराए बिना सही गणना करना।

आम गलतियाँ:

• बाहर दी गई संख्या \( \frac{1}{11} \) को आव्यूह के अंदर गुणा करते समय गलती करना।
• चिह्नों की गड़बड़ी।

Exam Tips:

a) \( \frac{1}{|A|} \) को अंत तक बाहर रखना गणना को आसान बनाता है।
b) समीकरण में मान रखकर उत्तर की पुष्टि करें।
c) स्पष्ट लिखावट रखें।

Question 9: 4x - 3y = 3
3x - 5y = 7

Answer:

दी गई समीकरण निकाय है:
\( 4x - 3y = 3 \)
\( 3x - 5y = 7 \)
समीकरण निकाय को \( AX = B \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ
\( A = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \end{bmatrix} \)
\( |A| = -20 + 9 = -11 \neq 0 \)
चूँकि \( |A| \neq 0 \), अतः आव्यूह \( A \) व्युत्क्रमणीय है और \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अतः, दी गई समीकरण निकाय संगत है।
\( A_{11} = -5, A_{12} = -3, A_{21} = 3, A_{22} = 4 \)
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{-11} \begin{bmatrix} -5 & 3 \\ -3 & 4 \end{bmatrix} \)
\( X = A^{-1}B \)
\( \implies \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = -\frac{1}{11} \begin{bmatrix} -5 & 3 \\ -3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \end{bmatrix} = -\frac{1}{11} \begin{bmatrix} -15 + 21 \\ -9 + 28 \end{bmatrix} = -\frac{1}{11} \begin{bmatrix} 6 \\ 19 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{6}{11} \\ -\frac{19}{11} \end{bmatrix} \)
अतः \( x = -\frac{6}{11}, y = -\frac{19}{11} \) ।

मुख्य बिंदु:

• \( |A| \) ऋणात्मक आने पर उसे सावधानी से संभालना।
• आव्यूह गुणन का सही निष्पादन।
• अंत में ऋणात्मक चिह्न का वितरण।

आम गलतियाँ:

• \( -\frac{1}{11} \) के ऋण चिह्न को अंदर गुणा करते समय भूल जाना।
• सहखंड निकालते समय चिह्न की गलती।

Exam Tips:

a) ऋण चिह्न को अंत में ही अंदर गुणा करें।
b) गणना के प्रत्येक चरण को ध्यान से देखें।
c) उत्तर को मानक रूप में छोड़ें।

Question 10: 5x + 2y = 3
3x + 2y = 5

Answer:

दी गई समीकरण निकाय है:
\( 5x + 2y = 3 \)
\( 3x + 2y = 5 \)
समीकरण निकाय को \( AX = B \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ
\( A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} \)
\( |A| = 10 - 6 = 4 \neq 0 \)
चूँकि \( |A| \neq 0 \), अतः आव्यूह \( A \) व्युत्क्रमणीय है और \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अतः, दी गई समीकरण निकाय संगत है।
\( A_{11} = 2, A_{12} = -3, A_{21} = -2, A_{22} = 5 \)
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix} \)
\( X = A^{-1}B \)
\( \implies \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 6 - 10 \\ -9 + 25 \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -4 \\ 16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \end{bmatrix} \)
अतः \( x = -1, y = 4 \) ।

मुख्य बिंदु:

• \( |A| \) का मान ज्ञात करना।
• सहखंडज आव्यूह की सहायता से व्युत्क्रम निकालना।
• अंत में 4 से भाग देकर पूर्णांक मान प्राप्त करना।

आम गलतियाँ:

• आव्यूह गुणन में पंक्तियों और स्तंभों का गलत मिलान करना।
• भाग देने में त्रुटि।

Exam Tips:

a) प्राप्त मानों (\( x = -1, y = 4 \)) को समीकरण में रखकर जाँच करें।
b) लिखावट स्पष्ट रखें।
c) सभी चरण दर्शाइए।

Question 11: 2x + y + z = 1
x - 2y - z = \frac{3}{2}
3y - 5z = 9

Answer:

दी गई समीकरण निकाय है:
\( 2x + y + z = 1 \)
\( x - 2y - z = \frac{3}{2} \)
\( 3y - 5z = 9 \)
समीकरण निकाय को \( AX = B \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ
\( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 3 & -5 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 1 \\ 3/2 \\ 9 \end{bmatrix} \)
\( |A| = 2(10 + 3) - 1(-5 - 0) + 1(3 - 0) = 26 + 5 + 3 = 34 \neq 0 \)
चूँकि \( |A| \neq 0 \), अतः आव्यूह \( A \) व्युत्क्रमणीय है और \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अतः, दी गई समीकरण निकाय संगत है।
\( A_{11} = 13, A_{12} = 5, A_{13} = 3 \)
\( A_{21} = 8, A_{22} = -10, A_{23} = -6 \)
\( A_{31} = 1, A_{32} = 3, A_{33} = -5 \)
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{34} \begin{bmatrix} 13 & 8 & 1 \\ 5 & -10 & 3 \\ 3 & -6 & -5 \end{bmatrix} \)
\( X = A^{-1}B \)
\( \implies \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac{1}{34} \begin{bmatrix} 13 & 8 & 1 \\ 5 & -10 & 3 \\ 3 & -6 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 3/2 \\ 9 \end{bmatrix} = \frac{1}{34} \begin{bmatrix} 13 + 12 + 9 \\ 5 - 15 + 27 \\ 3 - 9 - 45 \end{bmatrix} = \frac{1}{34} \begin{bmatrix} 34 \\ 17 \\ -51 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1/2 \\ -3/2 \end{bmatrix} \)
अतः \( x = 1, y = \frac{1}{2}, z = -\frac{3}{2} \) ।

मुख्य बिंदु:

• भिन्नों वाले आव्यूह \( B \) के साथ गुणन करना।
• 3x3 आव्यूह के सभी सहखंडों की सही गणना।
• अंत में 34 से सभी अवयवों को विभाजित करना।

आम गलतियाँ:

• \( 8 \times \frac{3}{2} \) जैसे पदों को हल करते समय भिन्न की गणना में गलती करना।
• सहखंडों के चिह्न गलत लिखना।

Exam Tips:

a) भिन्न गुणन को रफ कार्य में सावधानी से हल करें।
b) प्रत्येक चरण की सत्यता की जाँच करें।
c) अंतिम उत्तर को स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 12: x - y + z = 4
2x + y - 3z = 0
x + y + z = 2

Answer:

दी गई समीकरण निकाय है:
\( x - y + z = 4 \)
\( 2x + y - 3z = 0 \)
\( x + y + z = 2 \)
समीकरण निकाय को \( AX = B \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ
\( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \)
\( |A| = 1(1 + 3) + 1(2 + 3) + 1(2 - 1) = 4 + 5 + 1 = 10 \neq 0 \)
चूँकि \( |A| \neq 0 \), अतः आव्यूह \( A \) व्युत्क्रमणीय है और \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अतः, दी गई समीकरण निकाय संगत है।
\( A_{11} = 4, A_{12} = -5, A_{13} = 1 \)
\( A_{21} = 2, A_{22} = 0, A_{23} = -2 \)
\( A_{31} = 2, A_{32} = 5, A_{33} = 3 \)
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \)
\( X = A^{-1}B \)
\( \implies \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 16 + 0 + 4 \\ -20 + 0 + 10 \\ 4 + 0 + 6 \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 20 \\ -10 \\ 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \)
अतः \( x = 2, y = -1, z = 1 \) ।

मुख्य बिंदु:

• 3x3 आव्यूह का सारणिक और सहखंड निकालना।
• \( X = A^{-1}B \) सूत्र का सही प्रयोग।
• मैट्रिक्स गुणन और अंत में 10 से भाग देना।

आम गलतियाँ:

• \( B \) आव्यूह के शून्य वाले अवयव के साथ गुणा में गलती करना।
• सहखंडों के मान उल्टे-पुल्टे रख देना।

Exam Tips:

a) सहखंड आव्यूह का परिवहन (Transpose) लेना न भूलें।
b) मानों को समीकरण में रखकर जाँच लें।
c) स्पष्ट और साफ चरण लिखें।

Question 13: 2x + 3y + 3z = 5
x - 2y + z = -4
3x - y - 2z = 3

Answer:

दी गई समीकरण निकाय है:
\( 2x + 3y + 3z = 5 \)
\( x - 2y + z = -4 \)
\( 3x - y - 2z = 3 \)
समीकरण निकाय को \( AX = B \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ
\( A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & -2 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix} \)
\( |A| = 2(4 + 1) - 3(-2 - 3) + 3(-1 + 6) = 10 + 15 + 15 = 40 \neq 0 \)
चूँकि \( |A| \neq 0 \), अतः आव्यूह \( A \) व्युत्क्रमणीय है और \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अतः, दी गई समीकरण निकाय संगत है।
\( A_{11} = 5, A_{12} = 5, A_{13} = 5 \)
\( A_{21} = 3, A_{22} = -13, A_{23} = 11 \)
\( A_{31} = 9, A_{32} = 1, A_{33} = -7 \)
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{40} \begin{bmatrix} 5 & 3 & 9 \\ 5 & -13 & 1 \\ 5 & 11 & -7 \end{bmatrix} \)
\( X = A^{-1}B \)
\( \implies \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac{1}{40} \begin{bmatrix} 5 & 3 & 9 \\ 5 & -13 & 1 \\ 5 & 11 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{40} \begin{bmatrix} 25 - 12 + 27 \\ 25 + 52 + 3 \\ 25 - 44 - 21 \end{bmatrix} = \frac{1}{40} \begin{bmatrix} 40 \\ 80 \\ -40 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} \)
अतः \( x = 1, y = 2, z = -1 \) ।

मुख्य बिंदु:

• \( |A| = 40 \) की सही गणना।
• सहखंड आव्यूह का सही транспоज़ (Transpose) लिखना।
• आव्यूह गुणन के उपरांत 40 से भाग देना।

आम गलतियाँ:

• सहखंड निकालते समय ऋण चिह्नों की अनदेखी करना।
• आव्यूह गुणन में जोड़/घटाव की त्रुटि।

Exam Tips:

a) प्रत्येक पंक्ति के सहखंड को कॉलम के रूप में (adj A में) व्यवस्थित रूप से लिखें।
b) उत्तर की जाँच मूल समीकरणों में करें।
c) कार्य को स्पष्ट और सुपाठ्य रखें।

Question 14: x - y + 2z = 7
3x + 4y - 5z = -5
2x - y + 3z = 12

Answer:

दी गई समीकरण निकाय है:
\( x - y + 2z = 7 \)
\( 3x + 4y - 5z = -5 \)
\( 2x - y + 3z = 12 \)
समीकरण निकाय को \( AX = B \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ
\( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 4 & -5 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ 12 \end{bmatrix} \)
\( |A| = 1(12 - 5) + 1(9 + 10) + 2(-3 - 8) = 7 + 19 - 22 = 4 \neq 0 \)
चूँकि \( |A| \neq 0 \), अतः आव्यूह \( A \) व्युत्क्रमणीय है और \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अतः, दी गई समीकरण निकाय संगत है।
\( A_{11} = 7, A_{12} = -19, A_{13} = -11 \)
\( A_{21} = 1, A_{22} = -1, A_{23} = -1 \)
\( A_{31} = -3, A_{32} = 11, A_{33} = 7 \)
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 7 & 1 & -3 \\ -19 & -1 & 11 \\ -11 & -1 & 7 \end{bmatrix} \)
\( X = A^{-1}B \)
\( \implies \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 7 & 1 & -3 \\ -19 & -1 & 11 \\ -11 & -1 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ 12 \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 49 - 5 - 36 \\ -133 + 5 + 132 \\ -77 + 5 + 84 \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 8 \\ 4 \\ 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \)
अतः \( x = 2, y = 1, z = 3 \) ।

मुख्य बिंदु:

• \( |A| = 4 \) प्राप्त करना।
• सहखंडों की गणना अत्यंत सावधानी से करना।
• अंत में 4 से भाग देकर हल प्राप्त करना।

आम गलतियाँ:

• बड़े गुणनफलों (जैसे \( 19 \times 7 \) या \( 11 \times 12 \)) में गणना की त्रुटि।
• सहखंड आव्यूह के चिह्न बदलना भूल जाना।

Exam Tips:

a) गुणन क्रिया को रफ कार्य में दो बार जाँचें।
b) \( x, y, z \) के मानों को समीकरण में रखकर संतुष्ट कराएँ।
c) साफ-सुथरा हल प्रस्तुत करें।

Question 15: यदि \( A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix} \) है तो \( A^{-1} \) ज्ञात कीजिए। \( A^{-1} \) का प्रयोग करके निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए:
2x - 3y + 5z = 11
3x + 2y - 4z = -5
x + y - 2z = -3

Answer:

दिया गया आव्यूह है:
\( A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix} \)
\( |A| = 2(-4 + 4) + 3(-6 + 4) + 5(3 - 2) = 0 - 6 + 5 = -1 \neq 0 \)
चूँकि \( |A| \neq 0 \), अतः आव्यूह \( A \) व्युत्क्रमणीय है और \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
\( A_{11} = 0, A_{12} = 2, A_{13} = 1 \)
\( A_{21} = -1, A_{22} = -9, A_{23} = -5 \)
\( A_{31} = 2, A_{32} = 23, A_{33} = 13 \)
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & -9 & 23 \\ 1 & -5 & 13 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -2 & 9 & -23 \\ -1 & 5 & -13 \end{bmatrix} \)
अब, दी गई समीकरण निकाय है:
\( 2x - 3y + 5z = 11 \)
\( 3x + 2y - 4z = -5 \)
\( x + y - 2z = -3 \)
इसे आव्यूह रूप में \( AX = B \) लिखा जा सकता है, जहाँ
\( A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 11 \\ -5 \\ -3 \end{bmatrix} \)
चूँकि इस समीकरण निकाय का गुणांक आव्यूह वही \( A \) है, इसलिए हल होगा:
\( X = A^{-1}B \)
\( \implies \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -2 & 9 & -23 \\ -1 & 5 & -13 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 11 \\ -5 \\ -3 \end{bmatrix} \)
\( \implies \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 - 5 + 6 \\ -22 - 45 + 69 \\ -11 - 25 + 39 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)
अतः \( x = 1, y = 2, z = 3 \) ।

मुख्य बिंदु:

• पहले से दिए गए आव्यूह \( A \) का \( A^{-1} \) ज्ञात करना।
• समीकरण निकाय के गुणांक आव्यूह की तुलना दिए गए आव्यूह \( A \) से करना।
• सीधे \( X = A^{-1}B \) सूत्र का उपयोग करके हल निकालना।

आम गलतियाँ:

• \( A^{-1} \) निकालते समय बाहर के \( -\frac{1}{1} \) (अर्थात -1) से आव्यूह के अंदर गुणा करना भूल जाना।
• आव्यूह गुणन में चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) यदि प्रश्न में पहले से ही आव्यूह दिया गया है, तो उसका उपयोग सीधे समीकरण हल करने में करें।
b) गणना के चरणों को स्पष्ट रखें।
c) अंत में मानों की सत्यता की जाँच करें।

Question 16: 4 kg प्याज, 3 kg गेहूँ और 2 kg चावल का मूल्य ₹ 60 है। 2 kg प्याज, 4 kg गेहूँ और 6 kg चावल का मूल्य ₹ 90 है। 6 kg प्याज, 2 kg और 3 kg चावल का मूल्य ₹ 70 है। आव्यूह विधि द्वारा प्रत्येक kg का मूल्य ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना 1 kg प्याज का मूल्य = \( x \),
1 kg गेहूँ का मूल्य = \( y \) और
1 kg चावल का मूल्य = \( z \) है।
प्रश्नानुसार, समीकरण निकाय इस प्रकार बनेगा:
\( 4x + 3y + 2z = 60 \)
\( 2x + 4y + 6z = 90 \)
\( 6x + 2y + 3z = 70 \)
समीकरण निकाय को \( AX = B \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ
\( A = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 60 \\ 90 \\ 70 \end{bmatrix} \)
\( |A| = 4(12 - 12) - 3(6 - 36) + 2(4 - 24) = 0 + 90 - 40 = 50 \neq 0 \)
चूँकि \( |A| \neq 0 \), अतः आव्यूह \( A \) व्युत्क्रमणीय है और \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अतः, दी गई समीकरण निकाय संगत है।
\( A_{11} = 0, A_{12} = 30, A_{13} = -20 \)
\( A_{21} = -5, A_{22} = 0, A_{23} = 10 \)
\( A_{31} = 10, A_{32} = -20, A_{33} = 10 \)
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{50} \begin{bmatrix} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{bmatrix} \)
\( X = A^{-1}B \)
\( \implies \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac{1}{50} \begin{bmatrix} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 60 \\ 90 \\ 70 \end{bmatrix} = \frac{1}{50} \begin{bmatrix} 0 - 450 + 700 \\ 1800 + 0 - 1400 \\ -1200 + 900 + 700 \end{bmatrix} = \frac{1}{50} \begin{bmatrix} 250 \\ 400 \\ 400 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 8 \end{bmatrix} \)
अतः \( x = 5, y = 8, z = 8 \)。
अर्थात, 1 kg प्याज का मूल्य ₹ 5, 1 kg गेहूँ का मूल्य ₹ 8 और 1 kg चावल का मूल्य ₹ 8 है।

मुख्य बिंदु:

• भाषा वाले प्रश्नों से रैखिक समीकरण निकाय बनाना।
• आव्यूह विधि \( X = A^{-1}B \) का उपयोग करके मान निकालना।
• अंतिम उत्तर को वास्तविक जीवन के संदर्भ (मूल्य) में लिखना।

आम गलतियाँ:

• प्रश्न की भाषा से समीकरण बनाते समय गुणांकों को गलत लिखना।
• सारणिक या सहखंड निकालते समय बड़ी संख्याओं में गलती करना।

Exam Tips:

a) पहले चरों (\( x, y, z \)) को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें।
b) समीकरण बनाने के बाद एक बार पुनः प्रश्न से मिलान करें।
c) अंत में इकाइयों (₹) के साथ उत्तर लिखें।