NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 04 Determinants (सारणिक) Exercise 4.4 in Hindi

Question 1:
\( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)

Answer:

मान लीजिए कि दिया गया आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) है।
आव्यूह के सहखंड (cofactors) निम्नलिखित हैं:
\( A_{11} = 4 \)
\( A_{12} = -3 \)
\( A_{21} = -2 \)
\( A_{22} = 1 \)
अतः, आव्यूह \( A \) का सहखंडज (adjugate) है:
\( \text{adj } A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• किसी \( 2 \times 2 \) आव्यूह के सहखंडज के लिए विकर्ण के अवयवों को आपस में बदल दिया जाता है।
• गैर-विकर्ण अवयवों के चिह्न बदल दिए जाते हैं।
• सहखंड निकालते समय चिह्न परिपाटी \( (-1)^{i+j} \) का ध्यान रखा जाता है।

आम गलतियाँ:

• चिह्न बदलते समय गलती करना।
• सहखंडज आव्यूह का परिवहन (transpose) लेना भूल जाना।
• अवयवों की गणना में छोटी арифметиकीय त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) \( 2 \times 2 \) आव्यूह के लिए सीधी शॉर्टकट विधि की जाँच अंतिम चरण में सहखंड विधि से अवश्य करें।
b) प्रत्येक सहखंड को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ ताकि स्टेप मार्किंग मिल सके।
c) कोष्ठक और मैट्रिक्स के संकेतन सही प्रकार से लिखें।

Question 2:
\( \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

Answer:

मान लीजिए कि दिया गया आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) है।
सभी अवयवों के सहखंड निम्नलिखित हैं:
\( A_{11} = +(3 \times 1 - 0 \times 5) = 3 \)
\( A_{12} = -(2 \times 1 - (-2) \times 5) = -12 \)
\( A_{13} = +(2 \times 0 - (-2) \times 3) = 6 \)
\( A_{21} = -((-1) \times 1 - 0 \times 2) = 1 \)
\( A_{22} = +(1 \times 1 - (-2) \times 2) = 5 \)
\( A_{23} = -(1 \times 0 - (-2) \times (-1)) = 2 \)
\( A_{31} = +((-1) \times 5 - 3 \times 2) = -11 \)
\( A_{32} = -(1 \times 5 - 2 \times 2) = -1 \)
\( A_{33} = +(1 \times 3 - 2 \times (-1)) = 5 \)
अतः, आव्यूह \( A \) का सहखंडज है:
\( \text{adj } A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 & -11 \\ -12 & 5 & -1 \\ 6 & 2 & 5 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• \( 3 \times 3 \) आव्यूह के सहखंडज में प्रत्येक अवयव की उपसारणिक (minor) का सारनिक मान निकाला जाता है।
• चिह्न सहसंयोजक आव्यूह के लिए \( (-1)^{i+j} \) नियम का पालन करते हैं।
• सहखंडज आव्यूह प्राप्त करने के लिए सहखंडों के आव्यूह का परिवहन (transpose) लिया जाता है।

आम गलतियाँ:

• उपसारणिक निकालते समय पंक्ति और स्तंभ को गलत छोड़ देना।
• विषम स्थानों पर ऋण चिह्न लगाना भूल जाना।
• सहखंड आव्यूह का परिवहन (transpose) करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक सहखंड को अलग से लिखकर हल करें ताकि गणना की गलती से बचा जा सके।
b) अंतिम आव्यूह बनाते समय पंक्तियों और स्तंभों के क्रम का विशेष ध्यान रखें।
c) परीक्षा में रफ कार्य के लिए अलग से स्थान का प्रयोग करें।

Question 3:
सत्यापित कीजिए कि \( A(\text{adj } A) = (\text{adj } A)A = |A|I \)
\( A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -6 \end{bmatrix} \)

Answer:

दिया गया आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -6 \end{bmatrix} \) है।
सारणिक मान ज्ञात करते हैं:
\( |A| = 2(-6) - 3(-4) = -12 + 12 = 0 \)
अब सहखंड ज्ञात करते हैं:
\( A_{11} = -6, \quad A_{12} = 4, \quad A_{21} = -3, \quad A_{22} = 2 \)
अतः सहखंडज आव्यूह है:
\( \text{adj } A = \begin{bmatrix} -6 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} \)
अब गुणनफल \( A(\text{adj } A) \) ज्ञात करते हैं:
\( A(\text{adj } A) = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -6 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -12+12 & -6+6 \\ 24-24 & 12-12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)
इसी प्रकार \( (\text{adj } A)A \) और \( |A|I \) भी शून्य आव्यूह प्राप्त होते हैं:
\( (\text{adj } A)A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)
\( |A|I = 0 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)
अतः \( A(\text{adj } A) = (\text{adj } A)A = |A|I \) सत्यापित होता है।

मुख्य बिंदु:

• यह गुणधर्म प्रत्येक वर्ग आव्यूह के लिए सत्य होता है।
• यहाँ \( |A| = 0 \) है, इसलिए यह एक सिंगुलर (singular) आव्यूह है।
• आव्यूह गुणन हमेशा पंक्ति गुना स्तंभ के नियम से होता है।

आम गलतियाँ:

• आव्यूह गुणन का क्रम गलत लिखना।
• \( |A| \) के शून्य होने पर भी तत्समक आव्यूह \( I \) से गुणा करना भूल जाना।
• जोड़-घटाव में चिह्न की त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) सत्यापन वाले प्रश्नों में तीनों भागों \( A(\text{adj } A) \), \( (\text{adj } A)A \) और \( |A|I \) को अलग-अलग स्पष्ट रूप से हल करें।
b) मैट्रिक्स गुणन के प्रत्येक पद को कोष्ठक में सावधानी से जोड़ें।
c) अंत में "सत्यापित हुआ" लिखना न भूलें।

Question 4:
सत्यापित कीजिए कि \( A(\text{adj } A) = (\text{adj } A)A = |A|I \)
\( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \)

Answer:

दिया गया आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \) है।
सारणिक मान ज्ञात करते हैं:
\( |A| = 1(0 - 0) - (-1)(9 - (-2)) + 2(0 - 0) = 1(0) + 1(11) + 2(0) = 11 \)
चूँकि \( |A| \neq 0 \), अतः आव्यूह व्युत्क्रमणीय है।
सभी सहखंड ज्ञात करते हैं:
\( A_{11} = 0, \quad A_{12} = -11, \quad A_{13} = 0 \)
\( A_{21} = 3, \quad A_{22} = 1, \quad A_{23} = -1 \)
\( A_{31} = 2, \quad A_{32} = 8, \quad A_{33} = 3 \)
अतः सहखंडज आव्यूह है:
\( \text{adj } A = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 2 \\ -11 & 1 & 8 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix} \)
अब गुणनफल \( A(\text{adj } A) \) ज्ञात करते हैं:
\( A(\text{adj } A) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 3 & 2 \\ -11 & 1 & 8 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 0+11+0 & 3-1-2 & 2-8+6 \\ 0+0+0 & 9+0+2 & 6-0-6 \\ 0+0+0 & 3+0-3 & 2+0+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{bmatrix} \)
इसी प्रकार \( (\text{adj } A)A \) का गुणनफल भी यही आता है:
\( (\text{adj } A)A = \begin{bmatrix} 11 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{bmatrix} \)
तथा \( |A|I = 11 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{bmatrix} \)
अतः \( A(\text{adj } A) = (\text{adj } A)A = |A|I \) सत्यापित होता है।

मुख्य बिंदु:

• \( 3 \times 3 \) आव्यूह के लिए यह गुणधर्म काफी लंबा होता है, अतः गणना में सावधानी आवश्यक है।
• \( |A|I \) का अर्थ है कि सारणिक के मान से तत्समक आव्यूह के प्रत्येक अवयव को गुणा करना।
• मैट्रिक्स गुणन पंक्ति-स्तंभ विधि से ही किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( 3 \times 3 \) आव्यूह गुणा करते समय पदों को आपस में जोड़ते या घटाते समय गलती करना।
• सहखंडज आव्यूह के परिवहन में पंक्ति और स्तंभ की अदलाबंदी भूल जाना।
• सारणिक प्रसार में चिह्न की गलती करना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक चरण को अलग-अलग लाइन में लिखकर हल करें ताकि उत्तर स्पष्ट दिखे।
b) गुणनफल के प्रत्येक अवयव की गणना दो बार करें।
c) समय प्रबंधन का ध्यान रखें क्योंकि यह प्रश्न लंबा होता है।

Question 5:
\( \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \)

Answer:

मान लीजिए कि दिया गया आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \) है।
सारणिक मान ज्ञात करते हैं:
\( |A| = 2(3) - (-2)(4) = 6 + 8 = 14 \)
चूँकि \( |A| = 14 \neq 0 \), अतः \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अब सहखंड ज्ञात करते हैं:
\( A_{11} = 3, \quad A_{12} = -4, \quad A_{21} = 2, \quad A_{22} = 2 \)
अतः सहखंडज आव्यूह है:
\( \text{adj } A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} \)
व्युत्क्रम आव्यूह का सूत्र है \( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A \)
\( A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• किसी आव्यूह का व्युत्क्रम तभी संभव है जब वह व्युत्क्रमणीय (nonsingular) हो अर्थात् \( |A| \neq 0 \) ।
• सूत्र \( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A \) का प्रयोग किया जाता है।
• अदिश राशि \( \frac{1}{|A|} \) से आव्यूह के प्रत्येक अवयव को गुणा किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( |A| = 0 \) की स्थिति में भी व्युत्क्रम निकालने का प्रयास करना।
• सहखंडज निकालते समय मुख्य विकर्ण के अलावा अन्य अवयवों के चिह्न बदलना भूल जाना।
• \( 1/|A| \) को आव्यूह के बाहर छोड़ देना।

Exam Tips:

a) सबसे पहले हमेशा \( |A| \) निकालें और अस्तित्व की पुष्टि करें।
b) यदि संभव हो तो अंश के सभी अवयवों को बाहर दी गई भिन्न से अंदर विभाजित करके सरल करें।
c) सूत्र को स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 6:
\( \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \)

Answer:

मान लीजिए कि दिया गया आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \) है।
सारणिक मान ज्ञात करते हैं:
\( |A| = (-1)(2) - (5)(-3) = -2 + 15 = 13 \)
चूँकि \( |A| = 13 \neq 0 \), अतः \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
सहखंड ज्ञात करते हैं:
\( A_{11} = 2, \quad A_{12} = 3, \quad A_{21} = -5, \quad A_{22} = -1 \)
अतः सहखंडज आव्यूह है:
\( \text{adj } A = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \)
व्युत्क्रम आव्यूह ज्ञात करते हैं:
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{13} \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• \( 2 \times 2 \) आव्यूह का सहखंडज बहुत सरलता से निकाला जा सकता है।
• ऋण चिह्नों के गुणा करते समय विशेष सावधानी बरतें।
• व्युत्क्रम आव्यूह एक अद्वितीय आव्यूह होता है।

आम गलतियाँ:

• ऋणात्मक संख्याओं के साथ गुणा करते समय चिह्न की गलती करना।
• सहखंडों के स्थान को गलत रखना।
• अंत में \( 1/|A| \) लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) गणना को दो बार चेक करें क्योंकि एक छोटी सी गलती पूरा उत्तर गलत कर सकती है।
b) चिह्न परिपाटी को हमेशा ध्यान में रखें।
c) उत्तर को मानक रूप में ही छोड़ें।

Question 7:
\( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 5 \end{bmatrix} \)

Answer:

मान लीजिए कि दिया गया आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 5 \end{bmatrix} \) है।
सारणिक मान ज्ञात करते हैं:
\( |A| = 1(10 - 0) - 2(0 - 4) + 3(0 - 2) \)
\( |A| = 1(10) - 2(-4) + 3(-2) \)
\( |A| = 10 + 8 - 6 = 12 \)
चूँकि \( |A| = 12 \neq 0 \), अतः \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अब सभी सहखंड ज्ञात करते हैं:
\( A_{11} = 10, \quad A_{12} = 0, \quad A_{13} = -2 \)
\( A_{21} = -10, \quad A_{22} = 2, \quad A_{23} = 2 \)
\( A_{31} = 2, \quad A_{32} = -4, \quad A_{33} = 2 \)
अतः सहखंडज आव्यूह है:
\( \text{adj } A = \begin{bmatrix} 10 & -10 & 2 \\ 0 & 2 & -4 \\ -2 & 2 & 2 \end{bmatrix} \)
व्युत्क्रम आव्यूह होगा:
\( A^{-1} = \frac{1}{12} \begin{bmatrix} 10 & -10 & 2 \\ 0 & 2 & -4 \\ -2 & 2 & 2 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• प्रथम पंक्ति के सापेक्ष सारणिक का विस्तार किया गया है।
• सहखंड निकालते समय प्रत्येक अवयव की उपसारणिक का मान निकाला जाता है।
• व्युत्क्रम का अस्तित्व सारणिक के गैर-शून्य होने पर निर्भर करता है।

आम गलतियाँ:

• सारणिक प्रसार में बाहर वाले अवयव का चिह्न गलत लेना।
• सहखंडों के मान में ऋणात्मक चिह्न की गलती करना।
• मैट्रिक्स के परिवहन (transpose) को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) \( 3 \times 3 \) आव्यूह के सहखंड निकालते समय रफ कार्य में प्रत्येक उपसारणिक को अलग से हल करें।
b) सभी सहखंडों को उनके सही स्थान पर रखें।
c) भिन्न रूप में उत्तर छोड़ना पूरी तरह सही है।

Question 8:
\( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & -1 \end{bmatrix} \)

Answer:

मान लीजिए कि दिया गया आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & -1 \end{bmatrix} \) है।
सारणिक मान ज्ञात करते हैं (प्रथम पंक्ति के सापेक्ष):
\( |A| = 1(-3 - 0) - 0 + 0 = -3 \)
चूँकि \( |A| = -3 \neq 0 \), अतः \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अब सभी सहखंड ज्ञात करते हैं:
\( A_{11} = -3, \quad A_{12} = 3, \quad A_{13} = -9 \)
\( A_{21} = 0, \quad A_{22} = -1, \quad A_{23} = -2 \)
\( A_{31} = 0, \quad A_{32} = 0, \quad A_{33} = 3 \)
अतः सहखंडज आव्यूह है:
\( \text{adj } A = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3 \end{bmatrix} \)
व्युत्क्रम आव्यूह ज्ञात करते हैं:
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3 \end{bmatrix} \)
\( A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1/3 & 0 \\ 3 & 2/3 & -1 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• यह एक त्रिभुकीय आव्यूह (triangular matrix) है, जिसका सारणिक मुख्य विकर्ण के अवयवों का गुणनफल होता है।
• \( 1/|A| \) से अंदर के सभी अवयवों को भाग दिया जा सकता है।
• सहखंडज आव्यूह में ट्रांसपोर्ट लेना न भूलें।

आम गलतियाँ:

• त्रिभुकीय आव्यूह के सहखंड निकालते समय कुछ पदों को शून्य मानकर गलती करना।
• बाहर की ऋणात्मक संख्या से अंदर भाग देते समय चिह्न की भूल होना।
• ट्रांसपोर्ट न करके सीधे सहखंड आव्यूह लिख देना।

Exam Tips:

a) यदि आव्यूह त्रिभुकीय है तो इसका सारणिक सीधे विकर्ण गुणा से मुँह زبانی भी जांचा जा सकता है।
b) अंदर के पदों को भाग देते समय भिन्न के रूप में सही से लिखें।
c) स्टेप्स पूरे रखें ताकि परीक्षा में नंबर न कटें।

Question 9:
\( \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 0 \\ -7 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)

Answer:

मान लीजिए कि दिया गया आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 0 \\ -7 & 2 & 1 \end{bmatrix} \) है।
सारणिक मान ज्ञात करते हैं:
\( |A| = 2(-1 - 0) - 1(4 - 0) + 3(8 - 7) \)
\( |A| = 2(-1) - 1(4) + 3(1) \)
\( |A| = -2 - 4 + 3 = -3 \)
चूँकि \( |A| = -3 \neq 0 \), अतः \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अब सभी सहखंड ज्ञात करते हैं:
\( A_{11} = -1, \quad A_{12} = -4, \quad A_{13} = 1 \)
\( A_{21} = 5, \quad A_{22} = 23, \quad A_{23} = -11 \)
\( A_{31} = 3, \quad A_{32} = 12, \quad A_{33} = -6 \)
अतः सहखंडज आव्यूह है:
\( \text{adj } A = \begin{bmatrix} -1 & 5 & 3 \\ -4 & 23 & 12 \\ 1 & -11 & -6 \end{bmatrix} \)
व्युत्क्रम आव्यूह होगा:
\( A^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} -1 & 5 & 3 \\ -4 & 23 & 12 \\ 1 & -11 & -6 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• सारणिक का प्रसार पहली पंक्ति के अनुदिश किया गया है।
• सहखंडों के मान निकालते समय ऋणात्मक चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।
• व्युत्क्रम का सूत्र मानक रूप में लिखें।

आम गलतियाँ:

• उपसारणिक निकालते समय क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन में गलती करना।
• विषम स्थानों पर चिह्न बदलना भूल जाना।
• सहखंडज आव्यूह का परिवहन करना भूल जाना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक सहखंड को अलग से रफ कार्य में हल करके फिर मुख्य उत्तर में लिखें।
b) यदि संख्याएँ बड़ी हों तो गुणा और जोड़ की दो बार जाँच करें।
c) अंत में \( -1/3 \) को बाहर ही छोड़ना सुरक्षित रहता है।

Question 10:
\( \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{bmatrix} \)

Answer:

मान लीजिए कि दिया गया आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{bmatrix} \) है।
सारणिक मान ज्ञात करते हैं:
\( |A| = 1(8 - 6) - (-1)(0 - (-9)) + 2(0 - 6) \)
\( |A| = 1(2) + 1(-9) + 2(-6) \)
\( |A| = 2 - 9 - 12 = -19 \)
चूँकि \( |A| = -19 \neq 0 \), अतः \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अब सभी सहखंड ज्ञात करते हैं:
\( A_{11} = 2, \quad A_{12} = -9, \quad A_{13} = -6 \)
\( A_{21} = 0, \quad A_{22} = -2, \quad A_{23} = -1 \)
\( A_{31} = -1, \quad A_{32} = 3, \quad A_{33} = 2 \)
अतः सहखंडज आव्यूह है:
\( \text{adj } A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -9 & -2 & 3 \\ -6 & -1 & 2 \end{bmatrix} \)
व्युत्क्रम आव्यूह प्राप्त होता है:
\( A^{-1} = \frac{1}{-19} \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -9 & -2 & 3 \\ -6 & -1 & 2 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• सारणिक का मान ज्ञात करने के लिए प्रथम पंक्ति का प्रयोग किया गया है।
• सहखंडज आव्यूह में पंक्तियों को स्तंभों में बदला जाता है।
• व्युत्क्रम का अस्तित्व गैर-शून्य सारणिक पर आधारित है।

आम गलतियाँ:

• माइनस चिह्नों का अंदर गुणा करते समय त्रुटि करना।
• उपसारणिक के निर्धारण में गलती करना।
• ट्रांसपोर्ट लेना भूल जाना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक सहखंड को पंक्तिवार निकालें ताकि कोई छूटे नहीं।
b) गणना के हर चरण में कोष्ठकों का सही प्रयोग करें।
c) अंत में व्युत्क्रम का सूत्र आवश्य लिखें।

Question 11:
\( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & \sin\alpha \\ 0 & \sin\alpha & -\cos\alpha \end{bmatrix} \)

Answer:

मान लीजिए कि दिया गया आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & \sin\alpha \\ 0 & \sin\alpha & -\cos\alpha \end{bmatrix} \) है।
सारणिक मान ज्ञात करते हैं:
\( |A| = 1(-\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) - 0 + 0 \)
\( |A| = -(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = -1 \)
चूँकि \( |A| = -1 \neq 0 \), अतः \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अब सभी सहखंड ज्ञात करते हैं:
\( A_{11} = (-\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = -1 \)
\( A_{12} = 0, \quad A_{13} = 0 \)
\( A_{21} = 0, \quad A_{22} = -\cos\alpha, \quad A_{23} = -\sin\alpha \)
\( A_{31} = 0, \quad A_{32} = -\sin\alpha, \quad A_{33} = \cos\alpha \)
अतः सहखंडज आव्यूह है:
\( \text{adj } A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -\cos\alpha & -\sin\alpha \\ 0 & -\sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix} \)
व्युत्क्रम आव्यूह प्राप्त होता है:
\( A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -\cos\alpha & -\sin\alpha \\ 0 & -\sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & \sin\alpha \\ 0 & \sin\alpha & -\cos\alpha \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \) का प्रयोग किया गया है।
• इस विशेष आव्यूह का व्युत्क्रम स्वयं वही आव्यूह (या उसका रूप) आता है।
• सहखंड निकालते समय कोणों के चिह्नों का ध्यान रखें।

आम गलतियाँ:

• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका में चिह्न की गलती करना।
• बाहर मौजूद \( -1 \) से अंदर के सभी पदों के चिह्न बदलना भूल जाना।
• उपसारणिक निकालते समय शून्य पदों को नजरअंदाज करना।

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय फलनों वाले प्रश्नों में सर्वसमिकाओं का स्पष्ट उल्लेख करें।
b) अंतिम उत्तर में चिह्न सावधानी से अंदर गुणा करें।
c) स्टेप बाय स्टेप हल करने से गलती की गुंजाइश कम होती है।

Question 12:
यदि \( A = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 7 & 9 \end{bmatrix} \) है तो सत्यापित कीजिए कि \( (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \) है।

Answer:

दिए गए आव्यूह हैं: \( A = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 7 & 9 \end{bmatrix} \)
सबसे पहले गुणनफल \( AB \) ज्ञात करते हैं:
\( AB = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 7 & 9 \end{bmatrix} \)
\( AB = \begin{bmatrix} 18+49 & 24+63 \\ 12+35 & 16+45 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 67 & 87 \\ 47 & 61 \end{bmatrix} \)
अब \( |AB| \) ज्ञात करते हैं:
\( |AB| = 67(61) - 87(47) = 4087 - 4089 = -2 \neq 0 \)
अतः \( (AB)^{-1} \) का अस्तित्व है।
\( (AB)^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 61 & -87 \\ -47 & 67 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -61/2 & 87/2 \\ 47/2 & -67/2 \end{bmatrix} \)
अब आव्यूह \( A \) और \( B \) के व्युत्क्रम निकालते हैं:
\( |A| = 15 - 14 = 1 \implies A^{-1} = \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} \)
\( |B| = 54 - 56 = -2 \implies B^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 9 & -8 \\ -7 & 6 \end{bmatrix} \)
अब गुणनफल \( B^{-1}A^{-1} \) ज्ञात करते हैं:
\( B^{-1}A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 9 & -8 \\ -7 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} \)
\( = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 45+16 & -63-24 \\ -35-12 & 49+18 \end{bmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 61 & -87 \\ -47 & 67 \end{bmatrix} \)
चूँकि \( L.H.S. = R.H.S. \), अतः \( (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \) सत्यापित होता है।

मुख्य बिंदु:

• यह व्युत्क्रम आव्यूह का एक महत्वपूर्ण उलट गुणधर्म (reversal law) है।
• गुणनफल निकालने के बाद उसका सारणिक निकाला जाता है।
• अलग-अलग व्युत्क्रम निकालकर उनका गुणा किया जाता है।

आम गलतियाँ:

• \( B^{-1}A^{-1} \) की जगह गलती से \( A^{-1}B^{-1} \) लिख देना।
• गुणनफल आव्यूह का सहखंडज निकालते समय मुख्य विकर्ण बदलना भूल जाना।
• भिन्न के रूप में बाहर लिखे \( 1/2 \) को छोड़ देना।

Exam Tips:

a) दोनों पक्षों को अलग-अलग (LHS और RHS) हल करके अंत में उनकी तुलना करें।
b) बड़ी संख्याओं के गुणा में शांत रहकर गणना करें।
c) सत्यापन वाले प्रश्नों में अंत में निष्कर्ष अवश्य लिखें।

Question 13:
यदि \( A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \) है तो दर्शाइए कि \( A^2 - 5A + 7I = 0 \) है। इसकी सहायता से \( A^{-1} \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \) है।
सबसे पहले \( A^2 \) ज्ञात करते हैं:
\( A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \)
\( A^2 = \begin{bmatrix} 9-1 & 3+2 \\ -3-2 & -1+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} \)
अब समीकरण के LHS में मान रखते हैं:
\( L.H.S. = A^2 - 5A + 7I \)
\( = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} - 5 \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} + 7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 8-15+7 & 5-5+0 \\ -5+5+0 & 3-10+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = R.H.S. \)
अतः \( A^2 - 5A + 7I = 0 \) सत्यापित होता है।
अब \( A^{-1} \) ज्ञात करने के लिए समीकरण के दोनों ओर \( A^{-1} \) से गुणा करते हैं:
\( A \cdot A - 5I + 7A^{-1} = 0 \)
\( 7A^{-1} = 5I - A \)
\( A^{-1} = \frac{1}{7} (5I - A) \)
\( A^{-1} = \frac{1}{7} \left( 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \right) \)
\( A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 5-3 & 0-1 \\ 0-(-1) & 5-2 \end{bmatrix} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• इस प्रकार के प्रश्नों में केबल-हॅमिल्टन प्रमेय (Cayley-Hamilton theorem) के परिणाम का उपयोग किया जाता है।
• समीकरण में दोनों तरफ \( A^{-1} \) से गुणा करके व्युत्क्रम निकाला जाता है।
• \( A^{-1} \) निकालने के लिए सहखंडज विधि का प्रयोग न करके दिए गए समीकरण का प्रयोग करना होता है।

आम गलतियाँ:

• समीकरण में सीधे सहखंड विधि से \( A^{-1} \) निकालकर हल करना (जबकि प्रश्न में समीकरण की सहायता से पूछा गया है)।
• \( 5A \) में अचर 5 से मैट्रिक्स के केवल एक अवयव को गुणा करना।
• तत्समक आव्यूह \( I \) को भूल जाना।

Exam Tips:

a) यदि प्रश्न में "इसकी सहायता से" लिखा है, तो समीकरण का ही प्रयोग करके \( A^{-1} \) निकालें।
b) आव्यूह के जोड़ और घटाव में संगत अवयवों का ही संक्रिया करें।
c) अंतिम परिणाम को भिन्न रूप में स्पष्ट छोड़ें।

Question 14:
आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \) के लिए संख्याएँ \( a \) और \( b \) ऐसी ज्ञात कीजिए ताकि \( A^2 + aA + bI = 0 \) हो।

Answer:

दिया गया आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \) है।
सबसे पहले \( A^2 \) ज्ञात करते हैं:
\( A^2 = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9+2 & 6+2 \\ 3+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 4 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \)
अब समीकरण \( A^2 + aA + bI = 0 \) में मान रखते हैं:
\( \begin{bmatrix} 11 & 4 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} + a \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix} 11+3a+b & 4+2a \\ 4+a & 3+a+b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
\( 4 + 2a = 0 \implies 2a = -4 \implies a = -2 \)
तथा \( 3 + a + b = 0 \)
\( a \) का मान रखने पर:
\( 3 + (-2) + b = 0 \implies 1 + b = 0 \implies b = -1 \)
अतः \( a = -2 \) और \( b = -1 \) प्राप्त होते हैं।

मुख्य बिंदु:

• दो आव्यूह समान होते हैं जब उनके संगत अवयव (corresponding elements) समान हों।
• सबसे सरल समीकरण से अज्ञात राशि का मान पहले निकाला जाता है।
• मैट्रिक्स समीकरण में अदिश गुणन का नियम प्रयोग होता है।

आम गलतियाँ:

• संगत अवयवों की तुलना करते समय चिह्न की गलती करना।
• \( aA \) और \( bI \) को सही से जोड़ना भूल जाना।
• समीकरण को हल करने में गलत मान रखना।

Exam Tips:

a) जिस समीकरण में केवल एक अज्ञात राशि (जैसे सिर्फ \( a \)) हो, उसे पहले हल करें।
b) अपने उत्तर की जाँच के लिए मान को वापस समीकरण में रखकर देख सकते हैं।
c) सभी चरणों को साफ-सुथरा लिखें।

Question 15:
आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \) के लिए दर्शाइए कि \( A^3 - 6A^2 + 5A + 11I = 0 \) है। इसकी सहायता से \( A^{-1} \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \) है।
पहले \( A^2 \) ज्ञात करते हैं:
\( A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \)
\( A^2 = \begin{bmatrix} 1+1+2 & 1+2-1 & 1-3+3 \\ 1+2-6 & 1+4+3 & 1-6-9 \\ 2-1+6 & 2-2-3 & 2+3+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -3 & 8 & -14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix} \)
अब \( A^3 = A^2 \cdot A \) ज्ञात करते हैं:
\( A^3 = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -3 & 8 & -14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \)
\( A^3 = \begin{bmatrix} 4+2+2 & 4+4-1 & 4-6+3 \\ -3+8-28 & -3+16+14 & -3-24-42 \\ 7-3+28 & 7-6-14 & 7+9+42 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 7 & 1 \\ -23 & 27 & -69 \\ 32 & -13 & 58 \end{bmatrix} \)
अब समीकरण के LHS में मान रखते हैं:
\( L.H.S. = A^3 - 6A^2 + 5A + 11I \)
\( = \begin{bmatrix} 8 & 7 & 1 \\ -23 & 27 & -69 \\ 32 & -13 & 58 \end{bmatrix} - 6 \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -3 & 8 & -14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} + 11 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
इसे हल करने पर सभी अवयव शून्य हो जाते हैं, अतः \( L.H.S. = 0 = R.H.S. \) सत्यापित होता है।
अब समीकरण में दोनों ओर \( A^{-1} \) से गुणा करने पर:
\( A^2 - 6A + 5I + 11A^{-1} = 0 \)
\( 11A^{-1} = -A^2 + 6A - 5I \)
\( A^{-1} = \frac{1}{11} \left( - \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -3 & 8 & -14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix} + 6 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} - 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right) \)
\( A^{-1} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -3 & 4 & 5 \\ 9 & -1 & -4 \\ 5 & -3 & -1 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• \( 3 \times 3 \) आव्यूह के लिए बहुपनीय समीकरण (polynomial equation) को संतुष्ट करने वाला प्रश्न विस्तृत होता है।
• \( A^3 \) निकालने के लिए पहले \( A^2 \) निकाला जाता है।
• समीकरण से \( A^{-1} \) निकालते समय पदों का पक्षांतर सावधानी से करें।

आम गलतियाँ:

• \( A^2 \) या \( A^3 \) निकालते समय गुणन में गलती करना।
• समीकरण में अचर पदों (जैसे 6 और 5) से गुणा करते समय चिह्न छोड़ देना।
• अंतिम परिणाम में बाहर \( 1/11 \) लिखना भूल जाना।

Exam Tips:

a) परीक्षा में ऐसे लंबे प्रश्नों के लिए समय का विशेष ध्यान रखें।
b) प्रत्येक मैट्रिक्स गुणन को अलग से लिखकर जांचें।
c) अंत में व्युत्क्रम का मान स्पष्ट रूप से बॉक्स में दर्शाएँ।

Question 16:
यदि \( A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \) तो सत्यापित कीजिए कि \( A^3 - 6A^2 + 9A - 4I = 0 \) है तथा इसकी सहायता से \( A^{-1} \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \) है।
सबसे पहले \( A^2 = A \cdot A \) ज्ञात करते हैं:
\( A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -5 & 5 \\ -5 & 6 & -5 \\ 5 & -5 & 6 \end{bmatrix} \)
अब \( A^3 = A^2 \cdot A \) ज्ञात करते हैं:
\( A^3 = \begin{bmatrix} 6 & -5 & 5 \\ -5 & 6 & -5 \\ 5 & -5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 22 & -21 & 21 \\ -21 & 22 & -21 \\ 21 & -21 & 22 \end{bmatrix} \)
अब समीकरण के LHS में मान रखते हैं:
\( L.H.S. = A^3 - 6A^2 + 9A - 4I \)
मान रखने और जोड़ने-घटाने पर शून्य आव्यूह प्राप्त होता है, अतः \( L.H.S. = 0 = R.H.S. \) सत्यापित होता है।
अब समीकरण में दोनों ओर \( A^{-1} \) से गुणा करने पर:
\( A^2 - 6A + 9I - 4A^{-1} = 0 \)
\( 4A^{-1} = A^2 - 6A + 9I \)
\( A^{-1} = \frac{1}{4} \left( \begin{bmatrix} 6 & -5 & 5 \\ -5 & 6 & -5 \\ 5 & -5 & 6 \end{bmatrix} - 6 \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} + 9 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right) \)
\( A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \end{bmatrix} \)

मुख्य बिंदु:

• आव्यूह समीकरणों को संतुष्ट करने वाले प्रश्न बोर्ड परीक्षा की दृष्टि से बहुत महत्वपूर्ण हैं।
• \( A^{-1} \) निकालने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है।
• मैट्रिक्स के संगत अवयवों की संक्रियाएं सावधानी से करें।

आम गलतियाँ:

• \( A^2 \) और \( A^3 \) निकालते समय गणना की चूक करना।
• \( 4A^{-1} \) को अंत में 4 से भाग देना भूल जाना।
• चिह्न की त्रुटि करना।

Exam Tips:

a) समीकरण सत्यापन के बाद व्युत्क्रम निकालने वाले भाग को स्पष्ट रूप से अलग से हल करें।
b) प्रत्येक पद में मैट्रिक्स के गुणा की दो बार जाँच करें।
c) मानक रूप में उत्तर दें।

Question 17:
यदि \( A \), कोटि \( 3 \times 3 \) का एक वर्ग आव्यूह है तो \( |\text{adj } A| \) का मान है:
(A) \( |A| \)
(B) \( |A|^2 \)
(C) \( |A|^3 \)
(D) \( 3|A| \)

Answer:

हम जानते हैं कि किसी वर्ग आव्यूह \( A \) के लिए निम्नलिखित गुणधर्म होता है:
\( \text{adj } A \cdot A = |A|I \)
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर:
\( |\text{adj } A \cdot A| = ||A|I| \)
\( |\text{adj } A| \cdot |A| = |A|^n |I| \) (जहाँ \( n \) आव्यूह की कोटि है)
चूँकि कोटि \( n = 3 \) है और \( |I| = 1 \):
\( |\text{adj } A| \cdot |A| = |A|^3 \)
\( |\text{adj } A| = \frac{|A|^3}{|A|} = |A|^2 \)
अतः सही विकल्प (B) है।

मुख्य बिंदु:

• यह एक बहुत महत्वपूर्ण बहुविकल्पीय परिणाम (formula) है: \( |\text{adj } A| = |A|^{n-1} \) ।
• यहाँ कोटि \( n = 3 \) है, इसलिए घात \( 3 - 1 = 2 \) होगी।
• सारणिक के गुणधर्मों का यहाँ प्रयोग किया गया है।

आम गलतियाँ:

• इसे सीधे याद न रखकर गलत विकल्प (C) चुन लेना।
• सारणिक के बाहर अदिश राशि लेने पर उसकी घात को नजरअंदाज करना।
• कोटि \( n \) के स्थान पर गलत मान रखना।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के सूत्रों को सीधे याद रखें क्योंकि यह प्रतियोगी परीक्षाओं और बोर्ड दोनों में पूछे जाते हैं।
b) यदि कोटि \( n \times n \) हो तो सूत्र \( |A|^{n-1} \) का उपयोग करें।
c) सही विकल्प (B) को अपने उत्तर-पत्र में लिखें।

Question 18:
यदि \( A \), कोटि दो का व्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो \( \det(A^{-1}) \) बराबर है:
(A) \( \det(A) \)
(B) \( \frac{1}{\det(A)} \)
(C) \( 1 \)
(D) \( 0 \)

Answer:

हम जानते हैं कि किसी व्युत्क्रमणीय आव्यूह के लिए:
\( A \cdot A^{-1} = I \)
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर:
\( \det(A \cdot A^{-1}) = \det(I) \)
\( \det(A) \cdot \det(A^{-1}) = 1 \)
इसलिए:
\( \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = (\det(A))^{-1} \)
अतः सही विकल्प (B) है।

मुख्य बिंदु:

• व्युत्क्रम आव्यूह का सारणिक, मूल आव्यूह के सारणिक का व्युत्क्रम होता है।
• \( \det(AB) = \det(A) \det(B) \) गुणधर्म का उपयोग किया गया है।
• तत्समक आव्यूह का सारणिक सदैव 1 होता है।

आम गलतियाँ:

• इसे \( \det(A) \) समझ लेना।
• सारणिक के गुणों का गलत प्रयोग करना।
• शून्य मान चुन लेना।

Exam Tips:

a) इस गुणधर्म को सीधे याद रखना वस्तुनिष्ठ प्रश्नों के लिए अत्यंत उपयोगी है।
b) विकल्प (B) इस प्रश्न का सही उत्तर है।
c) रीज़न स्पष्ट रूप से दिमाग में रखें।