NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 04 Determinants (सारणिक) Exercise 4.3 in Hindi

Question 1: निम्नलिखित सारणिकों के अवयवों के उपसारणिक एवं सहखंड लिखिए:
(i) \( \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} \)
(ii) \( \begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} \)

Answer:

(i) दिया गया सारणिक है: \( \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} \)
यहाँ अवयव \( a_{11} = 2 \) का उपसारणिक \( M_{11} = 3 \) तथा सहखंड \( A_{11} = (-1)^{1+1}(3) = 3 \)
अवयव \( a_{12} = -4 \) का उपसारणिक \( M_{12} = 0 \) तथा सहखंड \( A_{12} = (-1)^{1+2}(0) = 0 \)
अवयव \( a_{21} = 0 \) का उपसारणिक \( M_{21} = -4 \) तथा सहखंड \( A_{21} = (-1)^{2+1}(-4) = 4 \)
अवयव \( a_{22} = 3 \) का उपसारणिक \( M_{22} = 2 \) तथा सहखंड \( A_{22} = (-1)^{2+2}(2) = 2 \)

(ii) दिया गया सारणिक है: \( \begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} \)
यहाँ अवयव \( a_{11} = a \) का उपसारणिक \( M_{11} = d \) तथा सहखंड \( A_{11} = (-1)^{1+1}(d) = d \)
अवयव \( a_{12} = c \) का उपसारणिक \( M_{12} = b \) तथा सहखंड \( A_{12} = (-1)^{1+2}(b) = -b \)
अवयव \( a_{21} = b \) का उपसारणिक \( M_{21} = c \) तथा सहखंड \( A_{21} = (-1)^{2+1}(c) = -c \)
अवयव \( a_{22} = d \) का उपसारणिक \( M_{22} = a \) तथा सहखंड \( A_{22} = (-1)^{2+2}(a) = a \)

मुख्य बिंदु:

• किसी अवयव का उपसारणिक \( M_{ij} \) वह सारणिक है जो i-वीं पंक्ति और j-वें स्तंभ को हटाने से प्राप्त होता है।
• सहखंड \( A_{ij} \) का सूत्र \( A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} \) होता है।
• 2×2 कोटि के सारणिक में विकर्ण के अवयव आपस में उपसारणिक बनते हैं।

आम गलतियाँ:

• सहखंड निकालते समय \( (-1)^{i+j} \) के चिह्न को छोड़ देना।
• उपसारणिक और सहखंड की परिभाषा में भ्रमित होना।
• पंक्ति और स्तंभ के सूचकांक (indices) को उल्टा लिखना।

Exam Tips:

a) प्रत्येक अवयव के लिए \( M_{ij} \) और \( A_{ij} \) को अलग-अलग स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
b) ऋणात्मक चिह्नों (-ve signs) का विशेष ध्यान रखें ताकि सहखंड की गणना में गलती न हो।
c) अंत में सभी उत्तरों की पुनः जाँच अवश्य करें।

Question 2: निम्नलिखित सारणिकों के अवयवों के उपसारणिक एवं सहखंड लिखिए:
(i) \( \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \)
(ii) \( \begin{vmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} \)

Answer:

(i) दिया गया सारणिक है: \( \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \)
यहाँ उपसारणिक इस प्रकार हैं:
\( M_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1 \)
\( M_{12} = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 0 = 0 \)
\( M_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 0 = 0 \)
\( M_{21} = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 0 = 0 \)
\( M_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1 \)
\( M_{23} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 0 = 0 \)
\( M_{31} = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 0 = 0 \)
\( M_{32} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 0 = 0 \)
\( M_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1 \)
अब सहखंड \( A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} \) के अनुसार:
\( A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = 1 \), \( A_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = 0 \), \( A_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = 0 \)
\( A_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = 0 \), \( A_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = 1 \), \( A_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = 0 \)
\( A_{31} = (-1)^{3+1} M_{31} = 0 \), \( A_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} = 0 \), \( A_{33} = (-1)^{3+3} M_{33} = 1 \)

(ii) दिया गया सारणिक है: \( \begin{vmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} \)
यहाँ उपसारणिक इस प्रकार हैं:
\( M_{11} = \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 10 - (-1) = 11 \)
\( M_{12} = \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 0 = 6 \)
\( M_{13} = \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 0 = 3 \)
\( M_{21} = \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0 - 4 = -4 \)
\( M_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 0 = 2 \)
\( M_{23} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1 \)
\( M_{31} = \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = 0 - 20 = -20 \)
\( M_{32} = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 12 = -13 \)
\( M_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = 5 - 0 = 5 \)
अब सहखंड \( A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} \) के अनुसार:
\( A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = 11 \), \( A_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -6 \), \( A_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = 3 \)
\( A_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = 4 \), \( A_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = 2 \), \( A_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = -1 \)
\( A_{31} = (-1)^{3+1} M_{31} = -20 \), \( A_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} = 13 \), \( A_{33} = (-1)^{3+3} M_{33} = 5 \)

मुख्य बिंदु:

• 3×3 कोटि के सारणिक में प्रत्येक अवयव के लिए 2×2 कोटि का उपसारणिक हल करना होता है।
• \( (-1)^{i+j} \) का मान विषम घात के लिए -1 और सम घात के लिए +1 होता है।
• 3×3 सारणिक के कुल 9 उपसारणिक और 9 सहखंड होते हैं।

आम गलतियाँ:

• 2×2 सारणिक का प्रसार करते समय बीच में गलत चिह्न लगाना।
• विषम स्थानों (जैसे (1,2), (2,1), आदि) पर सहखंड का चिह्न बदलना भूल जाना।
• गलत पंक्ति और स्तंभ के अवयवों को उपसारणिक में ले लेना।

Exam Tips:

a) गणना को क्रमबद्ध तरीके से करें ताकि कोई अवयव छूटे नहीं।
b) 2×2 सारणिक का मान निकालते समय विकर्णों के गुणनफल का अंतर सावधानी से लें।
c) परीक्षा में समय बचाने के लिए सीधे सहखंड के चिह्नों को उपसारणिक के साथ ही लगा सकते हैं।

Question 3: दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहखंडों का प्रयोग करके \( \Delta = \begin{vmatrix} 5 & 3 & 8 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} \) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया सारणिक है: \( \Delta = \begin{vmatrix} 5 & 3 & 8 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} \)
दूसरी पंक्ति के अवयव \( a_{21} = 2, a_{22} = 0, a_{23} = 1 \) हैं।
सारणिक का मान दूसरी पंक्ति के अवयवों और उनके संगत सहखंडों के गुणनफल के योग के बराबर होता है:
\( \Delta = a_{21}A_{21} + a_{22}A_{22} + a_{23}A_{23} \)
अब दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहखंड ज्ञात करते हैं:
\( A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 3 & 8 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -(9 - 16) = -(-7) = 7 \)
\( A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 5 & 8 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = +(15 - 8) = 7 \)
\( A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -(10 - 3) = -7 \)
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \Delta = 2(7) + 0(7) + 1(-7) \)
\( \Delta = 14 + 0 - 7 = 7 \)

मुख्य बिंदु:

• किसी भी पंक्ति या स्तंभ के अवयवों को उनके संगत सहखंडों से गुणा करके जोड़ने पर सारणिक का मान प्राप्त होता है।
• प्रश्न में विशेष रूप से दूसरी पंक्ति का उल्लेख किया गया है, इसलिए केवल दूसरी पंक्ति के सहखंड निकाले गए हैं।
• \( \Delta = a_{21}A_{21} + a_{22}A_{22} + a_{23}A_{23} \) एक मानक गुणधर्म है।

आम गलतियाँ:

• किसी अन्य पंक्ति या स्तंभ के सहखंड निकाल लेना।
• सहखंड निकालते समय बाहर के ऋण चिह्न का अंदर गुणा करने में गलती करना।
• अवयवों के मान गलत रखना।

Exam Tips:

a) प्रश्न में दी गई शर्त (जैसे यहाँ दूसरी पंक्ति कहा गया है) को ध्यान से पढ़ें।
b) सूत्र स्पष्ट रूप से लिखें ताकि परीक्षक को आपकी विधि समझ आए।
c) अंतिम गणना चरण-दर-चरण करें।

Question 4: तीसरे स्तंभ के अवयवों के सहखंडों का प्रयोग करके \( \Delta = \begin{vmatrix} 1 & x & yz \\ 1 & y & zx \\ 1 & z & xy \end{vmatrix} \) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया गया सारणिक है: \( \Delta = \begin{vmatrix} 1 & x & yz \\ 1 & y & zx \\ 1 & z & xy \end{vmatrix} \)
तीसरे स्तंभ के अवयव \( a_{13} = yz, a_{23} = zx, a_{33} = xy \) हैं।
सारणिक का मान तीसरे स्तंभ के अवयवों और उनके संगत सहखंडों के गुणनफल के योग के बराबर होता है:
\( \Delta = a_{13}A_{13} + a_{23}A_{23} + a_{33}A_{33} \)
अब सहखंड ज्ञात करते हैं:
\( A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & y \\ 1 & z \end{vmatrix} = (z - y) \)
\( A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & x \\ 1 & z \end{vmatrix} = -(z - x) = (x - z) \)
\( A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & x \\ 1 & y \end{vmatrix} = (y - x) \)
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \Delta = yz(z - y) + zx(x - z) + xy(y - x) \)
\( = yz^2 - y^2z + zx^2 - z^2x + xy^2 - x^2y \)
\( = zx^2 - z^2x - x^2y + xy^2 + yz^2 - y^2z \)
\( = x^2(z - y) - x(z^2 - y^2) + yz(z - y) \)
\( = (z - y)[x^2 - x(z + y) + yz] \)
\( = (z - y)[x^2 - xz - xy + yz] \)
\( = (z - y)[x(x - z) - y(x - z)] \)
\( = (z - y)(x - z)(x - y) \)
\( = (x - y)(y - z)(z - x) \)

मुख्य बिंदु:

• तीसरे स्तंभ के अवयव \( yz, zx, xy \) हैं।
• बीजगणितीय व्यंजकों के गुणनखंडन (factorization) के नियमों का सही प्रयोग करना आवश्यक है।
• चक्रीय क्रम (cyclic order) में उत्तर लिखना मानक माना जाता है: \( (x-y)(y-z)(z-x) \) ।

आम गलतियाँ:

• गुणनखंडन करते समय चिह्न की गलती करना।
• तीसरे स्तंभ के स्थान पर किसी अन्य पंक्ति या स्तंभ के सहखंड निकाल लेना।
• अंतिम उत्तर को चक्रीय क्रम में न लिखना।

Exam Tips:

a) बीजगणितीय सारणिकों को हल करते समय व्यंजकों को ध्यान से विस्तारित करें।
b) कॉमन (Common) लेते समय हर पद का ध्यान रखें।
c) परिणाम को मानक रूप में ही छोड़ें।

Question 5: यदि \( \Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \) और \( a_{ij} \) का सहखंड \( A_{ij} \) हो, तो \( \Delta \) का मान निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है:
(A) \( a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} \)
(B) \( a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31} \)
(C) \( a_{21}A_{11} + a_{22}A_{12} + a_{23}A_{13} \)
(D) \( a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31} \text{ [यहाँ विकल्प D और B दोनों एक जैसे हैं, सही उत्तर (D) है]} \)

Answer:

सारणिक के गुणधर्म के अनुसार, किसी भी सारणिक का मान किसी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों और उनके संगत सहखंडों के गुणनफल के योग के बराबर होता है।
दिए गए विकल्पों में से विकल्प (D): \( a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31} \) पहले स्तंभ के अवयवों और उनके संगत सहखंडों का गुणनफल है, जो सारणिक \( \Delta \) के मान को व्यक्त करता है।
अतः विकल्प (D) सही है।

मुख्य बिंदु:

• सारणिक का मान किसी भी एक पंक्ति या एक स्तंभ के अवयव और उनके संगत सहखंड के गुणनफल के योग के बराबर होता है।
• यदि किसी पंक्ति के अवयवों को किसी अन्य पंक्ति के सहखंडों से गुणा किया जाए, तो उनका योग शून्य होता है।
• यहाँ विकल्प (D) पहले स्तंभ के अनुसार सारणिक का प्रसार है।

आम गलतियाँ:

• अवयव और सहखंड के सूचकांक (indices) का मिलान न करना।
• पंक्ति और स्तंभ के संयोजन में भ्रमित होना।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में सभी विकल्पों को ध्यान से देखें।
b) याद रखें कि अवयव और सहखंड के पाद (subscripts) समान होने चाहिए (जैसे \( a_{11}A_{11} \))।
c) यदि पाद अलग-अलग हैं (जैसे \( a_{12}A_{11} \)), तो उसका मान शून्य होगा।